त्रिकोणमितीय कोटैंजेंट समीकरणों को हल करना। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियाँ

त्रिकोणमिति के मूल सूत्रों का ज्ञान आवश्यक है - साइन और कोसाइन के वर्गों का योग, साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा की अभिव्यक्ति, और अन्य। उन लोगों के लिए जो उन्हें भूल गए हैं या नहीं जानते हैं, हम लेख "" पढ़ने की सलाह देते हैं।
तो, हम बुनियादी त्रिकोणमितीय सूत्रों को जानते हैं, अब उन्हें अभ्यास में उपयोग करने का समय आ गया है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करनासही दृष्टिकोण के साथ, यह काफी रोमांचक गतिविधि है, जैसे, उदाहरण के लिए, रूबिक क्यूब को हल करना।

नाम के आधार पर ही स्पष्ट है कि त्रिकोणमितीय समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें अज्ञात त्रिकोणमितीय फलन के चिन्ह के नीचे होता है।
तथाकथित सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण हैं। वे इस तरह दिखते हैं: सिनएक्स = ए, कॉस एक्स = ए, टैन एक्स = ए। चलो गौर करते हैं ऐसे त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें, स्पष्टता के लिए हम पहले से ही परिचित त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करेंगे।

सिनएक्स = ए

क्योंकि x = ए

टैन एक्स = ए

खाट x = ए

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को दो चरणों में हल किया जाता है: हम समीकरण को उसके सरलतम रूप में घटाते हैं और फिर इसे एक सरल त्रिकोणमितीय समीकरण के रूप में हल करते हैं।
ऐसी 7 मुख्य विधियाँ हैं जिनके द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल किया जाता है।

1. परिवर्तनीय प्रतिस्थापन और प्रतिस्थापन विधि

समीकरण 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 को हल करें

कटौती सूत्रों का उपयोग करके हमें प्राप्त होता है:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

सरल बनाने और सामान्य द्विघात समीकरण प्राप्त करने के लिए cos(x + /6) को y से बदलें:

2y 2 – 3y + 1 + 0

जिसके मूल y 1 = 1, y 2 = 1/2 हैं

अब उल्टे क्रम में चलते हैं

हम y के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और दो उत्तर विकल्प प्राप्त करते हैं:

2. गुणनखंडन के माध्यम से त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

समीकरण syn x + cos x = 1 को कैसे हल करें?

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएं ताकि 0 दाईं ओर रहे:

पाप x + cos x – 1 = 0

आइए समीकरण को सरल बनाने के लिए ऊपर चर्चा की गई सर्वसमिकाओं का उपयोग करें:

पाप x - 2 पाप 2 (x/2) = 0

आइए गुणनखंड करें:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

हमें दो समीकरण मिलते हैं

3. एक सजातीय समीकरण में कमी

एक समीकरण ज्या और कोज्या के संबंध में सजातीय होता है यदि उसके सभी पद एक ही कोण की समान घात की ज्या और कोज्या के सापेक्ष हों। एक सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें:

ए) अपने सभी सदस्यों को बाईं ओर स्थानांतरित करें;

बी) सभी सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें;

ग) सभी कारकों और कोष्ठकों को 0 के बराबर करें;

डी) कोष्ठक में निम्न डिग्री का एक सजातीय समीकरण प्राप्त होता है, जो बदले में उच्च डिग्री के साइन या कोसाइन में विभाजित होता है;

ई) टीजी के लिए परिणामी समीकरण को हल करें।

समीकरण 3sin 2 x + 4 syn x cos x + 5 cos 2 x = 2 को हल करें

आइए सूत्र पाप 2 x + cos 2 x = 1 का उपयोग करें और दाईं ओर खुले दो से छुटकारा पाएं:

3sin 2 x + 4 syn x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

पाप 2 x + 4 पाप x क्योंकि x + 3 क्योंकि 2 x = 0

cos x से विभाजित करें:

टीजी 2 एक्स + 4 टीजी एक्स + 3 = 0

tan x को y से बदलें और एक द्विघात समीकरण प्राप्त करें:

y 2 + 4y +3 = 0, जिसका मूल y 1 =1, y 2 = 3 है

यहां से हमें मूल समीकरण के दो समाधान मिलते हैं:

x 2 = आर्कटान 3 + के

4. आधे कोण में संक्रमण के माध्यम से समीकरणों को हल करना

समीकरण 3sin x – 5cos x = 7 को हल करें

चलिए x/2 पर चलते हैं:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

आइए सब कुछ बाईं ओर ले जाएँ:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) से विभाजित करें:

टीजी 2 (एक्स/2) – 3टीजी(एक्स/2) + 6 = 0

5. सहायक कोण का परिचय

विचार के लिए, आइए इस रूप का एक समीकरण लें: a पाप x + b cos x = c,

जहां ए, बी, सी कुछ मनमाना गुणांक हैं, और एक्स एक अज्ञात है।

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित करें:



अब समीकरण के गुणांक, त्रिकोणमितीय सूत्रों के अनुसार, गुण पाप और कॉस हैं, अर्थात्: उनका मापांक 1 से अधिक नहीं है और वर्गों का योग = 1. आइए हम उन्हें क्रमशः कॉस और पाप के रूप में निरूपित करें, जहां - यह है तथाकथित सहायक कोण. तब समीकरण इस प्रकार बनेगा:

कॉस * सिन एक्स + सिन * कॉस एक्स = सी

या पाप(x + ) = C

इस सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण का हल है

x = (-1) k * आर्क्सिन C - + k, कहाँ



यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि संकेतन कॉस और पाप विनिमेय हैं।

समीकरण पाप 3x – cos 3x = 1 को हल करें

इस समीकरण में गुणांक हैं:

a = , b = -1, इसलिए दोनों पक्षों को = 2 से विभाजित करें

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ हैं: समीकरणों को सरलतम बनाना (त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करना), नए चर प्रस्तुत करना और फैक्टरिंग करना। आइए उदाहरणों के साथ उनके उपयोग को देखें। त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान लिखने के प्रारूप पर ध्यान दें।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए एक आवश्यक शर्त त्रिकोणमितीय सूत्रों (कार्य 6 का विषय 13) का ज्ञान है।

उदाहरण।

1. समीकरणों को सरलतम में घटाया गया।

1) समीकरण हल करें

समाधान:

उत्तर:

2) समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

(sinx + cosx) 2 = 1 – synxcosx, खंड से संबंधित।

समाधान:

उत्तर:

2. ऐसे समीकरण जो द्विघात में बदल जाते हैं।

1) समीकरण 2 पाप 2 x – cosx –1 = 0 को हल करें।

समाधान:सूत्र पाप 2 x = 1 – cos 2 x का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं

उत्तर:

2) समीकरण cos 2x = 1 + 4 cosx को हल करें।

समाधान:सूत्र cos 2x = 2 cos 2 x – 1 का उपयोग करने पर, हम पाते हैं

उत्तर:

3) समीकरण tgx – 2ctgx + 1 = 0 को हल करें

समाधान:

उत्तर:

3. सजातीय समीकरण

1) समीकरण 2sinx – 3cosx = 0 को हल करें

समाधान: मान लीजिए cosx = 0, तो 2sinx = 0 और synx = 0 - इस तथ्य के साथ विरोधाभास है कि पाप 2 x + cos 2 x = 1. इसका मतलब है कि cosx ≠ 0 और हम समीकरण को cosx से विभाजित कर सकते हैं। हम पाते हैं

उत्तर:

2) समीकरण 1 + 7 cos 2 x = 3 syn 2x को हल करें

समाधान:

हम सूत्र 1 = पाप 2 x + cos 2 x और पाप 2x = 2 synxcosx का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है

पाप 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
पाप 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

मान लीजिए कि cosx = 0 है, तो पाप 2 x = 0 और पापx = 0 - इस तथ्य के साथ विरोधाभास है कि पाप 2 x + cos 2 x = 1।
इसका मतलब है cosx ≠ 0 और हम समीकरण को cos 2 x से विभाजित कर सकते हैं . हम पाते हैं

टीजी 2 एक्स - 6 टीजीएक्स + 8 = 0
आइए हम tgx = y को निरूपित करें
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
ए) टीजीएक्स = 4, एक्स= आर्कटान4 + 2 क, क
बी) टीजीएक्स = 2, एक्स= आर्कटैन2 + 2 क, क .

