Kopjevskajan maaseudun lukio

10 tapaa ratkaista toisen asteen yhtälöt

Pää: Galina Anatolyevna Patrikeyeva,

matematiikan opettaja

Kopyevon kylä, 2007

1. Neliöyhtälöiden kehityksen historia

1.1 Toisen asteen yhtälöt muinaisessa Babyloniassa

1.2 Kuinka Diophantus laski ja ratkaisi toisen asteen yhtälöt

1.3 Toisen asteen yhtälöt Intiassa

1.4 Al-Khwarizmin toisen asteen yhtälöt

1.5 Toisen asteen yhtälöt Euroopassa XIII - XVII vuosisatoja

1.6 Vieta -lause

2. Menetelmät toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Johtopäätös

Kirjallisuus

1. Toisen asteen yhtälöiden kehityksen historia

1.1 Toisen asteen yhtälöt muinaisessa Babyloniassa

Tarve ratkaista ensimmäisen, mutta myös toisen asteen yhtälöt jopa muinaisina aikoina johtui tarpeesta ratkaista ongelmia, jotka liittyvät sotilaallisten maa -alueiden ja maanrakennustöiden löytämiseen sekä tähtitieteen kehitykseen. ja itse matematiikka. Toisen asteen yhtälöt pystyivät ratkaisemaan noin vuonna 2000 eaa. NS. Babylonialaiset.

Sovellettaessa nykyaikaista algebrallista merkintätapaa voimme sanoa, että heidän kiiltokirjoitustekstissään on epätäydellisten lisäksi esimerkiksi täydellisiä toisen asteen yhtälöitä:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Näiden yhtälöiden ratkaisemista koskeva sääntö, joka on esitetty babylonialaisissa teksteissä, on olennaisesti nykyaikainen, mutta ei tiedetä, miten babylonialaiset pääsivät tähän sääntöön. Lähes kaikki tähän mennessä löydetyt cuneiform -tekstit aiheuttavat vain ongelmia reseptien muodossa esitettyjen ratkaisujen kanssa ilman ohjeita niiden löytämisestä.

Huolimatta Babylonin algebran korkeasta kehitystasosta, kiiltokirjoitustekstistä puuttuu negatiivisen luvun käsite ja yleiset menetelmät toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

1.2 Kuinka Diophantus kokosi ja ratkaisi toisen asteen yhtälöt.

Diofantoksen "aritmetiikassa" ei ole algebran järjestelmällistä esitystä, mutta se sisältää systemaattisen sarjan ongelmia, joihin liittyy selityksiä ja jotka ratkaistaan ​​laatimalla eriasteisia yhtälöitä.

Laatiessaan yhtälöitä Diophantus valitsee taitavasti tuntemattomat ratkaisun yksinkertaistamiseksi.

Tässä on esimerkiksi yksi hänen tehtävistään.

Ongelma 11."Etsi kaksi numeroa tietäen, että niiden summa on 20 ja tuote on 96"

Diophantus väittää seuraavaa: ongelman tilasta seuraa, että haetut luvut eivät ole yhtä suuret, koska jos ne olisivat yhtä suuret, niin niiden tulo ei olisi 96, vaan 100. Siten yksi niistä on yli puolet niiden summasta eli ... 10 + x, toinen on vähemmän, eli 10 - x... Ero niiden välillä 2x .

Siksi yhtälö:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2-4 = 0 (1)

Täältä x = 2... Yksi vaadituista numeroista on 12 , muu 8 ... Ratkaisu x = -2 Diofantosta ei ole olemassa, koska kreikkalainen matematiikka tiesi vain positiivisia lukuja.

Jos ratkaisemme tämän ongelman valitsemalla jonkin vaadituista numeroista tuntemattomaksi, päädymme yhtälön ratkaisuun

y (20 - y) = 96,

y 2-20 v + 96 = 0. (2)

On selvää, että valitsemalla haluttujen lukujen puoliero tuntemattomaksi Diophantus yksinkertaistaa ratkaisua; hän onnistuu vähentämään ongelman ratkaisemaan epätäydellisen toisen asteen yhtälön (1).

1.3 Toisen asteen yhtälöt Intiassa

Ongelmia toisen asteen yhtälöille on jo kohdattu tähtitieteellisessä kanavassa "Aryabhattiam", jonka intialainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Aryabhatta on koonnut vuonna 499. Toinen intialainen tutkija, Brahmagupta (VII vuosisata), hahmotti yleisen säännön toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi, pelkistettynä yhteen kanoniseen muotoon:

ah 2 + b x = c, a> 0. (1)

Yhtälössä (1) kertoimet, paitsi a, voi olla negatiivinen. Brahmaguptan sääntö on pohjimmiltaan sama kuin meillä.

Muinaisessa Intiassa julkinen kilpailu vaikeiden ongelmien ratkaisemisesta oli yleistä. Eräässä muinaisessa intialaisessa kirjassa sanotaan tällaisista kilpailuista: "Kun aurinko hämärtää tähdet loistollaan, niin oppinut mies pimittää toisen kunnian suosituissa kokoonpanoissa ehdottaen ja ratkaisemalla algebrallisia ongelmia." Ongelmat oli usein puettu runolliseen muotoon.

Tässä on yksi XII -luvun kuuluisan intialaisen matemaatikon tehtävistä. Bhaskaras.

Ongelma 13.

"Virkistävä apinalauma ja kaksitoista viiniköynnösten päällä ...

Syömisen jälkeen valtaa, pitää hauskaa. He alkoivat hypätä, roikkua ...

Niistä on kahdeksas osa neliössä, kuinka monta apinaa siellä oli,

Viihdyin raivauksessa. Kerro minulle, tässä paketissa? "

Bhaskaran ratkaisu osoittaa, että hän tiesi toisen asteen yhtälöiden kaksiarvoisista juurista (kuva 3).

Tehtävää 13 vastaava yhtälö:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara kirjoittaa varjolla:

x 2 - 64x = -768

ja täydentää tämän yhtälön vasen puoli neliöksi, lisää molemmille puolille 32 2 , sitten saa:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Al -Khorezmin toisen asteen yhtälöt

Algebrallinen tutkielma al - Khorezmi antaa lineaaristen ja toisen asteen yhtälöiden luokituksen. Tekijä laskee 6 tyyppiä yhtälöitä ja ilmaisee ne seuraavasti:

1) "Neliöt ovat yhtä suuret kuin juuret", ts. kirves 2 + c = b NS.

