Matemaattinen malli on matemaattisten suhteiden järjestelmä - kaavoja, yhtälöitä, epäyhtälöitä jne., jotka heijastavat esineen tai ilmiön olennaisia ​​ominaisuuksia.

Jokainen luonnonilmiö on monimutkaisuudessaan ääretön... Havainnollistakaamme tätä V.N.:n kirjasta otetun esimerkin avulla. Trostnikov "Ihminen ja tieto" (Kustantamo "Science", 1970).

Maallikko muotoilee matemaattisen ongelman seuraavasti: "Kuinka kauan kivi putoaa 200 metrin korkeudesta?" Matemaatikko alkaa luoda oman versionsa ongelmasta jotakuinkin näin: "Oletetaan, että kivi putoaa tyhjyyteen ja painovoiman kiihtyvyys on 9,8 metriä sekunnissa sekunnissa. Sitten..."

- Anna minun- osaa sanoa "asiakas", - En ole tyytyväinen tähän yksinkertaistamiseen. Haluan tietää tarkalleen kuinka kauan kivi putoaa todellisissa olosuhteissa, ei olemattomassa tyhjiössä.

- Hyvä,- matemaatikko on samaa mieltä. - Oletetaan, että kivellä on pallomainen muoto ja halkaisija... Mikä on suunnilleen sen halkaisija?

- Noin viisi senttiä. Mutta se ei ole ollenkaan pallomainen, vaan pitkänomainen.

- Sitten oletamme, että hänon ellipsoidin muotoinen akselin akseleilla neljä, kolme ja kolme senttimetriä ja että hänputoaa niin, että puolipääakseli pysyy pystysuorassa koko ajan ... Ilmanpaineen oletetaan olevan760 mm Hg , täältä löydämme ilman tiheyden...

Jos ongelman esittäjä "ihmiskielellä" ei puutu enempää matemaatikon ajatuksenkulkuun, niin jälkimmäinen antaa numeerisen vastauksen hetken kuluttua. Mutta "kuluttaja" voi vastustaa kuten ennenkin: kivi ei itse asiassa ole ollenkaan ellipsoidinen, ilmanpaine siinä paikassa ja sillä hetkellä ei vastannut 760 mm elohopeaa jne. Mitä matemaatikko vastaa hänelle?

Hän vastaa siihen tarkka ratkaisu todelliseen ongelmaan on yleensä mahdotonta... Eikä vain se kiven muoto joka vaikuttaa ilmanvastukseen, ei voida kuvata millään matemaattisella yhtälöllä; sen pyöriminen lennossa on myös matematiikan ulkopuolella sen monimutkaisuuden vuoksi. Edelleen, ilma ei ole homogeeninen, koska satunnaisten tekijöiden vaikutuksesta siihen syntyy tiheysvaihteluiden vaihteluita. Jos menet vielä syvemmälle, sinun on otettava se huomioon universaalin painovoiman lain mukaan jokainen ruumis vaikuttaa kaikkiin muihin kehoihin... Tästä seuraa, että jopa seinäkellon heiluri muuttaa liikkeellään kiven liikerataa.

Lyhyesti sanottuna, jos haluamme vakavasti tutkia kohteen käyttäytymistä tarkasti, meidän on ensin selvitettävä kaikkien muiden universumin esineiden sijainti ja nopeus. Ja tämä tietysti. mahdotonta.

Tehokkain matemaattinen malli voidaan toteuttaa tietokoneella algoritmisen mallin - ns. "laskentakokeilun" - muodossa (ks. [1], kappale 26).

Tietenkin laskennallisen kokeen tulokset voivat osoittautua vääriksi, jos malli ei ota huomioon joitain tärkeitä todellisuuden puolia.

Joten, kun luot matemaattisen mallin ongelman ratkaisemiseksi, sinun on:

1. korostaa oletuksia, joihin matemaattinen malli perustuu;
2. määrittää, mitä pidetään syöttötietoina ja -tuloksina;
3. kirjoita ylös matemaattiset suhteet, jotka yhdistävät tulokset alkuperäisiin tietoihin.

Matemaattisia malleja rakennettaessa ei läheskään aina ole mahdollista löytää kaavoja, jotka ilmaisevat tarvittavat suureet yksiselitteisesti datan muodossa. Tällaisissa tapauksissa matemaattisia menetelmiä käytetään antamaan vastauksia tietyllä tai toisella tarkkuudella. Ei ole olemassa vain ilmiön matemaattista mallintamista, vaan myös visuaalista täyden mittakaavan mallintamista, joka saadaan näyttämällä nämä ilmiöt tietokonegrafiikalla, ts. eräänlainen "tietokonesarjakuva", joka on kuvattu reaaliajassa, näytetään tutkijan edessä. Näkyvyys on täällä erittäin korkea.

Muut merkinnät

10.06.2016 8.3 Mitkä ovat ohjelmistokehitysprosessin päävaiheet? 8.4 Kuinka tarkistaa ohjelman teksti ennen tietokoneelle menoa?

8.3 Mitkä ovat ohjelmistokehitysprosessin päävaiheet? Ohjelman kehitysprosessi voidaan ilmaista seuraavalla kaavalla: On aivan normaalia, että äskettäin kehitetyssä ohjelmassa on virheitä ...

10.06.2016 8.5 Mitä varten vianetsintä ja testaus ovat? 8.6. Mitä on virheenkorjaus? 8.7 Mitä tietokilpailu ja testaus ovat? 8.8 Mitä testitietojen pitäisi olla? 8.9. Mitkä ovat testausprosessin vaiheet?

8.5 Mitä varten virheenkorjaus ja testaus ovat? Ohjelman virheenkorjaus on prosessi, jossa etsitään ja poistetaan ohjelman virheitä tietokoneella suoritetun ohjelman tulosten perusteella. Testaus…

10.06.2016 8.10. Mitkä ovat yleisimmät ohjelmointivirheet? 8.11. Onko syntaksivirheiden puuttuminen merkki siitä, että ohjelma on oikea? 8.12 Mitä virheitä kääntäjä ei havaitse? 8.13. Mitä ohjelman ylläpito on?

8.10. Mitkä ovat yleisimmät ohjelmointivirheet? Virheitä voidaan tehdä kaikissa ongelman ratkaisun vaiheissa - sen muotoilusta rekisteröintiin. Virhetyypit ja vastaavat esimerkit annetaan ...

Matemaattinen malli b on matemaattinen esitys todellisuudesta.

Matemaattinen mallinnus- matemaattisten mallien rakentamis- ja tutkimisprosessi.

Kaikki luonnon- ja yhteiskuntatieteet, jotka käyttävät matemaattista laitetta, harjoittavat itse asiassa matemaattista mallintamista: ne korvaavat todellisen kohteen sen matemaattisella mallilla ja tutkivat sitten jälkimmäistä.

Määritelmät.

Mikään määritelmä ei voi täysin kattaa tosielämän matemaattisia mallinnustoimintoja. Tästä huolimatta määritelmät ovat hyödyllisiä, koska niissä pyritään tuomaan esiin tärkeimmät piirteet.

Mallin määritelmä A. A. Lyapunovin mukaan: Mallintaminen on kohteen epäsuora käytännöllinen tai teoreettinen tutkimus, jossa ei tutkita suoraan meitä kiinnostavaa kohdetta, vaan jotain apukeinotekoista tai luonnollista järjestelmää:

jossain objektiivisessa vastaavuudessa tunnetun kohteen kanssa;

voi korvata hänet tietyissä suhteissa;

antaa tutkimuksessaan viime kädessä tietoa itse mallinnetusta kohteesta.

Sovetovin ja Jakovlevin oppikirjan mukaan: "Malli on alkuperäisen kohteen korvikeobjekti, joka tarjoaa joidenkin alkuperäisen ominaisuuksien tutkimuksen." "Osen korvaamista toisella, jotta saadaan tietoa alkuperäisen kohteen tärkeimmistä ominaisuuksista malliobjektin avulla, kutsutaan mallintamiseksi." "Matemaattisella mallinnuksella tarkoitamme prosessia, jossa määritetään vastaavuus tietylle matemaattiselle objektille, jota kutsutaan matemaattiseksi malliksi, ja tämän mallin tutkimista, jonka avulla voidaan saada tarkasteltavana olevan todellisen kohteen ominaisuudet. Matemaattisen mallin tyyppi riippuu sekä todellisen kohteen luonteesta että kohteen tutkimustehtävistä ja tämän ongelman ratkaisemisen vaadittavasta luotettavuudesta ja tarkkuudesta.

Samarskin ja Mikhailovin mukaan matemaattinen malli on esineen "ekvivalentti", joka heijastaa matemaattisessa muodossa sen tärkeimpiä ominaisuuksia: lakeja, joita se noudattaa, sen osien luontaisia ​​yhteyksiä jne. Se on olemassa "mallissa". -algoritmi-ohjelma" triadit ... Luotuaan "malli-algoritmi-ohjelma"-kolmikon tutkija saa universaalin, joustavan ja edullisen työkalun, joka ensin debuggoidaan ja testataan koelaskennallisissa kokeissa. Kun kolmikon sopivuus alkuperäiseen kohteeseen on todettu, mallilla suoritetaan erilaisia ​​ja yksityiskohtaisia ​​"kokeita", jotka antavat kaikki objektin vaadittavat laadulliset ja määrälliset ominaisuudet ja ominaisuudet.

Myshkisin monografian mukaan: "Siirrytään yleiseen määritelmään. Oletetaan, että aiomme tutkia todellisen kohteen a ominaisuuksien joukkoa S

matematiikan avulla. Tätä varten valitsemme "matemaattisen objektin" a "- yhtälöjärjestelmän tai aritmeettiset suhteet, tai geometriset kuviot tai molempien yhdistelmä jne. - jota tutkimalla matematiikan avulla tulisi vastata esitettyihin kysymyksiin S:n ominaisuuksista. Näissä olosuhteissa a "kutsutaan kohteen a matemaattiseksi malliksi sen ominaisuuksien kokonaisuuden S suhteen".

A. G. Sevostyanovin mukaan: "Matemaattinen malli on joukko matemaattisia suhteita, yhtälöitä, epäyhtälöitä jne., jotka kuvaavat tutkittavan prosessin, objektin tai järjestelmän peruslakeja."

Wikisanakirja antaa hieman vähemmän yleisen matemaattisen mallin määritelmän, joka perustuu automaattien teoriasta lainatun "tulo-lähtö-tilan" idealisointiin: "Abstrakti matemaattinen esitys prosessista, laitteesta tai teoreettisesta ideasta; se käyttää joukkoa muuttujia kuvaamaan tuloja, lähtöjä ja sisäisiä tiloja sekä yhtälö- ja epäyhtälösarjoja kuvaamaan niiden vuorovaikutusta.

Lopuksi matemaattisen mallin lakonisin määritelmä: "Ajatusta ilmaiseva yhtälö."

Mallien muodollinen luokittelu.

Mallien muodollinen luokittelu perustuu käytettyjen matemaattisten työkalujen luokitukseen. Usein rakennettu dikotomioiden muodossa. Esimerkiksi yksi suosituimmista dikotomioista:

Lineaariset tai epälineaariset mallit; Kerätyt tai hajautetut järjestelmät; Deterministinen tai stokastinen; Staattinen tai dynaaminen; Diskreetti tai jatkuva.

jne. Jokainen rakennettu malli on lineaarinen tai epälineaarinen, deterministinen tai stokastinen ... Luonnollisesti myös sekatyypit ovat mahdollisia: keskittyneet yhdessä suhteessa, hajautetut mallit toisessa jne.

Luokittelu kohteen esittämistavan mukaan.

Muodollisen luokituksen ohella mallit eroavat tavasta, jolla objekti esitetään:

Rakennemallit edustavat objektia järjestelmänä, jolla on oma rakenne ja toimintamekanismi. Funktionaaliset mallit eivät käytä tällaisia ​​esityksiä ja heijastavat vain kohteen ulkoisesti havaittua käyttäytymistä. Äärimmäisessä ilmaisussaan niitä kutsutaan myös "musta laatikko" -malleiksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia, joita joskus kutsutaan "harmaiksi laatikoiksi".

