अंतर के साथ लघु अंकगणितीय प्रगति के गुण 9. अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं प्राचीन काल में पहले से मौजूद थीं। वे उपस्थित हुए और समाधान की मांग की क्योंकि उन्हें व्यावहारिक आवश्यकता थी।

तो, प्राचीन मिस्र के पपीरी में, जिसमें गणितीय सामग्री है - रिंद पपीरस (XIX सदी ईसा पूर्व) - में निम्नलिखित समस्या है: रोटी के दस उपायों को दस लोगों में विभाजित करें, बशर्ते कि उनमें से प्रत्येक के बीच का अंतर एक हो - एक माप का आठवाँ भाग।

और प्राचीन यूनानियों के गणितीय कार्यों में, अंकगणितीय प्रगति से संबंधित सुरुचिपूर्ण प्रमेय हैं। तो, अलेक्जेंड्रिया के हाइप्सिकल्स (द्वितीय शताब्दी, जिन्होंने कई दिलचस्प समस्याएं बनाईं और यूक्लिड के "सिद्धांतों" में चौदहवीं पुस्तक को जोड़ा, ने इस विचार को तैयार किया: "एक अंकगणितीय प्रगति में सदस्यों की संख्या समान होती है, दूसरे के सदस्यों का योग आधा प्रति वर्ग 1 / 2 सदस्यों की संख्या के पहले छमाही के सदस्यों के योग से अधिक है "।

अनुक्रम को एक द्वारा दर्शाया जाता है। अनुक्रम की संख्याओं को इसके सदस्य कहा जाता है और आमतौर पर सूचकांकों के साथ अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है जो इस सदस्य की क्रमिक संख्या को इंगित करता है (ए 1, ए 2, ए 3 ... पढ़ें: "ए 1", "ए 2", "ए 3" और इसी तरह)।

अनुक्रम अंतहीन या परिमित हो सकता है।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है? इसे उसी संख्या d के साथ पिछले पद (n) को जोड़ने पर प्राप्त होने वाले के रूप में समझा जाता है, जो कि प्रगति का अंतर है।

अगर डी<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, तो ऐसी प्रगति को आरोही माना जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति को परिमित कहा जाता है यदि इसके पहले सदस्यों में से केवल कुछ को ही ध्यान में रखा जाए। बहुत बड़ी संख्या में सदस्यों के साथ, यह पहले से ही एक अंतहीन प्रगति है।

कोई भी अंकगणितीय प्रगति निम्न सूत्र द्वारा निर्दिष्ट की जाती है:

a = kn + b, जबकि b और k कुछ संख्याएँ हैं।

विपरीत कथन बिल्कुल सत्य है: यदि एक समान सूत्र द्वारा एक अनुक्रम दिया जाता है, तो यह वास्तव में एक अंकगणितीय प्रगति है जिसमें निम्नलिखित गुण होते हैं:

1. प्रगति का प्रत्येक सदस्य पिछले सदस्य और अगले का अंकगणितीय माध्य है।
2. विपरीत: यदि, दूसरे से शुरू होकर, प्रत्येक पद पिछले पद और अगले का अंकगणितीय माध्य है, अर्थात। यदि शर्त पूरी हो जाती है, तो यह क्रम एक अंकगणितीय प्रगति है। यह समानता भी प्रगति का प्रतीक है, इसलिए इसे आमतौर पर प्रगति का विशिष्ट गुण कहा जाता है।
   इसी तरह, प्रमेय जो इस संपत्ति को दर्शाता है वह सत्य है: एक अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है, यदि यह समानता अनुक्रम के किसी भी सदस्य के लिए सत्य है, 2 से शुरू हो रही है।

अंकगणितीय प्रगति की किन्हीं चार संख्याओं के लिए अभिलक्षणिक गुण सूत्र a + am = ak + al द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, यदि n + m = k + l (m, n, k प्रगति की संख्याएँ हैं)।

एक समान्तर श्रेणी में, कोई भी आवश्यक (Nth) पद निम्न सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

उदाहरण के लिए: अंकगणितीय प्रगति में पहला पद (a1) दिया गया है और तीन के बराबर है, और अंतर (d) चार के बराबर है। आपको इस प्रगति का पैंतालीसवाँ पद ज्ञात करना है। a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

सूत्र a = ak + d (n - k) आपको अंकगणितीय प्रगति के nवें पद को इसके किसी भी kवें पद के माध्यम से निर्धारित करने की अनुमति देता है, बशर्ते कि यह ज्ञात हो।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योग (अर्थात् अंतिम प्रगति के पहले n सदस्य) की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एसएन = (ए 1 + ए) एन / 2।

यदि पहला पद भी ज्ञात है, तो गणना के लिए दूसरा सूत्र सुविधाजनक है:

एसएन = ((२ए१ + डी (एन-१)) / २) * एन।

एक अंकगणितीय प्रगति का योग, जिसमें n सदस्य होते हैं, की गणना निम्नानुसार की जाती है:

गणना के लिए सूत्रों का चुनाव समस्याओं की स्थिति और प्रारंभिक डेटा पर निर्भर करता है।

किसी भी संख्या की प्राकृतिक श्रृंखला जैसे 1,2,3, ..., n, ... अंकगणितीय प्रगति का सबसे सरल उदाहरण है।

अंकगणितीय प्रगति के अलावा, एक ज्यामितीय भी है, जिसके अपने गुण और विशेषताएं हैं।

यदि प्रत्येक प्राकृत संख्या नहीं एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक नहीं , तो वे कहते हैं कि यह दिया गया है संख्यात्मक क्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक नहीं , . . . .

तो, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या ए 1 कहा जाता है अनुक्रम का पहला सदस्य , संख्या ए 2 — दूसरी पारी , संख्या ए 3 — तीसरा आदि। संख्या एक नहीं कहा जाता है अनुक्रम का वां पद , और प्राकृतिक संख्या नहीं — उसका नंबर .

दो पड़ोसी सदस्यों में से एक नहीं तथा एक नहीं +1 अनुक्रम सदस्य एक नहीं +1 कहा जाता है आगामी (की ओर एक नहीं ), लेकिन अ एक नहीं — पहले का (की ओर एक नहीं +1 ).

एक अनुक्रम निर्दिष्ट करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम के सदस्य को खोजने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम के साथ दिया जाता है nth टर्म फॉर्मूला , अर्थात्, एक सूत्र जो आपको किसी अनुक्रम के सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

सकारात्मक विषम संख्याओं का एक क्रम सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है

एक नहीं= 2एन - 1,

और बारी-बारी का क्रम 1 तथा -1 - सूत्र द्वारा

खनहीं = (-1)नहीं +1 . ◄

अनुक्रम निर्धारित किया जा सकता है पुनरावर्ती सूत्र, अर्थात्, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

यदि एक ए 1 = 1 , लेकिन अ एक नहीं +1 = एक नहीं + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

यदि एक एक 1= 1, एक 2 = 1, एक नहीं +2 = एक नहीं + एक नहीं +1 , तो संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात सदस्यों को निम्नानुसार सेट किया जाता है:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम तथा अनंत .

