Tee yhtälö Direct 2 pistettä. Yhtälö on linja, joka kulkee kahden asetuspisteen läpi: Esimerkkien ratkaisut

Yhtälö on ohuttanut kahden pisteen läpi. Artikkelissa" " Lupasin teidät purkamaan toisen tavan ratkaisemaan määritetyt tehtävät löytämään johdannaisen, tämän aikataulun toiminnon ja tangentin tähän grafiikkaan. Tämä menetelmä analysoimme , Älä missaa! Miksi Seuraavassa?

Tosiasia on, että suora yhtälö on kaava. Tietenkin olisi mahdollista vain näyttää tämän kaavan ja neuvoo sinua oppimaan sitä. Mutta on parempi selittää - mistä se tulee (ulkona). Se on välttämätöntä! Jos unohdat sen, palauta se nopeasti ei esitä työtä. Kaikki on kuvattu alla yksityiskohtaisesti. Joten meillä on kaksi pistettä koordinaatistossamme.(x 1; in 1: ssä) ja (x 2; 2: ssä), määritettyjen pisteiden kautta suoritettiin suora viiva:

Tässä on suora muoto:

* Tämä on, kun korvaa pisteiden erityisiä koordinaatteja, saamme muodon y \u003d kx + b.

** Jos tämä kaava on yksinkertaisesti "tarjoillaan", niin on suuri todennäköisyys sekoittaa indekseihin, kun h.. Lisäksi indeksit voidaan nimetä eri tavoin, esimerkiksi:

Siksi on tärkeää ymmärtää merkitys.

Nyt tämän kaavan peruuttaminen. Kaikki on hyvin yksinkertainen!

AVE- ja ACF-kolmiot ovat samanlaisia \u200b\u200bkuin akuutti kulma (ensimmäinen merkki suorakulmaisten kolmioiden samankaltaisuudesta). Tästä seuraa, että vastaavien seikkojen suhteet ovat yhtä suuret, toisin sanoen:

Nyt yksinkertaisesti ilmaista nämä segmentit eron kautta pisteiden koordinaateissa:

Tietenkään ei ole virheitä, jos kirjoitat elementtien suhdetta toisessa järjestyksessä (tärkein asia on noudattaa):

Tämän seurauksena sama yhtälö on sama. Se on kaikki!

Toisin sanoen riippumatta siitä, miten pisteitä itse ei ole nimetty (ja niiden koordinaatit), tämän kaavan ymmärtäminen löydät aina yhtälön suoraan.

Kaava voidaan johtaa vektorien ominaisuuksien avulla, mutta tuotoksen periaate on sama, koska se tulee niiden koordinaattien suhteellisuudesta. Tällöin kaikki suorakaiteen muotoisuudet toimivat. Mielestäni edellä kuvattu tuotos on selkeämpi)).

Näytä lähtö Vektorien koordinaattien kautta \u003e\u003e\u003e

Oletetaan, että koordinaattisolta on rakennettu suoraan, kulkee kahden ennalta määrätyn pisteen A (x 1; 1) ja in (x 2; in 2: ssä). Huomaamme suoraan mielivaltaisessa vaiheessa koordinaattien kanssa ( x.; y.). Me myös merkitsevät kaksi versiota:

On tunnettua, että rinnakkaisissa suorissa linjoissa olevat vektorit (joko yhdellä suoralla viivalla), niiden vastaavat koordinaatit ovat suhteellisia, eli:

- Kirjoita vastaavien koordinaattien tasa-arvo:

Harkitse esimerkkiä:

Etsi yhtälö suora kulkee kahdella pisteellä koordinaatit (2; 5) ja (7: 3).

Et voi edes rakentaa suoraa linjaa. Käytämme kaava:

On tärkeää, että olet kiinni, kun laatiko suhde. Et ole väärässä, jos kirjoitat:

Vastaus: Y \u003d -2 / 5x + 29/5 GO y \u003d -0.4x + 5.8

Jotta voitaisiin varmistaa, että saatu yhtälö löytyy oikein, varmista, että tarkista - korvaa datakoordinaatit pisteiden kunnossa. Vervian tasa-arvo olisi saatava.

