त्रिज्या द्वारा एक वृत्ताकार चाप की लंबाई की गणना। वृत्त ज्यामिति

वृत्त, उसके हिस्से, उनके आकार और रिश्ते ऐसी चीजें हैं जिनका एक जौहरी को लगातार सामना करना पड़ता है। अंगूठियां, कंगन, जातियां, ट्यूब, गेंद, सर्पिल - बहुत सारी गोल चीजें बनानी पड़ती हैं। आप यह सब कैसे गणना कर सकते हैं, खासकर यदि आप इतने भाग्यशाली थे कि आपको स्कूल में ज्यामिति कक्षाएं छोड़ने का मौका मिला?

आइए सबसे पहले देखें कि वृत्त के कौन-कौन से भाग होते हैं और उन्हें क्या कहा जाता है।

• वृत्त एक रेखा है जो एक वृत्त को घेरती है।
• चाप एक वृत्त का एक भाग है।
• त्रिज्या वृत्त के केंद्र को वृत्त के किसी भी बिंदु से जोड़ने वाला एक खंड है।
• जीवा एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है।
• खंड एक वृत्त का एक भाग है जो एक जीवा और एक चाप से घिरा होता है।
• एक त्रिज्यखंड एक वृत्त का वह भाग है जो दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है।

वे मात्राएँ जिनमें हम रुचि रखते हैं और उनके पदनाम:

अब आइए देखें कि वृत्त के भागों से संबंधित किन समस्याओं का समाधान किया जाना है।

• अंगूठी (कंगन) के किसी भी भाग के विकास की लंबाई ज्ञात कीजिए। व्यास और जीवा (विकल्प: व्यास और केंद्रीय कोण) को देखते हुए, चाप की लंबाई ज्ञात करें।
• एक समतल पर एक चित्र है, आपको उसे चाप में मोड़ने के बाद प्रक्षेपण में उसका आकार ज्ञात करना होगा। चाप की लंबाई और व्यास को देखते हुए, जीवा की लंबाई ज्ञात करें।
• एक समतल वर्कपीस को चाप में मोड़ने से प्राप्त भाग की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। स्रोत डेटा विकल्प: चाप की लंबाई और व्यास, चाप की लंबाई और जीवा; खंड की ऊंचाई ज्ञात करें.

जीवन आपको अन्य उदाहरण देगा, लेकिन मैंने इन्हें केवल यह दिखाने के लिए दिया कि अन्य सभी को खोजने के लिए कुछ दो पैरामीटर निर्धारित करने की आवश्यकता है। हम यही करेंगे. अर्थात्, हम खंड के पांच पैरामीटर लेंगे: D, L,

पाठक पर अनावश्यक बोझ न डालने के लिए, मैं विस्तृत समाधान नहीं दूंगा, बल्कि केवल सूत्रों के रूप में परिणाम प्रस्तुत करूंगा (उन मामलों में जहां कोई औपचारिक समाधान नहीं है, मैं रास्ते में चर्चा करूंगा)।

और एक और नोट: माप की इकाइयों के बारे में। केंद्रीय कोण को छोड़कर सभी मात्राएँ समान अमूर्त इकाइयों में मापी जाती हैं। इसका मतलब यह है कि यदि, उदाहरण के लिए, आप मिलीमीटर में एक मान निर्दिष्ट करते हैं, तो दूसरे को सेंटीमीटर में निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है, और परिणामी मान समान मिलीमीटर (और वर्ग मिलीमीटर में क्षेत्र) में मापा जाएगा। इंच, फ़ुट और समुद्री मील के लिए भी यही कहा जा सकता है।