Melkein kaikki matemaattisen mallinnuksen prosessia kuvaavat kirjoittajat osoittavat, että aluksi ollaan rakentamassa erityistä ihannerakennetta, mielekästä mallia. Tässä ei ole vakiintunutta terminologiaa, ja muut kirjoittajat kutsuvat tätä ihanneobjektia käsitteelliseksi malliksi, spekulatiiviseksi malliksi tai esimalliksi. Tässä tapauksessa lopullista matemaattista konstruktiota kutsutaan muodolliseksi malliksi tai yksinkertaisesti matemaattiseksi malliksi, joka on saatu tämän merkityksellisen mallin formalisoinnin tuloksena. Mielenkiintoisen mallin rakentaminen voidaan suorittaa valmiiden idealisointien avulla, kuten mekaniikassa, jossa ideaaliset jouset, jäykät kappaleet, ideaaliset heilurit, elastiset väliaineet jne. tarjoavat valmiita rakenneelementtejä mielekkääseen mallintamiseen. Kuitenkin niillä tiedon aloilla, joilla ei ole täysin valmiita formalisoituja teorioita, mielekkäiden mallien luominen tulee paljon vaikeammaksi.

R. Peierlsin työssä on esitetty fysiikassa ja laajemmin luonnontieteissä käytettyjen matemaattisten mallien luokittelu. A. N. Gorbanin ja R. G. Khleboprosin kirjassa tätä luokitusta analysoidaan ja laajennetaan. Tämä luokittelu keskittyy ensisijaisesti mielekkään mallin rakentamisvaiheeseen.

Nämä mallit "edustavat alustavaa kuvausta ilmiöstä, ja kirjoittaja joko uskoo sen mahdollisuuteen tai jopa pitää sitä todeksi". R. Peierlsin mukaan näitä ovat esimerkiksi Ptolemaioksen aurinkokunnan malli ja Kopernikuksen malli, Rutherfordin atomimalli ja alkuräjähdyksen malli.

Mikään tieteen hypoteesi ei ole todistettu lopullisesti. Richard Feynman ilmaisi asian hyvin selvästi:

"Meillä on aina mahdollisuus kumota teoria, mutta huomaa, emme voi koskaan todistaa sen olevan oikea. Oletetaan, että olet esittänyt onnistuneen hypoteesin, laskenut, mihin tämä johtaa, ja todennut, että kaikki sen seuraukset vahvistetaan kokeellisesti. Tarkoittaako tämä, että teoriasi on oikea? Ei, se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että et ole onnistunut kumoamaan sitä."

Jos ensimmäisen tyypin malli rakennetaan, tämä tarkoittaa, että se tunnistetaan tilapäisesti todeksi ja voit keskittyä muihin ongelmiin. Tämä ei kuitenkaan voi olla tutkimuksen pointti, vaan vain väliaikainen tauko: ensimmäisen tyypin mallin tila voi olla vain väliaikainen.

Fenomenologinen malli sisältää mekanismin ilmiön kuvaamiseksi. Tämä mekanismi ei kuitenkaan ole tarpeeksi vakuuttava, sitä ei voida vahvistaa riittävästi saatavilla olevilla tiedoilla tai se ei ole hyvin sopusoinnussa olemassa olevien teorioiden ja kohteesta kertyneen tiedon kanssa. Siksi fenomenologisilla malleilla on tilapäisten ratkaisujen asema. Uskotaan, että vastausta ei vielä tiedetä, ja on tarpeen jatkaa "oikeiden mekanismien" etsimistä. Peierls viittaa toiseen tyyppiin, esimerkiksi alkuainehiukkasten kalorimalliin ja kvarkkimalliin.

Mallin rooli tutkimuksessa voi muuttua ajan myötä, voi tapahtua, että uusi data ja teoriat vahvistavat fenomenologiset mallit ja niitä päivitetään

hypoteesin tila. Samoin uusi tieto voi vähitellen joutua ristiriitaan ensimmäisen tyypin hypoteettisten mallien kanssa, ja ne voidaan muuntaa toiseksi. Siten kvarkkimalli on vähitellen siirtymässä hypoteesien kategoriaan; Fysiikan atomismi syntyi väliaikaisena ratkaisuna, mutta historian kuluessa siirtyi ensimmäiseen tyyppiin. Mutta eetterimallit ovat päässeet tiensä tyypistä 1 tyyppiin 2, ja nyt ne ovat tieteen ulkopuolella.

Yksinkertaistamisen idea on erittäin suosittu mallien rakentamisessa. Mutta yksinkertaistaminen on eri asia. Peierls tunnistaa kolme mallintamisen yksinkertaistamista.

Jos tutkittavaa järjestelmää kuvaavia yhtälöitä on mahdollista rakentaa, se ei tarkoita, että ne voitaisiin ratkaista edes tietokoneen avulla. Yleisesti hyväksytty tekniikka tässä tapauksessa on käyttää approksimaatioita. Niiden joukossa on lineaarisia vastemalleja. Yhtälöt korvataan lineaarisilla. Tavallinen esimerkki on Ohmin laki.

Jos käytämme ideaalikaasumallia kuvaamaan riittävän harvinaisia ​​kaasuja, niin tämä on tyypin 3 malli. Suuremmilla kaasutiheyksillä on myös hyödyllistä kuvitella yksinkertaisempi ideaalikaasutilanne kvalitatiivista ymmärtämistä ja arvioita varten, mutta silloin se on jo tyyppi 4. .

Tyypin 4 mallissa hylätään yksityiskohdat, jotka voivat tuntuvasti ja joilla ei aina ole hallittavissa olevaa vaikutusta tulokseen. Samat yhtälöt voivat toimia tyypin 3 tai tyypin 4 mallina riippuen ilmiöstä, johon mallia käytetään. Jos siis käytetään lineaarisia vastemalleja monimutkaisempien mallien puuttuessa, niin nämä ovat jo fenomenologisia lineaarisia malleja ja kuuluvat seuraavaan tyyppiin 4.

Esimerkkejä: ideaalikaasumallin soveltaminen epätäydelliseen kaasuun, van der Waalsin tilayhtälö, useimmat kiinteän olomuodon fysiikan, nesteiden ja ydinfysiikan mallit. Polku mikrokuvauksesta suuresta määrästä hiukkasista koostuvien kappaleiden ominaisuuksiin on hyvin pitkä. Monet yksityiskohdat on hylättävä. Tämä johtaa tyypin 4 malleihin.

Heuristinen malli säilyttää vain laadullisen näennäisen todellisuudesta ja tekee ennusteita vain "suuruusjärjestyksessä". Tyypillinen esimerkki on keskimääräinen vapaan polun approksimaatio kineettisessä teoriassa. Se antaa yksinkertaisia ​​kaavoja viskositeetin, diffuusion ja lämmönjohtavuuden kertoimille, jotka ovat suuruusjärjestyksessä todellisuuden mukaisia.

Mutta kun rakennetaan uutta fysiikkaa, ei ole läheskään heti mahdollista, että saadaan malli, joka antaa ainakin laadullisen kuvauksen kohteesta - viidennen tyypin malli. Tässä tapauksessa mallia käytetään usein analogisesti, heijastaen todellisuutta ainakin jollain tavalla.

R. Peierls kertoo analogioiden käytön historiasta W. Heisenbergin ensimmäisessä artikkelissa ydinvoimien luonteesta. "Tämä tapahtui neutronin löytämisen jälkeen, ja vaikka W. Heisenberg itse ymmärsi, että ytimiä on mahdollista kuvata neutroneista ja protoneista koostuvana, hän ei kuitenkaan päässyt eroon ajatuksesta, että neutronin tulisi lopulta koostua protonista ja protoneista. elektroni. Tässä tapauksessa syntyi analogia neutroni-protonijärjestelmän vuorovaikutuksen ja vetyatomin ja protonin vuorovaikutuksen välillä. Juuri tämä analogia johti hänet siihen johtopäätökseen, että neutronin ja protonin välillä täytyy olla vuorovaikutusvoimia, jotka ovat analogisia H - H -järjestelmän vaihtovoimien kanssa, jotka aiheutuvat elektronin siirtymisestä kahden protonin välillä. ... Myöhemmin kuitenkin todistettiin neutronin ja protonin välisten vuorovaikutusvoimien olemassaolo, vaikka ne eivät täysin loppuneet

kahden hiukkasen välinen vuorovaikutus... Mutta samaa analogiaa seuraten W. Heisenberg päätyi johtopäätökseen kahden protonin välisen vuorovaikutuksen ydinvoimien puuttumisesta ja kahden neutronin välisen repulsion oletukseen. Molemmat viimeksi mainitut havainnot ovat ristiriidassa myöhempien tutkimusten tietojen kanssa."

A. Einstein oli yksi ajatuskokeilun suurista mestareista. Tässä on yksi hänen kokeiluistaan. Se keksittiin hänen nuoruudessaan ja johti lopulta erityisen suhteellisuusteorian rakentamiseen. Oletetaan, että klassisessa fysiikassa seuraamme valoaaltoa valonnopeudella. Tarkkailemme jaksoittaisesti muuttuvaa avaruudessa ja jatkuvaa ajassa sähkömagneettista kenttää. Maxwellin yhtälöiden mukaan näin ei voi olla. Tästä nuori Einstein päätteli: joko luonnonlait muuttuvat, kun vertailukehys muuttuu, tai valon nopeus ei riipu viitekehyksestä. Hän valitsi toisen, kauniimman vaihtoehdon. Toinen kuuluisa Einsteinin ajatuskoe on Einstein-Podolsky-Rosenin paradoksi.

Ja tässä on tyyppi 8, jota käytetään laajalti biologisten järjestelmien matemaattisissa malleissa.

Nämä ovat myös ajatuskokeita kuvitteellisilla kokonaisuuksilla, jotka osoittavat, että väitetty ilmiö on perusperiaatteiden mukainen ja sisäisesti johdonmukainen. Tämä on tärkein ero Type 7 -malleihin, jotka paljastavat piilotetut ristiriidat.

Yksi tunnetuimmista näistä kokeista on Lobatševskin geometria. Toinen esimerkki on kemiallisten ja biologisten värähtelyjen, autoaaltojen jne. muoto-kineettisten mallien massatuotanto. Einstein-Podolsky-Rosen-paradoksi suunniteltiin tyypin 7 malliksi kvanttimekaniikan epäjohdonmukaisuuden osoittamiseksi. Täysin suunnittelemattomalla tavalla ajan myötä siitä tuli tyypin 8 malli - osoitus tiedon kvanttiteleportaation mahdollisuudesta.

Tarkastellaan mekaanista järjestelmää, joka koostuu toiseen päähän kiinnitetystä jousesta ja jousen vapaaseen päähän kiinnitetystä painosta m. Oletetaan, että paino voi liikkua vain jousen akselin suunnassa. Rakennetaan tästä järjestelmästä matemaattinen malli. Kuvaamme järjestelmän tilaa etäisyydellä x kuorman keskipisteestä sen tasapainoasentoon. Kuvataan jousen ja kuorman vuorovaikutusta Hooken lain avulla ja ilmaista se sitten Newtonin toisella lailla differentiaaliyhtälön muodossa:

jossa tarkoittaa x:n toisen kerran derivaatta..

Tuloksena oleva yhtälö kuvaa tarkasteltavan fyysisen järjestelmän matemaattista mallia. Tätä mallia kutsutaan "harmoniseksi oskillaattoriksi".

Muodollisen luokituksen mukaan tämä malli on lineaarinen, deterministinen, dynaaminen, keskittynyt, jatkuva. Teimme sitä rakentaessamme monia oletuksia, jotka eivät todellisuudessa välttämättä toteudu.

Todellisuuden kannalta tämä on useimmiten tyypin 4 yksinkertaistusmalli, koska joitakin olennaisia ​​universaaleja piirteitä on jätetty pois. Jossain määrin tällainen malli kuvaa melko hyvin todellista mekaanista järjestelmää, koska

hylätyillä tekijöillä on vähäinen vaikutus hänen käyttäytymiseensä. Mallia voidaan kuitenkin jalostaa ottamalla huomioon joitain näistä tekijöistä. Tämä johtaa uuteen malliin, jonka käyttöalue on laajempi.

Kuitenkin, kun mallia jalostetaan, sen matemaattisen tutkimuksen monimutkaisuus voi kasvaa merkittävästi ja tehdä mallista käytännössä hyödyttömän. Usein yksinkertaisempi malli mahdollistaa paremman ja syvemmän tutkimuksen todellisesta järjestelmästä kuin monimutkaisempi malli.

Jos käytämme harmonista oskillaattorimallia objekteihin, jotka ovat kaukana fysiikasta, sen merkityksellinen tila voi olla erilainen. Esimerkiksi, kun tätä mallia sovelletaan biologisiin populaatioihin, se tulisi mitä todennäköisimmin luokitella tyypin 6 analogiaksi.