Siinä kaikki. Toivon, että materiaali oli hyödyllinen sinulle.

Ystävällisin terveisin, Alexander.

P.S: Olen kiitollinen, jos kerrot sosiaalisista verkostoista.

Yhtälö paraabeli Se on kvadraattinen toiminto. Tämän yhtälön laatimiseksi on useita vaihtoehtoja. Kaikki riippuu siitä, mitkä parametrit esitetään terk-tilassa.

Ohje

Parabola on muodossa oleva käyrä, joka muistuttaa kaaria ja on kaavio tehotoiminnosta. Riippumatta siitä, onko ominaispiirteet parabola, tämä on edes. Testaa tällainen funktio, kaikissa argumenttien arvot määritelmästä, kun argumentti muuttuu, arvo ei muutu: f (-x) \u003d f (x) Aloita yksinkertaisimmalla toiminnolla: Y \u003d X ^ 2. Sen näkemyksestä voidaan päätellä, että se on sekä X: n väitteen negatiivisten arvojen kanssa. Piste, jossa x \u003d 0 ja samanaikaisesti Y \u003d 0 katsotaan pisteeksi.

Alla on kaikki tärkeimmät vaihtoehdot tämän toiminnon rakentamiseen ja siihen. Ensimmäisenä esimerkkinä muodon funktio: F (x) \u003d x ^ 2 + A on otettu huomioon, jossa A on kokonaisluku tämän toiminnon kaavion rakentamiseksi, on tarpeen siirtää graafin toiminto F ( x) yksiköihin. Esimerkki on toiminto Y \u003d X ^ 2 + 3, jossa toiminto kahteen yksikköön siirretään Y-akselilla. Jos toiminto annetaan vastakkaiselle merkkeelle, esimerkiksi Y \u003d X ^ 2-3, sen kaavio siirtyy Y-akselin alas.

Toinen toiminto, jonka Parabol voidaan asettaa, on f (x) \u003d (x + a) ^ 2. Tällaisissa tapauksissa aikataulu päinvastoin siirtyy Abscissan akselin (X-akselin) kautta yksiköihin. Voit esimerkiksi harkita toimintoja: y \u003d (x +4) ^ 2 ja y \u003d (x-4) ^ 2. Ensimmäisessä tapauksessa, jossa on ominaisuus, jossa on plus-merkki, kaavio siirtyy X-akselilla vasemmalle ja toisessa tapauksessa - oikea. Kaikki nämä tapaukset näkyvät kuvassa.

Anna kaksi pistettä antaa M.(H.1 ,W.1) I. N.(H.2, Y.2). Löydämme välittömän ohituksen näiden pisteiden kautta.

Koska tämä suora menee läpi pisteen M.Kaavan (1.13) mukaan sen yhtälöllä on lomake

W. – Y.1 = K.(X - X.1),

Missä K. - tuntematon kulmakerroin.

Tämän kerroin määritetään tästä tilasta, että haluttu suora kulkee pisteen läpi N.ja siksi sen koordinaatit täyttävät yhtälön (1.13)

Y.2 – Y.1 = K.(X.2 – X.1),

Täältä löydät tämän suoran kulmakerroin:

,

Tai muuntamisen jälkeen

(1.14)

Kaava 1.14 määrittää Yhtälö on ohuttanut kahden pisteen kautta M.(X.1, Y.1) I. N.(X.2, Y.2).

Erityisessä tapauksessa, kun pisteitä M.(A., 0), N.(0, B.), MUTTA ¹ 0, B. ¹ 0, makaa koordinaattien akseleissa, yhtälö (1.14) ottaa yksinkertaisemman näkymän

Yhtälö (1.15) olla nimeltään Suora yhtälö segmenteissätäällä MUTTA ja B. Merkitsee segmenttejä, jotka leikataan suoraan akseleihin (kuva 1.6).

Kuva 1.6.