अनुक्रम कहा जाता है चरम यदि उसके सदस्यों की सीमित संख्या है। अनुक्रम कहा जाता है अनंत यदि इसमें अपरिमित रूप से बहुत से सदस्य हैं।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों की प्राकृतिक संख्याओं का एक क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

प्राइम का एक क्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

अनुक्रम कहा जाता है बढ़ रहा यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से बड़ा है।

अनुक्रम कहा जाता है कम होनेवाला यदि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से कम है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2नहीं, . . . - बढ़ते क्रम;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /नहीं, . . . - घटते क्रम। ◄

एक अनुक्रम जिसके तत्व बढ़ती संख्या के साथ कम नहीं होते हैं, या, इसके विपरीत, नहीं बढ़ते हैं, कहलाते हैं नीरस अनुक्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, आरोही क्रम और अवरोही क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, जिसमें समान संख्या जोड़ी जाती है।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक नहीं, . . .

एक समांतर श्रेणी है यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए नहीं शर्त पूरी होती है:

एक नहीं +1 = एक नहीं + घ,

कहा पे घ - कुछ संख्या।

इस प्रकार, दी गई अंकगणितीय प्रगति के अगले और पिछले सदस्यों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है:

एक 2 - ए 1 = एक 3 - ए 2 = . . . = एक नहीं +1 - एक नहीं = घ.

संख्या घ कहा जाता है अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

एक अंकगणितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसके पहले पद और अंतर को इंगित करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

यदि एक ए 1 = 3, घ = 4 , तो अनुक्रम के पहले पांच सदस्य निम्नानुसार पाए जाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + घ = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + घ= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + घ= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + घ= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ अंकगणितीय प्रगति के लिए ए 1 और अंतर घ उसके नहीं

एक नहीं = एक 1 + (नहीं- 1)डी

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति का तीसवाँ पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, घ = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)डी = 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (नहीं- 2)घ,

एक नहीं= एक 1 + (नहीं- 1)घ,

एक नहीं +1 = ए 1 + एनडीओ,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

संख्या ए, बी और सी कुछ अंकगणितीय प्रगति के लगातार सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक नहीं = 2नहीं- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

एक नहीं = 2नहीं- 7,

एक एन-1 = 2(एन - 1) - 7 = 2नहीं- 9,

एक एन + 1 = 2(एन + 1) - 7 = 2नहीं- 5.

इसलिये,

◄

ध्यान दें कि नहीं अंकगणितीय प्रगति का -वाँ पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ए 1 , लेकिन यह भी कोई पिछला एक को

एक नहीं = एक को + (नहीं- क)घ.

उदाहरण के लिए,

के लिये ए 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4घ,

एक 5 = एक 2 + 3घ,

एक 5 = एक 3 + 2घ,

एक 5 = एक 4 + घ. ◄

एक नहीं = एक एन-को + केडी,

एक नहीं = एक एन + के - केडी,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के आधे योग के बराबर होता है, जो इससे समान दूरी पर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल।

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7घ= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, जैसा

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस नहीं= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। ... ...+ एक नहीं,

सबसे पहला नहीं अंकगणितीय प्रगति के सदस्य शब्दों की संख्या से चरम पदों के आधे योग के उत्पाद के बराबर हैं:

इसलिए, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि यदि शर्तों को जोड़ना आवश्यक है

एक को, एक को +1 , . . . , एक नहीं,

तब पिछला सूत्र अपनी संरचना को बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

रों 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = रों 10 - रों 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

यदि एक अंकगणितीय प्रगति दी जाती है, तो मान ए 1 , एक नहीं, घ, नहींतथारों नहीं दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से निर्धारित किए जाते हैं, दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त।

एक अंकगणितीय प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। जिसमें:

• यदि एक घ > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
• यदि एक घ < 0 , तो यह घट रहा है;
• यदि एक घ = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसमें से प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

ख 1 , ख 2 , ख 3 , . . . , बी नहीं, . . .

एक ज्यामितीय प्रगति है यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए नहीं शर्त पूरी होती है:

बी नहीं +1 = बी नहीं · क्यू,

कहा पे क्यू ≠ 0 - कुछ संख्या।

इस प्रकार, किसी दिए गए ज्यामितीय प्रगति के अगले सदस्य का पिछले एक से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

ख 2 / ख 1 = ख 3 / ख 2 = . . . = बी नहीं +1 / बी नहीं = क्यू.

संख्या क्यू कहा जाता है ज्यामितीय प्रगति का भाजक.

एक ज्यामितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसके पहले पद और हर को इंगित करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

यदि एक ख 1 = 1, क्यू = -3 , तो अनुक्रम के पहले पांच सदस्य निम्नानुसार पाए जाते हैं:

ख 1 = 1,

ख 2 = ख 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

ख ३ = ख 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = ख ३ · क्यू= 9 · (-3) = -27,

ख 5 = ख 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

ख 1 और भाजक क्यू उसके नहीं वें शब्द सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

बी नहीं = ख 1 · क्यू नहीं -1 .

उदाहरण के लिए,

ज्यामितीय प्रगति का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

ख 1 = 1, क्यू = 2,

ख 7 = ख 1 · क्यू 6 = १ २ ६ = ६४. ◄

बी एन-1 = ख 1 · क्यू नहीं -2 ,

बी नहीं = ख 1 · क्यू नहीं -1 ,

बी नहीं +1 = ख 1 · क्यू नहीं,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर होता है।

चूँकि विलोम कथन भी सत्य है, निम्नलिखित कथन में निहित है:

संख्याएँ a, b और c कुछ ज्यामितीय प्रगति के क्रमागत सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए हम सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया क्रम बी नहीं= -3 2 नहीं , एक घातीय प्रगति है। आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

बी नहीं= -3 2 नहीं,

बी नहीं -1 = -3 2 नहीं -1 ,

बी नहीं +1 = -3 2 नहीं +1 .

इसलिये,

बी नहीं 2 = (-3 2 नहीं) २ = (-3 २ .) नहीं -1 ) (-3 2 नहीं +1 ) = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

जो आवश्यक कथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि नहीं -ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ख 1 , लेकिन यह भी कोई पिछला पद बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क.

उदाहरण के लिए,

के लिये ख 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = ख 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = ख 2 · क्यू ३,

ख 5 = ख ३ · क्यू 2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क,

बी नहीं = बी नहीं - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं - क· बी नहीं + क

एक ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का वर्ग, दूसरे से शुरू होता है, इस प्रगति के सदस्यों के उत्पाद के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

बी एम· बी नहीं= बी के· बी एल,

म+ नहीं= क+ मैं.

उदाहरण के लिए,

तेजी से

1) ख 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ख 5 · ख 7 ;

2) 1024 = ख 11 = ख 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ख 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ख 4 · ख 8 ;

4) ख 2 · ख 7 = ख 4 · ख 5 , जैसा

ख 2 · ख 7 = 2 · 64 = 128,

ख 4 · ख 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस नहीं= ख 1 + ख 2 + ख 3 + . . . + बी नहीं

सबसे पहला नहीं हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और जब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस नहीं= नायब 1

ध्यान दें कि यदि आपको शर्तों का योग करना है

बी के, बी के +1 , . . . , बी नहीं,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

उदाहरण के लिए,

तेजी से 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

रों 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = रों 10 - रों 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

यदि एक ज्यामितीय प्रगति दी गई है, तो मान ख 1 , बी नहीं, क्यू, नहींतथा एस नहीं दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से निर्धारित किए जाते हैं, जो दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त होते हैं।

पहले पद के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के लिए ख 1 और भाजक क्यू निम्नलिखित एकरसता गुण :

• यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति आरोही हो रही है:

ख 1 > 0 तथा क्यू> 1;

ख 1 < 0 तथा 0 < क्यू< 1;

• यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति घट रही है:

ख 1 > 0 तथा 0 < क्यू< 1;

ख 1 < 0 तथा क्यू> 1.

