संख्या के मापांक द्वारायदि यह गैर-ऋणात्मक है, या विपरीत चिह्न वाली समान संख्या, यदि यह ऋणात्मक है, तो इस संख्या को स्वयं कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 6 का मापांक 6 है, संख्या -6 का मापांक भी 6 है।

अर्थात्, किसी संख्या का निरपेक्ष मान निरपेक्ष मान के रूप में समझा जाता है, इस संख्या का निरपेक्ष मान उसके चिह्न को ध्यान में रखे बिना।

इसे निम्नानुसार नामित किया गया है: | 6 |, | एक्स|, |लेकिन अ| आदि।

(अधिक विवरण के लिए, "नंबर मॉड्यूल" अनुभाग देखें)।

मापांक के साथ समीकरण।

उदाहरण 1 ... प्रश्न हल करें|10 एक्स - 5| = 15.

फेसला.

नियम के अनुसार, एक समीकरण दो समीकरणों के संयोजन के बराबर होता है:

10एक्स - 5 = 15
10एक्स - 5 = -15

हमने निर्णय किया:

10एक्स = 15 + 5 = 20
10एक्स = -15 + 5 = -10

एक्स = 20: 10
एक्स = -10: 10

एक्स = 2
एक्स = -1

उत्तर: एक्स 1 = 2, एक्स 2 = -1.

उदाहरण 2 ... प्रश्न हल करें|2 एक्स + 1| = एक्स + 2.

फेसला.

चूंकि मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, तो एक्स+ 2 0. तदनुसार:

एक्स ≥ -2.

हम दो समीकरण बनाते हैं:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -(एक्स + 2)

हमने निर्णय किया:

2एक्स + 1 = एक्स + 2
2एक्स + 1 = -एक्स - 2

2एक्स - एक्स = 2 - 1
2एक्स + एक्स = -2 - 1

एक्स = 1
एक्स = -1

दोनों संख्याएँ -2 से बड़ी हैं। अत: दोनों समीकरण के मूल हैं।

उत्तर: एक्स 1 = -1, एक्स 2 = 1.

उदाहरण 3 ... प्रश्न हल करें

|एक्स + 3| - 1
————— = 4
एक्स - 1

फेसला.

समीकरण समझ में आता है अगर हर शून्य नहीं है - इसका मतलब है कि अगर एक्स≠ 1. आइए इस शर्त को ध्यान में रखते हैं। हमारी पहली क्रिया सरल है - हम न केवल भिन्न से छुटकारा पाते हैं, बल्कि इसे रूपांतरित करते हैं ताकि हमें मॉड्यूल को उसके शुद्ध रूप में प्राप्त हो:

|एक्स+ 3 | - 1 = 4 ( एक्स - 1),

|एक्स + 3| - 1 = 4एक्स - 4,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 4 + 1,

|एक्स + 3| = 4एक्स - 3.

अब हमारे पास समीकरण के बाईं ओर मॉड्यूल के नीचे केवल अभिव्यक्ति है। आगे बढ़ें।
किसी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है - अर्थात यह शून्य से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। तदनुसार, हम असमानता को हल करते हैं:

4एक्स - 3 ≥ 0

4एक्स ≥ 3

एक्स ≥ 3/4

इस प्रकार, हमारे पास दूसरी शर्त है: समीकरण की जड़ कम से कम 3/4 होनी चाहिए।

नियम के अनुसार, हम दो समीकरणों का एक सेट बनाते हैं और उन्हें हल करते हैं:

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -(4एक्स - 3)

एक्स + 3 = 4एक्स - 3
एक्स + 3 = -4एक्स + 3

एक्स - 4एक्स = -3 - 3
एक्स + 4एक्स = 3 - 3

एक्स = 2
एक्स = 0

हमें दो प्रतिक्रियाएं मिलीं। आइए देखें कि क्या वे मूल समीकरण के मूल हैं।

हमारे पास दो शर्तें थीं: समीकरण का मूल 1 के बराबर नहीं हो सकता है और यह कम से कम 3/4 होना चाहिए। अर्थात एक्स ≠ 1, एक्स३/४. प्राप्त दो उत्तरों में से केवल एक ही इन दोनों शर्तों को पूरा करता है - संख्या 2। इसका मतलब है कि केवल यह मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर: एक्स = 2.

मॉड्यूल के साथ असमानताएं।

उदाहरण 1 ... असमानता का समाधान| एक्स - 3| < 4

फेसला.

मॉड्यूल नियम कहता है:

|लेकिन अ| = लेकिन अ, यदि एक लेकिन अ ≥ 0.

|लेकिन अ| = -लेकिन अ, यदि एक लेकिन अ < 0.

