नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म गुण। चश्मे
1. किनारों की सबसे कम संख्या में एक चतुष्फलक - 6 होता है।
2. प्रिज्म के n फलक हैं। इसके आधार पर बहुभुज क्या है?
(एन - 2) एक गॉन है।
3. क्या एक प्रिज्म सीधा है यदि उसके दो आसन्न पक्ष आधार के तल के लंबवत हैं?
हाँ यही है।
4. किस प्रिज्म में पार्श्व पसली इसकी ऊंचाई के समानांतर होती है?
सीधे प्रिज्म में।
5. क्या प्रिज्म सही है यदि उसके सभी किनारे बराबर हों?
नहीं, यह प्रत्यक्ष नहीं हो सकता।
6. क्या झुके हुए प्रिज्म के किसी एक पार्श्व फलक की ऊँचाई प्रिज्म की ऊँचाई हो सकती है?
हाँ, यदि यह किनारा आधारों के लंबवत है।
7. क्या कोई प्रिज्म है जिसमें: क) पार्श्व किनारा आधार के केवल एक किनारे पर लंबवत है; b) क्या केवल एक भुजा आधार से लंबवत है?
ए) हाँ। बी) नहीं।
8. एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म को आधारों की केंद्र रेखाओं से गुजरने वाले समतल द्वारा दो प्रिज्मों में विभाजित किया जाता है। इन प्रिज्मों की पार्श्व सतहों का क्या संबंध है?
प्रमेय 27 से, हम पाते हैं कि पार्श्व पृष्ठ 5:3 के रूप में संबंधित हैं
9. क्या एक पिरामिड नियमित होगा यदि उसके पार्श्व फलक नियमित त्रिभुज हों?
10. एक पिरामिड के आधार के तल के लंबवत कितने फलक हो सकते हैं?
11. क्या कोई चतुष्कोणीय पिरामिड है जिसकी विपरीत भुजा आधार के लंबवत है?
नहीं, अन्यथा आधारों के लंबवत कम से कम दो सीधी रेखाएं पिरामिड के शीर्ष से होकर गुजरेंगी।
12. क्या किसी त्रिभुजाकार पिरामिड के सभी फलक समकोण त्रिभुज हो सकते हैं?
हाँ (चित्र 183)।
वीडियो कोर्स "गेट ए ए" में 60-65 अंकों पर गणित में परीक्षा को सफलतापूर्वक पास करने के लिए आवश्यक सभी विषय शामिल हैं। पूरी तरह से गणित में प्रोफाइल यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के सभी कार्य 1-13। गणित में बेसिक परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए भी उपयुक्त है। यदि आप 90-100 अंकों के लिए परीक्षा उत्तीर्ण करना चाहते हैं, तो आपको भाग 1 को 30 मिनट में और बिना किसी गलती के हल करना होगा!
कक्षा 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में परीक्षा के भाग 1 (पहले 12 प्रश्न) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए। और यह परीक्षा पर 70 से अधिक अंक है, और न तो सौ अंकों का छात्र और न ही मानविकी का छात्र उनके बिना कर सकता है।
सभी सिद्धांत जो आपको चाहिए। परीक्षा के त्वरित समाधान, जाल और रहस्य। FIPI के कार्यों के बैंक से भाग 1 के सभी प्रासंगिक कार्यों को अलग कर दिया। पाठ्यक्रम पूरी तरह से परीक्षा-2018 की आवश्यकताओं को पूरा करता है।
पाठ्यक्रम में 5 बड़े विषय हैं, प्रत्येक में 2.5 घंटे। प्रत्येक विषय एकदम सरल, सरल और सीधा दिया गया है।
