Tylsä kolmio: sivujen pituus, kulmien summa. Rajoitettu tylpä kolmio

Koti / Psykologia

Ehkä geometrian alkeellisin, yksinkertaisin ja mielenkiintoisin hahmo on kolmio. Lukiokurssilla tutkitaan sen perusominaisuuksia, mutta joskus tieto tästä aiheesta on puutteellista. Kolmioiden tyypit määrittävät aluksi niiden ominaisuudet. Mutta tämä näkemys on edelleen ristiriitainen. Siksi tarkastellaan nyt tätä aihetta hieman yksityiskohtaisemmin.

Kolmioiden tyypit riippuvat kulmien astemittasta. Nämä luvut ovat teräviä, suorakaiteen muotoisia ja tylpäitä. Jos kaikki kulmat eivät ylitä 90 astetta, lukua voidaan turvallisesti kutsua akuutiksi. Jos vähintään yksi kolmion kulma on 90 astetta, kyseessä on suorakaiteen muotoinen alalaji. Vastaavasti kaikissa muissa tapauksissa tarkasteltavaa kutsutaan tylpäkulmaiseksi.

Akuuttikulmaisille alatyypeille on monia ongelmia. Erottava piirre on puolittajien, mediaanien ja korkeuksien leikkauspisteiden sisäinen sijainti. Muissa tapauksissa tämä ehto ei välttämättä täyty. Kolmion tyypin määrittäminen ei ole vaikeaa. Riittää, kun tietää esimerkiksi kunkin kulman kosinin. Jos jokin arvo on pienempi kuin nolla, niin kolmio on joka tapauksessa tylppä. Nolla-indikaattorin tapauksessa kuvalla on suora kulma. Kaikki positiiviset arvot kertovat taatusti, että katsot kulmikasta näkymää.

Ei voi olla mainitsematta säännöllistä kolmiota. Tämä on ihanteellinen näkymä, jossa kaikki mediaanien, puolittajien ja korkeuksien leikkauspisteet ovat samat. Myös piirretyn ja rajatun ympyrän keskipiste on samassa paikassa. Ongelmien ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä vain yksi puoli, koska kulmat annetaan aluksi sinulle ja kaksi muuta puolta tunnetaan. Eli luku määritetään vain yhdellä parametrilla. On Niiden pääominaisuus on kahden sivun ja kulmien tasa-arvo pohjassa.

Joskus herää kysymys, onko olemassa kolmiota, jolla on tietyt sivut. Kysyt todella, sopiiko annettu kuvaus päälajiin. Esimerkiksi, jos kahden sivun summa on pienempi kuin kolmas, niin todellisuudessa tällaista lukua ei ole ollenkaan. Jos tehtävässä pyydetään löytämään kolmion kulmien kosinit, jonka sivut ovat 3,5,9, niin ilmeinen voidaan selittää ilman monimutkaisia matemaattisia tekniikoita. Oletetaan, että haluat päästä pisteestä A pisteeseen B. Etäisyys suorassa viivalla on 9 kilometriä. Muistat kuitenkin, että sinun täytyy mennä pisteeseen C kaupassa. Etäisyys A:sta C:hen on 3 kilometriä ja C:stä B:hen 5. Näin käy ilmi, että liikkeen läpi liikkuessa kävelee kilometri vähemmän. Mutta koska piste C ei sijaitse suoralla AB, joudut kävelemään ylimääräistä matkaa. Tässä on ristiriita. Tämä on tietysti ehdollinen selitys. Matematiikka tietää useamman kuin yhden tavan osoittaa, että kaikentyyppiset kolmiot noudattavat perusidentiteettiä. Siinä sanotaan, että kahden sivun summa on suurempi kuin kolmannen pituus.

Kaikilla tyypeillä on seuraavat ominaisuudet:

1) Kaikkien kulmien summa on 180 astetta.

2) Aina on ortosentti - kaikkien kolmen korkeuden leikkauspiste.

3) Kaikki kolme sisäkulmien kärjestä vedettyä mediaania leikkaavat yhdessä paikassa.

4) Ympyrä voidaan piirtää minkä tahansa kolmion ympärille. Voit myös piirtää ympyrän niin, että siinä on vain kolme kosketuspistettä eikä se ulotu ulkoreunojen ulkopuolelle.