मॉड्यूल में गैर-ऋणात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ हो सकती हैं। इसलिए, हमें दोनों मामलों पर विचार करना चाहिए: एक्स- ३ ० और एक्स - 3 < 0.

१) कब एक्स- ३ ० हमारी मूल असमानता जस की तस बनी हुई है, केवल मापांक चिह्न के बिना:
एक्स - 3 < 4.

2) कब एक्स - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(एक्स - 3) < 4.

कोष्ठक का विस्तार करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

-एक्स + 3 < 4.

इस प्रकार, इन दो स्थितियों से, हम असमानताओं की दो प्रणालियों के मिलन पर आए:

एक्स - 3 ≥ 0
एक्स - 3 < 4

एक्स - 3 < 0
-एक्स + 3 < 4

आइए उन्हें हल करें:

एक्स ≥ 3
एक्स < 7

एक्स < 3
एक्स > -1

तो, हमारे पास हमारे उत्तर में दो सेटों का मिलन है:

3 ≤ एक्स < 7 U -1 < एक्स < 3.

सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान निर्धारित करें। ये -1 और 7 हैं। एक ही समय में एक्स-1 से अधिक, लेकिन 7 से कम।
इसके अलावा, एक्स 3. इसलिए, इन चरम संख्याओं को छोड़कर, असमानता का समाधान -1 से 7 तक की संख्याओं का पूरा सेट है।

उत्तर: -1 < एक्स < 7.

या: एक्स ∈ (-1; 7).

की आपूर्ति करता है.

1) हमारी असमानता को हल करने का एक सरल और छोटा तरीका है - एक ग्राफिकल। ऐसा करने के लिए, आपको एक क्षैतिज अक्ष (चित्र 1) खींचने की आवश्यकता है।

अभिव्यक्ति | एक्स - 3| < 4 означает, что расстояние от точки एक्सबिंदु 3 चार इकाइयों से कम है। हम अक्ष पर संख्या 3 को चिह्नित करते हैं और 4 विभाजनों को बाईं ओर और दाईं ओर गिनते हैं। बाईं ओर हम बिंदु -1 पर, दाईं ओर - बिंदु 7 पर आएंगे। इस प्रकार, अंक एक्सहमने उनकी गणना किए बिना ही देखा।

इसके अलावा, असमानता की स्थिति के अनुसार, -1 और 7 स्वयं समाधान के सेट में शामिल नहीं हैं। इस प्रकार, हमें उत्तर मिलता है:

1 < एक्स < 7.

2) लेकिन एक और समाधान है जो ग्राफिक रूप से भी सरल है। ऐसा करने के लिए, हमारी असमानता को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जाना चाहिए:

4 < एक्स - 3 < 4.

आखिरकार, यह मॉड्यूल नियम के अनुसार ऐसा ही है। गैर-ऋणात्मक संख्या 4 और समान ऋणात्मक संख्या -4 असमानता को हल करने की सीमाएँ हैं।

4 + 3 < एक्स < 4 + 3

1 < एक्स < 7.

उदाहरण 2 ... असमानता का समाधान| एक्स - 2| ≥ 5

फेसला.

यह उदाहरण पिछले वाले से काफी अलग है। बाईं ओर 5 से बड़ा या 5 के बराबर है। ज्यामितीय दृष्टिकोण से, असमानता का समाधान वे सभी संख्याएँ हैं जो बिंदु 2 से 5 इकाइयों या उससे अधिक की दूरी पर हैं (चित्र 2)। ग्राफ से पता चलता है कि ये सभी संख्याएँ हैं जो -3 से कम या बराबर हैं और 7 से बड़ी या बराबर हैं। तो, हमें पहले ही उत्तर मिल गया है।

उत्तर: -3 ≥ एक्स ≥ 7.

रास्ते में, हम समान असमानता को विपरीत चिह्न के साथ बाईं ओर और दाईं ओर मुक्त शब्द की अनुमति देकर हल करते हैं:

5 ≥ एक्स - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ एक्स ≥ 5 + 2

उत्तर एक ही है: -3 एक्स ≥ 7.

या: एक्स ∈ [-3; 7]

उदाहरण हल किया।

उदाहरण 3 ... असमानता का समाधान 6 एक्स 2 - | एक्स| - 2 ≤ 0

फेसला.

संख्या एक्ससकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकता है। इसलिए, हमें तीनों परिस्थितियों को ध्यान में रखना होगा। जैसा कि आप जानते हैं, उन्हें दो असमानताओं में ध्यान में रखा जाता है: एक्स 0 और एक्स < 0. При एक्स 0 हम अपनी मूल असमानता को वैसे ही फिर से लिखते हैं, जैसे वह है, केवल मापांक चिह्न के बिना:

6x 2 - एक्स - 2 ≤ 0.

