वाई - आउटपुट चर के वेक्टर, वाई = टी,

जेड - बाहरी प्रभावों का वेक्टर, जेड = टी,

टी - समय समन्वय।

इमारत गणित का मॉडलकुछ प्रक्रियाओं और घटनाओं के बीच संबंधों को निर्धारित करने में शामिल हैं, एक गणितीय उपकरण बनाना जो कुछ प्रक्रियाओं और घटनाओं के बीच मात्रात्मक और गुणात्मक रूप से संबंध व्यक्त करने की अनुमति देता है, किसी विशेषज्ञ के लिए भौतिक मात्रा में ब्याज और अंतिम परिणाम को प्रभावित करने वाले कारकों के बीच।

आमतौर पर उनमें से इतने सारे होते हैं कि उनके पूरे सेट को मॉडल में पेश करना संभव नहीं होता है। निर्माण करते समय गणित का मॉडलअध्ययन से पहले, उन कारकों की पहचान करने और उन्हें बाहर करने का कार्य उत्पन्न होता है जो अंतिम परिणाम को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं करते हैं ( गणित का मॉडलआमतौर पर वास्तविकता की तुलना में बहुत कम संख्या में कारक शामिल होते हैं)। प्रायोगिक आंकड़ों के आधार पर, अंतिम परिणाम को व्यक्त करने वाली मात्राओं और में पेश किए गए कारकों के बीच संबंध के बारे में परिकल्पनाओं को सामने रखा जाता है। गणित का मॉडल. इस तरह के संबंध को अक्सर विभेदक प्रणालियों द्वारा व्यक्त किया जाता है आंशिक अंतर समीकरण(उदाहरण के लिए, एक ठोस शरीर, तरल और गैस के यांत्रिकी की समस्याओं में, निस्पंदन का सिद्धांत, गर्मी चालन, इलेक्ट्रोस्टैटिक और इलेक्ट्रोडायनामिक क्षेत्रों का सिद्धांत)।

इस चरण का अंतिम लक्ष्य एक गणितीय समस्या का निर्माण है, जिसका समाधान, आवश्यक सटीकता के साथ, उन परिणामों को व्यक्त करता है जो किसी विशेषज्ञ के लिए रुचिकर हैं।

प्रस्तुति के रूप और सिद्धांत गणित का मॉडलकई कारकों पर निर्भर करता है।

निर्माण के सिद्धांतों के अनुसार गणितीय मॉडलमें विभाजित:

1. विश्लेषणात्मक;
2. नकल।

विश्लेषणात्मक मॉडल में, वास्तविक वस्तुओं, प्रक्रियाओं या प्रणालियों के कामकाज की प्रक्रियाओं को स्पष्ट रूप में लिखा जाता है कार्यात्मक निर्भरता.

गणितीय समस्या के आधार पर विश्लेषणात्मक मॉडल को प्रकारों में विभाजित किया गया है:

1. समीकरण (बीजगणितीय, अनुवांशिक, अंतर, अभिन्न),
2. सन्निकटन समस्याएं (प्रक्षेपण, एक्सट्रपलेशन, संख्यात्मक एकीकरणऔर भेदभाव),
3. अनुकूलन समस्याएं,
4. स्टोकेस्टिक समस्याएं।

हालाँकि, जैसे-जैसे मॉडलिंग ऑब्जेक्ट अधिक जटिल होता जाता है, एक विश्लेषणात्मक मॉडल का निर्माण एक कठिन समस्या बन जाता है। फिर शोधकर्ता को उपयोग करने के लिए मजबूर किया जाता है सिमुलेशन मॉडलिंग.

पर सिमुलेशन मॉडलिंगवस्तुओं, प्रक्रियाओं या प्रणालियों के कामकाज को एल्गोरिदम के एक सेट द्वारा वर्णित किया गया है। एल्गोरिदम वास्तविक प्राथमिक घटनाओं की नकल करते हैं जो उन्हें बनाए रखते हुए एक प्रक्रिया या प्रणाली बनाते हैं तार्किक संरचनाऔर समय के साथ अनुक्रमण। सिमुलेशनआपको स्रोत डेटा के बारे में जानकारी प्राप्त करने की अनुमति देता है प्रक्रिया की स्थितिया सिस्टम कुछ बिंदुओं पर समय में, हालांकि, वस्तुओं, प्रक्रियाओं या प्रणालियों के व्यवहार की भविष्यवाणी करना यहां मुश्किल है। ऐसा कहा जा सकता है की सिमुलेशन मॉडल- ये कंप्यूटर आधारित हैं कम्प्यूटेशनल प्रयोगसाथ गणितीय मॉडल, वास्तविक वस्तुओं, प्रक्रियाओं या प्रणालियों के व्यवहार की नकल करना।

अध्ययन की गई वास्तविक प्रक्रियाओं और प्रणालियों की प्रकृति के आधार पर गणितीय मॉडलहो सकता है:

1. नियतात्मक,
2. स्टोकेस्टिक

नियतात्मक मॉडल में, यह माना जाता है कि कोई यादृच्छिक प्रभाव नहीं है, मॉडल के तत्व (चर, गणितीय संबंध) काफी सटीक रूप से स्थापित हैं, और सिस्टम के व्यवहार को सटीक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। नियतात्मक मॉडल का निर्माण करते समय, बीजीय समीकरण, अभिन्न समीकरण, मैट्रिक्स बीजगणित का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

स्टोकेस्टिक मॉडलअध्ययन के तहत वस्तुओं और प्रणालियों में प्रक्रियाओं की यादृच्छिक प्रकृति को ध्यान में रखता है, जिसे संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों के तरीकों द्वारा वर्णित किया गया है।

इनपुट जानकारी के प्रकार के अनुसार, मॉडल में विभाजित हैं:

1. निरंतर,
2. असतत।

यदि सूचना और पैरामीटर निरंतर हैं, और गणितीय संबंध स्थिर हैं, तो मॉडल निरंतर है। और इसके विपरीत, यदि सूचना और पैरामीटर असतत हैं, और कनेक्शन अस्थिर हैं, तो गणित का मॉडल- असतत।

समय में मॉडलों के व्यवहार के अनुसार, उन्हें इसमें विभाजित किया गया है:

1. स्थिर,
2. गतिशील।

स्थैतिक मॉडल किसी भी समय किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के व्यवहार का वर्णन करते हैं। गतिशील मॉडल समय के साथ किसी वस्तु, प्रक्रिया या प्रणाली के व्यवहार को दर्शाते हैं।

के बीच पत्राचार की डिग्री के अनुसार

सोवेटोव और याकोवलेव की पाठ्यपुस्तक के अनुसार: "एक मॉडल (लैटिन मापांक - माप) मूल वस्तु का एक वस्तु-विकल्प है, जो मूल के कुछ गुणों का अध्ययन प्रदान करता है।" (पृष्ठ 6) "मॉडल ऑब्जेक्ट का उपयोग करके मूल वस्तु के सबसे महत्वपूर्ण गुणों के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए एक वस्तु को दूसरे के साथ बदलना मॉडलिंग कहलाता है।" (पृष्ठ 6) "गणितीय मॉडलिंग के तहत हम किसी गणितीय वस्तु, जिसे गणितीय मॉडल कहा जाता है, के किसी दिए गए वास्तविक वस्तु के लिए पत्राचार स्थापित करने की प्रक्रिया और इस मॉडल के अध्ययन को समझेंगे, जो विचाराधीन वास्तविक वस्तु की विशेषताओं को प्राप्त करने की अनुमति देता है। . गणितीय मॉडल का प्रकार वास्तविक वस्तु की प्रकृति और वस्तु के अध्ययन के कार्यों और इस समस्या को हल करने की आवश्यक विश्वसनीयता और सटीकता दोनों पर निर्भर करता है।"

अंत में, गणितीय मॉडल की सबसे संक्षिप्त परिभाषा: "एक विचार व्यक्त करने वाला समीकरण।"

मॉडल वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण

मॉडलों का औपचारिक वर्गीकरण उपयोग किए गए गणितीय उपकरणों के वर्गीकरण पर आधारित होता है। अक्सर द्विभाजन के रूप में निर्मित। उदाहरण के लिए, द्विभाजन के लोकप्रिय सेटों में से एक है:

आदि। प्रत्येक निर्मित मॉडल रैखिक या गैर-रेखीय, नियतात्मक या स्टोकेस्टिक है, ... स्वाभाविक रूप से, मिश्रित प्रकार भी संभव हैं: एक संबंध में केंद्रित (मापदंडों के संदर्भ में), दूसरे में वितरित मॉडल, आदि।

वस्तु का प्रतिनिधित्व करने के तरीके से वर्गीकरण

औपचारिक वर्गीकरण के साथ, मॉडल वस्तु का प्रतिनिधित्व करने के तरीके में भिन्न होते हैं:

• संरचनात्मक या कार्यात्मक मॉडल

संरचनात्मक मॉडल एक वस्तु को अपने स्वयं के उपकरण और कार्यप्रणाली तंत्र के साथ एक प्रणाली के रूप में दर्शाते हैं। कार्यात्मक मॉडल ऐसे अभ्यावेदन का उपयोग नहीं करते हैं और किसी वस्तु के केवल बाहरी रूप से कथित व्यवहार (कार्य) को दर्शाते हैं। उनकी चरम अभिव्यक्ति में, उन्हें "ब्लैक बॉक्स" मॉडल भी कहा जाता है। संयुक्त प्रकार के मॉडल भी संभव हैं, जिन्हें कभी-कभी "ग्रे बॉक्स" मॉडल कहा जाता है।

