स्वर्ण अनुपात की खोज किसने की थी? सुनहरा अनुपात कैसे काम करता है
गोल्डन रेशियो एक सरल सिद्धांत है जो डिजाइन को आकर्षक बनाने में मदद कर सकता है। इस लेख में, हम विस्तार से बताएंगे कि इसका उपयोग कैसे और क्यों करना है।
प्राकृतिक गणितीय अनुपात, जिसे गोल्डन रेशियो, या गोल्डन मीन कहा जाता है, फाइबोनैचि अनुक्रम पर आधारित है (जिसके बारे में आपने स्कूल में सबसे अधिक सुना होगा, या डैन ब्राउन की पुस्तक द दा विंची कोड में पढ़ा होगा), और इसका एक पहलू अनुपात 1 है: 1.61.
ऐसा अनुपात अक्सर हमारे जीवन (गोले, अनानास, फूल, आदि) में पाया जाता है और इसलिए एक व्यक्ति इसे प्राकृतिक, आंख को भाता है।
→ सुनहरा अनुपात फाइबोनैचि अनुक्रम में दो संख्याओं के बीच का संबंध है 
→ इस क्रम को पैमाने पर प्लॉट करने से सर्पिल उत्पन्न होते हैं जिन्हें प्रकृति में देखा जा सकता है।
यह माना जाता है कि स्वर्ण अनुपात का उपयोग मानव जाति द्वारा 4 हजार से अधिक वर्षों से कला और डिजाइन में किया गया है, और शायद इससे भी अधिक, यदि आप उन वैज्ञानिकों पर विश्वास करते हैं जो दावा करते हैं कि प्राचीन मिस्रियों ने पिरामिड के निर्माण में इस सिद्धांत का उपयोग किया था।
प्रसिद्ध उदाहरण
जैसा कि हमने कहा, स्वर्ण अनुपात कला और वास्तुकला के पूरे इतिहास में देखा जा सकता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं जो केवल इस सिद्धांत का उपयोग करने की वैधता की पुष्टि करते हैं:
वास्तुकला: पार्थेनन
प्राचीन ग्रीक वास्तुकला में, स्वर्ण अनुपात का उपयोग भवन की ऊंचाई और चौड़ाई, पोर्टिको के आकार और यहां तक कि स्तंभों के बीच की दूरी के बीच आदर्श अनुपात की गणना के लिए किया जाता था। बाद में, यह सिद्धांत नवशास्त्रवाद की वास्तुकला द्वारा विरासत में मिला।
कला: पिछले खाना
कलाकारों के लिए, रचना नींव है। लियोनार्डो दा विंची, कई अन्य कलाकारों की तरह, गोल्डन रेशियो के सिद्धांत द्वारा निर्देशित थे: लास्ट सपर में, उदाहरण के लिए, शिष्यों के आंकड़े निचले दो तिहाई (स्वर्ण अनुपात के दो भागों में से बड़े) में स्थित हैं। ), और यीशु को दो आयतों के बीच सख्ती से केंद्र में रखा गया है।
वेब डिज़ाइन: 2010 में ट्विटर को फिर से डिज़ाइन किया गया
ट्विटर के क्रिएटिव डायरेक्टर डौग बोमन ने अपने फ़्लिकर अकाउंट पर एक स्क्रीनशॉट पोस्ट किया जिसमें 2010 के रीडिज़ाइन के लिए गोल्डन रेशियो के उपयोग की व्याख्या की गई थी। "कोई भी जो #NewTwitter अनुपात में रुचि रखता है - आप जानते हैं, यह बिना किसी कारण के नहीं किया जाता है," उन्होंने कहा।
एप्पल आईक्लाउड
आईक्लाउड सेवा आइकन एक यादृच्छिक स्केच भी नहीं है। जैसा कि ताकामासा मात्सुमोतो ने अपने ब्लॉग (मूल जापानी संस्करण) में समझाया है, सब कुछ स्वर्ण अनुपात के गणित पर आधारित है, जिसकी शारीरिक रचना दाईं ओर की तस्वीर में देखी जा सकती है।
गोल्डन रेश्यो कैसे बनाया जाता है?
निर्माण बहुत सीधा है और मुख्य वर्ग से शुरू होता है:
एक वर्ग ड्रा करें। यह आयत के "लघु पक्ष" की लंबाई बनाएगा।
वर्ग को एक ऊर्ध्वाधर रेखा से आधा में विभाजित करें ताकि आपको दो आयतें मिलें।
एक आयत में विपरीत कोनों को मिलाकर एक रेखा खींचिए।
इस रेखा का क्षैतिज रूप से विस्तार करें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
आधार के रूप में पिछले चरणों में आपके द्वारा खींची गई क्षैतिज रेखा का उपयोग करके एक और आयत बनाएं। तैयार!
"गोल्डन" उपकरण
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सुनहरा अनुपात सरल है, जैसे सब कुछ सरल है। एक खंड AB की कल्पना करें, जिसे एक बिंदु C से अलग किया गया है। आपको केवल बिंदु C लगाने की आवश्यकता है ताकि आप समानता CB / AC = AC / AB = 0.618 बना सकें। अर्थात्, सबसे छोटे खंड CB को मध्य खंड AC की लंबाई से विभाजित करके प्राप्त संख्या को मध्य खंड AC को बड़े खंड AB की लंबाई से विभाजित करके प्राप्त संख्या के साथ मेल खाना चाहिए। यह संख्या 0.618 होगी। यह स्वर्ण है, या, जैसा कि उन्होंने पुरातनता में कहा, दैवीय अनुपात - एफ(ग्रीक "फी")। उत्कृष्टता सूचकांक।
यह कहना मुश्किल है कि कब और किसके द्वारा यह ध्यान दिया गया कि इस अनुपात का पालन करने से सद्भाव की भावना आती है। लेकिन जैसे ही लोगों ने अपने हाथों से कुछ बनाना शुरू किया, उन्होंने सहज रूप से इस अनुपात का पालन करने की कोशिश की। ध्यान में रखते हुए बनाए गए भवन एफ, हमेशा उन लोगों की तुलना में अधिक सामंजस्यपूर्ण दिखते हैं जिनमें सुनहरे अनुपात के अनुपात का उल्लंघन होता है। यह विभिन्न परीक्षणों द्वारा कई बार सत्यापित किया गया है।
ज्यामिति में दो वस्तुएँ हैं जो अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं एफ: नियमित पेंटागन (पेंटाग्राम) और लघुगणकीय सर्पिल। एक पेंटाग्राम में, प्रत्येक पंक्ति, एक आसन्न के साथ प्रतिच्छेद करती है, इसे सुनहरे अनुपात में विभाजित करती है, और एक लघुगणकीय सर्पिल में, आसन्न छोरों के व्यास उसी तरह से एक दूसरे से संबंधित होते हैं जैसे हमारी लाइन एबी पर खंड एसी और सीबी। परंतु एफन केवल ज्यामिति में काम करता है। यह माना जाता है कि किसी भी प्रणाली के हिस्से (उदाहरण के लिए, परमाणु के नाभिक में प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) स्वर्ण संख्या के अनुरूप अनुपात में हो सकते हैं। इस मामले में, वैज्ञानिकों का मानना है कि प्रणाली इष्टतम साबित होती है। सच है, परिकल्पना की वैज्ञानिक पुष्टि के लिए एक दर्जन से अधिक वर्षों के शोध की आवश्यकता है। कहा पे एफवाद्य विधि द्वारा मापा नहीं जा सकता, तथाकथित फाइबोनैचि संख्या श्रृंखला का उपयोग किया जाता है, जिसमें प्रत्येक बाद की संख्या दो पिछले वाले का योग है: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। इस श्रृंखला की ख़ासियत यह है कि जब इसकी किसी संख्या को अगले एक से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम 0.618 के जितना संभव हो उतना करीब प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 2.3 और 5 लें। 2/3 = 0.666 और 3/5 = 0.6। वास्तव में, हमारे खंड AB के घटकों के बीच समान अनुपात है। इस प्रकार, यदि किसी वस्तु या घटना की माप विशेषताओं को फाइबोनैचि संख्या श्रृंखला में दर्ज किया जा सकता है, तो इसका मतलब है कि उनकी संरचना सुनहरे अनुपात में है। और ऐसी अनगिनत वस्तुएं और प्रणालियां हैं, और आधुनिक विज्ञान अधिक से अधिक नई खोज कर रहा है। तो सवाल यह है कि नहीं एफवास्तव में दैवीय अनुपात जिस पर हमारी दुनिया टिकी हुई है, वह बिल्कुल भी अलंकारिक नहीं है।