अब दूसरे मामले के बारे में: if एक्स < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6एक्स 2 - (-एक्स) - 2 ≤ 0.

कोष्ठक का विस्तार करें:

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0.

इस प्रकार, हमें समीकरणों की दो प्रणालियाँ मिलीं:

6एक्स 2 - एक्स - 2 ≤ 0
एक्स ≥ 0

6एक्स 2 + एक्स - 2 ≤ 0
एक्स < 0

प्रणालियों में असमानताओं को हल करना आवश्यक है - अर्थात, दो द्विघात समीकरणों की जड़ों को खोजना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम असमानताओं के बाएं हाथ के पक्षों को शून्य के बराबर करते हैं।

आइए पहले वाले से शुरू करें:

6एक्स 2 - एक्स - 2 = 0.

द्विघात समीकरण कैसे हल किया जाता है - "द्विघात समीकरण" अनुभाग देखें। हम तुरंत उत्तर का नाम देंगे:

एक्स 1 = -1/2, x 2 = 2/3।

असमानताओं की पहली प्रणाली से, हम पाते हैं कि मूल असमानता का समाधान -1/2 से 2/3 तक की संख्याओं का पूरा सेट है। हम समाधान के संघ के लिए लिखते हैं एक्स ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

अब दूसरे द्विघात समीकरण को हल करते हैं:

6एक्स 2 + एक्स - 2 = 0.

इसकी जड़ें:

एक्स 1 = -2/3, एक्स 2 = 1/2.

निष्कर्ष: पर एक्स < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

आइए दो उत्तरों को मिलाएं और अंतिम उत्तर प्राप्त करें: समाधान इन चरम संख्याओं सहित -2/3 से 2/3 तक की संख्याओं का पूरा सेट है।

उत्तर: -2/3 ≤ एक्स ≤ 2/3.

या: एक्स ∈ [-2/3; 2/3].

मॉड्यूल के साथ असमानताओं को प्रकट करने के तरीके (नियम) मॉड्यूल के अनुक्रमिक प्रकटीकरण में शामिल होते हैं, जबकि सबमॉड्यूलर कार्यों के संकेत स्थिरता के अंतराल का उपयोग करते हैं। अंतिम संस्करण में, कई असमानताएँ प्राप्त होती हैं जिनसे अंतराल या अंतराल पाए जाते हैं जो समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।

आइए व्यवहार में सामान्य उदाहरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

moduli के साथ रैखिक असमानताएं

रैखिक से हमारा तात्पर्य उन समीकरणों से है जिनमें चर रैखिक रूप से समीकरण में प्रवेश करता है।

उदाहरण 1. असमानता का समाधान खोजें

फेसला:
यह समस्या कथन से निम्नानुसार है कि मॉड्यूल x = -1 और x = -2 पर शून्य हो जाते हैं। ये बिंदु संख्या अक्ष को अंतराल में विभाजित करते हैं

इनमें से प्रत्येक अंतराल में, हम दी गई असमानता को हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम सबमॉड्यूलर कार्यों की स्थिरता के क्षेत्रों के चित्रमय चित्र बनाते हैं। उन्हें प्रत्येक कार्य के संकेतों वाले क्षेत्रों के रूप में दर्शाया गया है

या सभी कार्यों के संकेतों के साथ अंतराल।

पहले अंतराल में, हम मॉड्यूल खोलते हैं

हम दोनों पक्षों को माइनस एक से गुणा करते हैं, और असमानता का चिन्ह विपरीत दिशा में बदल जाएगा। यदि आपको इस नियम की आदत डालना मुश्किल लगता है, तो आप माइनस से छुटकारा पाने के लिए प्रत्येक भाग को साइन द्वारा स्थानांतरित कर सकते हैं। अंतिम संस्करण में, आपको प्राप्त होगा

सेट x> -3 का उस क्षेत्र के साथ प्रतिच्छेदन जिस पर समीकरण हल किए गए थे, अंतराल (-3; -2) होगा। उन लोगों के लिए जिन्हें समाधान ढूंढना आसान लगता है, आप इन क्षेत्रों के प्रतिच्छेदन को रेखांकन कर सकते हैं।

क्षेत्रों का आम चौराहा होगा समाधान। सख्त असमानता के साथ, किनारों को शामिल नहीं किया गया है। यदि सख्त नहीं है, तो प्रतिस्थापन द्वारा जांचें।

