Kaavat geometristen kappaleiden tilavuuksille. Figuurien määrä
Geometrian ongelmien ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä kaavat - kuten kolmion pinta-ala tai suunnikkaan pinta-ala - sekä yksinkertaisia temppuja, joista puhumme.
Ensin opetellaan kuvioiden alueiden kaavat. Olemme keränneet ne erityisesti kätevään pöytään. Tulosta, opi ja hae!
Tietenkään kaikki geometriakaavat eivät ole taulukossamme. Esimerkiksi geometrian ja stereometrian ongelmien ratkaisemiseksi matematiikan profiilikokeen toisessa osassa käytetään myös muita kaavoja kolmion pinta-alalle. Kerromme sinulle varmasti niistä.
Mutta entä jos sinun ei tarvitse löytää puolisuunnikkaan tai kolmion pinta-alaa, vaan jonkin monimutkaisen hahmon pinta-ala? On olemassa universaaleja tapoja! Esittelemme ne FIPI-tehtäväpankin esimerkkien avulla.
1. Kuinka löytää epätyypillisen hahmon pinta-ala? Esimerkiksi mielivaltainen nelikulmio? Yksinkertainen tekniikka - jaetaan tämä luku sellaisiin, joista me kaikki tiedämme, ja etsitään sen pinta-ala - näiden lukujen pinta-alojen summana.
Jaa tämä nelikulmio vaakaviivalla kahdeksi kolmioksi, joiden yhteinen kanta on yhtä suuri kuin . Näiden kolmioiden korkeudet ovat yhtä suuret ja . Sitten nelikulmion pinta-ala on yhtä suuri kuin kahden kolmion pinta-alojen summa: .
Vastaus:.
2. Joissakin tapauksissa kuvion pinta-ala voidaan esittää minkä tahansa alueen erotuksena.
Ei ole niin helppoa laskea, mikä tämän kolmion kanta ja korkeus ovat yhtä suuria! Mutta voimme sanoa, että sen pinta-ala on yhtä suuri kuin sivun ja kolmen suorakulmaisen kolmion pinta-alojen erotus. Näetkö ne kuvassa? Saamme: .
Vastaus:.
3. Joskus tehtävässä on tarpeen löytää aluetta ei koko kuviosta, vaan sen osasta. Yleensä puhutaan sektorin pinta-alasta - ympyrän osasta. Etsi säteisen ympyrän sektorin pinta-ala, jonka kaaren pituus on yhtä suuri kuin .
Tässä kuvassa näemme osan ympyrästä. Koko ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin , koska . On vielä selvitettävä, mikä osa ympyrästä on kuvattu. Koska koko ympyrän pituus on (koska) ja tämän sektorin kaaren pituus on yhtä suuri, kaaren pituus on useita kertoja pienempi kuin koko ympyrän pituus. Kulma, jolla tämä kaari lepää, on myös kertaa pienempi kuin täysi ympyrä (eli asteet). Tämä tarkoittaa, että sektorin pinta-ala on useita kertoja pienempi kuin koko ympyrän pinta-ala.
Ja muinaiset egyptiläiset käyttivät menetelmiä eri lukujen pinta-alojen laskemiseen, samanlaisia kuin meidän menetelmämme.
kirjoissani "Alkuja" kuuluisa antiikin kreikkalainen matemaatikko Euclid kuvasi melko monia tapoja laskea monien geometristen muotojen pinta-alat. Ensimmäiset geometrista tietoa sisältävät käsikirjoitukset Venäjällä kirjoitettiin 1500-luvulla. Ne kuvaavat säännöt erimuotoisten hahmojen alueiden löytämiseksi.
Nykyään nykyaikaisten menetelmien avulla on mahdollista löytää minkä tahansa hahmon pinta-ala erittäin tarkasti.
Harkitse yhtä yksinkertaisimmista muodoista - suorakulmiota - ja kaavaa sen alueen löytämiseksi.
Suorakaidealueen kaava
Tarkastellaan kuvaa (kuva 1), joka koostuu $8$ neliöistä, joiden sivut ovat $1$ cm. Yhden neliön pinta-alaa, jonka sivu on $1$ cm, kutsutaan neliösenttimetriksi ja se kirjoitetaan muodossa $1\cm^2 $.