यदि एक क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति बारी-बारी से होती है: इसके विषम-संख्या वाले सदस्यों का चिन्ह इसके पहले पद के समान होता है, और सम-संख्या वाले शब्दों का विपरीत चिन्ह होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का काम work नहीं एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

पी न= ख 1 · ख 2 · ख ३ · . . . · बी नहीं = (ख 1 · बी नहीं) नहीं / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है, जिसके हर का मापांक से कम होता है 1 , अर्थात

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटती क्रम नहीं हो सकती है। यह मामला फिट बैठता है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, अनुक्रम बारी-बारी से होता है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग वह संख्या है जिसमें पहले का योग है नहीं संख्या में असीमित वृद्धि के साथ प्रगति के सदस्य नहीं ... यह संख्या हमेशा परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

उदाहरण के लिए,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच संबंध

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति निकट से संबंधित हैं। आइए सिर्फ दो उदाहरण देखें।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . घ तब फिर

बी 0 ए 1 , बी 0 ए 2 , बी 0 ए 3 , . . . बी डी .

उदाहरण के लिए,

1, 3, 5, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति 2 तथा

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति 7 2 . ◄

ख 1 , ख 2 , ख 3 , . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति क्यू तब फिर

लॉग ए बी 1, लॉग ए बी 2, लॉग ए बी 3, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति लॉग एक्यू .

उदाहरण के लिए,

2, 12, 72, . . . - हर के साथ ज्यामितीय प्रगति 6 तथा

एलजी 2, एलजी 12, एलजी 72, . . . - अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति एलजी 6 . ◄

पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखना।

पाठ मकसद:

• अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके हल की गई समस्याओं के बारे में छात्रों के विचारों का विस्तार और गहनता; अंकगणितीय प्रगति के पहले n सदस्यों के योग के लिए सूत्र प्राप्त करते समय छात्रों की खोज गतिविधि का संगठन;
• नए ज्ञान को स्वतंत्र रूप से प्राप्त करने के लिए कौशल का विकास, निर्धारित कार्य को प्राप्त करने के लिए पहले से अर्जित ज्ञान का उपयोग करना;
• प्राप्त तथ्यों को सामान्य बनाने की इच्छा और आवश्यकता का विकास, स्वतंत्रता का विकास।

कार्य:

• "अंकगणित प्रगति" विषय पर मौजूदा ज्ञान को सारांशित और व्यवस्थित करने के लिए;
• अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें;
• विभिन्न समस्याओं को हल करने में प्राप्त सूत्रों को कैसे लागू किया जाए, यह सिखाने के लिए;
• संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात करते समय छात्रों का ध्यान क्रियाओं के क्रम की ओर आकर्षित करने के लिए।

उपकरण:

• समूहों और जोड़ियों में काम करने के लिए असाइनमेंट वाले कार्ड;
• मूल्यांकन पत्र;
• प्रस्तुतीकरण"अंकगणितीय प्रगति"।

I. बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना।

1. जोड़े में स्वतंत्र कार्य।

पहला विकल्प:

अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा दीजिए। आवर्ती सूत्र लिखिए जो अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करता है। नमस्ते अंकगणितीय प्रगति का उदाहरण और इसके अंतर को इंगित करें।

दूसरा विकल्प:

समांतर श्रेणी के nवें पद का सूत्र लिखिए। समांतर श्रेणी का 100वाँ पद ज्ञात कीजिए ( एक नहीं}: 2, 5, 8 …
इस समय, बोर्ड के पीछे दो छात्र समान प्रश्नों के उत्तर तैयार करते हैं।
छात्र बोर्ड के खिलाफ पार्टनर के काम का मूल्यांकन करते हैं। (उत्तरों के साथ पत्रक सौंपे जाते हैं)।

2. खेल पल।

अभ्यास 1।

अध्यापक।मैंने कुछ अंकगणितीय प्रगति की कल्पना की है। बस मुझसे दो प्रश्न पूछें ताकि उत्तर के बाद आप जल्दी से इस प्रगति के सातवें पद का नाम बता सकें। (१, ३, ५, ७, ९, ११, १३, १५ ...)

छात्र प्रश्न।

1. प्रगति में छठा पद क्या है और क्या अंतर है?
2. प्रगति में आठवां पद क्या है और क्या अंतर है?

यदि कोई और प्रश्न नहीं हैं, तो शिक्षक उन्हें उत्तेजित कर सकता है - d (अंतर) पर "प्रतिबंध", अर्थात यह पूछने की अनुमति नहीं है कि अंतर क्या है। आप प्रश्न पूछ सकते हैं: प्रगति का ६वाँ पद क्या है और प्रगति का ८वाँ पद क्या है?

कार्य २.

बोर्ड पर 20 नंबर लिखे हैं: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

शिक्षक अपनी पीठ के साथ ब्लैकबोर्ड पर खड़ा है। छात्र उस नंबर पर कॉल करते हैं, और शिक्षक तुरंत नंबर पर ही कॉल करता है। समझाएं कि मैं इसे कैसे करता हूं?

शिक्षक को nवें पद का सूत्र याद है ए एन = 3एन - 2और, n के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, संबंधित मान पाता है एक एन.

द्वितीय. शैक्षिक समस्या का विवरण।

मैं मिस्र के पपीरी में पाई जाने वाली दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की एक प्राचीन समस्या को हल करने का प्रस्ताव करता हूं।

एक कार्य:"आपको बता दें: जौ के 10 उपायों को 10 लोगों के बीच विभाजित करें, प्रत्येक व्यक्ति और उसके पड़ोसी के बीच का अंतर माप के 1/8 के बराबर है"।

• यह कार्य अंकगणितीय प्रगति के विषय से कैसे संबंधित है? (प्रत्येक अगले व्यक्ति को माप का 1/8 अधिक मिलता है, जिसका अर्थ है कि अंतर d = 1/8, 10 लोग, जिसका अर्थ है n = 10.)
• आपको क्या लगता है संख्या 10 का क्या अर्थ है? (प्रगति के सभी सदस्यों का योग।)
• कार्य की स्थिति के अनुसार जौ को विभाजित करना आसान और सरल बनाने के लिए आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? (प्रगति में पहला कार्यकाल।)

पाठ उद्देश्य- प्रगति के सदस्यों के योग की निर्भरता उनकी संख्या, पहले पद और अंतर पर प्राप्त करना और यह जाँचना कि क्या प्राचीन काल में समस्या को सही ढंग से हल किया गया था।

सूत्र का निष्कर्ष निकालने से पहले, आइए देखें कि प्राचीन मिस्रियों ने समस्या का समाधान कैसे किया।

और उन्होंने इसे इस प्रकार हल किया:

१) १० उपाय: १० = १ उपाय - औसत हिस्सा;
२) १ माप = २ माप - दुगना औसतशेयर।
दोगुनी औसतशेयर 5 वें और 6 वें लोगों के शेयरों का योग है।
3) 2 उपाय - 1/8 उपाय = 1 7/8 उपाय - पांचवें व्यक्ति के हिस्से का दोगुना।
४) १ ७/८: २ = ५/१६ - पाँचवे हिस्से का हिस्सा; और इसी तरह, आप प्रत्येक पिछले और बाद के व्यक्ति का हिस्सा पा सकते हैं।

हमें अनुक्रम मिलता है:

III. समस्या का समाधान।

1. समूहों में काम करना

समूह I: 20 क्रमागत प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए : एस 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210।

सामान्य रूप में

द्वितीय समूह: 1 से 100 तक की प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए (द लेजेंड ऑफ द लिटिल गॉस)।

एस १०० = (1 + १००) ५० = ५०५०

आउटपुट:

तृतीय समूह: 1 से 21 तक की प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

हल: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

आउटपुट:

चतुर्थ समूह: 1 से 101 तक की प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

आउटपुट:

मानी गई समस्याओं को हल करने की इस पद्धति को "गॉस विधि" कहा जाता है।

2. प्रत्येक समूह बोर्ड पर समस्या का समाधान प्रस्तुत करता है।

3. एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति के लिए प्रस्तावित समाधानों का सामान्यीकरण:

ए 1, ए 2, ए 3, ..., एन-2, एन-1, ए एन।
एस एन = ए 1 + ए 2 + ए 3 + ए 4 +… + ए एन -3 + ए एन -2 + ए एन -1 + ए एन।

आइए हम इस राशि को इसी तरह तर्क द्वारा ज्ञात करें:

4. क्या हमने काम को हल कर लिया है?(हाँ।)

चतुर्थ। समस्याओं को हल करने में प्राप्त सूत्रों की प्राथमिक समझ और अनुप्रयोग।

1. सूत्र का उपयोग करके किसी पुरानी समस्या के समाधान की जाँच करना।

2. विभिन्न समस्याओं को हल करने में सूत्र का अनुप्रयोग।

3. समस्याओं को हल करते समय सूत्र को लागू करने की क्षमता बनाने के लिए व्यायाम करें।

ए) नंबर 613

दिया हुआ: ( एक एन) -अंकगणितीय प्रगति;

(ए एन): 1, 2, 3, ..., 1500

ढूँढ़ने के लिए: एस 1500

फेसला: , ए १ = १, १ १५०० = १५००,

बी) दिया गया: ( एक एन) -अंकगणितीय प्रगति;
(ए एन): 1, 2, 3, ...
एस एन = 210

ढूँढ़ने के लिए: नहीं
फेसला:

V. आपसी सत्यापन के साथ स्वतंत्र कार्य।

डेनिस एक कूरियर के रूप में काम करने गया था। पहले महीने में, उनका वेतन 200 रूबल था, बाद के प्रत्येक महीने में 30 रूबल की वृद्धि हुई। उसने एक साल में कितना कमाया?

दिया हुआ: ( एक एन) -अंकगणितीय प्रगति;
ए 1 = 200, डी = 30, एन = 12
ढूँढ़ने के लिए: एस 12
फेसला:

उत्तर: डेनिस को एक साल में 4,380 रूबल मिले।

वी.आई. होमवर्क ब्रीफिंग।

1. पृष्ठ 4.3 - सूत्र की व्युत्पत्ति सीखें।
2. №№ 585, 623 .
3. एक समस्या बनाएँ जिसे अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के सूत्र का उपयोग करके हल किया जाएगा।

vii. पाठ को सारांशित करना।

1. मूल्यांकन पत्रक

2. वाक्य जारी रखें

• आज के पाठ में मैंने सीखा ...
• सीखे सूत्र...
• मुझे लगता है कि …

3. क्या आप 1 से 500 तक की संख्याओं का योग ज्ञात कर सकते हैं? इस समस्या को हल करने के लिए आप किस विधि का प्रयोग करेंगे?

ग्रंथ सूची।

1. बीजगणित, 9वीं कक्षा। शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। ईडी। जी.वी. डोरोफीवा।एम।: "शिक्षा", 2009।

आई. वी. याकोवलेव | गणित सामग्री | MathUs.ru

अंकगणितीय प्रगति

एक अंकगणितीय प्रगति एक विशेष प्रकार का अनुक्रम है। इसलिए, एक अंकगणित (और फिर ज्यामितीय) प्रगति को परिभाषित करने से पहले, हमें एक संख्या अनुक्रम की महत्वपूर्ण अवधारणा पर संक्षेप में चर्चा करने की आवश्यकता है।

अनुक्रम

स्क्रीन पर एक ऐसे उपकरण की कल्पना करें जिसके कुछ नंबर एक के बाद एक प्रदर्शित होते हैं। मान लीजिए 2; 7; १३; एक; 6; 0; 3; ::: संख्याओं का यह समुच्चय एक क्रम का एक उदाहरण मात्र है।

परिभाषा. एक संख्यात्मक अनुक्रम संख्याओं का एक समूह है जिसमें प्रत्येक संख्या को एक अद्वितीय संख्या सौंपी जा सकती है (अर्थात, एक प्राकृतिक संख्या को जोड़ने के लिए) 1. संख्या n को अनुक्रम का n-वाँ सदस्य कहा जाता है।

तो, उपरोक्त उदाहरण में, पहली संख्या में संख्या 2 है, यह अनुक्रम का पहला सदस्य है, जिसे a1 से दर्शाया जा सकता है; संख्या पाँच में संख्या 6 है यह क्रम का पाँचवाँ पद है, जिसे a5 के रूप में दर्शाया जा सकता है। सामान्य तौर पर, अनुक्रम में nवें पद को एक (या bn, cn, आदि) दर्शाया जाता है।

स्थिति बहुत सुविधाजनक होती है जब अनुक्रम के n-वें पद को किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र a = 2n 3 अनुक्रम को परिभाषित करता है: 1; एक; 3; पांच; 7; ::: सूत्र a = (1) n अनुक्रम को परिभाषित करता है: 1; एक; एक; एक; :::

संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय एक क्रम नहीं है। तो, एक खंड एक अनुक्रम नहीं है; इसमें "बहुत अधिक" संख्याएँ हैं जिन्हें फिर से क्रमांकित किया जाना है। सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R भी अनुक्रम नहीं है। ये तथ्य गणितीय विश्लेषण के दौरान सिद्ध होते हैं।

अंकगणितीय प्रगति: बुनियादी परिभाषाएँ

अब हम एक समान्तर श्रेणी को परिभाषित करने के लिए तैयार हैं।

परिभाषा. एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक पद (दूसरे से शुरू होकर) पिछले पद और कुछ निश्चित संख्या के योग के बराबर होता है (जिसे अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है)।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2; पांच; आठ; ग्यारह; ::: पहला पद 2 और अंतर 3 के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है। अनुक्रम 7; 2; 3; आठ; ::: पहला पद 7 और अंतर 5 के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है। अनुक्रम 3; 3; 3; ::: शून्य अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है।

समतुल्य परिभाषा: एक अनुक्रम a को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है यदि अंतर a + 1 a एक स्थिर मान (n से स्वतंत्र) है।

एक अंकगणितीय प्रगति को वृद्धि कहा जाता है यदि इसका अंतर सकारात्मक है, और यदि इसका अंतर ऋणात्मक है तो घटता है।

1 और यहाँ एक अधिक संक्षिप्त परिभाषा है: अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित एक फलन है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम एक फ़ंक्शन f: N! आर

डिफ़ॉल्ट रूप से, अनुक्रमों को अनंत माना जाता है, यानी अनंत संख्या में संख्याएं होती हैं। लेकिन कोई भी सीमित दृश्यों पर भी विचार करने की जहमत नहीं उठाता; वास्तव में, संख्याओं के किसी भी परिमित समुच्चय को परिमित अनुक्रम कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतिम अनुक्रम 1 है; 2; 3; चार; 5 में पाँच संख्याएँ होती हैं।

समांतर श्रेणी के nवें पद का सूत्र

यह समझना आसान है कि अंकगणितीय प्रगति पूरी तरह से दो संख्याओं से निर्धारित होती है: पहला पद और अंतर। इसलिए, प्रश्न उठता है: पहले पद और अंतर को जानने के लिए, अंकगणितीय प्रगति का एक मनमाना सदस्य कैसे खोजा जाए?