और सभी मामलों में केवल केंद्रीय कोण को डिग्री में मापा जाता है और कुछ नहीं। क्योंकि, एक सामान्य नियम के अनुसार, जो लोग किसी गोल चीज़ को डिज़ाइन करते हैं, वे कोणों को रेडियन में नहीं मापते हैं। वाक्यांश "कोण पाई बाय चार" कई लोगों को भ्रमित करता है, जबकि "कोण पैंतालीस डिग्री" हर किसी के लिए समझ में आता है, क्योंकि यह सामान्य से केवल पांच डिग्री अधिक है। हालाँकि, सभी सूत्रों में एक और कोण होगा - α - एक मध्यवर्ती मान के रूप में मौजूद होगा। अर्थ की दृष्टि से, यह केंद्रीय कोण का आधा हिस्सा है, जिसे रेडियन में मापा जाता है, लेकिन आप सुरक्षित रूप से इस अर्थ में नहीं जा सकते।

1. व्यास D और चाप की लंबाई L दी गई है

; तार की लंबाई ;
खंड की ऊंचाई ; केंद्रीय कोण .

2. व्यास D और जीवा की लंबाई X दी गई है

; वक्राकार लंबाई ;
खंड की ऊंचाई ; केंद्रीय कोण .

चूँकि जीवा वृत्त को दो खंडों में विभाजित करती है, इस समस्या के एक नहीं, बल्कि दो समाधान हैं। दूसरा प्राप्त करने के लिए, आपको उपरोक्त सूत्रों में कोण α को कोण से बदलना होगा।

3. व्यास D और केंद्रीय कोण φ दिया गया है

; वक्राकार लंबाई ;
तार की लंबाई ; खंड की ऊंचाई .

4. खंड एच का व्यास डी और ऊंचाई दी गई है

; वक्राकार लंबाई ;
तार की लंबाई ; केंद्रीय कोण .

6. चाप की लंबाई L और केंद्रीय कोण φ दिया गया है

; व्यास ;
तार की लंबाई ; खंड की ऊंचाई .

8. जीवा की लंबाई X और केंद्रीय कोण φ दिया गया है

; वक्राकार लंबाई ;
व्यास ; खंड की ऊंचाई .

9. जीवा X की लंबाई और खंड H की ऊंचाई दी गई है

; वक्राकार लंबाई ;
व्यास ; केंद्रीय कोण .

10. केंद्रीय कोण φ और खंड H की ऊंचाई दी गई है

; व्यास ;
वक्राकार लंबाई ; तार की लंबाई .

चौकस पाठक यह देखे बिना नहीं रह सका कि मुझसे दो विकल्प छूट गए:

5. चाप की लंबाई L और जीवा की लंबाई X दी गई है

7. चाप L की लंबाई और खंड H की ऊंचाई दी गई है

ये केवल वे दो अप्रिय मामले हैं जब समस्या का कोई समाधान नहीं होता जिसे सूत्र के रूप में लिखा जा सके। और यह कार्य इतना दुर्लभ नहीं है. उदाहरण के लिए, आपके पास लंबाई L का एक सपाट टुकड़ा है, और आप इसे मोड़ना चाहते हैं ताकि इसकी लंबाई X हो जाए (या इसकी ऊंचाई H हो जाए)। मुझे मैंड्रेल (क्रॉसबार) किस व्यास का लेना चाहिए?

यह समस्या समीकरणों को हल करने के लिए आती है:
; - विकल्प 5 में
; - विकल्प 7 में
और यद्यपि उन्हें विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है, उन्हें प्रोग्रामेटिक रूप से आसानी से हल किया जा सकता है। और मुझे यह भी पता है कि ऐसा प्रोग्राम कहां मिलेगा: इसी साइट पर, नाम के तहत। वह वह सब कुछ करती है जो मैं आपको यहाँ माइक्रोसेकंड में विस्तार से बता रहा हूँ।

चित्र को पूरा करने के लिए, आइए अपनी गणना के परिणामों में परिधि और तीन क्षेत्र मान - वृत्त, सेक्टर और खंड जोड़ें। (सभी गोल और अर्धवृत्ताकार भागों के द्रव्यमान की गणना करते समय क्षेत्र हमारी बहुत मदद करेंगे, लेकिन इस पर एक अलग लेख में अधिक जानकारी दी गई है।) इन सभी मात्राओं की गणना समान सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