Kovia ja pehmeitä malleja.

Harmoninen oskillaattori on esimerkki niin sanotusta "kovasta" mallista. Se saadaan todellisen fyysisen järjestelmän vahvan idealisoinnin tuloksena. Sen sovellettavuuden ratkaisemiseksi on välttämätöntä ymmärtää, kuinka merkittäviä ovat tekijät, jotka olemme laiminlyöneet. Toisin sanoen on tarpeen tutkia "pehmeää" mallia, joka saadaan "kovan" pienellä häiriöllä. Se voidaan antaa esimerkiksi seuraavalla yhtälöllä:

Tässä on funktio, joka voi ottaa huomioon kitkavoiman tai jousen jäykkyyskertoimen riippuvuuden sen venymisasteesta, ε on joku pieni parametri. Emme ole tällä hetkellä kiinnostuneita funktion f eksplisiittisestä muodosta. Jos todistetaan, että pehmeän mallin käyttäytyminen ei pohjimmiltaan poikkea kovan mallin käyttäytymisestä, ongelma rajoittuu jäykän mallin tutkimiseen. Muuten jäykän mallin tutkimuksessa saatujen tulosten soveltaminen vaatii lisätutkimusta. Esimerkiksi harmonisen oskillaattoriyhtälön ratkaisut ovat muodon funktioita

Eli värähtelyjä, joilla on vakioamplitudi. Seuraako tästä, että todellinen oskillaattori värähtelee äärettömän pitkän ajan vakioamplitudilla? Ei, koska kun otetaan huomioon järjestelmä, jossa on mielivaltaisen pieni kitka, saamme vaimentuneet värähtelyt. Järjestelmän käyttäytyminen on muuttunut dramaattisesti.

Jos järjestelmä säilyttää laadullisen käyttäytymisensä pienissä häiriöissä, sen sanotaan olevan rakenteellisesti vakaa. Harmoninen oskillaattori on esimerkki rakenteellisesti epävakaasta järjestelmästä. Tätä mallia voidaan kuitenkin soveltaa tutkimusprosesseihin rajoitetuilla aikaväleillä.

Mallien monipuolisuus.

Tärkeimmillä matemaattisilla malleilla on yleensä tärkeä universaalisuuden ominaisuus: olennaisesti erilaisia ​​todellisia ilmiöitä voidaan kuvata samalla matemaattisella mallilla. Esimerkiksi harmoninen oskillaattori kuvaa jousen kuorman käyttäytymisen lisäksi myös muita värähtelyprosesseja, usein täysin erilaisia: heilurin pieniä värähtelyjä, nestepinnan värähtelyjä U-muotoisessa astiassa tai virran voimakkuuden muutos värähtelevässä piirissä. Siten tutkimalla yhtä matemaattista mallia tutkimme kerralla kokonaista luokkaa sen kuvaamia ilmiöitä. Juuri tämä lakien isomorfismi, joka ilmaistaan ​​matemaattisilla malleilla tieteellisen tiedon eri segmenteissä, on Ludwig von Bertalanffyn saavutus luoda "yleinen järjestelmäteoria".

Matemaattisen mallinnuksen suorat ja käänteiset ongelmat

Matemaattiseen mallinnukseen liittyy monia ongelmia. Ensinnäkin on tarpeen keksiä mallinnetun kohteen peruskaavio, toistaa se tämän tieteen idealisaatioiden puitteissa. Joten junavaunu muuttuu kilpijärjestelmäksi ja monimutkaisemmaksi

eri materiaaleista valmistettuja kappaleita, jokainen materiaali asetetaan vakiomekaaniseksi idealisoinnikseen, jonka jälkeen laaditaan yhtälöt, matkan varrella hylätään joitakin yksityiskohtia merkityksettöminä, tehdään laskelmia, verrataan mittauksiin, jalostetaan mallia ja niin edelleen. Matemaattisten mallinnustekniikoiden kehittämisen kannalta on kuitenkin hyödyllistä purkaa tämä prosessi sen tärkeimpiin osatekijöihin.

Perinteisesti matemaattisiin malleihin liittyy kaksi pääasiallista ongelmaluokkaa: suora ja käänteinen.

Suora tehtävä: mallin rakenne ja kaikki sen parametrit katsotaan tunnetuiksi, päätehtävänä on suorittaa mallin tutkimus hyödyllisen tiedon saamiseksi kohteesta. Minkä staattisen kuormituksen silta kestää? Kuinka se reagoi dynaamiseen kuormaan, kuinka lentokone ylittää äänivallin, romahtaako se lepatusta - nämä ovat tyypillisiä esimerkkejä suorasta tehtävästä. Oikean suoran ongelman asettaminen vaatii erityistaitoa. Jos oikeita kysymyksiä ei kysytä, silta voi romahtaa, vaikka sen käyttäytymiselle on rakennettu hyvä malli. Joten vuonna 1879 Isossa-Britanniassa romahti Tayn yli oleva metallisilta, jonka suunnittelijat rakensivat sillan mallin, laskivat sen hyötykuorman 20-kertaiseksi turvallisuuskertoimeksi, mutta unohtivat noissa paikoissa jatkuvasti puhaltavat tuulet. Ja puolentoista vuoden kuluttua se romahti.

V Yksinkertaisimmassa tapauksessa suora ongelma on hyvin yksinkertainen ja pelkistyy tämän yhtälön eksplisiittiseksi ratkaisuksi.

Käänteinen ongelma: monia mahdollisia malleja tunnetaan, on tarpeen valita tietty malli objektin lisätietojen perusteella. Useimmiten mallin rakenne on tiedossa ja joitain tuntemattomia parametreja on määritettävä. Lisätiedot voivat koostua empiirisistä lisätiedoista tai kohteen vaatimuksista. Lisätietoa voi tulla käänteisongelman ratkaisuprosessista riippumatta tai ratkaisun aikana erityisesti suunnitellusta kokeesta.

Yksi ensimmäisistä esimerkeistä käänteisen ongelman virtuoosista ratkaisusta mahdollisimman täydellä käytettävissä olevalla datalla oli I. Newtonin rakentama menetelmä kitkavoimien palauttamiseksi havaituista vaimennetuista värähtelyistä.

V Toinen esimerkki on matemaattiset tilastot. Tämän tieteen tehtävänä on kehittää havainto- ja kokeellisen datan rekisteröinti-, kuvaus- ja analysointimenetelmiä tavoitteena rakentaa massasatunnaisten ilmiöiden todennäköisyysmalleja. Nuo. mahdollisten mallien joukko on rajoitettu todennäköisyysmalleihin. Tietyissä tehtävissä mallien joukko on rajallisempi.

Tietokonesimulaatiojärjestelmät.

Matemaattisen mallintamisen tukemiseksi on kehitetty tietokonematemaattisia järjestelmiä, esimerkiksi Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim jne. Niiden avulla voit luoda muodollisia ja lohkomalleja sekä yksinkertaisista että monimutkaisista prosesseista ja laitteista ja muuttaa malliparametreja helposti niiden aikana. mallinnus. Lohkomalleja edustavat lohkot, joiden sarja ja kytkentä määritellään mallikaaviossa.

Muita esimerkkejä.

Kasvuvauhti on verrannollinen nykyiseen väestömäärään. Sitä kuvataan differentiaaliyhtälöllä

jossa α on jokin hedelmällisyyden ja kuolleisuuden välisen eron määräämä parametri. Tämän yhtälön ratkaisu on eksponentiaalinen funktio x = x0 e. Jos syntyvyys ylittää kuolleisuuden, väestö kasvaa loputtomasti ja hyvin nopeasti. On selvää, että todellisuudessa näin ei voi tapahtua rajoitusten vuoksi

resursseja. Kun tietty kriittinen väestömäärä saavutetaan, malli lakkaa olemasta riittävä, koska se ei ota huomioon rajallisia resursseja. Logistinen malli, jota kuvaa Verhulstin differentiaaliyhtälö, voi toimia Malthus-mallin jalostuksena.

missä xs on ”tasapaino” populaation koko, jossa kuolleisuus kompensoi täsmälleen hedelmällisyyden. Populaatiokoko tällaisessa mallissa pyrkii tasapainoarvoon xs, ja tämä käyttäytyminen on rakenteellisesti stabiilia.

Oletetaan, että tietyllä alueella elää kaksi eläinlajia: kanit ja ketut. Olkoon kanien lukumäärä x, kettujen lukumäärä y. Käyttämällä Malthus-mallia tarvittavin muutoksin, ottaen huomioon kettujen syömät kanit, päästään seuraavaan järjestelmään, joka kantaa Lotka - Volterra -mallin nimeä:

Tässä järjestelmässä on tasapainotila, kun kanien ja kettujen lukumäärä on vakio. Poikkeaminen tästä tilasta johtaa vaihteluihin kaniinien ja kettujen lukumäärässä, analogisesti harmonisen oskillaattorin vaihteluiden kanssa. Kuten harmonisen oskillaattorin tapauksessa, tämä käyttäytyminen ei ole rakenteellisesti vakaata: pieni muutos mallissa voi johtaa laadulliseen muutokseen käyttäytymisessä. Esimerkiksi tasapainotila voi muuttua vakaaksi ja lukujen vaihtelut häviävät. Myös päinvastainen tilanne on mahdollinen, kun pienikin poikkeama tasapainoasennosta johtaa katastrofaalisiin seurauksiin, aina yhden lajin täydelliseen sukupuuttoon asti. Volterra-Lotka-malli ei anna vastausta kysymykseen, mikä näistä skenaarioista toteutuu: tässä tarvitaan lisätutkimusta.

Ensimmäinen taso

Matemaattiset mallit OGE:lle ja USE:lle (2019)

Matemaattisen mallin käsite

Kuvittele lentokone: siivet, runko, peräyksikkö, kaikki tämä yhdessä - todellinen valtava, valtava, kokonainen lentokone. Tai voit tehdä mallin lentokoneesta, pienestä, mutta itse asiassa kaikki on samat siivet jne., mutta kompakti. Samoin on matemaattinen malli. Siinä on sanaongelma, hankala, sitä voi katsoa, ​​lukea, mutta ei aivan ymmärrä, ja vielä enemmän on epäselvää, miten se ratkaistaan. Mutta entä jos teemme pienen mallin suuresta sanallisesta ongelmasta, matemaattisen mallin? Mitä matematiikka tarkoittaa? Tämä tarkoittaa matemaattisen merkinnän sääntöjä ja lakeja käyttäen tekstin muuttamista loogisesti oikeaksi esitykseksi käyttämällä numeroita ja aritmeettisia merkkejä. Niin, matemaattinen malli on esitys todellisesta tilanteesta matemaattisen kielen avulla.

Aloitetaan yksinkertaisella: Luku on suurempi kuin luku. Meidän on kirjoitettava tämä muistiin, ei sanoja, vaan vain matematiikan kieltä. Jos enemmän, niin käy ilmi, että jos vähennämme, niin näiden lukujen sama ero pysyy samana. Nuo. tai. Ymmärsitkö olemuksen?

Nyt se on monimutkaisempaa, nyt tulee teksti, jota sinun pitäisi yrittää esittää matemaattisen mallin muodossa, kunnes luet kuinka teen sen, kokeile itse! Numeroita on neljä:, ja. Kappale on suurempi kuin kappale ja kaksinkertaistunut.

Mitä tapahtui?

Matemaattisen mallin muodossa se näyttää tältä:

Nuo. tuote liittyy kaksi yhteen, mutta tätä voidaan silti yksinkertaistaa:

No, okei, yksinkertaisilla esimerkeillä ymmärrät pointin. Siirrytään täysimittaisiin ongelmiin, joissa nämä matemaattiset mallit on vielä ratkaistava! Tässä on haaste.

Matemaattinen malli käytännössä

Ongelma 1

Sateen jälkeen kaivon vedenpinta voi nousta. Poika mittaa pienten kivien putoamisajan kaivoon ja laskee etäisyyden veteen kaavalla, jossa on etäisyys metreinä ja putoamisaika sekunneissa. Ennen sadetta kivien putoamisaika oli s. Kuinka paljon vedenpinnan pitäisi nousta sateen jälkeen, jotta mitattu aika muuttuisi s:llä? Ilmaise vastauksesi metreinä.