सामग्री और औपचारिक मॉडल

गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया का वर्णन करने वाले लगभग सभी लेखकों ने संकेत दिया है कि पहले एक विशेष आदर्श निर्माण का निर्माण किया जाता है, सामग्री मॉडल. यहां कोई स्थापित शब्दावली नहीं है, और अन्य लेखक इस आदर्श वस्तु को कहते हैं वैचारिक प्रतिरूप , सट्टा मॉडलया पूर्व मॉडल. इस मामले में, अंतिम गणितीय निर्माण कहा जाता है औपचारिक मॉडलया इस सामग्री मॉडल (पूर्व-मॉडल) की औपचारिकता के परिणामस्वरूप प्राप्त सिर्फ एक गणितीय मॉडल। तैयार आदर्शों के एक सेट का उपयोग करके एक सार्थक मॉडल बनाया जा सकता है, जैसे कि यांत्रिकी में, जहां आदर्श स्प्रिंग्स, कठोर शरीर, आदर्श पेंडुलम, लोचदार मीडिया, आदि सार्थक मॉडलिंग के लिए तैयार संरचनात्मक तत्व प्रदान करते हैं। हालांकि, ज्ञान के क्षेत्रों में जहां पूरी तरह से पूर्ण औपचारिक सिद्धांत नहीं हैं (भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान और अधिकांश अन्य क्षेत्रों के अत्याधुनिक), सार्थक मॉडल का निर्माण नाटकीय रूप से अधिक जटिल है।

मॉडलों का सार्थक वर्गीकरण

विज्ञान में कोई भी परिकल्पना हमेशा के लिए सिद्ध नहीं की जा सकती। रिचर्ड फेनमैन ने इसे बहुत स्पष्ट रूप से रखा:

"हमारे पास हमेशा एक सिद्धांत का खंडन करने की क्षमता होती है, लेकिन ध्यान दें कि हम कभी भी यह साबित नहीं कर सकते कि यह सही है। मान लीजिए कि आप एक सफल परिकल्पना को सामने रखते हैं, गणना करते हैं कि यह कहाँ जाता है, और पाते हैं कि इसके सभी परिणामों की प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की गई है। क्या इसका मतलब यह है कि आपका सिद्धांत सही है? नहीं, इसका सीधा सा मतलब है कि आप इसका खंडन करने में विफल रहे।

यदि पहले प्रकार का एक मॉडल बनाया जाता है, तो इसका मतलब है कि यह अस्थायी रूप से सत्य के रूप में पहचाना जाता है और कोई अन्य समस्याओं पर ध्यान केंद्रित कर सकता है। हालांकि, यह शोध में एक बिंदु नहीं हो सकता है, लेकिन केवल एक अस्थायी विराम है: पहले प्रकार के मॉडल की स्थिति केवल अस्थायी हो सकती है।

टाइप 2: घटनात्मक मॉडल (मानो व्यवहार करो…)

घटनात्मक मॉडल में घटना का वर्णन करने के लिए एक तंत्र होता है। हालाँकि, यह तंत्र पर्याप्त रूप से आश्वस्त नहीं है, उपलब्ध डेटा द्वारा पर्याप्त रूप से पुष्टि नहीं की जा सकती है, या उपलब्ध सिद्धांतों और वस्तु के बारे में संचित ज्ञान से अच्छी तरह सहमत नहीं है। इसलिए, घटनात्मक मॉडल को अस्थायी समाधान का दर्जा प्राप्त है। यह माना जाता है कि उत्तर अभी भी अज्ञात है और "सच्चे तंत्र" की खोज जारी रखना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, Peierls दूसरे प्रकार के प्राथमिक कणों के कैलोरी मॉडल और क्वार्क मॉडल को संदर्भित करता है।

अनुसंधान में मॉडल की भूमिका समय के साथ बदल सकती है, ऐसा हो सकता है कि नए डेटा और सिद्धांत घटना संबंधी मॉडल की पुष्टि करते हैं और उन्हें एक परिकल्पना की स्थिति में पदोन्नत किया जाता है। इसी तरह, नया ज्ञान धीरे-धीरे पहले प्रकार के मॉडल-परिकल्पनाओं के विरोध में आ सकता है, और उन्हें दूसरे में स्थानांतरित किया जा सकता है। इस प्रकार, क्वार्क मॉडल धीरे-धीरे परिकल्पना की श्रेणी में आ रहा है; भौतिकी में परमाणुवाद एक अस्थायी समाधान के रूप में उभरा, लेकिन इतिहास के पाठ्यक्रम के साथ यह पहले प्रकार में चला गया। लेकिन ईथर मॉडल टाइप 1 से टाइप 2 में चले गए हैं, और अब वे विज्ञान से बाहर हैं।

मॉडल बनाते समय सरलीकरण का विचार बहुत लोकप्रिय है। लेकिन सरलीकरण अलग है। पीयरल्स मॉडलिंग में तीन प्रकार के सरलीकरण को अलग करता है।

टाइप 3: सन्निकटन (किसी चीज को बहुत बड़ा या बहुत छोटा माना जाता है)

यदि अध्ययन के तहत प्रणाली का वर्णन करने वाले समीकरण बनाना संभव है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि उन्हें कंप्यूटर की मदद से भी हल किया जा सकता है। इस मामले में एक सामान्य तकनीक सन्निकटन (प्रकार 3 के मॉडल) का उपयोग है। उनमें से रैखिक प्रतिक्रिया मॉडल. समीकरणों को रैखिक वाले द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। मानक उदाहरण ओम का नियम है।

और यहाँ टाइप 8 है, जिसका व्यापक रूप से जैविक प्रणालियों के गणितीय मॉडल में उपयोग किया जाता है।

टाइप 8: संभावना प्रदर्शन (मुख्य बात संभावना की आंतरिक स्थिरता दिखाना है)

ये काल्पनिक संस्थाओं के साथ विचार प्रयोग भी हैं, जो प्रदर्शित करते हैं कि माना घटनाबुनियादी सिद्धांतों के अनुरूप और आंतरिक रूप से सुसंगत। यह टाइप 7 के मॉडल से मुख्य अंतर है, जो छिपे हुए विरोधाभासों को प्रकट करता है।

इन प्रयोगों में सबसे प्रसिद्ध में से एक लोबचेव्स्की की ज्यामिति है (लोबचेव्स्की ने इसे "काल्पनिक ज्यामिति" कहा है)। एक अन्य उदाहरण रासायनिक और जैविक दोलनों, ऑटोवेव्स आदि के औपचारिक रूप से गतिज मॉडल का बड़े पैमाने पर उत्पादन है। आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास को क्वांटम यांत्रिकी की असंगति को प्रदर्शित करने के लिए एक प्रकार 7 मॉडल के रूप में माना गया था। पूरी तरह से अनियोजित तरीके से, यह अंततः टाइप 8 मॉडल में बदल गया - सूचना के क्वांटम टेलीपोर्टेशन की संभावना का प्रदर्शन।

उदाहरण

एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करें जिसमें एक छोर पर एक वसंत और द्रव्यमान का भार होता है एमवसंत के मुक्त छोर से जुड़ा हुआ है। हम मानेंगे कि भार केवल वसंत अक्ष की दिशा में आगे बढ़ सकता है (उदाहरण के लिए, गति छड़ के साथ होती है)। आइए हम इस प्रणाली का एक गणितीय मॉडल तैयार करें। हम दूरी से सिस्टम की स्थिति का वर्णन करेंगे एक्सभार के केंद्र से उसकी संतुलन स्थिति तक। आइए हम एक स्प्रिंग और लोड का उपयोग करके परस्पर क्रिया का वर्णन करें हुक का नियम (एफ = − कएक्स ) जिसके बाद हम इसे अवकल समीकरण के रूप में व्यक्त करने के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हैं:

जहाँ का अर्थ . का दूसरा व्युत्पन्न है एक्ससमय तक: ।

परिणामी समीकरण माना भौतिक प्रणाली के गणितीय मॉडल का वर्णन करता है। इस पैटर्न को "हार्मोनिक ऑसिलेटर" कहा जाता है।

औपचारिक वर्गीकरण के अनुसार, यह मॉडल रैखिक, नियतात्मक, गतिशील, केंद्रित, निरंतर है। इसके निर्माण की प्रक्रिया में, हमने कई धारणाएँ (बाहरी ताकतों की अनुपस्थिति, घर्षण की अनुपस्थिति, विचलन की छोटीता, आदि) के बारे में की, जो वास्तव में पूरी नहीं हो सकती हैं।

वास्तविकता के संबंध में, यह अक्सर टाइप 4 मॉडल होता है। सरलीकरण("हम स्पष्टता के लिए कुछ विवरण छोड़ देते हैं"), क्योंकि कुछ आवश्यक सार्वभौमिक विशेषताएं (उदाहरण के लिए, अपव्यय) छोड़ी जाती हैं। कुछ सन्निकटन में (कहते हैं, जब तक संतुलन से भार का विचलन छोटा है, थोड़ा घर्षण के साथ, बहुत लंबे समय के लिए नहीं और कुछ अन्य शर्तों के अधीन), ऐसा मॉडल एक वास्तविक यांत्रिक प्रणाली का काफी अच्छी तरह से वर्णन करता है, क्योंकि परित्यक्त कारकों का उसके व्यवहार पर नगण्य प्रभाव पड़ता है। हालांकि, इनमें से कुछ कारकों को ध्यान में रखते हुए मॉडल को परिष्कृत किया जा सकता है। यह एक व्यापक (हालांकि फिर से सीमित) दायरे के साथ एक नए मॉडल की ओर ले जाएगा।

हालांकि, जब मॉडल को परिष्कृत किया जाता है, तो इसके गणितीय अध्ययन की जटिलता काफी बढ़ सकती है और मॉडल को लगभग बेकार बना सकती है। अक्सर, एक सरल मॉडल आपको अधिक जटिल (और, औपचारिक रूप से, "अधिक सही") की तुलना में वास्तविक प्रणाली का बेहतर और गहरा पता लगाने की अनुमति देता है।

यदि हम उन वस्तुओं पर हार्मोनिक थरथरानवाला मॉडल लागू करते हैं जो भौतिकी से दूर हैं, तो इसकी सार्थक स्थिति भिन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, इस मॉडल को जैविक आबादी पर लागू करते समय, इसे सबसे अधिक संभावना टाइप 6 . के लिए जिम्मेदार ठहराया जाना चाहिए समानता("आइए केवल कुछ विशेषताओं को ध्यान में रखें")।