परिधि ;
एक वृत्त का क्षेत्रफल ;
सेक्टर क्षेत्र ;
खंड क्षेत्र ;

और अंत में, मैं आपको एक बार फिर से एक बिल्कुल मुफ्त कार्यक्रम के अस्तित्व के बारे में याद दिलाना चाहता हूं जो उपरोक्त सभी गणना करता है, आपको यह याद रखने की आवश्यकता से मुक्त करता है कि आर्कटेंजेंट क्या है और इसे कहां देखना है।

परिधिएक बंद, समतल वक्र कहा जाता है, जिसके सभी बिंदु, एक ही तल में स्थित, केंद्र से समान दूरी पर स्थित होते हैं।

डॉट के बारे में वृत्त का केंद्र है, आर वृत्त की त्रिज्या है - वृत्त के किसी भी बिंदु से केंद्र तक की दूरी। परिभाषा के अनुसार, किसी बंद की सभी त्रिज्याएँ

चावल। 1

वक्रों की लंबाई समान होती है।

वृत्त पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी को जीवा कहा जाता है। किसी वृत्त का वह खंड जो उसके केंद्र से होकर गुजरता है और उसके दो बिंदुओं को जोड़ता है, व्यास कहलाता है। व्यास का मध्यबिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त पर स्थित बिंदु एक बंद वक्र को दो भागों में विभाजित करते हैं, प्रत्येक भाग को वृत्ताकार चाप कहा जाता है। यदि चाप के सिरे व्यास के हों तो ऐसे वृत्त को अर्धवृत्त कहा जाता है, जिसकी लंबाई आमतौर पर निरूपित की जाती है π . समान सिरे वाले दो वृत्तों की डिग्री माप 360 डिग्री है।

संकेंद्रित वृत्त वे वृत्त होते हैं जिनका केंद्र एक उभयनिष्ठ होता है। ऑर्थोगोनल वृत्त वे वृत्त होते हैं जो 90 डिग्री के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।

वृत्त से घिरे हुए तल को वृत्त कहते हैं। वृत्त का एक भाग, जो दो त्रिज्याओं और एक चाप द्वारा सीमित है, एक वृत्ताकार क्षेत्र है। एक सेक्टर आर्क एक आर्क है जो एक सेक्टर को बांधता है।

चावल। 2

एक वृत्त और एक सीधी रेखा की सापेक्ष स्थिति (चित्र 2)।

एक वृत्त और एक सीधी रेखा में दो बिंदु समान होते हैं यदि सीधी रेखा से वृत्त के केंद्र तक की दूरी वृत्त की त्रिज्या से कम हो। इस स्थिति में, वृत्त के संबंध में सीधी रेखा को छेदक रेखा कहा जाता है।

एक वृत्त और एक सीधी रेखा में एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है यदि सीधी रेखा से वृत्त के केंद्र तक की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर हो। इस स्थिति में, वृत्त के संबंध में रेखा को वृत्त की स्पर्शरेखा कहा जाता है। उनके उभयनिष्ठ बिंदु को वृत्त और रेखा का स्पर्शरेखा बिंदु कहा जाता है।

मूल वृत्त सूत्र:

• सी = 2πR , कहाँ सी -परिधि
• आर = सी/(2π) = डी/2 , कहाँ С/(2π) - वृत्त के चाप की लंबाई
• डी = सी/π = 2आर , कहाँ डी - व्यास
• एस = πR2 , कहाँ एस - एक वृत्त का क्षेत्रफल
• एस = ((πR2)/360)α , कहाँ एस — वृत्ताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल

परिधि और वृत्त को उनका नाम प्राचीन ग्रीस में मिला। पहले से ही प्राचीन काल में, लोग गोल शरीरों में रुचि रखते थे, इसलिए वृत्त पूर्णता का ताज बन गया। यह तथ्य कि एक गोल शरीर अपने आप चल सकता है, पहिये के आविष्कार के लिए प्रेरणा थी। ऐसा प्रतीत होता है, इस आविष्कार में क्या खास है? लेकिन सोचिए अगर एक पल में हमारी जिंदगी से पहिए गायब हो जाएं। इस आविष्कार ने बाद में वृत्त की गणितीय अवधारणा को जन्म दिया।

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आपको मंडली से जुड़े सभी नाम कितनी अच्छी तरह याद हैं? बस मामले में, आइए हम आपको याद दिलाएं - तस्वीरों को देखें - अपने ज्ञान को ताज़ा करें।

पहले तो - वृत्त का केंद्र एक ऐसा बिंदु है जहां से वृत्त के सभी बिंदुओं की दूरी समान होती है।

दूसरा - RADIUS - केंद्र और वृत्त पर एक बिंदु को जोड़ने वाला एक रेखा खंड।

बहुत सारी त्रिज्याएँ हैं (जितनी वृत्त पर बिंदु हैं), लेकिन सभी त्रिज्याओं की लंबाई समान होती है।

कभी-कभी संक्षेप में RADIUSवे इसे बिल्कुल सही कहते हैं खंड की लंबाई"केंद्र वृत्त पर एक बिंदु है," न कि स्वयं खंड।

और यहीं होता है यदि आप एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ते हैं? एक खंड भी?

तो, इस खंड को कहा जाता है "राग".

त्रिज्या के मामले में, व्यास अक्सर एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाले और केंद्र से गुजरने वाले खंड की लंबाई होती है। वैसे, व्यास और त्रिज्या कैसे संबंधित हैं? ध्यान से देखें। बिल्कुल, त्रिज्या आधे व्यास के बराबर है।

रागों के अतिरिक्त भी हैं सेकेंट्स

सबसे सरल बात याद है?

केंद्रीय कोण दो त्रिज्याओं के बीच का कोण है।

और अब - अंकित कोण

अंकित कोण - दो जीवाओं के बीच का कोण जो एक वृत्त पर एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है.

इस मामले में, वे कहते हैं कि अंकित कोण एक चाप (या एक जीवा पर) पर टिका होता है।

तस्वीर पर देखो:

चापों और कोणों की माप.

परिधि. चाप और कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है। सबसे पहले, डिग्री के बारे में. कोणों के लिए कोई समस्या नहीं है - आपको यह सीखना होगा कि चाप को डिग्री में कैसे मापें।

डिग्री माप (चाप आकार) संबंधित केंद्रीय कोण का मान (डिग्री में) है

यहाँ "उचित" शब्द का क्या अर्थ है? आइए ध्यान से देखें:

क्या आप दो चाप और दो केंद्रीय कोण देखते हैं? खैर, एक बड़ा चाप एक बड़े कोण से मेल खाता है (और यह ठीक है कि यह बड़ा है), और एक छोटा चाप एक छोटे कोण से मेल खाता है।

तो, हम सहमत हुए: चाप में संबंधित केंद्रीय कोण के समान डिग्री होती है।

और अब डरावनी चीज़ के बारे में - रेडियंस के बारे में!

यह "रेडियन" किस प्रकार का जानवर है?

इसकी कल्पना करें: रेडियन कोणों को मापने का एक तरीका है... त्रिज्या में!

रेडियन कोण एक केंद्रीय कोण होता है जिसकी चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।

फिर सवाल उठता है - एक सीधे कोण में कितने रेडियन होते हैं?

दूसरे शब्दों में: आधे वृत्त में कितनी त्रिज्याएँ "फिट" होती हैं? या दूसरे तरीके से: आधे वृत्त की लंबाई त्रिज्या से कितनी गुना अधिक है?

