Modulon numero itse numeroa kutsutaan, jos se ei ole negatiivinen, tai samaa numeroa vastakkaisella merkillä, jos se on negatiivinen.

Esimerkiksi moduuli 6 on 6, moduuli -6 on myös 6.

Toisin sanoen luvun absoluuttisena arvona ymmärretään absoluuttinen arvo, tämän luvun absoluuttinen arvo riippumatta sen merkistä.

Se on merkitty seuraavasti: | 6 |, | x|, |ja| jne.

(Katso lisätietoja kohdasta "Numeromoduuli").

Yhtälöt moduulilla.

Esimerkki 1 ... Ratkaise yhtälö|10 x - 5| = 15.

Päätös.

Säännön mukaan yhtälö vastaa kahden yhtälön yhdistelmää:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

Me päätämme:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

Vastaus: x 1 = 2, x 2 = -1.

Esimerkki 2 ... Ratkaise yhtälö|2 x + 1| = x + 2.

Päätös.

Koska moduuli on ei-negatiivinen luku, niin x + 2 ≥ 0. Vastaavasti:

x ≥ -2.

Yhdistämme kaksi yhtälöä:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

Me päätämme:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

Molemmat luvut ovat suurempia kuin -2. Siksi molemmat ovat yhtälön juuret.

Vastaus: x 1 = -1, x 2 = 1.

Esimerkki 3 ... Ratkaise yhtälö

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

Päätös.

Yhtälö on järkevä, jos nimittäjä ei ole nolla - se tarkoittaa, jos x ≠ 1. Otetaan huomioon tämä ehto. Ensimmäinen toimintamme on yksinkertainen - et vain päästä eroon murtosta, vaan muunna se niin, että saamme moduulin puhtaassa muodossa:

|x + 3 | - 1 \u003d 4 ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

Nyt meillä on vain lauseke moduulin alapuolella yhtälön vasemmalla puolella. Jatka eteenpäin.
Luvun moduuli on ei-negatiivinen luku - ts. Sen on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Sen mukaisesti ratkaisemme eriarvoisuuden:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

Siten meillä on toinen ehto: Yhtälön juuren on oltava vähintään 3/4.

Säännön mukaisesti me muodostamme sarjan kaksi yhtälöä ja ratkaisemme ne:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

Saimme kaksi vastausta. Tarkistetaan, ovatko ne alkuperäisen yhtälön juuria.

Meillä oli kaksi ehtoa: Yhtälön juuri ei voi olla yhtä suuri kuin 1, ja sen on oltava vähintään 3/4. so x ≠ 1, x ≥ 3/4. Vain toinen kahdesta vastaanotetusta vastauksesta täyttää nämä molemmat ehdot - luvun 2. Tämä tarkoittaa, että vain se on alkuperäisen yhtälön juuri.

Vastaus: x = 2.

Eriarvoisuudet moduulin kanssa.

Esimerkki 1 ... Ratkaise eriarvoisuus| x - 3| < 4

Päätös.

Moduulin sääntö sanoo:

|ja| = ja, jos ja ≥ 0.

|ja| = -ja, jos ja < 0.

Moduulissa voi olla sekä ei-negatiivisia että negatiivisia lukuja. Siksi meidän on harkittava molempia tapauksia: x - 3 ≥ 0 ja x - 3 < 0.

1) Milloin x - 3 ≥ 0, alkuperäinen epätasa-arvo säilyy sellaisenaan, vain ilman moduulimerkkiä:
x - 3 < 4.

2) Milloin x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

Laajentamalla hakasia saadaan:

-x + 3 < 4.

Niinpä näistä kahdesta ehdosta päädyimme kahden eriarvoisuusjärjestelmän yhdistymiseen:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

Ratkaistaan \u200b\u200bne:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

Joten vastauksessamme meillä on kahden ryhmän liitto:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

Määritä pienin ja suurin arvo. Nämä ovat -1 ja 7. Samanaikaisesti x suurempi kuin -1, mutta vähemmän kuin 7.
Sitä paitsi, x ≥ 3. Siksi eriarvoisuuden ratkaisu on koko lukujoukko välillä -1 - 7, lukuun ottamatta näitä ääriarvoja.