प्रकृति में सुनहरा अनुपात
सुनहरा अनुपात प्रकृति में और यहां तक कि सबसे सरल स्तरों पर भी देखा जाता है। उदाहरण के लिए, प्रोटीन अणु लें जो सभी जीवित जीवों के ऊतकों को बनाते हैं। अणु वजन में एक दूसरे से भिन्न होते हैं, जो उनमें शामिल अमीनो एसिड की संख्या पर निर्भर करता है। बहुत समय पहले यह नहीं पाया गया था कि सबसे आम प्रोटीन 31 के द्रव्यमान वाले होते हैं; 81.2; 140.6; 231; 319 हजार यूनिट। वैज्ञानिक ध्यान दें कि यह श्रृंखला लगभग फाइबोनैचि श्रृंखला - 3, 8,13, 21, 34 से मेल खाती है (यहां वैज्ञानिक इन श्रृंखलाओं के दशमलव अंतर को ध्यान में नहीं रखते हैं)।
निश्चित रूप से, आगे के शोध में एक प्रोटीन मिलेगा, जिसका द्रव्यमान 5 के साथ सहसंबद्ध होगा। यह विश्वास प्रोटोजोआ की संरचना द्वारा भी दिया जाता है - कई वायरस में एक पंचकोणीय संरचना होती है। प्रवृत्त एफऔर रासायनिक तत्वों का अनुपात। इसके सबसे निकट प्लूटोनियम है: इसके नाभिक में प्रोटॉनों की संख्या का न्यूट्रॉन से अनुपात 0.627 है। सबसे दूर हाइड्रोजन है। बदले में, रासायनिक यौगिकों में परमाणुओं की संख्या आश्चर्यजनक रूप से अक्सर फाइबोनैचि संख्याओं का एक गुणक होती है। यह यूरेनियम ऑक्साइड और धातु यौगिकों के लिए विशेष रूप से सच है।
यदि आप एक पेड़ की कली को काटेंगे तो आप पाएंगे कि दो सर्पिल विपरीत दिशाओं में इशारा कर रहे हैं। ये पत्तियों की मूल बातें हैं। इन दो सर्पिलों के बीच घुमावों की संख्या का अनुपात हमेशा 2/3, या 3/5, या 5/8, आदि होगा। यानी फिबोनाची के अनुसार फिर से। वैसे, हम सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था और शंकुधारी वृक्षों के शंकुओं की संरचना में समान पैटर्न देखते हैं। लेकिन वापस पत्तियों के लिए। जब वे खुलते हैं, तो वे इसके साथ अपना संबंध नहीं खोते हैं एफ, क्योंकि वे एक लघुगणकीय सर्पिल में तने या शाखा पर स्थित होंगे। लेकिन वह सब नहीं है। "पत्तियों के विचलन के कोण" की एक अवधारणा है - यह वह कोण है जिस पर पत्तियां एक दूसरे के सापेक्ष होती हैं। इस कोण की गणना करना कठिन नहीं है। कल्पना कीजिए कि एक पंचकोणीय आधार वाला एक प्रिज्म तने में अंकित है। अब सर्पिल को तने के नीचे से शुरू करें। जिन बिंदुओं पर सर्पिल प्रिज्म के चेहरों को छूएगा, उन बिंदुओं के अनुरूप होगा जहां से पत्तियां बढ़ती हैं। अब पहले पत्ते से एक सीधी रेखा खींचिए और देखिए कि इस रेखा पर कितने पत्ते होंगे। जीव विज्ञान में उनकी संख्या n अक्षर से निरूपित होती है (हमारे मामले में, ये दो शीट हैं)। अब उन घुमावों की संख्या गिनें जो तने के चारों ओर घूमते हैं। परिणामी संख्या को लीफ साइकिल कहा जाता है और इसे अक्षर p द्वारा दर्शाया जाता है (हमारे मामले में, यह 5 है)। अब हम अधिकतम कोण - 360 डिग्री को 2 (एन) से गुणा करते हैं और 5 (पी) से विभाजित करते हैं। हमें पत्तियों के विचलन का वांछित कोण मिलता है - 144 डिग्री। प्रत्येक पौधे या पेड़ की दावत के लिए n और p का अनुपात अलग है, लेकिन वे सभी फिबोनाची श्रृंखला से बाहर नहीं जाते हैं: 1/2; 2/5; 3/8; 5/13, आदि। जीवविज्ञानियों ने स्थापित किया है कि अनंत पर इन अनुपातों के अनुसार बनने वाले कोण 137 डिग्री के होते हैं - इष्टतम विचलन कोण जिस पर सूर्य का प्रकाश समान रूप से शाखाओं और पत्तियों पर वितरित होता है। और पत्तियों में ही, हम सुनहरे अनुपात के पालन को नोटिस कर सकते हैं, जैसा कि, वास्तव में, फूलों में - यह उन लोगों में नोटिस करना सबसे आसान है जिनके पास पेंटाग्राम का आकार है।
एफजानवरों की दुनिया को दरकिनार नहीं किया। वैज्ञानिकों के अनुसार, जीवित जीवों के कंकाल की संरचना में सुनहरे अनुपात की उपस्थिति एक बहुत ही महत्वपूर्ण समस्या का समाधान करती है। इस तरह, कंकाल की अधिकतम संभव ताकत न्यूनतम संभव वजन के साथ हासिल की जाती है, जो बदले में, शरीर के अंगों पर पदार्थ को तर्कसंगत रूप से वितरित करने की अनुमति देता है। यह जीवों के लगभग सभी प्रतिनिधियों पर लागू होता है। इस प्रकार, तारामछली परिपूर्ण पेंटागन हैं, और कई मोलस्क के गोले लघुगणकीय सर्पिल हैं। ड्रैगनफ्लाई की पूंछ की लंबाई का उसके शरीर से अनुपात भी बराबर होता है एफ... और मच्छर सरल नहीं है: इसके तीन जोड़े पैर होते हैं, पेट आठ खंडों में विभाजित होता है, और सिर पर पांच एंटीना-एंटेना होते हैं - एक ही फाइबोनैचि पंक्ति। कई जानवरों में कशेरुक की संख्या, उदाहरण के लिए, एक व्हेल या एक घोड़ा, 55 है। पसलियों की संख्या 13 है, और अंगों में हड्डियों की संख्या 89 है। और अंगों में स्वयं तीन भाग की संरचना होती है। दांत (जिनमें से 21 जोड़े हैं) और श्रवण यंत्र की हड्डियों सहित इन जानवरों की हड्डियों की कुल संख्या 233 (फाइबोनैचि संख्या) है। आश्चर्य की बात क्या है जब एक अंडा भी, जिससे, जैसा कि कई लोगों का मानना है, सब कुछ हुआ, सुनहरे अनुपात के एक आयत में अंकित किया जा सकता है - इस तरह के एक आयत की लंबाई इसकी चौड़ाई का 1.618 गुना है।
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04/18/2011 ए.एफ. अफानासेव अपडेट किया गया 06.16.12
प्लास्टिक कला के किसी भी काम की कलात्मक छवि की खोज में आकार और अनुपात मुख्य कार्यों में से एक है। यह स्पष्ट है कि आकार का मुद्दा उस कमरे को ध्यान में रखकर तय किया जाता है जहां यह स्थित होगा और इसके आसपास की वस्तुओं को ध्यान में रखा जाएगा।
अनुपात (आयामी मूल्यों का अनुपात) के बारे में बोलते हुए, हम उन्हें एक फ्लैट छवि (चित्र, मार्क्वेट्री) के प्रारूप में ध्यान में रखते हैं, एक वॉल्यूमेट्रिक ऑब्जेक्ट के समग्र आयामों (लंबाई, ऊंचाई, चौड़ाई) के अनुपात में, में एक पहनावा की दो वस्तुओं का अनुपात ऊँचाई या लंबाई में भिन्न होता है, अनुपात में एक ही वस्तु के दो स्पष्ट रूप से दिखाई देने वाले भागों के आकार आदि।
कई शताब्दियों के लिए, ललित कलाओं के क्लासिक्स ने अनुपात के निर्माण की एक विधि का पता लगाया है, जिसे गोल्डन रेशियो या गोल्डन नंबर कहा जाता है (यह शब्द लियोनार्डो दा विंची द्वारा पेश किया गया था)। सुनहरे अनुपात, या गतिशील समरूपता का सिद्धांत यह है कि "एक पूरे के दो हिस्सों के बीच का अनुपात उसके बड़े हिस्से के अनुपात के बराबर होता है" (या, तदनुसार, पूरे से बड़े हिस्से तक)। गणितीय रूप से यह है
संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है - 1 ± 2? 5 - जो 1.6180339 ... या 0.6180339 देता है ... कला में, 1.62 को स्वर्ण संख्या के रूप में लिया जाता है, यानी अनुपात में बड़े मूल्य के अनुपात की अनुमानित अभिव्यक्ति इसका छोटा मूल्य ...