प्राचीन ग्रीस में वैज्ञानिकों ने यह प्रश्न पूछा था।

और इसलिए, एक लंबी खोज के बाद, उन्होंने पाया कि परिधि और त्रिज्या का अनुपात "मानव" संख्याओं जैसे, आदि में व्यक्त नहीं होना चाहता।

और इस भाव को जड़ों के माध्यम से व्यक्त करना भी संभव नहीं है। यानी, यह कहना असंभव है कि आधा वृत्त त्रिज्या से कई गुना बड़ा है! क्या आप कल्पना कर सकते हैं कि लोगों के लिए इसे पहली बार खोजना कितना आश्चर्यजनक था?! आधे वृत्त की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के लिए, "सामान्य" संख्याएँ पर्याप्त नहीं थीं। मुझे एक पत्र दर्ज करना था.

तो, - यह अर्धवृत्त की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात को व्यक्त करने वाली एक संख्या है।

अब हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: एक सीधे कोण में कितने रेडियन होते हैं? इसमें रेडियन होते हैं। ठीक इसलिए क्योंकि आधा वृत्त त्रिज्या से कई गुना बड़ा है।

सदियों से प्राचीन (और इतने प्राचीन नहीं) लोग (!) इस रहस्यमय संख्या की अधिक सटीक गणना करने की कोशिश की गई, ताकि इसे "सामान्य" संख्याओं के माध्यम से बेहतर ढंग से व्यक्त किया जा सके (कम से कम लगभग)। और अब हम अविश्वसनीय रूप से आलसी हैं - एक व्यस्त दिन के बाद दो संकेत हमारे लिए पर्याप्त हैं, हम इसके आदी हैं

इसके बारे में सोचें, उदाहरण के लिए, इसका मतलब है कि एक त्रिज्या वाले वृत्त की लंबाई लगभग बराबर है, लेकिन इस सटीक लंबाई को "मानव" संख्या के साथ लिखना असंभव है - आपको एक पत्र की आवश्यकता है। और तब यह परिधि बराबर हो जायेगी. और निस्संदेह, त्रिज्या की परिधि बराबर है।

आइए रेडियंस पर वापस जाएं।

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि एक सीधे कोण में रेडियन होते हैं।

हमारे पास क्या है:

इसका मतलब है कि मैं खुश हूं, यानी मैं खुश हूं। उसी प्रकार, सबसे लोकप्रिय कोणों वाली एक प्लेट प्राप्त की जाती है।

अंकित और केंद्रीय कोणों के मानों के बीच संबंध।

एक आश्चर्यजनक तथ्य है:

अंकित कोण संगत केंद्रीय कोण का आधा आकार है।

देखिए तस्वीर में यह बयान कैसा दिखता है। एक "संगत" केंद्रीय कोण वह होता है जिसके सिरे अंकित कोण के सिरों से मेल खाते हैं, और शीर्ष केंद्र में होता है। और साथ ही, "संबंधित" केंद्रीय कोण को अंकित कोण के समान तार () पर "देखना" चाहिए।

ऐसा क्यों है? आइए पहले एक साधारण मामले को देखें। किसी एक तार को केंद्र से गुजरने दें। ऐसा कभी-कभी होता है, है ना?

यहाँ क्या होता है? चलो गौर करते हैं। यह समद्विबाहु है - आख़िरकार, और - त्रिज्या। तो, (उन्हें लेबल किया गया)।

अब आइए देखें. यह इसके लिए बाहरी कोना है! हम याद करते हैं कि एक बाहरी कोण दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है जो उससे सटे नहीं होते हैं, और लिखते हैं:

वह है! अप्रत्याशित प्रभाव. लेकिन उत्कीर्णन के लिए एक केन्द्रीय कोण भी होता है।

इसका मतलब यह है कि इस मामले के लिए उन्होंने साबित कर दिया कि केंद्रीय कोण अंकित कोण का दोगुना है। लेकिन यह एक दर्दनाक विशेष मामला है: क्या यह सच नहीं है कि तार हमेशा केंद्र से सीधे नहीं जाता है? लेकिन यह ठीक है, अब यह विशेष मामला हमारी बहुत मदद करेगा। देखो: दूसरा मामला: केंद्र को अंदर रहने दो।

