एक बहुफलकीय आकृति है, जिसके आधार पर एक बहुभुज है, और शेष फलकों को एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुजों द्वारा दर्शाया गया है।

यदि आधार पर वर्ग हो, तो पिरामिड कहलाता है चौकोर, यदि एक त्रिभुज - तो त्रिकोणीय... पिरामिड की ऊंचाई इसके शीर्ष लंबवत से आधार तक खींची जाती है। क्षेत्रफल की गणना करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है एपोथेम- साइड फेस की ऊंचाई उसके ऊपर से गिरा।
एक पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का सूत्र उसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है, जो एक दूसरे के बराबर होते हैं। हालाँकि, इस गणना पद्धति का उपयोग बहुत कम ही किया जाता है। मूल रूप से, पिरामिड के क्षेत्र की गणना आधार की परिधि और एपोथेम के माध्यम से की जाती है:

आइए एक पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि आधार ABCDE और शीर्ष F वाला एक पिरामिड दिया गया है। एबी = बीसी = सीडी = डीई = ईए = 3 सेमी। एपोथेम ए = 5 सेमी। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
आइए परिधि का पता लगाएं। चूँकि आधार के सभी फलक समान हैं, पंचभुज का परिमाप किसके बराबर होगा:
अब आप पिरामिड का पार्श्व क्षेत्र ज्ञात कर सकते हैं:

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का क्षेत्रफल

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में एक आधार होता है जिसमें एक नियमित त्रिभुज स्थित होता है और तीन पक्ष फलक होते हैं, जो क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।
एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के सूत्र की गणना विभिन्न तरीकों से की जा सकती है। आप परिधि और एपोथेम के माध्यम से गणना के लिए सामान्य सूत्र लागू कर सकते हैं, या आप एक चेहरे का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं और इसे तीन से गुणा कर सकते हैं। चूँकि पिरामिड का फलक एक त्रिभुज है, हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र लागू करेंगे। इसके लिए एपोथेम और आधार लंबाई की आवश्यकता होगी। आइए एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

आपको एक पिरामिड दिया गया है जिसका एपोथेम a = 4 सेमी और आधार b = 2 सेमी का एक फलक है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
सबसे पहले, किसी एक पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस मामले में, यह होगा:
मानों को सूत्र में रखें:
चूँकि एक नियमित पिरामिड में सभी भुजाएँ समान होती हैं, पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल तीनों फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होगा। क्रमशः:

छोटा पिरामिड क्षेत्र

छंटनी की गईएक पिरामिड एक बहुफलक है जो एक पिरामिड और आधार के समानांतर उसके खंड द्वारा बनता है।
एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का सूत्र बहुत सरल है। क्षेत्रफल एपोथेम द्वारा आधारों की परिधि के आधे योग के उत्पाद के बराबर है:

पिरामिड का सतह क्षेत्र। इस लेख में, हम आपके साथ सही पिरामिड की समस्याओं को देखेंगे। आपको याद दिला दूं कि एक नियमित पिरामिड एक पिरामिड होता है, जिसका आधार एक नियमित बहुभुज होता है, पिरामिड का शीर्ष इस बहुभुज के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

ऐसे पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींचे गए इस त्रिभुज की ऊंचाई को एपोथेम कहा जाता है, एसएफ एपोथेम है:

नीचे प्रस्तुत समस्याओं के प्रकार में संपूर्ण पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल या उसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है। ब्लॉग पहले से ही नियमित पिरामिड के साथ कई समस्याओं पर विचार कर चुका है, जहां तत्वों (ऊंचाई, आधार किनारे, किनारे के किनारे) को खोजने के बारे में सवाल उठाया गया था।

परीक्षा के कार्यों में, एक नियम के रूप में, नियमित त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय और षट्कोणीय पिरामिडों पर विचार किया जाता है। मुझे नियमित पंचकोणीय और हेप्टागोनल पिरामिड के साथ कोई समस्या नहीं मिली है।

संपूर्ण सतह के क्षेत्रफल का सूत्र सरल है - आपको पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल और उसकी पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का योग ज्ञात करना होगा:

कार्यों पर विचार करें:

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार की भुजाएँ 72 हैं, भुजाएँ 164 हैं। इस पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

पिरामिड का सतह क्षेत्र पार्श्व और आधार क्षेत्रों के योग के बराबर है:

* पार्श्व सतह में समान क्षेत्रफल के चार त्रिभुज होते हैं। पिरामिड का आधार एक वर्ग है।

पिरामिड के किनारे के क्षेत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

इस प्रकार, पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

उत्तर: 28224

एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड के आधार की भुजाएँ 22 हैं, भुजाएँ 61 हैं। इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आधार एक नियमित षट्भुज है।

इस पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र में ६१.६१ और २२ भुजाओं वाले समान त्रिभुजों के छह क्षेत्र हैं:

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, बगुला सूत्र का प्रयोग कीजिए:

इस प्रकार, पार्श्व सतह क्षेत्र बराबर है:

उत्तर: 3240

* ऊपर प्रस्तुत समस्याओं में, एक अलग त्रिभुज सूत्र का उपयोग करके पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है, लेकिन इसके लिए आपको एपोटेम की गणना करने की आवश्यकता है।

27155. एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके आधार की भुजाएँ 6 हैं और ऊँचाई 4 है।

पिरामिड के सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, हमें आधार क्षेत्र और पार्श्व सतह क्षेत्र को जानना होगा:

आधार क्षेत्रफल 36 है, क्योंकि यह 6 भुजा वाला एक वर्ग है।

पार्श्व सतह में चार फलक होते हैं, जो समान त्रिभुज होते हैं। ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसका आधार और ऊँचाई (एपोथेम) जानने की आवश्यकता है:

* एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार के गुणनफल के आधे और इस आधार तक खींची गई ऊँचाई के बराबर होता है।

आधार ज्ञात है, यह छह के बराबर है। आइए ऊंचाई का पता लगाएं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें (पीले रंग में हाइलाइट किया गया):

एक पैर 4 है, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है, दूसरा 3 है, क्योंकि यह आधार का आधा किनारा है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम कर्ण पा सकते हैं:

तो पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर है:

इस प्रकार, पूरे पिरामिड का सतह क्षेत्र बराबर है:

उत्तर: 96

27069. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार की भुजाएँ 10 हैं, भुजाएँ 13 हैं। इस पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

27070. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड के आधार की भुजाएँ 10 के बराबर होती हैं, भुजाएँ 13 के बराबर होती हैं। इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र भी हैं। एक नियमित पिरामिड में, आधार पार्श्व सतह का एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है, इसलिए:

पी- आधार परिधि, मैं- पिरामिड का एपोथेम

* यह सूत्र त्रिभुज सूत्र के क्षेत्रफल पर आधारित है।

यदि आप इस बारे में अधिक जानना चाहते हैं कि ये सूत्र कैसे प्राप्त होते हैं, तो चूकें नहीं, लेखों के प्रकाशन का अनुसरण करें।बस इतना ही। आपको सफलता!

सादर, अलेक्जेंडर क्रुत्सिख।

पुनश्च: यदि आप हमें सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बता सकते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

संक्षेप में मुख्य . के बारे में

सतह क्षेत्र (2019)

प्रिज्म सतह क्षेत्र

क्या कोई सामान्य सूत्र है? नहीं, सामान्य तौर पर, नहीं। आपको केवल पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों को देखने और उनका योग करने की आवश्यकता है।

सूत्र के लिए लिखा जा सकता है सीधा प्रिज्म:

आधार की परिधि कहाँ है।

लेकिन फिर भी, प्रत्येक विशिष्ट मामले में अतिरिक्त सूत्रों को याद करने की तुलना में सभी क्षेत्रों को जोड़ना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, आइए एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म की कुल सतह की गणना करें।

सभी पार्श्व फलक आयताकार हैं। माध्यम।

वॉल्यूम की गणना करते समय यह पहले ही काटा जा चुका है।

तो हमें मिलता है:

पिरामिड सतह क्षेत्र

पिरामिड के लिए, सामान्य नियम भी लागू होता है:

अब आइए सबसे लोकप्रिय पिरामिडों के सतह क्षेत्र की गणना करें।

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल

मान लें कि आधार की भुजा बराबर है और भुजा का किनारा बराबर है। आपको खोजने की जरूरत है और।

आइए अब याद करते हैं कि

यह एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

और आइए याद करें कि इस क्षेत्र को कैसे देखना है। हम क्षेत्र सूत्र का उपयोग करते हैं:

हमारे पास "" - यह, और "" - यह भी, और।

अब हम पाएंगे।

मूल क्षेत्रफल सूत्र और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं

ध्यान:यदि आपके पास नियमित टेट्राहेड्रोन (यानी) है, तो सूत्र इस प्रकार है:

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का सतह क्षेत्र

मान लें कि आधार की भुजा बराबर है और भुजा का किनारा बराबर है।

नीचे एक वर्ग है, और इसलिए।

यह पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करना बाकी है

एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल।

आधार के किनारे को बराबर होने दें, और किनारे के किनारे को।

कैसे ढूंढें? एक षट्भुज में ठीक छह समान नियमित त्रिभुज होते हैं। नियमित त्रिभुज पिरामिड के सतह क्षेत्र की गणना करते समय हम पहले से ही नियमित त्रिभुज के क्षेत्र की तलाश कर चुके हैं, यहां हम पाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।

खैर, हम पहले ही दो बार साइड फेस के क्षेत्र की खोज कर चुके हैं।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

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पिरामिड- आधार पर स्थित बहुभुजों और त्रिभुजों से बने बहुफलक की किस्मों में से एक और इसके फलक हैं।

इसके अलावा, पिरामिड के शीर्ष पर (यानी एक बिंदु पर), सभी चेहरे संयुक्त होते हैं।

पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, यह निर्धारित करने योग्य है कि इसकी पार्श्व सतह में कई त्रिकोण होते हैं। और हम आवेदन करके आसानी से उनके क्षेत्रों का पता लगा सकते हैं

विभिन्न सूत्र। हम किस प्रकार के त्रिभुज डेटा को जानते हैं, इसके आधार पर हम उनके क्षेत्रफल की तलाश करते हैं।

आइए कुछ सूत्रों को सूचीबद्ध करें जिनके साथ आप त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं:

1. एस = (ए * एच) / 2 ... इस स्थिति में, हम त्रिभुज की ऊँचाई जानते हैं एच जो किनारे पर उतारा जाता है ए .
2. एस = ए * बी * पापβ ... यहाँ त्रिभुज की भुजाएँ हैं ए , ख , और उनके बीच का कोण है β .
3. एस = (आर * (ए + बी + सी)) / 2 ... यहाँ त्रिभुज की भुजाएँ हैं ए, बी, सी ... एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है आर .
4. एस = (ए * बी * सी) / 4 * आर ... त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है आर .
5. एस = (ए * बी) / 2 = आर² + 2 * आर * आर ... यह सूत्र तभी लागू किया जाना चाहिए जब त्रिभुज आयताकार हो।
6. एस = (ए² * √3) / 4 ... हम इस सूत्र को एक समबाहु त्रिभुज पर लागू करते हैं।

हमारे पिरामिड के फलक वाले सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों की गणना करने के बाद ही हम इसकी पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। इसके लिए हम उपरोक्त सूत्रों का प्रयोग करेंगे।

पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र की गणना करने के लिए, कोई कठिनाई नहीं होती है: आपको सभी त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करना होगा। आइए इसे सूत्र के साथ व्यक्त करें:

एसп = सी

यहाँ सि पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल है, और रों पी - पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल।

आइए एक उदाहरण देखें। एक नियमित पिरामिड दिया गया है, इसके पार्श्व फलक कई समबाहु त्रिभुजों से बनते हैं,

« ज्यामिति हमारी मानसिक क्षमताओं को तेज करने का सबसे शक्तिशाली उपकरण है।».