Tämän kuvan pinta-ala (kuva 1) on yhtä suuri kuin $8\cm^2$.
Useisiin neliöihin, joiden sivu on $1\ cm$ (esimerkiksi $p$) jaettavissa, pinta-ala on $p\ cm^2$.
Toisin sanoen kuvion pinta-ala on yhtä monta $cm^2$ kuin niiden neliöiden lukumäärä, joiden sivu on $1\ cm$, voidaan jakaa tähän kuvioon.
Tarkastellaan suorakulmiota (kuva 2), joka koostuu $3$ kaistaleista, joista jokainen on jaettu $5$ neliöiksi, joiden sivut ovat $1\cm$. koko suorakulmio koostuu $5\cdot 3=15$ tällaisista neliöistä ja sen pinta-ala on $15\cm^2$.
Kuva 1.
Kuva 2.
Kuvien pinta-ala on yleensä merkitty kirjaimella $S$.
Saadaksesi selville suorakulmion alueen, kerro sen pituus sen leveydellä.
Jos merkitsemme sen pituutta kirjaimella $a$ ja leveyttä kirjaimella $b$, suorakulmion pinta-alan kaava näyttää tältä:
Määritelmä 1
Figuurit ovat ns yhtä suuri, jos luvut ovat päällekkäin asetettuina. Samansuuruisilla lukuilla on samat alueet ja samat kehät.
Figuurin pinta-ala löytyy sen osien pinta-alojen summana.
Esimerkki 1
Esimerkiksi kuvassa $3$ suorakulmio $ABCD$ on jaettu kahteen osaan rivillä $KLMN$. Yhden osan pinta-ala on $12\ cm^2$ ja toisen 9\ cm^2$. Tällöin suorakulmion $ABCD$ pinta-ala on $12\cm^2+9\cm^2=21\cm^2$. Etsi suorakulmion pinta-ala kaavalla:
Kuten näet, molemmilla menetelmillä löydetyt alueet ovat yhtä suuret.
Kuva 3
Kuva 4
Jana $AC$ jakaa suorakulmion kahteen yhtä suureen kolmioon: $ABC$ ja $ADC$. Joten kunkin kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet koko suorakulmion pinta-alasta.
Määritelmä 2
Kutsutaan suorakulmiota, jonka sivut ovat yhtä suuret neliö-.
Jos merkitsemme neliön sivua kirjaimella $a$, neliön pinta-ala löytyy kaavasta:
Tästä syystä luvun $a$ nimineliö.
Esimerkki 2
Esimerkiksi, jos neliön sivu on $5 $ cm, sen pinta-ala on:
Volyymit
Kaupan ja rakentamisen kehittyessä muinaisten sivilisaatioiden päivinä oli tarve löytää volyymeja. Matematiikassa on geometrian osa, joka käsittelee tilahahmojen tutkimusta, nimeltään stereometria. Maininta tästä erillisestä matematiikan suunnasta löydettiin jo 4. vuosisadalla eKr.
Muinaiset matemaatikot kehittivät menetelmän yksinkertaisten kuvioiden - kuution ja suuntaissärmiön - tilavuuden laskemiseksi. Kaikki noiden aikojen rakennukset olivat tämän muotoisia. Mutta tulevaisuudessa löydettiin tapoja laskea monimutkaisempien muotojen määrä.
Kuution tilavuus
Jos täytät muotin märällä hiekalla ja käännät sen sitten ympäri, saat kolmiulotteisen hahmon, jolle on ominaista tilavuus. Jos teet useita tällaisia figuureja samalla muotilla, saat saman tilavuuden figuurit. Jos täytät muotin vedellä, myös veden tilavuus ja hiekkahahmon tilavuus ovat yhtä suuret.
Kuva 5
Voit verrata kahden astian tilavuutta täyttämällä yhden vedellä ja kaatamalla sen toiseen astiaan. Jos toinen astia on täysin täytetty, astioissa on sama tilavuus. Jos samaan aikaan vettä jää ensimmäiseen, ensimmäisen astian tilavuus on suurempi kuin toisen. Jos kaatamalla vettä ensimmäisestä astiasta ei ole mahdollista täyttää toista astiaa kokonaan, ensimmäisen astian tilavuus on pienempi kuin toisen.