Nyt tunnet perusominaisuudet, jotka erityyppisillä kolmioilla on. Tulevaisuudessa on tärkeää ymmärtää, mitä olet tekemisissä ongelman ratkaisemisessa.

Tänään olemme menossa Geometrian maahan, jossa tutustumme erityyppisiin kolmioihin.

Harkitse geometrisia muotoja ja etsi niistä "ylimääräinen" (kuva 1).

Riisi. 1. Esimerkki esimerkiksi

Näemme, että kuviot nro 1, 2, 3, 5 ovat nelikulmioita. Jokaisella niistä on oma nimi (kuva 2).

Riisi. 2. Nelisivut

Tämä tarkoittaa, että "ylimääräinen" kuva on kolmio (kuva 3).

Riisi. 3. Esimerkki esim

Kolmio on kuvio, joka koostuu kolmesta pisteestä, jotka eivät ole samalla suoralla, ja kolmesta janasta, jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain.

Pisteitä kutsutaan kolmion kärjet, segmentit - hänen juhlia. Kolmion sivut muodostuvat Kolmion kärjessä on kolme kulmaa.

Kolmion tärkeimmät ominaisuudet ovat kolme sivua ja kolme kulmaa. Kulman koon mukaan kolmiot ovat terävä, suorakaiteen muotoinen ja tylppä.

Kolmiota kutsutaan teräväkulmaiseksi, jos sen kaikki kolme kulmaa ovat teräviä, eli alle 90° (kuva 4).

Riisi. 4. Terävä kolmio

Kolmiota kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos yksi sen kulmista on 90° (kuva 5).

Riisi. 5. Suora kolmio

Kolmiota kutsutaan tylpäksi, jos yksi sen kulmista on tylppä eli yli 90° (kuva 6).

Riisi. 6. Tylsä kolmio

Tasasivuisten sivujen lukumäärän perusteella kolmiot ovat tasasivuisia, tasakylkisiä, skaalaa.

Tasakylkinen kolmio on sellainen, jonka kaksi sivua ovat yhtä suuret (kuva 7).

Riisi. 7. Tasakylkinen kolmio

Näitä puolia kutsutaan lateraalinen, Kolmas puoli - perusta. Tasakylkisessä kolmiossa kantakulmat ovat yhtä suuret.

On tasakylkisiä kolmioita akuutti ja tylsä(Kuva 8) .

Riisi. 8. Terävät ja tylpät tasakylkiset kolmiot

Tasasivuinen kolmio on sellainen, jonka kaikki kolme sivua ovat yhtä suuret (kuva 9).

Riisi. 9. Tasasivuinen kolmio

Tasasivuisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Tasasivuiset kolmiot Aina teräväkulmainen.

Skaala on kolmio, jonka kaikki kolme sivua ovat eripituisia (kuva 10).

Riisi. 10. Asteikkokolmio

Suorita tehtävä loppuun. Jaa nämä kolmiot kolmeen ryhmään (kuva 11).

Riisi. 11. Tehtävän kuva

Ensin jaetaan kulmien koon mukaan.

Terävät kolmiot: nro 1, nro 3.

Suorat kolmiot: nro 2, nro 6.

Tylppät kolmiot: nro 4, nro 5.

Jaamme samat kolmiot ryhmiin yhtäläisten sivujen lukumäärän mukaan.

Skaalauskolmiot: nro 4, nro 6.

Tasakylkiset kolmiot: nro 2, nro 3, nro 5.

Tasasivuinen kolmio: nro 1.

Katso kuvat.

Mieti, mistä langanpalasta kukin kolmio on tehty (kuva 12).

Riisi. 12. Tehtävän kuva

Voit ajatella näin.

Ensimmäinen lanka on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joten voit tehdä siitä tasasivuisen kolmion. Hän näkyy kuvassa kolmantena.

Toinen lanka on jaettu kolmeen eri osaan, joten siitä voidaan tehdä skaalaa-kolmio. Se näkyy kuvassa ensimmäisenä.

Kolmas lanka on jaettu kolmeen osaan, joissa kahdella osalla on sama pituus, mikä tarkoittaa, että siitä voidaan tehdä tasakylkinen kolmio. Kuvassa hän näkyy toisena.

Tänään tunnilla opimme erityyppisistä kolmioista.

