एक ज्यामितीय प्रगति के भाजक को कैसे खोजें I ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रमगणित में अंकगणित से कम महत्वपूर्ण नहीं है। एक ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का एक ऐसा क्रम है b1, b2,..., b[n] जिसका प्रत्येक अगला सदस्य पिछले एक को एक स्थिर संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। यह संख्या, जो प्रगति की वृद्धि या कमी की दर को भी दर्शाती है, कहलाती है एक ज्यामितीय प्रगति का भाजकऔर निरूपित

एक ज्यामितीय प्रगति के पूर्ण असाइनमेंट के लिए, हर के अलावा, इसके पहले कार्यकाल को जानना या निर्धारित करना आवश्यक है। हर के सकारात्मक मूल्य के लिए, प्रगति एक मोनोटोन अनुक्रम है, और यदि संख्याओं का यह क्रम एकान्त रूप से घट रहा है और एकरस रूप से बढ़ रहा है। वह मामला जब हर एक के बराबर होता है, व्यवहार में नहीं माना जाता है, क्योंकि हमारे पास समान संख्याओं का एक क्रम है, और उनका योग व्यावहारिक हित का नहीं है

एक ज्यामितीय प्रगति का सामान्य शब्दसूत्र के अनुसार गणना

ज्यामितीय प्रगति के पहले n पदों का योगसूत्र द्वारा निर्धारित

आइए हम शास्त्रीय ज्यामितीय प्रगति समस्याओं के समाधान पर विचार करें। आइए सबसे सरल समझने के साथ शुरू करें।

उदाहरण 1. एक गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद 27 है, और इसका हर 1/3 है। एक ज्यामितीय प्रगति के पहले छह पद ज्ञात कीजिए।

हल: हम समस्या की स्थिति को फॉर्म में लिखते हैं

गणना के लिए, हम ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं

इसके आधार पर, हमें प्रगति के अज्ञात सदस्य मिलते हैं

जैसा कि आप देख सकते हैं, ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना करना मुश्किल नहीं है। प्रगति स्वयं इस तरह दिखेगी

उदाहरण 2. एक गुणोत्तर श्रेणी के पहले तीन सदस्य दिए गए हैं: 6; -12; 24. हर और सातवें पद का पता लगाएं।

हल: हम इसकी परिभाषा के आधार पर ज्यामितीय प्रगति के हर की गणना करते हैं

हमें एक प्रत्यावर्ती ज्यामितीय प्रगति प्राप्त हुई जिसका हर -2 है। सातवें पद की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

इस कार्य पर हल किया जाता है।

उदाहरण 3. एक ज्यामितीय प्रगति इसके दो सदस्यों द्वारा दी गई है . प्रगति का दसवां पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आइए दिए गए मानों को सूत्रों के माध्यम से लिखें

नियमों के अनुसार, हर को खोजना आवश्यक होगा, और फिर वांछित मूल्य की तलाश करें, लेकिन दसवें पद के लिए हमारे पास है

इनपुट डेटा के साथ सरल जोड़तोड़ के आधार पर एक ही सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। हम श्रृंखला के छठे पद को दूसरे से विभाजित करते हैं, परिणामस्वरूप हमें मिलता है

यदि परिणामी मान को छठे पद से गुणा किया जाता है, तो हमें दसवां प्राप्त होता है

इस प्रकार, ऐसी समस्याओं के लिए, त्वरित रूप से सरल परिवर्तनों की सहायता से, आप सही समाधान ढूंढ सकते हैं।

उदाहरण 4. ज्यामितीय प्रगति आवर्तक सूत्रों द्वारा दी गई है

ज्यामितीय प्रगति का हर और पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम दिए गए आँकड़ों को समीकरणों के निकाय के रूप में लिखते हैं

दूसरे समीकरण को पहले से विभाजित करके हर को व्यक्त करें

पहले समीकरण से प्रगति का पहला पद खोजें

ज्यामितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित पांच पदों की गणना करें:

आइए एक श्रृंखला पर विचार करें।

7 28 112 448 1792...

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इसके किसी भी तत्व का मूल्य पिछले वाले की तुलना में ठीक चार गुना अधिक है। तो यह श्रृंखला एक प्रगति है।

एक ज्यामितीय प्रगति संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम है, जिसकी मुख्य विशेषता यह है कि अगली संख्या पिछले एक से किसी विशिष्ट संख्या से गुणा करके प्राप्त की जाती है। इसे निम्न सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है।

a z +1 =a z q, जहाँ z चयनित तत्व की संख्या है।

तदनुसार, जेड एन।

जिस अवधि में स्कूल में ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया जाता है वह कक्षा 9 है। उदाहरण आपको अवधारणा को समझने में मदद करेंगे:

0.25 0.125 0.0625...

