त्रिकोणमितीय सूत्र विशेष मामले हैं। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना"

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हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. त्रिकोणमितीय समीकरण क्या हैं?

3. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की दो मुख्य विधियाँ।
4. सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।
5. उदाहरण.

त्रिकोणमितीय समीकरण क्या हैं?

दोस्तों, हम पहले ही आर्कसाइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटेंजेंट का अध्ययन कर चुके हैं। आइए अब सामान्य रूप से त्रिकोणमितीय समीकरणों को देखें।

त्रिकोणमितीय समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें एक चर त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के अंतर्गत समाहित होता है।

आइए हम सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के तरीके को दोहराएँ:

1)यदि |a|≤ 1, तो समीकरण cos(x) = a का एक समाधान है:

एक्स= ± आर्ककोस(ए) + 2πk

2) यदि |a|≤ 1, तो समीकरण पाप(x) = a का एक समाधान है:

3) यदि |ए| > 1, तो समीकरण पाप(x) = a और cos(x) = a का कोई समाधान नहीं है 4) समीकरण tg(x)=a का समाधान है: x=arctg(a)+ πk

5) समीकरण ctg(x)=a का एक समाधान है: x=arcctg(a)+ πk

सभी सूत्रों के लिए k एक पूर्णांक है

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों का रूप है: T(kx+m)=a, T कुछ त्रिकोणमितीय फलन है।

समीकरण हल करें: ए) पाप(3x)= √3/2

समाधान:

ए) आइए हम 3x=t को निरूपित करें, फिर हम अपने समीकरण को इस रूप में फिर से लिखेंगे:

इस समीकरण का हल होगा: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

मानों की तालिका से हमें मिलता है: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

आइए अपने वेरिएबल पर वापस लौटें: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

फिर x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

उत्तर: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, जहां n एक पूर्णांक है। (-1)^n - n की घात से एक घटा।

त्रिकोणमितीय समीकरणों के और उदाहरण.

समाधान:

ए) इस बार आइए सीधे समीकरण की जड़ों की गणना करने के लिए आगे बढ़ें:

एक्स/5= ± आर्ककोस(1) + 2πk। फिर x/5= πk => x=5πk

उत्तर: x=5πk, जहाँ k एक पूर्णांक है।

बी) हम इसे इस रूप में लिखते हैं: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk। हम जानते हैं कि: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

उत्तर: x=2π/9 + πk/3, जहां k एक पूर्णांक है।

समीकरण हल करें: cos(4x)= √2/2. और खंड पर सभी जड़ें ढूंढें।

समाधान:

आइए हम अपने समीकरण को सामान्य रूप में हल करें: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

एक्स= ± π/16+ πk/2;

अब देखते हैं कि हमारे सेगमेंट पर क्या जड़ें पड़ती हैं। k पर k=0, x= π/16 पर, हम दिए गए खंड में हैं।
K=1, x= π/16+ π/2=9π/16 के साथ, हमने फिर से प्रहार किया।
K=2 के लिए, x= π/16+ π=17π/16, लेकिन यहां हमने हिट नहीं किया, जिसका मतलब है कि बड़े k के लिए हम भी स्पष्ट रूप से हिट नहीं करेंगे।

उत्तर: x= π/16, x= 9π/16

दो मुख्य समाधान विधियाँ.

आइए समीकरण हल करें:

समाधान:
अपने समीकरण को हल करने के लिए, हम एक नए चर को प्रस्तुत करने की विधि का उपयोग करेंगे, जिसका अर्थ है: t=tg(x)।

प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है: t 2 + 2t -1 = 0

आइए द्विघात समीकरण के मूल खोजें: t=-1 और t=1/3

फिर tg(x)=-1 और tg(x)=1/3, हमें सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण मिलता है, आइए इसके मूल खोजें।

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

उत्तर: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

किसी समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

समीकरण हल करें: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

समाधान:

आइए पहचान का उपयोग करें: पाप 2 (x) + cos 2 (x)=1

हमारा समीकरण इस प्रकार होगा: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

आइए प्रतिस्थापन t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0 का परिचय दें

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल हैं: t=2 और t=-1/2

फिर cos(x)=2 और cos(x)=-1/2.

क्योंकि कोसाइन एक से अधिक मान नहीं ले सकता, तो cos(x)=2 का कोई मूल नहीं है।

cos(x)=-1/2 के लिए: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

उत्तर: x= ±2π/3 + 2πk

सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण.