एक समान्तर श्रेणी के nवें पद के लिए आवश्यक सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है। चलो एक Let

समस्या 1. अंकगणितीय प्रगति में 2; पांच; आठ; ग्यारह; ::: nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद परिकलित कीजिए।

फेसला। सूत्र (1) के अनुसार, हमारे पास है:

एक = २ + ३ (एन १) = ३एन १:

ए १०० = ३ १०० १ = २९९:

गुण और अंकगणितीय प्रगति का चिन्ह

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति। अंकगणितीय प्रगति में a किसी के लिए

दूसरे शब्दों में, समांतर श्रेणी का प्रत्येक सदस्य (दूसरे से शुरू होकर) पड़ोसी सदस्यों का अंकगणितीय माध्य है।

जैसी ज़रूरत।

अधिक सामान्यतः, अंकगणितीय प्रगति समानता को संतुष्ट करती है

ए एन = ए एन के + ए एन + के

किसी भी n> 2 और किसी भी प्राकृतिक k . के लिए< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

यह पता चला है कि सूत्र (2) न केवल एक आवश्यक है, बल्कि एक अनुक्रम के लिए एक अंकगणितीय प्रगति होने के लिए पर्याप्त शर्त भी है।

एक अंकगणितीय प्रगति का संकेत। यदि समानता (2) सभी n> 2 के लिए है, तो अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

सबूत। आइए सूत्र (2) को इस प्रकार फिर से लिखें:

ए ना एन 1 = ए एन + 1 ए एन:

इससे पता चलता है कि अंतर a + 1 a n पर निर्भर नहीं करता है, और इसका सीधा सा मतलब है कि अनुक्रम a एक अंकगणितीय प्रगति है।

एक अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति और विशेषता को एक कथन के रूप में तैयार किया जा सकता है; सुविधा के लिए हम इसे तीन नंबरों के लिए करेंगे (यही वह स्थिति है जो अक्सर समस्याओं में होती है)।

अंकगणितीय प्रगति की विशेषता। तीन संख्याएँ a, b, c एक समांतर श्रेणी बनाती हैं यदि और केवल यदि 2b = a + c हो।

समस्या २. (मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, अर्थशास्त्र संकाय, २००७) संकेतित क्रम में तीन संख्याएँ ८x, ३ x२ और ४ घटती हुई अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं। x ज्ञात कीजिए और इस प्रगति का अंतर बताइए।

फेसला। अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति से, हमारे पास है:

2 (3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; एक्स = 5:

यदि x = 1 है, तो हमें 6 के अंतर के साथ घटती हुई प्रगति 8, 2, 4 प्राप्त होती है। यदि x = 5, तो हमें बढ़ती हुई प्रगति 40, 22, 4 प्राप्त होती है; यह मामला अच्छा नहीं है।

उत्तर: x = 1, अंतर 6 है।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

किंवदंती है कि एक बार शिक्षक ने बच्चों को 1 से 100 तक की संख्याओं का योग खोजने के लिए कहा और शांति से अखबार पढ़ने बैठ गए। हालांकि, कुछ मिनट से भी कम समय के बाद, एक लड़के ने कहा कि उसने समस्या का समाधान कर लिया है। यह 9 वर्षीय कार्ल फ्रेडरिक गॉस था, जो बाद में इतिहास के सबसे महान गणितज्ञों में से एक था।

लिटिल गॉस का विचार यह था। रहने दो

एस = 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:

आइए इस राशि को उल्टे क्रम में लिखें:

एस = १०० + ९९ + ९८ +::: + ३ + २ + १;

और इन दो सूत्रों को जोड़ें:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

कोष्ठक में प्रत्येक पद १०१ के बराबर है, और कुल १०० ऐसे पद हैं। इसलिए,

2S = १०१ १०० = १०१००;

हम इस विचार का उपयोग योग सूत्र प्राप्त करने के लिए करते हैं

एस = ए1 + ए 2 + ::: + ए + ए एन एन: (3)

सूत्र (3) का एक उपयोगी संशोधन nवें पद a = a1 + (n 1) d के लिए सूत्र को इसमें प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

समस्या 3. 13 से विभाज्य तीन अंकों की सभी धनात्मक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला। तीन अंकों की संख्या, 13 के गुणज, पहले पद 104 और अंतर 13 के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं; इस प्रगति का nवाँ पद है:

एक = १०४ + १३ (एन १) = ९१ + १३एन:

आइए जानें कि हमारी प्रगति में कितने सदस्य हैं। ऐसा करने के लिए, हम असमानता को हल करते हैं:

एक 6 999; ९१ + १३एन ६ ९९९;

n ६ ९०८ १३ = ६९११ १३; एन 6 69:

इस प्रकार, हमारी प्रगति में 69 सदस्य हैं। सूत्र (4) का उपयोग करके, हम आवश्यक योग पाते हैं:

एस = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं ..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा ...")

एक अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछले एक की तुलना में एक ही राशि से अधिक (या कम) होती है।

यह विषय अक्सर कठिन और समझ से बाहर होता है। अक्षरों के लिए सूचकांक, प्रगति का n-वाँ पद, प्रगति में अंतर - यह सब किसी तरह शर्मनाक है, हाँ ... आइए अंकगणितीय प्रगति का अर्थ समझें और सब कुछ तुरंत काम करेगा।)

अंकगणितीय प्रगति अवधारणा।

अंकगणितीय प्रगति एक बहुत ही सरल और स्पष्ट अवधारणा है। संदेह? व्यर्थ।) अपने लिए देखें।

मैं संख्याओं की एक अधूरी श्रृंखला लिखूंगा:

1, 2, 3, 4, 5, ...

क्या आप इस पंक्ति को बढ़ा सकते हैं? पाँच के बाद कौन-सी संख्याएँ आगे बढ़ेंगी? हर कोई ... उह-उह ..., संक्षेप में, सभी को एहसास होगा कि संख्या 6, 7, 8, 9, आदि आगे बढ़ेगी।

आइए कार्य को जटिल करें। मैं संख्याओं की एक अधूरी श्रृंखला देता हूं:

2, 5, 8, 11, 14, ...

आप पैटर्न को पकड़ने, श्रृंखला का विस्तार करने और नाम देने में सक्षम होंगे सातवींपंक्ति नंबर?

