विकर्णों के माध्यम से समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना। समांतर चतुर्भुज और उसके गुण
चतुर्भुजएक चतुर्भुज है, जिसकी भुजाएँ जोड़ी में समानांतर हैं।
इस आकृति में, सम्मुख भुजाएँ और कोण एक दूसरे के बराबर हैं। समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इससे आधे हो जाते हैं। समांतर चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र आपको पक्षों, ऊंचाई और विकर्णों के संदर्भ में मान खोजने की अनुमति देते हैं। समांतर चतुर्भुज विशेष मामलों में भी प्रस्तुत किया जा सकता है। उन्हें आयत, वर्ग और समचतुर्भुज माना जाता है।
आरंभ करने के लिए, एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की ऊंचाई और जिस तरफ इसे कम किया गया है, की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार करें।
इस मामले को एक क्लासिक माना जाता है और इसके लिए अतिरिक्त जांच की आवश्यकता नहीं होती है। दो पक्षों और उनके बीच के कोण के माध्यम से क्षेत्र की गणना करने के सूत्र पर विचार करना बेहतर है। गणना में उसी विधि का उपयोग किया जाता है। यदि भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया गया है, तो क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: 
मान लीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ a = 4 सेमी, b = 6 सेमी हैं। उनके बीच का कोण α = 30 ° है। आइए क्षेत्र खोजें: 
विकर्णों के माध्यम से समांतर चतुर्भुज क्षेत्र
विकर्णों के संदर्भ में समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र आपको शीघ्रता से एक मान खोजने की अनुमति देता है।
गणना के लिए, आपको विकर्णों के बीच के कोण का मान चाहिए।
आइए विकर्णों के माध्यम से समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि विकर्ण D = 7 सेमी, d = 5 सेमी के साथ एक समांतर चतुर्भुज दिया गया है। उनके बीच का कोण α = 30 ° है। आइए डेटा को सूत्र में बदलें: 
एक विकर्ण के माध्यम से समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना करने के एक उदाहरण ने हमें एक उत्कृष्ट परिणाम दिया - 8.75।
विकर्ण के माध्यम से समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को जानकर, आप कई दिलचस्प समस्याओं को हल कर सकते हैं। आइए उनमें से एक को देखें।
कार्य:आपको 92 वर्गमीटर क्षेत्रफल वाला एक समांतर चतुर्भुज दिया गया है। देखें बिंदु F इसकी भुजा BC के मध्य में स्थित है। आइए ADFB समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करें जो हमारे समांतर चतुर्भुज में स्थित होगा। आरंभ करने के लिए, आइए वह सब कुछ बनाएं जो हमें शर्तों के अनुसार प्राप्त हुआ।
आइए हल करना शुरू करें: 
हमारी शर्तों के अनुसार, आह = 92, और तदनुसार, हमारे समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल बराबर होगा 
ध्यान दें... यह ज्यामिति की समस्याओं वाले पाठ का हिस्सा है (अनुभाग समांतर चतुर्भुज)। यदि आपको एक ज्यामिति समस्या को हल करने की आवश्यकता है जो यहां नहीं है, तो इसके बारे में फोरम में लिखें। समस्या समाधान में वर्गमूल निकालने की क्रिया को दर्शाने के लिए, प्रतीक √ या sqrt () का उपयोग किया जाता है, और मूल अभिव्यक्ति को कोष्ठक में दर्शाया जाता है।
सैद्धांतिक सामग्री
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों की व्याख्या:
- एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके एक भुजा की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है जो इस तरफ से नीचे की ओर होता है
- एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके बीच के कोण की ज्या द्वारा उसकी दो आसन्न भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है
- एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कार्य
टास्क.एक समांतर चतुर्भुज में, छोटी ऊँचाई और छोटी भुजा क्रमशः 9 सेमी और 82 की जड़ के बराबर होती है। बड़ा विकर्ण 15 सेमी होता है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाधान.