प्रपत्र के समीकरण

दूसरी डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण।

पहली डिग्री के एक सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, इसे cos(x) से विभाजित करें: यदि कोसाइन शून्य के बराबर है तो आप कोज्या से विभाजित नहीं कर सकते, आइए सुनिश्चित करें कि ऐसा नहीं है:
मान लीजिए cos(x)=0, फिर asin(x)+0=0 => पाप(x)=0, लेकिन साइन और कोसाइन एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, हमें एक विरोधाभास मिलता है, इसलिए हम सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं शून्य से.

प्रश्न हल करें:
उदाहरण: cos 2 (x) + syn(x) cos(x) = 0

समाधान:

आइए सामान्य गुणनखंड निकालें: cos(x)(c0s(x) + syn (x)) = 0

फिर हमें दो समीकरण हल करने होंगे:

Cos(x)=0 और cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 at x= π/2 + πk;

समीकरण पर विचार करें cos(x)+sin(x)=0 हमारे समीकरण को cos(x) से विभाजित करें:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

उत्तर: x= π/2 + πk और x= -π/4+πk

दूसरी डिग्री के सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें?
दोस्तों, इन नियमों का हमेशा पालन करें!

1. देखें कि गुणांक a किसके बराबर है, यदि a=0 तो हमारा समीकरण cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) का रूप लेगा, जिसके समाधान का एक उदाहरण पिछली स्लाइड पर है

2. यदि a≠0, तो आपको समीकरण के दोनों पक्षों को कोसाइन वर्ग से विभाजित करने की आवश्यकता है, हमें मिलता है:

हम वेरिएबल t=tg(x) बदलते हैं और समीकरण प्राप्त करते हैं:

उदाहरण क्रमांक:3 को हल करें

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को कोज्या वर्ग से विभाजित करें:

हम वेरिएबल t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0 बदलते हैं

आइए द्विघात समीकरण के मूल खोजें: t=-3 और t=1

फिर: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

उत्तर: x=-arctg(3) + πk और x= π/4+ πk

उदाहरण क्रमांक:4 को हल करें

समाधान:
आइए अपनी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

हम ऐसे समीकरण हल कर सकते हैं: x= - π/4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उत्तर: x= - π/4 + 2πk और x=5π/4 + 2πk

उदाहरण क्रमांक:5 को हल करें

समाधान:
आइए अपनी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

आइए प्रतिस्थापन का परिचय दें tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

हमारे द्विघात समीकरण का हल मूल होंगे: t=-2 और t=1/2

तब हमें मिलता है: tg(2x)=-2 और tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

उत्तर: x=-arctg(2)/2 + πk/2 और x=arctg(1/2)/2+ πk/2

स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएँ.

ए) पाप(7x)= 1/2 बी) कॉस(3x)= √3/2 सी) कॉस(-x) = -1 डी) टीजी(4x) = √3 डी) सीटीजी(0.5x) = -1.7

2) समीकरण हल करें: पाप(3x)= √3/2. और खंड पर सभी मूल खोजें [π/2; π].

3) समीकरण हल करें: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) समीकरण हल करें: 3sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) समीकरण हल करें: 3sin 2 (3x) + 10 syn(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) समीकरण हल करें: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

आप अपनी समस्या का विस्तृत समाधान ऑर्डर कर सकते हैं!!!

एक त्रिकोणमितीय फलन (`sin x, cos x, tan x` या `ctg x`) के चिह्न के नीचे एक अज्ञात युक्त समानता को त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है, और यह उनके सूत्र हैं जिन पर हम आगे विचार करेंगे।

सबसे सरल समीकरण हैं `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, जहां `x` पाया जाने वाला कोण है, `a` कोई संख्या है। आइए हम उनमें से प्रत्येक के लिए मूल सूत्र लिखें।

1. समीकरण `sin x=a`.

`|a|>1` के लिए इसका कोई समाधान नहीं है।

जब `|ए| \leq 1` में अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. समीकरण `cos x=a`

`|a|>1` के लिए - जैसा कि साइन के मामले में होता है, इसका वास्तविक संख्याओं के बीच कोई समाधान नहीं है।

जब `|ए| \leq 1` में अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ग्राफ़ में साइन और कोसाइन के लिए विशेष मामले।

3. समीकरण `tg x=a`

`a` के किसी भी मान के लिए अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. समीकरण `ctg x=a`

इसके अलावा `ए` के किसी भी मान के लिए अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

तालिका में त्रिकोणमितीय समीकरणों की जड़ों के लिए सूत्र

साइन के लिए:
कोसाइन के लिए:
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए:
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन वाले समीकरणों को हल करने के सूत्र:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने में दो चरण होते हैं:

• इसे सरलतम में बदलने की सहायता से;
• ऊपर लिखे मूल सूत्रों और तालिकाओं का उपयोग करके प्राप्त सरलतम समीकरण को हल करें।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके मुख्य समाधान विधियों को देखें।

बीजगणितीय विधि.