Bibliografia

MI. Moreau, M.A. Bantova ym. Matematiikka: Oppikirja. 3. luokka: kahdessa osassa, osa 1. - M.: "Valaistuminen", 2012.
MI. Moreau, M.A. Bantova ym. Matematiikka: Oppikirja. 3. luokka: kahdessa osassa, osa 2. - M.: "Valaistuminen", 2012.
MI. Moro. Matematiikan tunnit: Metodologiset suositukset opettajille. 3. luokka. - M.: Koulutus, 2012.
Sääntelyasiakirja. Oppimistulosten seuranta ja arviointi. - M.: "Valaistuminen", 2011.
"Venäjän koulu": Ohjelmat ala-asteelle. - M.: "Valaistuminen", 2011.
SI. Volkova. Matematiikka: koepaperit. 3. luokka. - M.: Koulutus, 2012.
V.N. Rudnitskaja. Testit. - M.: "Koe", 2012.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Kotitehtävät

1. Täydennä lauseet.

a) Kolmio on kuvio, joka koostuu ... jotka eivät ole samalla suoralla, ja ... jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain.

b) Pisteitä kutsutaan … , segmentit - hänen … . Kolmion sivut muodostuvat kolmion kärkipisteistä ….

c) Kulman koon mukaan kolmiot ovat ... , ... , ... .

d) Kolmiot ovat yhtäläisten sivujen lukumäärän perusteella ... , ... , ... .

2. Piirrä

a) suorakulmainen kolmio;

b) terävä kolmio;

c) tylppä kolmio;

d) tasasivuinen kolmio;

e) skaleenikolmio;

e) tasakylkinen kolmio.

3. Luo ystävillesi tehtävä oppitunnin aiheesta.

Tänään olemme menossa Geometrian maahan, jossa tutustumme erityyppisiin kolmioihin.

Harkitse geometrisia muotoja ja etsi niistä "ylimääräinen" (kuva 1).

Riisi. 1. Esimerkki esimerkiksi

Näemme, että kuviot nro 1, 2, 3, 5 ovat nelikulmioita. Jokaisella niistä on oma nimi (kuva 2).

Riisi. 2. Nelisivut

Tämä tarkoittaa, että "ylimääräinen" kuva on kolmio (kuva 3).

Riisi. 3. Esimerkki esim

Kolmio on kuvio, joka koostuu kolmesta pisteestä, jotka eivät ole samalla suoralla, ja kolmesta janasta, jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain.

Pisteitä kutsutaan kolmion kärjet, segmentit - hänen juhlia. Kolmion sivut muodostuvat Kolmion kärjessä on kolme kulmaa.

Kolmion tärkeimmät ominaisuudet ovat kolme sivua ja kolme kulmaa. Kulman koon mukaan kolmiot ovat terävä, suorakaiteen muotoinen ja tylppä.

Kolmiota kutsutaan teräväkulmaiseksi, jos sen kaikki kolme kulmaa ovat teräviä, eli alle 90° (kuva 4).

Riisi. 4. Terävä kolmio

Kolmiota kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi, jos yksi sen kulmista on 90° (kuva 5).

Riisi. 5. Suora kolmio

Kolmiota kutsutaan tylpäksi, jos yksi sen kulmista on tylppä eli yli 90° (kuva 6).

Riisi. 6. Tylsä kolmio

Tasasivuisten sivujen lukumäärän perusteella kolmiot ovat tasasivuisia, tasakylkisiä, skaalaa.

Tasakylkinen kolmio on sellainen, jonka kaksi sivua ovat yhtä suuret (kuva 7).

Riisi. 7. Tasakylkinen kolmio

Näitä puolia kutsutaan lateraalinen, Kolmas puoli - perusta. Tasakylkisessä kolmiossa kantakulmat ovat yhtä suuret.

On tasakylkisiä kolmioita akuutti ja tylsä(Kuva 8) .

Riisi. 8. Terävät ja tylpät tasakylkiset kolmiot

Tasasivuinen kolmio on sellainen, jonka kaikki kolme sivua ovat yhtä suuret (kuva 9).

Riisi. 9. Tasasivuinen kolmio

Tasasivuisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Tasasivuiset kolmiot Aina teräväkulmainen.

Skaala on kolmio, jonka kaikki kolme sivua ovat eripituisia (kuva 10).

Riisi. 10. Asteikkokolmio

Suorita tehtävä loppuun. Jaa nämä kolmiot kolmeen ryhmään (kuva 11).