Esimerkki 1.10. Tee yhtälö suora kulkee pisteiden kautta M.(1, 2) ja B.(3, –1).

. (1.14) mukaan halutun suoran yhtälöllä on lomake

2(Y. – 2) = -3(X. – 1).

Kaikkien jäsenten siirtäminen vasemmalle osalle, lopulta saat halutun yhtälön

3X. + 2Y. – 7 = 0.

Esimerkki 1.11. Tee tasainen linja, joka kulkee pisteen läpi M.(2, 1) ja välittömän risteyspisteen X.+ Y -1 = 0, X - W.+ 2 = 0.

. Suoraan liittyvän risteyspisteen koordinaatit päättämällä yhdessä nämä yhtälöt

Jos lisäät tähän asti nämä yhtälöt, saamme 2 X. + 1 \u003d 0, mistä. Korvaa arvo missä tahansa yhtälössä, löydämme tavallisen arvon W.:

Kirjoita nyt yhtälö suorat kulkevat kohdat (2, 1) ja:

Tai.

Siis tai -5 ( Y. – 1) = X. – 2.

Lopuksi saamme halutun suoran yhtälön muodossa H. + 5Y. – 7 = 0.

Esimerkki 1.12. Etsi suora yhtälö, joka kulkee pisteiden kautta M.(2,1) ja N.(2,3).

Kaavan (1.14) avulla saat yhtälön

Se ei ole järkevää, koska toinen nimittäjä on nolla. Ongelman kunnosta on selvää, että molempien pisteiden paiseilla on sama merkitys. Joten haluttu suora samansuuntainen akselin kanssa Oy. ja sen yhtälö on: X. = 2.

Kommentti . Jos yhtälön tallennuksessa suora kaava (1.14) on yhtä suuri kuin nolla, haluttu yhtälö voidaan saada vastaavalla numerolla nollaksi.

Harkitse muita tapoja asettaa suoraan koneeseen.

1. Anna nonzero-vektori kohtisuorassa tähän suoraan L.ja kohta M.0(X.0, Y.0) on tässä suorassa linjassa (kuva 1.7).

Kuva 1.7.

Merkitä M.(X., Y.) mielivaltainen kohta suoraan L.. Vektorit I. Ortogonaalinen. Näiden vektoreiden ortogonaalisuuden käyttö, saamme tai MUTTA(X. – X.0) + B.(Y. – Y.0) = 0.

Saimme yhtälön suoraan kulkevan pisteen läpi M.0 kohtisuora vektoriin nähden. Tämä vektori kutsutaan Normaali vektori ohjata L.. Tuloksena oleva yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen

vai niin + Wu. + Peräkkäin \u003d 0, missä Peräkkäin = –(MUTTAX.0 + Mennessä0), (1.16),

Missä MUTTA ja SISÄÄN- Normaalin vektorin koordinaatit.

Saavutamme yleisen yhtälön suoraan parametriseen muotoon.

2. Suora tasoon voidaan asettaa seuraavasti: anna nonzero-vektori yhdensuuntaisesti tämän suoran kanssa L. ja kohta M.0(X.0, Y.0) on tässä suorassa linjassa. Ota mielivaltainen kohta uudelleen. M.(H., Y) suorassa linjassa (kuva 1.8).

Kuva 1.8.

Vektorit I. Collinar.

Kirjoitamme näiden vektorien toimittamisen edellytyksen: missä T. - mielivaltainen numero, jota kutsutaan parametriksi. Puhu tätä tasa-arvoa koordinaateissa:

Näitä yhtälöitä kutsutaan Parametriset yhtälöt Suoraan. Poista nämä yhtälöt, parametri T.:

Nämä yhtälöt voivat muuten kirjoittaa

. (1.18)

Tuloksena olevaa yhtälöä kutsutaan Kanoninen yhtälö suora. Vektori kutsui Suora vektori suoraan .

Kommentti . On helppo nähdä, että jos - vektori normaali suorassa linjassa L., sitten sen ohjausvektori voi olla vektori, koska, eli ..