इस पद्धति में एक चर को प्रतिस्थापित करना और उसे एक समानता में प्रतिस्थापित करना शामिल है।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

प्रतिस्थापन करें: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, फिर `2y^2-3y+1=0`,

हम मूल पाते हैं: `y_1=1, y_2=1/2`, जिससे दो मामले आते हैं:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`।

गुणनखंडीकरण।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `sin x+cos x=1`.

समाधान। आइए समानता के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: `sin x+cos x-1=0`। का उपयोग करते हुए, हम बाईं ओर को रूपांतरित और गुणनखंडित करते हैं:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

एक सजातीय समीकरण में कमी

सबसे पहले, आपको इस त्रिकोणमितीय समीकरण को दो रूपों में से एक में कम करना होगा:

`a syn x+b cos x=0` (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण) या `a syn^2 x + b syn x cos x +c cos^2 x=0` (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

फिर दोनों भागों को पहले मामले के लिए `cos x \ne 0` से विभाजित करें, और दूसरे के लिए `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करें। हमें `tg x` के लिए समीकरण मिलते हैं: `a tg x+b=0` और `a tg^2 x + b tg x +c =0`, जिन्हें ज्ञात तरीकों का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `2sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

समाधान। आइए दाएँ पक्ष को `1=sin^2 x+cos^2 x` के रूप में लिखें:

`2 पाप^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` `sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण है, हम इसके बाएँ और दाएँ पक्षों को `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. आइए प्रतिस्थापन `tg x=t` का परिचय दें, जिसके परिणामस्वरूप `t^2 + t - 2=0` होता है। इस समीकरण की जड़ें `t_1=-2` और `t_2=1` हैं। तब:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`।

उत्तर। `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

आधे कोण की ओर बढ़ना

उदाहरण। समीकरण हल करें: `11 पाप x - 2 cos x = 10`।

समाधान। आइए दोहरे कोण सूत्रों को लागू करें, जिसके परिणामस्वरूप: `22 पाप (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 पाप^2 x/2=` `10 पाप^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ऊपर वर्णित बीजगणितीय विधि को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

उत्तर। `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

सहायक कोण का परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरण `a syn x + b cos x =c` में, जहां a,b,c गुणांक हैं और x एक चर है, दोनों पक्षों को `sqrt (a^2+b^2)` से विभाजित करें:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) syn x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =`\frac c(sqrt (a^2) ) +बी^2))`.

बाईं ओर के गुणांकों में साइन और कोसाइन के गुण हैं, अर्थात् उनके वर्गों का योग 1 के बराबर है और उनके मॉड्यूल 1 से अधिक नहीं हैं। आइए हम उन्हें इस प्रकार निरूपित करें: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =सी`, फिर:

`cos \varphi पाप x + पाप \varphi cos x =C`।

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

उदाहरण। समीकरण हल करें: `3sin x+4 cos x=2`.

समाधान। समानता के दोनों पक्षों को `sqrt (3^2+4^2)` ​​से विभाजित करें, हमें मिलता है:

`\frac (3 पाप x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 पाप x+4/5 cos x=2/5`.

आइए निरूपित करें `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. चूँकि `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, तो हम `\varphi=arcsin 4/5` को सहायक कोण के रूप में लेते हैं। फिर हम अपनी समानता को इस रूप में लिखते हैं:

`cos \varphi syn x+sin \varphi cos x=2/5`

ज्या के कोणों के योग के सूत्र को लागू करते हुए, हम अपनी समानता को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

उत्तर। `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

भिन्नात्मक तर्कसंगत त्रिकोणमितीय समीकरण

ये भिन्नों के साथ समानताएं हैं जिनके अंश और हर में त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं।

उदाहरण। प्रश्न हल करें। `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

समाधान। समानता के दाहिने पक्ष को `(1+cos x)` से गुणा और विभाजित करें। परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

यह मानते हुए कि हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता, हमें `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` मिलता है।

आइए भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करें: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. फिर `sin x=0` या `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`।

यह देखते हुए कि ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, समाधान हैं `x=2\pi n, n \in Z` और `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

उत्तर। `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`।

त्रिकोणमिति, और विशेष रूप से त्रिकोणमितीय समीकरण, ज्यामिति, भौतिकी और इंजीनियरिंग के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं। पढ़ाई 10वीं कक्षा में शुरू होती है, एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए हमेशा कार्य होते हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय समीकरणों के सभी सूत्रों को याद करने का प्रयास करें - वे निश्चित रूप से आपके लिए उपयोगी होंगे!