सैकड़ों परीक्षा असाइनमेंट। शब्द समस्याएं और संभाव्यता सिद्धांत। समस्याओं को हल करने के लिए सरल और याद रखने में आसान एल्गोरिदम। ज्यामिति। सिद्धांत, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के USE असाइनमेंट का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। मुश्किल समाधान, सहायक चीट शीट, स्थानिक कल्पना विकसित करना। खरोंच से समस्या तक त्रिकोणमिति 13. रटने के बजाय समझना। जटिल अवधारणाओं की दृश्य व्याख्या। बीजगणित। जड़ें, डिग्री और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। परीक्षा के दूसरे भाग की जटिल समस्याओं को हल करने का आधार।
सीधे प्रिज्म के बारे में सामान्य जानकारी
प्रिज्म की पार्श्व सतह (अधिक सटीक रूप से, पार्श्व सतह क्षेत्र) को कहा जाता है योगपार्श्व चेहरों के क्षेत्र। प्रिज्म की कुल सतह पार्श्व सतह और आधारों के क्षेत्रों के योग के बराबर होती है।
प्रमेय 19.1. एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह प्रिज्म की ऊंचाई के आधार पर परिधि के गुणनफल के बराबर होती है, अर्थात पार्श्व पसली की लंबाई से।
सबूत। एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयताकार होते हैं। इन आयतों के आधार प्रिज्म के आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाएँ हैं, और ऊँचाई भुजाओं के किनारों की लंबाई के बराबर है। इसलिए यह इस प्रकार है कि प्रिज्म की पार्श्व सतह है
एस = ए 1 एल + ए 2 एल + ... + ए एन एल = पीएल,
जहाँ a 1 और n आधार किनारों की लंबाई हैं, p प्रिज्म के आधार की परिधि है, और I पार्श्व किनारों की लंबाई है। प्रमेय सिद्ध होता है।
व्यावहारिक कार्य
चुनौती (22) ... झुके हुए प्रिज्म में, अनुभागपार्श्व पसलियों के लंबवत और सभी पार्श्व पसलियों को काटते हुए। प्रिज्म की पार्श्व सतह का पता लगाएं यदि खंड परिधि p है और किनारे के किनारे l हैं।
समाधान। खींचे गए खंड का तल प्रिज्म को दो भागों में विभाजित करता है (चित्र 411)। आइए उनमें से एक को समानांतर स्थानांतरण के अधीन करें जो प्रिज्म के आधारों से मेल खाता हो। इस मामले में, हमें एक सीधा प्रिज्म मिलता है, जिसमें आधार मूल प्रिज्म का खंड होता है, और किनारे के किनारे l के बराबर होते हैं। इस प्रिज्म की पार्श्व सतह मूल सतह के समान है। इस प्रकार, मूल प्रिज्म की पार्श्व सतह pl के बराबर होती है।
कवर किए गए विषय का सारांश
और अब आइए आपके साथ एक प्रिज्म के बारे में पिछले विषय को सारांशित करने का प्रयास करें और याद रखें कि प्रिज्म में कौन से गुण हैं।
प्रिज्म गुण
सबसे पहले, एक प्रिज्म के लिए, उसके सभी आधार समान बहुभुज होते हैं;
दूसरे, प्रिज्म के मामले में, इसके सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं;
तीसरा, प्रिज्म जैसी बहुआयामी आकृति में, सभी पार्श्व किनारे समान होते हैं;
साथ ही, यह याद रखना चाहिए कि प्रिज्म जैसे पॉलीहेड्रॉन सीधे और तिरछे हो सकते हैं।
किस प्रिज्म को सीधी रेखा कहते हैं?
यदि प्रिज्म का पार्श्व किनारा उसके आधार के तल के लंबवत स्थित है, तो ऐसे प्रिज्म को एक सीधी रेखा कहा जाता है।
यह याद रखना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयत होते हैं।
किस प्रकार के प्रिज्म को तिरछा कहा जाता है?
लेकिन अगर प्रिज्म का पार्श्व किनारा उसके आधार के तल के लंबवत स्थित नहीं है, तो हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि यह एक झुका हुआ प्रिज्म है।
किस प्रिज्म को सही कहा जाता है?