Esimerkki 1.13. Kirjoita yhtälö suora kulkee pisteen läpi M.0 (1, 1) rinnakkainen suora 3 H. + 2W.– 8 = 0.

Päätös . Vektori on normaalin vektori määritettyyn ja haluttuun suoraan. Käytämme välittömän ohituksen yhtälöä M.0, jossa on ennalta määrätty normaali vektori 3 ( H. –1) + 2(W. - 1) \u003d 0 tai 3 H. + 2 - 5 \u003d 0. Vastaanotettu yhtälö haluttu suora.

Suora, kulkee kohdan K (x 0; y 0) ja rinnakkaisen suoran y \u003d kx + A mukaisen kaavan mukaisesti:

y - Y 0 \u003d K (x - x 0) (1)

Jossa K on suoran kulmakerroin.

Vaihtoehtoinen kaava:
Suora, kulkee pisteen M 1 (x 1; y 1) ja yhdenluoneen yhden tai yhdensuuntaisen suoran akselin + välillä.

A (x - x 1) + b (Y-Y 1) \u003d 0. (2)

Esimerkki numero 2. Kirjoita suoraviivainen yhtälö, rinnakkainen suora 2x + 5y \u003d 0 ja muodostaa kolmion koordinaatit yhdessä koordinaattien akseleiden kanssa, jonka pinta-ala on 5.
Päätös . Koska tasainen rinnakkainen yhtälö on haluttu suora 2x + 5y + c \u003d 0. Suorakulmainen kolmio, jossa A ja B-kortti. Etsi halutun välisetkin välittömät koordinaattien akseleilla:
;
.
Joten, A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). Korvaavan kaavan neliö: . Saat kaksi ratkaisua: 2x + 5y + 10 \u003d 0 ja 2x + 5y - 10 \u003d 0.

Esimerkki numero 3. Tee tasainen linja, joka kulkee pisteen läpi (-2; 5) ja rinnakkaistason 5x-7Y-4 \u003d 0.
Päätös. Tätä suoraa voidaan edustaa Y \u003d 5/7 x - 4/7 yhtälö (tässä \u003d 5/7). Halutun suoran yhtälö on Y - 5 \u003d 5/7 (X - (-2)), ts. 7 (Y-5) \u003d 5 (x + 2) tai 5x-7Y + 45 \u003d 0.

Esimerkki numero 4. Päätös esimerkki 3 (a \u003d 5, b \u003d -7) kaavalla (2), löydämme 5 (x + 2) -7 (Y-5) \u003d 0.

Esimerkki numero 5. Tee välittömän ohimenen yhtälö (-2; 5) ja yhdensuuntainen suora 7x + 10 \u003d 0.
Päätös. Tässä a \u003d 7, b \u003d 0. Kaava (2) antaa 7 (x + 2) \u003d 0, ts. x + 2 \u003d 0. Kaavaa (1) ei voida soveltaa, koska tätä yhtälöä ei voida ratkaista suhteessa Y: ään (tämä suoraan yhdensuuntainen ordinateakselin kanssa).

Ominaisuudet suoraan euklidean geometriaan.

Kaiken pisteen avulla voit viettää äärettömän paljon suoria viivoja.

Kahden epäjohdonmukaisen pisteen kautta voit viettää ainoa suora linja.

Kaksi epäjohdonmukaista suoraa tasossa tai leikkaavat yhdellä pisteellä tai ovat

rinnakkain (seuraa edellistä).

Kolmiulotteisessa tilassa on kolme vaihtoehtoa kahden suoran rivin rentoutumiseen:

• suora leikkaus;

• suora rinnakkainen;

• suorat silloitukset.

Suoraan linja - Ensimmäisen järjestyksen algebrallinen käyrä: Cartesian koordinaattijärjestelmässä suoraviivalla

aseta tasolle ensimmäisen asteen yhtälö (lineaarinen yhtälö).

Yleinen yhtälö on suora.