उत्तर:आर्कटजी4 + 2 क, आर्कटैन2 + 2 क, क

4. रूप के समीकरण एसिनक्स + बी cosx = स, स≠ 0.

1) समीकरण हल करें.

समाधान:

उत्तर:

5. गुणनखंडन द्वारा हल किए गए समीकरण।

1) समीकरण पाप2x – पापx = 0 को हल करें।

समीकरण का मूल एफ (एक्स) = φ ( एक्स) केवल संख्या 0 के रूप में कार्य कर सकता है। आइए इसे जांचें:

cos 0 = 0 + 1 - समानता सत्य है।

संख्या 0 इस समीकरण का एकमात्र मूल है।

उत्तर: 0.

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एक त्रिकोणमितीय फलन (`sin x, cos x, tan x` या `ctg x`) के चिह्न के नीचे एक अज्ञात युक्त समानता को त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है, और यह उनके सूत्र हैं जिन पर हम आगे विचार करेंगे।

सबसे सरल समीकरण हैं `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, जहां `x` पाया जाने वाला कोण है, `a` कोई संख्या है। आइए हम उनमें से प्रत्येक के लिए मूल सूत्र लिखें।

1. समीकरण `sin x=a`.

`|a|>1` के लिए इसका कोई समाधान नहीं है।

जब `|ए| \leq 1` में अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. समीकरण `cos x=a`

`|a|>1` के लिए - जैसा कि साइन के मामले में होता है, इसका वास्तविक संख्याओं के बीच कोई समाधान नहीं है।

जब `|ए| \leq 1` में अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ग्राफ़ में साइन और कोसाइन के लिए विशेष मामले।

3. समीकरण `tg x=a`

`a` के किसी भी मान के लिए अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. समीकरण `ctg x=a`

इसके अलावा `ए` के किसी भी मान के लिए अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

तालिका में त्रिकोणमितीय समीकरणों की जड़ों के लिए सूत्र

साइन के लिए:
कोसाइन के लिए:
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए:
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन वाले समीकरणों को हल करने के सूत्र:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने में दो चरण होते हैं:

• इसे सरलतम में बदलने की सहायता से;
• ऊपर लिखे मूल सूत्रों और तालिकाओं का उपयोग करके प्राप्त सरलतम समीकरण को हल करें।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके मुख्य समाधान विधियों को देखें।

बीजगणितीय विधि.

इस पद्धति में एक चर को प्रतिस्थापित करना और उसे एक समानता में प्रतिस्थापित करना शामिल है।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

प्रतिस्थापन करें: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, फिर `2y^2-3y+1=0`,

हम मूल पाते हैं: `y_1=1, y_2=1/2`, जिससे दो मामले आते हैं:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`।

गुणनखंडीकरण।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `sin x+cos x=1`.

समाधान। आइए समानता के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: `sin x+cos x-1=0`। का उपयोग करते हुए, हम बाईं ओर को रूपांतरित और गुणनखंडित करते हैं:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

एक सजातीय समीकरण में कमी

सबसे पहले, आपको इस त्रिकोणमितीय समीकरण को दो रूपों में से एक में कम करना होगा:

`a syn x+b cos x=0` (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण) या `a syn^2 x + b syn x cos x +c cos^2 x=0` (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

फिर दोनों भागों को पहले मामले के लिए `cos x \ne 0` से विभाजित करें, और दूसरे के लिए `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करें। हमें `tg x` के लिए समीकरण मिलते हैं: `a tg x+b=0` और `a tg^2 x + b tg x +c =0`, जिन्हें ज्ञात तरीकों का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `2sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

समाधान। आइए दाएँ पक्ष को `1=sin^2 x+cos^2 x` के रूप में लिखें:

`2 पाप^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` `sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण है, हम इसके बाएँ और दाएँ पक्षों को `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. आइए प्रतिस्थापन `tg x=t` का परिचय दें, जिसके परिणामस्वरूप `t^2 + t - 2=0` होता है। इस समीकरण की जड़ें `t_1=-2` और `t_2=1` हैं। तब:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`।

उत्तर। `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

आधे कोण की ओर बढ़ना

उदाहरण। समीकरण हल करें: `11 पाप x - 2 cos x = 10`।

समाधान। आइए दोहरे कोण सूत्रों को लागू करें, जिसके परिणामस्वरूप: `22 पाप (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 पाप^2 x/2=` `10 पाप^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ऊपर वर्णित बीजगणितीय विधि को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

उत्तर। `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

सहायक कोण का परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरण `a syn x + b cos x =c` में, जहां a,b,c गुणांक हैं और x एक चर है, दोनों पक्षों को `sqrt (a^2+b^2)` से विभाजित करें:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) syn x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =`\frac c(sqrt (a^2) ) +बी^2))`.