अनुमानित से अधिक सटीक तक, यह अनुपात व्यक्त किया जा सकता है: आदि, जहां: 5 + 3 = 8, 8 + 5 = 13, आदि। या: 2.2: 3.3: 5.5: 8, 8, आदि, जहां 2.2 + 3.3 -5.5, आदि।
ग्राफिक रूप से, स्वर्ण अनुपात को विभिन्न निर्माणों द्वारा प्राप्त खंडों के अनुपात द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। अधिक सुविधाजनक, हमारी राय में, अंजीर में दिखाया गया निर्माण है। 169: यदि आप एक अर्ध-वर्ग के विकर्ण में इसकी छोटी भुजा को जोड़ दें, तो आपको इसकी लंबी भुजा के संबंध में स्वर्ण संख्या का मान प्राप्त होता है।
| चावल। 169. स्वर्ण खंड में एक आयत का ज्यामितीय निर्माण 1.62: 1. खंडों (ए और बी) के संबंध में स्वर्ण संख्या 1.62 |
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चावल। 170. सुनहरे अनुपात 1.12: 1 . के कार्य को प्लॉट करना |
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सुनहरे अनुपात के दो मूल्यों का अनुपात
सद्भाव और संतुलन की एक दृश्य भावना पैदा करता है। दो आसन्न मात्राओं के बीच एक और सामंजस्यपूर्ण संबंध है, जिसे संख्या 1.12 द्वारा व्यक्त किया गया है। यह गोल्डन नंबर का एक कार्य है: यदि आप सुनहरे अनुपात के दो मूल्यों के बीच अंतर लेते हैं, तो इसे भी सुनहरे अनुपात में विभाजित करें और प्रत्येक अंश को मूल सुनहरे अनुपात के छोटे मूल्य में जोड़ें, आपको अनुपात मिलता है 1.12 का (चित्र 170)। इस संबंध में, उदाहरण के लिए, एच, पी, आई, आदि अक्षरों में मध्य तत्व (शेल्फ) खींचा जाता है। कुछ फोंट में ऊंचाई और चौड़ाई के अनुपात चौड़े अक्षरों के लिए लिया जाता है, यह अनुपात प्रकृति में भी पाया जाता है।
स्वर्ण संख्या एक सामंजस्यपूर्ण रूप से विकसित व्यक्ति (चित्र। 171) के अनुपात में देखी जाती है: सिर की लंबाई सुनहरे खंड में कमर से मुकुट तक की दूरी को विभाजित करती है; पटेला कमर से पैरों के तलवों तक की दूरी को भी विभाजित करता है; एक फैला हुआ हाथ की मध्यमा उंगली की नोक एक व्यक्ति की पूरी ऊंचाई को सुनहरे अनुपात में विभाजित करती है; उंगलियों के फलांगों का अनुपात भी एक सुनहरा अंक है। प्रकृति की अन्य संरचनाओं में भी यही घटना देखी जाती है: मोलस्क के सर्पिल में, फूलों के कोरोला में, आदि।
| चावल। 172. नक्काशीदार जीरियम (पेलार्गोनियम) पत्ती का सुनहरा अनुपात। निर्माण: 1) स्केल ग्राफ का उपयोग करके (चित्र 171 देखें), हम निर्माण करते हैं? एबीसी, | चावल। 173. पांच पत्ती और तीन पत्ती वाले अंगूर के पत्ते। लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 1.12 है। सुनहरा अनुपात व्यक्त किया जाता है |
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अंजीर में। 172 और 173 सोने की संख्या 1.62 और 1.12 के अनुपात में एक जेरेनियम पत्ती (पेलार्गोनियम) और एक अंगूर के पत्ते के चित्र के निर्माण को दर्शाते हैं। एक जेरेनियम पत्ती में, निर्माण आधार दो त्रिकोण होते हैं: एबीसी और सीईएफ, जहां उनमें से प्रत्येक की ऊंचाई और आधार का अनुपात 0.62 और 1.62 की संख्या से व्यक्त किया जाता है, और सबसे दूर के बिंदुओं के तीन जोड़े के बीच की दूरी पत्ते बराबर हैं: एबी = सीई = एसएफ। ड्राइंग में निर्माण का संकेत दिया गया है। इस तरह के पत्ते का डिज़ाइन जेरेनियम के समान होता है, जिसमें समान रूप से नक्काशीदार पत्ते होते हैं।
सामान्यीकृत गूलर की पत्ती (चित्र। 173) में अंगूर के पत्ते के समान अनुपात होता है, 1.12 के अनुपात में, लेकिन अंगूर के पत्ते का एक बड़ा हिस्सा इसकी लंबाई और गूलर के पत्ते की चौड़ाई का होता है। गूलर के पत्ते में 1.62 के अनुपात के साथ तीन आनुपातिक आकार होते हैं। वास्तुकला में इस तरह के पत्राचार को त्रय कहा जाता है (चार अनुपातों के लिए - एक टेट्राड और आगे: पेकटाड, हेक्सोड)।
अंजीर में। 174 सुनहरे खंड के अनुपात में मेपल का पत्ता बनाने की एक विधि दिखाता है। 1.12 की चौड़ाई से लंबाई के अनुपात के साथ, 1.62 की संख्या के साथ इसके कई अनुपात हैं। निर्माण दो ट्रेपेज़ॉइड पर आधारित है, जिसमें आधार की ऊंचाई और लंबाई के अनुपात को एक स्वर्ण संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है। ड्राइंग में निर्माण दिखाया गया है, और मेपल के पत्ते के आकार के विकल्प भी दिखाए गए हैं।
ललित कला के कार्यों में, एक कलाकार या मूर्तिकार, होशपूर्वक या अवचेतन रूप से, अपनी प्रशिक्षित आंख पर भरोसा करते हुए, अक्सर सुनहरे अनुपात में आकार के अनुपात का उपयोग करता है। इसलिए, मसीह के सिर (माइकल एंजेलो के बाद) की एक प्रति पर काम करते हुए, इस पुस्तक के लेखक ने देखा कि उनके आकार में बालों की किस्में में आसन्न कर्ल सुनहरे अनुपात के अनुपात को दर्शाते हैं, और आकार में - आर्किमिडीज के सर्पिल , एक अंतर्मन। पाठक स्वयं आश्वस्त हो सकता है कि शास्त्रीय कलाकारों द्वारा कई चित्रों में केंद्रीय आकृति प्रारूप के किनारों से दूरियों पर स्थित होती है जो सुनहरे खंड का अनुपात बनाती है (उदाहरण के लिए, सिर का स्थान लंबवत और क्षैतिज रूप से दोनों में होता है) एमआई लोपुखिना वी। बोरोविकोवस्की का चित्र; ओ। किप्रेंस्की और अन्य द्वारा ए.एस. पुश्किन के चित्र में सिर के ऊर्ध्वाधर केंद्र की स्थिति)। इसे कभी-कभी क्षितिज रेखा (एफ। वासिलिव: "वेट मीडो", आई। लेविटन: "मार्च", "इवनिंग बेल्स") की नियुक्ति के साथ देखा जा सकता है।
बेशक, यह नियम हमेशा रचना की समस्या का समाधान नहीं होता है, और इसे कलाकार के काम में लय और अनुपात के अंतर्ज्ञान को प्रतिस्थापित नहीं करना चाहिए। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि कुछ कलाकारों ने अपनी रचनाओं के लिए "संगीत संख्या" के अनुपात का उपयोग किया: तिहाई, क्वार्ट्स, पांचवां (2: 3, 3: 4, आदि)। कला समीक्षक, बिना किसी कारण के, ध्यान दें कि किसी भी शास्त्रीय स्थापत्य स्मारक या मूर्तिकला का डिज़ाइन, यदि वांछित हो, तो संख्याओं के किसी भी अनुपात में समायोजित किया जा सकता है। इस मामले में हमारा कार्य, और विशेष रूप से एक नौसिखिए कलाकार या वुडकार्वर का कार्य, यह सीखना है कि अपने काम की एक जानबूझकर रचना कैसे बनाई जाए, यादृच्छिक अनुपात के अनुसार नहीं, बल्कि सामंजस्यपूर्ण अनुपात के अनुसार, अभ्यास द्वारा सिद्ध। उत्पाद के डिजाइन और आकार के साथ इन सामंजस्यपूर्ण अनुपातों को पहचानने और उन पर जोर देने में सक्षम होना चाहिए।
एक सामंजस्यपूर्ण अनुपात खोजने के एक उदाहरण के रूप में विचार करें, अंजीर में दिखाए गए कार्य के लिए फ्रेम के आकार का निर्धारण। 175. इसमें रखी गई इमेज का फॉर्मेट गोल्डन सेक्शन के अनुपात में सेट होता है। इसके किनारों की समान चौड़ाई वाले फ्रेम के बाहरी आयाम सुनहरा अनुपात नहीं देंगे। इसलिए, इसकी लंबाई और चौड़ाई (ЗЗ0X220) का अनुपात स्वर्ण संख्या से थोड़ा कम माना जाता है, यानी 1.5 के बराबर, और अनुप्रस्थ लिंक की चौड़ाई पार्श्व पक्षों की तुलना में तदनुसार बढ़ जाती है। इसने सुनहरे खंड के अनुपात को देखते हुए, प्रकाश में (चित्र के लिए) फ्रेम के आकार तक पहुंचना संभव बना दिया। फ्रेम के निचले लिंक की चौड़ाई और उसके ऊपरी लिंक की चौड़ाई के अनुपात को एक और गोल्डन नंबर, यानी 1.12 पर समायोजित किया जाता है। साथ ही, निचले लिंक की चौड़ाई और पार्श्व लिंक की चौड़ाई (94:63) का अनुपात 1.5 के करीब है (आंकड़े में - बाईं ओर का विकल्प)।
अब एक प्रयोग करते हैं: हम निचले लिंक की चौड़ाई के कारण फ्रेम के लंबे हिस्से को 366 मिमी तक बढ़ा देंगे (यह 130 मिमी होगा) (आंकड़े में - दाईं ओर का विकल्प), जो करीब नहीं लाएगा केवल अनुपात बल्कि सोने के लिए भी
1.12 के बजाय संख्या 1.62। परिणाम एक नई रचना है जिसका उपयोग किसी अन्य उत्पाद में किया जा सकता है, लेकिन फ्रेम के लिए इसे छोटा करने की इच्छा है। इसके निचले हिस्से को एक शासक के साथ बंद करें ताकि आंख परिणामी अनुपात को "ले" ले, और हमें इसकी लंबाई 330 मिमी मिल जाएगी, अर्थात हम मूल संस्करण से संपर्क करेंगे।
इसलिए, विभिन्न विकल्पों का विश्लेषण (विश्लेषण किए गए दो के अलावा अन्य भी हो सकते हैं), मास्टर अपने दृष्टिकोण से एकमात्र संभावित समाधान पर रुक जाता है।
एक साधारण उपकरण का उपयोग करके वांछित रचना की खोज में सुनहरे अनुपात के सिद्धांत को लागू करना बेहतर है, जिसके डिजाइन का एक योजनाबद्ध आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 176. इस उपकरण के दो रूलर, काज B के चारों ओर घूमते हुए, एक मनमाना कोण बना सकते हैं। यदि, किसी कोण समाधान के लिए, दूरी AC को सुनहरे अनुपात में बिंदु K से विभाजित किया जाता है और दो और रूलर लगाए जाते हैं: KM \\ BC और KE \\ AB बिंदु K, E और M पर टिका होता है, तो किसी भी AC समाधान के लिए इस दूरी को सुनहरे अनुपात के संबंध में बिंदु K से विभाजित किया जाएगा।