Määritelmä. Kaikki suoraan koneeseen voidaan asettaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä

Ah + VO + C \u003d 0,

ja vakio A, B. Ei yhtä suuri nolla samanaikaisesti. Tämä on ensimmäinen tilausyhtälö yleinen

yhtälö suora. Riippuen vakion arvoista A, B. ja Peräkkäin Seuraavat erityiset asiat ovat mahdollisia:

. C \u003d 0, a ≠ 0, ≠ 0 - Suorat kulut koordinaattien alkuperän kautta

. A \u003d 0, ≠ 0, s ≠ 0 (+ C \u003d 0)- suora rinnakkainen akselin kanssa vai niin

. B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - suora rinnakkainen akselin kanssa Ou

. B \u003d C \u003d 0 ja ≠ 0 - Suora samaan aikaan akselin kanssa Ou

. A \u003d C \u003d 0, ≠ 0 - Suora samaan aikaan akselin kanssa vai niin

Yhtälö suora voi olla edustettuna eri muodossa riippuen annettuista

alkuolosuhteet.

Yhtälö on suoraan pisteeseen ja normaalin vektoriin.

Määritelmä. Cartesian suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmävektorissa komponentit (A, B)

kohtisuorassa suoraan määritettyyn yhtälöön

Ah + W + C \u003d 0.

Esimerkki. Etsi yhtälö suora kulkee pisteen läpi A (1, 2) Kohtisuorassa vektoriin nähden (3, -1).

Päätös. Muodostamme A \u003d 3 ja B \u003d -1, yhtälö on suora: 3x - Y + C \u003d 0. Yökerroin

korvaa tietyn kohdan koordinaatin saatuun ilmentymiseen. Saavutamme: 3 - 2 + C \u003d 0, siksi

C \u003d -1. Yhteensä: Haluttu yhtälö: 3x - Y - 1 \u003d 0.

Yhtälö on ohuttanut kahden pisteen läpi.

Anna kahta pistettä avaruudessa M 1 (x 1, y 1, z 1)ja M2 (x 2, y 2, z 2), sitten yhtälö suora,

näiden kohtien kautta:

Jos jokin nimittäjä on nolla, vastaava numerointi on nolla. Jssk

yhtälennon yläpuolella oleva taso yksinkertaistetaan:

jos x 1 ≠ x 2 ja x \u003d x 1 , jos x 1 \u003d x 2 .

Fraktio \u003d K. olla nimeltään kulmakerroin suoraan.

Esimerkki. Etsi yhtälö suora kulkee pisteiden A (1, 2) ja (3, 4) kautta.

Päätös. Sovelletaan edellä tallennettu kaavan, saamme:

Yhtälö on suoraan pisteeseen ja kulmakerroin.

Jos yleinen yhtälö on suora Ah + VO + C \u003d 0 johtaa mieleen:

ja ilmoitettava Sitten saatu yhtälö kutsutaan

yhtälö on suora viiva kulmakerroin k.

Yhtälö on suoraan pisteessä ja ohjausvektorissa.

Analogisesti kohtaa, kun otetaan huomioon yhtälö suoraan normaalin vektorin läpi, voit kirjoittaa tehtävän

suora läpi piste ja ohjata vektori suoraan.

Määritelmä. Jokainen ei-vektori (α 1, α 2)joiden komponentit täyttävät tilan

Aα 1 + bα 2 \u003d 0 olla nimeltään suora suora vektori.

Ah + W + C \u003d 0.

Esimerkki. Etsi rivin yhtälö ohjausvektorin (1, -1) kanssa ja kulkee pisteen A (1, 2) läpi.

Päätös. Yhtälö on oikea rivi on seuraava: Ax + C \u003d 0. Määritelmän mukaisesti

kertoimien on täytettävä ehdot:

1 * A + (-1) * b \u003d 0, ts. A \u003d V.

Sitten suora yhtälö ottaa muodon: AX + AY + C \u003d 0, tai x + Y + C / A \u003d 0.

varten x \u003d 1, y \u003d 2vastaanottaa C / A \u003d -3. Haluttu yhtälö:

x + Y - 3 \u003d 0

Yhtälö on suora segmentteihin.