इस सूत्र के आधार पर, प्रगति का हर निम्नानुसार पाया जा सकता है:

न तो q और न ही b z शून्य हो सकता है। साथ ही, प्रगति का प्रत्येक अवयव शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।

तदनुसार, श्रृंखला में अगली संख्या का पता लगाने के लिए, आपको अंतिम संख्या को q से गुणा करना होगा।

इस प्रगति को निर्दिष्ट करने के लिए, आपको इसका पहला तत्व और हर निर्दिष्ट करना होगा। उसके बाद, बाद के किसी भी शब्द और उनके योग को खोजना संभव है।

किस्मों

q और a 1 के आधार पर, यह प्रगति कई प्रकारों में विभाजित है:

• यदि 1 और q दोनों एक से अधिक हैं, तो ऐसा अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है जो प्रत्येक अगले तत्व के साथ बढ़ रहा है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: a 1 =3, q=2 - दोनों पैरामीटर एक से बड़े हैं।

तब संख्यात्मक अनुक्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 6 12 24 48 ...

• अगर |क्यू| एक से कम, यानी इसका गुणा भाग के बराबर है, तो समान स्थितियों वाली प्रगति घटती ज्यामितीय प्रगति है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत किया गया है।

उदाहरण: a 1 =6, q=1/3 - a 1 एक से बड़ा है, q छोटा है।

फिर संख्यात्मक अनुक्रम निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

6 2 2/3... - कोई भी तत्व उसके बाद वाले तत्व से 3 गुना बड़ा होता है।

• साइन-चर। अगर क्यू<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

उदाहरण: a 1 = -3 , q = -2 - दोनों पैरामीटर शून्य से कम हैं।

फिर अनुक्रम इस तरह लिखा जा सकता है:

3, 6, -12, 24,...

सूत्रों

ज्यामितीय प्रगति के सुविधाजनक उपयोग के लिए, कई सूत्र हैं:

• जेड-वें सदस्य का सूत्र। आपको पिछली संख्याओं की गणना किए बिना एक विशिष्ट संख्या के तहत तत्व की गणना करने की अनुमति देता है।

उदाहरण:क्यू = 3, ए 1 = 4. प्रगति के चौथे तत्व की गणना करना आवश्यक है।

समाधान:ए 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• पहले तत्वों का योग जिनकी संख्या है जेड. आपको अनुक्रम के सभी तत्वों के योग की गणना करने की अनुमति देता हैएक ज़ूसहित।

चूंकि (1-क्यू) हर में है, तो (1 - q)≠ 0, इसलिए q 1 के बराबर नहीं है।

नोट: यदि q=1, तो प्रगति एक अपरिमित रूप से दोहराई जाने वाली संख्या की एक श्रृंखला होगी।

एक ज्यामितीय प्रगति का योग, उदाहरण:ए 1 = 2, क्यू= -2। एस 5 की गणना करें।

समाधान:एस 5 = 22 - सूत्र द्वारा गणना।

• राशि अगर |क्यू| < 1 и если z стремится к бесконечности.

उदाहरण:ए 1 = 2 , क्यू= 0.5. राशि ज्ञात कीजिए।

समाधान:स्ज़ू = 2 · = 4

स्ज़ू = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

कुछ गुण:

• विशेषता संपत्ति। यदि निम्न स्थिति किसी के लिए प्रदर्शन कियाजेड, तो दी गई संख्या श्रृंखला एक ज्यामितीय प्रगति है:

एक ज़ू 2 = एक ज़ू -1 · एजेड+1

• इसके अलावा, एक ज्यामितीय प्रगति की किसी भी संख्या का वर्ग एक दी गई श्रृंखला में किन्हीं अन्य दो संख्याओं के वर्गों को जोड़कर पाया जाता है, यदि वे इस तत्व से समान दूरी पर हों।

एक ज़ू 2 = एक ज़ू - टी 2 + एक ज़ू + टी 2 , कहाँ पेटीइन संख्याओं के बीच की दूरी है।

• तत्वोंक्यू में भिन्नएक बार।
• प्रगति तत्वों के लघुगणक भी एक प्रगति बनाते हैं, लेकिन पहले से ही अंकगणित, यानी उनमें से प्रत्येक एक निश्चित संख्या से पिछले एक से बड़ा है।

कुछ शास्त्रीय समस्याओं के उदाहरण

ज्यामितीय प्रगति क्या है, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, ग्रेड 9 के समाधान वाले उदाहरण मदद कर सकते हैं।

• शर्तेँ:ए 1 = 3, ए 3 = 48. खोजेंक्यू.