2) "Neliöt ovat yhtä lukuisia", ts. kirves 2 = c.

3) "Juuret ovat yhtä lukuisia", ts. ah = c.

4) "Neliöt ja luvut ovat yhtä suuret kuin juuret", ts kirves 2 + c = b NS.

5) "Neliöt ja juuret ovat yhtä lukuisia", ts. ah 2 + bx = s.

6) "Juuret ja numerot ovat yhtä suuria kuin neliöt", ts. bx + c = kirves 2.

Al -Khorezmille, joka vältti negatiivisten numeroiden käyttämistä, kunkin yhtälön ehdot ovat liitoksia, ei vähennettyjä. Tässä tapauksessa yhtälöitä, joilla ei ole positiivisia ratkaisuja, ei varmasti oteta huomioon. Tekijä hahmottaa tapoja ratkaista nämä yhtälöt käyttäen al -jabr- ja al -muqabal -tekniikoita. Hänen päätöksensä ei tietenkään ole täysin sama kuin meidän. Sen lisäksi, että se on puhtaasti retorista, on huomattava, että esimerkiksi ensimmäisen tyypin epätäydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisemisessa

al -Khorezmi, kuten kaikki matemaatikot 1600 -luvulle asti, ei ota huomioon nollaratkaisua, luultavasti siksi, että sillä ei ole merkitystä erityisissä käytännön ongelmissa. Kun ratkaistaan ​​täydellisiä toisen asteen yhtälöitä, al -Khorezmi esittää erityisiä numeerisia esimerkkejä käyttäen ratkaisusäännöt ja sitten geometriset todisteet.

Ongelma 14."Neliö ja luku 21 ovat 10 juurta. Etsi juuri " (tarkoittaa yhtälön juurta x 2 + 21 = 10x).

Kirjoittajan ratkaisussa lukee jotain tällaista: jaa juurien lukumäärä puoleen, saat 5, kerrotaan 5 itse, vähennetään 21 tuotteesta, on 4. Pura 4: n juuri, saat 2. Vähennä 2 5: stä , saat 3, tämä on haluttu juuri. Tai lisää 2-5, mikä antaa 7, tämä on myös juuri.

Käsite al - Khorezmi on ensimmäinen meille tullut kirja, jossa esitetään järjestelmällisesti toisen asteen yhtälöiden luokittelu ja annetaan kaavat niiden ratkaisemiseksi.

1.5 Toisen asteen yhtälöt Euroopassa XIII - XVII cc

Kaavat toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi al -Khorezmin mallilla Euroopassa esiteltiin ensimmäisen kerran "Abacus -kirjassa", jonka italialainen matemaatikko Leonardo Fibonacci kirjoitti vuonna 1202. Tämä laaja teos, joka heijastaa matematiikan vaikutusta sekä islamin maissa että muinaisessa Kreikassa, erottuu esityksen täydellisyydestä ja selkeydestä. Tekijä kehitti itsenäisesti joitakin uusia algebrallisia esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta ja lähestyi ensimmäisenä Euroopassa negatiivisten lukujen käyttöönottoa. Hänen kirjansa vaikutti algebrallisen tiedon leviämiseen paitsi Italiassa myös Saksassa, Ranskassa ja muissa Euroopan maissa. Monet "Abacus -kirjan" ongelmat siirrettiin lähes kaikkiin 1500 - 1700 -luvun eurooppalaisiin oppikirjoihin. ja osittain XVIII.

Yleissääntö toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi yhdeksi kanoniseksi muotoksi:

x 2 + bx = s,

kaikki mahdolliset kertoimien merkkien yhdistelmät b , kanssa muotoili Euroopassa vasta vuonna 1544 M. Stiefel.

Vieta johtaa yleisesti kaavan toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi, mutta Viet tunnisti vain positiiviset juuret. Italialaiset matemaatikot Tartaglia, Cardano, Bombelli olivat ensimmäisiä 1500 -luvulla. Harkitse positiivisten ja negatiivisten juurien lisäksi. Vasta 1600 -luvulla. Girardin, Descartesin, Newtonin ja muiden tutkijoiden työn ansiosta toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmä saa modernin muodon.

1.6 Vieta -lause

Lause, joka ilmaisee yhteyden toisen asteen yhtälön kertoimien ja sen juurien välillä, nimeltään Vieta, hän muotoili ensimmäisen kerran vuonna 1591 seuraavasti: ”Jos B + D kerrottuna A - A 2 , yhtä suuri BD, sitten A yhtä suuri V ja yhtä D ».

Jos haluat ymmärtää Vietaa, sinun pitäisi muistaa se A, kuten mikä tahansa vokaali, tarkoitti hänelle tuntematonta (meidän NS), vokaalit V, D- kertoimet tuntemattomille. Modernin algebran kielellä Vieta edellä oleva muotoilu tarkoittaa: jos

(a + b ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b ) x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Ilmaisemalla juuren ja yhtälökertoimien välisen suhteen yleisillä kaavoilla, jotka on kirjoitettu symboleilla, Viet vakiinnutti yhdenmukaisuuden yhtälöiden ratkaisumenetelmissä. Vieta -symboliikka on kuitenkin vielä kaukana sen modernista muodosta. Hän ei tunnistanut negatiivisia lukuja, ja siksi hän ratkaisi yhtälöitä ratkaistessaan vain tapauksia, joissa kaikki juuret ovat positiivisia.

2. Menetelmät toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Toisen asteen yhtälöt ovat perusta, jolle algebran upea rakennus perustuu. Toisen asteen yhtälöitä käytetään laajalti trigonometristen, eksponentiaalisten, logaritmisten, irrationaalisten ja transsendenttisten yhtälöiden ja eriarvoisuuksien ratkaisemisessa. Me kaikki tiedämme kuinka ratkaista toisen asteen yhtälöt koulusta (luokka 8) valmistumiseen asti.