यदि एक सम बहुभुज एक सीधे प्रिज्म के आधार पर स्थित है, तो ऐसा प्रिज्म सही है।
अब आइए उन गुणों को याद करें जो एक सही प्रिज्म में होते हैं।
सही प्रिज्म गुण
सबसे पहले, नियमित बहुभुज हमेशा एक नियमित प्रिज्म के आधार के रूप में कार्य करते हैं;
दूसरे, यदि हम एक नियमित प्रिज्म के पार्श्व फलकों पर विचार करें, तो वे हमेशा समान आयत होते हैं;
तीसरा, यदि हम पार्श्व पसलियों के आकार की तुलना करते हैं, तो सही प्रिज्म में वे हमेशा बराबर होते हैं।
चौथा, सही प्रिज्म हमेशा सीधा होता है;
पाँचवाँ, यदि एक नियमित प्रिज्म में भुजाएँ वर्गाकार हैं, तो ऐसी आकृति को आमतौर पर अर्ध-नियमित बहुभुज कहा जाता है।
प्रिज्म खंड
आइए अब प्रिज्म के क्रॉस सेक्शन को देखें:
होम वर्क
आइए अब समस्याओं को हल करके अध्ययन किए गए विषय को समेकित करने का प्रयास करें।
आइए एक तिरछा त्रिकोणीय प्रिज्म बनाएं, जिसके किनारों के बीच की दूरी बराबर होगी: 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी, और इस प्रिज्म की पार्श्व सतह 60 सेमी 2 होगी। इन मापदंडों के साथ, इस प्रिज्म के किनारे का पता लगाएं।
क्या आप जानते हैं कि ज्यामितीय आकृतियाँ न केवल ज्यामिति पाठों में हमें घेरती हैं, बल्कि रोजमर्रा की जिंदगी में ऐसी वस्तुएँ होती हैं जो एक या किसी अन्य ज्यामितीय आकृति से मिलती जुलती होती हैं।
हर घर, स्कूल या ऑफिस में एक कंप्यूटर होता है, जिसका सिस्टम यूनिट एक स्ट्रेट प्रिज्म के रूप में होता है।
यदि आप एक साधारण पेंसिल उठाते हैं, तो आप देखेंगे कि पेंसिल का मुख्य भाग एक प्रिज्म है।
शहर की मुख्य सड़क पर चलते हुए, हम देखते हैं कि हमारे पैरों के नीचे एक टाइल है जिसमें एक हेक्सागोनल प्रिज्म का आकार है।
ए वी पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक
परिभाषा 1. प्रिज्मीय सतह
प्रमेय 1. एक प्रिज्मीय सतह के समानांतर वर्गों पर
परिभाषा 2. एक प्रिज्मीय सतह का लंबवत खंड
परिभाषा 3. प्रिज्म
परिभाषा 4. प्रिज्म ऊंचाई
परिभाषा 5. सीधा प्रिज्म
प्रमेय 2. एक प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल
समानांतर पाइप:
परिभाषा 6. बॉक्स
प्रमेय 3. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर
परिभाषा 7. समांतर चतुर्भुज
परिभाषा 8. आयताकार समांतर चतुर्भुज
परिभाषा 9. एक समानांतर चतुर्भुज की माप
परिभाषा 10. घन
परिभाषा 11. समचतुर्भुज
प्रमेय 4. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्णों पर
प्रमेय 5. एक प्रिज्म का आयतन
प्रमेय 6. एक सीधे प्रिज्म का आयतन
प्रमेय 7. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन
चश्मेएक बहुफलक कहलाता है जिसमें दो फलक (आधार) समानांतर तलों में स्थित होते हैं, और किनारे जो इन फलकों में नहीं होते हैं वे एक दूसरे के समानांतर होते हैं।
आधारों के अलावा अन्य फलकों को कहा जाता है पार्श्व.
भुजाओं के फलक और आधार कहलाते हैं प्रिज्म पसलियां, पसलियों के सिरे कहलाते हैं प्रिज्म के शीर्ष। पार्श्व पसलियांवे किनारे जो आधारों से संबंधित नहीं होते हैं, कहलाते हैं। पार्श्व फलकों के मिलन को कहते हैं प्रिज्म की पार्श्व सतह, और सभी चेहरों का मिलन कहलाता है प्रिज्म की पूरी सतह। प्रिज्म की ऊंचाईऊपरी आधार के बिंदु से निचले आधार के तल पर गिराया गया लंबवत या इस लंबवत की लंबाई कहा जाता है। 
सीधा प्रिज्मएक प्रिज्म कहा जाता है जिसमें पार्श्व किनारे आधारों के विमानों के लंबवत होते हैं। 
सहीएक सीधा प्रिज्म कहा जाता है (चित्र 3), जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज है।
दंतकथा:
एल - पार्श्व पसली;
P आधार का परिमाप है;
एस ओ - आधार क्षेत्र;
एच - ऊंचाई;
पी ^ - लंबवत खंड की परिधि;
एस बी - पार्श्व सतह क्षेत्र;
वी मात्रा है;
एस पी - प्रिज्म की पूरी सतह का क्षेत्रफल।
|
वी = एसएच |
*यह माना जाता है कि प्रत्येक दो क्रमागत तल प्रतिच्छेद करते हैं और अंतिम तल पहले को प्रतिच्छेद करता है