हार्ड और सॉफ्ट मॉडल

हार्मोनिक थरथरानवाला तथाकथित "हार्ड" मॉडल का एक उदाहरण है। यह एक वास्तविक भौतिक प्रणाली के एक मजबूत आदर्शीकरण के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। इसकी प्रयोज्यता के मुद्दे को हल करने के लिए, यह समझना आवश्यक है कि जिन कारकों की हमने उपेक्षा की है, वे कितने महत्वपूर्ण हैं। दूसरे शब्दों में, "नरम" मॉडल की जांच करना आवश्यक है, जो "कठिन" के एक छोटे से परेशानी से प्राप्त होता है। यह दिया जा सकता है, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण द्वारा:

यहां - कुछ फ़ंक्शन, जो घर्षण बल या वसंत की कठोरता के गुणांक की निर्भरता को उसके खिंचाव की डिग्री पर ध्यान में रख सकते हैं - कुछ छोटे पैरामीटर। एक समारोह का स्पष्ट रूप एफहमें फिलहाल कोई दिलचस्पी नहीं है। यदि हम यह साबित करते हैं कि नरम मॉडल का व्यवहार मूल रूप से कठोर मॉडल के व्यवहार से भिन्न नहीं होता है (चाहे परेशान करने वाले कारकों के स्पष्ट रूप की परवाह किए बिना, यदि वे काफी छोटे हैं), तो समस्या कठिन मॉडल का अध्ययन करने के लिए कम हो जाएगी। अन्यथा, कठोर मॉडल के अध्ययन में प्राप्त परिणामों के आवेदन के लिए अतिरिक्त शोध की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक थरथरानवाला के समीकरण का समाधान रूप के कार्य हैं, अर्थात, एक निरंतर आयाम के साथ दोलन। क्या इससे यह पता चलता है कि एक वास्तविक थरथरानवाला एक निरंतर आयाम के साथ अनिश्चित काल तक दोलन करेगा? नहीं, क्योंकि मनमाने ढंग से छोटे घर्षण (हमेशा एक वास्तविक प्रणाली में मौजूद) के साथ एक प्रणाली पर विचार करने पर, हम नम दोलन प्राप्त करेंगे। व्यवस्था का व्यवहार गुणात्मक रूप से बदल गया है।

यदि कोई प्रणाली अपने गुणात्मक व्यवहार को एक छोटे से गड़बड़ी के तहत बरकरार रखती है, तो इसे संरचनात्मक रूप से स्थिर कहा जाता है। हार्मोनिक थरथरानवाला संरचनात्मक रूप से अस्थिर (गैर-मोटा) प्रणाली का एक उदाहरण है। हालांकि, इस मॉडल का उपयोग सीमित समय अंतराल पर प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।

मॉडलों की सार्वभौमिकता

सबसे महत्वपूर्ण गणितीय मॉडल में आमतौर पर महत्वपूर्ण गुण होते हैं सार्वभौमिकता: मौलिक रूप से भिन्न वास्तविक परिघटनाओं को एक ही गणितीय मॉडल द्वारा वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक थरथरानवाला न केवल एक वसंत पर भार के व्यवहार का वर्णन करता है, बल्कि अन्य दोलन प्रक्रियाओं का भी वर्णन करता है, जो अक्सर पूरी तरह से अलग प्रकृति के होते हैं: एक पेंडुलम के छोटे दोलन, तरल स्तर में उतार-चढ़ाव यू-आकार का पोत या ऑसिलेटरी सर्किट में वर्तमान ताकत में बदलाव। इस प्रकार, एक गणितीय मॉडल का अध्ययन करते हुए, हम एक ही बार में इसके द्वारा वर्णित घटनाओं के एक पूरे वर्ग का अध्ययन करते हैं। यह वैज्ञानिक ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय मॉडल द्वारा व्यक्त कानूनों का यह समरूपता है जिसने लुडविग वॉन बर्टलान्फी को "सामान्य प्रणाली सिद्धांत" बनाने के लिए प्रेरित किया।

गणितीय मॉडलिंग की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम समस्याएं

गणितीय मॉडलिंग से जुड़ी कई समस्याएं हैं। सबसे पहले, इस विज्ञान के आदर्शीकरण के ढांचे के भीतर इसे पुन: पेश करने के लिए, मॉडलिंग की जा रही वस्तु की मूल योजना के साथ आना आवश्यक है। तो, एक ट्रेन कार प्लेटों की एक प्रणाली और विभिन्न सामग्रियों से बने अधिक जटिल निकायों में बदल जाती है, प्रत्येक सामग्री को इसके मानक यांत्रिक आदर्शीकरण (घनत्व, लोचदार मोडुली, मानक शक्ति विशेषताओं) के रूप में दिया जाता है, जिसके बाद समीकरण तैयार किए जाते हैं। कुछ विवरणों को महत्वहीन मानकर छोड़ दिया जाता है, गणना की जाती है, माप की तुलना में, मॉडल को परिष्कृत किया जाता है, और इसी तरह। हालांकि, गणितीय मॉडलिंग प्रौद्योगिकियों के विकास के लिए, इस प्रक्रिया को इसके मुख्य घटक तत्वों में अलग करना उपयोगी है।

परंपरागत रूप से, गणितीय मॉडल से जुड़ी समस्याओं के दो मुख्य वर्ग हैं: प्रत्यक्ष और उलटा।

सीधी समस्या: मॉडल की संरचना और उसके सभी मापदंडों को ज्ञात माना जाता है, मुख्य कार्य वस्तु के बारे में उपयोगी ज्ञान निकालने के लिए मॉडल का अध्ययन करना है। पुल किस स्थिर भार का सामना कर सकता है? यह एक गतिशील भार पर कैसे प्रतिक्रिया करेगा (उदाहरण के लिए, सैनिकों की एक कंपनी के मार्च के लिए, या अलग-अलग गति से ट्रेन के पारित होने के लिए), विमान ध्वनि अवरोध को कैसे पार करेगा, क्या यह स्पंदन से अलग हो जाएगा - ये प्रत्यक्ष कार्य के विशिष्ट उदाहरण हैं। सही सीधी समस्या का निर्धारण (सही प्रश्न पूछना) के लिए विशेष कौशल की आवश्यकता होती है। यदि सही प्रश्न नहीं पूछे गए तो पुल ढह सकता है, भले ही उसके व्यवहार के लिए एक अच्छा मॉडल बनाया गया हो। इसलिए, इंग्लैंड में 1879 में, तेई नदी के पार एक धातु का पुल ढह गया, जिसके डिजाइनरों ने पुल का एक मॉडल बनाया, इसकी गणना पेलोड के लिए सुरक्षा के 20 गुना मार्जिन के लिए की, लेकिन उन हवाओं के बारे में भूल गए जो लगातार चल रही थीं। स्थान। और डेढ़ साल बाद यह ढह गया।

सरलतम मामले में (उदाहरण के लिए एक थरथरानवाला समीकरण), प्रत्यक्ष समस्या बहुत सरल है और इस समीकरण के एक स्पष्ट समाधान के लिए कम हो जाती है।

उलटा समस्या: कई संभावित मॉडल ज्ञात हैं, वस्तु के बारे में अतिरिक्त डेटा के आधार पर एक विशिष्ट मॉडल चुनना आवश्यक है। अक्सर, मॉडल की संरचना ज्ञात होती है और कुछ अज्ञात मापदंडों को निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। अतिरिक्त जानकारी में अतिरिक्त अनुभवजन्य डेटा, या वस्तु की आवश्यकताओं में शामिल हो सकते हैं ( डिजाइन कार्य) उलटा समस्या को हल करने की प्रक्रिया की परवाह किए बिना अतिरिक्त डेटा आ सकता है ( निष्क्रिय अवलोकन) या हल करने के दौरान विशेष रूप से नियोजित एक प्रयोग का परिणाम हो ( सक्रिय निगरानी).

उपलब्ध डेटा के पूर्ण संभव उपयोग के साथ एक उलटा समस्या के एक कलाप्रवीण व्यक्ति समाधान के पहले उदाहरणों में से एक आई। न्यूटन द्वारा मनाए गए दोलनों से घर्षण बलों के पुनर्निर्माण के लिए निर्मित विधि थी।

अतिरिक्त उदाहरण

कहाँ पे एक्स एस- "संतुलन" जनसंख्या का आकार, जिस पर जन्म दर को मृत्यु दर से ठीक से मुआवजा दिया जाता है। ऐसे मॉडल में जनसंख्या का आकार संतुलन मूल्य की ओर जाता है एक्स एस, और यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर है।

इस प्रणाली में एक संतुलन स्थिति होती है जहां खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या स्थिर होती है। इस अवस्था से विचलन हार्मोनिक थरथरानवाला में उतार-चढ़ाव के समान खरगोशों और लोमड़ियों की संख्या में उतार-चढ़ाव की ओर जाता है। हार्मोनिक थरथरानवाला के मामले में, यह व्यवहार संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं है: मॉडल में एक छोटा सा परिवर्तन (उदाहरण के लिए, खरगोशों द्वारा आवश्यक सीमित संसाधनों को ध्यान में रखते हुए) व्यवहार में गुणात्मक परिवर्तन ला सकता है। उदाहरण के लिए, संतुलन की स्थिति स्थिर हो सकती है, और जनसंख्या में उतार-चढ़ाव फीका पड़ जाएगा। विपरीत स्थिति भी संभव है, जब संतुलन की स्थिति से किसी भी छोटे विचलन से एक प्रजाति के पूर्ण विलुप्त होने तक, भयावह परिणाम हो सकते हैं। इनमें से किस परिदृश्य का एहसास होता है, इस सवाल के लिए, वोल्टेरा-लोटका मॉडल कोई जवाब नहीं देता है: यहां अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है।