यदि आपको पता चला कि यह संख्या 20 है - मैं आपको बधाई देता हूं! न केवल आपने महसूस किया अंकगणितीय प्रगति के प्रमुख बिंदु,लेकिन व्यापार में भी उनका सफलतापूर्वक उपयोग किया! यदि आपने इसे नहीं समझा है, तो पढ़ें।

आइए अब मुख्य बिंदुओं को सनसनी से गणित में अनुवाद करें।)

पहला मुख्य बिंदु।

अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की श्रृंखला से संबंधित है।यह पहली बार में भ्रमित करने वाला है। हम समीकरणों को हल करने, रेखांकन और वह सब करने के आदी हैं ... और फिर श्रृंखला का विस्तार करें, श्रृंखला की संख्या ज्ञात करें ...

कोई खराबी नहीं। केवल प्रगति गणित की एक नई शाखा के साथ पहला परिचय है। अनुभाग को "पंक्तियाँ" कहा जाता है और यह संख्याओं और भावों की श्रृंखला के साथ काम करता है। इस्की आद्त डाल लो।)

दूसरा मुख्य बिंदु।

एक समान्तर श्रेणी में, कोई भी संख्या पिछली संख्या से भिन्न होती है उसी राशि से।

पहले उदाहरण में, यह अंतर एक है। आप जो भी संख्या लें, वह पिछले वाले से एक अधिक है। दूसरे में - तीन। कोई भी संख्या जो पिछले एक से तीन से अधिक हो। दरअसल, यह वह क्षण है जो हमें पैटर्न को पकड़ने और बाद की संख्याओं की गणना करने का अवसर देता है।

तीसरा प्रमुख बिंदु।

यह क्षण हड़ताली नहीं है, हाँ ... लेकिन यह बहुत, बहुत महत्वपूर्ण है। यह रहा: प्रगति में प्रत्येक संख्या अपने स्थान पर है।पहला अंक है, सातवां है, पैंतालीसवां है, आदि। यदि वे यादृच्छिक रूप से भ्रमित होते हैं, तो पैटर्न गायब हो जाएगा। अंकगणितीय प्रगति भी गायब हो जाएगी। बस नंबरों की एक कतार रहेगी।

यह पूरी बात है।

बेशक, नए विषय में नए नियम और पदनाम दिखाई देते हैं। आपको उन्हें जानने की जरूरत है। अन्यथा, आप कार्य को नहीं समझेंगे। उदाहरण के लिए, आपको कुछ ऐसा तय करना होगा:

समांतर श्रेणी (a n) के पहले छह पद लिखिए, यदि a 2 = 5, d = -2.5 हो।

क्या यह प्रेरित करता है?) पत्र, कुछ अनुक्रमणिका ... और कार्य, वैसे - आसान नहीं हो सकता। आपको बस शब्दों और पदनामों के अर्थ को समझने की जरूरत है। अब हम इस व्यवसाय में महारत हासिल करेंगे और कार्य पर लौट आएंगे।

शर्तें और पदनाम।

अंकगणितीय प्रगतिसंख्याओं की एक श्रृंखला है जिसमें प्रत्येक संख्या पिछले एक से भिन्न होती है उसी राशि से।

इस मात्रा को कहा जाता है ... आइए इस अवधारणा से अधिक विस्तार से निपटें।

अंकगणितीय प्रगति का अंतर।

अंकगणितीय प्रगति का अंतरवह राशि है जिसके द्वारा प्रगति की कोई भी संख्या अधिकपिछला वाला।

एक महत्वपूर्ण बिंदु। कृपया शब्द पर ध्यान दें "अधिक"।गणितीय रूप से, इसका अर्थ है कि प्रगति में प्रत्येक संख्या प्राप्त होती है जोड़नेपिछली संख्या से अंकगणितीय प्रगति का अंतर।

गणना के लिए, मान लें दूसराश्रृंखला की संख्या, यह आवश्यक है सबसे पहलारेखावृत्त जोड़नाअंकगणितीय प्रगति का यह बहुत अंतर। गणना के लिए पांचवां- अंतर आवश्यक है जोड़नासेवा मेरे चौथा,अच्छा, आदि

अंकगणितीय प्रगति का अंतरहो सकता है सकारात्मक,तो पंक्ति की प्रत्येक संख्या वास्तव में निकलेगी पिछले एक से अधिक।इस प्रगति को कहा जाता है बढ़ रहा।उदाहरण के लिए:

8; 13; 18; 23; 28; .....

यहां हर नंबर मिलता है जोड़नेसकारात्मक संख्या, +5 पिछले एक के लिए।

अंतर हो सकता है नकारात्मक,तो श्रृंखला में प्रत्येक संख्या होगी पिछले वाले से कम।ऐसी प्रगति को कहा जाता है (आप इस पर विश्वास नहीं करेंगे!) घट रहा है।

उदाहरण के लिए:

8; 3; -2; -7; -12; .....

यहां हर नंबर भी मिलता है जोड़नेपिछले करने के लिए, लेकिन पहले से ही ऋणात्मक संख्या, -5।

वैसे, प्रगति के साथ काम करते समय, इसकी प्रकृति को तुरंत निर्धारित करना बहुत उपयोगी होता है - चाहे वह बढ़ रहा हो या घट रहा हो। यह समाधान को नेविगेट करने, अपनी गलतियों का पता लगाने और बहुत देर होने से पहले उन्हें ठीक करने में बहुत मदद करता है।

अंकगणितीय प्रगति का अंतरनिरूपित, एक नियम के रूप में, पत्र द्वारा डी

कैसे ढूंढें घ? बहुत सरल। श्रृंखला की किसी भी संख्या में से घटाना आवश्यक है पहले कासंख्या। घटाना। वैसे, घटाव के परिणाम को "अंतर" कहा जाता है।)

आइए परिभाषित करें, उदाहरण के लिए, घअंकगणितीय प्रगति बढ़ाने के लिए:

2, 5, 8, 11, 14, ...

हम जितनी भी पंक्ति चाहते हैं, उसकी कोई भी संख्या लेते हैं, उदाहरण के लिए, 11. इसमें से घटाना पिछली संख्या,वो। आठ:

यह सही जवाब है। इस अंकगणितीय प्रगति के लिए, अंतर तीन है।

आप बिल्कुल ले सकते हैं प्रगति की कोई भी संख्या,जबसे एक विशिष्ट प्रगति के लिए घ -हमेशा एक ही।कम से कम कहीं पंक्ति की शुरुआत में, कम से कम बीच में, कम से कम कहीं भी। आप केवल पहला नंबर नहीं ले सकते। सिर्फ इसलिए कि पहले नंबर पर कोई पिछला नहीं है।)

वैसे, यह जानते हुए कि डी = 3, इस प्रगति की सातवीं संख्या ज्ञात करना बहुत आसान है। पांचवें नंबर में 3 जोड़ें - हमें छठा मिलता है, यह 17 होगा। छठे नंबर में तीन जोड़ें, हमें सातवां नंबर - बीस मिलता है।

हम परिभाषित करते हैं घघटती हुई अंकगणितीय प्रगति के लिए:

8; 3; -2; -7; -12; .....