समाधान: प्रत्येक अनुवर्ती तत्व पिछले एक से बड़ा हैक्यू एक बार।हर का उपयोग करके कुछ तत्वों को दूसरों के माध्यम से व्यक्त करना आवश्यक है।

इसलिये,ए 3 = क्यू 2 · ए 1

प्रतिस्थापित करते समयक्यू= 4

• शर्तेँ:ए 2 = 6, ए 3 = 12. एस 6 की गणना करें।

समाधान:ऐसा करने के लिए, पहले तत्व q को खोजने और इसे सूत्र में बदलने के लिए पर्याप्त है।

ए 3 = क्यू· ए 2 , इसलिए,क्यू= 2

ए 2 = क्यू एक 1 ,इसीलिए ए 1 = 3

एस 6 = 189

• · ए 1 = 10, क्यू= -2। प्रगति का चौथा तत्व खोजें।

हल: ऐसा करने के लिए, चौथे तत्व को पहले और हर के माध्यम से व्यक्त करना पर्याप्त है।

ए 4 = क्यू 3· ए 1 = -80

आवेदन उदाहरण:

• बैंक के ग्राहक ने 10,000 रूबल की राशि जमा की, जिसकी शर्तों के तहत ग्राहक हर साल इसका 6% मूल राशि में जोड़ देगा। खाते में 4 साल बाद कितना पैसा आएगा?

समाधान: प्रारंभिक राशि 10 हजार रूबल है। तो, निवेश के एक साल बाद, खाते में 10,000 + 10,000 . के बराबर राशि होगी · 0.06 = 10000 1.06

तदनुसार, एक और वर्ष के बाद खाते में राशि निम्नानुसार व्यक्त की जाएगी:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

यानी हर साल यह राशि 1.06 गुना बढ़ जाती है। इसका मतलब यह है कि 4 साल बाद खाते में धनराशि का पता लगाने के लिए, प्रगति के चौथे तत्व को खोजने के लिए पर्याप्त है, जो पहले तत्व द्वारा 10 हजार के बराबर और हर 1.06 के बराबर दिया जाता है।

एस = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

योग की गणना के लिए कार्यों के उदाहरण:

विभिन्न समस्याओं में, ज्यामितीय प्रगति का उपयोग किया जाता है। योग ज्ञात करने का एक उदाहरण इस प्रकार दिया जा सकता है:

ए 1 = 4, क्यू= 2, गणना करेंS5.

समाधान: गणना के लिए आवश्यक सभी डेटा ज्ञात हैं, आपको बस उन्हें सूत्र में बदलने की आवश्यकता है।

एस 5 = 124

• ए 2 = 6, ए 3 = 18. पहले छह तत्वों के योग की गणना करें।

समाधान:

जियोम। प्रगति, प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक की तुलना में q गुना अधिक है, अर्थात योग की गणना करने के लिए, आपको तत्व को जानना होगाए 1 और हरक्यू.

ए 2 · क्यू = ए 3

क्यू = 3

इसी तरह, हमें खोजने की जरूरत हैए 1 , जाननाए 2 तथाक्यू.

ए 1 · क्यू = ए 2

ए 1 =2

एस 6 = 728.

यदि प्रत्येक प्राकृत संख्या एन एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक , तो वे कहते हैं कि दिया गया संख्या क्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक , . . . .

तो, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या ए 1 बुलाया अनुक्रम का पहला सदस्य , संख्या ए 2 — अनुक्रम का दूसरा सदस्य , संख्या ए 3 — तीसरा आदि। संख्या एक बुलाया अनुक्रम का वां सदस्य , और प्राकृतिक संख्या एन — उसका नंबर .

दो पड़ोसी सदस्यों से एक तथा एक +1 सदस्य क्रम एक +1 बुलाया बाद का (की ओर एक ), ए एक — पहले का (की ओर एक +1 ).

अनुक्रम निर्दिष्ट करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम सदस्य खोजने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम के साथ दिया जाता है nth टर्म फॉर्मूला , अर्थात्, एक सूत्र जो आपको अनुक्रम सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

धनात्मक विषम संख्याओं का क्रम सूत्र द्वारा दिया जा सकता है

एक= 2एन- 1,

और प्रत्यावर्तन का क्रम 1 तथा -1 - सूत्र

बीएन = (-1)एन +1 . ◄

अनुक्रम निर्धारित किया जा सकता है आवर्तक सूत्र, अर्थात्, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 1 , ए एक +1 = एक + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

अगर एक 1= 1, एक 2 = 1, एक +2 = एक + एक +1 , तो संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात सदस्यों को निम्नानुसार सेट किया जाता है:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम तथा अनंत .

क्रम कहलाता है परम यदि उसके सदस्यों की सीमित संख्या है। क्रम कहलाता है अनंत यदि इसमें अपरिमित रूप से कई सदस्य हैं।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों की प्राकृतिक संख्याओं का क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

प्राइम नंबर अनुक्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

क्रम कहलाता है की बढ़ती , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से बड़ा है।

क्रम कहलाता है घट , यदि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से कम है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . एक आरोही क्रम है;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /एन, . . . अवरोही क्रम है। ◄

एक अनुक्रम जिसके तत्व बढ़ती संख्या के साथ कम नहीं होते हैं, या, इसके विपरीत, बढ़ते नहीं हैं, कहलाते हैं नीरस अनुक्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, बढ़ते क्रम और घटते क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, जिसमें समान संख्या जोड़ी जाती है।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक, . . .