Nykyaikaisessa yhteiskunnassa kyky suorittaa toimintoja yhtälöillä, jotka sisältävät muuttuvan neliön, voi olla hyödyllinen monilla toiminta -alueilla, ja sitä käytetään laajalti käytännössä tieteellisessä ja teknisessä kehityksessä. Tästä on osoituksena meri- ja jokialusten, lentokoneiden ja ohjusten suunnittelu. Tällaisten laskelmien avulla määritetään monenlaisten kappaleiden, mukaan lukien avaruusobjektit, liikeradat. Esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta käytetään paitsi talouden ennustamisessa, rakennusten suunnittelussa ja rakentamisessa myös tavallisimmissa arjen olosuhteissa. Niitä voidaan tarvita leirintämatkoilla, urheilutapahtumissa, kaupoissa ostoksilla ja muissa hyvin yleisissä tilanteissa.

Jaetaan lauseke sen muodostaviin tekijöihin

Yhtälön aste määräytyy annetun lausekkeen sisältämän muuttujan asteen enimmäisarvon mukaan. Jos se on 2, niin tällaista yhtälöä kutsutaan neliöksi.

Jos käytämme kaavojen kieltä, nämä lausekkeet, riippumatta siitä, miltä ne näyttävät, voidaan aina pienentää muotoon, kun lausekkeen vasen puoli koostuu kolmesta termistä. Niistä: kirves 2 (eli muuttuja, joka on neliöity sen kertoimella), bx (tuntematon ilman neliötä sen kertoimella) ja c (vapaa komponentti, eli tavallinen luku). Kaikki tämä oikealla puolella on 0. Siinä tapauksessa, että samankaltaisesta polynomista puuttuu yksi sen muodostavista termeistä, lukuun ottamatta akselia 2, sitä kutsutaan epätäydelliseksi toisen asteen yhtälöksi. Esimerkkejä tällaisten ongelmien ratkaisemisesta, joiden muuttujien arvo on helppo löytää, on otettava ensin huomioon.

Jos lauseke näyttää siltä, ​​että lausekkeen oikealla puolella on kaksi termiä, tarkemmin akseli 2 ja bx, on helpoin löytää x asettamalla muuttuja hakasulkeiden ulkopuolelle. Nyt yhtälö näyttää tältä: x (ax + b). Lisäksi käy ilmeiseksi, että joko x = 0 tai ongelma pienenee muuttujan löytämiseen seuraavasta lausekkeesta: ax + b = 0. Tämän sanelee yksi kertomisen ominaisuuksista. Sääntö on, että kahden tekijän tulo antaa 0 vain, jos yksi niistä on nolla.

Esimerkki

x = 0 tai 8x - 3 = 0

Tuloksena saadaan kaksi yhtälön juurta: 0 ja 0,375.

Tällaiset yhtälöt voivat kuvata kappaleiden liikettä painovoiman vaikutuksesta, joka alkoi liikkua tietystä lähtökohdaksi otetusta pisteestä. Tässä matemaattinen merkintä on seuraavassa muodossa: y = v 0 t + gt 2/2. Korvaamalla tarvittavat arvot, yhdistämällä oikea puoli 0: een ja etsimällä mahdollisia tuntemattomia tietoja, voit selvittää ajan, joka kului kehon nousemisesta laskemiseen, sekä monia muita määriä. Mutta puhumme tästä myöhemmin.

Lausekkeen jakaminen

Edellä kuvattu sääntö mahdollistaa näiden ongelmien ratkaisemisen monimutkaisemmissa tapauksissa. Tarkastellaan esimerkkejä tämän tyyppisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta.

X 2 - 33x + 200 = 0

Tämä kolmionmuotoinen kolminaisuus on valmis. Ensin muutetaan lauseke ja tekijä. Niitä on kaksi: (x-8) ja (x-25) = 0. Tämän seurauksena meillä on kaksi juurta 8 ja 25.

Esimerkit, joilla ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöt luokassa 9, mahdollistavat tämän menetelmän löytää muuttujan paitsi toisen, mutta jopa kolmannen ja neljännen kertaluvun lausekkeista.

Esimerkki: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kun tekijä muutetaan oikealla puolella tekijöiksi, joilla on muuttuja, niitä on kolme eli (x + 1), (x -3) ja (x + 3).

Tämän seurauksena käy ilmeiseksi, että tällä yhtälöllä on kolme juurta: -3; -1; 3.

Neliöjuuren poisto

Toinen epätäydellisen toisen asteen yhtälön tapaus on lauseke, joka on esitetty kirjainkielellä siten, että oikea puoli on rakennettu komponenteista ax 2 ja c. Tässä muuttujan arvon saamiseksi vapaa termi siirretään oikealle puolelle ja sitten neliöjuuri erotetaan tasa -arvon molemmilta puolilta. On huomattava, että tässä tapauksessa yhtälöllä on yleensä kaksi juuria. Ainoat poikkeukset ovat tasa-arvot, jotka eivät sisällä ollenkaan termiä c, jossa muuttuja on nolla, sekä lausekkeiden variantit, kun oikea puoli osoittautuu negatiiviseksi. Jälkimmäisessä tapauksessa ratkaisuja ei ole ollenkaan, koska yllä olevia toimintoja ei voida suorittaa juurilla. Olisi harkittava esimerkkejä tämän tyyppisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisuista.

Tässä tapauksessa yhtälön juuret ovat numerot -4 ja 4.

Maan pinta -alan laskeminen

Tällaisten laskelmien tarve ilmeni muinaisina aikoina, koska matematiikan kehittyminen monilta osin noina kaukaisina aikoina johtui tarpeesta määrittää tarkasti maa -alueiden alueet ja kehät.

Meidän tulisi harkita esimerkkejä tällaisten ongelmien perusteella koottujen toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta.

Oletetaan siis, että on suorakulmainen maa -alue, jonka pituus on 16 metriä leveämpi. Etsi alueen pituus, leveys ja kehä, jos tiedetään, että sen pinta -ala on 612 m 2.

Aloittakaamme liiketoiminta, laaditaan ensin tarvittava yhtälö. Merkitään x: llä leikkauksen leveyttä, jolloin sen pituus on (x + 16). Kirjoitetusta seuraa, että pinta -ala määräytyy lausekkeesta x (x + 16), joka ongelmamme ehdon mukaan on 612. Tämä tarkoittaa, että x (x + 16) = 612.

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisua, ja tämä lauseke on juuri sitä, ei voida tehdä samalla tavalla. Miksi? Vaikka sen vasen puoli sisältää edelleen kaksi tekijää, niiden tuote ei ole ollenkaan yhtä suuri kuin 0, joten muita menetelmiä sovelletaan tässä.