प्रमेय 1 ... एक दूसरे के समानांतर (लेकिन इसके किनारों के समानांतर नहीं) विमानों द्वारा एक प्रिज्मीय सतह के खंड समान बहुभुज होते हैं।
मान लीजिए ABCDE और A "B" C "D" E "प्रिज्मीय सतह के दो समांतर तलों के खंड हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि ये दो बहुभुज समान हैं, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि त्रिभुज ABC और A" B "C" हैं समान हैं और उनके घूर्णन की दिशा समान है और त्रिभुज ABD और A "B" D ", ABE और A" B "E" के लिए भी यही सच है। लेकिन इन त्रिभुजों की संबंधित भुजाएँ समानांतर होती हैं (उदाहरण के लिए, A "C" के समानांतर AC) दो समानांतर विमानों के साथ एक निश्चित विमान के प्रतिच्छेदन की रेखाओं के रूप में; यह इस प्रकार है कि समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्षों के रूप में ये पक्ष बराबर हैं (उदाहरण के लिए एसी ए "सी" के बराबर है) और इन पक्षों द्वारा बनाए गए कोण बराबर हैं और एक ही दिशा है।
परिभाषा 2 ... एक प्रिज्मीय सतह के लंबवत खंड को इस सतह का खंड कहा जाता है जो इसके किनारों पर लंबवत होता है। पिछले प्रमेय के आधार पर, एक ही प्रिज्मीय सतह के सभी लंबवत खंड समान बहुभुज होंगे।
परिभाषा 3
... एक प्रिज्म एक बहुफलक है जो एक प्रिज्मीय सतह से घिरा होता है और दो विमान एक दूसरे के समानांतर होते हैं (लेकिन प्रिज्मीय सतह के किनारों के समानांतर नहीं)
इन अंतिम विमानों में पड़े चेहरों को कहा जाता है प्रिज्म बेस; प्रिज्मीय सतह से संबंधित फलक - साइड फेस; प्रिज्मीय सतह के किनारे - प्रिज्म के पार्श्व किनारे... पिछले प्रमेय के आधार पर, प्रिज्म के आधार हैं समान बहुभुज... प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक - समानांतर चतुर्भुज; सभी पार्श्व किनारे समान हैं।
जाहिर है, अगर आपको प्रिज्म एबीसीडीई का आधार और किनारों में से एक एए "आकार और दिशा में दिया जाता है, तो आप किनारों को बीबी", सीसी ", .., किनारे एए के बराबर और समानांतर खींचकर एक प्रिज्म बना सकते हैं। ".
परिभाषा 4 ... प्रिज्म की ऊंचाई उसके आधारों (HH ") के विमानों के बीच की दूरी है।
परिभाषा 5
... एक प्रिज्म को सीधा कहा जाता है यदि उसके आधार प्रिज्मीय सतह के लंबवत खंड हों। इस मामले में, निश्चित रूप से, प्रिज्म की ऊंचाई है पार्श्व पसली; साइड फेस विल आयतों.
प्रिज्म को उसके आधार के रूप में कार्य करने वाले बहुभुज की भुजाओं की संख्या के बराबर भुजाओं की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है। इस प्रकार, प्रिज्म त्रिकोणीय, चतुर्भुज, पंचकोणीय आदि हो सकते हैं।
प्रमेय 2
... प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल लंबवत खंड की परिधि द्वारा पार्श्व पसली के उत्पाद के बराबर है।
मान लीजिए ABCDEA "B" C "D" E "- यह प्रिज्म और abcde - इसका लंबवत खंड है, ताकि खंड ab, bc, .. इसके पार्श्व किनारों के लंबवत हों। चेहरा ABA" B "एक समांतर चतुर्भुज है; इसका क्षेत्रफल है आधार AA के गुणनफल के बराबर "ऊंचाई जो ab के साथ मेल खाती है; बीसीबी "सी" चेहरे का क्षेत्र आधार बीबी के उत्पाद के बराबर है "ऊंचाई बीसी, आदि से। इसलिए, पार्श्व सतह (यानी, पार्श्व चेहरे के क्षेत्रों का योग) उत्पाद के बराबर है पार्श्व पसली की, दूसरे शब्दों में, खंडों की कुल लंबाई AA", BB ", .., ab + bc + cd + de + ea की मात्रा में।
परिभाषा। चश्मेएक पॉलीहेड्रॉन है, जिसके सभी कोने दो समानांतर विमानों में स्थित होते हैं, और एक ही दो विमानों में दो प्रिज्म चेहरे होते हैं, जो समान रूप से समानांतर पक्षों के साथ समान बहुभुज होते हैं, और सभी किनारे जो इन विमानों में नहीं होते हैं, समानांतर होते हैं।
दो समान फलक कहलाते हैं प्रिज्म बेस(एबीसीडीई, ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1).