बाईं ओर के गुणांकों में साइन और कोसाइन के गुण हैं, अर्थात् उनके वर्गों का योग 1 के बराबर है और उनके मॉड्यूल 1 से अधिक नहीं हैं। आइए हम उन्हें इस प्रकार निरूपित करें: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =सी`, फिर:

`cos \varphi पाप x + पाप \varphi cos x =C`।

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

उदाहरण। समीकरण हल करें: `3sin x+4 cos x=2`.

समाधान। समानता के दोनों पक्षों को `sqrt (3^2+4^2)` ​​से विभाजित करें, हमें मिलता है:

`\frac (3 पाप x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 पाप x+4/5 cos x=2/5`.

आइए निरूपित करें `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. चूँकि `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, तो हम `\varphi=arcsin 4/5` को सहायक कोण के रूप में लेते हैं। फिर हम अपनी समानता को इस रूप में लिखते हैं:

`cos \varphi syn x+sin \varphi cos x=2/5`

ज्या के कोणों के योग के सूत्र को लागू करते हुए, हम अपनी समानता को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

उत्तर। `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

भिन्नात्मक तर्कसंगत त्रिकोणमितीय समीकरण

ये भिन्नों के साथ समानताएं हैं जिनके अंश और हर में त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं।

उदाहरण। प्रश्न हल करें। `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

समाधान। समानता के दाहिने पक्ष को `(1+cos x)` से गुणा और विभाजित करें। परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

यह मानते हुए कि हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता, हमें `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` मिलता है।

आइए भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करें: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. फिर `sin x=0` या `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`।

यह देखते हुए कि ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, समाधान हैं `x=2\pi n, n \in Z` और `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

उत्तर। `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`।

त्रिकोणमिति, और विशेष रूप से त्रिकोणमितीय समीकरण, ज्यामिति, भौतिकी और इंजीनियरिंग के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं। पढ़ाई 10वीं कक्षा में शुरू होती है, एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए हमेशा कार्य होते हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय समीकरणों के सभी सूत्रों को याद करने का प्रयास करें - वे निश्चित रूप से आपके लिए उपयोगी होंगे!

हालाँकि, आपको उन्हें याद रखने की भी आवश्यकता नहीं है, मुख्य बात सार को समझना और उसे प्राप्त करने में सक्षम होना है। यह उतना कठिन नहीं है जितना लगता है। वीडियो देखकर आप खुद ही देख लीजिए.

बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों - साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट - के बीच संबंध दिए गए हैं त्रिकोणमितीय सूत्र. और चूँकि त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच बहुत सारे संबंध हैं, यह त्रिकोणमितीय सूत्रों की प्रचुरता की व्याख्या करता है। कुछ सूत्र एक ही कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों को जोड़ते हैं, अन्य - एकाधिक कोण के कार्यों को जोड़ते हैं, अन्य - आपको डिग्री को कम करने की अनुमति देते हैं, चौथा - आधे कोण के स्पर्शरेखा के माध्यम से सभी कार्यों को व्यक्त करते हैं, आदि।

इस लेख में हम सभी बुनियादी त्रिकोणमिति सूत्रों को क्रमबद्ध तरीके से सूचीबद्ध करेंगे, जो त्रिकोणमिति की अधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त हैं। याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए, हम उन्हें उद्देश्य के अनुसार समूहित करेंगे और उन्हें तालिकाओं में दर्ज करेंगे।

पेज नेविगेशन.

बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान

बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचानएक कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट के बीच संबंध को परिभाषित करें। वे साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषा के साथ-साथ यूनिट सर्कल की अवधारणा का पालन करते हैं। वे आपको एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को किसी अन्य के संदर्भ में व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।

इन त्रिकोणमिति सूत्रों, उनकी व्युत्पत्ति और अनुप्रयोग के उदाहरणों के विस्तृत विवरण के लिए लेख देखें।

न्यूनीकरण सूत्र

न्यूनीकरण सूत्रसाइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के गुणों का पालन करें, यानी, वे त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता की संपत्ति, समरूपता की संपत्ति, साथ ही किसी दिए गए कोण द्वारा बदलाव की संपत्ति को प्रतिबिंबित करते हैं। ये त्रिकोणमितीय सूत्र आपको मनमाने कोणों के साथ काम करने से लेकर शून्य से 90 डिग्री तक के कोणों के साथ काम करने की अनुमति देते हैं।

इन सूत्रों का औचित्य, उन्हें याद रखने का एक स्मरणीय नियम और उनके अनुप्रयोग के उदाहरणों का अध्ययन लेख में किया जा सकता है।

अतिरिक्त सूत्र

त्रिकोणमितीय जोड़ सूत्रदिखाएँ कि दो कोणों के योग या अंतर के त्रिकोणमितीय फलन को उन कोणों के त्रिकोणमितीय फलन के रूप में कैसे व्यक्त किया जाता है। ये सूत्र निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सूत्रों को प्राप्त करने के लिए आधार के रूप में कार्य करते हैं।

डबल, ट्रिपल आदि के लिए सूत्र। कोण

डबल, ट्रिपल आदि के लिए सूत्र। कोण (इन्हें एकाधिक कोण सूत्र भी कहा जाता है) दर्शाते हैं कि डबल, ट्रिपल आदि के त्रिकोणमितीय कार्य कैसे होते हैं। कोण () को एक कोण के त्रिकोणमितीय फलनों के रूप में व्यक्त किया जाता है। इनकी व्युत्पत्ति योग सूत्रों पर आधारित है।

डबल, ट्रिपल आदि के लिए लेख सूत्रों में अधिक विस्तृत जानकारी एकत्र की गई है। कोण

अर्धकोण सूत्र

अर्धकोण सूत्रदिखाएँ कि आधे कोण के त्रिकोणमितीय फलन को पूरे कोण की कोज्या के रूप में कैसे व्यक्त किया जाता है। ये त्रिकोणमितीय सूत्र दोहरे कोण सूत्रों का अनुसरण करते हैं।

उनके निष्कर्ष और अनुप्रयोग के उदाहरण लेख में पाए जा सकते हैं।

डिग्री कम करने के सूत्र

डिग्री कम करने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्रत्रिकोणमितीय कार्यों की प्राकृतिक शक्तियों से पहली डिग्री में साइन और कोसाइन में संक्रमण को सुविधाजनक बनाने के लिए डिज़ाइन किया गया है, लेकिन एकाधिक कोण। दूसरे शब्दों में, वे आपको त्रिकोणमितीय कार्यों की शक्तियों को पहले तक कम करने की अनुमति देते हैं।

त्रिकोणमितीय फलनों के योग और अंतर के सूत्र

मुख्य उद्देश्य त्रिकोणमितीय फलनों के योग और अंतर के सूत्रफ़ंक्शंस के उत्पाद पर जाना है, जो त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाते समय बहुत उपयोगी है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में भी इन सूत्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि वे आपको साइन और कोसाइन के योग और अंतर का गुणनखंड करने की अनुमति देते हैं।

कोसाइन द्वारा साइन, कोसाइन और साइन के गुणनफल के लिए सूत्र

त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद से योग या अंतर में संक्रमण साइन, कोसाइन और कोसाइन द्वारा साइन के उत्पाद के सूत्रों का उपयोग करके किया जाता है।

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

हम त्रिकोणमिति के मूल सूत्रों की अपनी समीक्षा को आधे कोण के स्पर्शरेखा के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों को व्यक्त करने वाले सूत्रों के साथ पूरा करते हैं। इस प्रतिस्थापन को बुलाया गया था सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन. इसकी सुविधा इस तथ्य में निहित है कि सभी त्रिकोणमितीय फलन बिना किसी मूल के तर्कसंगत रूप से आधे कोण की स्पर्शरेखा के रूप में व्यक्त किए जाते हैं।

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