स्वर्ण अनुपात - गणित
एक व्यक्ति अपने आस-पास की वस्तुओं को रूप से अलग करता है। किसी भी वस्तु के आकार में रुचि महत्वपूर्ण आवश्यकता से निर्धारित की जा सकती है, या यह रूप की सुंदरता के कारण हो सकती है। रूप, जो समरूपता और सुनहरे अनुपात के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। संपूर्ण में हमेशा भाग होते हैं, विभिन्न आकारों के भाग एक दूसरे से और संपूर्ण से एक निश्चित संबंध में होते हैं। स्वर्ण अनुपात का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है।
स्वर्ण अनुपात - हार्मोनिक अनुपात
गणित में, अनुपात (लैटिन अनुपात) दो अनुपातों की समानता है: ए: बी = सी: डी।
एक सीधी रेखा खंड AB को निम्नलिखित तरीकों से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:
दो बराबर भागों में - एबी: एसी = एबी: बीसी;
किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे भाग अनुपात नहीं बनाते हैं);
इस प्रकार जब एबी: एसी = एसी: बीसी।
उत्तरार्द्ध चरम और औसत अनुपात में खंड का सुनहरा विभाजन या विभाजन है।
सुनहरा अनुपात एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से को उसी तरह संदर्भित करता है जैसे कि बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से को संदर्भित करता है; या दूसरे शब्दों में, एक छोटा खंड एक बड़े खंड को सब कुछ के लिए एक बड़ा के रूप में संदर्भित करता है
ए: बी = बी: सी या सी: बी = बी: ए।
चावल। 1. स्वर्ण अनुपात की ज्यामितीय छवि
सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कम्पास और एक शासक का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है।
चावल। 2. सुनहरे अनुपात के साथ एक सीधी रेखा खंड का विभाजन। ईसा पूर्व = 1/2 एबी; सीडी = बीसी
बिंदु B से एक लंब AB के आधे के बराबर उठाया जाता है। परिणामी बिंदु C, बिंदु A के साथ एक रेखा से जुड़ा है। परिणामी रेखा पर, खंड BC रखा गया है, जो बिंदु D पर समाप्त होता है। खंड AD को रेखा AB में स्थानांतरित किया जाता है। परिणामी बिंदु E खंड AB को सुनहरे अनुपात में विभाजित करता है।
सुनहरे अनुपात के खंड अनंत अपरिमेय अंश AE = 0.618 ... द्वारा व्यक्त किए जाते हैं ... यदि AB को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, BE = 0.382 ... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मूल्यों का अक्सर उपयोग किया जाता है। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाता है, तो खंड का बड़ा भाग 62 है, और छोटा खंड 38 भाग है।
सुनहरे अनुपात के गुण समीकरण द्वारा वर्णित हैं:
x2 - x - 1 = 0.
इस समीकरण का हल:
सुनहरे अनुपात के गुणों ने इस संख्या के आसपास रहस्य और लगभग रहस्यमय पूजा का एक रोमांटिक प्रभामंडल बनाया है।
दूसरा सुनहरा अनुपात
बल्गेरियाई पत्रिका ओटेचेस्टो (नंबर 10, 1983) ने स्वेतन त्सेकोव-करंदश द्वारा "दूसरे सुनहरे अनुपात पर" एक लेख प्रकाशित किया, जो मुख्य खंड से आता है और 44: 56 का एक अलग अनुपात देता है।
यह अनुपात वास्तुकला में पाया जाता है, और यह तब भी होता है जब एक विस्तारित क्षैतिज प्रारूप की छवियों की रचनाएं बनाते हैं।
विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। खंड AB को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित किया गया है। लंबवत सीडी को बिंदु सी से बहाल किया जाता है। बिंदु D त्रिज्या AB के साथ स्थित है, जो बिंदु A के साथ एक रेखा से जुड़ा है। समकोण ACD आधे में विभाजित है। बिंदु C से AD वाले प्रतिच्छेदन तक एक रेखा खींची जाती है। प्वाइंट एडेलिट सेगमेंट AD 56:44 के अनुपात में।
चावल। 3. द्वितीय स्वर्णिम अनुपात का निर्माण
चावल। 4. आयत को दूसरे सुनहरे खंड की रेखा से विभाजित करना
यह आंकड़ा दूसरे सुनहरे अनुपात की रेखा की स्थिति को दर्शाता है। यह गोल्डन सेक्शन लाइन और आयत की मध्य रेखा के बीच में स्थित है।
स्वर्ण त्रिकोण
आरोही और अवरोही श्रृंखला के सुनहरे अनुपात के खंडों को खोजने के लिए, आप पेंटाग्राम का उपयोग कर सकते हैं।
चावल। 5. एक नियमित पेंटागन और पेंटाग्राम का निर्माण
एक पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको एक नियमित पेंटागन बनाने की जरूरत है। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471 ... 1528) द्वारा विकसित की गई थी। मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है, A वृत्त पर एक बिंदु है, और E खंड OA का मध्य बिंदु है। त्रिज्या OA के लंबवत, बिंदु O पर बहाल, बिंदु D पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है। एक कम्पास का उपयोग करके, हम व्यास पर खंड CE = ED को स्थगित करते हैं। एक वृत्त में अंकित एक नियमित पंचभुज की भुजा की लंबाई DC है। हम खंड डीसी को सर्कल पर रखते हैं और एक नियमित पेंटागन खींचने के लिए पांच अंक प्राप्त करते हैं। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचभुज के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं।
पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसके किनारे शीर्ष पर 36° का कोण बनाते हैं, और किनारे पर अलग रखा आधार इसे सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है।
हम एक सीधी रेखा AB खींचते हैं। बिंदु ए से, हम उस पर तीन बार एक मनमाना मूल्य का एक खंड डालते हैं, परिणामी बिंदु पी के माध्यम से हम रेखा एबी के लिए लंबवत खींचते हैं, बिंदु पी के दाएं और बाएं लंबवत पर हम सेगमेंट ओ को बंद करते हैं। हम कनेक्ट करते हैं बिंदु d और d1 को सीधी रेखाओं से बिंदु A तक प्राप्त किया, बिंदु C प्राप्त किया। उसने रेखा Ad1 को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित किया। Ad1 और dd1 पंक्तियों का उपयोग "सुनहरा" आयत बनाने के लिए किया जाता है।
चावल। 6. स्वर्ण त्रिभुज की रचना
स्वर्णिम अनुपात का इतिहास
ऐसा माना जाता है कि प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) पाइथागोरस द्वारा सोने के विभाजन की अवधारणा को वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया था। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने मिस्र और बेबीलोनियों से स्वर्ण विभाजन का अपना ज्ञान उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिरों, आधार-राहत, घरेलू सामान और गहनों के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन अनुपात का इस्तेमाल किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर ने पाया कि अबीडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर से राहत में और फिरौन रामसेस को चित्रित करने वाली राहत में, आंकड़ों के अनुपात स्वर्ण विभाजन के मूल्यों के अनुरूप हैं। अपने नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित वास्तुकार खेसीरा के पास मापक यंत्र हैं जिसमें स्वर्ण मंडल के अनुपात तय किए गए हैं।
यूनानी कुशल ज्यामितिक थे। उन्होंने अपने बच्चों को ज्यामितीय आकृतियों का उपयोग करके अंकगणित भी पढ़ाया। पाइथागोरस वर्ग और इस वर्ग के विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार थे।
चावल। 7. गतिशील आयत
प्लेटो (427 ... 347 ईसा पूर्व) भी स्वर्ण विभाजन के बारे में जानता था। उनका संवाद "तिमाईस" पाइथागोरस स्कूल के गणितीय और सौंदर्यवादी विचारों और विशेष रूप से, गोल्डन डिवीजन के मुद्दों के लिए समर्पित है।
पार्थेनन के प्राचीन ग्रीक मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान कम्पास की खोज की गई थी, जिसका उपयोग प्राचीन विश्व के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पेई कंपास (नेपल्स में एक संग्रहालय) में, गोल्डन डिवीजन के अनुपात भी रखे गए हैं।
चावल। 8. सुनहरे अनुपात के प्राचीन कंपास
प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, यूक्लिड के "तत्वों" में सबसे पहले स्वर्ण विभाजन का उल्लेख किया गया था। "बिगिनिंग्स" की दूसरी पुस्तक में सोने के विभाजन का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, जिप्सिकल्स (द्वितीय शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तृतीय शताब्दी ईस्वी) और अन्य स्वर्ण विभाजन के अध्ययन में लगे हुए थे। मध्यकालीन यूरोप में सोने के विभाजन के साथ हम यूक्लिड के तत्वों के अरबी अनुवादों के माध्यम से मिले। नवरा (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। सोने के विभाजन के रहस्यों को सख्त गोपनीयता में रखा गया था। वे केवल दीक्षितों के लिए जाने जाते थे।