आइए हम समांतर चतुर्भुज ABCD की निचली ऊंचाई को बिंदु B से बड़े आधार AD तक कम करके BK के रूप में निरूपित करते हैं।
एक छोटी ऊँचाई, एक छोटी भुजा और एक बड़े आधार के एक भाग से बने समकोण त्रिभुज ABK के पाद का मान ज्ञात कीजिए। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
एबी 2 = बीके 2 + एके 2
82 = 9 2 + एके 2
एके 2 = 82 - 81
एके = 1
आइए हम समांतर चतुर्भुज BC के ऊपरी आधार का विस्तार करें और ऊंचाई AN को इसके निचले आधार से नीचे करें। AN = BK आयत ANBK की भुजाओं के रूप में। परिणामी समकोण त्रिभुज ANC का लेग NC ज्ञात कीजिए।
एएन 2 + एनसी 2 = एसी 2
9 2 + एनसी 2 = 15 2
एनसी 2 = 225 - 81
एनसी 2 = √144
एनसी = 12
अब समांतर चतुर्भुज ABCD का बड़ा आधार BC ज्ञात कीजिए।
बीसी = एनसी - एनबी
हम ध्यान में रखते हैं कि NB = AK आयत की भुजाओं के रूप में है, तो
ईसा पूर्व = 12 - 1 = 11
एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार के गुणनफल और इस आधार की ऊंचाई के बराबर होता है।
एस = आह
एस = बीसी * बीके
एस = 11 * 9 = 99
उत्तर: 99 सेमी 2.
टास्क
AVSD के समांतर चतुर्भुज में, लंबवत VO को AC के विकर्ण पर उतारा जाता है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि AO = 8, OC = 6 और BO = 4 है।
समाधान.
आइए हम एक और लंब DK को विकर्ण पर छोड़ते हैं।
तदनुसार, त्रिभुज AOB और DKC, COB और AKD जोड़े में बराबर हैं। पक्षों में से एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्ष है, कोनों में से एक सीधा है, क्योंकि यह विकर्ण के लंबवत है, और शेष कोणों में से एक समांतर चतुर्भुज के समानांतर पक्षों और छेदक विकर्ण के लिए स्थित एक आंतरिक क्रॉस है।
इस प्रकार, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल संकेतित त्रिभुजों के क्षेत्रफल के बराबर होता है। अर्थात्
समानांतर = 2S AOB + 2S BOC
एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल टांगों के गुणनफल का आधा होता है। कहा पे
एस = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 सेमी 2
उत्तर: 56 सेमी 2.
इस विषय पर समस्याओं को हल करते समय, इसके अलावा बुनियादी गुण समानांतर चतुर्भुजऔर संबंधित सूत्र, आप निम्नलिखित को याद रख सकते हैं और लागू कर सकते हैं:
- समांतर चतुर्भुज के आंतरिक कोण का द्विभाजक इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज को काटता है
- समांतर चतुर्भुज की किसी एक भुजा से सटे आंतरिक कोणों के समद्विभाजक परस्पर लंबवत होते हैं
- समांतर चतुर्भुज के विपरीत आंतरिक कोनों से निकलने वाले द्विभाजक एक दूसरे के समानांतर होते हैं या एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं
- एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है
- एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है
आइए उन कार्यों पर विचार करें जिनके समाधान में इन गुणों का उपयोग किया जाता है।
उद्देश्य 1.
समांतर चतुर्भुज ABCD के कोण C का समद्विभाजक भुजा AD को बिंदु M पर और बिंदु A से परे भुजा AB की निरंतरता को बिंदु E पर प्रतिच्छेद करता है। समांतर चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए यदि AE = 4, DМ = 3 है।
समाधान।
1. त्रिभुज CMD समद्विबाहु है। (संपत्ति 1)। इसलिए, सीडी = एमडी = 3 सेमी।
2. EAM त्रिभुज समद्विबाहु है।
अत: AE = AM = 4 सेमी.
3. एडी = एएम + एमडी = 7 सेमी।
4. परिमाप ABCD = 20 सेमी.
उत्तर। 20 सेमी.
उद्देश्य 2.
उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्ण खींचे जाते हैं। यह ज्ञात है कि त्रिभुज ABD, ACD, BCD के क्षेत्रफल बराबर हैं। सिद्ध कीजिए कि दिया गया चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।
समाधान।
1. माना BE - त्रिभुज ABD की ऊँचाई, CF - त्रिभुज ACD की ऊँचाई। चूँकि, समस्या की स्थिति के अनुसार, त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं और इनका एक उभयनिष्ठ आधार AD होता है, इन त्रिभुजों की ऊँचाई समान होती है। बीई = सीएफ।
2. बीई, सीएफ एडी के लंबवत हैं। बिंदु B और C रेखा AD के एक ही ओर स्थित हैं। बीई = सीएफ। नतीजतन, सीधी रेखा ВС || ई. (*)
3. मान लीजिए L त्रिभुज АСD की ऊँचाई है, BK - त्रिभुज BCD की ऊँचाई। चूँकि, समस्या की स्थिति के अनुसार, त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं और इनका एक उभयनिष्ठ आधार CD होता है, इन त्रिभुजों की ऊँचाई समान होती है। एएल = बीके।
4. AL और BK, CD पर लंबवत हैं। बिंदु बी और ए सीधी रेखा सीडी के एक ही तरफ स्थित हैं। एएल = बीके। नतीजतन, सीधी रेखा AB || सीडी (**)
5. शर्तों से (*), (**) निम्नानुसार है - ABCD समांतर चतुर्भुज।
उत्तर। सिद्ध किया हुआ। एबीसीडी - समांतर चतुर्भुज।
उद्देश्य 3.
समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं BC और CD पर क्रमशः बिंदु M और H अंकित हैं, ताकि खंड BM और HD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करें;<ВМD = 95 о,
समाधान।
1. त्रिभुज DOM . में<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. एक समकोण त्रिभुज में DHC फिर<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 लेकिन सीडी = एबी। तब एबी: एचडी = 2: 1। 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = उत्तर: AB: D = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = कार्य 4. समांतर चतुर्भुज के विकर्णों में से एक, 4√6 लंबा, आधार के साथ 60 ° का कोण बनाता है, और दूसरा विकर्ण उसी आधार के साथ 45 ° का कोण बनाता है। दूसरा विकर्ण ज्ञात कीजिए। समाधान।
1. एओ = 2√6। 2. हम ज्या प्रमेय को त्रिभुज AOD पर लागू करते हैं। एओ / पाप डी = ओडी / पाप ए। 2√6 / पाप 45 ओ = ओडी / पाप 60 ओ। D = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6। उत्तर: 12.
कार्य 5. 5√2 और 7√2 भुजाओं वाले एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के बीच एक छोटा कोण होता है जो समांतर चतुर्भुज के छोटे कोण के बराबर होता है। विकर्णों की लंबाई का योग ज्ञात कीजिए। समाधान।
मान लीजिए d 1, d 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण हैं, और समांतर चतुर्भुज के विकर्णों और छोटे कोणों के बीच का कोण φ के बराबर है। 1. आइए दो अलग-अलग गिनें एस एबीसीडी = एबी एडी पाप ए = 5√2 7√2 पाप φ, एस एबीसीडी = 1/2 एС डी पाप एОВ = 1/2 डी 1 डी 2 पाप । हम समानता प्राप्त करते हैं 5√2 7√2 sin = 1/2d 1 d 2 sin ф or 2 5√2 7√2 = डी 1 डी 2; 2. समांतर चतुर्भुज की भुजाओं और विकर्णों के बीच के अनुपात का उपयोग करते हुए, हम समानता लिखते हैं (एबी 2 + एडी 2) 2 = एसी 2 + बीडी 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = घ 1 2 + घ 2 2। घ 1 2 + घ 2 2 = 296। 3. आइए सिस्टम की रचना करें: (डी 1 2 + डी 2 2 = 296, हम सिस्टम के दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करते हैं और इसे पहले में जोड़ते हैं। हमें (d 1 + d 2) 2 = 576 मिलता है। इसलिए Id 1 + d 2 I = 24। चूँकि d 1, d 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाइयाँ हैं, तो d 1 + d 2 = 24. उत्तर: 24.