Syrjivä

Ensinnäkin teemme tarvittavat muunnokset, sitten tämän lausekkeen ulkonäkö näyttää tältä: x 2 + 16x - 612 = 0. Tämä tarkoittaa, että olemme saaneet lausekkeen muodossa, joka vastaa aiemmin määritettyä standardia, jossa a = 1, b = 16, c = -612.

Tämä voi olla esimerkki toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta erottimen kautta. Tässä tehdään tarvittavat laskelmat kaavion mukaisesti: D = b 2 - 4ac. Tämä apumäärä ei ainoastaan ​​salli tarvittavien määrien löytämistä toisen asteen yhtälöstä, vaan määrittää myös mahdollisten vaihtoehtojen määrän. Jos D> 0, niitä on kaksi; jos D = 0 on yksi juuri. Jos D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tietoja juurista ja niiden kaavasta

Meidän tapauksessamme syrjijä on: 256 - 4 (-612) = 2704. Tämä osoittaa, että ongelmaamme on vastaus. Jos tiedät, k, toisen asteen yhtälöiden ratkaisua on jatkettava käyttämällä alla olevaa kaavaa. Sen avulla voit laskea juuret.

Tämä tarkoittaa, että esillä olevassa tapauksessa: x 1 = 18, x 2 = -34. Toinen vaihtoehto tässä dilemmassa ei voi olla ratkaisu, koska tontin mittoja ei voida mitata negatiivisina arvoina, joten x (eli tontin leveys) on 18 m. Tästä lasketaan pituus: 18 + 16 = 34 ja kehä 2 (34+ 18) = 104 (m 2).

Esimerkkejä ja tehtäviä

Jatkamme toisen asteen yhtälöiden tutkimista. Seuraavassa annetaan esimerkkejä ja yksityiskohtainen ratkaisu useisiin niistä.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Siirrämme kaiken tasa -arvon vasemmalle puolelle, teemme muunnoksen, eli saamme yhtälön muodon, jota yleensä kutsutaan standardiksi, ja rinnastamme sen nollaan.

15x 2 + 20x + 5-12x 2-27x - 1 = 0

Kun lisäämme samanlaisia, määritämme syrjijän: D = 49 - 48 = 1. Joten yhtälöllämme on kaksi juurta. Lasketaan ne yllä olevan kaavan mukaan, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen niistä on 4/3 ja toinen 1.

2) Nyt paljastamme erilaiset arvoitukset.

Selvitetään, onko täällä juuria ollenkaan x 2 - 4x + 5 = 1? Saadaksemme tyhjentävän vastauksen, saatetaan polynomi vastaavaan tuttuun muotoon ja lasketaan erottelija. Tässä esimerkissä toisen asteen yhtälön ratkaiseminen ei ole välttämätöntä, koska ongelman ydin ei ole ollenkaan tässä. Tässä tapauksessa D = 16-20 = -4, mikä tarkoittaa, että juuria ei todellakaan ole.

Vieta -lause

On järkevää ratkaista toisen asteen yhtälöt käyttämällä yllä olevia kaavoja ja erottelijaa, kun neliöjuuri erotetaan jälkimmäisen arvosta. Mutta näin ei ole aina. Tässä tapauksessa on kuitenkin monia tapoja saada muuttujien arvot. Esimerkki: toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen Vieta -lauseella. Hän on nimetty miehen mukaan, joka asui 1500 -luvun Ranskassa ja teki loistavan uran matemaattisen lahjakkuutensa ja oikeussuhteidensa ansiosta. Hänen muotokuvansa näkyy artikkelissa.

Kuuluisan ranskalaisen havaitsema kuvio oli seuraava. Hän osoitti, että yhtälön juuret summassa ovat numeerisesti yhtä suuret kuin -p = b / a ja niiden tulo vastaa q = c / a.

Katsotaanpa nyt tiettyjä tehtäviä.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Yksinkertaisuuden vuoksi muutamme lausekkeen:

x 2 + 7x - 18 = 0

Käytämme Vietan teoriaa, mikä antaa meille seuraavan: juurien summa on -7 ja niiden tulo on -18. Tästä saamme selville, että yhtälön juuret ovat numerot -9 ja 2. Tarkistuksen jälkeen varmistamme, että nämä muuttujien arvot todella sopivat lausekkeeseen.

Paraabelikaavio ja yhtälö

Toisen asteen funktion käsitteet ja toisen asteen yhtälöt liittyvät läheisesti toisiinsa. Esimerkkejä tästä on annettu jo aiemmin. Katsotaan nyt joitain matemaattisia arvoituksia hieman yksityiskohtaisemmin. Mikä tahansa kuvatun tyyppinen yhtälö voidaan visualisoida. Tällaista kaavion muodossa piirrettyä suhdetta kutsutaan paraabeliksi. Sen eri tyypit on esitetty alla olevassa kuvassa.

Kaikilla paraboleilla on kärki, eli piste, josta sen oksat nousevat. Jos a> 0, ne nousevat äärettömään ja kun a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funktioiden visuaaliset esitykset auttavat ratkaisemaan yhtälöt, myös toisen asteen. Tätä menetelmää kutsutaan graafiseksi. Ja muuttujan x arvo on abscisssikoordinaatti pisteissä, joissa kuvaajaviiva leikkaa 0x: n. Pisteen koordinaatit löytyvät juuri annetusta kaavasta x 0 = -b / 2a. Ja korvaamalla saatu arvo funktion alkuperäiseen yhtälöön, voit selvittää y 0, eli ordinaattiakseliin kuuluvan paraabelin kärjen toisen koordinaatin.

Paraabelin oksien leikkauspiste abscissa -akselin kanssa

On paljon esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta, mutta on myös yleisiä malleja. Tarkastellaan niitä. On selvää, että kaavion leikkaus 0x -akselin kanssa a> 0: lle on mahdollista vain, jos y 0 ottaa negatiiviset arvot. Ja a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Muussa tapauksessa D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Juuret voidaan määrittää myös paraabelikaaviosta. Päinvastainen on myös totta. Toisin sanoen, jos visuaalisen kuvan saaminen toisen asteen funktiosta ei ole helppoa, voit rinnastaa lausekkeen oikean puolen arvoon 0 ja ratkaista tuloksena olevan yhtälön. Ja tietäen leikkauspisteet 0x -akselin kanssa, on helpompi rakentaa kuvaaja.