Vastaus: -1 < x < 7.

Tai: x ∈ (-1; 7).

lisäravinteet.

1) Eriarvoisuuden ratkaisemiseksi on yksinkertaisempi ja lyhyempi tapa - graafinen. Tämän täytyy piirtää vaaka-akseli (kuva 1).

Lauseke | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x pisteeseen 3 alle neljä yksikköä. Merkitsemme numeron 3 akselilla ja laskemme 4 jakoa vasemmalle ja oikealle siitä. Vasemmalla puolella olemme pisteessä -1, oikealla - pisteessä 7. Näin ollen pisteet x me vain näimme laskematta niitä.

Lisäksi epätasa-arvo-olosuhteiden mukaan itse -1 ja 7 eivät sisälly ratkaisusarjaan. Siten saamme vastauksen:

1 < x < 7.

2) Mutta on vielä yksi ratkaisu, joka on jopa graafisesti yksinkertaisempi. Tätä varten eriarvoisuutemme on esitettävä seuraavassa muodossa:

4 < x - 3 < 4.

Loppujen lopuksi näin se on moduulisäännön mukaan. Ei-negatiivinen luku 4 ja vastaava negatiivinen luku -4 ovat rajoja epätasa-arvon ratkaisemiseksi.

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

Esimerkki 2 ... Ratkaise eriarvoisuus| x - 2| ≥ 5

Päätös.

Tämä esimerkki eroaa huomattavasti edellisestä. Vasen puoli on suurempi kuin 5 tai yhtä kuin 5. Geometrisestä näkökulmasta ratkaisu epätasa-arvoon on kaikki numerot, jotka ovat vähintään 5 yksikön etäisyydellä pisteestä 2 (kuva 2). Kaavio osoittaa, että nämä ovat kaikki lukuja, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin -3 ja suurempia tai yhtä suuret kuin 7. Joten, olemme jo saaneet vastauksen.

Vastaus: -3 ≥ x ≥ 7.

Matkan varrella ratkaisemme saman epätasa-arvon pitämällä vapaata termiä vasemmalle ja oikealle vastakkaisella merkillä:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

Vastaus on sama: -3 ≥ x ≥ 7.

Tai: x ∈ [-3; 7]

Esimerkki ratkaistu.

Esimerkki 3 ... Ratkaise eriarvoisuus6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

Päätös.

Määrä x voi olla positiivinen, negatiivinen tai nolla. Siksi meidän on harkittava kaikkia kolme tilannetta. Kuten tiedät, ne otetaan huomioon kahdessa eriarvoisuudessa: x ≥ 0 ja x < 0. При x ≥ 0 me vain kirjoitamme alkuperäisen eriarvoisuutemme sellaisenaan, vain ilman moduulimerkkiä:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

Nyt toisesta tapauksesta: jos x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

Laajenna kiinnikkeet:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

Siten meillä on kaksi yhtälöjärjestelmää:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

On välttämätöntä ratkaista järjestelmien epätasa-arvo - mikä tarkoittaa, että on löydettävä kahden asteen yhtälön juuret. Tätä varten me yhtälöimme eriarvoisuuden vasemman puolen nollaan.

Aloitetaan ensimmäisestä:

6x 2 - x - 2 = 0.

Kuinka toissijainen yhtälö ratkaistaan \u200b\u200b- katso kohta "Toissijainen yhtälö". Nimeämme vastauksen heti:

x 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Ensimmäisestä epäyhtälöjärjestelmästä havaitaan, että ratkaisu alkuperäiseen epätasa-arvoisuuteen on koko lukujoukko välillä -1/2 - 2/3. Me kirjoitamme ratkaisujen liiton x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Nyt ratkaistaan \u200b\u200btoinen toisen asteen yhtälö:

6x 2 + x - 2 = 0.

Sen juuret:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

Päätelmä: at x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Yhdistetään kaksi vastausta ja saadaan lopullinen vastaus: ratkaisu on koko joukko numeroita -2/3 - 2/3, mukaan lukien nämä ääriarvot.

Vastaus: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

Tai: x ∈ [-2/3; 2/3].