Tilavuus mitataan seuraavilla yksiköillä:
$mm^3$ -- kuutiomillimetri,
$cm^3$ -- kuutiosenttimetri,
$dm^3$ -- kuutiometri,
$m^3$ -- kuutiometri,
$km^3$ -- kuutiokilometriä.
Yleinen arvostelu. Stereometrian kaavat!
Hei rakkaat ystävät! Tässä artikkelissa päätin tehdä yleiskatsauksen stereometrian ongelmista, jotka tulevat olemaan KÄYTÄ matematiikassa e. On sanottava, että tämän ryhmän tehtävät ovat melko monipuolisia, mutta eivät vaikeita. Nämä ovat tehtäviä geometristen suureiden löytämiseksi: pituudet, kulmat, alueet, tilavuudet.
Tarkastellaan: kuutiota, suorakaiteen muotoista suuntaissärmiötä, prismaa, pyramidia, monitahoista yhdistelmää, sylinteriä, kartiota, palloa. On surullista, että osa valmistuneista ei ota tällaisia tehtäviä edes itse kokeessa, vaikka niistä yli 50 % ratkaistaan alkeellisesti, melkein suullisesti.
Loput vaativat vain vähän vaivaa, tietoa ja erikoistekniikoita. Tulevissa artikkeleissa harkitsemme näitä tehtäviä, älä missaa sitä, tilaa blogipäivitys.
Ratkaisua varten sinun on tiedettävä pinta-ala- ja tilavuuskaavat suuntaissärmiö, pyramidi, prisma, sylinteri, kartio ja pallo. Monimutkaisia tehtäviä ei ole, ne kaikki ratkaistaan 2-3 vaiheessa, on tärkeää "nähdä", mitä kaavaa on sovellettava.
Kaikki tarvittavat kaavat on esitetty alla:
Pallo tai pallo. Pallomainen tai pallomainen pinta (joskus yksinkertaisesti pallo) on avaruudessa olevien pisteiden sijainti, jotka ovat yhtä kaukana yhdestä pisteestä - pallon keskustasta.
Pallon tilavuus yhtä suuri kuin pyramidin tilavuus, jonka pohjan pinta-ala on sama kuin pallon pinnalla ja korkeus on pallon säde
Pallon tilavuus on puolitoista kertaa pienempi kuin sen ympärille piirretyn sylinterin tilavuus.
Pyöreä kartio saadaan kiertämällä suorakulmaista kolmiota sen jalan ympäri, joten pyöreää kartiota kutsutaan myös kierroskartioksi. Katso myös pyöreän kartion pinta-ala
Pyöreän kartion tilavuus on yhtä kuin kolmasosa perusalan S ja korkeuden H tulosta:
(H - kuution reunan korkeus)
Suuntasissärmiö on prisma, jonka kanta on suuntaviiva. Suuntaissärmiössä on kuusi pintaa, ja ne kaikki ovat suunnikkaat. Suuntaissärmiötä, jonka neljä sivupintaa ovat suorakulmioita, kutsutaan oikeaksi suuntaissärmiöksi. Oikeaa laatikkoa, jossa kaikki kuusi sivua ovat suorakulmioita, kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi laatikoksi.
Kuution tilavuus on yhtä suuri kuin pohjan pinta-alan ja korkeuden tulo:
(S on pyramidin pohjan pinta-ala, h on pyramidin korkeus)
Pyramidi on monitahoinen, jonka yksi pinta - pyramidin pohja - mielivaltainen monikulmio, ja loput - sivupinnat - kolmioita, joilla on yhteinen kärki, jota kutsutaan pyramidin huipuksi.
Pyramidin pohjan suuntainen osa jakaa pyramidin kahteen osaan. Pyramidin osa sen pohjan ja tämän osan välissä on katkaistu pyramidi.