Historiasta

Muuttuvan neliön sisältävien yhtälöiden avulla he eivät aiemmin tehneet vain matemaattisia laskelmia ja määrittäneet geometristen muotojen alueita. Muinaiset tarvitsivat tällaisia ​​laskelmia suurenmoisiin löytöihin fysiikan ja tähtitieteen alalla sekä astrologisten ennusteiden tekemiseen.

Kuten nykyajan tiedemiehet olettavat, Babylonin asukkaat ratkaisivat ensimmäisiä toisen asteen yhtälöitä. Se tapahtui neljä vuosisataa ennen aikakauttamme. Tietenkin heidän laskelmansa olivat pohjimmiltaan erilaisia ​​kuin tällä hetkellä hyväksytyt ja osoittautuivat paljon primitiivisemmiksi. Esimerkiksi Mesopotamian matemaatikoilla ei ollut aavistustakaan negatiivisten lukujen olemassaolosta. He eivät myöskään tunteneet muita hienovaraisuuksia, jotka aikamme koululaiset tietävät.

Ehkä jopa aikaisemmin kuin Babylonin tiedemiehet, Intiasta tuleva viisas Baudhayama otti käyttöön toisen asteen yhtälöiden ratkaisun. Se tapahtui noin kahdeksan vuosisataa ennen Kristuksen aikakauden tuloa. Totta, toisen kertaluvun yhtälöt, ratkaisumenetelmät, jotka hän antoi, olivat yksinkertaisimpia. Hänen lisäksi kiinalaiset matemaatikot olivat myös kiinnostuneita vastaavista kysymyksistä muinaisina aikoina. Euroopassa toisen asteen yhtälöt ratkaistiin vasta 1200 -luvun alussa, mutta myöhemmin niitä käyttivät teoksissaan sellaiset suuret tutkijat kuin Newton, Descartes ja monet muut.

Toisen asteen yhtälö - helppo ratkaista! * Edelleen tekstissä "KU". Ystävät, näyttää siltä, ​​mikä voisi olla helpompaa matematiikassa kuin tällaisen yhtälön ratkaiseminen. Mutta jokin kertoi minulle, että monilla on ongelmia hänen kanssaan. Päätin nähdä kuinka monta näyttökertaa kuukaudessa Yandex. Tässä tapahtui, katso:

Mitä se tarkoittaa? Tämä tarkoittaa, että noin 70 000 ihmistä kuukaudessa etsii näitä tietoja, ja mitä tapahtuu lukuvuoden puolivälissä - pyyntöjä tulee kaksi kertaa enemmän. Tämä ei ole yllättävää, koska ne kaverit ja tytöt, jotka ovat valmistuneet koulusta kauan sitten ja valmistautuvat yhtenäistettyyn valtion tenttiin, etsivät näitä tietoja, ja myös koululaiset pyrkivät virkistämään niitä muistissaan.

Huolimatta siitä, että on olemassa monia sivustoja, jotka kertovat sinulle kuinka ratkaista tämä yhtälö, päätin tehdä oman osuuteni ja julkaista materiaalin. Ensinnäkin haluan, että kävijät tulevat sivustooni tätä pyyntöä varten. toiseksi, muissa artikkeleissa, kun "KU" -puhe tulee, annan linkin tähän artikkeliin; kolmanneksi, kerron sinulle hänen ratkaisustaan ​​hieman enemmän kuin yleensä muilla sivustoilla kerrotaan. Aloitetaan! Artikkelin sisältö:

Toisen asteen yhtälö on muodon yhtälö:

jossa kertoimet a,bja mielivaltaisilla numeroilla with 0.

Koulun kurssilla materiaali annetaan seuraavassa muodossa - yhtälöt on ehdollisesti jaettu kolmeen luokkaan:

1. Heillä on kaksi juuria.

2. * On vain yksi juuri.

3. Ei juuria. On syytä huomata, että niillä ei ole päteviä juuria.

Miten juuret lasketaan? Vain!

Laskemme syrjijän. Tämän "kauhean" sanan alla on melko yksinkertainen kaava:

Juurikaavat ovat seuraavat:

* Sinun on tiedettävä nämä kaavat ulkoa.

Voit heti kirjoittaa ylös ja päättää:

Esimerkki:

1. Jos D> 0, yhtälöllä on kaksi juurta.

2. Jos D = 0, yhtälöllä on yksi juuri.

3. Jos D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Katsotaanpa yhtälöä:

Tältä osin, kun erottelija on nolla, koulukurssi sanoo, että saadaan yksi juuri, tässä se on yhdeksän. Kaikki on oikein, mutta ...

Tämä esitys on hieman väärä. Itse asiassa on kaksi juuria. Kyllä, kyllä, älä ole yllättynyt, osoittautuu kaksi yhtä suurta juurta, ja ollakseen matemaattisesti tarkka, vastaus olisi kirjoitettava kaksi juurta:

x 1 = 3 x 2 = 3

Mutta tämä on niin - pieni poikkeama. Koulussa voit kirjoittaa muistiin ja sanoa, että on yksi juuri.

Nyt seuraava esimerkki:

Kuten tiedämme, negatiivisen luvun juuri ei ole poimittu, joten ratkaisua ei ole tässä tapauksessa.

Siinä koko ratkaisuprosessi.

Neliöfunktio.

Näin ratkaisu näyttää geometrisesti. On erittäin tärkeää ymmärtää tämä (tulevaisuudessa yhdessä artikkelissa analysoimme yksityiskohtaisesti neliöerotuksen ratkaisua).

Tämä on lomakkeen funktio:

missä x ja y ovat muuttujia

a, b, c - annetut luvut, a ≠ 0

Kaavio on paraabeli:

Toisin sanoen käy ilmi, että ratkaisemalla toisen asteen yhtälö, jossa "y" on nolla, löydämme paraabelin ja härän akselin leikkauspisteet. Näitä kohtia voi olla kaksi (erottelija on positiivinen), yksi (erottelija on nolla) ja ei mitään (erottelija on negatiivinen). Lisää neliöfunktiosta Voit katsella Inna Feldmanin artikkeli.

Katsotaanpa joitain esimerkkejä:

Esimerkki 1: Ratkaise 2x 2 +8 x–192=0

a = 2 b = 8 c = –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600

Vastaus: x 1 = 8 x 2 = –12

* Yhtälön vasen ja oikea puoli oli heti mahdollista jakaa 2: lla, eli yksinkertaistaa sitä. Laskelmat ovat helpompia.