Riisi. 11. Tehtävän kuva

Ensin jaetaan kulmien koon mukaan.

Terävät kolmiot: nro 1, nro 3.

Suorat kolmiot: nro 2, nro 6.

Tylppät kolmiot: nro 4, nro 5.

Jaamme samat kolmiot ryhmiin yhtäläisten sivujen lukumäärän mukaan.

Skaalauskolmiot: nro 4, nro 6.

Tasakylkiset kolmiot: nro 2, nro 3, nro 5.

Tasasivuinen kolmio: nro 1.

Katso kuvat.

Mieti, mistä langanpalasta kukin kolmio on tehty (kuva 12).

Riisi. 12. Tehtävän kuva

Voit ajatella näin.

Ensimmäinen lanka on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joten voit tehdä siitä tasasivuisen kolmion. Hän näkyy kuvassa kolmantena.

Toinen lanka on jaettu kolmeen eri osaan, joten siitä voidaan tehdä skaalaa-kolmio. Se näkyy kuvassa ensimmäisenä.

Kolmas lanka on jaettu kolmeen osaan, joissa kahdella osalla on sama pituus, mikä tarkoittaa, että siitä voidaan tehdä tasakylkinen kolmio. Kuvassa hän näkyy toisena.

Tänään tunnilla opimme erityyppisistä kolmioista.

Bibliografia

MI. Moreau, M.A. Bantova ym. Matematiikka: Oppikirja. 3. luokka: kahdessa osassa, osa 1. - M.: "Valaistuminen", 2012.
MI. Moreau, M.A. Bantova ym. Matematiikka: Oppikirja. 3. luokka: kahdessa osassa, osa 2. - M.: "Valaistuminen", 2012.
MI. Moro. Matematiikan tunnit: Metodologiset suositukset opettajille. 3. luokka. - M.: Koulutus, 2012.
Sääntelyasiakirja. Oppimistulosten seuranta ja arviointi. - M.: "Valaistuminen", 2011.
"Venäjän koulu": Ohjelmat ala-asteelle. - M.: "Valaistuminen", 2011.
SI. Volkova. Matematiikka: koepaperit. 3. luokka. - M.: Koulutus, 2012.
V.N. Rudnitskaja. Testit. - M.: "Koe", 2012.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Kotitehtävät

1. Täydennä lauseet.

a) Kolmio on kuvio, joka koostuu ... jotka eivät ole samalla suoralla, ja ... jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain.

b) Pisteitä kutsutaan … , segmentit - hänen … . Kolmion sivut muodostuvat kolmion kärkipisteistä ….

c) Kulman koon mukaan kolmiot ovat ... , ... , ... .

d) Kolmiot ovat yhtäläisten sivujen lukumäärän perusteella ... , ... , ... .

2. Piirrä

a) suorakulmainen kolmio;

b) terävä kolmio;

c) tylppä kolmio;

d) tasasivuinen kolmio;

e) skaleenikolmio;

e) tasakylkinen kolmio.

3. Luo ystävillesi tehtävä oppitunnin aiheesta.

Yksinkertaisin monikulmio, jota koulussa tutkitaan, on kolmio. Se on opiskelijoille ymmärrettävämpää ja siinä on vähemmän vaikeuksia. Huolimatta siitä, että on olemassa erilaisia kolmioita, joilla on erityisiä ominaisuuksia.

Mitä muotoa kutsutaan kolmioksi?

Muodostuu kolmesta pisteestä ja segmentistä. Ensimmäisiä kutsutaan pisteiksi, toisia sivuiksi. Lisäksi kaikki kolme segmenttiä on yhdistettävä siten, että niiden välille muodostuu kulmia. Tästä johtuu "kolmio" -hahmon nimi.

Erot nimissä kulmissa

Koska ne voivat olla teräviä, tylpäitä ja suoria, kolmioiden tyypit määräytyvät näiden nimien mukaan. Näin ollen tällaisia lukuja on kolme ryhmää.

Ensimmäinen. Jos kaikki kolmion kulmat ovat teräviä, sitä kutsutaan teräväksi. Kaikki on loogista.

Toinen. Yksi kulmista on tylppä, mikä tarkoittaa, että kolmio on tylppä. Se ei voisi olla yksinkertaisempaa.