Menetelmät (säännöt) epätasa-arvoisuuden paljastamiseksi moduulien kanssa koostuvat moduulien perättäisestä ilmoittamisesta samalla, kun käytetään submodulaaristen toimintojen merkkivakauden välejä. Lopullisessa versiossa saadaan useita epäyhtälöitä, joista löydetään välejä tai välejä, jotka täyttävät ongelman tilan.

Siirrymme eteenpäin yleisten esimerkkien ratkaisemiseen käytännössä.

Lineaarinen epätasa-arvo moduulien kanssa

Lineaarisella tarkoitamme yhtälöitä, joissa muuttuja tulee yhtälöön lineaarisesti.

Esimerkki 1. Etsi ratkaisu eriarvoisuuteen

Päätös:
Ongelman tilasta seuraa, että moduulit kääntyvät nollaan x \u003d -1 ja x \u003d -2. Nämä kohdat jakavat lukuakselin välein

Jokaisessa näissä väleissä ratkaisemme annetun epätasa-arvon. Tätä varten piirrämme ensin graafiset piirrokset submodulaaristen toimintojen vakioalueista. Ne on kuvattu alueina, joissa on merkkejä jokaisesta toiminnosta

tai välein, joissa on merkkejä kaikista toiminnoista

Avaa ensimmäisen välin moduulit

Kertomme molemmat osapuolet miinus yhdellä, ja eriarvoisuuden merkki muuttuu päinvastaiseksi. Jos sinulle on vaikea tottua tähän sääntöyn, voit siirtää jokaista osaa merkinnällä päästäksesi eroon miinuksesta. Viimeisessä versiossa saat

Joukon x\u003e -3 leikkaus alueeseen, jolla yhtälöt ratkaistiin, on väli (-3; -2). Niille, joille on helpompaa etsiä ratkaisuja, voit piirtää graafisesti näiden alueiden leikkauspisteen

Alueiden yhteinen leikkauskohta on ratkaisu. Tiukalla epätasaisuudella reunat eivät sisälly toimitukseen. Jos ei ole tiukka, tarkista korvaamalla.

Toisella aikavälillä saamme

Leikkaus on väli (-2; -5/3). Graafisesti ratkaisu näyttää tältä

Kolmannessa jaksossa saamme

Tämä ehto ei anna ratkaisuja halutulle alueelle.

Koska löydetyt kaksi ratkaisua (-3; -2) ja (-2; -5/3) rajaavat pisteen x \u003d -2, tarkistamme sen myös.

Joten piste x \u003d -2 on ratkaisu. Kun tämä otetaan huomioon, yleinen ratkaisu näyttää (-3; 5/3).

Esimerkki 2. Löydä ratkaisu eriarvoisuuteen
| x-2 | - | x-3 |\u003e \u003d | x-4 |

Päätös:
Pisteet x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4 ovat submodulaaristen toimintojen nollia. Näitä pisteitä pienemmillä argumenteilla submodulaariset funktiot ovat negatiivisia, ja suurten argumentit ovat positiivisia.

Pisteet jakaa todellisen akselin neljään väliin. Laajennamme moduuleja vakiovälien mukaan ja ratkaisemme eriarvoisuudet.

1) Ensimmäisellä aikavälillä kaikki submodulaariset toiminnot ovat negatiivisia, joten moduuleja laajennettaessa muutamme merkin vastakkaiseen suuntaan.

Löytyneiden x-arvojen leikkaus tarkasteltavan ajanjakson kanssa on pistejoukko

2) Pisteiden x \u003d 2 ja x \u003d 3 välillä, ensimmäinen submodulaarinen funktio on positiivinen, toinen ja kolmas ovat negatiivisia. Laajentamalla moduuleja saamme

epätasa-arvo, joka leikkauspisteessä sen intervallin kanssa, johon ratkaisemme, antaa yhden ratkaisun - x \u003d 3.

3) Pisteiden x \u003d 3 ja x \u003d 4 välisellä aikavälillä ensimmäinen ja toinen submodulaarinen funktio on positiivinen ja kolmas negatiivinen. Tämän perusteella saamme

Tämä ehto osoittaa, että koko väli tyydyttää moduulin epätasa-arvon.