दूसरे अंतराल पर, हम प्राप्त करते हैं

खंड अंतराल (-2; -5/3) होगा। आलेखीय रूप से, समाधान इस तरह दिखेगा

तीसरे अंतराल में, हम प्राप्त करते हैं

यह स्थिति वांछित क्षेत्र में समाधान नहीं देती है।

चूंकि दो पाए गए समाधान (-3; -2) और (-2; -5/3) बिंदु x = -2 से घिरे हैं, तो हम इसे भी जांचते हैं।

अतः बिंदु x = -2 समाधान है। इसे ध्यान में रखते हुए, सामान्य समाधान (-3; 5/3) जैसा दिखेगा।

उदाहरण 2. असमानता का समाधान खोजें
| x-2 | - | x-3 |> = | x-4 |

फेसला:
बिंदु x = 2, x = 3, x = 4 सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन के शून्य हैं। इन बिंदुओं से कम तर्कों के लिए, सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन नकारात्मक होते हैं, और बड़े लोगों के लिए, वे सकारात्मक होते हैं।

अंक वास्तविक अक्ष को चार अंतरालों में विभाजित करते हैं। हम निरंतरता के अंतराल के अनुसार मॉड्यूल का विस्तार करते हैं और असमानताओं को हल करते हैं।

1) पहले अंतराल पर, सभी सबमॉड्यूल फ़ंक्शन नकारात्मक होते हैं, इसलिए, मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हम संकेत को विपरीत में बदलते हैं।

माना अंतराल के साथ x के पाए गए मानों का प्रतिच्छेदन बिंदुओं का समुच्चय होगा

2) बिंदुओं x = 2 और x = 3 के बीच के अंतराल पर, पहला सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन सकारात्मक है, दूसरा और तीसरा नकारात्मक है। मॉड्यूल का विस्तार, हम प्राप्त करते हैं

एक असमानता है कि, जिस अंतराल पर हम हल करते हैं, उसके प्रतिच्छेदन पर, एक समाधान देता है - x = 3।

३) बिंदुओं x = ३ और x = ४ के बीच के अंतराल पर, पहला और दूसरा सबमॉड्यूल फ़ंक्शन सकारात्मक हैं, और तीसरा नकारात्मक है। इसके आधार पर, हम प्राप्त करते हैं

यह स्थिति दर्शाती है कि पूरा अंतराल मापांक असमानता को संतुष्ट करेगा।

4) मान x> 4 के लिए, सभी फ़ंक्शन साइन-पॉजिटिव हैं। मॉड्यूल का विस्तार करते समय, हम उनका संकेत नहीं बदलते हैं।

एक अंतराल के साथ प्रतिच्छेदन पर मिली स्थिति समाधान के निम्नलिखित सेट देती है

चूंकि असमानता को सभी अंतरालों पर हल किया जाता है, इसलिए यह x के सभी पाए गए मानों के सामान्य को खोजने के लिए बनी हुई है। समाधान दो अंतराल होगा

इस पर उदाहरण हल किया गया है।

उदाहरण 3. असमानता का समाधान खोजें
|| x-1 | -5 |> 3-2x

फेसला:
हमारे पास मापांक के मापांक के साथ असमानता है। इस तरह की असमानताओं का पता चलता है क्योंकि मॉड्यूल नेस्टेड हैं, जो उन लोगों से शुरू होते हैं जो गहरे स्थित हैं।

सबमॉड्यूल फ़ंक्शन x-1 बिंदु x = 1 पर शून्य में परिवर्तित हो जाता है। 1 के लिए छोटे मानों के लिए, यह x> 1 के लिए ऋणात्मक और धनात्मक है। इसके आधार पर, हम आंतरिक मॉड्यूल खोलते हैं और प्रत्येक अंतराल पर असमानता पर विचार करते हैं।

सबसे पहले, माइनस इनफिनिटी से एक तक के अंतराल पर विचार करें

सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन बिंदु x = -4 पर शून्य के बराबर है। कम मूल्यों पर, यह सकारात्मक है, उच्च मूल्यों पर, यह नकारात्मक है। x . के लिए मॉड्यूल का विस्तार करें<-4:

जिस डोमेन पर हम विचार कर रहे हैं, उसके साथ चौराहे पर हम समाधानों का सेट प्राप्त करते हैं

अगला कदम अंतराल पर मॉड्यूल खोलना है (-4; 1)

मॉड्यूल प्रकटीकरण के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए, हम समाधान अंतराल प्राप्त करते हैं

याद रखें: यदि आपको मॉड्यूल के साथ ऐसी अनियमितताओं में एक सामान्य बिंदु की सीमा में दो अंतराल मिलते हैं, तो, एक नियम के रूप में, यह भी एक समाधान है।