आइए ऐसा करें: व्यास बनाएं। और फिर... हम दो तस्वीरें देखते हैं जिनका पहले मामले में पहले ही विश्लेषण किया जा चुका था। इसलिए वह हमारे पास पहले से ही है

इसका मतलब है (चित्र में, ए)

खैर, यह अंतिम मामला छोड़ देता है: केंद्र कोने के बाहर है।

हम वही काम करते हैं: बिंदु के माध्यम से व्यास खींचें। सब कुछ वैसा ही है, लेकिन योग के बजाय अंतर है।

बस इतना ही!

आइए अब इस कथन से दो मुख्य और बहुत महत्वपूर्ण परिणाम निकालें कि अंकित कोण केंद्रीय कोण का आधा है।

परिणाम 1

एक चाप पर आधारित सभी अंकित कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

हम वर्णन करते हैं:

एक ही चाप पर आधारित अनगिनत अंकित कोण हैं (हमारे पास यह चाप है), वे पूरी तरह से अलग दिख सकते हैं, लेकिन उन सभी का केंद्रीय कोण एक ही है (), जिसका अर्थ है कि ये सभी अंकित कोण आपस में बराबर हैं।

परिणाम 2

व्यास द्वारा अंतरित कोण समकोण होता है।

देखो: कौन सा कोण केन्द्र में है?

निश्चित रूप से, । लेकिन वह बराबर है! खैर, इसलिए (साथ ही कई और अंकित कोण भी टिके हुए हैं) और बराबर है।

दो जीवाओं और छेदक रेखाओं के बीच का कोण

लेकिन क्या होगा यदि जिस कोण में हम रुचि रखते हैं वह अंकित नहीं है और केंद्रीय नहीं है, लेकिन, उदाहरण के लिए, इस तरह:

या इस तरह?

क्या इसे किसी तरह कुछ केंद्रीय कोणों से व्यक्त करना संभव है? यह पता चला कि यह संभव है. देखिए: हमें दिलचस्पी है.

ए) (बाहरी कोने के रूप में)। लेकिन - खुदा हुआ, चाप पर टिका हुआ -। - खुदा हुआ, चाप पर टिका हुआ - .

सुंदरता के लिए वे कहते हैं:

जीवाओं के बीच का कोण इस कोण में घिरे चापों के कोणीय मानों के आधे योग के बराबर होता है।

वे इसे संक्षिप्तता के लिए लिखते हैं, लेकिन निश्चित रूप से, इस सूत्र का उपयोग करते समय आपको केंद्रीय कोणों को ध्यान में रखना होगा

बी) और अब - "बाहर"! हो कैसे? हाँ, लगभग वैसा ही! केवल अब (फिर से हम बाहरी कोण की संपत्ति को लागू करते हैं)। वह तो अभी है.

और उसका अर्थ यह निकलता है... आइए नोट्स और शब्दों में सुंदरता और संक्षिप्तता लाएं:

छेदक रेखाओं के बीच का कोण इस कोण में घिरे चापों के कोणीय मानों के आधे अंतर के बराबर है।

खैर, अब आप वृत्त से संबंधित कोणों के बारे में सभी बुनियादी ज्ञान से लैस हैं। आगे बढ़ें, चुनौतियों का सामना करें!