Kolmas. On olemassa 90 astetta vastaava kulma, jota kutsutaan suoraksi kulmaksi. Kolmiosta tulee suorakaiteen muotoinen.

Nimierot sivuilla

Sivujen ominaisuuksista riippuen erotetaan seuraavat kolmiot:

yleinen tapaus on scalene, jossa kaikki sivut ovat mielivaltaisen pituisia;

tasakylkiset, joiden kahdella sivulla on samat numeroarvot;

tasasivuinen, sen kaikkien sivujen pituudet ovat samat.

Jos ongelma ei määritä tietyntyyppistä kolmiota, sinun on piirrettävä mielivaltainen kolmio. Jossa kaikki kulmat ovat teräviä ja sivuilla eri pituisia.

Kaikille kolmioille yhteiset ominaisuudet

Jos lasket yhteen kolmion kaikki kulmat, saat luvun, joka on yhtä suuri kuin 180º. Eikä sillä ole väliä minkä tyyppinen se on. Tämä sääntö pätee aina.
Kolmion minkä tahansa sivun numeerinen arvo on pienempi kuin kaksi muuta yhteenlaskettua. Lisäksi se on suurempi kuin niiden ero.
Jokaisella ulkokulmalla on arvo, joka saadaan lisäämällä kaksi sisäkulmaa, jotka eivät ole sen vieressä. Lisäksi se on aina suurempi kuin sen vieressä oleva sisäinen.
Pienin kulma on aina vastapäätä kolmion pienempää sivua. Ja päinvastoin, jos sivu on suuri, kulma on suurin.

Nämä ominaisuudet ovat aina voimassa riippumatta siitä, minkä tyyppisiä kolmioita tehtävissä tarkastellaan. Kaikki loput johtuvat tietyistä ominaisuuksista.

Tasakylkisen kolmion ominaisuudet

Pohjan vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret.
Korkeus, joka on vedetty pohjaan, on myös mediaani ja puolittaja.
Kolmion sivusivuille rakennetut korkeudet, mediaanit ja puolittajat ovat vastaavasti yhtä suuret.

Tasasivuisen kolmion ominaisuudet

Jos tällainen luku on, niin kaikki hieman yllä kuvatut ominaisuudet pitävät paikkansa. Koska tasakylki on aina tasakylkinen. Mutta ei päinvastoin; tasakylkinen kolmio ei välttämättä ole tasasivuinen.

Kaikki sen kulmat ovat keskenään yhtä suuret ja niiden arvo on 60º.
Mikä tahansa tasasivuisen kolmion mediaani on sen korkeus ja puolittaja. Lisäksi ne ovat kaikki samanarvoisia keskenään. Niiden arvojen määrittämiseksi on kaava, joka koostuu sivun ja 3:n neliöjuuren tulosta jaettuna kahdella.

Suorakulmaisen kolmion ominaisuudet

Kaksi terävää kulmaa laskevat yhteen 90º.
Hypotenuusan pituus on aina suurempi kuin minkään jalan pituus.
Hypotenuusaan vedetyn mediaanin numeerinen arvo on yhtä suuri kuin sen puolikas.
Jalka on sama arvo, jos se on 30º kulman vastapäätä.
Korkeudella, joka on vedetty kärjestä arvolla 90º, on tietty matemaattinen riippuvuus jaloista: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Tässä: a, b - jalat, n - korkeus.

Ongelmia erityyppisten kolmioiden kanssa

Nro 1. Annettu tasakylkinen kolmio. Sen ympärysmitta on tiedossa ja se on 90 cm. Meidän on selvitettävä sen sivut. Lisäehtona: sivupuoli on 1,2 kertaa pienempi kuin pohja.

Kehyksen arvo riippuu suoraan määristä, jotka on löydettävä. Kaikkien kolmen sivun summa antaa 90 cm. Nyt sinun tulee muistaa kolmion merkki, jonka mukaan se on tasakylkinen. Eli molemmat puolet ovat tasa-arvoisia. Voit luoda yhtälön kahdella tuntemattomalla: 2a + b = 90. Tässä a on sivu, b on kanta.

Nyt on lisäehdon aika. Sen jälkeen saadaan toinen yhtälö: b = 1.2a. Voit korvata tämän lausekkeen ensimmäisellä. Osoittautuu: 2a + 1.2a = 90. Muunnoksilla: 3.2a = 90. Siten a = 28.125 (cm). Nyt on helppo selvittää perusteet. Tämä on parasta tehdä toisesta ehdosta: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Voit tarkistaa lisäämällä kolme arvoa: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Oikein.