मैं आपको याद दिलाता हूं कि, संकेतों की परवाह किए बिना, निर्धारित करने के लिए घयह किसी भी संख्या से आवश्यक है पिछले एक को दूर ले जाओ।हम प्रगति की कोई भी संख्या चुनते हैं, उदाहरण के लिए -7। पिछला वाला -2 है। फिर:

डी = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

अंकगणितीय प्रगति का अंतर कोई भी संख्या हो सकती है: पूर्ण, भिन्नात्मक, अपरिमेय, जो भी हो।

अन्य शर्तें और पदनाम।

श्रृंखला में प्रत्येक संख्या को कहा जाता है एक अंकगणितीय प्रगति का सदस्य।

प्रगति के प्रत्येक सदस्य का अपना नंबर है।बिना किसी तरकीब के, संख्याएँ सख्ती से क्रम में हैं। पहला, दूसरा, तीसरा, चौथा, आदि। उदाहरण के लिए, प्रगति में 2, 5, 8, 11, 14, ... दो पहला पद है, पांच दूसरा है, ग्यारह चौथा है, ठीक है, आप समझते हैं ...) कृपया स्पष्ट रूप से समझें - नंबर खुदबिल्कुल कोई भी हो सकता है, संपूर्ण, भिन्नात्मक, नकारात्मक, जो भी हो, लेकिन संख्याओं की संख्या- कड़ाई से क्रम में!

सामान्य प्रगति कैसे रिकॉर्ड करें? कोई दिक्कत नहीं है! पंक्ति में प्रत्येक संख्या एक अक्षर के रूप में लिखी जाती है। एक नियम के रूप में, अक्षर का उपयोग अंकगणितीय प्रगति को दर्शाने के लिए किया जाता है ए... सदस्य संख्या नीचे दाईं ओर एक सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है। हम सदस्यों को अल्पविराम (या अर्धविराम) से अलग करके लिखते हैं, जैसे:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5, .....

एक 1पहला नंबर है, एक 3- तीसरा, आदि। कुछ भी पेचीदा नहीं। आप इस श्रृंखला को संक्षेप में इस प्रकार लिख सकते हैं: (एक नहीं).

प्रगति हैं सीमित और अंतहीन।

चरमप्रगति में सदस्यों की सीमित संख्या है। पाँच, अड़तीस, जो भी हो। लेकिन - एक सीमित संख्या।

अनंतप्रगति - में अनंत संख्या में सदस्य हैं, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं।)

आप इस तरह की श्रृंखला के माध्यम से अंतिम प्रगति लिख सकते हैं, सभी सदस्य और अंत में एक बिंदु:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5.

या तो, यदि कई सदस्य हैं:

ए 1, ए 2, ... ए 14, ए 15.

एक छोटी प्रविष्टि में, आपको सदस्यों की संख्या को अतिरिक्त रूप से इंगित करना होगा। उदाहरण के लिए (बीस सदस्यों के लिए), इस तरह:

(ए एन), एन = 20

पंक्ति के अंत में दीर्घवृत्त द्वारा एक अंतहीन प्रगति को पहचाना जा सकता है, जैसा कि इस पाठ के उदाहरणों में है।

अब आप कार्यों को हल कर सकते हैं। कार्य सरल हैं, विशुद्ध रूप से अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझने के लिए।

अंकगणितीय प्रगति पर कार्यों के उदाहरण।

आइए कार्य का विस्तार से विश्लेषण करें, जो ऊपर दिया गया है:

1. समांतर श्रेणी (a n) के पहले छह पदों को लिखिए, यदि a 2 = 5, d = -2.5 हो।

हम कार्य को समझने योग्य भाषा में अनुवाद करते हैं। एक अनंत अंकगणितीय प्रगति दी गई है। इस प्रगति की दूसरी संख्या ज्ञात है: ए 2 = 5.प्रगति में अंतर ज्ञात है: डी = -2.5।इस प्रगति के पहले, तीसरे, चौथे, पांचवें और छठे सदस्यों को खोजना आवश्यक है।

स्पष्टता के लिए, मैं समस्या की स्थिति के अनुसार एक श्रृंखला लिखूंगा। पहले छह पद, जहां दूसरा पद पांच है:

ए १, ५, ए ३, ए ४, ए ५, ए ६, ....

एक 3 = एक 2 + घ

अभिव्यक्ति में बदलें ए 2 = 5तथा घ = -2.5... माइनस के बारे में मत भूलना!

एक 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

तीसरा पद दूसरे से छोटा है। सब कुछ तार्किक है। यदि संख्या पिछले एक से अधिक है नकारात्मकमान, तो संख्या स्वयं पिछले वाले से कम हो जाएगी। प्रगति घट रही है। ठीक है, आइए इसे ध्यान में रखते हैं।) हम अपनी श्रृंखला के चौथे सदस्य पर विचार करते हैं:

एक 4 = एक 3 + घ

एक 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

एक 5 = एक 4 + घ

एक 5=0+(-2,5)= - 2,5

एक 6 = एक 5 + घ

एक 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

तो, तीसरे से छठे तक की शर्तों की गणना की जाती है। परिणाम ऐसी श्रृंखला है:

ए 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

यह पहला पद खोजने के लिए बनी हुई है एक 1प्रसिद्ध दूसरे के अनुसार। यह दूसरी दिशा में बाईं ओर एक कदम है।) इसलिए, अंकगणितीय प्रगति का अंतर घमें जोड़ने की आवश्यकता नहीं है एक 2, लेकिन अ दूर करना:

एक 1 = एक 2 - घ

एक 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

यही सब है इसके लिए। कार्य उत्तर:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

रास्ते में, मैं ध्यान दूंगा कि हमने इस कार्य को हल कर लिया है आवर्तकमार्ग। इस डरावने शब्द का अर्थ केवल प्रगति के सदस्य की तलाश करना है। पिछली (आसन्न) संख्या से।हम बाद में प्रगति के साथ काम करने के अन्य तरीकों पर विचार करेंगे।

इस सरल कार्य से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला जा सकता है।

याद कीजिए:

यदि हम कम से कम एक पद और एक समांतर श्रेणी का अंतर जानते हैं, तो हम इस प्रगति के किसी भी सदस्य को पा सकते हैं।

याद कीजिए? यह सरल निष्कर्ष आपको इस विषय पर स्कूल पाठ्यक्रम के अधिकांश कार्यों को हल करने की अनुमति देता है। सभी कार्य तीन मुख्य मापदंडों के इर्द-गिर्द घूमते हैं: अंकगणितीय प्रगति का सदस्य, प्रगति का अंतर, प्रगति के सदस्य की संख्या।हर एक चीज़।

बेशक, पिछले सभी बीजगणित रद्द नहीं किए गए हैं।) असमानता, समीकरण और अन्य चीजें प्रगति से जुड़ी हुई हैं। परंतु बहुत प्रगति से- सब कुछ तीन मापदंडों के इर्द-गिर्द घूमता है।

एक उदाहरण के रूप में, इस विषय पर कुछ लोकप्रिय सत्रीय कार्यों पर विचार करें।

2. अंतिम अंकगणितीय प्रगति को एक श्रृंखला के रूप में लिखिए, यदि n = 5, d = 0.4, और a 1 = 3.6 है।

यहाँ सब कुछ सरल है। सब कुछ पहले ही दिया जा चुका है। आपको यह याद रखने की आवश्यकता है कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को कैसे गिना जाता है, गिनें और उन्हें लिखें। यह सलाह दी जाती है कि कार्य की स्थिति में शब्दों को याद न करें: "अंतिम" और " एन = 5"। चेहरे में पूरी तरह से नीला होने तक गिनती नहीं है।) इस प्रगति में केवल 5 (पांच) सदस्य हैं:

ए 2 = ए 1 + डी = 3.6 + 0.4 = 4

ए 3 = ए 2 + डी = 4 + 0.4 = 4.4

एक 4 = एक 3 + डी = 4.4 + 0.4 = 4.8

एक 5 = एक 4 + डी = 4.8 + 0.4 = 5.2

उत्तर लिखना बाकी है:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

एक अन्य कार्य:

3. निर्धारित करें कि क्या संख्या 7 अंकगणितीय प्रगति (a n) का सदस्य है, यदि ए 1 = 4.1; घ = १.२.