Voi luoja! Mitä kaavoja, millainen kaivo, mitä tapahtuu, mitä tehdä? Luinko ajatuksesi? Rentoudu, tämän tyyppisissä ongelmissa olosuhteet ovat vielä huonommat, tärkeintä on muistaa, että tässä tehtävässä olet kiinnostunut kaavoista ja muuttujien välisistä suhteista, ja mitä tämä kaikki tarkoittaa useimmissa tapauksissa, ei ole kovin tärkeää. Mitä hyödyllistä näet tässä? Itse näen. Periaate näiden ongelmien ratkaisemiseksi on seuraava: ota kaikki tunnetut suuret ja korvaa ne.MUTTA, joskus pitää ajatella!

Noudattamalla ensimmäistä neuvoani ja korvaamalla yhtälöön kaikki tunnetut, saamme:

Minä vaihdoin sekunnin ajan ja löysin korkeuden, jolla kivi lensi ennen sadetta. Ja nyt meidän on laskettava sateen jälkeen ja löydettävä ero!

Kuuntele nyt toinen neuvo ja mieti sitä, kysymys tarkentaa "kuinka paljon vedenpinnan pitäisi nousta sateen jälkeen, jotta mitattu aika muuttuisi s:llä." Välittömästi on arvioitava, oi, sateen jälkeen vedenpinta nousee, mikä tarkoittaa, että kiven putoamisaika vedenpinnalle on lyhyempi ja tässä koristeellinen lause "niin että mitattu aika muuttuu" saa tietyn merkityksen : pudotusaika ei lisäänny, vaan pienenee määritetyillä sekunneilla. Tämä tarkoittaa, että kun kyseessä on heitto sateen jälkeen, meidän on vain vähennettävä c alkuperäisestä ajasta c, ja saadaan yhtälö korkeudelle, jolla kivi lentää sateen jälkeen:

Ja lopuksi saadaksesi selville, kuinka paljon vedenpinnan tulisi nousta sateen jälkeen, jotta mitattu aika muuttuu s.:lla, sinun tarvitsee vain vähentää toinen ensimmäisestä putoamiskorkeudesta!

Saamme vastauksen: mittarilla.

Kuten näette, siinä ei ole mitään monimutkaista, tärkeintä on, älä välitä liikaa, mistä tällainen käsittämätön ja joskus monimutkainen yhtälö on peräisin olosuhteissa ja mitä kaikki siinä oleva tarkoittaa, ota sanani siitä, suurin osa näistä yhtälöistä ovat otettu fysiikasta, ja siellä on viidakko, joka on pahempi kuin algebrassa. Joskus minusta näyttää siltä, ​​​​että nämä ongelmat keksittiin kokeen opiskelijan pelottamiseksi monimutkaisilla kaavoilla ja termeillä, ja useimmissa tapauksissa ne eivät vaadi melkein mitään tietoa. Lue vain ehto huolellisesti ja liitä tunnetut arvot kaavaan!

Tässä on toinen ongelma, ei enää fysiikassa, vaan talousteorian maailmasta, vaikka täällä ei vaaditakaan tietoa muista tieteistä kuin matematiikasta.

Tehtävä 2

Monopoliyrityksen tuotteiden kysynnän määrän (yksikköä kuukaudessa) riippuvuus hinnasta (tuhatta ruplaa) saadaan kaavalla

Yrityksen kuukausitulot (tuhansissa ruplissa) lasketaan kaavalla. Määritä korkein hinta, jolla kuukausitulot ovat vähintään tuhat ruplaa. Anna vastauksesi tuhansissa ruplissa.

Arvatkaa mitä teen nyt? Joo, alan korvata sitä, mitä tiedämme, mutta jälleen kerran, minun on mietittävä vähän. Mennään lopusta, meidän on löydettävä missä. Joten, on olemassa yhtä kuin joku, löydämme sen, mikä muu on yhtä kuin, ja yhtä se on, ja kirjoitamme sen ylös. Kuten näette, en välitä liikaa kaikkien näiden arvojen merkityksestä, katson vain ehdoista, että mikä on samanarvoista, niin sinun on tehtävä se. Palataan ongelmaan, sinulla on se jo, mutta kuten muistat yhdestä kahdesta muuttujasta, kumpaakaan ei löydy, mitä tehdä? Joo, meillä on vielä käyttämätön osa kunnossa. Nyt on jo kaksi yhtälöä ja kaksi muuttujaa, mikä tarkoittaa, että nyt molemmat muuttujat löytyvät - hienoa!

- voitko ratkaista tällaisen järjestelmän?

Ratkaisemme korvaamalla, olemme jo ilmaisseet sen, mikä tarkoittaa, että korvaamme sen ensimmäisessä yhtälössä ja yksinkertaistamme.

Osoittautuu, että tässä on sellainen toisen asteen yhtälö:, me ratkaisemme, juuret ovat tällaisia,. Tehtävässä on löydettävä korkein hinta, jolla kaikki ne ehdot, jotka järjestelmää laadittaessa huomioimme, täyttyvät. Ai, kävi ilmi, että se oli hinta. Hienoa, joten löysimme hinnat: ja. Korkein hinta, sanotko? Okei, suurin niistä on tietysti vastaus, ja me kirjoitamme. No onko vaikeaa? Mielestäni ei, eikä siihen tarvitse liikaa syventyä!

Ja tässä on pelottava fysiikka, tai pikemminkin toinen haaste:

Ongelma 3

Tähtien tehollisen lämpötilan määrittämiseen käytetään Stefan – Boltzmannin lakia, jonka mukaan missä on tähden säteilyteho, on vakio, on tähden pinta-ala ja on lämpötila. Tiedetään, että jonkin tähden pinta-ala on yhtä suuri ja sen säteilyteho on yhtä suuri kuin W. Etsi tämän tähden lämpötila Kelvin-asteina.

Mistä se tuli? Kyllä, ehto sanoo, mikä on tasa-arvoista. Aikaisemmin suosittelin kaikkien tuntemattomien korvaamista kerralla, mutta tässä on parempi ilmaista ensin etsitty tuntematon. Katso kuinka yksinkertaista kaikki on: on kaava ja se tunnetaan siinä, ja (tämä on kreikkalainen kirjain "sigma". Yleensä fyysikot rakastavat kreikkalaisia ​​kirjaimia, tottukaa siihen). Ja lämpötila on tuntematon. Ilmaistaan ​​se kaavana. Toivottavasti tiedät kuinka tämä tehdään? Tällaiset tehtävät GIA:lle luokassa 9 antavat yleensä:

Nyt on vain korvattava numerot kirjainten sijaan oikealla puolella ja yksinkertaistettava:

Tässä on vastaus: Kelvin-asteita! Ja kuinka kauhea tehtävä se olikaan, eh!

Jatkamme fysiikan ongelmien piinaamista.

Ongelma 4

Ylös heitetyn pallon korkeus maanpinnasta muuttuu lain mukaan, missä korkeus metreinä on heitosta kulunut aika sekunteina. Kuinka monta sekuntia pallo pysyy vähintään kolmen metrin korkeudessa?

Nämä olivat kaikki yhtälöt, mutta tässä on tarpeen määrittää, kuinka paljon pallo oli vähintään kolmen metrin korkeudella, eli korkeudella. Mitä aiomme säveltää? Epätasa-arvo, aivan! Meillä on toiminto, joka kuvaa kuinka pallo lentää, missä on sama korkeus metreinä, tarvitsemme korkeuden. Keinot

Ja nyt vain ratkaiset epätasa-arvon, pääasia on, että älä unohda muuttaa eriarvoisuuden merkkiä suuremmasta tai yhtä suuresta pienemmäksi tai yhtä suureksi, kun kerrot epätasa-arvon molemmilla puolilla päästäksesi eroon miinuksesta etukäteen .

Nämä ovat juuret, rakennamme intervalleja epätasa-arvolle:

Meitä kiinnostaa väli, jossa miinusmerkki on, koska epäyhtälö ottaa sieltä negatiiviset arvot, tämä on alkaen molempiin. Ja nyt kytketään aivot päälle ja mietitään tarkkaan: epätasa-arvoon käytimme pallon lentoa kuvaavaa yhtälöä, se jotenkin lentää paraabelissa, ts. se nousee, saavuttaa huipun ja putoaa, kuinka ymmärtää kuinka kauan se kestää vähintään metrin korkeudessa? Löysimme 2 kääntöpistettä, ts. hetki, jolloin hän kohoaa metriä korkeammalle ja hetki, jolloin hän putoaessaan saavuttaa saman merkin, ilmaistaan ​​nämä kaksi pistettä ajan muodossa, ts. tiedämme millä sekunnilla lennosta hän saapui meitä kiinnostavalle vyöhykkeelle (metrien yläpuolelle) ja kummalle lähti (pudotti metrimerkin alle). Kuinka monta sekuntia hän oli tällä alueella? On loogista, että otamme vyöhykkeeltä poistumisen ajan ja vähennämme siitä vyöhykkeelle pääsyn ajan. Näin ollen: - niin paljon hän oli metrien yläpuolella, tämä on vastaus.

Olet niin onnekas, että suurin osa tämän aiheen esimerkeistä voidaan ottaa fysiikan tehtävien kategoriasta, joten nappaa vielä yksi, se on viimeinen, joten työnnä itseäsi, niitä on hyvin vähän jäljellä!

Ongelma 5

Tietyn laitteen lämmityselementille saatiin kokeellisesti lämpötilariippuvuus käyttöajasta:

Missä on aika minuutteina,. Tiedetään, että lämmityselementin lämpötilassa laitteen yläpuolella voi heiketä, joten se on sammutettava. Etsi pisin aika työn aloittamisen jälkeen, jolloin laite on sammutettava. Ilmaise vastauksesi minuuteissa.

Toimimme virheenkorjausjärjestelmän mukaan, kaikki, mitä annetaan, kirjoitamme ensin:

Nyt otamme kaavan ja vertaamme sen lämpötila-arvoon, johon laite voidaan lämmittää mahdollisimman paljon, kunnes se palaa, eli:

Nyt korvaamme numerot kirjainten sijaan siellä, missä ne tunnetaan:

Kuten näette, lämpötilaa laitteen toiminnan aikana kuvataan toisen asteen yhtälöllä, mikä tarkoittaa, että se jakautuu paraabelia pitkin, ts. laite lämpenee tiettyyn lämpötilaan ja jäähtyy sitten. Saimme vastauksia ja siksi minuuttilämmityksellä ja -lämmityksellä lämpötila on yhtä suuri kuin kriittinen, mutta minuuttien välillä - se on jopa korkeampi kuin rajoittava!

Tämä tarkoittaa, että sinun on sammutettava laite muutamassa minuutissa.

MATEMAATISET MALLIT. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Useimmiten matemaattisia malleja käytetään fysiikassa: loppujen lopuksi jouduit todennäköisesti muistamaan kymmeniä fyysisiä kaavoja. Ja kaava on matemaattinen esitys tilanteesta.

OGE:ssä ja Unified State Examissa on tehtäviä vain tästä aiheesta. Kokeessa (profiilissa) tämä on tehtävä numero 11 (aiemmin B12). OGE:ssä - tehtävä numero 20.

Ratkaisukaavio on ilmeinen:

1) On tarpeen "eristää" hyödyllinen tieto ehdon tekstistä - mitä kirjoitamme sanan "annettu" alle fysiikan tehtävissä. Tämä hyödyllinen tieto on:

• Kaava
• Tunnetut fyysiset suuret.

Eli jokainen kaavan kirjain on liitettävä tiettyyn numeroon.

2) Otat kaikki tunnetut suuret ja korvaat ne kaavassa. Tuntematon arvo säilyy kirjaimen muodossa. Nyt sinun tarvitsee vain ratkaista yhtälö (yleensä melko yksinkertainen), ja vastaus on valmis.

No, aihe on ohi. Jos luet näitä rivejä, olet erittäin siisti.

Koska vain 5% ihmisistä pystyy hallitsemaan jotain itse. Ja jos luet loppuun, olet siinä 5 %:ssa!

Nyt tulee se tärkein.

Keksit teorian tästä aiheesta. Ja taas, tämä on... se on vain super! Olet jo parempi kuin suurin osa ikäisistäsi.

Ongelmana on, että tämä ei ehkä riitä...

Minkä vuoksi?

Läpäisemään kokeen, pääsemään instituuttiin budjetilla ja, TÄRKEINTÄ, elinikäiseksi.

En vakuuta sinua mistään, sanon vain yhden asian ...

Hyvän koulutuksen saaneet ansaitsevat paljon enemmän kuin ne, jotka eivät ole saaneet sitä. Nämä ovat tilastoja.