4) Jos x\u003e 4, kaikki toiminnot ovat positiivisia. Laajentaessamme moduuleja, emme muuta niiden merkkiä.

Löydetty tila leikkausvälillä välin kanssa antaa seuraavan joukon ratkaisuja

Koska epätasa-arvo ratkaistaan \u200b\u200bkaikilla väleillä, on edelleen löydettävä kaikista x: n havaituista arvoista yhteinen. Ratkaisu olisi kaksi aikaväliä

Tämä esimerkki on ratkaistu.

Esimerkki 3. Löydä ratkaisu eriarvoisuuteen
|| x-1 | -5 |\u003e 3-2x

Päätös:
Meillä on eriarvo moduulimoduulilla. Tällaiset eriarvoisuudet paljastuvat moduulien sisäkkäisissä asemissa alkaen syvemmältä sijaitsevista.

Alimoduulitoiminto x-1 muuntuu nollaksi x \u003d 1: ssä. Pienemmille arvoille 1 se on negatiivinen ja positiivinen x: lle. Tämän perusteella avaamme sisämoduulin ja pohdimme epätasa-arvoa jokaisessa intervallissa.

Aluksi harkitsevä väli miinus äärettömyydestä yhteen

Alamoduulin toiminto on nolla pisteessä x \u003d -4. Alemmilla arvoilla se on positiivinen, korkeammilla arvoilla negatiivinen. Laajenna moduuli x: lle<-4:

Risteyksessä sen verkkotunnuksen kanssa, jota harkitsemme, saamme ratkaisusarjan

Seuraava vaihe on moduulin avaaminen aikavälillä (-4; 1)

Kun otetaan huomioon moduulien paljastusalue, saadaan ratkaisuväli

MUISTA: Jos saat kaksi väriä, jotka rajoittavat yhteistä pistettä tällaisissa epäsäännöllisyyksissä moduulien kanssa, se on pääsääntöisesti myös ratkaisu.

Voit tehdä tämän, sinun täytyy vain tarkistaa.

Korvaa tässä tapauksessa piste x \u003d -4.

Joten x \u003d -4 on ratkaisu.
Avataan sisäinen moduuli x\u003e 1: lle

Submoduulin toiminta negatiivinen x: lle<6.
Laajentamalla moduulia, saamme

Tämä ehto jaksossa intervallilla (1; 6) antaa tyhjän ratkaisusarjan.

Jos x\u003e 6 saadaan eriarvo

Myös ratkaiseminen sai tyhjän sarjan.
Kun otetaan huomioon kaikki edellä oleva, ainoa ratkaisu epätasa-arvoon moduulien kanssa on seuraava aikaväli.

Epätasa-arvot moduulien kanssa, jotka sisältävät kvadraattisia yhtälöitä

Esimerkki 4. Etsi ratkaisu eriarvoisuuteen
| x ^ 2 + 3x |\u003e \u003d 2-x ^ 2

Päätös:
Alimoduulitoiminto katoaa pisteistä x \u003d 0, x \u003d -3. Yksinkertainen korvaaminen miinus

osoitamme, että se on pienempi kuin nolla välillä (-3; 0) ja positiivinen sen ulkopuolella.
Laajenna moduulia alueilla, joilla submodulaarinen toiminta on positiivinen

Jää vielä määrittää alueet, joilla neliöfunktio on positiivinen. Tätä varten määritetään neliömäisen yhtälön juuret

Korvaamme mukavuuden vuoksi pisteen x \u003d 0, joka kuuluu väliin (-2; 1/2). Toiminto on negatiivinen tällä aikavälillä, mikä tarkoittaa, että seuraava asettaa x

Tässä hakasulkeissa ilmoitetaan ratkaisualueiden reunat, tämä tehtiin tarkoituksellisesti ottaen huomioon seuraava sääntö.

MUISTA: Jos epätasa-arvo moduulien kanssa tai yksinkertainen epätasa-arvo on tiukka, löydettyjen alueiden reunat eivät ole ratkaisuja, jos eriarvoisuudet eivät ole tiukkoja (), reunat ovat ratkaisuja (merkitty hakasulkeilla).