ऐसा करने के लिए, आपको बस जांच करने की आवश्यकता है।

इस स्थिति में, हम बिंदु x = -4 को प्रतिस्थापित करते हैं।

तो x = -4 समाधान है।
आइए x> 1 . के लिए आंतरिक मॉड्यूल खोलें

सबमॉड्यूल फ़ंक्शन नकारात्मक x . के लिए<6.
मॉड्यूल का विस्तार, हम प्राप्त करते हैं

अंतराल (1; 6) वाले खंड में यह स्थिति समाधानों का एक खाली सेट देती है।

x> 6 के लिए, हम असमानता प्राप्त करते हैं

साथ ही, हल करने का एक खाली सेट मिला।
उपरोक्त सभी को ध्यान में रखते हुए, मॉड्यूल के साथ असमानता का एकमात्र समाधान निम्नलिखित अंतराल है।

द्विघात समीकरण वाले मॉड्यूल के साथ असमानता

उदाहरण 4. असमानता का समाधान खोजें
| x ^ 2 + 3x |> = 2-x ^ 2

फेसला:
सबमॉड्यूल फ़ंक्शन x = 0, x = -3 बिंदुओं पर गायब हो जाता है। माइनस वाले के लिए सरल प्रतिस्थापन

हम स्थापित करते हैं कि यह अंतराल (-3; 0) पर शून्य से कम है और इसके बाहर धनात्मक है।
आइए हम उन क्षेत्रों में मॉड्यूल का विस्तार करें जहां सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन सकारात्मक है

यह उन क्षेत्रों को निर्धारित करने के लिए रहता है जहां वर्ग कार्य सकारात्मक है। ऐसा करने के लिए, हम द्विघात समीकरण की जड़ें निर्धारित करते हैं

सुविधा के लिए, हम बिंदु x = 0 को प्रतिस्थापित करते हैं, जो अंतराल (-2; 1/2) से संबंधित है। इस अंतराल में फलन ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि निम्नलिखित सेट x

यहां, कोष्ठक समाधान के साथ क्षेत्रों के किनारों को इंगित करते हैं, यह जानबूझकर किया गया था, निम्नलिखित नियम को ध्यान में रखते हुए।

याद रखें: यदि मॉड्यूल के साथ असमानता, या एक साधारण असमानता सख्त है, तो पाए गए क्षेत्रों के किनारे समाधान नहीं हैं, यदि असमानताएं सख्त () नहीं हैं, तो किनारे समाधान हैं (वर्ग कोष्ठक द्वारा चिह्नित)।

यह नियम कई शिक्षकों द्वारा उपयोग किया जाता है: यदि एक सख्त असमानता निर्दिष्ट है, और गणना के दौरान आप समाधान में एक वर्ग ब्रैकेट ([,]) लिखते हैं, तो वे स्वचालित रूप से इसे गलत उत्तर के रूप में गिनेंगे। साथ ही, परीक्षण करते समय, यदि मॉड्यूल के साथ एक गैर-सख्त असमानता निर्दिष्ट की जाती है, तो समाधानों के बीच वर्ग ब्रैकेट वाले क्षेत्रों की तलाश करें।

अंतराल (-3; 0) पर, मॉड्यूल को खोलते हुए, फ़ंक्शन के संकेत को विपरीत में बदलें

असमानता के प्रकटीकरण के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए होगा समाधान

पिछले क्षेत्र के साथ, यह दो अर्ध-अंतराल देगा

उदाहरण 5. असमानता का समाधान खोजें
9x ^ 2- | x-3 |> = 9x-2

फेसला:
एक ढीली असमानता दी गई है, जिसका सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन बिंदु x = 3 पर शून्य के बराबर है। कम मूल्यों पर, यह नकारात्मक है, उच्च मूल्यों पर, यह सकारात्मक है। अंतराल x . पर मॉड्यूल का विस्तार करें<3.

समीकरण के विभेदक का पता लगाएं

और जड़ें

बिंदु शून्य को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि अंतराल [-1/9; 1] पर द्विघात फलन ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल एक हल है। इसके बाद, x> 3 . के लिए मॉड्यूल का विस्तार करें

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मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप तय करें और क्या खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

मॉड्यूल के साथ समीकरण और असमानता

बेसिक स्कूल में बीजगणित के दौरान, आप मॉड्यूल के साथ सरलतम समीकरणों और असमानताओं का सामना कर सकते हैं। उन्हें हल करने के लिए, आप इस तथ्य के आधार पर ज्यामितीय विधि लागू कर सकते हैं कि \ (| xa | \) अंक x और a: \ (| xa | = \ rho (x; \; a) के बीच संख्या रेखा पर दूरी है। ) \). उदाहरण के लिए, समीकरण \ (| x-3 | = 2 \) को हल करने के लिए, आपको संख्या रेखा पर बिंदु 3 से 2 की दूरी पर बिंदु खोजने होंगे। ऐसे दो बिंदु हैं: \ (x_1 = 1 \) और \ (x_2 = 5 \) ...