एक समांतर श्रेणी है यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए एन शर्त पूरी होती है:

एक +1 = एक + डी,

कहाँ पे डी - कुछ संख्या।

इस प्रकार, दी गई अंकगणितीय प्रगति के अगले और पिछले सदस्यों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है:

एक 2 - ए 1 = एक 3 - ए 2 = . . . = एक +1 - एक = डी.

संख्या डी बुलाया एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

एक अंकगणितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसका पहला पद और अंतर निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 3, डी = 4 , तो अनुक्रम के पहले पाँच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + डी= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ अंकगणितीय प्रगति के लिए ए 1 और अंतर डी उसके एन

एक = एक 1 + (एन- 1)डी।

उदाहरण के लिए,

एक अंकगणितीय प्रगति का तीसवां पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, डी = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)घ = 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (एन- 2)डी,

एक= एक 1 + (एन- 1)डी,

एक +1 = ए 1 + रा,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

संख्या ए, बी और सी कुछ अंकगणितीय प्रगति के लगातार सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक = 2एन- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए ऊपर दिए गए कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

एक = 2एन- 7,

एक एन-1 = 2(एन- 1) - 7 = 2एन- 9,

एक एन+1 = 2(एन+ 1) - 7 = 2एन- 5.

इसलिये,

◄

ध्यान दें कि एन -एक अंकगणितीय प्रगति का सदस्य न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ए 1 , लेकिन यह भी कोई पिछला एक को

एक = एक को + (एन- क)डी.

उदाहरण के लिए,

के लिये ए 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4डी,

एक 5 = एक 2 + 3डी,

एक 5 = एक 3 + 2डी,

एक 5 = एक 4 + डी. ◄

एक = एक एन-को + केडी,

एक = एक एन+के - केडी,

तो जाहिर है

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग के आधे के बराबर होता है, जो इससे समान दूरी पर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल।

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7डी= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, चूंकि

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस नहीं= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। . .+ एक,

प्रथम एन एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य, पदों की संख्या से चरम पदों के आधे योग के गुणनफल के बराबर होते हैं:

इससे, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि यदि शर्तों को जोड़ना आवश्यक है

एक को, एक को +1 , . . . , एक,

तब पिछला सूत्र अपनी संरचना को बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

यदि एक समान्तर श्रेणी दी गई है, तो मात्राएँ ए 1 , एक, डी, एनतथाएस एन दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

एक अंकगणितीय प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। जिसमें:

• अगर डी > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
• अगर डी < 0 , तो यह घट रहा है;
• अगर डी = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसमें से प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी नहीं, . . .

एक ज्यामितीय प्रगति है यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए एन शर्त पूरी होती है:

बी नहीं +1 = बी नहीं · क्यू,

कहाँ पे क्यू ≠ 0 - कुछ संख्या।

इस प्रकार, इस ज्यामितीय प्रगति के अगले सदस्य का पिछले एक से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी नहीं +1 / बी नहीं = क्यू.

संख्या क्यू बुलाया एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक.

एक ज्यामितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसके पहले पद और हर को निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर बी 1 = 1, क्यू = -3 , तो अनुक्रम के पहले पाँच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

ख 1 = 1,

बी 2 = ख 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

ख 3 = बी 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = ख 3 · क्यू= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 और हर क्यू उसके एन -वाँ पद सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

बी नहीं = बी 1 · क्यू नहीं -1 .

उदाहरण के लिए,

एक गुणोत्तर श्रेणी का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, क्यू = 2,

बी 7 = बी 1 · क्यू 6 = 1 2 6 = 64. ◄

बटालियन -1 = ख 1 · क्यू नहीं -2 ,

बी नहीं = ख 1 · क्यू नहीं -1 ,

बी नहीं +1 = बी 1 · क्यू नहीं,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर होता है।

चूँकि विलोम भी सत्य है, निम्नलिखित अभिकथन मानता है:

संख्याएँ a, b और c कुछ ज्यामितीय प्रगति के क्रमागत सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए हम सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया क्रम बी नहीं= -3 2 एन , एक ज्यामितीय प्रगति है। आइए उपरोक्त कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

बी नहीं= -3 2 एन,

बी नहीं -1 = -3 2 एन -1 ,

बी नहीं +1 = -3 2 एन +1 .

इसलिये,

बी नहीं 2 = (-3 2 एन) 2 = (-3 2 .) एन -1 ) (-3 2 एन +1 ) = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

जो आवश्यक अभिकथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि एन एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है बी 1 , लेकिन यह भी कोई पिछला पद बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क.