Tätä sääntöä käyttävät monet opettajat: jos määritetään tiukka epätasa-arvo ja kirjoitat laskelmien aikana ratkaisuun hakasulkeen ([,]), he laskevat sen automaattisesti virheelliseksi vastaukseksi. Jos testissä määritetään myös ei-tiukka eriarvoisuus moduulien kanssa, etsi ratkaisujen joukosta hakasulkeilla varustettuja alueita.

Vaihda moduulin avaamisen välein (-3; 0) funktion merkki vastakkaiseksi

Kun otetaan huomioon eriarvoisuuden paljastusalue, ratkaisulla on muoto

Yhdessä edellisen alueen kanssa tämä antaa kaksi puoliväliä

Esimerkki 5. Etsi ratkaisu eriarvoisuuteen
9x ^ 2- | x-3 |\u003e \u003d 9x-2

Päätös:
Annetaan löysä epätasa-arvo, jonka submodulaarinen funktio on nolla pisteessä x \u003d 3. Alemmilla arvoilla se on negatiivinen, korkeammilla arvoilla se on positiivinen. Laajenna moduuli välellä x<3.

Etsi yhtälön erottaja

ja juuret

Korvaamalla piste nolla, saamme selville, että aikavälillä [-1/9; 1] neliöfunktio on negatiivinen, joten väli on ratkaisu. Laajenna seuraavaksi moduuli x\u003e 3: lle

Tämä online-matemaattinen laskin auttaa sinua ratkaise yhtälö tai epätasa-arvo moduuleilla... Ohjelma yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisut moduuleilla ei vain anna vastausta ongelmaan, vaan antaa yksityiskohtainen ratkaisu selityksineen, ts. näyttää tuloksen hankkimisprosessin.

Ohjelmasta voi olla hyötyä lukioiden vanhemmille oppilaille, kun he valmistautuvat kokeisiin ja tentteihin, kun tarkistetaan tietoja ennen tenttiä, vanhemmille hallita monien matematiikan ja algebran ongelmien ratkaisua. Tai ehkä on liian kallista palkata ohjaaja tai ostaa uusia oppikirjoja? Vai haluatko vain saada matematiikan tai algebran kotitehtäväsi suorittamaan mahdollisimman nopeasti? Tässä tapauksessa voit käyttää ohjelmiamme myös yksityiskohtaisen ratkaisun kanssa.

Tällä tavalla voit johtaa omaa opetusta ja / tai opettaa nuorempia veljiä tai sisaret, kun taas ratkaistavien ongelmien alan koulutustaso nousee.

Syötä yhtälö tai epäyhtälö moduuleilla

Todettiin, että joitain tämän ongelman ratkaisemiseksi tarvittavia skriptejä ei ladattu, ja ohjelma ei ehkä toimi.
Ehkä olet ottanut AdBlockin käyttöön.
Poista tällöin se käytöstä ja päivitä sivu.

Koska On paljon ihmisiä, jotka haluavat ratkaista ongelman, pyyntösi on jonossa.
Muutaman sekunnin kuluttua ratkaisu tulee näkyviin.
Odota sek ...

Jos sinä huomasi virheen päätöksessä, voit kirjoittaa tästä Palaute-lomakkeessa.
Älä unohda määritä mikä tehtävä sinä päätät ja mitä kirjoita kenttiin.

Pelimme, palapelit, emulaattorit:

Hieman teoriaa.

Yhtälöt ja epätasa-arvot moduuleilla

Peruskoulun algebrakurssilla voi kohdata yksinkertaisimmat yhtälöt ja epätasa-arvo moduulien kanssa. Niiden ratkaisemiseksi voit käyttää geometristä menetelmää, joka perustuu siihen, että \\ (| x-a | \\) on etäisyys numeroviivalla pisteiden x ja a välillä: \\ (| x-a | \u003d \\ rho (x; \\; a) \\). Esimerkiksi yhtälön \\ (| x-3 | \u003d 2 \\) ratkaisemiseksi sinun on löydettävä numeroriviltä pisteitä, jotka ovat 2 etäisyydellä pisteestä 3. Tällaisia \u200b\u200bpisteitä on kaksi: \\ (x_1 \u003d 1 \\) ja \\ (x_2 \u003d 5 \\). ...