Esimerkki 2: Päättää x 2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = –22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2–4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

Saimme x 1 = 11 ja x 2 = 11

Vastauksessa on sallittua kirjoittaa x = 11.

Vastaus: x = 11

Esimerkki 3: Päättää x 2 –8x + 72 = 0

a = 1 b = –8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2–4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

Diskriminantti on negatiivinen, reaalilukuina ratkaisua ei ole.

Vastaus: ei ratkaisua

Syrjijä on negatiivinen. On olemassa ratkaisu!

Tässä puhumme yhtälön ratkaisemisesta siinä tapauksessa, että negatiivinen syrjijä saadaan. Tiedätkö mitään monimutkaisista numeroista? En mene tässä yksityiskohtiin siitä, miksi ja mistä he tulivat ja mikä on heidän erityinen roolinsa ja tarpeensa matematiikassa, tämä on aihe suurelle erilliselle artikkelille.

Kompleksiluvun käsite.

Vähän teoriaa.

Kompleksiluku z on muodon luku

z = a + bi

missä a ja b ovat reaalilukuja, i on ns. kuvitteellinen yksikkö.

a + bi On YKSI numero, ei lisäys.

Kuvitteellinen yksikkö on yhtä kuin miinus yhden juuri:

Harkitse nyt yhtälöä:

Meillä on kaksi konjugaattia.

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö.

Harkitse erityistapauksia, tämä on silloin, kun kerroin "b" tai "c" on nolla (tai molemmat ovat nollaa). Ne on helppo ratkaista ilman syrjiviä.

Tapaus 1. Kerroin b = 0.

Yhtälö on muodossa:

Muutetaan:

Esimerkki:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Tapaus 2. Kerroin = 0.

Yhtälö on muodossa:

Muunnamme, tekijöitä:

* Tuote on nolla, kun ainakin yksi tekijöistä on nolla.

Esimerkki:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x - 5) = 0 => x = 0 tai x - 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

Tapaus 3. Kerroimet b = 0 ja c = 0.

Tässä on selvää, että yhtälön ratkaisu on aina x = 0.

Hyödyllisiä ominaisuuksia ja kertoimien malleja.

On ominaisuuksia, joiden avulla voit ratkaista yhtälöt suurilla kertoimilla.

ax 2 + bx+ c=0 tasa -arvo pätee

a + b+ c = 0, sitten

- jos yhtälön kertoimille ax 2 + bx+ c=0 tasa -arvo pätee

a+ c =b, sitten

Nämä ominaisuudet auttavat ratkaisemaan tietynlaista yhtälöä.

Esimerkki 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Kertoimien summa on 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, siis

Esimerkki 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Tasa -arvo täyttyy a+ c =b, tarkoittaa

Kertoimien sääntöjenmukaisuudet.

1. Jos yhtälössä ax 2 + bx + c = 0 kerroin "b" on yhtä suuri kuin (a 2 +1) ja kerroin "c" on numeerisesti yhtä suuri kuin kerroin "a", sen juuret ovat

kirves 2 + (a 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.

Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jos yhtälössä ax 2 - bx + c = 0 kerroin "b" on yhtä suuri kuin (a 2 +1) ja kerroin "c" on numeerisesti yhtä suuri kuin kerroin "a", sen juuret ovat

kirves 2 - (a 2 +1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a.

Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä 15x 2 - 226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jos yhtälössä ax 2 + bx - c = 0 kerroin "b" on yhtä suuri kuin (a 2 - 1) ja kerroin "c" numeerisesti yhtä suuri kuin kerroin "a", silloin sen juuret ovat yhtä suuret

аx 2 + (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / a.

Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Jos yhtälössä ax 2 - bx - c = 0 kerroin "b" on yhtä suuri kuin (a 2 - 1) ja kerroin c on numeerisesti yhtä suuri kuin kerroin "a", sen juuret ovat

noin 2 - (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.

Esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä 10x 2 - 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Vieta -lause.

Vietan lause on nimetty kuuluisan ranskalaisen matemaatikon François Vietan mukaan. Vieta -lauseen avulla voimme ilmaista mielivaltaisen KE: n juurten summan ja tuloksen sen kertoimien perusteella.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kaikkiaan numero 14 antaa vain 5 ja 9. Nämä ovat juuret. Tietyn taidon avulla voit ratkaista monia toisen asteen yhtälöitä sanallisesti käyttämällä esitettyä teoriaa.

Lisäksi Vieta -lause. kätevä siinä mielessä, että kun toisen asteen yhtälö on ratkaistu tavanomaisella tavalla (erottimen kautta), saadut juuret voidaan tarkistaa. Suosittelen tekemään tämän aina.

SIIRTOMENETELMÄ

Tällä menetelmällä kerroin "a" kerrotaan vapaalla termillä, ikään kuin "heitetään" sille, joten sitä kutsutaan "siirtomenetelmällä". Tätä menetelmää käytetään, kun voit helposti löytää yhtälön juuret Viestan lauseen avulla ja mikä tärkeintä, kun erottelija on tarkka neliö.

Jos a± b + c≠ 0, käytetään siirtotekniikkaa, esimerkiksi:

2NS 2 – 11x + 5 = 0 (1) => NS 2 – 11x + 10 = 0 (2)

Vieta -lauseella yhtälössä (2) on helppo määrittää, että x 1 = 10 x 2 = 1

Tuloksena olevat yhtälön juuret on jaettava 2: lla (koska x 2: sta he "heittivät" kaksi), saamme

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Mikä on perustelut? Katso mitä tapahtuu.

Yhtälöiden (1) ja (2) erottimet ovat yhtä suuret:

Jos tarkastellaan yhtälöiden juuria, saadaan vain eri nimittäjiä, ja tulos riippuu tarkasti kerroimesta x 2:

Toiset (muokatut) juuret ovat 2 kertaa suurempia.

Siksi jaamme tuloksen 2: lla.

* Jos kierrämme kolmosta uudelleen, jaamme tuloksen kolmella jne.

Vastaus: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. sinä ja tentti.

Kerron lyhyesti sen merkityksestä - PITÄÄ KYTKETTÄ RATKAISEMAAN nopeasti ja epäröimättä, juurien ja syrjijän kaavat on tiedettävä ulkoa. Monet tehtävistä, jotka muodostavat kokeen tehtävät, lyhennetään toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi (mukaan lukien geometriset).