Vastaus: Kolmion sivut ovat 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

Nro 2. Tasasivuisen kolmion sivu on 12 cm. Sinun on laskettava sen korkeus.

Ratkaisu. Vastauksen löytämiseksi riittää palata hetkeen, jossa kolmion ominaisuudet kuvattiin. Tämä on kaava tasasivuisen kolmion korkeuden, mediaanin ja puolittajan löytämiseksi.

n = a * √3 / 2, missä n on korkeus ja a on sivu.

Korvaus ja laskeminen antavat seuraavan tuloksen: n = 6 √3 (cm).

Tätä kaavaa ei tarvitse muistaa. Riittää, kun muistat, että korkeus jakaa kolmion kahdeksi suorakaiteen muotoiseksi. Lisäksi se osoittautuu jalaksi, ja siinä oleva hypotenuusa on alkuperäisen sivu, toinen jalka on puolet tunnetusta sivusta. Nyt sinun on kirjoitettava Pythagoraan lause ja johdettava kaava korkeudelle.

Vastaus: korkeus on 6√3 cm.

Nro 3. Kun MKR on kolmio, jossa kulma K on 90 astetta. Sivut MR ja KR ovat tiedossa, ne ovat vastaavasti 30 ja 15 cm. On selvitettävä kulman P arvo.

Ratkaisu. Jos teet piirustuksen, käy selväksi, että MR on hypotenuusa. Lisäksi se on kaksi kertaa suurempi kuin KR:n kylki. Jälleen sinun on käännyttävä ominaisuuksiin. Yksi niistä liittyy kulmiin. Siitä on selvää, että KMR-kulma on 30º. Tämä tarkoittaa, että haluttu kulma P on 60º. Tämä seuraa toisesta ominaisuudesta, jonka mukaan kahden terävän kulman summan on oltava 90º.

Vastaus: kulma P on 60º.

Nro 4. Meidän on löydettävä tasakylkisen kolmion kaikki kulmat. Siitä tiedetään, että ulkoinen kulma kulmasta pohjassa on 110º.

Ratkaisu. Koska vain ulkoinen kulma on annettu, sinun on käytettävä tätä. Se muodostaa taittamattoman kulman sisäisen kulman kanssa. Tämä tarkoittaa, että yhteensä ne antavat 180º. Eli kolmion pohjan kulma on 70º. Koska se on tasakylkinen, toisella kulmalla on sama arvo. On vielä laskettava kolmas kulma. Kaikille kolmioille yhteisen ominaisuuden mukaan kulmien summa on 180º. Tämä tarkoittaa, että kolmas määritellään 180º - 70º - 70º = 40º.

Vastaus: kulmat ovat 70º, 70º, 40º.

Nro 5. Tiedetään, että tasakylkisessä kolmiossa kantaa vastapäätä oleva kulma on 90º. Pohjaan on merkitty piste. Suoraan kulmaan yhdistävä segmentti jakaa sen suhteessa 1:4. Sinun on selvitettävä pienemmän kolmion kaikki kulmat.

Ratkaisu. Yksi kulmista voidaan määrittää välittömästi. Koska kolmio on suorakulmainen ja tasakylkinen, ne, jotka sijaitsevat sen pohjalla, ovat kukin 45º, eli 90º/2.

Toinen niistä auttaa sinua löytämään ehdossa tunnetun suhteen. Koska se on 1-4, osat, joihin se on jaettu, ovat vain 5. Tämä tarkoittaa, että kolmion pienemmän kulman selvittämiseksi tarvitset 90º/5 = 18º. Vielä on selvitettävä kolmas. Tätä varten sinun on vähennettävä 45º ja 18º 180º:sta (kolmion kaikkien kulmien summa). Laskelmat ovat yksinkertaisia, ja saat: 117º.

Kolmio - määritelmä ja yleiset käsitteet

Kolmio on yksinkertainen monikulmio, joka koostuu kolmesta sivusta ja jolla on sama määrä kulmia. Sen tasoja rajoittaa 3 pistettä ja 3 segmenttiä, jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain.