वृत्त और अंदरुनी कोण. औसत स्तर

यहां तक ​​कि पांच साल का बच्चा भी जानता है कि वृत्त क्या है, है ना? हमेशा की तरह, गणितज्ञों के पास इस विषय पर एक गूढ़ परिभाषा है, लेकिन हम इसे नहीं देंगे (देखें), बल्कि आइए याद रखें कि एक वृत्त से जुड़े बिंदुओं, रेखाओं और कोणों को क्या कहा जाता है।

महत्वपूर्ण शर्तें

पहले तो:

दूसरा:

एक और स्वीकृत अभिव्यक्ति है: "राग चाप को सिकोड़ती है।" यहाँ चित्र में, उदाहरण के लिए, जीवा चाप को अंतरित करती है। और यदि कोई राग अचानक केंद्र से होकर गुजरता है, तो उसका एक विशेष नाम होता है: "व्यास"।

वैसे, व्यास और त्रिज्या कैसे संबंधित हैं? ध्यान से देखें। बिल्कुल,

और अब - कोनों के नाम.

प्राकृतिक, है ना? कोण की भुजाएँ केंद्र से विस्तारित होती हैं - जिसका अर्थ है कि कोण केंद्रीय है।

यहीं पर कभी-कभी कठिनाइयां उत्पन्न होती हैं। ध्यान देना - वृत्त के अंदर कोई भी कोण अंकित नहीं है,लेकिन केवल वही जिसका शीर्ष वृत्त पर ही "बैठता" है।

आइए तस्वीरों में देखें अंतर:

दूसरे तरीके से वे कहते हैं:

यहाँ एक पेचीदा बिंदु है. "संगत" या "स्वयं" केंद्रीय कोण क्या है? वृत्त के केंद्र पर शीर्ष और चाप के सिरों पर सिरों के साथ बस एक कोण? निश्चित रूप से उस तरह से नहीं. ड्राइंग को देखो.

हालाँकि, उनमें से एक कोने जैसा भी नहीं दिखता - यह बड़ा है। लेकिन एक त्रिभुज में अधिक कोण नहीं हो सकते, लेकिन एक वृत्त में अधिक कोण हो सकते हैं! तो: छोटा चाप AB छोटे कोण (नारंगी) से मेल खाता है, और बड़ा चाप बड़े कोण से मेल खाता है। बिल्कुल ऐसे ही, है ना?

उत्कीर्ण और केंद्रीय कोणों के परिमाण के बीच संबंध

यह अत्यंत महत्वपूर्ण कथन याद रखें:

पाठ्यपुस्तकों में वे इसी तथ्य को इस तरह लिखना पसंद करते हैं:

क्या यह सच नहीं है कि केंद्रीय कोण के साथ सूत्रीकरण सरल है?

लेकिन फिर भी, आइए दोनों फॉर्मूलेशन के बीच एक पत्राचार ढूंढें, और साथ ही चित्रों में "संबंधित" केंद्रीय कोण और चाप जिस पर अंकित कोण "आराम करता है" ढूंढना सीखें।

देखो: यहाँ एक वृत्त और एक अंकित कोण है:

इसका "संगत" केंद्रीय कोण कहाँ है?

आइए फिर से देखें:

क्या है नियम?

लेकिन! इस मामले में, यह महत्वपूर्ण है कि अंकित और केंद्रीय कोण एक तरफ से चाप पर "देखें"। उदाहरण के लिए:

अजीब बात है, नीला! क्योंकि चाप लंबा है, वृत्त के आधे से भी अधिक लंबा! तो कभी भ्रमित मत होइए!

अंकित कोण के "आधेपन" से क्या परिणाम निकाला जा सकता है?

लेकिन, उदाहरण के लिए:

व्यास द्वारा अंतरित कोण

क्या आपने पहले ही देखा है कि गणितज्ञ एक ही चीज़ के बारे में अलग-अलग शब्दों में बात करना पसंद करते हैं? उन्हें इसकी आवश्यकता क्यों है? आप देखिए, गणित की भाषा औपचारिक होते हुए भी जीवित है, और इसलिए, सामान्य भाषा की तरह, हर बार आप इसे अधिक सुविधाजनक तरीके से कहना चाहते हैं। खैर, हम पहले ही देख चुके हैं कि "एक कोण एक चाप पर टिका हुआ है" का क्या मतलब है। और कल्पना कीजिए, उसी चित्र को "एक कोण एक तार पर टिका हुआ" कहा जाता है। किस पर? हाँ, निःसंदेह, उस व्यक्ति के लिए जो इस चाप को कसता है!