टिप्पणियाँ

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10. "सामान्य अंतर समीकरणों की एक सीमित संख्या द्वारा तैयार की गई गतिशील प्रणालियों को गांठ या बिंदु प्रणाली कहा जाता है। उन्हें एक परिमित-आयामी चरण स्थान का उपयोग करके वर्णित किया गया है और स्वतंत्रता की डिग्री की एक सीमित संख्या की विशेषता है। विभिन्न परिस्थितियों में एक और एक ही प्रणाली को या तो केंद्रित या वितरित माना जा सकता है। वितरित प्रणालियों के गणितीय मॉडल आंशिक अंतर समीकरण, अभिन्न समीकरण या साधारण विलंब समीकरण हैं। एक वितरित प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या अनंत है, और इसकी स्थिति निर्धारित करने के लिए अनंत संख्या में डेटा की आवश्यकता होती है। अनीशेंको वी.एस., डायनेमिक सिस्टम्स, सोरोस एजुकेशनल जर्नल, 1997, नंबर 11, पी। 77-84.
11. "सिस्टम एस में अध्ययन की गई प्रक्रियाओं की प्रकृति के आधार पर, सभी प्रकार के मॉडलिंग को नियतात्मक और स्टोकेस्टिक, स्थिर और गतिशील, असतत, निरंतर और असतत-निरंतर में विभाजित किया जा सकता है। नियतात्मक मॉडलिंग नियतात्मक प्रक्रियाओं को प्रदर्शित करता है, अर्थात ऐसी प्रक्रियाएं जिनमें किसी भी यादृच्छिक प्रभाव की अनुपस्थिति मान ली जाती है; स्टोकेस्टिक मॉडलिंग संभाव्य प्रक्रियाओं और घटनाओं को प्रदर्शित करता है। ... किसी भी समय किसी वस्तु के व्यवहार का वर्णन करने के लिए स्थैतिक मॉडलिंग का उपयोग किया जाता है, जबकि गतिशील मॉडलिंग समय के साथ किसी वस्तु के व्यवहार को दर्शाता है। असतत मॉडलिंग उन प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए कार्य करता है जिन्हें क्रमशः असतत माना जाता है, निरंतर मॉडलिंग आपको सिस्टम में निरंतर प्रक्रियाओं को प्रतिबिंबित करने की अनुमति देता है, और असतत-निरंतर मॉडलिंग का उपयोग उन मामलों के लिए किया जाता है जहां आप असतत और निरंतर दोनों प्रक्रियाओं की उपस्थिति को उजागर करना चाहते हैं। सोवेटोव बी। हां।, याकोवलेव एस। ए।, सिस्टम मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम .: उच्चतर। स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2
12. आमतौर पर, गणितीय मॉडल मॉडल की जा रही वस्तु की संरचना (उपकरण) को दर्शाता है, इस वस्तु के घटकों के गुण और अंतर्संबंध जो अध्ययन के उद्देश्यों के लिए आवश्यक हैं; ऐसे मॉडल को संरचनात्मक कहा जाता है। यदि मॉडल केवल यह दर्शाता है कि वस्तु कैसे कार्य करती है - उदाहरण के लिए, यह बाहरी प्रभावों पर कैसे प्रतिक्रिया करती है - तो इसे एक कार्यात्मक या, लाक्षणिक रूप से, एक ब्लैक बॉक्स कहा जाता है। संयुक्त मॉडल भी संभव हैं। मिशकिस ए. डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण।, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन 978-5-484-00953-4 . के साथ
13. "स्पष्ट, लेकिन गणितीय मॉडल के निर्माण या चयन का सबसे महत्वपूर्ण प्रारंभिक चरण मॉडलिंग की जा रही वस्तु का स्पष्ट संभव विचार प्राप्त करना और अनौपचारिक चर्चाओं के आधार पर इसके सामग्री मॉडल को परिष्कृत करना है। इस स्तर पर समय और प्रयास को नहीं बख्शा जाना चाहिए, पूरे अध्ययन की सफलता काफी हद तक इस पर निर्भर करती है। एक से अधिक बार ऐसा हुआ है कि मामले के इस पक्ष पर अपर्याप्त ध्यान देने के कारण गणितीय समस्या को हल करने में खर्च किया गया काफी काम निष्प्रभावी हो गया या बर्बाद भी हो गया। मिशकिस ए. डी., गणितीय मॉडल के सिद्धांत के तत्व। - तीसरा संस्करण।, रेव। - एम.: कोमकिगा, 2007. - 192 आईएसबीएन के साथ 978-5-484-00953-4, पी। 35.
14. « प्रणाली के वैचारिक मॉडल का विवरण।सिस्टम मॉडल के निर्माण के इस उप-चरण में: ए) वैचारिक मॉडल एम को अमूर्त शब्दों और अवधारणाओं में वर्णित किया गया है; बी) विशिष्ट गणितीय योजनाओं का उपयोग करके मॉडल का विवरण दिया गया है; ग) परिकल्पनाओं और मान्यताओं को अंततः स्वीकार किया जाता है; d) मॉडल बनाते समय वास्तविक प्रक्रियाओं को अनुमानित करने के लिए एक प्रक्रिया का चुनाव प्रमाणित होता है। सोवेटोव बी। हां।, याकोवलेव एस। ए।, सिस्टम मॉडलिंग: प्रोक। विश्वविद्यालयों के लिए - तीसरा संस्करण, संशोधित। और अतिरिक्त - एम .: उच्चतर। स्कूल, 2001. - 343 पी। आईएसबीएन 5-06-003860-2, पृ. 93.

मॉडल और सिमुलेशन की अवधारणा।

व्यापक अर्थों में मॉडल- यह किसी भी मात्रा, प्रक्रिया या घटना की मानसिक या स्थापित छवि, विवरण, आरेख, ड्राइंग, मानचित्र आदि का कोई भी चित्र, एनालॉग है, जिसका उपयोग इसके विकल्प या प्रतिनिधि के रूप में किया जाता है। वस्तु, प्रक्रिया या घटना को ही इस मॉडल का मूल कहा जाता है।

मोडलिंग - यह किसी भी वस्तु या वस्तुओं के सिस्टम का उनके मॉडल बनाकर और उनका अध्ययन करके अध्ययन है। यह विशेषताओं को निर्धारित करने या परिष्कृत करने और नवनिर्मित वस्तुओं के निर्माण के तरीकों को युक्तिसंगत बनाने के लिए मॉडलों का उपयोग है।

वैज्ञानिक अनुसंधान की कोई भी विधि मॉडलिंग के विचार पर आधारित होती है, जबकि सैद्धांतिक विधियाँ विभिन्न प्रकार के प्रतीकात्मक, अमूर्त मॉडल का उपयोग करती हैं, जबकि प्रायोगिक विधियाँ विषय मॉडल का उपयोग करती हैं।

अध्ययन में, एक जटिल वास्तविक घटना को कुछ सरलीकृत प्रति या योजना से बदल दिया जाता है, कभी-कभी ऐसी प्रति केवल याद रखने और अगली बैठक में वांछित घटना को पहचानने का काम करती है। कभी-कभी निर्मित योजना कुछ आवश्यक विशेषताओं को दर्शाती है, आपको घटना के तंत्र को समझने की अनुमति देती है, जिससे इसके परिवर्तन की भविष्यवाणी करना संभव हो जाता है। विभिन्न मॉडल एक ही घटना के अनुरूप हो सकते हैं।

शोधकर्ता का कार्य घटना की प्रकृति और प्रक्रिया के पाठ्यक्रम की भविष्यवाणी करना है।

कभी-कभी, ऐसा होता है कि कोई वस्तु उपलब्ध होती है, लेकिन उसके साथ प्रयोग महंगे होते हैं या गंभीर पर्यावरणीय परिणाम होते हैं। ऐसी प्रक्रियाओं के बारे में ज्ञान मॉडलों की सहायता से प्राप्त किया जाता है।

एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि विज्ञान की प्रकृति में एक विशिष्ट घटना नहीं, बल्कि संबंधित घटनाओं की एक विस्तृत श्रेणी का अध्ययन शामिल है। इसका तात्पर्य कुछ सामान्य स्पष्ट कथनों को तैयार करने की आवश्यकता से है, जिन्हें कानून कहा जाता है। स्वाभाविक रूप से, इस तरह के एक सूत्रीकरण के साथ, कई विवरणों की उपेक्षा की जाती है। पैटर्न को अधिक स्पष्ट रूप से पहचानने के लिए, वे जानबूझकर मोटेपन, आदर्शीकरण, योजनाबद्धता के लिए जाते हैं, अर्थात, वे स्वयं घटना का अध्ययन नहीं करते हैं, बल्कि कमोबेश इसकी सटीक प्रतिलिपि या मॉडल का अध्ययन करते हैं। सभी कानून मॉडल के बारे में कानून हैं, और इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि समय के साथ, कुछ वैज्ञानिक सिद्धांत अनुपयोगी पाए जाते हैं। इससे विज्ञान का पतन नहीं होता है, क्योंकि एक मॉडल को दूसरे मॉडल से बदल दिया गया है। बहुत आधुनिक.