असमानता को हल करना \ (| 2x + 7 |

लेकिन मॉड्यूल के साथ समीकरणों और असमानताओं को हल करने का मुख्य तरीका तथाकथित "परिभाषा द्वारा मॉड्यूल का विस्तार" से जुड़ा हुआ है:
यदि \ (a \ geq 0 \), तो \ (| a | = a \);
अगर \ (ए एक नियम के रूप में, मॉड्यूल के साथ एक समीकरण (असमानता) को समीकरणों (असमानताओं) के एक सेट में घटा दिया जाता है जिसमें मॉड्यूलस चिह्न नहीं होता है।

निर्दिष्ट परिभाषा के अलावा, निम्नलिखित कथनों का उपयोग किया जाता है:
१) यदि \ (c> 0 \), तो समीकरण \ (| f (x) | = c \) समीकरणों के एक सेट के बराबर है: \ (\ बाएँ [\ start (सरणी) (l) f (x) ) = c \\ f (x) = - c \ अंत (सरणी) \ दाएँ। \)
2) यदि \ (c> 0 \), तो असमानता \ (| f (x) | 3) यदि \ (c \ geq 0 \), तो असमानता \ (| f (x) |> c \) है असमानताओं के सेट के बराबर: \ (\ बाएँ [\ start (सरणी) (l) f (x) c \ end (सरणी) \ दाएँ। \)
4) यदि असमानता के दोनों पक्ष \ (f (x) उदाहरण 1. समीकरण \ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 = 0 \) को हल करें।

यदि \ (x-1 \ geq 0 \), तो \ (| x-1 | = x-1 \) और दिया गया समीकरण रूप लेता है
\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 = 0 \ दायां तीर x ^ 2 + 2x -8 = 0 \)।
यदि \ (x-1 \ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 = 0 \ दायां तीर x ^ 2 -2x -4 = 0 \)।
इस प्रकार, दिए गए समीकरण को दो संकेतित मामलों में से प्रत्येक में अलग-अलग माना जाना चाहिए।
1) मान लीजिए \ (x-1 \ geq 0 \), अर्थात्। \ (एक्स \ गीक 1 \)। समीकरण \ (x ^ 2 + 2x -8 = 0 \) से हम \ (x_1 = 2, \; x_2 = -4 \) पाते हैं। शर्त \ (x \ geq 1 \) केवल मान \ (x_1 = 2 \) से संतुष्ट है।
2) मान लीजिए \ (x-1 उत्तर: \ (2; \; \; 1- \ sqrt (5) \)

उदाहरण 2. समीकरण \ (| x ^ 2-6x + 7 | = \ frac (5x-9) (3) \) को हल करें।

पहला तरीका(परिभाषा के अनुसार मॉड्यूल विस्तार)।
उदाहरण 1 के अनुसार तर्क देते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि दिए गए समीकरण को अलग-अलग माना जाना चाहिए यदि दो शर्तें पूरी होती हैं: \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) या \ (x ^ 2-6x + 7

1) यदि \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \), तो \ (| x ^ 2-6x + 7 | = x ^ 2-6x + 7 \) और दिया गया समीकरण \ (x) का रूप लेता है ^ 2 -6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \ दायां तीर 3x ^ 2-23x + 30 = 0 \)। इस द्विघात समीकरण को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: \ (x_1 = 6, \; x_2 = \ frac (5) (3) \)।
आइए जानें कि क्या मान \ (x_1 = 6 \) शर्त \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) को संतुष्ट करता है। ऐसा करने के लिए, हम निर्दिष्ट मान को वर्ग असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं। हम प्राप्त करते हैं: \ (6 ^ 2-6 \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \), अर्थात्। \ (7 \ geq 0 \) एक सच्ची असमानता है। अत: \ (x_1 = 6 \) दिए गए समीकरण का मूल है।
आइए जानें कि क्या मान \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) शर्त को संतुष्ट करता है \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \)। ऐसा करने के लिए, हम निर्दिष्ट मान को वर्ग असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं। हम प्राप्त करते हैं: \ (\ बाएँ (\ frac (5) (3) \ दाएँ) ^ 2 - \ frac (5) (3) \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \), अर्थात्। \ (\ frac (25) (9) -3 \ geq 0 \) - गलत असमानता। अत: \ (x_2 = \ frac (5) (3) \) दिए गए समीकरण का मूल नहीं है।