चाप की तुलना में जीवा पर भरोसा करना कब अधिक सुविधाजनक होता है?

खैर, विशेष रूप से, जब यह राग एक व्यास है।

ऐसी स्थिति के लिए आश्चर्यजनक रूप से सरल, सुंदर और उपयोगी कथन है!

देखो: यहाँ वृत्त, व्यास और उस पर स्थित कोण है।

वृत्त और अंदरुनी कोण. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

1. बुनियादी अवधारणाएँ।

3. चापों और कोणों की माप।

रेडियन कोण एक केंद्रीय कोण होता है जिसकी चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।

यह एक संख्या है जो अर्धवृत्त की लंबाई और उसकी त्रिज्या के अनुपात को व्यक्त करती है।

त्रिज्या की परिधि बराबर होती है.

4. उत्कीर्ण और केंद्रीय कोणों के मानों के बीच संबंध।

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज़ में महारत हासिल कर पाते हैं। और यदि आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप इस 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात.

आप इस विषय पर सिद्धांत को समझ चुके हैं। और, मैं दोहराता हूं, यह... यह बिल्कुल सुपर है! आप पहले से ही अपने अधिकांश साथियों से बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता...

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लेकिन ये मुख्य बात नहीं है.

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निष्कर्ष के तौर पर...

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समस्या 10 (ओजीई - 2015)

केंद्र O वाले वृत्त पर, बिंदु A और B इस प्रकार अंकित हैं कि ∠ AOB = 18° है। छोटे चाप AB की लंबाई 5 है। वृत्त के बड़े चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान

∠ AOB = 18°. संपूर्ण वृत्त 360° का है। इसलिए ∠ AOB एक वृत्त का 18/360 = 1/20 है।

इसका मतलब यह है कि छोटा चाप AB पूरे वृत्त का 1/20 है, इसलिए बड़ा चाप बाकी है, यानी। 19/20 परिधि.

एक वृत्त का 1/20 भाग चाप की लंबाई 5 से मेल खाता है। फिर बड़े चाप की लंबाई 5 * 19 = 95 है।

समस्या 10 (ओजीई - 2015)

केंद्र O वाले वृत्त पर, बिंदु A और B इस प्रकार अंकित हैं कि ∠ AOB = 40° है। छोटे चाप AB की लंबाई 50 है। वृत्त के बड़े चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान

∠ AOB = 40°. संपूर्ण वृत्त 360° का है। इसलिए ∠ AOB एक वृत्त का 40/360 = 1/9 है।

इसका मतलब यह है कि छोटा चाप AB पूरे वृत्त का 1/9 हिस्सा है, इसलिए बड़ा चाप बाकी हिस्सा है, यानी। 8/9 वृत्त.

एक वृत्त का 1/9 भाग चाप की लंबाई 50 से मेल खाता है। फिर बड़े चाप की लंबाई 50*8 = 400 है।

उत्तर: 400.

टास्क 10 (जीआईए - 2014)

एक वृत्त की एक जीवा की लंबाई 72 है, और वृत्त के केंद्र से इस जीवा की दूरी 27 है। वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए।

समाधान

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, समकोण त्रिभुज AOB से हम प्राप्त करते हैं:

एओ 2 = ओबी 2 +एबी 2,

एओ 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

तब व्यास 2R = 2*45 = 90 है।

टास्क 10 (जीआईए - 2014)

बिंदु O वृत्त का केंद्र है जिस पर बिंदु A, B और C स्थित हैं। यह ज्ञात है कि ∠ABC = 134° और ∠OAB = 75° है। कोण BCO ज्ञात कीजिए।अपना उत्तर डिग्री में दें।