उदाहरण के लिए,

के लिये बी 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = ख 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = बी 2 · क्यू 3,

ख 5 = ख 3 · क्यू2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क,

बी नहीं = बी नहीं - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं - क· बी नहीं + क

एक ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का वर्ग, दूसरे से शुरू होकर, इस प्रगति के सदस्यों के उत्पाद के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

बी एम· बी नहीं= बी के· बी एल,

एम+ एन= क+ मैं.

उदाहरण के लिए,

तेजी से

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , चूंकि

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस नहीं= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी नहीं

प्रथम एन एक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और जब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस नहीं= एन.बी. 1

ध्यान दें कि यदि हमें शर्तों का योग करना है

बी के, बी के +1 , . . . , बी नहीं,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

उदाहरण के लिए,

तेजी से 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

यदि एक ज्यामितीय प्रगति दी जाती है, तो मात्राएँ बी 1 , बी नहीं, क्यू, एनतथा एस नहीं दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

पहले पद के साथ ज्यामितीय प्रगति के लिए बी 1 और हर क्यू निम्नलिखित होता है एकरसता गुण :

• यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति बढ़ रही है:

बी 1 > 0 तथा क्यू> 1;

बी 1 < 0 तथा 0 < क्यू< 1;

• यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति घट रही है:

बी 1 > 0 तथा 0 < क्यू< 1;

बी 1 < 0 तथा क्यू> 1.

अगर क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति साइन-अल्टरनेटिंग है: इसके विषम-संख्या वाले शब्दों का चिन्ह इसके पहले पद के समान होता है, और सम-संख्या वाले शब्दों का विपरीत चिन्ह होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का उत्पाद एन एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

पी न= ख 1 · बी 2 · ख 3 · . . . · बी नहीं = (ख 1 · बी नहीं) एन / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति एक अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है जिसका हर मापांक . से कम है 1 , अर्थात्

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटती क्रम नहीं हो सकती है। यह मामला फिट बैठता है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, अनुक्रम साइन-अल्टरनेटिंग है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग उस संख्या का नाम बताइए जिसमें पहले का योग हो एन संख्या में असीमित वृद्धि के साथ प्रगति की शर्तें एन . यह संख्या हमेशा परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

उदाहरण के लिए,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच संबंध

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति निकट से संबंधित हैं। आइए केवल दो उदाहरणों पर विचार करें।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . डी , फिर

बी 0 ए 1 , बी 0 ए 2 , बी 0 ए 3 , . . . बी डी .

उदाहरण के लिए,

1, 3, 5, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति 2 तथा

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है 7 2 . ◄

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है क्यू , फिर

लॉग ए बी 1, लॉग ए बी 2, लॉग ए बी 3, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति लॉग एक्यू .

उदाहरण के लिए,

2, 12, 72, . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है 6 तथा

एलजी 2, एलजी 12, एलजी 72, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति एलजी 6 . ◄

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "संख्या अनुक्रम। ज्यामितीय प्रगति"

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शक्तियाँ और मूल कार्य और रेखांकन

दोस्तों, आज हम एक अन्य प्रकार की प्रगति से परिचित होंगे।
आज के पाठ का विषय ज्यामितीय प्रगति है।

ज्यामितीय अनुक्रम

उदाहरण। 1,2,4,8,16… ज्यामितीय प्रगति, जिसमें पहला सदस्य एक के बराबर है, और $q=2$।

उदाहरण। 8,8,8,8... एक गुणोत्तर श्रेणी जिसका पहला पद आठ है,
और $q=1$।

उदाहरण। 3,-3,3,-3,3... एक गुणोत्तर श्रेणी जिसका प्रथम पद तीन है,
और $q=-1$।

ज्यामितीय प्रगति में एकरसता के गुण होते हैं।
अगर $b_(1)>0$, $q>1$,
फिर क्रम बढ़ रहा है।
अगर $b_(1)>0$, $0 अनुक्रम को आमतौर पर इस प्रकार दर्शाया जाता है: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$।

एक अंकगणितीय प्रगति की तरह, यदि एक ज्यामितीय प्रगति में तत्वों की संख्या सीमित है, तो प्रगति को एक सीमित ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है।

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$।
ध्यान दें कि यदि अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, तो वर्ग पदों का अनुक्रम भी एक ज्यामितीय प्रगति है। दूसरे क्रम में पहला पद $b_(1)^2$ और हर $q^2$ है।

एक ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र

आइए अपने उदाहरणों पर वापस जाएं।

उदाहरण। 1,2,4,8,16… एक ज्यामितीय प्रगति जिसका पहला पद एक के बराबर है,
और $q=2$।
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$।

उदाहरण। 16,8,4,2,1,1/2… एक ज्यामितीय प्रगति जिसका पहला पद सोलह और $q=\frac(1)(2)$ है।
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$।

उदाहरण। 8,8,8,8… एक ज्यामितीय प्रगति जहां पहला पद आठ और $q=1$ है।
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$।