Mitä kannattaa huomioida!

1. Yhtälön kirjoittamisen muoto voi olla "implisiittinen". Esimerkiksi seuraava merkintä on mahdollinen:

15+ 9x 2-45x = 0 tai 15x + 42 + 9x 2-45x = 0 tai 15-5x + 10x 2 = 0.

Sinun on saatettava se vakiomuotoon (jotta et hämmentyisi ratkaistessasi).

2. Muista, että x on tuntematon määrä ja se voidaan merkitä millä tahansa muulla kirjaimella - t, q, p, h ja muut.

», Eli ensimmäisen asteen yhtälöt. Tässä oppitunnissa analysoimme mitä kutsutaan toisen asteen yhtälöksi ja miten se ratkaistaan.

Mitä kutsutaan toisen asteen yhtälöksi

Tärkeä!

Yhtälön aste määräytyy suurimman tuntemattoman asteen mukaan.

Jos suurin teho, jossa tuntematon seisoo, on "2", sinulla on toisen asteen yhtälö edessäsi.

Esimerkkejä toisen asteen yhtälöistä

• 5x 2-14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2-8 = 0

Tärkeä! Yleisnäkymä toisen asteen yhtälöstä näyttää tältä:

A x 2 + b x + c = 0

• "A" - ensimmäinen tai merkittävin kerroin;
• "B" on toinen kerroin;
• "C" on ilmainen jäsen.

Löytääksesi "a", "b" ja "c" sinun on vertailtava yhtälöäsi toisen asteen yhtälön yleiseen muotoon "ax 2 + bx + c = 0".

Harjoitellaan kertoimien "a", "b" ja "c" määrittämistä toisen asteen yhtälöissä.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kuinka ratkaista toisen asteen yhtälöt

Toisin kuin lineaariset yhtälöt, toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi erityinen kaava juurien löytämiseksi.

Muistaa!

Toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi tarvitset:

• tuo toisen asteen yhtälö yleiseen muotoon "ax 2 + bx + c = 0". Toisin sanoen vain "0" pitäisi jäädä oikealle puolelle;
• käytä kaavaa juurille:

Otetaan esimerkki siitä, miten kaavan avulla voidaan löytää toisen asteen yhtälön juuret. Ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö.

X 2-3 x 4 = 0

Yhtälö "x 2 - 3x - 4 = 0" on jo pienennetty yleiseen muotoon "ax 2 + bx + c = 0" eikä vaadi lisä yksinkertaistuksia. Sen ratkaisemiseksi meidän on vain haettava kaava toisen asteen yhtälön juurien löytämiseksi.

Määritellään kertoimet "a", "b" ja "c" tälle yhtälölle.

Sen avulla ratkaistaan ​​kaikki toisen asteen yhtälöt.

Kaavassa "x 1; 2 =" radikaali -ilmaisu korvataan usein
"B 2 - 4ac" kirjaimella "D" ja sitä kutsutaan syrjiväksi. Syrjijän käsitettä käsitellään tarkemmin oppitunnissa "Mikä on syrjijä".

Harkitse toista esimerkkiä toisen asteen yhtälöstä.

x 2 + 9 + x = 7x

Tässä muodossa olevien kertoimien "a", "b" ja "c" määrittäminen on melko vaikeaa. Tuodaan ensin yhtälö yleiseen muotoon "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9-6x = 0
x 2-6x + 9 = 0

Nyt voit käyttää juurikaavaa.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

On aikoja, jolloin toisen asteen yhtälöissä ei ole juuria. Tämä tilanne ilmenee, kun kaavan juuresta löytyy negatiivinen luku.

Tämän matematiikkaohjelman avulla voit ratkaista toisen asteen yhtälö.

Ohjelma ei ainoastaan ​​anna vastausta ongelmaan, vaan näyttää myös ratkaisuprosessin kahdella tavalla:
- käyttämällä syrjintää
- Viestan lauseen käyttäminen (jos mahdollista).

Lisäksi vastaus näytetään täsmällisesti, ei likimääräisesti.
Esimerkiksi yhtälölle \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) vastaus näytetään tässä muodossa:

Tämä ohjelma voi olla hyödyllinen lukioiden vanhemmille oppilaille valmistautuessaan kokeisiin ja kokeisiin, kun he tarkistavat tietoa ennen tenttiä, vanhemmille, jotta he voivat hallita monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä sinun on liian kallista palkata opettaja tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtävät mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit myös käyttää ohjelmiamme yksityiskohtaisella ratkaisulla.

Tällä tavalla voit suorittaa oman opetuksesi ja / tai nuorempien sisarustesi opetuksen samalla, kun koulutustaso ratkaistavien ongelmien alalla kasvaa.

Jos et tunne neliöpolynomin syöttämistä koskevia sääntöjä, suosittelemme tutustumaan niihin.

Säännöt neliöpolynomin syöttämiseksi

Mitä tahansa latinalaista kirjainta voidaan käyttää muuttujana.
Esimerkiksi: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) jne.

Numerot voidaan syöttää kokonaisina tai murto -osina.
Lisäksi murtoluvut voidaan syöttää paitsi desimaalimuodossa myös tavallisen murtoluvun muodossa.

Säännöt desimaalimurtojen syöttämiseksi.
Desimaalimurroissa murto -osa kokonaisuudesta voidaan erottaa joko pisteellä tai pilkulla.
Voit esimerkiksi syöttää desimaaleja seuraavasti: 2,5x - 3,5x ^ 2

Säännöt tavallisten murtolukujen syöttämiseen.
Vain kokonaislukua voidaan käyttää osoittimena, nimittäjänä ja murto -osan kokonaisena osana.

Nimittäjä ei voi olla negatiivinen.

Kun syötät numeerisen murto -osan, osoitin erotetaan nimittäjästä jakamerkillä: /
Koko osa erotetaan murto -osasta ampersandilla: &
Tulo: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Tulos: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Kun kirjoitat lausekkeen kiinnikkeitä voidaan käyttää... Tässä tapauksessa toisen asteen yhtälön ratkaisemisessa yksinkertaistetaan ensin lisätty lauseke.
Esimerkki: 1/2 (y-1) (y + 1)-(5y-10 & 1/2)

Todettiin, että joitain tämän ongelman ratkaisemiseen tarvittavia komentosarjoja ei ladattu, eikä ohjelma välttämättä toimi.
Ehkä sinulla on AdBlock käytössä.
Poista tässä tapauksessa se käytöstä ja päivitä sivu.