विज्ञान में एक विशेष भूमिका गणितीय मॉडल, निर्माण सामग्री और इन मॉडलों के उपकरण - गणितीय अवधारणाओं द्वारा निभाई जाती है। वे हजारों वर्षों में जमा और सुधार हुए हैं। आधुनिक गणित अनुसंधान के असाधारण शक्तिशाली और सार्वभौमिक साधन प्रदान करता है। गणित में लगभग हर अवधारणा, हर गणितीय वस्तु, एक संख्या की अवधारणा से शुरू होकर, एक गणितीय मॉडल है। अध्ययन के तहत किसी वस्तु या घटना के गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय, इसकी विशेषताओं, विशेषताओं और विवरणों को अलग किया जाता है, जिसमें एक ओर, वस्तु के बारे में कम या ज्यादा पूरी जानकारी होती है, और दूसरी ओर, अनुमति देते हैं गणितीय औपचारिकता। गणितीय औपचारिकता का अर्थ है कि किसी वस्तु की विशेषताओं और विवरणों को उपयुक्त पर्याप्त गणितीय अवधारणाओं से जोड़ा जा सकता है: संख्याएं, कार्य, मैट्रिक्स, और इसी तरह। फिर अध्ययन के तहत वस्तु में उसके अलग-अलग हिस्सों और घटकों के बीच पाए गए और ग्रहण किए गए कनेक्शन और संबंधों को गणितीय संबंधों का उपयोग करके लिखा जा सकता है: समानताएं, असमानताएं, समीकरण। परिणाम अध्ययन के तहत प्रक्रिया या घटना का गणितीय विवरण है, अर्थात इसका गणितीय मॉडल।

गणितीय मॉडल का अध्ययन हमेशा अध्ययन के तहत वस्तुओं पर कार्रवाई के कुछ नियमों से जुड़ा होता है। ये नियम कारणों और प्रभावों के बीच संबंधों को दर्शाते हैं।

गणितीय मॉडल का निर्माण किसी भी प्रणाली के अध्ययन या डिजाइन में एक केंद्रीय चरण है। वस्तु का पूरा बाद का विश्लेषण मॉडल की गुणवत्ता पर निर्भर करता है। मॉडल बनाना कोई औपचारिक प्रक्रिया नहीं है। यह दृढ़ता से शोधकर्ता, उसके अनुभव और स्वाद पर निर्भर करता है, हमेशा कुछ प्रयोगात्मक सामग्री पर निर्भर करता है। मॉडल पर्याप्त सटीक, पर्याप्त और उपयोग के लिए सुविधाजनक होना चाहिए।

गणितीय मॉडलिंग।

गणितीय मॉडल का वर्गीकरण।

गणितीय मॉडल हो सकते हैंनिर्धारित और स्टोकेस्टिक .

नियतात्मक आदर्श और - ये ऐसे मॉडल हैं जिनमें किसी वस्तु या घटना का वर्णन करने वाले चर के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जाता है।

यह दृष्टिकोण वस्तुओं के कामकाज के तंत्र के ज्ञान पर आधारित है। मॉडलिंग की जा रही वस्तु अक्सर जटिल होती है और इसके तंत्र को समझना बहुत श्रमसाध्य और समय लेने वाला हो सकता है। इस मामले में, वे निम्नानुसार आगे बढ़ते हैं: मूल पर प्रयोग किए जाते हैं, परिणाम संसाधित होते हैं, और, गणितीय आँकड़ों और संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करते हुए, मॉडलिंग की गई वस्तु के तंत्र और सिद्धांत में तल्लीन किए बिना, वे बीच संबंध स्थापित करते हैं वस्तु का वर्णन करने वाले चर। इस मामले में, प्राप्त करेंस्टोकेस्टिक आदर्श . पर स्टोकेस्टिक मॉडल, चर के बीच संबंध यादृच्छिक है, कभी-कभी यह मौलिक रूप से होता है। बड़ी संख्या में कारकों का प्रभाव, उनका संयोजन किसी वस्तु या घटना का वर्णन करने वाले चर के यादृच्छिक सेट की ओर जाता है। मोड की प्रकृति से, मॉडल हैसांख्यिकीय और गतिशील.

सांख्यिकीयआदर्शसमय के साथ मापदंडों में परिवर्तन को ध्यान में रखे बिना स्थिर अवस्था में नकली वस्तु के मुख्य चर के बीच संबंधों का विवरण शामिल है।

पर गतिशीलमॉडलएक मोड से दूसरे मोड में संक्रमण में सिम्युलेटेड ऑब्जेक्ट के मुख्य चर के बीच संबंध का वर्णन करता है।

मॉडल हैं अलगऔर निरंतर, साथ ही मिला हुआ प्रकार। पर निरंतर चर एक निश्चित अंतराल से मान लेते हैं, inअलगचर पृथक मान लेते हैं।

रैखिक मॉडल- मॉडल का वर्णन करने वाले सभी कार्य और संबंध रैखिक रूप से चर पर निर्भर हैं औररैखिक नहींअन्यथा।

गणितीय मॉडलिंग।

आवश्यकताएं , पेश किया मॉडलों को।

1. बहुमुखी प्रतिभा- वास्तविक वस्तु के अध्ययन किए गए गुणों के मॉडल द्वारा प्रदर्शन की पूर्णता की विशेषता है।

1. पर्याप्तता - वस्तु के वांछित गुणों को एक त्रुटि के साथ प्रतिबिंबित करने की क्षमता जो निर्दिष्ट से अधिक नहीं है।
2. शुद्धता - एक वास्तविक वस्तु की विशेषताओं के मूल्यों के संयोग की डिग्री और मॉडल का उपयोग करके प्राप्त इन विशेषताओं के मूल्यों से अनुमान लगाया जाता है।
3. अर्थव्यवस्था - कंप्यूटर मेमोरी संसाधनों की लागत और इसके कार्यान्वयन और संचालन के लिए समय द्वारा निर्धारित किया जाता है।

गणितीय मॉडलिंग।

मॉडलिंग के मुख्य चरण।

1. समस्या का विवरण।

विश्लेषण के उद्देश्य और इसे प्राप्त करने के तरीकों का निर्धारण और अध्ययन के तहत समस्या के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण विकसित करना। इस स्तर पर, कार्य के सार की गहरी समझ की आवश्यकता होती है। कभी-कभी, किसी कार्य को सही ढंग से हल करने से कम कठिन नहीं होता है। मंचन एक औपचारिक प्रक्रिया नहीं है, कोई सामान्य नियम नहीं हैं।

2. सैद्धांतिक नींव का अध्ययन और मूल वस्तु के बारे में जानकारी का संग्रह।

इस स्तर पर, एक उपयुक्त सिद्धांत का चयन या विकास किया जाता है। यदि यह मौजूद नहीं है, तो वस्तु का वर्णन करने वाले चर के बीच कारण संबंध स्थापित होते हैं। इनपुट और आउटपुट डेटा निर्धारित किए जाते हैं, सरल धारणाएं बनाई जाती हैं।

3. औपचारिकता।

इसमें प्रतीकों की एक प्रणाली का चयन करना और गणितीय अभिव्यक्तियों के रूप में वस्तु के घटकों के बीच संबंधों को लिखने के लिए उनका उपयोग करना शामिल है। कार्यों का एक वर्ग स्थापित किया जाता है, जिसके लिए वस्तु के परिणामी गणितीय मॉडल को जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। इस स्तर पर कुछ मापदंडों का मान अभी तक निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है।

4. समाधान विधि का चुनाव।

इस स्तर पर, ऑब्जेक्ट के संचालन के लिए शर्तों को ध्यान में रखते हुए, मॉडल के अंतिम पैरामीटर सेट किए जाते हैं। प्राप्त गणितीय समस्या के लिए, एक समाधान विधि का चयन किया जाता है या एक विशेष विधि विकसित की जाती है। विधि चुनते समय, उपयोगकर्ता के ज्ञान, उसकी प्राथमिकताओं के साथ-साथ डेवलपर की प्राथमिकताओं को भी ध्यान में रखा जाता है।

5. मॉडल का कार्यान्वयन।

एक एल्गोरिथ्म विकसित करने के बाद, एक प्रोग्राम लिखा जाता है जिसे डिबग किया जाता है, परीक्षण किया जाता है और वांछित समस्या का समाधान प्राप्त किया जाता है।

6. प्राप्त जानकारी का विश्लेषण।

प्राप्त और अपेक्षित समाधान की तुलना की जाती है, मॉडलिंग त्रुटि को नियंत्रित किया जाता है।

7. वास्तविक वस्तु की पर्याप्तता की जाँच करना।

मॉडल द्वारा प्राप्त परिणामों की तुलना की जाती हैया तो वस्तु के बारे में उपलब्ध जानकारी के साथ, या एक प्रयोग किया जाता है और उसके परिणामों की गणना की गई के साथ तुलना की जाती है।

मॉडलिंग प्रक्रिया पुनरावृत्त है। चरणों के असंतोषजनक परिणामों के मामले में 6. या 7. प्रारंभिक चरणों में से एक में वापसी, जिससे असफल मॉडल का विकास हो सकता है, किया जाता है। इस चरण और बाद के सभी चरणों को परिष्कृत किया जाता है, और मॉडल का ऐसा शोधन तब तक होता है जब तक स्वीकार्य परिणाम प्राप्त नहीं हो जाते।

एक गणितीय मॉडल गणित की भाषा में किसी भी वर्ग की घटना या वास्तविक दुनिया की वस्तुओं का अनुमानित विवरण है। मॉडलिंग का मुख्य उद्देश्य इन वस्तुओं का पता लगाना और भविष्य के अवलोकनों के परिणामों की भविष्यवाणी करना है। हालांकि, मॉडलिंग भी आसपास की दुनिया के संज्ञान की एक विधि है, जिससे इसे नियंत्रित करना संभव हो जाता है।

गणितीय मॉडलिंग और संबंधित कंप्यूटर प्रयोग उन मामलों में अपरिहार्य हैं जहां एक पूर्ण पैमाने पर प्रयोग एक कारण या किसी अन्य के लिए असंभव या कठिन है। उदाहरण के लिए, "क्या होगा यदि..." की जांच करने के लिए इतिहास में एक पूर्ण पैमाने पर प्रयोग स्थापित करना असंभव है, इस या उस ब्रह्माण्ड संबंधी सिद्धांत की शुद्धता की जांच करना असंभव है। सिद्धांत रूप में, यह संभव है, लेकिन शायद ही उचित है, किसी प्रकार की बीमारी के प्रसार के साथ प्रयोग करना, जैसे कि प्लेग, या इसके परिणामों का अध्ययन करने के लिए परमाणु विस्फोट करना। हालाँकि, यह सब एक कंप्यूटर पर किया जा सकता है, जिसमें अध्ययन के तहत पहले से निर्मित गणितीय मॉडल हैं।