उदाहरण। 3,-3,3,-3,3… एक गुणोत्तर श्रेणी जिसका पहला पद तीन और $q=-1$ है।
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$।

उदाहरण। एक ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $।
क) यह ज्ञात है कि $b_(1)=6, q=3$। $b_(5)$ खोजें।
बी) यह ज्ञात है कि $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$। एन खोजें।
ग) यह ज्ञात है कि $q=-2, b_(6)=96$। $b_(1)$ खोजें।
घ) यह ज्ञात है कि $b_(1)=-2, b_(12)=4096$। क्यू खोजें।

समाधान।
ए) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$।
बी) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$।
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ चूंकि $2^7=128 => n-1=7; एन = 8 $।
ग) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$।
घ) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$।

उदाहरण। ज्यामितीय प्रगति के सातवें और पांचवें सदस्यों के बीच का अंतर 192 है, प्रगति के पांचवें और छठे सदस्यों का योग 192 है। इस प्रगति के दसवें सदस्य का पता लगाएं।

समाधान।
हम जानते हैं कि: $b_(7)-b_(5)=192$ और $b_(5)+b_(6)=192$।
हम यह भी जानते हैं: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$।
फिर:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$।
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$।
हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिली:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$।
समीकरण, हमारे समीकरण प्राप्त करते हैं:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$।
$q^2-1=q+1$।
$q^2-q-2=0$।
हमें दो समाधान मिले q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$।
दूसरे समीकरण में क्रमिक रूप से रखें:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$।
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ कोई समाधान नहीं।
हमें वह मिला: $b_(1)=4, q=2$।
आइए दसवां पद खोजें: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$।

एक परिमित ज्यामितीय प्रगति का योग

एक परिमित ज्यामितीय प्रगति दी जाए: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$।
आइए इसके सदस्यों के योग के लिए अंकन का परिचय दें: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$।
मामले में जब $q=1$. ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्य पहले सदस्य के बराबर हैं, तो यह स्पष्ट है कि $S_(n)=n*b_(1)$।
अब मामले पर विचार करें $q≠1$।
उपरोक्त राशि को q से गुणा करें।
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$।
ध्यान दें:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$।
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$।

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$।

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$।

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$।

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$।

हमने एक परिमित ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र प्राप्त किया है।

समाधान।
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$।

उदाहरण।
ज्यामितीय प्रगति का पाँचवाँ सदस्य ज्ञात कीजिए, जो ज्ञात है: $b_(1)=-3$; $बी_(एन)=-3072$; $एस_(एन)=-4095$।

समाधान।
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$।
$q^(n-1)=1024$।
$q^(n)=1024q$।

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$।
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$।
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$।
$1365q-1365=1024q-1$।
$341q=1364$।
$क्यू = 4$।
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$।

एक ज्यामितीय प्रगति की विशेषता संपत्ति

एक संख्या अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति तभी होती है जब उसके प्रत्येक पद का वर्ग उसके दो पड़ोसी पदों के गुणनफल के बराबर हो। यह मत भूलो कि एक सीमित प्रगति के लिए यह शर्त पहले और आखिरी कार्यकाल के लिए संतुष्ट नहीं है।

एक ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का मापांक उसके आसन्न दो सदस्यों के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है।

समाधान।
आइए विशेषता संपत्ति का उपयोग करें:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$।
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$।
$x^2-x-2=0$।
$x_(1)=2$ और $x_(2)=-1$।
मूल अभिव्यक्ति में क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित करें, हमारे समाधान:
$x=2$ के साथ, हमें अनुक्रम मिला: 4;6;9 $q=1.5$ के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है।
$x=-1$ के साथ, हमें अनुक्रम मिला: 1;0;0।
उत्तर: $x=2.$

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

अंकगणित के साथ-साथ ज्यामितीय प्रगति एक महत्वपूर्ण संख्या श्रृंखला है जिसका अध्ययन कक्षा 9 में स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में किया जाता है। इस लेख में, हम एक ज्यामितीय प्रगति के हर पर विचार करेंगे, और इसका मूल्य इसके गुणों को कैसे प्रभावित करता है।

ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा

आरंभ करने के लिए, हम इस संख्या श्रृंखला की परिभाषा देते हैं। एक ज्यामितीय प्रगति परिमेय संख्याओं की एक श्रृंखला है जो अपने पहले तत्व को एक स्थिर संख्या से क्रमिक रूप से गुणा करके बनाई जाती है जिसे हर कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, श्रृंखला 3, 6, 12, 24, ... की संख्याएँ एक ज्यामितीय प्रगति हैं, क्योंकि यदि हम 3 (पहला तत्व) को 2 से गुणा करते हैं, तो हमें 6 प्राप्त होता है। यदि हम 6 को 2 से गुणा करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है। 12, और इसी तरह।