Koska On monia ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu näkyy alla.
Odota, ole hyvä sek ...

Jos sinä huomannut virheen päätöksessään, voit kirjoittaa tästä palautelomakkeelle.
Älä unohda ilmoita mikä tehtävä sinä päätät ja mitä kirjoita kenttiin.

Pelimme, palapelit, emulaattorit:

Vähän teoriaa.

Toisen asteen yhtälö ja sen juuret. Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Jokainen yhtälö
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
on muoto
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
missä x on muuttuja, a, b ja c ovat numeroita.
Ensimmäisessä yhtälössä a = -1, b = 6 ja c = 1,4, toisessa a = 8, b = -7 ja c = 0, kolmannessa a = 1, b = 0 ja c = 4/9. Tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan toisen asteen yhtälöt.

Määritelmä.
Toisen asteen yhtälö on kaava ax 2 + bx + c = 0, jossa x on muuttuja, a, b ja c ovat joitain numeroita ja \ (a \ neq 0 \).

Numerot a, b ja c ovat toisen asteen yhtälön kertoimet. Numeroa a kutsutaan ensimmäiseksi kerroimeksi, numeroa b - toiseksi kerroimeksi ja lukua c - vapaaksi termiksi.

Kussakin kaavan ax 2 + bx + c = 0 yhtälössä, missä \ (a \ neq 0 \), muuttujan x suurin teho on neliö. Siksi nimi: toisen asteen yhtälö.

Huomaa, että toisen asteen yhtälöä kutsutaan myös toisen asteen yhtälöksi, koska sen vasen puoli on toisen asteen polynomi.

Kvadratiivista yhtälöä, jossa kerroin x 2 on 1, kutsutaan pienennetty toisen asteen yhtälö... Esimerkiksi pienennetyt toisen asteen yhtälöt ovat yhtälöitä
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Jos toisen asteen yhtälössä ax 2 + bx + c = 0 ainakin yksi kertoimista b tai c on nolla, niin tällaista yhtälöä kutsutaan epätäydellinen toisen asteen yhtälö... Joten yhtälöt -2x 2 + 7 = 0, 3x 2-10x = 0, -4x 2 = 0 ovat epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Ensimmäisessä niistä b = 0, toisessa c = 0, kolmannessa b = 0 ja c = 0.

Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt ovat kolmenlaisia:
1) kirves 2 + c = 0, missä \ (c \ neq 0 \);
2) kirves 2 + bx = 0, missä \ (b \ neq 0 \);
3) kirves 2 = 0.

Tarkastellaan jokaisen tällaisen tyypin yhtälöiden ratkaisua.

Jos haluat ratkaista epätäydellisen toisen asteen yhtälön muotoon ax 2 + c = 0 for \ (c \ neq 0 \), siirrä sen vapaa termi oikealle puolelle ja jaa yhtälön molemmat puolet seuraavalla:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Nuoli oikealle x_ (1,2) = \ pm \ sqrt ( - \ frac (c) (a)) \)

Koska \ (c \ neq 0 \), niin \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Jos \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), yhtälöllä on kaksi juurta.

Jos \ (- \ frac (c) (a) Ratkaista epätäydellinen toisen asteen yhtälö, jonka muoto on aks 2 + bx = 0 ja jonka (vaste) on \ (b \ neq 0 \), ja saadaan yhtälö
\ (x (ax + b) = 0 \ Oikea nuoli vasemmalle \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ Rightrerow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ right. \)

Näin ollen epätäydellisellä toisen asteen yhtälöllä muodolla ax 2 + bx = 0 \ (b \ neq 0 \) on aina kaksi juurta.

Muoton ax 2 = 0 epätäydellinen toisen asteen yhtälö vastaa yhtälöä x 2 = 0, ja siksi sillä on ainutlaatuinen juuri 0.

Kaava toisen asteen yhtälön juurille

Tarkastellaanpa nyt sitä, kuinka ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöt, joissa sekä tuntemattomien kertoimet että vapaa termi ovat nollasta poikkeavia.

Ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö yleisessä muodossa ja tuloksena saadaan kaava juurille. Sitten tätä kaavaa voidaan soveltaa minkä tahansa toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen.

Ratkaise toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0

Jakamalla molemmat sen osat a: lla saadaan vastaava redusoitu toisen asteen yhtälö
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Muunnamme tämän yhtälön valitsemalla binomin neliön:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ vasen (\ frac (b) (2a) \ oikea) ^ 2- \ vasen (\ frac (b) (2a) \ oikea) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Oikea nuoli \)

Radikaalia ilmaisua kutsutaan toisen asteen yhtälön erottelija ax 2 + bx + c = 0 ("erottava" latinaksi - syrjivä). Se on merkitty kirjaimella D, ts.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Nyt, käyttämällä syrjijän merkintää, kirjoitamme kaavan toisen asteen yhtälön juurille:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), jossa \ (D = b ^ 2-4ac \)

On selvää, että:
1) Jos D> 0, toisen asteen yhtälöllä on kaksi juurta.
2) Jos D = 0, toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Jos D Näin ollen eriarvoisen arvon mukaan toisen asteen yhtälöllä voi olla kaksi juurta (D> 0), yksi juuri (D = 0) tai ei juuria (D: lle Ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälö käyttämällä tätä on suositeltavaa edetä seuraavasti:
1) laske erottava tekijä ja vertaa sitä nollaan;
2) jos erottelija on positiivinen tai yhtä suuri kuin nolla, käytä juurikaavaa, jos erotin on negatiivinen, kirjoita muistiin, ettei juuria ole.

Vieta -lause

Annetulla asteen yhtälöllä ax 2-7x + 10 = 0 on juuret 2 ja 5. Juurien summa on 7 ja tuote on 10. Näemme, että juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella -merkki, ja juurien tuote on sama kuin vapaa termi. Jokaisella annetulla toisen asteen yhtälöllä, jolla on juuret, on tämä ominaisuus.

Annetun toisen asteen yhtälön juurten summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä, ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi.

Nuo. Vietan lause sanoo, että alennetun toisen asteen yhtälön x 2 + px + q = 0 juurilla x 1 ja x 2 on ominaisuus:
\ (\ vasen \ (\ aloita (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)