1.1.2 2. गणितीय मॉडलिंग के मुख्य चरण

1) मॉडल बिल्डिंग. इस स्तर पर, कुछ "गैर-गणितीय" वस्तु निर्दिष्ट की जाती है - एक प्राकृतिक घटना, निर्माण, आर्थिक योजना, उत्पादन प्रक्रिया, आदि। इस मामले में, एक नियम के रूप में, स्थिति का स्पष्ट विवरण मुश्किल है।सबसे पहले, घटना की मुख्य विशेषताएं और गुणात्मक स्तर पर उनके बीच संबंध की पहचान की जाती है। फिर गणित की भाषा में पाई गई गुणात्मक निर्भरताएँ तैयार की जाती हैं, यानी एक गणितीय मॉडल बनाया जाता है। यह मॉडलिंग का सबसे कठिन हिस्सा है।

2) उस गणितीय समस्या को हल करना जो मॉडल की ओर ले जाती है. इस स्तर पर, कंप्यूटर पर समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम और संख्यात्मक विधियों के विकास पर बहुत ध्यान दिया जाता है, जिसकी सहायता से आवश्यक सटीकता के साथ और स्वीकार्य समय के भीतर परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

3) गणितीय मॉडल से प्राप्त परिणामों की व्याख्या।गणित की भाषा में मॉडल से प्राप्त परिणामों की व्याख्या इस क्षेत्र में स्वीकृत भाषा में की जाती है।

4) मॉडल की पर्याप्तता की जाँच करना।इस स्तर पर, यह पता लगाया जाता है कि प्रयोग के परिणाम एक निश्चित सटीकता के भीतर मॉडल के सैद्धांतिक परिणामों से सहमत हैं या नहीं।

5) मॉडल संशोधन।इस स्तर पर, या तो मॉडल अधिक जटिल हो जाता है ताकि यह वास्तविकता के लिए अधिक पर्याप्त हो, या व्यावहारिक रूप से स्वीकार्य समाधान प्राप्त करने के लिए इसे सरल बनाया जाए।

1.1.3 3. मॉडल वर्गीकरण

मॉडल को विभिन्न मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हल की जा रही समस्याओं की प्रकृति के अनुसार, मॉडल को कार्यात्मक और संरचनात्मक में विभाजित किया जा सकता है। पहले मामले में, किसी घटना या वस्तु की विशेषता वाली सभी मात्राएं मात्रात्मक रूप से व्यक्त की जाती हैं। साथ ही, उनमें से कुछ को स्वतंत्र चर माना जाता है, जबकि अन्य को इन मात्राओं के कार्य के रूप में माना जाता है। एक गणितीय मॉडल आमतौर पर विभिन्न प्रकार (अंतर, बीजीय, आदि) के समीकरणों की एक प्रणाली है जो विचाराधीन मात्राओं के बीच मात्रात्मक संबंध स्थापित करता है। दूसरे मामले में, मॉडल एक जटिल वस्तु की संरचना की विशेषता है, जिसमें अलग-अलग हिस्से होते हैं, जिसके बीच कुछ कनेक्शन होते हैं। आमतौर पर, ये रिश्ते मात्रात्मक नहीं होते हैं। ऐसे मॉडल बनाने के लिए ग्राफ थ्योरी का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। एक ग्राफ एक गणितीय वस्तु है, जो एक समतल या अंतरिक्ष में बिंदुओं (कोने) का एक समूह है, जिनमें से कुछ रेखाओं (किनारों) से जुड़े होते हैं।

प्रारंभिक डेटा और भविष्यवाणी परिणामों की प्रकृति के अनुसार, मॉडल को नियतात्मक और संभाव्य-सांख्यिकीय में विभाजित किया जा सकता है। पहले प्रकार के मॉडल निश्चित, स्पष्ट भविष्यवाणियां करते हैं। दूसरे प्रकार के मॉडल सांख्यिकीय जानकारी पर आधारित होते हैं, और उनकी मदद से प्राप्त भविष्यवाणियां संभाव्य प्रकृति की होती हैं।

गणितीय मॉडलिंग और सामान्य कम्प्यूटरीकरण या सिमुलेशन मॉडल

अब, जब देश में लगभग सार्वभौमिक कम्प्यूटरीकरण हो रहा है, तो विभिन्न व्यवसायों के विशेषज्ञों के बयान सुन सकते हैं: "आइए हम अपने देश में एक कंप्यूटर पेश करें, तो सभी कार्य तुरंत हल हो जाएंगे।" यह दृष्टिकोण पूरी तरह से गलत है, कुछ प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडल के बिना कंप्यूटर स्वयं कुछ नहीं कर सकते हैं, और कोई केवल सार्वभौमिक कम्प्यूटरीकरण का सपना देख सकता है।

पूर्वगामी के समर्थन में, हम गणितीय मॉडलिंग सहित मॉडलिंग की आवश्यकता को सही ठहराने की कोशिश करेंगे, किसी व्यक्ति द्वारा बाहरी दुनिया के ज्ञान और परिवर्तन में इसके लाभों को प्रकट करेंगे, मौजूदा कमियों की पहचान करेंगे और ... सिमुलेशन मॉडलिंग के लिए जाएंगे, अर्थात। कंप्यूटर का उपयोग करके मॉडलिंग। लेकिन सब कुछ क्रम में है।

सबसे पहले, आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: एक मॉडल क्या है?

एक मॉडल एक सामग्री या मानसिक रूप से प्रतिनिधित्व की गई वस्तु है, जो अनुभूति (अध्ययन) की प्रक्रिया में, मूल की जगह लेती है, कुछ विशिष्ट गुणों को बनाए रखती है जो इस अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण हैं।

एक अच्छी तरह से निर्मित मॉडल वास्तविक वस्तु की तुलना में अनुसंधान के लिए अधिक सुलभ है। उदाहरण के लिए, शैक्षिक उद्देश्यों के लिए देश की अर्थव्यवस्था के साथ प्रयोग अस्वीकार्य हैं, यहां कोई मॉडल के बिना नहीं कर सकता।

जो कहा गया है उसे सारांशित करते हुए, हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: मॉडल किस लिए हैं? के लिए

• समझें कि कोई वस्तु कैसे काम करती है (इसकी संरचना, गुण, विकास के नियम, बाहरी दुनिया के साथ बातचीत)।
• किसी वस्तु (प्रक्रिया) को प्रबंधित करना सीखें और सर्वोत्तम रणनीतियों का निर्धारण करें
• वस्तु पर प्रभाव के परिणामों की भविष्यवाणी करें।

किसी भी मॉडल में सकारात्मक क्या है? यह आपको वस्तु के बारे में नया ज्ञान प्राप्त करने की अनुमति देता है, लेकिन, दुर्भाग्य से, यह एक डिग्री या किसी अन्य तक पूर्ण नहीं है।

आदर्शगणितीय विधियों का उपयोग करके गणित की भाषा में तैयार किया गया गणितीय मॉडल कहलाता है।

इसके निर्माण का प्रारंभिक बिंदु आमतौर पर कुछ कार्य होता है, उदाहरण के लिए, एक आर्थिक। व्यापक, दोनों वर्णनात्मक और अनुकूलन गणितीय, विभिन्न की विशेषता आर्थिक प्रक्रियाऔर घटनाएँ जैसे:

• संसाधन आवंटन
• तर्कसंगत काटने
• परिवहन
• उद्यमों का समेकन
• नेटवर्क योजना।

गणितीय मॉडल कैसे बनाया जाता है?

• सबसे पहले, अध्ययन का उद्देश्य और विषय तैयार किया जाता है।
• दूसरे, इस लक्ष्य के अनुरूप सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं पर प्रकाश डाला गया है।
• तीसरा, मॉडल के तत्वों के बीच संबंधों को मौखिक रूप से वर्णित किया गया है।
• इसके अलावा, संबंध औपचारिक है।
• और गणना गणितीय मॉडल और प्राप्त समाधान के विश्लेषण के अनुसार की जाती है।

इस एल्गोरिथम का उपयोग करके, आप किसी भी अनुकूलन समस्या को हल कर सकते हैं, जिसमें एक बहु मानदंड भी शामिल है, अर्थात। जिसमें एक नहीं, बल्कि कई लक्ष्यों का पीछा किया जाता है, जिनमें विरोधाभासी भी शामिल हैं।

आइए एक उदाहरण लेते हैं। कतार सिद्धांत - कतार की समस्या। आपको दो कारकों को संतुलित करने की आवश्यकता है - सेवा उपकरणों को बनाए रखने की लागत और लाइन में रहने की लागत। मॉडल का औपचारिक विवरण तैयार करने के बाद, विश्लेषणात्मक और कम्प्यूटेशनल विधियों का उपयोग करके गणना की जाती है। यदि मॉडल अच्छा है, तो इसकी सहायता से मिले उत्तर मॉडलिंग प्रणाली के लिए पर्याप्त हैं; यदि यह खराब है, तो इसे सुधारकर प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। पर्याप्तता की कसौटी अभ्यास है।

बहु-मापदंड वाले सहित अनुकूलन मॉडल में एक सामान्य संपत्ति होती है - एक लक्ष्य (या कई लक्ष्य) को प्राप्त करने के लिए जाना जाता है जिसे अक्सर जटिल प्रणालियों से निपटना पड़ता है, जहां यह अनुकूलन समस्याओं को हल करने के बारे में नहीं है, बल्कि राज्यों पर शोध और भविष्यवाणी करने के बारे में है। चुनी गई नियंत्रण रणनीतियों के आधार पर। और यहां हमें पिछली योजना को लागू करने में कठिनाइयों का सामना करना पड़ रहा है। वे इस प्रकार हैं:

• एक जटिल प्रणाली में तत्वों के बीच कई संबंध होते हैं
• वास्तविक प्रणाली यादृच्छिक कारकों से प्रभावित होती है, उन्हें विश्लेषणात्मक रूप से ध्यान में रखना असंभव है
• मॉडल के साथ मूल की तुलना करने की संभावना केवल शुरुआत में और गणितीय उपकरण के आवेदन के बाद मौजूद है, क्योंकि मध्यवर्ती परिणामों में वास्तविक प्रणाली में अनुरूपता नहीं हो सकती है।

जटिल प्रणालियों का अध्ययन करते समय उत्पन्न होने वाली सूचीबद्ध कठिनाइयों के संबंध में, अभ्यास को अधिक लचीली विधि की आवश्यकता होती है, और यह दिखाई दिया - सिमुलेशन मॉडलिंग " सिम्युजेशन मॉडलिंग"।

आमतौर पर, एक सिमुलेशन मॉडल को कंप्यूटर प्रोग्राम के एक सेट के रूप में समझा जाता है जो सिस्टम के अलग-अलग ब्लॉक के कामकाज और उनके बीच बातचीत के नियमों का वर्णन करता है। यादृच्छिक चर का उपयोग सिमुलेशन प्रणाली (कंप्यूटर पर) और प्राप्त परिणामों के बाद के सांख्यिकीय विश्लेषण के साथ बार-बार प्रयोग करना आवश्यक बनाता है। सिमुलेशन मॉडल के उपयोग का एक बहुत ही सामान्य उदाहरण मोंटे कार्लो विधि द्वारा कतारबद्ध समस्या का समाधान है।

इस प्रकार, सिमुलेशन सिस्टम के साथ काम करना कंप्यूटर पर किया जाने वाला एक प्रयोग है। क्या लाभ हैं?