हम्म ... कौन जानता है? कुछ कैसे निर्धारित करें?

कैसे, कैसे ... हाँ, एक श्रंखला के रूप में प्रगति लिखिए और देखिए कि वहाँ सात होंगे या नहीं! हमें विचार विमर्श करना है:

ए 2 = ए 1 + डी = 4.1 + 1.2 = 5.3

ए 3 = ए 2 + डी = 5.3 + 1.2 = 6.5

एक 4 = एक 3 + डी = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

अब यह स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है कि हम सिर्फ सात हैं के माध्यम से फिसल 6.5 और 7.7 के बीच! सात हमारी संख्याओं की श्रृंखला में शामिल नहीं हुए, और इसलिए, सात दी गई प्रगति के सदस्य नहीं होंगे।

जवाब न है।

और यहाँ GIA के वास्तविक संस्करण पर आधारित एक कार्य है:

4. अंकगणितीय प्रगति के कई क्रमागत सदस्यों को लिखा जाता है:

...; पंद्रह; एक्स; नौ; 6; ...

यहाँ एक पंक्ति बिना अंत और शुरुआत के लिखी गई है। कोई सदस्य संख्या नहीं, कोई अंतर नहीं घ... कोई खराबी नहीं। समस्या को हल करने के लिए, अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझना पर्याप्त है। हम देखते हैं और सोचते हैं कि क्या संभव है डिस्कवरइस श्रृंखला से? तीन मुख्य पैरामीटर क्या हैं?

सदस्य संख्या? यहां एक भी नंबर नहीं है।

लेकिन तीन नंबर हैं और - ध्यान! - शब्द "लगातार"हालत में। इसका मतलब है कि संख्याएं बिना अंतराल के सख्ती से क्रम में हैं। क्या इस पंक्ति में दो हैं पड़ोसीज्ञात संख्या? हाँ वहाँ है! ये 9 और 6 हैं। अतः हम समांतर श्रेणी के अंतर की गणना कर सकते हैं! हम छह . से घटाते हैं पहले कासंख्या, यानी नौ:

केवल ट्रिफ़ल्स बचे हैं। X के लिए पिछली संख्या क्या है? पंद्रह। इसका मतलब है कि x को सरल जोड़ द्वारा आसानी से पाया जा सकता है। अंकगणितीय प्रगति का अंतर 15 में जोड़ें:

बस इतना ही। उत्तर: एक्स = 12

हम निम्नलिखित समस्याओं को स्वयं हल करते हैं। नोट: ये समस्याएँ सूत्रों के बारे में नहीं हैं। विशुद्ध रूप से एक अंकगणितीय प्रगति के अर्थ को समझने के लिए।) हम केवल संख्या-अक्षरों के साथ एक श्रृंखला लिखते हैं, देखो और सोचो।

5. समांतर श्रेणी का पहला धनात्मक पद ज्ञात कीजिए यदि a 5 = -3; घ = १.१.

6. यह ज्ञात है कि संख्या 5.5 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 = 1.6; डी = 1.3। इस सदस्य की संख्या n ज्ञात कीजिए।

7. यह ज्ञात है कि समांतर श्रेणी में 2 = 4; एक 5 = 15.1। एक 3 खोजें।

8. अंकगणितीय प्रगति के लगातार कई सदस्यों को लिखा:

...; 15.6; एक्स; ३.४; ...

अक्षर x द्वारा इंगित प्रगति में पद ज्ञात कीजिए।

9. ट्रेन ने स्टेशन से चलना शुरू किया, अपनी गति में लगातार 30 मीटर प्रति मिनट की वृद्धि की। पांच मिनट में ट्रेन की गति क्या होगी? अपना उत्तर किमी/घंटा में दें।

10. यह ज्ञात है कि समांतर श्रेणी में 2 = 5; एक 6 = -5। 1 . खोजें.

उत्तर (अव्यवस्था में): 7.7; ७.५; 9.5; नौ; 0.3; चार।

सब कुछ ठीक हो गया? आश्चर्यजनक! आप निम्न पाठों में उच्च स्तर पर अंकगणितीय प्रगति में महारत हासिल कर सकते हैं।

सब कुछ ठीक नहीं हुआ? कोई दिक्कत नहीं है। विशेष धारा ५५५ में, इन सभी समस्याओं को टुकड़ों में हल किया गया है।) और, ज़ाहिर है, एक सरल व्यावहारिक तकनीक का वर्णन किया गया है जो ऐसे कार्यों के समाधान को तुरंत स्पष्ट रूप से स्पष्ट करता है, जैसे कि आपके हाथ की हथेली में!

वैसे ट्रेन को लेकर पहेली में दो ऐसी समस्याएं हैं जिन पर लोग अक्सर ठोकर खाते हैं। एक विशुद्ध रूप से प्रगति पर है, और दूसरा गणित, और भौतिकी में भी किसी भी समस्या के लिए सामान्य है। यह आयामों का एक से दूसरे में अनुवाद है। इसमें दिखाया गया है कि इन समस्याओं को कैसे हल किया जाना चाहिए।

इस पाठ में, हमने अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ और इसके मुख्य मापदंडों की जांच की। यह इस विषय पर लगभग सभी समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। जोड़ना घसंख्याओं के लिए, एक श्रृंखला लिखें, सब कुछ तय हो जाएगा।

उंगली का घोल एक पंक्ति के बहुत छोटे टुकड़ों के लिए अच्छा काम करता है, जैसा कि इस पाठ के उदाहरणों में है। यदि पंक्ति लंबी है, तो गणना अधिक जटिल हो जाती है। उदाहरण के लिए, यदि प्रश्न में समस्या 9 में, प्रतिस्थापित करें "पांच मिनट"पर "पैंतीस मिनट"समस्या काफी गंभीर हो जाएगी।)

और ऐसे कार्य भी हैं जो संक्षेप में सरल हैं, लेकिन गणना के मामले में अविश्वसनीय हैं, उदाहरण के लिए:

आपको एक समांतर श्रेढ़ी (a n) दी गई है। यदि a 1 = 3 और d = 1/6 हो तो 121 ज्ञात कीजिए।

और क्या, हम 1/6 से कई, कई बार जोड़ेंगे?! आप खुद को मार सकते हैं!?

आप कर सकते हैं।) यदि आप एक सरल सूत्र नहीं जानते हैं, जिसके अनुसार ऐसे कार्यों को एक मिनट में हल किया जा सकता है। यह सूत्र अगले पाठ में होगा। और यह समस्या वहीं हल हो जाती है। एक मिनट में।)

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

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