Mutta tämäkään ei ole pääasia.

Pääasia, että he ovat ONNELISEMME (sellaisia ​​tutkimuksia on). Ehkä siksi, että heidän edessään on niin paljon enemmän mahdollisuuksia ja elämästä tulee valoisampaa? En tiedä...

Mutta ajattele itse...

Mitä tarvitaan ollaksesi varmasti parempi kuin muut kokeessa ja ollaksesi lopulta... onnellisempi?

APUA TÄMÄN AIHEEN ONGELMIEN RATKAISEMINEN.

Kokeessa sinulta ei kysytä teoriaa.

Tarvitset ratkaista ongelmia hetkeksi.

Ja jos et ratkaissut niitä (PALJON!), menet varmasti jonnekin typerästi erehtyneeseen tai sinulla ei yksinkertaisesti ole aikaa.

Se on kuin urheilussa - sinun on toistettava se uudestaan ​​​​ja uudestaan ​​voittaaksesi varmasti.

Löydä haluamasi kokoelma, välttämättä ratkaisuilla, yksityiskohtaisella analyysillä ja päätä, päätä, päätä!

Voit käyttää tehtäviämme (valinnainen) ja me tietysti suosittelemme niitä.

Jotta voit täyttää kätesi tehtäviemme avulla, sinun on autettava pidentämään parhaillaan lukemasi YouClever-oppikirjan käyttöikää.

Miten? Vaihtoehtoja on kaksi:

1. Jaa kaikki piilotetut tehtävät tässä artikkelissa - 299 r
2. Avaa pääsy kaikkiin piilotettuihin tehtäviin kaikissa opetusohjelman 99 artikkelissa - RUB 999

Kyllä, meillä on oppikirjassamme 99 tällaista artikkelia, ja pääsy kaikkiin tehtäviin ja kaikkiin niissä oleviin piiloteksteihin voidaan avata kerralla.

Toisessa tapauksessa me annamme sinulle simulaattori "6000 ongelmaa ratkaisuineen ja vastauksin, jokaiselle aiheelle, kaikille vaikeustasoille." Se riittää varmasti käsittämään minkä tahansa aiheen ongelmien ratkaisemisen.

Itse asiassa tämä on paljon enemmän kuin pelkkä simulaattori - koko koulutusohjelma. Tarvittaessa voit käyttää sitä myös ILMAISEKSI.

Pääsy kaikkiin teksteihin ja ohjelmiin tarjotaan sivuston koko käyttöiän ajan.

Tiivistettynä...

Jos et pidä tehtävistämme, etsi muita. Älä vain jää teoriaan.

"Ymmärretty" ja "tiedän kuinka ratkaista" ovat täysin erilaisia ​​taitoja. Tarvitset molemmat.

Etsi ongelmia ja ratkaise!

Sovetovin ja Jakovlevin oppikirjan mukaan: "malli (lat. Modulus - mitta) on alkuperäisen objektin korvikeobjekti, joka mahdollistaa joidenkin alkuperäisen ominaisuuksien tutkimisen." (s. 6) "Osen korvaamista toisella, jotta saadaan tietoa alkuperäisen kohteen tärkeimmistä ominaisuuksista malliobjektin avulla, kutsutaan mallintamiseksi." (s. 6) "Matemaattisella mallinnuksella tarkoitamme prosessia, jossa muodostetaan vastaavuus tietylle matemaattiselle objektille, jota kutsutaan matemaattiseksi malliksi, ja tämän mallin tutkimista, jonka avulla voidaan saada todellisen kohteen ominaisuudet. huomioon. Matemaattisen mallin tyyppi riippuu sekä todellisen kohteen luonteesta että kohteen tutkimustehtävistä ja tämän ongelman ratkaisemisen vaadittavasta luotettavuudesta ja tarkkuudesta.

Lopuksi matemaattisen mallin ytimekkäin määritelmä: "Yhtälö, joka ilmaisee ajatuksen."

Mallin luokitus

Mallien muodollinen luokittelu

Mallien muodollinen luokittelu perustuu käytettyjen matemaattisten työkalujen luokitukseen. Usein rakennettu dikotomioiden muodossa. Esimerkiksi yksi suosituimmista dikotomioista:

jne. Jokainen rakennettu malli on lineaarinen tai epälineaarinen, deterministinen tai stokastinen, ... Luonnollisesti myös sekatyypit ovat mahdollisia: toisaalta keskittyneet (parametrien suhteen), toisessa hajautetut mallit jne.

Luokittelu kohteen esittämistavan mukaan

Muodollisen luokituksen ohella mallit eroavat tavasta, jolla objekti esitetään:

• Rakenteelliset tai toiminnalliset mallit

Rakennemallit edustavat objektia järjestelmänä, jolla on oma rakenne ja toimintamekanismi. Funktionaaliset mallit eivät käytä tällaisia ​​esityksiä ja heijastavat vain kohteen ulkoisesti havaittua käyttäytymistä (toimintaa). Äärimmäisessä ilmaisussaan niitä kutsutaan myös "musta laatikko" -malleiksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia, joita joskus kutsutaan "harmaiksi laatikoiksi".

Sisältö ja muodolliset mallit

Melkein kaikki matemaattisen mallinnuksen prosessia kuvaavat kirjoittajat osoittavat, että ensin rakennetaan erityinen ihanteellinen rakenne, merkityksellinen malli... Täällä ei ole vakiintunutta terminologiaa, ja muut kirjoittajat kutsuvat tätä ihanteellista objektia Havainnemalli , spekulatiivinen malli tai esimalli... Tässä tapauksessa lopullinen matemaattinen konstruktio kutsutaan muodollinen malli tai yksinkertaisesti matemaattinen malli, joka on saatu tietyn merkityksellisen mallin formalisoinnin tuloksena (esimalli). Mielenkiintoisen mallin rakentaminen voidaan suorittaa valmiiden idealisointien avulla, kuten mekaniikassa, jossa ideaaliset jouset, jäykät kappaleet, ideaaliset heilurit, elastiset väliaineet jne. tarjoavat valmiita rakenneelementtejä mielekkääseen mallintamiseen. Kuitenkin niillä tiedon aloilla, joilla ei ole täysin valmiita formalisoituja teorioita (fysiikka, biologia, taloustiede, sosiologia, psykologia ja useimmat muut alueet), mielekkäiden mallien luominen on paljon vaikeampaa.

Olennainen mallien luokittelu

Mikään tieteen hypoteesi ei ole todistettu lopullisesti. Richard Feynman ilmaisi asian hyvin selvästi:

"Meillä on aina mahdollisuus kumota teoria, mutta huomaa, emme voi koskaan todistaa sen olevan oikea. Oletetaan, että olet esittänyt onnistuneen hypoteesin, laskenut, mihin tämä johtaa, ja todennut, että kaikki sen seuraukset vahvistetaan kokeellisesti. Tarkoittaako tämä, että teoriasi on oikea? Ei, se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että et ole onnistunut kumoamaan sitä."

Jos ensimmäisen tyypin malli rakennetaan, tämä tarkoittaa, että se tunnistetaan tilapäisesti todeksi ja voit keskittyä muihin ongelmiin. Tämä ei kuitenkaan voi olla tutkimuksen pointti, vaan vain väliaikainen tauko: ensimmäisen tyypin mallin tila voi olla vain väliaikainen.

Tyyppi 2: Fenomenologinen malli (käyttäytyä kuin…)

Fenomenologinen malli sisältää mekanismin ilmiön kuvaamiseksi. Tämä mekanismi ei kuitenkaan ole tarpeeksi vakuuttava, sitä ei voida vahvistaa riittävästi saatavilla olevilla tiedoilla tai se ei ole hyvin sopusoinnussa olemassa olevien teorioiden ja kohteesta kertyneen tiedon kanssa. Siksi fenomenologisilla malleilla on tilapäisten ratkaisujen asema. Uskotaan, että vastausta ei vielä tiedetä, ja on tarpeen jatkaa "oikeiden mekanismien" etsimistä. Peierls viittaa toiseen tyyppiin, esimerkiksi alkuainehiukkasten kalorimalliin ja kvarkkimalliin.

Mallin rooli tutkimuksessa voi muuttua ajan myötä, voi tapahtua, että uusi tieto ja teoriat vahvistavat fenomenologiset mallit ja ne nousevat hypoteesin asemaan. Samoin uusi tieto voi vähitellen joutua ristiriitaan ensimmäisen tyypin hypoteettisten mallien kanssa, ja ne voidaan muuntaa toiseksi. Siten kvarkkimalli on vähitellen siirtymässä hypoteesien kategoriaan; Fysiikan atomismi syntyi väliaikaisena ratkaisuna, mutta historian kuluessa siirtyi ensimmäiseen tyyppiin. Mutta eetterimallit ovat päässeet tiensä tyypistä 1 tyyppiin 2, ja nyt ne ovat tieteen ulkopuolella.

Yksinkertaistamisen idea on erittäin suosittu mallien rakentamisessa. Mutta yksinkertaistaminen on eri asia. Peierls tunnistaa kolme mallintamisen yksinkertaistamista.

Tyyppi 3: Lähentäminen (pidämme jotain hyvin suurta tai hyvin pientä)

Jos tutkittavaa järjestelmää kuvaavia yhtälöitä on mahdollista rakentaa, se ei tarkoita, että ne voitaisiin ratkaista edes tietokoneen avulla. Yleisesti hyväksytty tekniikka tässä tapauksessa on approksimaatioiden käyttö (tyypin 3 mallit). Heidän joukossa lineaariset vastemallit... Yhtälöt korvataan lineaarisilla. Tavallinen esimerkki on Ohmin laki.

Ja tässä on tyyppi 8, jota käytetään laajalti biologisten järjestelmien matemaattisissa malleissa.

Tyyppi 8: Mahdollisuuden esittely (tärkeintä on näyttää mahdollisuuden sisäinen johdonmukaisuus)

Nämä ovat myös ajatuskokeita kuvitteellisilla kokonaisuuksilla, jotka osoittavat sen väitetty ilmiö johdonmukainen taustalla olevien periaatteiden kanssa ja sisäisesti johdonmukainen. Tämä on tärkein ero Type 7 -malleihin, jotka paljastavat piilotetut ristiriidat.

Yksi tunnetuimmista tällaisista kokeista on Lobatševskin geometria (Lobatševski kutsui sitä "kuvitteelliseksi geometriaksi"). Toinen esimerkki on kemiallisten ja biologisten värähtelyjen, autoaaltojen jne. muoto-kineettisten mallien massatuotanto. Einstein-Podolsky-Rosen-paradoksi suunniteltiin tyypin 7 malliksi kvanttimekaniikan epäjohdonmukaisuuden osoittamiseksi. Täysin suunnittelemattomalla tavalla ajan myötä siitä tuli tyypin 8 malli - osoitus tiedon kvanttiteleportaation mahdollisuudesta.

Esimerkki

Tarkastellaan mekaanista järjestelmää, joka koostuu toiseen päähän kiinnitetystä jousesta ja painosta m kiinnitetty jousen vapaaseen päähän. Oletetaan, että kuorma voi liikkua vain jousen akselin suunnassa (esimerkiksi liike tapahtuu tankoa pitkin). Rakennetaan tästä järjestelmästä matemaattinen malli. Kuvaamme järjestelmän tilaa etäisyyden perusteella x kuorman keskeltä sen tasapainoasentoon. Kuvataan jousen ja kuorman vuorovaikutusta käyttämällä Hooken laki (F = − kx ) ja käytä sitten Newtonin toista lakia ilmaisemaan se differentiaaliyhtälön muodossa:

jossa tarkoittaa toista johdannaista x ajan kanssa:.

Tuloksena oleva yhtälö kuvaa tarkasteltavan fyysisen järjestelmän matemaattista mallia. Tätä mallia kutsutaan "harmoniseksi oskillaattoriksi".

Muodollisen luokituksen mukaan tämä malli on lineaarinen, deterministinen, dynaaminen, keskittynyt, jatkuva. Sen rakentamisprosessissa teimme monia oletuksia (ulkoisten voimien puuttumisesta, kitkan puuttumisesta, pienistä poikkeamista jne.), jotka eivät todellisuudessa välttämättä toteudu.