Katkaistun pyramidin tilavuus on yhtä kuin kolmasosa korkeuden tulosta h (käyttöjärjestelmä) ylemmän pohjan pinta-alojen summalla S1 (abcde), katkaistun pyramidin alaosa S2 (ABCD) ja niiden välinen keskiarvo.
| 1. | V= |
n - säännöllisen monikulmion sivujen lukumäärä - säännöllisen pyramidin kantat
a - säännöllisen monikulmion sivu - säännöllisen pyramidin kanta
h - säännöllisen pyramidin korkeus
Säännöllinen kolmiopyramidi on monitahoinen, jonka yksi pinta - pyramidin kanta - säännöllinen kolmio, ja loput - sivupinnat - yhtä suuret kolmiot, joilla on yhteinen kärki. Korkeus laskee pohjan keskelle ylhäältä.
Säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin tilavuus on yhtä kuin kolmasosa tasasivuisen kolmion pinta-alan tulosta, joka on kanta S (ABC) korkeuteen h (käyttöjärjestelmä)
a - säännöllisen kolmion sivu - säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin kanta
h - säännöllisen kolmion muotoisen pyramidin korkeus
Tetraedrin tilavuuden kaavan johtaminen
Tetraedrin tilavuus lasketaan käyttämällä klassista pyramidin tilavuuden kaavaa. On tarpeen korvata tetraedrin korkeus ja säännöllisen (tasasivuisen) kolmion pinta-ala.
Tetraedrin tilavuus- on yhtä suuri kuin se murto-osa, jonka osoittajassa kahden neliöjuuri nimittäjässä on kaksitoista, kerrottuna tetraedrin reunan pituuden kuutiolla
(h on rombin sivun pituus)
Ympärysmitta p on noin kolme kokonaista ja yksi seitsemäsosa ympyrän halkaisijan pituudesta. Ympyrän kehän tarkka suhde sen halkaisijaan on merkitty kreikkalaisella kirjaimella π
Tämän seurauksena ympyrän ympyrän ympyrä tai ympyrän ympärysmitta lasketaan kaavalla
| π rn |
(r on kaaren säde, n on kaaren keskikulma asteina.)
Mittaa kaikki tarvittavat etäisyydet metreinä. Monien kolmiulotteisten kuvioiden tilavuus on helppo laskea sopivilla kaavoilla. Kaikki kaavoihin korvatut arvot on kuitenkin mitattava metreinä. Ennen kuin korvaat arvot kaavaan, varmista, että ne on mitattu metreinä tai että olet muuttanut muut mittayksiköt metreiksi.
- 1 mm = 0,001 m
- 1 cm = 0,01 m
- 1 km = 1000 m
Laskeaksesi suorakaiteen muotoisten muotojen tilavuuden (suorakulmainen laatikko, kuutio) käytä kaavaa: tilavuus = P × L × K(pituus kertaa leveys kertaa korkeus). Tätä kaavaa voidaan pitää kuvion yhden pinnan pinta-alan ja tätä pintaa vastaan kohtisuorassa olevan reunan tulona.
- Lasketaan esimerkiksi tilavuus huoneelle, jonka pituus on 4 m, leveys 3 m ja korkeus 2,5 m. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti kertomalla pituus leveydellä korkeudella:
- 4×3×2,5
- = 12 × 2,5
- = 30. Tämän huoneen tilavuus on 30 m3.
- Kuutio on kolmiulotteinen kuvio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret. Siten kaava kuution tilavuuden laskemiseksi voidaan kirjoittaa seuraavasti: tilavuus \u003d L 3 (tai W 3 tai H 3).
Laskeaksesi kuvioiden tilavuuden sylinterin muodossa, käytä kaavaa: pi× R 2 × H. Sylinterin tilavuuden laskeminen vähennetään kertomalla pyöreän pohjan pinta-ala sylinterin korkeudella (tai pituudella). Etsi ympyrän kannan pinta-ala kertomalla pi (3.14) ympyrän säteen neliöllä (R) (säde on etäisyys ympyrän keskipisteestä mihin tahansa sen ympyrän pisteeseen). Kerro sitten tulos sylinterin korkeudella (H) ja saat selville sylinterin tilavuuden. Kaikki arvot mitataan metreinä.