हालाँकि, आपको उन्हें याद रखने की भी आवश्यकता नहीं है, मुख्य बात सार को समझना और उसे प्राप्त करने में सक्षम होना है। यह उतना कठिन नहीं है जितना लगता है। वीडियो देखकर आप खुद ही देख लीजिए.

त्रिकोणमिति के मूल सूत्रों का ज्ञान आवश्यक है - साइन और कोसाइन के वर्गों का योग, साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा की अभिव्यक्ति, और अन्य। उन लोगों के लिए जो उन्हें भूल गए हैं या नहीं जानते हैं, हम लेख "" पढ़ने की सलाह देते हैं।
तो, हम बुनियादी त्रिकोणमितीय सूत्रों को जानते हैं, अब उन्हें अभ्यास में उपयोग करने का समय आ गया है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करनासही दृष्टिकोण के साथ, यह काफी रोमांचक गतिविधि है, जैसे, उदाहरण के लिए, रूबिक क्यूब को हल करना।

नाम के आधार पर ही स्पष्ट है कि त्रिकोणमितीय समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें अज्ञात त्रिकोणमितीय फलन के चिन्ह के नीचे होता है।
तथाकथित सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण हैं। वे इस तरह दिखते हैं: सिनएक्स = ए, कॉस एक्स = ए, टैन एक्स = ए। चलो गौर करते हैं ऐसे त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें, स्पष्टता के लिए हम पहले से ही परिचित त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करेंगे।

सिनएक्स = ए

क्योंकि x = ए

टैन एक्स = ए

खाट x = ए

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को दो चरणों में हल किया जाता है: हम समीकरण को उसके सरलतम रूप में घटाते हैं और फिर इसे एक सरल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करते हैं।
ऐसी 7 मुख्य विधियाँ हैं जिनके द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल किया जाता है।

1. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन विधि

समीकरण 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 को हल करें

कटौती सूत्रों का उपयोग करके हमें प्राप्त होता है:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

सरल बनाने और सामान्य द्विघात समीकरण प्राप्त करने के लिए cos(x + /6) को y से बदलें:

2y 2 – 3y + 1 + 0

जिसके मूल y 1 = 1, y 2 = 1/2 हैं

अब उल्टे क्रम में चलते हैं

हम y के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और दो उत्तर विकल्प प्राप्त करते हैं:

2. गुणनखंडन के माध्यम से त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

समीकरण syn x + cos x = 1 को कैसे हल करें?

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं ताकि 0 दाईं ओर रहे:

पाप x + cos x – 1 = 0

आइए समीकरण को सरल बनाने के लिए ऊपर चर्चा की गई सर्वसमिकाओं का उपयोग करें:

पाप x - 2 पाप 2 (x/2) = 0

आइए गुणनखंड करें:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

हमें दो समीकरण मिलते हैं

3. एक सजातीय समीकरण में कमी

एक समीकरण ज्या और कोज्या के संबंध में सजातीय होता है यदि उसके सभी पद एक ही कोण की समान घात की ज्या और कोज्या के सापेक्ष हों। एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें:

ए) अपने सभी सदस्यों को बाईं ओर स्थानांतरित करें;

बी) सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें;

ग) सभी कारकों और कोष्ठकों को 0 के बराबर करें;

डी) कोष्ठक में निम्न डिग्री का एक सजातीय समीकरण प्राप्त होता है, जो बदले में उच्च डिग्री के साइन या कोसाइन में विभाजित होता है;

ई) टीजी के लिए परिणामी समीकरण को हल करें।

समीकरण 3sin 2 x + 4 syn x cos x + 5 cos 2 x = 2 को हल करें

आइए सूत्र पाप 2 x + cos 2 x = 1 का उपयोग करें और दाईं ओर खुले दो से छुटकारा पाएं:

3sin 2 x + 4 syn x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

पाप 2 x + 4 पाप x क्योंकि x + 3 क्योंकि 2 x = 0

cos x से विभाजित करें:

टीजी 2 एक्स + 4 टीजी एक्स + 3 = 0

tan x को y से बदलें और एक द्विघात समीकरण प्राप्त करें:

y 2 + 4y +3 = 0, जिसका मूल y 1 =1, y 2 = 3 है

यहां से हमें मूल समीकरण के दो समाधान मिलते हैं:

x 2 = आर्कटान 3 + के

4. आधे कोण में संक्रमण के माध्यम से समीकरणों को हल करना

समीकरण 3sin x – 5cos x = 7 को हल करें

चलिए x/2 पर चलते हैं:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) से विभाजित करें:

टीजी 2 (एक्स/2) – 3टीजी(एक्स/2) + 6 = 0

5. सहायक कोण का परिचय

विचार के लिए, आइए इस रूप का एक समीकरण लें: a पाप x + b cos x = c,

जहां ए, बी, सी कुछ मनमाना गुणांक हैं, और एक्स एक अज्ञात है।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित करें:



अब समीकरण के गुणांक, त्रिकोणमितीय सूत्रों के अनुसार, गुण पाप और कॉस हैं, अर्थात्: उनका मापांक 1 से अधिक नहीं है और वर्गों का योग = 1. आइए हम उन्हें क्रमशः कॉस और पाप के रूप में निरूपित करें, जहां - यह है तथाकथित सहायक कोण. तब समीकरण इस प्रकार बनेगा:

कॉस * सिन एक्स + सिन * कॉस एक्स = सी

या पाप(x + ) = C

इस सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण का हल है

x = (-1) k * आर्क्सिन C - + k, कहाँ



यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि संकेतन कॉस और पाप विनिमेय हैं।

समीकरण पाप 3x – cos 3x = 1 को हल करें

इस समीकरण में गुणांक हैं:

a = , b = -1, इसलिए दोनों पक्षों को = 2 से विभाजित करें

कई को हल करते समय गणितीय समस्याएँ, विशेष रूप से वे जो कक्षा 10 से पहले घटित होते हैं, किए गए कार्यों का क्रम जो लक्ष्य तक ले जाएगा, स्पष्ट रूप से परिभाषित है। ऐसी समस्याओं में शामिल हैं, उदाहरण के लिए, रैखिक और द्विघात समीकरण, रैखिक और द्विघात असमानताएँ, भिन्नात्मक समीकरण और समीकरण जो द्विघात समीकरण को कम करते हैं। उल्लिखित प्रत्येक समस्या को सफलतापूर्वक हल करने का सिद्धांत इस प्रकार है: आपको यह स्थापित करने की आवश्यकता है कि आप किस प्रकार की समस्या का समाधान कर रहे हैं, कार्यों के आवश्यक अनुक्रम को याद रखें जो वांछित परिणाम की ओर ले जाएगा, अर्थात। उत्तर दें और इन चरणों का पालन करें.

यह स्पष्ट है कि किसी विशेष समस्या को हल करने में सफलता या विफलता मुख्य रूप से इस बात पर निर्भर करती है कि हल किए जा रहे समीकरण का प्रकार कितनी सही ढंग से निर्धारित किया गया है, इसके समाधान के सभी चरणों का क्रम कितना सही ढंग से पुन: प्रस्तुत किया गया है। बेशक, इस मामले में समान परिवर्तन और गणना करने का कौशल होना आवश्यक है।

के साथ स्थिति अलग है त्रिकोणमितीय समीकरण.इस तथ्य को स्थापित करना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है कि समीकरण त्रिकोणमितीय है। क्रियाओं के अनुक्रम को निर्धारित करते समय कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं जो सही उत्तर की ओर ले जाएँगी।

किसी समीकरण की उपस्थिति के आधार पर उसका प्रकार निर्धारित करना कभी-कभी कठिन होता है। और समीकरण के प्रकार को जाने बिना, कई दर्जन त्रिकोणमितीय सूत्रों में से सही को चुनना लगभग असंभव है।

त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, आपको प्रयास करने की आवश्यकता है:

1. समीकरण में शामिल सभी कार्यों को "समान कोण" पर लाएँ;
2. समीकरण को "समान फलन" पर लाएँ;
3. समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें, आदि।

चलो गौर करते हैं त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियाँ।

I. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों में कमी

समाधान आरेख

स्टेप 1।ज्ञात घटकों के संदर्भ में एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को व्यक्त करें।

चरण दो।सूत्रों का उपयोग करके फ़ंक्शन तर्क खोजें:

क्योंकि x = ए; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

पाप एक्स = ए; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

टैन एक्स = ए; एक्स = आर्कटान ए + πएन, एन Є जेड।

सीटीजी एक्स = ए; x = arcctg a + πn, n Є Z.