- गणितीय मॉडल की तुलना में वास्तविक प्रणाली से अधिक निकटता;

- ब्लॉक सिद्धांत समग्र प्रणाली में शामिल होने से पहले प्रत्येक ब्लॉक को सत्यापित करना संभव बनाता है;

- अधिक जटिल प्रकृति की निर्भरता का उपयोग, सरल गणितीय संबंधों द्वारा वर्णित नहीं।

सूचीबद्ध फायदे नुकसान का निर्धारण करते हैं

- एक सिमुलेशन मॉडल बनाना लंबा, अधिक कठिन और अधिक महंगा है;

- सिमुलेशन सिस्टम के साथ काम करने के लिए, आपके पास एक ऐसा कंप्यूटर होना चाहिए जो कक्षा के लिए उपयुक्त हो;

- उपयोगकर्ता और सिमुलेशन मॉडल (इंटरफ़ेस) के बीच बातचीत बहुत जटिल, सुविधाजनक और प्रसिद्ध नहीं होनी चाहिए;

- सिमुलेशन मॉडल के निर्माण के लिए गणितीय मॉडलिंग की तुलना में वास्तविक प्रक्रिया के गहन अध्ययन की आवश्यकता होती है।

प्रश्न उठता है: क्या सिमुलेशन मॉडलिंग अनुकूलन विधियों की जगह ले सकता है? नहीं, लेकिन आसानी से उनका पूरक है। एक सिमुलेशन मॉडल एक ऐसा प्रोग्राम है जो कुछ एल्गोरिदम को लागू करता है, जिसके नियंत्रण को अनुकूलित करने के लिए एक अनुकूलन समस्या को पहले हल किया जाता है।

इसलिए, न तो कोई कंप्यूटर, न ही गणितीय मॉडल, और न ही इसका अलग से अध्ययन करने के लिए कोई एल्गोरिथम एक जटिल समस्या को हल कर सकता है। लेकिन साथ में वे उस शक्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं जो आपको अपने आसपास की दुनिया को जानने, इसे मनुष्य के हित में प्रबंधित करने की अनुमति देती है।

1.2 मॉडल वर्गीकरण

गणितीय मॉडल क्या है?

गणितीय मॉडल की अवधारणा।

एक गणितीय मॉडल एक बहुत ही सरल अवधारणा है। और बहुत महत्वपूर्ण। यह गणितीय मॉडल हैं जो गणित और वास्तविक जीवन को जोड़ते हैं।

सामान्य शर्तों में, गणितीय मॉडल किसी भी स्थिति का गणितीय विवरण होता है।और बस। मॉडल आदिम हो सकता है, यह सुपर कॉम्प्लेक्स हो सकता है। क्या स्थिति है, मॉडल क्या है।)

किसी में (मैं दोहराता हूं - किसी में!) व्यवसाय, जहां आपको कुछ गणना करने और गणना करने की आवश्यकता होती है - हम गणितीय मॉडलिंग में लगे हुए हैं। भले ही हम इसे न जानते हों।)

पी \u003d 2 सीबी + 3 सीबी

यह रिकॉर्ड हमारी खरीद के खर्चों का गणितीय मॉडल होगा। मॉडल पैकेजिंग के रंग, समाप्ति तिथि, कैशियर की राजनीति आदि को ध्यान में नहीं रखता है। इसलिए वह आदर्श,वास्तविक खरीद नहीं। लेकिन लागत, यानी। हमें क्या चाहिये- हम निश्चित रूप से जानेंगे। यदि मॉडल सही है, तो निश्चित रूप से।

यह कल्पना करना उपयोगी है कि गणितीय मॉडल क्या है, लेकिन यह पर्याप्त नहीं है। इन मॉडलों का निर्माण करने में सक्षम होना सबसे महत्वपूर्ण बात है।

समस्या के गणितीय मॉडल का संकलन (निर्माण)।

गणितीय मॉडल की रचना करने का अर्थ है समस्या की स्थितियों का गणितीय रूप में अनुवाद करना। वे। शब्दों को समीकरण, सूत्र, असमानता आदि में बदल दें। इसके अलावा, इसे चालू करें ताकि यह गणित मूल पाठ से सख्ती से मेल खाए। अन्यथा, हम किसी अन्य समस्या के गणितीय मॉडल के साथ समाप्त हो जाएंगे जो हमारे लिए अज्ञात है।)

अधिक विशेष रूप से, आपको चाहिए

संसार में अनगिनत कार्य हैं। इसलिए, गणितीय मॉडल को संकलित करने के लिए स्पष्ट चरण-दर-चरण निर्देश देने के लिए कोई भीकार्य असंभव हैं।

लेकिन तीन मुख्य बिंदु हैं जिन पर आपको ध्यान देने की आवश्यकता है।

1. किसी भी कार्य में एक पाठ होता है, विचित्र रूप से पर्याप्त।) यह पाठ, एक नियम के रूप में, है स्पष्ट, खुली जानकारी।संख्याएँ, मान आदि।

2. किसी भी कार्य में होता है छिपी जानकारी।यह एक ऐसा पाठ है जो सिर में अतिरिक्त ज्ञान की उपस्थिति मानता है। उनके बिना - कुछ भी नहीं। इसके अलावा, गणितीय जानकारी अक्सर सरल शब्दों के पीछे छिपी होती है और ...

3. किसी भी कार्य में अवश्य देना चाहिए डेटा के बीच संचार।यह कनेक्शन स्पष्ट पाठ में दिया जा सकता है (कुछ के बराबर कुछ), या इसे सरल शब्दों के पीछे छिपाया जा सकता है। लेकिन सरल और स्पष्ट तथ्यों की अक्सर अनदेखी की जाती है। और मॉडल किसी भी तरह से संकलित नहीं है।

मुझे तुरंत कहना होगा कि इन तीन बिंदुओं को लागू करने के लिए, समस्या को कई बार (और ध्यान से!) पढ़ना होगा। सामान्य बात।

और अब - उदाहरण।

आइए एक साधारण समस्या से शुरू करें:

पेट्रोविच मछली पकड़ने से लौटा और गर्व से अपने परिवार को अपना कैच थमा दिया। करीब से जाँच करने पर, यह पता चला कि 8 मछलियाँ उत्तरी समुद्र से आती हैं, सभी मछलियों का 20% दक्षिणी समुद्र से आती हैं, और एक भी स्थानीय नदी से नहीं आती जहाँ पेट्रोविच ने मछली पकड़ी थी। पेट्रोविच ने सीफूड स्टोर में कितनी मछलियाँ खरीदीं?

इन सभी शब्दों को किसी तरह के समीकरण में बदलने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, मैं दोहराता हूं, समस्या के सभी डेटा के बीच गणितीय संबंध स्थापित करें।

कहा से शुरुवात करे? सबसे पहले, हम कार्य से सभी डेटा निकालेंगे। आइए क्रम में शुरू करें:

आइए पहले बिंदु पर ध्यान दें।

इधर क्या है मुखरगणितीय जानकारी? 8 मछली और 20%। बहुत कुछ नहीं, लेकिन हमें बहुत कुछ नहीं चाहिए।)

आइए दूसरे बिंदु पर ध्यान दें।

तलाश रहे हैं प्रच्छन्नजानकारी। वह यहां है। ये शब्द हैं: "सभी मछलियों का 20%""। यहां आपको यह समझने की जरूरत है कि प्रतिशत क्या हैं और उनकी गणना कैसे की जाती है। अन्यथा, कार्य हल नहीं किया जा सकता है। यह बिल्कुल अतिरिक्त जानकारी है जो सिर में होनी चाहिए।

यहाँ भी है गणितीयजानकारी जो पूरी तरह से अदृश्य है। ये है कार्य प्रश्न: "आपने कितनी मछली खरीदी...यह भी एक संख्या है। और इसके बिना कोई भी मॉडल संकलित नहीं होगा। इसलिए, आइए हम इस संख्या को अक्षर द्वारा निरूपित करें "एक्स"।हम अभी तक नहीं जानते हैं कि x किसके बराबर है, लेकिन ऐसा पदनाम हमारे लिए बहुत उपयोगी होगा। एक्स के लिए क्या लेना है और इसे कैसे संभालना है, इस बारे में अधिक जानकारी के लिए, पाठ देखें गणित की समस्याओं को कैसे हल करें? आइए इसे तुरंत लिखें:

x टुकड़े - मछली की कुल संख्या।

हमारी समस्या में दक्षिणी मछली को प्रतिशत के रूप में दिया जाता है। हमें उन्हें टुकड़ों में अनुवाद करने की जरूरत है। किस लिए? फिर क्या है कोई भीमॉडल का कार्य होना चाहिए समान मात्रा में।टुकड़े - तो सब कुछ टुकड़ों में है। अगर हमें दिया जाता है, मान लीजिए घंटे और मिनट, हम सब कुछ एक चीज़ में अनुवाद करते हैं - या तो केवल घंटे, या केवल मिनट। कोई फर्क नहीं पड़ता क्या। यह जरुरी है कि सभी मूल्य समान थे।

प्रकटीकरण को लौटें। जो कोई नहीं जानता कि प्रतिशत क्या है, वह कभी प्रकट नहीं करेगा, हाँ ... और कौन जानता है, वह तुरंत कहेगा कि यहाँ मछलियों की कुल संख्या का प्रतिशत दिया गया है। हम इस संख्या को नहीं जानते हैं। इससे कुछ नहीं आएगा!