2) यदि \ (x ^ 2-6x + 7 मान \ (x_3 = 3 \) शर्त को संतुष्ट करता है \ (x ^ 2-6x + 7 मान \ (x_4 = \ frac (4) (3) \) संतुष्ट नहीं करता है शर्त \ (x ^ 2-6x + 7 तो, दिए गए समीकरण के दो मूल हैं: \ (x = 6, \; x = 3 \)।

दूसरा रास्ता।यदि समीकरण \ (| f (x) | = h (x) \) दिया जाता है, तो \ (h (x) \ (\ बाएँ [\ start (सरणी)) के लिए x ^ 2-6x + 7 = \ फ़्रेक (5x-9) (3) \\ x ^ 2-6x + 7 = - \ फ़्रेक (5x-9) (3) \ अंत (सरणी) \ दाएँ। \)
इन दोनों समीकरणों को ऊपर (दिए गए समीकरण को हल करने के पहले तरीके से) हल किया गया था, उनके मूल इस प्रकार हैं: \ (6, \; \ frac (5) (3), \; 3, \; \ frac (4 ) (3) \). इन चार मानों की स्थिति \ (\ frac (5x-9) (3) \ geq 0 \) केवल दो: 6 और 3 से संतुष्ट है। इसलिए, दिए गए समीकरण के दो मूल हैं: \ (x = 6, \; एक्स = 3 \)।

तीसरा रास्ता(ग्राफिक)।
1) आइए फ़ंक्शन \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \) को प्लॉट करें। सबसे पहले, एक परवलय \ (y = x ^ 2-6x + 7 \) की रचना करें। हमारे पास \ (x ^ 2-6x + 7 = (x-3) ^ 2-2 \) है। फंक्शन का ग्राफ \ (y = (x-3) ^ 2-2 \) फंक्शन के ग्राफ से प्राप्त किया जा सकता है \ (y = x ^ 2 \) इसे 3 स्केल इकाइयों द्वारा दाईं ओर स्थानांतरित करके (साथ में) x अक्ष) और 2 स्केल यूनिट नीचे (y-अक्ष पर)। सीधी रेखा x = 3 उस परवलय की धुरी है जिसमें हम रुचि रखते हैं। बिंदु (3; -2) - परवलय के शीर्ष, बिंदु (0; 7) और बिंदु (6; 7) के सममित को परवलय अक्ष के सापेक्ष अधिक सटीक प्लॉटिंग के लिए नियंत्रण बिंदु के रूप में लेना सुविधाजनक है। लेखाचित्र।
अब फलन \ (y = | x ^ 2-6x + 7 | \) के ग्राफ को आलेखित करने के लिए, आपको निर्मित परवलय के उन हिस्सों को अपरिवर्तित छोड़ना होगा जो x-अक्ष के नीचे नहीं हैं, और के भाग को दर्पण करते हैं परवलय जो x-अक्ष के नीचे x-अक्ष पर स्थित है।
2) आइए रैखिक फलन \ (y = \ frac (5x-9) (3) \) का एक ग्राफ बनाएं। अंक (0; -3) और (3; 2) को नियंत्रण बिंदु के रूप में लेना सुविधाजनक है।

यह आवश्यक है कि बिंदु x = 1.8 भुज अक्ष के साथ सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन भुज अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन के बाएं बिंदु के दाईं ओर स्थित हो - यह बिंदु \ (x = 3- \ sqrt (x = 3- \ sqrt ( २) \) (चूंकि \ (३- \ sqrt (२ ) ३) ड्राइंग के आधार पर, ग्राफ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं - ए (3; 2) और बी (6; 7) इन बिंदुओं के भुजों को प्रतिस्थापित करना x = 3 और x = 6 दिए गए समीकरण में, हम सुनिश्चित करते हैं कि दोनों के लिए एक और मान सही संख्यात्मक समानता देता है, जिसका अर्थ है कि हमारी परिकल्पना की पुष्टि की गई थी - समीकरण के दो मूल हैं: x = 3 और x = 6. उत्तर: 3; 6.

टिप्पणी... चित्रमय विधि, इसकी सभी कृपा के लिए, बहुत विश्वसनीय नहीं है। माना उदाहरण में, यह केवल इसलिए काम करता है क्योंकि समीकरण की जड़ें पूर्णांक होती हैं।

उदाहरण 3. समीकरण को हल करें \ (| 2x-4 | + | x + 3 | = 8 \)

पहला तरीका
व्यंजक 2x - 4 बिंदु x = 2 पर 0 हो जाता है, और व्यंजक x + 3 बिंदु x = -3 पर हो जाता है। ये दो बिंदु संख्या रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं: \ (x

पहली अवधि पर विचार करें: \ ((- \ infty; \; -3) \)।
यदि x दूसरे अंतराल पर विचार करें: \ ([- 3; \; 2) \)।
यदि \ (- 3 \ leq x तीसरे अंतराल पर विचार करें: \ (U .)