पुनर्जागरण के दौरान, ज्यामिति और कला दोनों में इसके अनुप्रयोग के संबंध में वैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच सोने के विभाजन में रुचि बढ़ी, विशेष रूप से वास्तुकला में एक कलाकार और वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास बहुत अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन बहुत कम ज्ञान ... उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन इस समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक पुस्तक दिखाई दी, और लियोनार्डो ने अपना उद्यम छोड़ दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशक थे, जो फिबोनाची और गैलीलियो के बीच की अवधि में इटली के सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसिओली चित्रकार पिएरो डेला फ्रांसेची के छात्र थे, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक पेंटिंग में परिप्रेक्ष्य पर हकदार थी। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।
लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थे। 1496 में, ड्यूक ऑफ मोरो के निमंत्रण पर, वे मिलान आए, जहां उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने भी उस समय मोरो के दरबार में मिलान में काम किया था। 1509 में, लुका पसिओली की पुस्तक डिवाइन प्रोपोर्शन को शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ वेनिस में प्रकाशित किया गया था, यही कारण है कि यह माना जाता है कि वे लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाए गए थे। यह पुस्तक स्वर्णिम अनुपात का एक उत्साही भजन था। सुनहरे अनुपात के कई गुणों के बीच, भिक्षु लुका पसिओली ने अपने "दिव्य सार" को ईश्वर पुत्र, ईश्वर पिता और ईश्वर पवित्र आत्मा की दिव्य त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नामित करने में विफल नहीं किया (यह समझा गया था कि छोटा खंड पुत्र के देवता का अवतार है, बड़ा खंड पिता का देवता है, और संपूर्ण खंड - पवित्र आत्मा का देवता)।
लियोनार्डो दा विंची ने भी स्वर्ण विभाजन के अध्ययन पर बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पेंटागन द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक ठोस के खंड बनाए, और हर बार उन्हें सोने के विभाजन में पहलू अनुपात के साथ आयतें मिलीं। इसलिए उन्होंने इस विभाग को गोल्डन रेशियो नाम दिया। तो यह अभी भी सबसे लोकप्रिय के रूप में है।
उसी समय, यूरोप के उत्तर में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। वह अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय देता है। ड्यूरर लिखते हैं। "यह आवश्यक है कि कोई ऐसा व्यक्ति जो इसे दूसरों को सिखाना जानता हो, जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैंने यही करने का निश्चय किया।"
ड्यूरर के पत्रों में से एक को देखते हुए, वह इटली में रहने के दौरान लुका पसिओली से मिले। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित करता है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में सुनहरे अनुपात के लिए एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्यमा उंगलियों के सुझावों के माध्यम से खींची गई रेखा, मुंह से चेहरे के निचले हिस्से आदि। ड्यूरर का आनुपातिक कम्पास ज्ञात है।
XVI सदी के महान खगोलशास्त्री। जोहान्स केप्लर ने स्वर्ण अनुपात को ज्यामिति के खजाने में से एक कहा। उन्होंने वनस्पति विज्ञान (पौधे की वृद्धि और संरचना) के लिए स्वर्ण अनुपात के महत्व पर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति थे।
केप्लर ने स्वयं की निरंतरता का सुनहरा अनुपात कहा, "यह इस तरह व्यवस्थित है," उन्होंने लिखा, "इस अंतहीन अनुपात के दो सबसे कम शब्द तीसरे कार्यकाल में जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम शब्द, यदि जोड़ा जाता है, तो अगला दें अवधि, और वही अनुपात अनंत तक रहता है "।
सुनहरे अनुपात के कई खंडों का निर्माण ऊपर की ओर (बढ़ती हुई पंक्ति) और नीचे की ओर (अवरोही पंक्ति) दोनों में किया जा सकता है।
यदि मनमानी लंबाई की सीधी रेखा पर, खंड m को स्थगित करें, तो इसके आगे हम खंड M को बंद कर देते हैं। इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही श्रृंखला के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं
चावल। 9. सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाना
बाद की शताब्दियों में, स्वर्णिम अनुपात का नियम एक अकादमिक सिद्धांत में बदल गया, और जब, समय के साथ, कला में अकादमिक दिनचर्या के साथ संघर्ष शुरू हुआ, संघर्ष की गर्मी में "बच्चे को पानी के साथ बाहर फेंक दिया गया" . 19वीं शताब्दी के मध्य में स्वर्ण खंड को फिर से "खोजा" गया था। 1855 में, गोल्डन अनुपात के जर्मन शोधकर्ता प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना काम एस्थेटिक रिसर्च प्रकाशित किया। ज़ीज़िंग के साथ, वास्तव में वही हुआ जो एक शोधकर्ता के साथ अनिवार्य रूप से होना चाहिए जो किसी घटना को अन्य घटनाओं के साथ किसी भी संबंध के बिना इस तरह मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए स्वर्ण अनुपात के अनुपात को पूर्ण किया। ज़ीसिंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के अपने सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया।
चावल। 10. मानव शरीर के कुछ हिस्सों में सुनहरा अनुपात
ज़ीसिंग ने जबरदस्त काम किया है। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सुनहरा अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु से शरीर का विभाजन स्वर्णिम अनुपात का सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है। पुरुष शरीर का अनुपात 13: 8 = 1.625 के औसत अनुपात में उतार-चढ़ाव करता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में सुनहरे अनुपात के कुछ हद तक करीब है, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मूल्य 8 के अनुपात में व्यक्त किया जाता है। : 5 = 1.6। एक नवजात शिशु में अनुपात 1:1 होता है, 13 वर्ष की आयु तक यह 1.6 होता है, और 21 वर्ष की आयु तक यह पुरुष के बराबर होता है। सुनहरे अनुपात का अनुपात शरीर के अन्य भागों के संबंध में भी प्रकट होता है - कंधे की लंबाई, अग्रभाग और हाथ, हाथ और उंगलियां आदि।
चावल। 11. मानव आकृति में स्वर्ण अनुपात
ज़ीसिंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। सबसे अधिक विस्तार से, उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपात को विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षी के अंडे, संगीतमय स्वर और काव्य आयाम अनुसंधान के अधीन थे। ज़ीसिंग ने सुनहरे अनुपात की परिभाषा दी, यह दिखाया कि इसे रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाली संख्याएँ प्राप्त की गईं, तो ज़ीसिंग ने देखा कि उन्होंने एक फाइबोनैचि श्रृंखला का गठन किया है, जिसे एक दिशा या दूसरे में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक का शीर्षक था "द गोल्डन डिवीजन एज़ द बेसिक मॉर्फोलॉजिकल लॉ इन नेचर एंड आर्ट।" 1876 में, एक छोटी सी किताब, लगभग एक ब्रोशर, रूस में प्रकाशित हुई थी, जिसमें ज़ीसिंग के इस काम को प्रस्तुत किया गया था। लेखक ने आद्याक्षर यू.एफ.वी. इस संस्करण में किसी पेंटिंग का उल्लेख नहीं है।
XIX के अंत में - XX सदी की शुरुआत में। कला और वास्तुकला के कार्यों में सुनहरे अनुपात के उपयोग पर बहुत सारे विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिजाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, स्वर्ण अनुपात के नियम का विस्तार कारों, फर्नीचर आदि के डिजाइन तक हो गया।
फाइबोनैचि श्रृंखला
पीसा से इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फिबोनाची (बोनैकी का पुत्र) के नाम से जाना जाता है, परोक्ष रूप से सुनहरे अनुपात के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को भारतीय (अरबी) अंकों से परिचित कराया। 1202 में उनका गणितीय कार्य "द बुक ऑफ द अबेकस" (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याओं को एकत्र किया गया। कार्यों में से एक था "एक वर्ष में एक जोड़े से कितने जोड़े खरगोश पैदा होंगे"। इस विषय पर विचार करते हुए, फाइबोनैचि ने संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखला का निर्माण किया:
संख्याओं की पंक्ति 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो 2 + 3 = 5 के योग के बराबर है; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, आदि, और श्रृंखला में आसन्न संख्याओं का अनुपात सोने के विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है। तो, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। यह अनुपात प्रतीक एफ द्वारा इंगित किया गया है। केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है, इसकी वृद्धि या कमी अनंत तक होती है, जब छोटा खंड बड़े से बड़े के रूप में सब कुछ से संबंधित होता है .