Minkä tahansa kolmion kaikki kärjet sen tyypistä riippumatta on merkitty isoilla latinalaisilla kirjaimilla, ja sen sivut on kuvattu vastaavilla vastakkaisten kärkien merkinnöillä, vain ei isoilla kirjaimilla, vaan pienillä kirjaimilla. Joten esimerkiksi kolmiolla, jonka kärjet on merkitty A, B ja C, on sivut a, b, c.

Jos tarkastelemme kolmiota euklidisessa avaruudessa, se on geometrinen kuvio, joka on muodostettu käyttämällä kolmea segmenttiä, jotka yhdistävät kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla.

Katso huolellisesti yllä olevaa kuvaa. Siinä pisteet A, B ja C ovat tämän kolmion kärjet, ja sen janoja kutsutaan kolmion sivuiksi. Tämän monikulmion jokainen kärki muodostaa kulmia sen sisällä.

Kolmioiden tyypit

Kolmioiden kulmien koon mukaan ne jaetaan sellaisiin lajikkeisiin kuin: Suorakulmainen;
Akuutti kulmikas;
Tylppä.

Suorakulmaiset kolmiot sisältävät ne, joissa on yksi suora kulma ja kahdella muulla on terävä kulma.

Terävät kolmiot ovat niitä, joissa kaikki sen kulmat ovat teräviä.

Ja jos kolmiossa on yksi tylppä kulma ja kaksi muuta terävää kulmaa, niin tällainen kolmio luokitellaan tylpäksi.

Jokainen teistä ymmärtää erittäin hyvin, että kaikilla kolmioilla ei ole yhtäläisiä sivuja. Ja sen sivujen pituuden mukaan kolmiot voidaan jakaa:

Tasakylkinen;
Tasasivuinen;
Monipuolinen.

Tehtävä: Piirrä erityyppisiä kolmioita. Määrittele ne. Mitä eroa näet niiden välillä?

Kolmioiden perusominaisuudet

Vaikka nämä yksinkertaiset monikulmiot voivat poiketa toisistaan kulmien tai sivujen koon suhteen, jokaisella kolmiolla on tälle kuviolle ominaiset perusominaisuudet.

Missä tahansa kolmiossa:

Sen kaikkien kulmien yhteissumma on 180º.
Jos se kuuluu tasasivuisiin, niin jokainen sen kulmista on 60º.
Tasasivuisella kolmiolla on yhtäläiset ja yhtä suuret kulmat.
Mitä pienempi monikulmion sivu on, sitä pienempi on sitä vastapäätä oleva kulma, ja päinvastoin, mitä suurempi kulma on suurempaa sivua vastapäätä.
Jos sivut ovat yhtä suuret, niitä vastapäätä ovat yhtä suuret kulmat ja päinvastoin.
Jos otamme kolmion ja jatkamme sen sivua, päädymme ulkoiseen kulmaan. Se on yhtä suuri kuin sisäkulmien summa.
Missä tahansa kolmiossa sen sivu, riippumatta siitä, minkä valitset, on silti pienempi kuin kahden muun sivun summa, mutta suurempi kuin niiden ero:

1. a< b + c, a >b–c;
2.b< a + c, b >a–c;
3. c< a + b, c >a–b.

Harjoittele

Taulukko näyttää jo tunnetut kaksi kolmion kulmaa. Kun tiedät kaikkien kulmien kokonaissumman, etsi kolmion kolmas kulma ja syötä se taulukkoon:

1. Kuinka monta astetta kolmannella kulmalla on?
2. Mihin kolmioon se kuuluu?

Kolmioiden vastaavuustestit

allekirjoitan

II merkki

III merkki

Kolmion korkeus, puolittaja ja mediaani

Kolmion korkeus - kohtisuoraa, joka on vedetty kuvan kärjestä sen vastakkaiselle puolelle, kutsutaan kolmion korkeudeksi. Kaikki kolmion korkeudet leikkaavat yhdessä pisteessä. Kolmion kaikkien kolmen korkeuden leikkauspiste on sen ortosentti.

Tietystä kärjestä piirretty ja sen vastakkaisen sivun keskeltä yhdistävä segmentti on mediaani. Mediaanilla, samoin kuin kolmion korkeuksilla, on yksi yhteinen leikkauspiste, niin sanottu kolmion painopiste tai painopiste.