- Lasketaan esimerkiksi halkaisijaltaan 1,5 m ja 10 m syvyydeltään kaivon tilavuus. Jaa halkaisija kahdella, niin saadaan säde: 1,5/2=0,75 m.
- (3,14) × 0,75 2 × 10
- = (3,14) × 0,5625 × 10
- = 17,66. Kaivon tilavuus on 17,66 m3.
Laske pallon tilavuus käyttämällä kaavaa: 4/3 x pi× R3. Eli sinun tarvitsee vain tietää pallon säde (R).
- Lasketaan esimerkiksi ilmapallon tilavuus, jonka halkaisija on 10 m. Jakamalla halkaisija 2:lla saadaan säde: 10/2=5 m.
- 4/3 x pi × (5) 3
- = 4/3 x (3,14) x 125
- = 4,189 × 125
- = 523,6. Ilmapallon tilavuus on 523,6 m 3.
Laskeaksesi kuvioiden tilavuuden kartion muodossa, käytä kaavaa: 1/3 x pi× R 2 × H. Kartion tilavuus on 1/3 sylinterin tilavuudesta, jolla on sama korkeus ja säde.
- Lasketaan esimerkiksi 3 cm säteellä ja 15 cm korkealla jäätelötötterön tilavuus Mereiksi muutettuna saadaan vastaavasti: 0,03 m ja 0,15 m.
- 1/3 x (3,14) x 0,03 2 x 0,15
- = 1/3 x (3,14) x 0,0009 x 0,15
- = 1/3 × 0,0004239
- = 0,000141. Jäätelötörön tilavuus on 0,000141 m 3.
Käytä useita kaavoja laskeaksesi epäsäännöllisten muotojen tilavuuden. Voit tehdä tämän yrittämällä jakaa hahmon useisiin oikean muodon muotoihin. Etsi sitten kunkin tällaisen hahmon tilavuus ja laske tulokset yhteen.
- Lasketaan esimerkiksi pienen viljavaraston tilavuus. Varastossa on sylinterimäinen runko, jonka korkeus on 12 m ja säde 1,5 m. Varastossa on myös kartiomainen katto, jonka korkeus on 1 m. Laskemalla katon tilavuus ja rungon tilavuus erikseen saadaan selville varaston kokonaistilavuus. aitta:
- pi × R 2 × H + 1/3 x pi × R 2 × H
- (3,14) x 1,5 2 x 12 + 1/3 x (3,14) x 1,5 2 x 1
- = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 × (3,14) × 2,25 × 1
- = (3,14) × 27 + 1/3 x (3,14) × 2,25
- = 84,822 + 2,356
- = 87,178. Makasiinin tilavuus on 87.178 m3.
Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki aiheet, jotka ovat tarpeen matematiikan kokeen onnistuneeseen läpäisemiseen 60-65 pisteellä. Täysin kaikki profiilin tehtävät 1-13 KÄYTÄ matematiikassa. Soveltuu myös matematiikan peruskäytön suorittamiseen. Jos haluat läpäistä kokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!
Valmennuskurssi tenttiin luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä sadan pisteen opiskelija eikä humanisti tule toimeen ilman niitä.
Kaikki tarvittava teoria. Nopeita ratkaisuja, ansoja ja tentin salaisuuksia. Kaikki osan 1 asiaankuuluvat tehtävät FIPI-pankin tehtävistä on analysoitu. Kurssi täyttää täysin USE-2018:n vaatimukset.
Kurssi sisältää 5 isoa aihetta, kukin 2,5 tuntia. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.
Satoja koetehtäviä. Tekstitehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat ongelmanratkaisualgoritmit. Geometria. Teoria, viitemateriaali, kaikentyyppisten USE-tehtävien analyysi. Stereometria. Ovelia temppuja ratkaisemiseen, hyödyllisiä huijauslehtiä, tilamielikuvituksen kehittäminen. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Ymmärtäminen tukahdutuksen sijaan. Monimutkaisten käsitteiden visuaalinen selitys. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Pohja kokeen 2. osan monimutkaisten tehtävien ratkaisemiseen.