Todellisuudessa tämä on useimmiten tyypin 4 malli. yksinkertaistaminen("Jätämme pois joitain yksityiskohtia selvyyden vuoksi"), koska jotkin olennaiset yleismaailmalliset ominaisuudet (esimerkiksi hajaantuminen) jätetään pois. Tietyllä likiarvolla (esim. kun kuorman poikkeama tasapainosta on pieni, pienellä kitkalla, ei liian pitkäksi ajaksi ja tietyissä muissa olosuhteissa) tällainen malli kuvaa varsin hyvin todellista mekaanista järjestelmää, koska hylätyt tekijät ovat mitätön vaikutus sen käyttäytymiseen... Mallia voidaan kuitenkin jalostaa ottamalla huomioon joitain näistä tekijöistä. Tämä johtaa uuteen malliin, jolla on laajempi (joskin jälleen rajoitettu) soveltamisala.

Kuitenkin, kun mallia jalostetaan, sen matemaattisen tutkimuksen monimutkaisuus voi kasvaa merkittävästi ja tehdä mallista käytännössä hyödyttömän. Usein yksinkertaisempi malli mahdollistaa paremman ja syvemmän tutkimuksen todellisesta järjestelmästä kuin monimutkaisempi (ja muodollisesti "oikeampi").

Jos käytämme harmonista oskillaattorimallia objekteihin, jotka ovat kaukana fysiikasta, sen merkityksellinen tila voi olla erilainen. Esimerkiksi kun tätä mallia sovelletaan biologisiin populaatioihin, se tulisi mitä todennäköisimmin luokitella tyyppiin 6 analogia("Otetaan huomioon vain osa ominaisuuksista").

Kovia ja pehmeitä malleja

Harmoninen oskillaattori on esimerkki niin sanotusta "kovasta" mallista. Se saadaan todellisen fyysisen järjestelmän vahvan idealisoinnin tuloksena. Sen sovellettavuuden ratkaisemiseksi on välttämätöntä ymmärtää, kuinka merkittäviä ovat tekijät, jotka olemme laiminlyöneet. Toisin sanoen on tarpeen tutkia "pehmeää" mallia, joka saadaan "kovan" pienellä häiriöllä. Se voidaan antaa esimerkiksi seuraavalla yhtälöllä:

Tässä on tietty toiminto, joka voi ottaa huomioon kitkavoiman tai jousen jäykkyyskertoimen riippuvuuden sen venymisasteesta, on pieni parametri. Selkeä toiminto f emme ole tällä hetkellä kiinnostuneita. Jos todistetaan, että pehmeän mallin käyttäytyminen ei pohjimmiltaan poikkea jäykän mallin käyttäytymisestä (riippumatta häiritsevien tekijöiden eksplisiittisestä muodosta, jos ne ovat tarpeeksi pieniä), ongelma rajoittuu jäykän mallin tutkimukseen. malli. Muuten jäykän mallin tutkimuksessa saatujen tulosten soveltaminen vaatii lisätutkimusta. Esimerkiksi harmonisen oskillaattoriyhtälön ratkaisut ovat muodon funktioita, eli värähtelyjä, joilla on vakioamplitudi. Seuraako tästä, että todellinen oskillaattori värähtelee äärettömän pitkän ajan vakioamplitudilla? Ei, koska kun otetaan huomioon järjestelmä, jossa on mielivaltaisen pieni kitka (joka on aina läsnä todellisessa järjestelmässä), saamme vaimentuneet värähtelyt. Järjestelmän käyttäytyminen on muuttunut dramaattisesti.

Jos järjestelmä säilyttää laadullisen käyttäytymisensä pienissä häiriöissä, sen sanotaan olevan rakenteellisesti vakaa. Harmoninen oskillaattori on esimerkki rakenteellisesti epävakaasta (ei-karkeasta) järjestelmästä. Tätä mallia voidaan kuitenkin soveltaa tutkimusprosesseihin rajoitetuilla aikaväleillä.

Mallien monipuolisuus

Tärkeimmillä matemaattisilla malleilla on yleensä tärkeä ominaisuus universaalisuus: olennaisesti erilaisia ​​todellisia ilmiöitä voidaan kuvata samalla matemaattisella mallilla. Esimerkiksi harmoninen oskillaattori ei kuvaa vain jousen kuormituksen käyttäytymistä, vaan myös muita värähtelyprosesseja, usein täysin erilaisia: heilurin pieniä värähtelyjä, nesteen tason värähtelyjä U-muotoinen suoni tai muutos virran voimakkuudessa värähtelypiirissä. Siten tutkimalla yhtä matemaattista mallia tutkimme kerralla kokonaista luokkaa sen kuvaamia ilmiöitä. Juuri tämä lakien isomorfismi, joka ilmaistaan ​​matemaattisilla malleilla tieteellisen tiedon eri segmenteissä, on Ludwig von Bertalanffyn saavutus luoda "yleinen järjestelmäteoria".

Matemaattisen mallinnuksen suorat ja käänteiset ongelmat

Matemaattiseen mallinnukseen liittyy monia ongelmia. Ensinnäkin on tarpeen keksiä mallinnetun kohteen peruskaavio, toistaa se tämän tieteen idealisaatioiden puitteissa. Joten junavaunu muuttuu eri materiaaleista valmistettujen levyjen ja monimutkaisempien runkojen järjestelmäksi, jokaiselle materiaalille asetetaan standardi mekaaninen idealisointi (tiheys, kimmomoduulit, vakiolujuusominaisuudet), minkä jälkeen matkan varrella laaditaan yhtälöt. Jotkut yksityiskohdat hylätään merkityksettöminä, tehdään laskelmia, verrataan mittauksiin, mallia jalostetaan ja niin edelleen. Matemaattisten mallinnustekniikoiden kehittämisen kannalta on kuitenkin hyödyllistä purkaa tämä prosessi sen tärkeimpiin osatekijöihin.

Perinteisesti matemaattisiin malleihin liittyy kaksi pääasiallista ongelmaluokkaa: suora ja käänteinen.

Suora tehtävä: mallin rakenne ja kaikki sen parametrit katsotaan tunnetuiksi, päätehtävänä on suorittaa mallin tutkimus hyödyllisen tiedon saamiseksi kohteesta. Minkä staattisen kuormituksen silta kestää? Miten se reagoi dynaamiseen kuormaan (esimerkiksi sotilaskomppanian marssiin tai junan ohitukseen eri nopeuksilla), miten lentokone ylittää äänivallin, hajoaako se lepatusta - Nämä ovat tyypillisiä esimerkkejä suorasta tehtävästä. Oikean suoran ongelman asettaminen (oikean kysymyksen esittäminen) vaatii erityistaitoa. Jos oikeita kysymyksiä ei kysytä, silta voi romahtaa, vaikka sen käyttäytymiselle on rakennettu hyvä malli. Joten vuonna 1879 Englannissa romahti metallisilta Tayn yli, jonka suunnittelijat rakensivat sillan mallin, laskivat sen hyötykuorman 20-kertaiseksi turvallisuuskertoimeksi, mutta unohtivat noissa paikoissa jatkuvasti puhaltavat tuulet. Ja puolentoista vuoden kuluttua se romahti.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa (esim. yksi oskillaattoriyhtälö) suora ongelma on hyvin yksinkertainen ja pelkistyy tämän yhtälön eksplisiittiseksi ratkaisuksi.

Käänteinen ongelma: monia mahdollisia malleja tunnetaan, sinun on valittava tietty malli objektia koskevien lisätietojen perusteella. Useimmiten mallin rakenne on tiedossa ja joitain tuntemattomia parametreja on määritettävä. Lisätiedot voivat koostua empiirisista lisätiedoista tai kohteen vaatimuksista ( suunnittelun haaste). Lisätietoa voi tulla käänteisen ongelman ratkaisuprosessista riippumatta ( passiivinen valvonta) tai olla erityisesti suunnitellun kokeen tulos ( aktiivinen valvonta).

Yksi ensimmäisistä esimerkeistä käänteisen ongelman virtuoosista ratkaisusta mahdollisimman täydellä käytettävissä olevalla datalla oli I. Newtonin rakentama menetelmä kitkavoimien palauttamiseksi havaituista vaimennetuista värähtelyistä.

Muita esimerkkejä

missä x s- ”tasapainoinen” populaatiokoko, jossa kuolleisuus kompensoi hedelmällisyyden täsmälleen. Populaatiokoko tällaisessa mallissa pyrkii tasapainoarvoon x s ja tämä käyttäytyminen on rakenteellisesti vakaata.

Tässä järjestelmässä on tasapainotila, kun kanien ja kettujen lukumäärä on vakio. Poikkeaminen tästä tilasta johtaa vaihteluihin kaniinien ja kettujen lukumäärässä, analogisesti harmonisen oskillaattorin vaihteluiden kanssa. Kuten harmonisen oskillaattorin tapauksessa, tämä käyttäytyminen ei ole rakenteellisesti vakaata: pieni muutos mallissa (esimerkiksi ottaen huomioon kanien tarvitsemat rajalliset resurssit) voi johtaa laadulliseen käyttäytymisen muutokseen. Esimerkiksi tasapainotila voi muuttua vakaaksi ja lukujen vaihtelut häviävät. Myös päinvastainen tilanne on mahdollinen, kun pienikin poikkeama tasapainoasennosta johtaa katastrofaalisiin seurauksiin, aina yhden lajin täydelliseen sukupuuttoon asti. Volterra-Lotka-malli ei anna vastausta kysymykseen, mikä näistä skenaarioista toteutuu: tässä tarvitaan lisätutkimusta.

Huomautuksia (muokkaa)

1. "Matemaattinen esitys todellisuudesta" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I.B., Kyberneettisen mallintamisen filosofisista kysymyksistä. M., Knowledge, 1964.
3. B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Järjestelmän mallinnus: Oppikirja. yliopistoille - 3. painos, rev. ja lisää. - M .: Korkeampi. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskiy A.A., Mikhailov A.P. Matemaattinen mallinnus. Ideoita. menetelmät. Esimerkkejä. ... - 2. painos, Rev .. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wikisanakirja: matemaattinen malli
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity-sarja, Berliini-Heidelberg-New York, 2006. XII + 562 s. ISBN 3-540-35885-4
9. ”Teoriaa pidetään lineaarisena tai epälineaarisena sen mukaan, onko se lineaarinen vai epälineaarinen matemaattinen laitteisto ja millaisia ​​lineaarisia tai epälineaarisia matemaattisia malleja se käyttää. … Jälkimmäistä kieltämättä. Moderni fyysikko, jos hän olisi luonut uudelleen määritelmän sellaiselle tärkeälle olemukselle kuin epälineaarisuus, hän olisi todennäköisesti toiminut eri tavalla ja pitäessään parempana epälineaarisuutta tärkeimpänä ja laajempana kahdesta vastakohdasta, määrittelisi lineaarisuuden "ei epälineaariseksi". '." Danilov Yu.A., Luennot epälineaarisesta dynamiikasta. Alkuperäinen johdanto. Sarja "Synergetics: menneisyydestä tulevaisuuteen". Painos 2. - M .: URSS, 2006 .-- 208 s. ISBN 5-484-00183-8
10. ”Dynaamisia järjestelmiä, jotka on mallinnettu äärellisellä määrällä tavallisia differentiaaliyhtälöitä, kutsutaan pistejärjestelmiksi. Ne kuvataan äärellisulotteisen vaiheavaruuden avulla ja niille on tunnusomaista äärellinen määrä vapausasteita. Yhtä ja samaa järjestelmää eri olosuhteissa voidaan pitää joko keskittyneenä tai hajautettuna. Hajautettujen järjestelmien matemaattiset mallit ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, integraaliyhtälöitä tai tavallisia yhtälöitä, joissa on viivästynyt argumentti. Hajautetun järjestelmän vapausasteiden määrä on ääretön, ja sen tilan määrittämiseen tarvitaan ääretön määrä tietoa." Anischenko V.S., Dynaamiset järjestelmät, Soros-koulutuslehti, 1997, nro 11, s. 77-84.
11. ”S-järjestelmässä tutkittavien prosessien luonteesta riippuen kaikki mallinnuksen tyypit voidaan jakaa deterministiseen ja stokastiseen, staattiseen ja dynaamiseen, diskreettiin, jatkuvaan ja diskreetti-jatkuvaan. Deterministinen mallinnus näyttää deterministisiä prosesseja, eli prosesseja, joissa oletetaan satunnaisten vaikutusten puuttumista; stokastinen mallinnus näyttää todennäköisyysprosesseja ja tapahtumia. ... Staattista mallinnusta käytetään kuvaamaan kohteen käyttäytymistä milloin tahansa, kun taas dynaaminen mallinnus heijastaa kohteen käyttäytymistä ajassa. Diskreetti mallinnus kuvaa prosesseja, jotka oletetaan diskreeteiksi, vastaavasti jatkuvalla mallinnuksella voit heijastaa jatkuvia prosesseja järjestelmissä ja diskreetti-jatkuvaa mallinnusta käytetään tapauksissa, joissa halutaan korostaa sekä diskreettien että jatkuvien prosessien olemassaoloa. B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Järjestelmän mallinnus: Oppikirja. yliopistoille - 3. painos, rev. ja lisää. - M .: Korkeampi. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2
12. Yleensä matemaattinen malli heijastaa simuloidun kohteen rakennetta (laitetta), tämän objektin komponenttien tutkimuksen kannalta oleellisia ominaisuuksia ja keskinäisiä suhteita; tällaista mallia kutsutaan rakenteelliseksi. Jos malli heijastaa vain sitä, miten esine toimii - esimerkiksi kuinka se reagoi ulkoisiin vaikutuksiin -, sitä kutsutaan toiminnalliseksi tai kuvaannollisesti mustaksi laatikoksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia. Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
13. ”Ilmeä, mutta tärkein alkuvaihe matemaattisen mallin rakentamisessa tai valinnassa on mahdollisimman selkeä käsitys mallinnetusta kohteesta ja sen merkityksellisen mallin selkiyttäminen epävirallisten keskustelujen pohjalta. Tässä vaiheessa ei pidä tuhlata aikaa ja vaivaa, siitä riippuu pitkälti koko tutkimuksen onnistuminen. Useammin kuin kerran tapahtui, että matemaattisen ongelman ratkaisemiseen käytetty merkittävä työ osoittautui tehottomaksi tai jopa hukkaan, koska asiaan ei kiinnitetty riittävästi huomiota." Myshkis A.D., Matemaattisten mallien teorian elementit. - 3. painos, Rev. - M .: KomKniga, 2007 .-- 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, s. 35.
14. « Järjestelmän käsitteellisen mallin kuvaus. Järjestelmän mallin rakentamisen tässä alivaiheessa: a) käsitteellinen malli M kuvataan abstraktein termein ja käsittein; b) mallin kuvaus annetaan standardinmukaisia ​​matemaattisia kaavioita käyttäen; c) hypoteesit ja oletukset hyväksytään lopulta; d) menetelmän valinta todellisten prosessien approksimointiin mallin rakentamisessa on perusteltu." B. Ya Soviets, S. A. Yakovlev, Järjestelmän mallinnus: Oppikirja. yliopistoille - 3. painos, rev. ja lisää. - M .: Korkeampi. shk., 2001 .-- 343 s. ISBN 5-06-003860-2, s. 93.