Kolmion puolittaja on jana, joka yhdistää kulman kärjen ja vastakkaisen puolen pisteen ja jakaa myös tämän kulman puoliksi. Kaikki kolmion puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsutaan kolmioon piirretyn ympyrän keskipisteeksi.

Janaa, joka yhdistää kolmion kahden sivun keskipisteet, kutsutaan keskiviivaksi.

Historiallinen viittaus

Kolmion kaltainen hahmo tunnettiin muinaisina aikoina. Tämä luku ja sen ominaisuudet mainittiin egyptiläisissä papyruksissa neljä tuhatta vuotta sitten. Hieman myöhemmin Pythagoran lauseen ja Heronin kaavan ansiosta kolmion ominaisuuksien tutkimus siirtyi korkeammalle tasolle, mutta silti tämä tapahtui yli kaksi tuhatta vuotta sitten.

1400-1600-luvuilla aloitettiin paljon tutkimusta kolmion ominaisuuksista, ja sen seurauksena syntyi tiede, kuten planimetria, jota kutsuttiin "uusi kolmion geometria".

Venäläinen tiedemies N.I. Lobachevsky antoi valtavan panoksen kolmioiden ominaisuuksien tuntemiseen. Hänen töitään sovellettiin myöhemmin matematiikassa, fysiikassa ja kybernetiikassa.

Kolmioiden ominaisuuksien tuntemisen ansiosta syntyi sellainen tiede kuin trigonometria. Se osoittautui tarpeelliseksi ihmiselle hänen käytännön tarpeissaan, koska sen käyttö on yksinkertaisesti välttämätöntä karttoja laadittaessa, alueita mitattaessa ja jopa erilaisia mekanismeja suunniteltaessa.

Mikä on tunnetuin kolmio, jonka tiedät? Tämä on tietysti Bermudan kolmio! Se sai tämän nimen 1950-luvulla pisteiden (kolmion kärkien) maantieteellisen sijainnin vuoksi, jonka sisällä olemassa olevan teorian mukaan siihen liittyviä poikkeavuuksia syntyi. Bermudan kolmion kärjet ovat Bermuda, Florida ja Puerto Rico.

Tehtävä: Mitä teorioita Bermudan kolmiosta olet kuullut?

Tiesitkö, että Lobatševskin teoriassa kolmion kulmia laskettaessa niiden summa on aina pienempi kuin 180º. Riemannin geometriassa kolmion kaikkien kulmien summa on suurempi kuin 180º ja Eukleideen teoksissa 180 astetta.

Kotitehtävät

Ratkaise ristisanatehtävä tietystä aiheesta

Kysymyksiä ristisanatehtävään:

1. Mikä on sen kohtisuoran nimi, joka vedetään kolmion kärjestä vastakkaisella puolella olevaan suoraan?
2. Kuinka yhdellä sanalla voidaan kutsua kolmion sivujen pituuksien summaa?
3. Nimeä kolmio, jonka sivut ovat yhtä suuret?
4. Nimeä kolmio, jonka kulma on 90°?
5. Mikä on kolmion suurimman sivun nimi?
6. Mikä on tasakylkisen kolmion sivun nimi?
7. Niitä on aina kolme missä tahansa kolmiossa.
8. Mikä on kolmion nimi, jonka yksi kulmista ylittää 90°?
9. Sen segmentin nimi, joka yhdistää figuurimme yläosan vastakkaisen sivun keskikohtaan?
10. Yksinkertaisessa monikulmiossa ABC iso kirjain A on...?
11. Mikä on kolmion kulman jakavan janan nimi?

Kysymyksiä kolmioista:

1. Määrittele se.
2. Kuinka monta korkeutta sillä on?
3. Kuinka monta puolittajaa kolmiossa on?
4. Mikä on sen kulmien summa?
5. Millaisia tämän yksinkertaisen monikulmion tyyppejä tunnet?
6. Nimeä kolmioiden pisteet, joita kutsutaan merkittäviksi.
7. Millä laitteella voit mitata kulman?
8. Jos kelloosoittimet näyttävät kelloa 21. Minkä kulman tuntiosoittimet muodostavat?
9. Mihin kulmaan henkilö kääntyy, jos hänelle annetaan komento "vasemmalle", "ympyrä"?
10. Mitä muita määritelmiä tiedät, jotka liittyvät kuvioon, jossa on kolme kulmaa ja kolme sivua?

Aineet > Matematiikka > Matematiikka 7. luokka