कार्य 6. समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 4 और 6 हैं। विकर्णों के बीच का न्यून कोण 45 ° है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। समाधान।
1. त्रिभुज AOB से, कोज्या प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम समांतर चतुर्भुज की भुजा और विकर्णों के बीच संबंध लिखते हैं। एबी 2 = एओ 2 + बीओ 2 2 एओ वीओ कॉस एओबी। 4 2 = (डी 1/2) 2 + (डी 2/2) 2 - 2 (डी 1/2) (डी 2/2) क्योंकि 45 ओ; डी 1 2/4 + डी 2 2/4 - 2 (डी 1/2) (डी 2/2) 2/2 = 16. डी 1 2 + डी 2 2 - डी 1 डी 2 √2 = 64। 2. इसी प्रकार, हम त्रिभुज AOD के लिए संबंध लिखते हैं। आइए ध्यान रखें कि<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. हमें समीकरण d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 मिलता है। 3. हमारे पास एक प्रणाली है दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर, हमें 2d 1 d 2 2 = 80 or . मिलता है घ 1 घ 2 = 80 / (2√2) = 20√2 4.S ABCD = 1/2 AC · D · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10. ध्यान दें:इसमें और पिछली समस्या में, सिस्टम को पूरी तरह से हल करने की कोई आवश्यकता नहीं है, यह देखते हुए कि इस समस्या में, क्षेत्र की गणना करने के लिए, हमें विकर्णों के उत्पाद की आवश्यकता है। उत्तर: 10. कार्य 7. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 96 है, और इसकी भुजाएँ 8 और 15 हैं। छोटे विकर्ण का वर्ग ज्ञात कीजिए। समाधान।
1.S ABCD = AB · AD · sin BAD। आइए सूत्र में प्रतिस्थापन करें। हमें 96 = 8 15 sin BAD मिलता है। अत: sin AD = 4/5. 2. क्योंकि खराब खोजें। sin 2 BAD + cos 2 BAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1.cos 2 BAD = 9/25। समस्या कथन के अनुसार, हम छोटे विकर्ण की लंबाई ज्ञात करते हैं। यदि बीएडी कोण तेज है तो बीडी विकर्ण छोटा होगा। तब cos BAD = 3/5. 3. कोज्या प्रमेय द्वारा त्रिभुज ABD से हम विकर्ण BD का वर्ग ज्ञात करते हैं। बीडी 2 = एबी 2 + एडी 2 - 2 एबी बीडी क्योंकि बीएडी। D 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145। उत्तर : 145.
अभी भी प्रश्न हैं? सुनिश्चित नहीं है कि ज्यामितीय समस्या को कैसे हल किया जाए? साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है। समांतर चतुर्भुज क्षेत्र। परीक्षा के लिए कार्यों सहित क्षेत्रों की गणना से संबंधित ज्यामिति में बहुत सारी समस्याओं में, समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्रों का उपयोग किया जाता है। उनमें से कई हैं, यहां हम उन पर विचार करेंगे। इन सूत्रों की गणना करना बहुत आसान होगा; संदर्भ पुस्तकों और विभिन्न साइटों पर इस तरह की चीजें पहले से ही पर्याप्त हैं। मैं सार बताना चाहूंगा - ताकि आप उन्हें रटें नहीं, बल्कि समझें और किसी भी क्षण आसानी से याद कर सकें। लेख की सामग्री का अध्ययन करने के बाद, आप समझ जाएंगे कि आपको इन सूत्रों को सीखने की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। निष्पक्ष रूप से, वे निर्णयों में इतने सामान्य हैं कि उन्हें लंबे समय तक याद रखा जाता है। 1.
तो आइए एक नजर डालते हैं समांतर चतुर्भुज पर। परिभाषा पढ़ती है: ऐसा क्यों है? यह इतना आसान है! स्पष्ट रूप से यह दिखाने के लिए कि सूत्र का अर्थ क्या है, हम कुछ अतिरिक्त रचनाएँ करेंगे, अर्थात्, हम ऊँचाईयों को प्लॉट करेंगे: त्रिभुज का क्षेत्रफल (2) त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है (1) - समकोण त्रिभुजों की समानता का दूसरा चिन्ह "पैर और कर्ण के साथ।" अब हम मानसिक रूप से दूसरे को "काट" देते हैं और इसे पहले पर सुपरइम्पोज़ करके स्थानांतरित करते हैं - हमें एक आयत मिलता है, जिसका क्षेत्रफल मूल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होगा: एक आयत का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं के गुणनफल के बराबर माना जाता है। जैसा कि आप स्केच से देख सकते हैं, परिणामी आयत का एक पक्ष समांतर चतुर्भुज की भुजा के बराबर है, और दूसरा समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई के बराबर है। इसलिए, हम समांतर चतुर्भुज S = a h . के क्षेत्रफल के लिए सूत्र प्राप्त करते हैंए 2. चलिए जारी रखते हैं, इसके क्षेत्रफल के लिए एक और सूत्र। हमारे पास है: आइए पक्षों को ए और बी के रूप में नामित करें, उनके बीच का कोण γ "गामा" है, ऊंचाई एच ए है। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें:
(
(चूंकि एक समकोण त्रिभुज में पैर, जो 30 ° के कोण के विपरीत स्थित है, आधे कर्ण के बराबर है)।
इसके क्षेत्र के तरीके।
(डी 1 + डी 2 = 140.
(डी 1 2 + डी 2 2 - डी 1 डी 2 √2 = 64,
(डी 1 2 + डी 2 2 + डी 1 डी 2 √2 = 144.
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समांतर चतुर्भुज सूत्र का क्षेत्रफल