Eriarvoisuuden ratkaiseminen \\ (| 2x + 7 |

Mutta tärkein tapa ratkaista yhtälöt ja epätasa-arvo moduulien kanssa liittyy ns. "Moduulin laajennus määritelmän mukaan":
jos \\ (a \\ geq 0 \\), niin \\ (| a | \u003d a \\);
if \\ (a Yleensä yhtälö (epätasa-arvo) moduuleilla pienenee yhtälöryhmäksi (epätasa-arvoisuuksiksi), jotka eivät sisällä moduulimerkkiä.

Tämän määritelmän lisäksi käytetään seuraavia lauseita:
1) Jos \\ (c\u003e 0 \\), niin yhtälö \\ (| f (x) | \u003d c \\) vastaa yhtälöryhmää: \\ (\\ vasen [\\ aloita (taulukko) (l) f (x) \u003d c \\\\ 2) Jos \\ (c\u003e 0 \\), niin epätasa-arvo \\ (| f (x) | 3) Jos \\ (c \\ geq 0 \\), niin epätasa-arvo \\ (| f (x) |\u003e c \\) vastaa eriarvoisuutta. : \\ (\\ vasen [\\ aloita (ryhmä) (l) f (x) c \\ loppu (ryhmä) \\ oikea. \\)
4) Jos epätasa-arvon molemmat puolet \\ (f (x)
Esimerkki 1. Ratkaise yhtälö \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\). Jos \\ (x-1 \\ geq 0 \\), niin \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) ja annettu yhtälö on muoto

\\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Oikea nuoli x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\).
Jos \\ (x-1 \\ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Oikea nuoli x ^ 2 -2x -4 \u003d 0 \\).
Siksi annettua yhtälöä olisi tarkasteltava erikseen molemmissa mainituissa tapauksissa.
1) Olkoon \\ (x-1 \\ geq 0 \\), ts. \\ (x \\ geq 1 \\). Yhtälöstä \\ (x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) löydämme \\ (x_1 \u003d 2, \\; x_2 \u003d -4 \\). Edellytys \\ (x \\ geq 1 \\) täytetään vain arvolla \\ (x_1 \u003d 2 \\).
2) Annetaan \\ (x-1 Vastaus: \\ (2; \\; \\; 1- \\ sqrt (5) \\)
Esimerkki 2. Ratkaise yhtälö \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ fra (5x-9) (3) \\).

Ensimmäinen tapa

(moduulin laajennus määritelmän mukaan). Kuten esimerkissä 1, päädymme siihen, että annettua yhtälöä on tarkasteltava erikseen, jos kaksi ehtoa täyttyvät: \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) tai \\ (x ^ 2-6x + 7
1) Jos \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\), niin \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) ja annettu yhtälö on muodossa \\ (x ^ 2 -6x + 7 \u003d \\ fra (5x-9) (3) \\ oikea nuoli 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\). Ratkaisemalla tämä neliömäinen yhtälö saadaan: \\ (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\).

Selvitetään, vastaako arvo \\ (x_1 \u003d 6 \\) ehtoa \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\). Tätä varten korvaamme määritetyn arvon neliö-eriarvoisella. Saadaan: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), ts. \\ (7 \\ geq 0 \\) on todellinen epätasa-arvo. Siksi \\ (x_1 \u003d 6 \\) on annetun yhtälön juuri.
Otetaan selville, täyttääkö arvo \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) ehdon \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\). Tätä varten korvaamme määritetyn arvon neliö-eriarvoisella. Saadaan: \\ (\\ vasen (\\ frac (5) (3) \\ oikea) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), ts. \\ (\\ frac (25) (9) -3 \\ geq 0 \\) - väärä epätasa-arvo. Siksi \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) ei ole annetun yhtälön juuri.
2) Jos \\ (x ^ 2-6x + 7 arvo \\ (x_3 \u003d 3 \\) täyttää ehdon \\ (x ^ 2-6x + 7 Arvo \\ (x_4 \u003d \\ frac (4) (3) \\) ei täytä ehtoa \\ Toinen tapa.