Jos suoran AH + V / C \u003d 0 s ≠ 0: n yleinen yhtälö, sitten erottaa päälle-° C, saamme:

tai missä

Kertoimien geometrinen merkitys on se, että kerroin A on koordinaattipiste risteyksessä

suoraan akselilla Vai niin, mutta b. - koordinaattipisteen risteys suoraan akselilla Ou.

Esimerkki. Yleinen yhtälö on asetettu X - Y + 1 \u003d 0.Etsi yhtälö tähän suoraan segmentteihin.

C \u003d 1 ,, A \u003d -1, B \u003d 1.

Normaali yhtälö on suora.

Jos molemmat osat yhtälöstä Ah + VO + C \u003d 0 Jaa numero olla nimeltään

normalisointi kertojan, Saan

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -normaali yhtälö on suora.

Merkki ± normalisointikerroin tulee valita niin, että μ * S.< 0.

r - kohtisuoran pituus, joka laskee koordinaattien alusta suoraan,

mutta φ - tässä muodostettu kulma, joka on kohtisuorassa positiivisella akselin suunnassa Vai niin.

Esimerkki. Yleinen yhtälö annetaan 12x - 5. - 65 \u003d 0. Sinun on kirjoitettava erilaisia \u200b\u200byhtälöitä

tämä suora.

Tämän rivin yhtälö segmenteissä:

Tämän suoran linjan yhtälö, jossa kulmakerroin: (Me jakaamme 5)

Yhtälö suora:

cos φ \u003d 12/13; SIN φ \u003d -5/13; P \u003d 5.

On huomattava, että ei kaikki suorat, esimerkiksi segmenttien yhtälö, esimerkiksi suora,

rinnakkaiset akselit tai kulkevat alkuperää.

Kulma suoraan tasossa.

Määritelmä. Jos kaksi suoraa y \u003d K 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , sitten terävä kulma näiden suorana

määritellään

Kaksi suoraa rinnakkaista k 1 \u003d k 2. Kaksi suoraa kohtisuoraa,

jos k 1 \u003d -1 / k 2 .

Lause.

Suoraan Ah + VO + C \u003d 0ja 1 x + 1 y + c 1 \u003d 0 Rinnakkain, kun se on verrannollinen kertoimiin

Ja 1 \u003d λA, in 1 \u003d λ. Jos tänään I. C 1 \u003d λСJa sitten suorassa samanaikaisesti. Kahden suoran koordinaatit

sijaitsee näiden välittömien yhtälöjärjestelmän ratkaisuna.

Tämän pisteen kautta kulkevan välittömän yhtälö on kohtisuorassa tähän suoraan.

Määritelmä. Suora, kulkee pisteen läpi M 1 (x 1, in 1) ja kohtisuorassa suoraan y \u003d kx + b

sitä edustaa yhtälö:

Etäisyys pisteestä suoraan.

Lause. Jos kohta on asetettu M (x 0, y 0), Sitten etäisyys suoraan Ah + VO + C \u003d 0päättäväisesti:

Todiste. Anna pisteen M 1 (x 1, in 1) - kohtisuoran pohja, joka laskee pisteestä M.määritellyllä tavalla

suoraan. Sitten pisteiden välinen etäisyys M.ja M 1.:

(1)

Koordinaatit x 1 ja kohdassa 1. Voidaan löytää yhtälöjärjestelmän ratkaisuna:

Järjestelmän toinen yhtälö on tasavirran yhtälö, joka kulkee määritetyn pisteen M 0 kautta kohtisuorassa

määritetty suora. Jos muuntat ensimmäisen järjestelmän yhtälön mieleen:

A (x - x 0) + b (Y - Y 0) + AX \u200b\u200b0 + 0 + C \u003d 0,

se, ratkaise, saamme:

Korvaa nämä lausekkeet yhtälöön (1), löydämme:

Teorem on osoitettu.