चरण 3।अज्ञात चर खोजें.

उदाहरण।

2 cos(3x – π/4) = -√2.

समाधान।

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

उत्तर: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

द्वितीय. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

समाधान आरेख

स्टेप 1।त्रिकोणमितीय कार्यों में से किसी एक के संबंध में समीकरण को बीजगणितीय रूप में कम करें।

चरण दो।परिणामी फ़ंक्शन को वेरिएबल t द्वारा निरूपित करें (यदि आवश्यक हो, तो t पर प्रतिबंध लगाएं)।

चरण 3।परिणामी बीजीय समीकरण को लिखें और हल करें।

चरण 4।उलटा प्रतिस्थापन करें.

चरण 5.सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण हल करें.

उदाहरण।

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

समाधान।

1) 2(1 - पाप 2 (x/2)) - 5 पाप (x/2) - 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) माना पाप (x/2) = t, जहाँ |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 या e = -3/2, शर्त को पूरा नहीं करता |t| ≤ 1.

4) पाप(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

उत्तर: x = π + 4πn, n Є Z.

तृतीय. समीकरण क्रम घटाने की विधि

समाधान आरेख

स्टेप 1।डिग्री कम करने के सूत्र का उपयोग करके, इस समीकरण को एक रैखिक समीकरण से बदलें:

पाप 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

टीजी 2 एक्स = (1 - कॉस 2x) / (1 + कॉस 2x)।

चरण दो।विधि I और II का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

समाधान।

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

उत्तर: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

चतुर्थ. सजातीय समीकरण

समाधान आरेख

स्टेप 1।इस समीकरण को इस रूप में घटाएँ

ए) ए पाप एक्स + बी कॉस एक्स = 0 (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण)

या दृश्य के लिए

बी) ए पाप 2 एक्स + बी पाप एक्स · कॉस एक्स + सी कॉस 2 एक्स = 0 (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

चरण दो।समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें

ए) क्योंकि x ≠ 0;

बी) क्योंकि 2 x ≠ 0;

और tan x के लिए समीकरण प्राप्त करें:

ए) ए टैन एक्स + बी = 0;

बी) ए टैन 2 एक्स + बी आर्कटैन एक्स + सी = 0।

चरण 3।ज्ञात विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

समाधान।

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

पाप 2 x + 3 पाप x · cos x - 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) टीजी 2 एक्स + 3टीजी एक्स – 4 = 0.

3) मान लीजिए tg x = t, तो

टी 2 + 3टी – 4 = 0;

t = 1 या t = -4, जिसका अर्थ है

टीजी एक्स = 1 या टीजी एक्स = -4.

पहले समीकरण से x = π/4 + πn, n Є Z; दूसरे समीकरण x = -arctg 4 + से πk, k Є Z.

उत्तर: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को बदलने की विधि

समाधान आरेख

स्टेप 1।सभी संभावित त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके, इस समीकरण को I, II, III, IV विधियों द्वारा हल किए गए समीकरण में बदलें।

चरण दो।ज्ञात विधियों का उपयोग करके परिणामी समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

पाप x + पाप 2x + पाप 3x = 0.

समाधान।

1) (पाप x + पाप 3x) + पाप 2x = 0;

2sin 2x क्योंकि x + पाप 2x = 0.

2) पाप 2x (2cos x + 1) = 0;

पाप 2x = 0 या 2cos x + 1 = 0;

पहले समीकरण से 2x = π/2 + πn, n Є Z; दूसरे समीकरण से क्योंकि x = -1/2.

हमारे पास x = π/4 + πn/2, n Є Z है; दूसरे समीकरण से x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

परिणामस्वरूप, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

उत्तर: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की क्षमता एवं कौशल बहुत होता है महत्वपूर्ण, उनके विकास के लिए छात्र और शिक्षक दोनों की ओर से महत्वपूर्ण प्रयास की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमिति समीकरणों के समाधान से स्टीरियोमेट्री, भौतिकी आदि की कई समस्याएं जुड़ी हुई हैं। ऐसी समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया में कई ज्ञान और कौशल शामिल होते हैं जो त्रिकोणमिति के तत्वों का अध्ययन करके हासिल किए जाते हैं।

सामान्य तौर पर गणित सीखने और व्यक्तिगत विकास की प्रक्रिया में त्रिकोणमितीय समीकरण एक महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं।

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