फाइबोनैचि ने व्यापार की व्यावहारिक जरूरतों को भी निपटाया: किसी वस्तु को तौलने के लिए वजन की सबसे छोटी मात्रा क्या है? फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की निम्नलिखित प्रणाली इष्टतम है: 1, 2, 4, 8, 16 ...
सामान्यीकृत सुनहरा अनुपात
फाइबोनैचि श्रृंखला केवल एक गणितीय घटना रह सकती है, यदि इस तथ्य के लिए नहीं कि पौधे और जानवरों की दुनिया में स्वर्ण विभाजन के सभी शोधकर्ता, कला का उल्लेख नहीं करने के लिए, हमेशा इस श्रृंखला में स्वर्ण विभाजन के कानून की अंकगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में आए।
वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के सिद्धांत को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। यू। मतियासेविच फिबोनाची संख्याओं का उपयोग करके हिल्बर्ट की 10वीं समस्या को हल करता है। फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, खेल, प्रोग्रामिंग) को हल करने के लिए परिष्कृत तरीके हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, यहां तक कि गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है।
इस क्षेत्र में प्रगति में से एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि संख्याओं और सामान्यीकृत सुनहरे अनुपातों की खोज है।
उनके द्वारा खोजी गई फाइबोनैचि श्रृंखला (1, 1, 2, 3, 5, 8) और वजन 1, 2, 4, 8, 16 की "बाइनरी" पंक्ति, पहली नज़र में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन उनके निर्माण के लिए एल्गोरिदम एक दूसरे के समान हैं: पहले मामले में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या के योग के साथ 2 = 1 + 1 है; 4 = 2 + 2…, दूसरे में यह पिछली दो संख्याओं 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2… का योग होता है। क्या एक सामान्य गणितीय सूत्र खोजना संभव है जिससे "द्विआधारी" श्रृंखला और फाइबोनैचि श्रृंखला दोनों प्राप्त हों? या शायद यह सूत्र हमें कुछ नए अद्वितीय गुणों के साथ नए संख्यात्मक सेट देगा?
दरअसल, आइए संख्यात्मक पैरामीटर सेट करें एस, जो कोई भी मान ले सकता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... एक संख्या श्रृंखला पर विचार करें, एस+ 1 जिनमें से पहले सदस्य इकाइयाँ हैं, और बाद में प्रत्येक पिछले एक के दो सदस्यों के योग के बराबर है और पिछले एक से दूरी पर है एसकदम। अगर एन-इस श्रृंखला का वां पद हम . द्वारा निरूपित करते हैं
एस (एन), तो हम सामान्य सूत्र प्राप्त करते हैंएस ( एन) = एस ( एन- 1) + एस (एन – एस – 1).जाहिर है, के लिए एस= 0 इस सूत्र से हमें एक "द्विआधारी" श्रृंखला प्राप्त होती है, के लिए एस= 1 - फाइबोनैचि श्रृंखला, के लिए एस= 2, 3, 4.संख्याओं की नई श्रंखला, जिन्हें नाम दिया गया था एस-फाइबोनैचि संख्याएं।
सामान्य तौर पर, सोना एस-अनुपात स्वर्ण समीकरण का धनात्मक मूल है एस-सेक्शन x
एस + 1 - एक्स एस - 1 = 0।यह दिखाना आसान है कि जब एस = 0, खंड आधे में विभाजित होता है, और जब एस = 1, परिचित शास्त्रीय सुनहरा अनुपात होता है।
पड़ोसी फाइबोनैचि एस-संख्याओं के अनुपात सुनहरे एस-अनुपात के साथ सीमा में पूर्ण गणितीय सटीकता के साथ मेल खाते हैं! ऐसे मामलों में गणितज्ञ कहते हैं कि गोल्डन एस-अनुपात फाइबोनैचि एस-संख्याओं के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं।
प्रकृति में सुनहरे एस-सेक्शन के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. "सिस्टम के संरचनात्मक सद्भाव" (मिन्स्क, "विज्ञान और प्रौद्योगिकी", 1984) पुस्तक में चालीस। उदाहरण के लिए, यह पता चला है कि अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र में विशेष, स्पष्ट कार्यात्मक गुण होते हैं (थर्मली स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण प्रतिरोधी, आदि) केवल तभी जब प्रारंभिक घटकों के विशिष्ट वजन एक दूसरे से जुड़े होते हैं सुनहरे एस-अनुपातों में से एक द्वारा। इसने लेखक को एक परिकल्पना को आगे बढ़ाने की अनुमति दी कि गोल्डन एस-सेक्शन स्व-आयोजन प्रणालियों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई, यह परिकल्पना सहक्रिया विज्ञान के विकास के लिए मौलिक महत्व की हो सकती है, विज्ञान का एक नया क्षेत्र जो स्व-आयोजन प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है।
गोल्डन एस-अनुपात कोड के साथ, आप किसी भी वास्तविक संख्या को पूर्णांक गुणांक वाले गोल्डन एस-अनुपात की डिग्री के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
संख्याओं को कोड करने की इस पद्धति के बीच मूलभूत अंतर यह है कि नए कोड के आधार, जो कि S> 0 के लिए सुनहरे S-अनुपात हैं, अपरिमेय संख्याएँ बन जाते हैं। इस प्रकार, अपरिमेय आधारों वाली नई संख्या प्रणाली, जैसा कि यह थी, ने ऐतिहासिक रूप से स्थापित परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच संबंधों के पदानुक्रम को "उल्टा" रखा। तथ्य यह है कि सबसे पहले प्राकृतिक संख्याओं की "खोज" की गई थी; तो उनके संबंध परिमेय संख्याएं हैं। और केवल बाद में - पाइथागोरस द्वारा अतुलनीय खंडों की खोज के बाद - अपरिमेय संख्याएँ दिखाई दीं। उदाहरण के लिए, दशमलव, पेंट्री, बाइनरी और अन्य शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्राकृतिक संख्याएँ - 10, 5, 2 - को एक प्रकार के मौलिक सिद्धांत के रूप में चुना गया था, जिससे अन्य सभी प्राकृतिक संख्याओं के साथ-साथ परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का निर्माण किया गया था। कुछ नियमों के अनुसार।
नंबरिंग के मौजूदा तरीकों का एक प्रकार का विकल्प एक मौलिक सिद्धांत के रूप में एक नई, अपरिमेय प्रणाली है, जिसकी शुरुआत एक अपरिमेय संख्या है (जिसे हम याद करते हैं, सुनहरे खंड के समीकरण की जड़ है); अन्य वास्तविक संख्याएँ इसके माध्यम से पहले ही व्यक्त की जा चुकी हैं।
ऐसी संख्या प्रणाली में, कोई भी प्राकृत संख्या हमेशा परिमित के रूप में निरूपित होती है - और अनंत नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था! - किसी भी सुनहरे एस-अनुपात की डिग्री का योग। यह एक कारण है कि "तर्कहीन" अंकगणित, अद्भुत गणितीय सादगी और लालित्य रखने वाले, शास्त्रीय बाइनरी और "फिबोनाची" अंकगणित के सर्वोत्तम गुणों को अवशोषित कर लेते हैं।
प्रकृति में आकार देने के सिद्धांत
वह सब कुछ जो किसी न किसी रूप में, बनता, विकसित हुआ, अंतरिक्ष में जगह लेने और खुद को संरक्षित करने की मांग करता था। यह प्रयास मुख्य रूप से दो संस्करणों में कार्यान्वयन पाता है - ऊपर की ओर बढ़ना या पृथ्वी की सतह पर फैलना और एक सर्पिल में मुड़ना।
खोल एक सर्पिल में मुड़ जाता है। यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी कम लंबाई मिलती है। दस सेंटीमीटर के एक छोटे से खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है। सर्पिल प्रकृति में बहुत आम हैं। सुनहरा अनुपात अधूरा होगा, अगर सर्पिल नहीं।
चावल। 12. आर्किमिडीज का सर्पिल
सर्पिल रूप से घुमावदार खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान खींचा। उन्होंने इसका अध्ययन किया और सर्पिल समीकरण को घटाया। इस समीकरण से खींचे गए सर्पिल का नाम उन्हीं के नाम पर रखा गया है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज सर्पिल का व्यापक रूप से प्रौद्योगिकी में उपयोग किया जाता है।