Jos yhtälö \\ (| f (x) | \u003d h (x) \\) annetaan, niin \\ (h (x) \\ (\\ vasen [\\ aloita (taulukko) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d \\ frac) (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ end (array) \\ right. \\)

{!LANG-061aa38ec9ed7b83ddd9624d5d6b0943!}{!LANG-518b05545cc44de9058b99236c77dcfa!}
Molemmat yhtälöt on ratkaistu yllä (ensimmäisellä tavalla ratkaisemalla annettu yhtälö), niiden juuret ovat seuraavat: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4) (3) \\). Näiden neljän arvon ehto \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ geq 0 \\) täyttyy vain kahdella: 6 ja 3. Näin ollen annetulla yhtälöllä on kaksi juuria: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\ Kolmas tapa

(graafinen). 1) Piirretään funktio \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\). Konstruoi ensin parabooli \\ (y \u003d x ^ 2-6x + 7 \\). Meillä on \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\). Funktion \\ (y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) kuvaaja voidaan saada funktion \\ (y \u003d x ^ 2 \\) kuvaajalta siirtämällä sitä 3 asteikkoyksikköä oikealle (x-akselia pitkin) ja 2 asteikkoyksikköä alas ( y-akselilla). Suora x \u003d 3 on kiinnostavan paraboolin akseli. Ohjauspisteinä tarkempaa piirtämistä varten on kätevää ottaa piste (3; -2) - parabolin kärki, piste (0; 7) ja piste (6; 7), jotka ovat siihen nähden symmetriset parabooliakselin suhteen.
Jotta nyt piirrät funktion \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\) kuvaajan, sinun on jätettävä muuttumattomiksi rakennetun parabolan osat, jotka eivät sijaitse x-akselin alapuolella, ja peilattava paraboolin osa, joka on x-akselin alapuolella. x-akselin ympäri.
2) Piirretään lineaarifunktio \\ (y \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\). Pisteitä (0; –3) ja (3; 2) on kätevä ottaa ohjauspisteinä.
On välttämätöntä, että piste x \u003d 1,8, suora linja ja abskissa-akseli, sijaitsevat parabolan ja abskissa-akselin leikkauspisteen vasemmalla puolella oikealla - tämä on piste \\ (x \u003d 3- \\ sqrt (2) \\) (koska \\ (3- \\ sqrt (2) ) 3) Piirustuksen perusteella kuvaajat leikkaavat kaksi pistettä - A (3; 2) ja B (6; 7). Korvaamalla näiden pisteiden x \u003d 3 ja x \u003d 6 abskissit annetussa yhtälössä, varmistamme, että molemmille toinen arvo antaa oikean numeerisen tasa-arvon, mikä tarkoittaa, että hypoteesimme on vahvistettu - yhtälöllä on kaksi juuria: x \u003d 3 ja x \u003d 6. Vastaus: 3; 6.

Kommentti

... Graafinen menetelmä, koko sen armon suhteen, ei ole kovin luotettava. Tarkastellussa esimerkissä se toimi vain siksi, että yhtälön juuret ovat kokonaislukuja.Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö \\ (| 2x-4 | + | x + 3 | \u003d 8 \\)

Lausekkeesta 2x - 4 tulee 0 pisteessä x \u003d 2 ja lausekkeeseen x + 3 x \u003d –3. Nämä kaksi pistettä jakaa lukurivin kolmeen väliin: \\ (x

(moduulin laajennus määritelmän mukaan).
Tarkastellaan ensimmäistä väliä: \\ ((- - infty; \\; -3) \\).

Jos x Tarkastellaan toista aikaväliä: \\ ([- 3; \\; 2) \\).
Jos \\ (- 3 \\ leq x Tarkastellaan kolmatta aikaväliä: \\ (U
Esimerkki 2

Ratkaise epätasa-arvo || x + 2 | - 3 |

Päätös. ≤ 2.

Tämä epätasa-arvo vastaa seuraavaa järjestelmää.