गैलीलियो गैलीली।

और वर्ग पिरामिड का आधार है। इसके अलावा, पिरामिड के किनारे की लंबाई 17 सेमी है आइए हम इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

हम इस तरह तर्क देते हैं: हम जानते हैं कि पिरामिड के फलक त्रिभुज हैं, वे समबाहु हैं। हम यह भी जानते हैं कि किसी दिए गए पिरामिड की पसली कितनी लंबी होती है। अतः यह इस प्रकार है कि सभी त्रिभुजों की पार्श्व भुजाएँ समान होती हैं, उनकी लंबाई 17 सेमी होती है।

इनमें से प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

एस = (17² * √3) / 4 = (289 * 1.732) / 4 = 125.137 सेमी²

चूँकि हम जानते हैं कि वर्ग पिरामिड के आधार पर स्थित है, यह पता चलता है कि हमारे पास चार समबाहु त्रिभुज हैं। इसका मतलब है कि पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके आसानी से की जा सकती है: १२५.१३७ सेमी² * ४ = ५००.५४८ सेमी²

हमारा उत्तर इस प्रकार है: 500.548 सेमी² - यह इस पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है।

• समस्या 1. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
• समस्या 2. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

समस्या १... एक नियमित पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

फेसला.

एक समबाहु त्रिभुज एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार पर स्थित होता है।
इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, हम एक नियमित त्रिभुज के गुणों का उपयोग करेंगे:

हम त्रिभुज की ऊँचाई जानते हैं जहाँ से हम उसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
एच = √3 / 2 ए
ए = एच / (√3 / 2)
ए = 3 / (√3 / 2)
ए = 6 / 3

जहां से आधार क्षेत्र बराबर होगा:
एस = 3 / 4 ए 2
एस = √3 / 4 (6 / √3) 2
एस = 3√3

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या कथन के अनुसार OKM कोण 45 डिग्री है।
इस तरह:
ओके / एमके = क्योंकि 45
आइए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका का उपयोग करें और ज्ञात मूल्यों को प्रतिस्थापित करें।

ठीक / एमके = 2 / 2

आइए ध्यान रखें कि ओके खुदा हुआ सर्कल की त्रिज्या के बराबर है। फिर
ठीक = 3 / 6 ए
ठीक = 3 / 6 * 6 / 3 = 1

फिर
ठीक / एमके = √2 / 2
1 / एमके = 2 / 2
एमके = 2 / 2

पार्श्व चेहरे का क्षेत्र तब ऊंचाई के आधे उत्पाद और त्रिभुज के आधार के बराबर होता है।
साइड = 1/2 (6 / 3) (2 / √2) = 6 / 6

इस प्रकार, पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर होगा
एस = 3√3 + 3 * 6 / √6
एस = 3√3 + 18 / √6

उत्तर: 3√3 + 18/√6

टास्क 2... एक नियमित पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

फेसला.

चूँकि एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है, AO आधार के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है।
(यह इस प्रकार है)

एक समबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या उसके गुणों से ज्ञात होती है

जहां से एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के किनारों की लंबाई बराबर होगी:
एएम 2 = एमओ 2 + एओ 2
पिरामिड की ऊंचाई स्थिति (10 सेमी), एओ = 16√3 / 3 . से जानी जाती है
AM 2 = 100 + 256/3
AM = (556/3)

पिरामिड की प्रत्येक भुजा एक समद्विबाहु त्रिभुज है। हम नीचे प्रस्तुत पहले सूत्र से एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं

एस = 1/2 * 16 वर्ग ((√ (556/3) + 8) (√ (556/3) - 8))
एस = 8 वर्ग ((556/3) - 64)
एस = 8 वर्ग (364/3)
एस = 16 वर्ग (91/3)

चूँकि एक नियमित पिरामिड के तीनों फलक समान होते हैं, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर होगा
३एस = ४८ (९१/३)

उत्तर: 48 √(91/3)

समस्या 3. एक नियमित पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की भुजा 3 सेमी है और पिरामिड के पार्श्व फलक और आधार के बीच का कोण 45 डिग्री है। पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए.

फेसला.
चूंकि पिरामिड नियमित है, एक समबाहु त्रिभुज इसके आधार पर स्थित है। इसलिए, आधार क्षेत्र है


तो = 9 * 3 / 4

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या कथन के अनुसार OKM कोण 45 डिग्री है।
इस तरह:
ओके / एमके = क्योंकि 45
हम इस्तेमाल करेंगे