Malli ja mallinnuskonsepti.

Malli laajassa merkityksessäon mikä tahansa kuva, analoginen, mielikuva tai vakiintunut kuva, kuvaus, kaavio, piirros, kartta jne. mistä tahansa tilavuudesta, prosessista tai ilmiöstä, jota käytetään sen korvikkeena tai edustajana. Itse esinettä, prosessia tai ilmiötä kutsutaan tämän mallin alkuperäiseksi.

Mallintaminen - on minkä tahansa kohteen tai esinejärjestelmän tutkimusta rakentamalla ja tutkimalla niiden malleja. Se on mallien käyttöä ominaisuuksien määrittämiseen tai tarkentamiseen ja uusien objektien rakennustapojen järkeistämiseen.

Mikä tahansa tieteellisen tutkimuksen menetelmä perustuu mallintamisen ajatukseen, kun taas teoreettisissa menetelmissä käytetään erilaisia ​​​​merkkejä, abstrakteja malleja, kokeellisissa - aihemalleja.

Tutkimuksen aikana monimutkainen todellinen ilmiö korvataan jollain yksinkertaistetulla kopiolla tai kaaviolla, joskus sellainen kopio palvelee vain muistamista ja seuraavassa kokouksessa tarpeellisen ilmiön tunnistamista. Joskus rakennettu kaavio heijastaa joitain olennaisia ​​piirteitä, mahdollistaa ilmiön mekanismin ymmärtämisen, mahdollistaa sen muutoksen ennustamisen. Eri mallit voivat vastata samaa ilmiötä.

Tutkijan tehtävänä on ennustaa ilmiön luonne ja prosessin kulku.

Joskus käy niin, että esine on saatavilla, mutta sen kokeilut ovat kalliita tai aiheuttavat vakavia ympäristövaikutuksia. Tietoa tällaisista prosesseista saadaan mallien avulla.

Tärkeä seikka on se, että tieteen luonne ei edellytä yhden tietyn ilmiön tutkimista, vaan laajan luokan siihen liittyviä ilmiöitä. Olettaa, että on tarpeen muotoilla joitain yleisiä kategorisia lausuntoja, joita kutsutaan laeiksi. Luonnollisesti tällaisella muotoilulla monet yksityiskohdat jätetään huomiotta. Kuvion selvemmin tunnistamiseksi he pyrkivät tietoisesti karkeuttamiseen, idealisointiin, kaavioihin, eli eivät tutki itse ilmiötä, vaan sen enemmän tai vähemmän tarkkaa kopiota tai mallia. Kaikki lait ovat mallilakeja, ja siksi ei ole yllättävää, että ajan myötä jotkin tieteelliset teoriat katsotaan sopimattomiksi. Tämä ei johda tieteen romahtamiseen, koska yksi malli on korvattu toisella. modernimpi.

Matemaattisilla malleilla on erityinen rooli tieteessä, näiden mallien rakennusmateriaali ja työkalut - matemaattiset käsitteet. Ne ovat kertyneet ja parantuneet vuosituhansien aikana. Moderni matematiikka tarjoaa erittäin tehokkaita ja monipuolisia tutkimustyökaluja. Lähes jokainen matematiikan käsite, jokainen matemaattinen objekti, alkaen luvun käsitteestä, on matemaattinen malli. Muodostettaessa matemaattista mallia tutkittavasta kohteesta tai ilmiöstä erotetaan ne ominaisuudet, piirteet ja yksityiskohdat, jotka toisaalta sisältävät enemmän tai vähemmän täydellistä tietoa kohteesta ja toisaalta mahdollistavat matemaattisen formalisoinnin. Matemaattinen formalisointi tarkoittaa, että kohteen ominaisuudet ja yksityiskohdat voidaan liittää sopiviin, riittäviin matemaattisiin käsitteisiin: numerot, funktiot, matriisit ja niin edelleen. Sitten tutkittavasta objektista löydetyt ja oletetut yhteydet ja suhteet sen yksittäisten osien ja sen muodostavien osien välillä voidaan kirjoittaa matemaattisten suhteiden avulla: yhtäläisyydet, epäyhtälöt, yhtälöt. Tuloksena on matemaattinen kuvaus tutkitusta prosessista tai ilmiöstä eli sen matemaattisesta mallista.

Matemaattisen mallin tutkimiseen liittyy aina joitain toimintasääntöjä tutkittavien kohteiden suhteen. Nämä säännöt kuvastavat syiden ja seurausten välisiä yhteyksiä.

Matemaattisen mallin rakentaminen on keskeinen vaihe minkä tahansa järjestelmän tutkimuksessa tai suunnittelussa. Kaikki myöhemmät kohteen analyysit riippuvat mallin laadusta. Mallin rakentaminen ei ole muodollinen menettely. Se riippuu vahvasti tutkijasta, hänen kokemuksestaan ​​ja maustaan, luottaa aina tiettyyn kokeelliseen materiaaliin. Mallin tulee olla kohtuullisen tarkka, riittävä ja mukava käyttää.

Matemaattinen mallinnus.

Matemaattisten mallien luokittelu.

Matemaattiset mallit voivat olladeterministinen ja stokastinen .

Deterministinen malli- ja - nämä ovat malleja, joissa objektia tai ilmiötä kuvaavien muuttujien välille muodostetaan yksi-yhteen vastaavuus.

Tämä lähestymistapa perustuu tietoon esineiden toimintamekanismista. Usein mallinnettu kohde on monimutkainen ja sen mekanismin purkaminen voi olla hyvin työlästä ja aikaa vievää. Tässä tapauksessa ne edetään seuraavasti: kokeita suoritetaan alkuperäisellä, tulokset käsitellään ja, ilman matemaattisen tilaston ja todennäköisyysteorian menetelmiä mallinnetun kohteen mekanismiin ja teoriaan, luodaan yhteyksiä objektia kuvaavat muuttujat. Tässä tapauksessa saastokastinen malli- . V stokastinen Mallissa muuttujien välinen suhde on satunnainen, joskus se tapahtuu periaatteessa. Valtavan määrän tekijöiden vaikutus, niiden yhdistelmä johtaa sattumanvaraiseen joukkoon muuttujia, jotka kuvaavat objektia tai ilmiötä. Moodin luonteen mukaan malli ontilastollinen ja dynaaminen.

Tilastollinenmalli-sisältää kuvauksen mallinnetun kohteen päämuuttujien välisistä suhteista vakaassa tilassa ottamatta huomioon parametrien muutosta ajan myötä.

V dynaaminenmalli-kuvataan mallinnetun kohteen päämuuttujien väliset suhteet siirtymisen aikana tilasta toiseen.

Mallit ovat diskreetti ja jatkuva, ja sekoitettu tyyppi. V jatkuva muuttujat ottavat arvot tietystä intervallista, indiskreettimuuttujat saavat yksittäisiä arvoja.

Lineaariset mallit- kaikki mallia kuvaavat funktiot ja relaatiot riippuvat lineaarisesti muuttujista jaei lineaarinenmuuten.

Matemaattinen mallinnus.

Vaatimukset , n ilmoitti malleihin.

1. Monipuolisuus- luonnehtii todellisen kohteen tutkittujen ominaisuuksien näyttämisen täydellisyyttä mallilla.

1. Riittävyys - kyky heijastaa kohteen haluttuja ominaisuuksia virheellä, joka ei ylitä annettua.
2. Tarkkuus - mitataan todellisen kohteen ominaisuuksien arvojen ja näiden mallien avulla saatujen ominaisuuksien arvojen yhteensopivuusasteen mukaan.
3. Kannattavuus - määräytyy tietokoneen muistiresurssien kustannuksista ja sen toteuttamiseen ja käyttöön käytetystä ajasta.

Matemaattinen mallinnus.

Mallintamisen päävaiheet.

1. Ongelman kuvaus.

Analyysin tavoitteen ja sen saavuttamiskeinojen määrittäminen ja yleisen lähestymistavan kehittäminen tutkittavaan ongelmaan. Tämä vaihe vaatii syvällistä ymmärrystä käsillä olevan tehtävän olemuksesta. Joskus tehtävän asettaminen oikein ei ole yhtä vaikeaa kuin sen ratkaiseminen. Asettaminen ei ole muodollinen prosessi, yleisiä sääntöjä ei ole.

2. Teoreettisten perusteiden tutkiminen ja tiedon kerääminen alkuperäisestä esineestä.

Tässä vaiheessa valitaan tai kehitetään sopiva teoria. Jos sitä ei ole, objektia kuvaavien muuttujien välille muodostetaan syy-seuraussuhteet. Tulot ja lähdöt määritellään ja tehdään yksinkertaistavia oletuksia.

3. Formalisointi.

Se koostuu symbolijärjestelmän valitsemisesta ja niiden käyttämisestä objektin komponenttien välisten suhteiden kirjoittamiseen matemaattisten lausekkeiden muodossa. Muodostetaan ongelmaluokka, jolle saatu objektin matemaattinen malli voidaan liittää. Joidenkin parametrien arvoja ei ehkä ole vielä määritetty tässä vaiheessa.

4. Ratkaisumenetelmän valinta.

Tässä vaiheessa määritetään mallien lopulliset parametrit ottaen huomioon kohteen toiminnan edellytykset. Saatulle matemaattiselle tehtävälle valitaan ratkaisumenetelmä tai kehitetään erityinen menetelmä. Menetelmää valittaessa otetaan huomioon käyttäjän tieto, hänen mieltymyksensä sekä kehittäjän mieltymykset.

5. Mallin toteutus.

Algoritmin kehittelyn jälkeen kirjoitetaan ohjelma, josta tehdään virheenkorjaus, testataan ja löydetään ratkaisu haluttuun ongelmaan.

6. Saatujen tietojen analyysi.

Saatuja ja odotettuja ratkaisuja verrataan ja simulointivirhettä tarkkaillaan.