उदाहरण २।

असमानता को हल करें || x + 2 | - 3 | ≤ 2.

फेसला।

यह असमानता निम्नलिखित प्रणाली के बराबर है।

(| एक्स + 2 | - 3 ≥ -2
(| x + 2 | - ३ २,
(| एक्स + 2 | 1
(| एक्स + 2 | ५.

आइए प्रणाली की पहली असमानता को अलग से हल करें। यह निम्नलिखित समुच्चय के बराबर है:

यू [-1; 3]।

2) मापांक की परिभाषा का उपयोग करके असमानताओं को हल करना।

पहले मैं आपको याद दिला दूं मॉड्यूल परिभाषा।

|ए | = एक अगर एक ≥ 0 और | ए | = -ए अगर ए< 0.

उदाहरण के लिए | 34 | = 34, | -21 | = - (- 21) = 21.

उदाहरण 1।

असमानता को हल करें 3 | x - 1 | ≤ एक्स + 3.

फेसला।

मॉड्यूल की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमें दो सिस्टम मिलते हैं:

(एक्स - 1 0
(३ (एक्स - १) एक्स + ३

(एक्स - 1< 0
(-3 (एक्स -1) ≤ एक्स + 3.

पहली दूसरी प्रणाली को अलग से हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(एक्स 1
(एक्स 3,

(एक्स< 1
(एक्स 0.

मूल असमानता का समाधान पहली प्रणाली के सभी समाधान और दूसरी प्रणाली के सभी समाधान होंगे।

उत्तर: एक्स €।

3) असमानताओं को वर्ग करके हल करना।

उदाहरण 1।

असमानता को हल करें x 2 - 1 |< | x 2 – x + 1|.

फेसला।

आइए हम असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग करें। ध्यान दें कि आप असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग तभी कर सकते हैं जब वे दोनों सकारात्मक हों। इस मामले में, हमारे पास बाएँ और दाएँ दोनों तरफ मॉड्यूल हैं, इसलिए हम ऐसा कर सकते हैं।

(| x २ - १ |) २< (|x 2 – x + 1|) 2 .

अब हम मॉड्यूल के निम्नलिखित गुण का उपयोग करेंगे: (| x |) 2 = x 2।

(एक्स २ - १) २< (x 2 – x + 1) 2 ,

(एक्स २ - १) २ - (एक्स २ - एक्स + १) २< 0.

(एक्स २ - १ - एक्स २ + एक्स - १) (एक्स २ - १ + एक्स २ - एक्स + १)< 0,

(एक्स - 2) (2x 2 - एक्स)< 0,

एक्स (एक्स - 2) (2x - 1)< 0.

हम अंतराल की विधि से हल करते हैं।

उत्तर: x € (-∞; 0) यू (1/2; 2)

4) चरों के परिवर्तन द्वारा असमानताओं का समाधान।

उदाहरण।

असमानता को हल करें (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

फेसला।

ध्यान दें कि (2x + 3) 2 = (| 2x + 3 |) 2. तब हम असमानता प्राप्त करते हैं

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | 30.

आइए परिवर्तन करें y = | 2x + 3 |।

आइए हम अपनी असमानता को ध्यान में रखते हुए प्रतिस्थापन के साथ फिर से लिखें।

वाई २ - वाई ३०,

y २ - y - ३० ०.

आइए हम बाईं ओर वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करें।

y1 = (1 + 11)/2,

y2 = (1 - 11)/2,

(वाई - 6) (वाई + 5) 0.

आइए अंतराल की विधि से हल करें और प्राप्त करें:

आइए प्रतिस्थापन पर वापस जाएं:

5 ≤ | 2x + 3 | 6.

यह दोहरी असमानता असमानताओं की प्रणाली के बराबर है:

(| २x + ३ | ६
(| 2x + 3 | ≥ -5।

आइए प्रत्येक असमानता को अलग से हल करें।

पहला सिस्टम के बराबर है

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 -6।

आइए इसे हल करें।

(एक्स 1.5
(एक्स -4.5.

दूसरी असमानता स्पष्ट रूप से सभी x के लिए है, क्योंकि मापांक परिभाषा के अनुसार सकारात्मक है। चूंकि सिस्टम का समाधान सभी x है जो सिस्टम की पहली और दूसरी दोनों असमानताओं को एक साथ संतुष्ट करता है, मूल प्रणाली का समाधान इसकी पहली दोहरी असमानता का समाधान होगा (आखिरकार, दूसरा सभी x के लिए सत्य है)।

उत्तर: x € [-4.5; 1.5]।

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