विचाराधीन अनुक्रम के सदस्यों को आमतौर पर प्रतीक ai द्वारा दर्शाया जाता है, जहां i एक पूर्णांक है जो श्रृंखला में तत्व की संख्या को दर्शाता है।

एक प्रगति की उपरोक्त परिभाषा गणित की भाषा में इस प्रकार लिखी जा सकती है: a = bn-1 * a1, जहाँ b हर है। इस फॉर्मूले की जांच करना आसान है: यदि n = 1, तो b1-1 = 1, और हमें a1 = a1 मिलता है। यदि n = 2, तो a = b * a1, और हम फिर से विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला की परिभाषा पर आते हैं। n के बड़े मानों के लिए भी इसी तरह के तर्क को जारी रखा जा सकता है।

एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक

संख्या बी पूरी तरह से निर्धारित करती है कि पूरी संख्या श्रृंखला में कौन सा वर्ण होगा। भाजक b धनात्मक, ऋणात्मक या एक से बड़ा या कम हो सकता है। उपरोक्त सभी विकल्प विभिन्न अनुक्रमों की ओर ले जाते हैं:

• b > 1. परिमेय संख्याओं की श्रृंखला बढ़ती जा रही है। उदाहरण के लिए, 1, 2, 4, 8, ... यदि तत्व a1 ऋणात्मक है, तो पूरा अनुक्रम केवल मॉड्यूलो में वृद्धि करेगा, लेकिन संख्याओं के संकेत को ध्यान में रखते हुए घट जाएगा।
• b = 1. अक्सर ऐसे मामले को प्रगति नहीं कहा जाता है, क्योंकि समरूप परिमेय संख्याओं की एक साधारण श्रृंखला होती है। उदाहरण के लिए, -4, -4, -4।

योग के लिए सूत्र

विचाराधीन प्रगति के प्रकार के हर का उपयोग करके विशिष्ट समस्याओं पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, इसके पहले n तत्वों के योग के लिए एक महत्वपूर्ण सूत्र दिया जाना चाहिए। सूत्र है: एसएन = (बीएन -1) * ए 1 / (बी -1)।

यदि आप प्रगति के सदस्यों के पुनरावर्ती अनुक्रम पर विचार करते हैं तो आप स्वयं यह अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं। यह भी ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र में, केवल पहले तत्व और हर को जानने के लिए पर्याप्त है ताकि शब्दों की मनमानी संख्या का योग ज्ञात हो सके।

असीम रूप से घटते क्रम

ऊपर एक स्पष्टीकरण था कि यह क्या है। अब, Sn का सूत्र जानते हुए, इसे इस संख्या श्रंखला पर लागू करते हैं। चूँकि कोई भी संख्या जिसका मापांक 1 से अधिक नहीं होता है, बड़ी घातों तक बढ़ाए जाने पर शून्य हो जाता है, अर्थात b∞ => 0 यदि -1

चूंकि अंतर (1 - बी) हमेशा सकारात्मक होगा, हर के मूल्य की परवाह किए बिना, एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति S∞ के योग का चिन्ह विशिष्ट रूप से इसके पहले तत्व a1 के संकेत द्वारा निर्धारित किया जाता है।

अब हम कई समस्याओं पर विचार करेंगे, जहां हम यह दिखाएंगे कि अर्जित ज्ञान को विशिष्ट संख्याओं पर कैसे लागू किया जाए।

कार्य संख्या 1. प्रगति और योग के अज्ञात तत्वों की गणना

एक ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए, प्रगति का हर 2 है, और इसका पहला तत्व 3 है। इसका 7वाँ और 10वाँ पद क्या होगा, और इसके सात प्रारंभिक तत्वों का योग क्या होगा?

समस्या की स्थिति काफी सरल है और इसमें उपरोक्त सूत्रों का प्रत्यक्ष उपयोग शामिल है। इसलिए, संख्या n के साथ तत्व की गणना करने के लिए, हम व्यंजक a = bn-1 * a1 का उपयोग करते हैं। 7वें तत्व के लिए हमारे पास है: a7 = b6 * a1, ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: a7 = 26 * 3 = 192। हम 10 वें सदस्य के लिए भी ऐसा ही करते हैं: a10 = 29 * 3 = 1536।

हम योग के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करते हैं और श्रृंखला के पहले 7 तत्वों के लिए यह मान निर्धारित करते हैं। हमारे पास है: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381।

कार्य संख्या 2. प्रगति के मनमाने तत्वों का योग निर्धारित करना

मान लीजिए -2 घातांकीय प्रगति bn-1 * 4 का हर हो, जहाँ n एक पूर्णांक है। इस श्रृंखला के 5वें से 10वें तत्व तक के योग का निर्धारण करना आवश्यक है।

ज्ञात फ़ार्मुलों का उपयोग करके उत्पन्न समस्या को सीधे हल नहीं किया जा सकता है। इसे 2 अलग-अलग तरीकों से हल किया जा सकता है। पूर्णता के लिए, हम दोनों को प्रस्तुत करते हैं।