प्रिज्म के अन्य सभी फलक कहलाते हैं साइड फेस(एए 1 बी 1 बी, बीबी 1 सी 1 सी, सीसी 1 डी 1 डी, डीडी 1 ई 1 ई, ईई 1 ए 1 ए)।
सभी साइड फेस फॉर्म प्रिज्म की पार्श्व सतह .
प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं .
वे पसलियाँ जो आधारों में नहीं होती हैं, प्रिज्म की पार्श्व पसली कहलाती हैं ( एए 1, बी बी 1, सीसी 1, डीडी 1, ईई 1).
विकर्ण प्रिज्म एक खंड कहलाता है जिसके सिरे एक प्रिज्म के दो शीर्ष होते हैं जो इसके किसी एक फलक पर नहीं होते हैं (AD 1)।
प्रिज्म के आधारों को एक ही समय में दोनों आधारों से लम्बवत जोड़ने वाले खंड की लंबाई कहलाती है प्रिज्म की ऊंचाई .
पद:एबीसीडीई ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1... (पहले, ट्रैवर्सल के क्रम में, एक आधार के कोने इंगित किए जाते हैं, और फिर, उसी क्रम में, दूसरे के कोने; प्रत्येक पक्ष किनारे के सिरों को एक ही अक्षरों से दर्शाया जाता है, केवल एक में स्थित शिखर आधार को बिना सूचकांक के अक्षरों से दर्शाया जाता है, और दूसरे में - एक सूचकांक के साथ)
प्रिज्म का नाम उसके आधार पर स्थित आकृति में कोणों की संख्या के साथ जुड़ा हुआ है, उदाहरण के लिए, चित्र 1 में, एक पंचभुज आधार पर स्थित है, इसलिए प्रिज्म को कहा जाता है पंचकोणीय प्रिज्म... लेकिन जबसे ऐसे प्रिज्म के 7 फलक होते हैं, तो यह हेप्टाहेड्रोन(2 फलक - प्रिज्म के आधार, 5 फलक - समांतर चतुर्भुज, - इसके पार्श्व फलक)
सीधे प्रिज्मों के बीच, एक विशेष प्रकार बाहर खड़ा होता है: नियमित प्रिज्म।
सीधा प्रिज्म कहलाता है सही,यदि इसके आधार नियमित बहुभुज हैं।
समानांतर खात
समानांतर खातएक चतुर्भुज प्रिज्म है, जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज (तिरछा समानांतर चतुर्भुज) है। सीधे समानांतर चतुर्भुज- एक समानांतर चतुर्भुज जिसके किनारे किनारे आधार तलों के लंबवत होते हैं।आयताकार समानांतर चतुर्भुज- एक सीधा समानांतर चतुर्भुज, जिसका आधार एक आयत है।
गुण और प्रमेय:
एक समांतर चतुर्भुज के कुछ गुण समांतर चतुर्भुज के ज्ञात गुणों के समान होते हैं। समान आयामों वाला एक आयताकार समांतर चतुर्भुज कहलाता है घनक्षेत्र
एक घन के सभी फलक समान वर्ग होते हैं। विकर्ण का वर्ग इसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है। 
,
जहाँ d वर्ग का विकर्ण है;
ए - वर्ग के किनारे।
प्रिज्म का विचार किसके द्वारा दिया गया है:
- विभिन्न वास्तुशिल्प संरचनाएं;
- बच्चों के खिलौने;
- पैकिंग बक्से;
- डिजाइन आइटम, आदि।
प्रिज्म की पूर्ण और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल
प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलइसके सभी चेहरों के क्षेत्रों का योग है पार्श्व सतह क्षेत्रइसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है प्रिज्म के आधार बहुभुज के बराबर हैं, तो उनके क्षेत्रफल बराबर हैं। इसीलिएएस पूर्ण = एस पक्ष + 2एस मुख्य,
कहां एस पूर्ण- कुल सतह क्षेत्रफल, एस साइड- पार्श्व सतह का क्षेत्रफल, एस मुख्य- आधार क्षेत्र
एक सीधे प्रिज्म का पार्श्व सतह क्षेत्र आधार परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है.
एस साइड= पी मुख्य * एच,
कहां एस साइड- एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल,
पी मुख्य - एक सीधे प्रिज्म के आधार की परिधि,
h सीधे प्रिज्म की ऊंचाई है, जो पार्श्व किनारे के बराबर है।
प्रिज्म वॉल्यूम
प्रिज्म का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।