(| x + 2 | - 3 ≥ -2

(| x + 2 | - 3 ≤ 2,
(| x + 2 | ≥ 1
(| x + 2 | ≤ 5.
{!LANG-f4cbbff6e0d8c494436580529ee13b6d!}

Ratkaisekaamme järjestelmän ensimmäinen epätasa-arvo erikseen. Se vastaa seuraavaa aggregaattia:

U [-1; 3].

2) Eriarvoisuuksien ratkaiseminen käyttämällä moduulin määritelmää.

Haluan muistuttaa sinua ensin moduulin määritelmä.

| a | \u003d a jos a ≥ 0 ja | a | \u003d -a, jos a< 0.

Esimerkiksi, | 34 | \u003d 34, | -21 | \u003d - (- 21) \u003d 21.

Esimerkki 1

Ratkaise eriarvoisuus 3 | x - 1 | ≤ x + 3.

Tämä epätasa-arvo vastaa seuraavaa järjestelmää.

Moduulin määritelmää käyttämällä saadaan kaksi järjestelmää:

(x - 1 ≥ 0
(3 (x - 1) ≤ x + 3

(x - 1< 0
(-3 (x - 1) ≤ x + 3.

Ratkaisemalla ensimmäisen toisen järjestelmän erikseen, saamme:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Alkuperäisen eriarvoisuuden ratkaisu ovat kaikki ensimmäisen järjestelmän ratkaisut ja toisen järjestelmän kaikki ratkaisut.

Vastaus: x €.

3) Eriarvoisuuksien ratkaiseminen neliöimällä.

Esimerkki 1

Ratkaise epäyhtälö | x 2 - 1 |< | x 2 – x + 1|.

Tämä epätasa-arvo vastaa seuraavaa järjestelmää.

Tarkastellaan eriarvoisuuden molempia puolia. Huomaa, että eriarvoisuuden molemmat puolet voidaan ruuduttaa vain, jos ne molemmat ovat positiivisia. Tässä tapauksessa meillä on moduuleja vasemmalla ja oikealla puolella, joten voimme tehdä tämän.

(| x 2 - 1 |) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Nyt käytämme seuraavaa moduulin ominaisuutta: (| x |) 2 \u003d x 2.

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x (x - 2) (2x - 1)< 0.

Ratkaisemme välein.

Vastaus: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Eriarvoisuuden ratkaisu muuttujien avulla.

Esimerkki.

Ratkaise eriarvoisuus (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Tämä epätasa-arvo vastaa seuraavaa järjestelmää.

Huomaa, että (2x + 3) 2 \u003d (| 2x + 3 |) 2. Sitten saadaan eriarvoisuus

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Tehdään muutos y \u003d | 2x + 3 |.

Uudelleenkirjoittakaamme eriarvoisuutemme ottaen huomioon korvaaminen.

y2 - y ≤ 30,

y2 - y - 30 ≤ 0.

Lasketaan vasemmalla puolella oleva neliön trinomi.

y1 \u003d (1 + 11) / 2,

y2 \u003d (1 - 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) \u003c0.

Ratkaistaan \u200b\u200bintervallien menetelmällä ja saadaan:

Palataan takaisin korvaamiseen:

5 ≤ | 2x + 3 | ≤ 6.

Tämä kaksinkertainen eriarvoisuus vastaa eriarvoisuusjärjestelmää:

(| 2x + 3 | ≤ 6
(| 2x + 3 | ≥ -5.

Ratkaistaan \u200b\u200bkukin eriarvoisuus erikseen.

Ensimmäinen vastaa järjestelmää

(2x + 3 \u003c6
(2x + 3 ≥ -6.

Ratkaistaan \u200b\u200bse.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

Toinen epätasa-arvo pätee selvästi kaikille x: lle, koska moduuli on määritelmänsä mukaan positiivinen. Koska ratkaisu järjestelmään on kaikki x, jotka tyydyttävät samanaikaisesti järjestelmän ensimmäisen ja toisen epätasa-arvon, ratkaisu alkuperäiseen järjestelmään on ratkaisu ensimmäiseen kaksinkertaiseen epätasa-arvoisuuteen (loppujen lopuksi toinen on totta kaikille x: lle).

Vastaus: x € [-4,5; 1,5].

blogin sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteelle vaaditaan.