7. Todellisen kohteen riittävyyden tarkistaminen.

Mallilla saatuja tuloksia verrataanjoko kohteesta saatavilla olevilla tiedoilla tai koe on käynnissä ja sen tuloksia verrataan laskettuihin.

Mallinnusprosessi on iteratiivinen. Jos vaiheiden tulokset eivät ole tyydyttäviä 6. tai 7. suoritetaan paluu johonkin alkuvaiheesta, mikä voi johtaa epäonnistuneen mallin kehittämiseen. Tätä ja kaikkia myöhempiä vaiheita jalostetaan, ja tällaista mallin jalostusta tapahtuu, kunnes saadaan hyväksyttäviä tuloksia.

Matemaattinen malli on likimääräinen kuvaus todellisen maailman ilmiöiden tai esineiden luokasta matematiikan kielellä. Mallintamisen päätarkoituksena on tutkia näitä kohteita ja ennustaa tulevien havaintojen tuloksia. Mallintaminen on kuitenkin myös menetelmä ympäröivän maailman tuntemiseen, mikä mahdollistaa sen hallitsemisen.

Matemaattinen mallintaminen ja siihen liittyvä tietokonekoe ovat välttämättömiä tapauksissa, joissa luonnollinen koe on syystä tai toisesta mahdoton tai vaikea. Esimerkiksi historiassa on mahdotonta perustaa luonnollista koetta tarkistaakseen "mitä olisi tapahtunut, jos ..." On mahdotonta varmistaa yhden tai toisen kosmologisen teorian oikeellisuutta. Periaatteessa on mahdollista, mutta tuskin järkevää, kokeilla taudin, kuten ruton, leviämistä tai suorittaa ydinräjähdys sen seurausten tutkimiseksi. Kaikki tämä voidaan kuitenkin tehdä tietokoneella, kun on aiemmin rakennettu matemaattisia malleja tutkituista ilmiöistä.

1.1.2 2. Matemaattisen mallinnuksen päävaiheet

1) Mallin rakentaminen. Tässä vaiheessa asetetaan tietty "ei-matemaattinen" objekti - luonnonilmiö, suunnittelu, taloudellinen suunnitelma, tuotantoprosessi jne. Tässä tapauksessa tilanteen selkeä kuvaus on yleensä vaikeaa. Ensin tunnistetaan ilmiön pääpiirteet ja niiden väliset laadulliset yhteydet. Sitten löydetyt laadulliset riippuvuudet muotoillaan matematiikan kielellä, eli rakennetaan matemaattinen malli. Tämä on mallintamisen vaikein vaihe.

2) Matemaattisen ongelman ratkaisu, johon malli johtaa... Tässä vaiheessa kiinnitetään paljon huomiota algoritmien ja numeeristen menetelmien kehittämiseen ongelman ratkaisemiseksi tietokoneella, joiden avulla tulos voidaan löytää vaaditulla tarkkuudella ja kohtuullisessa ajassa.

3) Matemaattisesta mallista saatujen tulosten tulkinta.Matematiikan kielellä mallista johdetut seuraukset tulkitaan kyseisellä alalla hyväksytyllä kielellä.

4) Mallin riittävyyden tarkistaminen.Tässä vaiheessa selvitetään, ovatko kokeelliset tulokset yhtenevät mallin teoreettisten seurausten kanssa tietyllä tarkkuudella.

5) Mallin muutos.Tässä vaiheessa on joko mallin monimutkaisuus niin, että se vastaa paremmin todellisuutta, tai sen yksinkertaistaminen käytännössä hyväksyttävän ratkaisun saavuttamiseksi.

1.1.3 3. Mallin luokitus

Mallit voidaan luokitella eri kriteerien mukaan. Esimerkiksi ratkaistavien ongelmien luonteen mukaan mallit voidaan jakaa toiminnallisiin ja rakenteellisiin. Ensimmäisessä tapauksessa kaikki ilmiötä tai objektia kuvaavat suureet ilmaistaan ​​kvantitatiivisesti. Tässä tapauksessa joitain niistä pidetään itsenäisinä muuttujina, kun taas toisia - näiden määrien funktioina. Matemaattinen malli on yleensä erityyppisten yhtälöiden (differentiaali-, algebrallinen jne.) järjestelmä, joka muodostaa kvantitatiivisia suhteita tarkasteltavien suureiden välille. Toisessa tapauksessa malli luonnehtii monimutkaisen kohteen rakennetta, joka koostuu erillisistä osista, joiden välillä on tiettyjä yhteyksiä. Yleensä näitä suhteita ei voida mitata. Tällaisten mallien rakentamiseen on kätevää käyttää graafiteoriaa. Graafi on matemaattinen objekti, joka on joukko pisteitä (pisteitä) tasossa tai avaruudessa, joista osa on yhdistetty viivoilla (reunat).

Lähtötietojen ja ennustetulosten luonteen perusteella mallit voidaan jakaa deterministisiin ja todennäköisyysstatistisiin. Ensimmäisen tyypin mallit tarjoavat selkeitä, yksiselitteisiä ennusteita. Toisen tyypin mallit perustuvat tilastotietoon, ja niiden avulla saadut ennusteet ovat luonteeltaan todennäköisyyspohjaisia.

MATEMAATTINEN SIMULAATIO JA YLEISTÄ TIETOKONE TAI SIMULAATIOMALLIT

Nyt, kun maassa tapahtuu lähes yleismaailmallista tietokoneistamista, joudumme kuulemaan lausuntoja eri ammattien asiantuntijoilta: "Jos otamme käyttöön tietokoneen, kaikki tehtävät ratkeavat välittömästi." Tämä näkökulma on täysin väärä, tietokoneet ilman matemaattisia malleja tietyistä prosesseista eivät pysty tekemään mitään, ja yleisestä tietokoneistamisesta voi vain haaveilla.

Yllä olevan tueksi pyrimme perustelemaan mallinnuksen, mukaan lukien matemaattisen mallinnuksen, tarvetta, paljastamme sen edut ihmisen kognitiossa ja ulkomaailman muuttamisessa, tunnistamme olemassa olevat puutteet ja siirrymme ... simulaatioon, ts. tietokonesimulaatio. Mutta kaikki on kunnossa.

Ensinnäkin vastataan kysymykseen: mikä on malli?

Malli on materiaalinen tai henkisesti esitelty esine, joka kognitioprosessissa (tutkimuksessa) korvaa alkuperäisen säilyttäen joitakin tämän tutkimuksen kannalta tärkeitä tyypillisiä ominaisuuksia.

Hyvin rakennettu malli on tutkimukseen paremmin saatavilla kuin todellinen esine. Esimerkiksi maan talouden kokeilua koulutustarkoituksiin on mahdotonta hyväksyä, täällä et tule toimeen ilman mallia.

Yhteenvetona sanotusta voimme vastata kysymykseen: mitä varten mallit ovat? Vastaanottaja

• ymmärtää, miten esine on järjestetty (sen rakenne, ominaisuudet, kehityslait, vuorovaikutus ulkomaailman kanssa).
• oppia hallitsemaan kohdetta (prosessia) ja määrittämään parhaat strategiat
• ennustaa iskun seurauksia esineeseen.

Mitä positiivista missä tahansa mallissa on? Sen avulla voit saada uutta tietoa kohteesta, mutta valitettavasti se on tavalla tai toisella epätäydellinen.

MalliMatemaattisilla menetelmillä muotoiltua matematiikan kielellä kutsutaan matemaattiseksi malliksi.

Sen rakentamisen lähtökohtana on yleensä jokin ongelma, esimerkiksi taloudellinen. Laajalle levinnyt, sekä kuvaava että optimoiva matemaattinen, luonnehtiva erilaisia taloudellisia prosesseja ja ilmiöt, esim.

• resurssien kohdentaminen
• järkevä leikkaus
• kuljetus
• yritysten laajentuminen
• verkon suunnittelu.

Miten matemaattinen malli rakennetaan?

• Ensin määritellään tutkimuksen tavoite ja aihe.
• Toiseksi korostetaan tätä tavoitetta vastaavia tärkeimpiä ominaisuuksia.
• Kolmanneksi mallin elementtien välinen suhde kuvataan sanallisesti.
• Lisäksi suhde virallistetaan.
• Ja laskelma tehdään matemaattisen mallin ja saadun ratkaisun analyysin mukaan.

Tämän algoritmin avulla voit ratkaista minkä tahansa optimointiongelman, mukaan lukien monikriteerit, ts. sellainen, jossa ei tavoitella yhtä, vaan useita päämääriä, myös ristiriitaisia.

Otetaan esimerkki. Jonoteoria on jonoongelma. On tarpeen tasapainottaa kaksi tekijää - palvelulaitteiden ylläpitokustannukset ja jonossa pysymisen kustannukset. Mallin muodollisen kuvauksen rakentamisen jälkeen laskelmat suoritetaan analyyttisin ja laskennallisin menetelmin. Jos malli on hyvä, niin sen avulla löydetyt vastaukset sopivat mallinnusjärjestelmään, jos se on huono, niin sitä tulee parantaa ja korvata. Käytäntö on riittävyyden kriteeri.

Optimointimalleilla, myös monikriteerisillä malleilla, on yhteinen ominaisuus - on tiedossa tavoite (tai useita tavoitteita), joiden saavuttamiseksi usein joutuu käsittelemään monimutkaisia ​​järjestelmiä, joissa ei ole niinkään kyse optimointiongelmien ratkaisemisesta, vaan tutkimisesta ja ennustaa tiloja riippuen valittavissa olevista hallintastrategioista. Ja tässä kohtaamme edellisen suunnitelman toteuttamisen vaikeudet. Ne ovat seuraavat:

• monimutkainen järjestelmä sisältää monia yhteyksiä elementtien välillä
• todelliseen järjestelmään vaikuttavat satunnaiset tekijät, niitä on mahdotonta ottaa analyyttisesti huomioon
• mahdollisuus verrata alkuperäistä malliin on olemassa vain matemaattisen laitteen käytön alussa ja sen jälkeen, koska välituloksilla ei välttämättä ole analogeja todellisessa järjestelmässä.

Listattujen monimutkaisten järjestelmien tutkimuksessa ilmenevien vaikeuksien yhteydessä käytäntö vaati joustavampaa menetelmää, ja se ilmestyi - simulaatiomallinnus "Simujaatiomallinnus".

Yleensä simulaatiomallilla tarkoitetaan tietokoneohjelmien kokonaisuutta, joka kuvaa yksittäisten järjestelmälohkojen toimintaa ja niiden välisen vuorovaikutuksen sääntöjä. Satunnaismuuttujien käyttö edellyttää toistuvien kokeiden suorittamista simulaatiojärjestelmällä (tietokoneella) ja tulosten tilastollista analysointia. Hyvin yleinen esimerkki simulaatiomallien käytöstä on jonotusongelman ratkaisu MONTE – CARLO -menetelmällä.

Simulaatiojärjestelmän kanssa työskentely on siis tietokoneella suoritettua koetta. Mitä hyötyä siitä on?

– Suuri läheisyys todelliseen järjestelmään kuin matemaattiset mallit;

- Lohkoperiaate mahdollistaa jokaisen lohkon tarkistamisen ennen kuin se sisällytetään kokonaisjärjestelmään;

– Käyttää monimutkaisempia riippuvuuksia, joita ei kuvata yksinkertaisilla matemaattisilla suhteilla.

Luetellut edut määrittelevät haitat

– Rakenna simulaatiomalli pidempi, vaikeampi ja kalliimpi;

- simulaatiojärjestelmän kanssa työskentelyyn tarvitaan tunnille sopiva tietokone;

- käyttäjän ja simulaatiomallin (rajapinnan) välinen vuorovaikutus ei saa olla liian monimutkaista, kätevää ja hyvin tunnettua;

– Simulaatiomallin rakentaminen vaatii todellisen prosessin syvempää tutkimista kuin matemaattista mallintamista.

Herää kysymys: voiko jäljitelmämallinnus korvata optimointimenetelmät? Ei, mutta täydentää niitä kätevästi. Simulaatiomalli on ohjelma, joka toteuttaa tietyn algoritmin, jonka ohjauksen optimoimiseksi optimointiongelma ratkaistaan ​​ensin.

Joten ei tietokone, matemaattinen malli tai sen tutkimuksen algoritmi erikseen pysty ratkaisemaan riittävän monimutkaista ongelmaa. Mutta yhdessä he edustavat voimaa, jonka avulla voit tuntea ympäröivän maailman, hallita sitä ihmisen etujen mukaisesti.

1.2 Mallin luokitus