गोएथे ने भी प्रकृति की सर्पिल प्रवृत्ति पर जोर दिया। पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की पेचदार और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले देखी गई थी। पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि में सूरजमुखी के बीज की व्यवस्था में सर्पिल देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि एक शाखा (फाइलोटैक्सिस), सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु पर पत्तियों की व्यवस्था में, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए सुनहरे खंड का कानून स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी वेब को सर्पिल तरीके से बुनती है। एक सर्पिल में एक तूफान घूम रहा है। हिरन का भयभीत झुंड एक सर्पिल में बिखरा हुआ है। डीएनए अणु एक डबल हेलिक्स में मुड़ जाता है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।
सड़क के किनारे घास के बीच, एक अचूक पौधा उगता है - चिकोरी। आइए उसे करीब से देखें। मुख्य तने से एक प्रक्रिया बन गई है। पहली शीट वहीं स्थित है।
चावल। 13. चिकोरी
शूट अंतरिक्ष में एक मजबूत निष्कासन करता है, रुकता है, एक पत्ता छोड़ता है, लेकिन पहले से छोटा होता है, फिर से अंतरिक्ष में बाहर निकल जाता है, लेकिन कम बल के साथ, इससे भी छोटे आकार का एक पत्ता छोड़ता है और फिर से बाहर निकालता है। यदि पहला उत्सर्जन 100 इकाई के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाई है, तीसरा 38 है, चौथा 24 है, आदि। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। विकास में, अंतरिक्ष की विजय, पौधे ने कुछ अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग धीरे-धीरे सुनहरे खंड के अनुपात में कम हो गए।
चावल। 15. चिड़िया का अंडा
महान गोएथे, एक कवि, प्रकृतिवादी और कलाकार (उन्होंने पानी के रंगों में चित्रित और चित्रित किया), कार्बनिक निकायों के रूप, गठन और परिवर्तन के बारे में एक एकीकृत शिक्षण बनाने का सपना देखा। यह वह था जिसने आकृति विज्ञान शब्द को वैज्ञानिक उपयोग में पेश किया था।
इस शताब्दी की शुरुआत में पियरे क्यूरी ने समरूपता के कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता पर विचार किए बिना किसी भी शरीर की समरूपता पर विचार नहीं किया जा सकता है।
"गोल्डन" समरूपता के पैटर्न प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, जीवित जीवों की आनुवंशिक संरचनाओं में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक व्यक्ति और पूरे शरीर के अलग-अलग अंगों की संरचना में हैं, और बायोरिदम और मस्तिष्क के कामकाज और दृश्य धारणा में भी प्रकट होते हैं।
स्वर्ण अनुपात और समरूपता
समरूपता के संबंध के बिना, स्वर्ण अनुपात को अलग से नहीं माना जा सकता है। महान रूसी क्रिस्टलोग्राफर जी.वी. वोल्फ (1863 ... 1925) ने स्वर्ण अनुपात को समरूपता की अभिव्यक्तियों में से एक माना।
स्वर्ण विभाजन विषमता का प्रकटीकरण नहीं है, जो समरूपता के विपरीत है। आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, स्वर्ण विभाजन एक असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में स्थिर और गतिशील समरूपता जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं। स्थिर समरूपता आराम, संतुलन और गतिशील - गति, विकास की विशेषता है। तो, प्रकृति में, स्थिर समरूपता को क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शाया जाता है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, आंदोलन, विकास, लय की विशेषता है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थिर समरूपता समान खंडों, समान मूल्यों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या कमी की विशेषता है, और इसे बढ़ती या घटती श्रृंखला के सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त किया जाता है।
ग्रंथ सूची विवरण:मैक्सिमेंको ओ.वी., पादरी वी.एस., वोरफ़ोलोमेवा पी.वी., मोज़िकोवा के.ए., निकोलेवा एमई, श्मेलेवा ओ.वी. गोल्डन सेक्शन की अवधारणा के लिए // यंग साइंटिस्ट। - 2016. - संख्या 6.1। - एस. 35-39..02.2019)।
"ज्यामिति के दो खजाने हैं:
उनमें से एक पाइथागोरस प्रमेय है,
दूसरा खंड को औसत और चरम अनुपात में विभाजित कर रहा है "
जोहान्स केप्लर
कीवर्ड: सुनहरा अनुपात, सुनहरा अनुपात, वैज्ञानिक घटना।
हमारे काम का उद्देश्य ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में "गोल्डन सेक्शन" से संबंधित जानकारी के स्रोतों का अध्ययन करना, पैटर्न की पहचान करना और विज्ञान के बीच संबंध खोजना, गोल्डन सेक्शन के व्यावहारिक अर्थ की पहचान करना है।
इस शोध की प्रासंगिकता गणित और कला में स्वर्णिम अनुपात के उपयोग के सदियों पुराने इतिहास से निर्धारित होती है। पूर्वजों ने जिस बात को लेकर असमंजस में डाला वह प्रासंगिक बनी हुई है और समकालीनों की रुचि जगाती है।
हर समय, लोगों ने अपने आसपास की दुनिया में पैटर्न खोजने की कोशिश की है। उन्होंने अपने आप को अपने दृष्टिकोण से "सही" रूप की वस्तुओं से घेर लिया। केवल गणित के विकास के साथ ही लोगों ने "स्वर्ण अनुपात" को मापने का प्रबंधन किया, जिसे बाद में "गोल्डन सेक्शन" के रूप में जाना जाने लगा।
सुनहरा अनुपात- हार्मोनिक अनुपात
सुनहरा अनुपात एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से को उसी तरह संदर्भित करता है जैसे कि बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से को संदर्भित करता है; या, दूसरे शब्दों में, एक छोटा खंड एक बड़े खंड को सब कुछ के लिए एक बड़ा के रूप में संदर्भित करता है (चित्र 1)।
ए: बी = बी: सी
चावल। 1. एक खंड का सुनहरे अनुपात से विभाजन
आइए आपको याद दिलाते हैं कि सुनहरा अनुपात क्या है। सुनहरे अनुपात की सबसे अधिक क्षमता वाली परिभाषा कहती है कि छोटा हिस्सा बड़े को संदर्भित करता है, जितना कि पूरे के लिए बड़ा। इसका अनुमानित मान 1.6180339887 है। एक गोल प्रतिशत में, एक पूरे के भागों का अनुपात 62% से 38% के रूप में संबंधित होगा। यह संबंध स्थान और समय के रूप में संचालित होता है।
स्वर्ण त्रिभुज औरआयत
एक खंड को असमान भागों (स्वर्ण अनुपात) में विभाजित करने के अलावा, एक सुनहरा त्रिभुज और एक सुनहरा आयत माना जाता है।
एक सुनहरा आयत एक आयत होता है जिसकी भुजाओं की लंबाई सुनहरे अनुपात में होती है (चित्र 2)।
पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसके किनारे शीर्ष पर 36 ° का कोण बनाते हैं, और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे अनुपात (चित्र 3) के अनुपात में विभाजित करता है।
रेखा चित्र नम्बर 2। स्वर्ण आयत
अंजीर। 3 स्वर्ण त्रिभुज
पंचकोण जो तंत्र में प्रयुक्त होता है
एक नियमित पांच-बिंदु वाले तारे में, प्रत्येक खंड को एक खंड द्वारा विभाजित किया जाता है जो इसे सुनहरे अनुपात में काटता है, अर्थात नीले खंड का हरा, लाल से नीला, हरा से बैंगनी का अनुपात 1.618 है (चित्र 4)।
अंजीर। 4. पेंटाग्राम-स्वच्छता
पाइथागोरस ने तर्क दिया कि पेंटाग्राम, या, जैसा कि उन्होंने इसे कहा, स्वच्छता एक गणितीय पूर्णता है, क्योंकि यह अपने आप में सुनहरे अनुपात को छुपाता है। नीले से हरे, लाल से नीले, हरे से बैंगनी का अनुपात सुनहरा अनुपात है।
फाइबोनैचि श्रृंखला
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि संख्याओं की श्रृंखला को फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो के योग के बराबर, और श्रृंखला में आसन्न संख्याओं का अनुपात सोने के विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है।
तो, 21:34 = 0.617
34: 55 = 0,618.