विधि 1। इसका विचार सरल है: आपको पहले पदों के दो संगत योगों की गणना करनी होगी, और फिर दूसरे को एक से घटाना होगा। छोटी राशि की गणना करें: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364। अब हम बड़ी राशि की गणना करते हैं: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20। ध्यान दें कि अंतिम अभिव्यक्ति में, केवल 4 शब्दों का योग किया गया था, क्योंकि 5 वीं पहले से ही उस राशि में शामिल है जिसे समस्या की स्थिति के अनुसार गणना करने की आवश्यकता है। अंत में, हम अंतर लेते हैं: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344।

विधि 2. संख्याओं को प्रतिस्थापित करने और गिनने से पहले, आप संबंधित श्रृंखला के पदों m और n के बीच के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। हम ठीक उसी तरह से कार्य करते हैं जैसे विधि 1 में, केवल हम योग के प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व के साथ पहले काम करते हैं। हमारे पास है: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . आप ज्ञात संख्याओं को परिणामी व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और अंतिम परिणाम की गणना कर सकते हैं: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344।

कार्य संख्या 3. भाजक क्या है?

मान लीजिए a1 = 2, ज्यामितीय प्रगति का हर ज्ञात कीजिए, बशर्ते कि इसका अनंत योग 3 हो, और यह ज्ञात हो कि यह संख्याओं की घटती श्रृंखला है।

समस्या की स्थिति के अनुसार यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि इसे हल करने के लिए किस सूत्र का प्रयोग किया जाए। बेशक, एक असीम रूप से घटती प्रगति के योग के लिए। हमारे पास है: S∞ = a1 / (1 - b)। जहाँ से हम हर को व्यक्त करते हैं: b = 1 - a1 / S∞। यह ज्ञात मूल्यों को प्रतिस्थापित करने और आवश्यक संख्या प्राप्त करने के लिए बनी हुई है: बी \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 या -0.333 (3)। हम इस परिणाम को गुणात्मक रूप से जांच सकते हैं यदि हमें याद है कि इस प्रकार के अनुक्रम के लिए, मॉड्यूलस बी 1 से आगे नहीं जाना चाहिए। जैसा कि आप देख सकते हैं, |-1 / 3|

कार्य संख्या 4. संख्याओं की एक श्रृंखला को पुनर्स्थापित करना

मान लीजिए कि एक संख्या श्रृंखला के 2 तत्व दिए गए हैं, उदाहरण के लिए, 5वां 30 के बराबर है और 10वां 60 के बराबर है। इन आंकड़ों से पूरी श्रृंखला को पुनर्स्थापित करना आवश्यक है, यह जानते हुए कि यह एक ज्यामितीय प्रगति के गुणों को संतुष्ट करता है।

समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक ज्ञात सदस्य के लिए संबंधित व्यंजक लिखना होगा। हमारे पास है: a5 = b4 * a1 और a10 = b9 * a1। अब हम दूसरी अभिव्यक्ति को पहले से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5। यहाँ से हम समस्या की स्थिति से ज्ञात सदस्यों के अनुपात का पाँचवाँ अंश मूल लेकर हर का निर्धारण करते हैं, b = 1.148698. हम परिणामी संख्या को किसी ज्ञात तत्व के व्यंजकों में से एक में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966।

इस प्रकार, हमने पाया है कि प्रगति bn का हर क्या है, और ज्यामितीय प्रगति bn-1 * 17.2304966 = a, जहाँ b = 1.148698 है।

ज्यामितीय प्रगति का उपयोग कहाँ किया जाता है?

यदि इस संख्यात्मक श्रृंखला को व्यवहार में लागू नहीं किया जाता, तो इसका अध्ययन विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक रुचि तक सिमट कर रह जाता। लेकिन एक ऐसा आवेदन है।

3 सबसे प्रसिद्ध उदाहरण नीचे सूचीबद्ध हैं:

• ज़ेनो का विरोधाभास, जिसमें फुर्तीला अकिलीज़ धीमे कछुए को नहीं पकड़ सकता, संख्याओं के असीम रूप से घटते क्रम की अवधारणा का उपयोग करके हल किया जाता है।
• यदि बिसात की प्रत्येक कोठरी पर गेहूँ के दाने इस प्रकार रखे जाएँ कि 1 दाना पहली कोठरी पर, 2 - 2 पर, 3 - 3 और इसी तरह रखा जाए, तो 18446744073709551615 अनाज की सभी कोशिकाओं को भरने के लिए आवश्यक होगा बोर्ड!
• खेल "हनोई के टॉवर" में, डिस्क को एक रॉड से दूसरी रॉड में पुनर्व्यवस्थित करने के लिए, 2n - 1 ऑपरेशन करना आवश्यक है, अर्थात, उपयोग किए गए डिस्क n की संख्या से उनकी संख्या तेजी से बढ़ती है।