स्वर्णिम अनुपात का इतिहास
ऐसा माना जाता है कि प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) पाइथागोरस द्वारा सोने के विभाजन की अवधारणा को वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया था। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने मिस्र और बेबीलोनियों से स्वर्ण विभाजन का अपना ज्ञान उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिरों, आधार-राहत, घरेलू सामान और गहनों के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन अनुपात का इस्तेमाल किया था।
में सुनहरा अनुपातमानव शरीर के अंग
1855 में, गोल्डन अनुपात के जर्मन शोधकर्ता प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना काम एस्थेटिक रिसर्च प्रकाशित किया।
Zeising ने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सुनहरा अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून (चित्र 5) को व्यक्त करता है।
अंजीर। मानव शरीर के कुछ हिस्सों में 5 सुनहरा अनुपात
स्वर्ण अनुपात . मेंवन्यजीव
यह आश्चर्यजनक है कि मानव ज्ञान के कई क्षेत्रों में सिर्फ एक गणितीय अवधारणा कैसे होती है। यह दुनिया में हर चीज में व्याप्त है, जैसा कि यह था, सद्भाव और अराजकता, गणित और कला को जोड़ता है।
जैविक अनुसंधान में, यह दिखाया गया था कि, वायरस और पौधों से लेकर मानव शरीर तक, हर जगह एक सुनहरा अनुपात प्रकट होता है, जो उनकी संरचना की आनुपातिकता और सामंजस्य को दर्शाता है। स्वर्ण अनुपात को जीवित प्रणालियों के सार्वभौमिक नियम के रूप में मान्यता प्राप्त है।
एक छिपकली में, पहली नज़र में, हमारी आंखों के लिए सुखद अनुपात पर कब्जा कर लिया जाता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई से उतनी ही संबंधित होती है जितनी 62 से 38 (चित्र 6)।
अंजीर। 6 छिपकली के शरीर के अंगों में सुनहरा अनुपात
स्वर्ण अनुपात . मेंवास्तुकला
"सुनहरे अनुपात" के बारे में पुस्तकों में आप यह टिप्पणी पा सकते हैं कि वास्तुकला में, पेंटिंग के रूप में, सब कुछ पर्यवेक्षक की स्थिति पर निर्भर करता है, और यदि एक तरफ एक इमारत में कुछ अनुपात "सुनहरा अनुपात" बनाते हैं, तो दूसरे दृष्टिकोण से वे अलग दिखाई देंगे। "गोल्डन सेक्शन" निश्चित लंबाई के आकार का सबसे शांत अनुपात देता है।
पार्थेनन (चित्र 7) प्राचीन ग्रीक वास्तुकला के सबसे सुंदर टुकड़ों में से एक है। इमारत की ऊंचाई और उसकी लंबाई का अनुपात 0.618 है। यदि हम पार्थेनन को "सुनहरे अनुपात" के अनुसार विभाजित करते हैं, तो हमें मुखौटा के कुछ प्रोट्रूशियंस मिलेंगे।
पुरातनता की वास्तुकला का एक और उदाहरण चेप्स का पिरामिड है (चित्र 8)।
ग्रेट पिरामिड के अनुपात को "गोल्डन रेशियो" में रखा गया है
प्राचीन बिल्डरों ने लगभग पूर्ण इंजीनियरिंग सटीकता और समरूपता के साथ इस राजसी स्मारक को बनाने में कामयाबी हासिल की।
अंजीर। 7. पार्थेनन
चित्र 8. चेप्स का पिरामिड
स्वर्ण अनुपात . मेंमूर्ति
"गोल्डन सेक्शन" के अनुपात सुंदरता के सामंजस्य की छाप पैदा करते हैं, इसलिए मूर्तिकारों ने उन्हें अपने काम में इस्तेमाल किया। इसलिए, उदाहरण के लिए, अपोलो बेल्वेडियर की प्रसिद्ध मूर्ति में सुनहरे अनुपात (चित्र 9) के अनुसार विभाजित भाग होते हैं।
अंजीर। 9 अपोलो बेल्वेडियर की मूर्ति
स्वर्ण अनुपात . मेंचित्र
पेंटिंग में "सुनहरे अनुपात" के उदाहरणों पर आगे बढ़ते हुए, लियोनार्डो दा विंची के काम पर ध्यान केंद्रित करने में कोई मदद नहीं कर सकता है। आइए पेंटिंग "ला जियोकोंडा" पर करीब से नज़र डालें। चित्र की रचना स्वर्ण त्रिभुजों पर बनी है (चित्र 10)।
अंजीर। 10 लियोनार्डो दा विंची "ला जियोकोंडा"
पेंटिंग में सुनहरे अनुपात का एक और उदाहरण राफेल की पेंटिंग "द बीटिंग ऑफ बेबीज" (चित्र। 11) है। राफेल के प्रारंभिक स्केच पर, लाल रेखाएँ खींची जाती हैं, जो रचना के शब्दार्थ केंद्र से आती हैं। यदि आप स्वाभाविक रूप से इन टुकड़ों को एक घुमावदार बिंदीदार रेखा से जोड़ते हैं, तो बहुत उच्च सटीकता के साथ आपको मिलता है ... एक सुनहरा सर्पिल!
चित्र 11. राफेल "बच्चों की पिटाई"
स्वर्ण अनुपात . मेंसाहित्यिक कार्य
अस्थायी कला रूप अपने तरीके से हमें स्वर्णिम विभाजन के सिद्धांत को प्रदर्शित करते हैं। गोल्डन सेक्शन का नियम रूसी क्लासिक के व्यक्तिगत कार्यों में भी लागू होता है। तो, "द क्वीन ऑफ़ स्पेड्स" कहानी में 853 पंक्तियाँ हैं, और परिणति पंक्ति 535 (853: 535 = 1.6) पर है - यह सुनहरे खंड का बिंदु है।
स्वर्ण अनुपात . मेंगतिशील तस्वीरें
फिल्म निर्देशक सर्गेई ईसेनस्टीन ने जानबूझकर अपनी फिल्म "बैटलशिप पोटेमकिन" की स्क्रिप्ट को गोल्डन सेक्शन के नियम के साथ समन्वित किया, टेप को पांच भागों में विभाजित किया।
निष्कर्ष
स्वर्ण अनुपात भारत और चीन में प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में भी जाना जाता था। महान पाइथागोरस ने एक गुप्त स्कूल बनाया जहाँ "गोल्डन सेक्शन" के रहस्यमय सार का अध्ययन किया गया था। यूक्लिड ने इसे लागू किया, अपनी ज्यामिति का निर्माण किया, और फिडियास - उनकी अमर मूर्तियां। प्लेटो ने कहा कि ब्रह्मांड को "स्वर्ण अनुपात" के अनुसार व्यवस्थित किया गया है। और अरस्तू ने नैतिक कानून के लिए "स्वर्ण खंड" के पत्राचार को पाया। लियोनार्डो दा विंची और माइकल एंजेलो द्वारा "सुनहरे अनुपात" के उच्चतम सामंजस्य का प्रचार किया जाएगा, क्योंकि सुंदरता और "सुनहरा अनुपात" एक समान हैं। और ईसाई फकीर शैतान से भागते हुए अपने मठों की दीवारों पर "गोल्डन सेक्शन" के पेंटाग्राम पेंट करेंगे। उसी समय, वैज्ञानिक - पैसिओली से लेकर आइंस्टीन तक - खोज करेंगे, लेकिन इसका सटीक अर्थ कभी नहीं खोज पाएंगे। दशमलव बिंदु के बाद एक अनंत संख्या - 1.6180339887 ... एक अजीब, रहस्यमय, अकथनीय बात: यह दिव्य अनुपात रहस्यमय रूप से सभी जीवित चीजों के साथ है। निर्जीव प्रकृति नहीं जानती कि "स्वर्ण अनुपात" क्या है। लेकिन आप इस अनुपात को समुद्र के गोले के वक्रों में, और फूलों के रूप में, और बीटल के रूप में, और एक सुंदर मानव शरीर में देखेंगे। सब कुछ जीवित और सब कुछ सुंदर - सब कुछ ईश्वरीय नियम का पालन करता है, जिसका नाम "सुनहरा खंड" है। तो स्वर्णिम अनुपात क्या है? यह सिद्ध, दैवीय संयोजन क्या है? शायद यही सुंदरता का नियम है? या वह एक रहस्यमय रहस्य है? वैज्ञानिक घटना या नैतिक सिद्धांत? उत्तर अभी भी अज्ञात है। अधिक सटीक - नहीं, यह ज्ञात है। "सुनहरा अनुपात" एक और दूसरा, और तीसरा दोनों है। केवल अलग से नहीं, बल्कि साथ-साथ... और यही इसका सच्चा रहस्य है, इसका महान रहस्य है।
साहित्य:
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- टाइमरिंग जीई गोल्डन सेक्शन। - एम।: लिब्रोकॉम, 2009
कीवर्ड: सुनहरा अनुपात, सुनहरा अनुपात, वैज्ञानिक घटना.
व्याख्या: स्वर्ण अनुपात संरचनात्मक सद्भाव का एक सार्वभौमिक अभिव्यक्ति है। यह प्रकृति, विज्ञान, कला - हर उस चीज में पाया जाता है जिसके संपर्क में कोई व्यक्ति आ सकता है। लेख के लेखक साहित्य पर शोध करते हैं, गोल्डन सेक्शन से संबंधित विज्ञानों के बीच संबंध पाते हैं और सुनहरे अनुपात के व्यावहारिक अर्थ को प्रकट करते हैं।