मछली की कुल संख्या (टुकड़ों में!) पत्र के साथ व्यर्थ नहीं है "एक्स"नामित। दक्षिणी मछली को टुकड़ों में गिनने से काम नहीं चलेगा, लेकिन क्या हम इसे लिख सकते हैं? ऐशे ही:

0.2 x टुकड़े - दक्षिणी समुद्र से मछलियों की संख्या।

अब हमने टास्क से सारी जानकारी डाउनलोड कर ली है। दोनों स्पष्ट और गुप्त।

आइए तीसरे बिंदु पर ध्यान दें।

तलाश रहे हैं गणितीय संबंधकार्य डेटा के बीच। यह कनेक्शन इतना आसान है कि कई लोग इसे नोटिस नहीं करते... ऐसा अक्सर होता है। यहां एकत्रित डेटा को केवल एक समूह में लिखना उपयोगी है, और देखें कि क्या है।

हमारे पास क्या है? वहाँ है 8 टुकड़ेउत्तरी मछली, 0.2 x टुकड़े- दक्षिणी मछली और एक्स मछली- कुल। क्या इस डेटा को किसी तरह एक साथ जोड़ना संभव है? हाँ आसान! मछलियों की कुल संख्या बराबरीदक्षिणी और उत्तरी का योग! खैर, किसने सोचा होगा ...) तो हम लिखते हैं:

एक्स = 8 + 0.2x

यह होगा समीकरण हमारी समस्या का गणितीय मॉडल।

कृपया ध्यान दें कि इस समस्या में हमें कुछ भी मोड़ने के लिए नहीं कहा जाता है!यह हम स्वयं थे, हमारे सिर से, जिन्होंने महसूस किया कि दक्षिणी और उत्तरी मछलियों का योग हमें कुल संख्या देगा। बात इतनी स्पष्ट है कि ध्यान से हट जाता है। लेकिन इस सबूत के बिना, एक गणितीय मॉडल संकलित नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार सं.

अब आप इस समीकरण को हल करने के लिए गणित की सारी शक्ति लागू कर सकते हैं)। यह वही है जो गणितीय मॉडल के लिए डिज़ाइन किया गया था। हम इस रैखिक समीकरण को हल करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं।

जवाब: एक्स = 10

आइए एक और समस्या का गणितीय मॉडल बनाएं:

पेट्रोविच से पूछा गया: "आपके पास कितना पैसा है?" पेट्रोविच रोया और उत्तर दिया: "हाँ, बस थोड़ा सा। अगर मैं सभी पैसे का आधा और बाकी का आधा खर्च करता हूं, तो मेरे पास पैसे का केवल एक बैग बचा होगा ..." पेट्रोविच के पास कितना पैसा है?

फिर से, हम बिंदु दर बिंदु काम करते हैं।

1. हम स्पष्ट जानकारी की तलाश कर रहे हैं। आप इसे तुरंत नहीं पाएंगे! स्पष्ट जानकारी है एकपैसे का बैग। कुछ और पड़ाव हैं... ठीक है, हम इसे दूसरे पैराग्राफ में सुलझाएंगे।

2. हम छिपी हुई जानकारी की तलाश कर रहे हैं। ये आधे हैं। क्या? बहुत स्पष्ट नहीं है। अधिक खोज रहे हैं। एक और मुद्दा है: "पेत्रोविच के पास कितने पैसे हैं?"आइए पत्र द्वारा राशि को निरूपित करें "एक्स":

एक्स- पूरा धन

और समस्या को फिर से पढ़ें। पहले से ही जानते हैं कि पेट्रोविच एक्ससे पैसा। यह वह जगह है जहाँ आधा काम करता है! हम लिखते हैं:

0.5 x- सभी पैसे का आधा।

शेष भी आधा होगा, अर्थात। 0.5 एक्स।और आधा आधा इस तरह लिखा जा सकता है:

0.5 0.5 x = 0.25x- शेष का आधा।

अब सारी छिपी हुई जानकारी सामने आ गई है और रिकॉर्ड कर ली गई है।

3. हम रिकॉर्ड किए गए डेटा के बीच एक कनेक्शन की तलाश कर रहे हैं। यहाँ आप केवल पेट्रोविच के कष्टों को पढ़ सकते हैं और उन्हें गणितीय रूप से लिख सकते हैं):

अगर मैं सारे पैसे का आधा खर्च कर दूं...

आइए इस प्रक्रिया को लिखें। सारा पैसा - एक्स।आधा - 0.5 x. खर्च करना ही छीन लेना है। वाक्यांश बन जाता है:

एक्स - 0.5 एक्स

और बाकी का आधा...

शेष का एक और आधा घटाएं:

एक्स - 0.5 एक्स - 0.25 एक्स

तो मेरे पास पैसे का एक ही थैला रहेगा...

और समानता है! सभी घटाव के बाद, पैसे का एक बैग बचा है:

एक्स - 0.5 एक्स - 0.25x \u003d 1

यहाँ यह है, गणितीय मॉडल! यह फिर से एक रैखिक समीकरण है, हम हल करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

विचार के लिए प्रश्न। चार क्या है? रूबल, डॉलर, युआन? और गणितीय मॉडल में हमारे पास किन इकाइयों में पैसा है? बैग में!तो चार थैलापेट्रोविच का पैसा। भी ठीक।)

कार्य, निश्चित रूप से, प्राथमिक हैं। यह विशेष रूप से गणितीय मॉडल तैयार करने के सार को पकड़ने के लिए है। कुछ कार्यों में बहुत अधिक डेटा हो सकता है जिसमें भ्रमित होना आसान हो। यह अक्सर तथाकथित में होता है। योग्यता कार्य। गणितीय सामग्री को शब्दों और संख्याओं के ढेर से कैसे निकाला जाए, इसे उदाहरणों के साथ दिखाया गया है

एक और नोट। शास्त्रीय स्कूल की समस्याओं में (पाइप पूल भरते हैं, नावें कहीं नौकायन कर रही हैं, आदि), सभी डेटा, एक नियम के रूप में, बहुत सावधानी से चुने जाते हैं। दो नियम हैं:
- समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त जानकारी है,
- कार्य में कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं है।

यह एक इशारा है। यदि गणितीय मॉडल में कुछ अप्रयुक्त मूल्य है, तो सोचें कि क्या कोई त्रुटि है। यदि किसी भी तरह से पर्याप्त डेटा नहीं है, तो सबसे अधिक संभावना है कि सभी छिपी हुई जानकारी का खुलासा और रिकॉर्ड नहीं किया गया है।

योग्यता और अन्य जीवन कार्यों में, इन नियमों का कड़ाई से पालन नहीं किया जाता है। मेरे पास कोई संकेत नहीं है। लेकिन ऐसी समस्याओं का समाधान भी किया जा सकता है। जब तक, निश्चित रूप से, क्लासिक पर अभ्यास न करें।)

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गणितीय मॉडलिंग

1. गणितीय मॉडलिंग क्या है?

XX सदी के मध्य से। मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में, गणितीय विधियों और कंप्यूटरों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा। "गणितीय अर्थशास्त्र", "गणितीय रसायन विज्ञान", "गणितीय भाषाविज्ञान", आदि जैसे नए विषय सामने आए हैं जो प्रासंगिक वस्तुओं और घटनाओं के गणितीय मॉडल के साथ-साथ इन मॉडलों के अध्ययन के तरीकों का अध्ययन करते हैं।

एक गणितीय मॉडल गणित की भाषा में किसी भी वर्ग की घटना या वास्तविक दुनिया की वस्तुओं का अनुमानित विवरण है। मॉडलिंग का मुख्य उद्देश्य इन वस्तुओं का पता लगाना और भविष्य के अवलोकनों के परिणामों की भविष्यवाणी करना है। हालांकि, मॉडलिंग भी आसपास की दुनिया के संज्ञान की एक विधि है, जिससे इसे नियंत्रित करना संभव हो जाता है।

गणितीय मॉडलिंग और संबंधित कंप्यूटर प्रयोग उन मामलों में अपरिहार्य हैं जहां एक पूर्ण पैमाने पर प्रयोग एक कारण या किसी अन्य के लिए असंभव या कठिन है। उदाहरण के लिए, "क्या होगा यदि..." की जांच करने के लिए इतिहास में एक पूर्ण पैमाने पर प्रयोग स्थापित करना असंभव है, इस या उस ब्रह्माण्ड संबंधी सिद्धांत की शुद्धता की जांच करना असंभव है। सिद्धांत रूप में, यह संभव है, लेकिन शायद ही उचित है, किसी प्रकार की बीमारी के प्रसार के साथ प्रयोग करना, जैसे कि प्लेग, या इसके परिणामों का अध्ययन करने के लिए परमाणु विस्फोट करना। हालाँकि, यह सब एक कंप्यूटर पर किया जा सकता है, जिसमें अध्ययन के तहत पहले से निर्मित गणितीय मॉडल हैं।

2. गणितीय मॉडलिंग के मुख्य चरण

1) मॉडल बिल्डिंग. इस स्तर पर, कुछ "गैर-गणितीय" वस्तु निर्दिष्ट की जाती है - एक प्राकृतिक घटना, निर्माण, आर्थिक योजना, उत्पादन प्रक्रिया, आदि। इस मामले में, एक नियम के रूप में, स्थिति का स्पष्ट विवरण मुश्किल है। सबसे पहले, घटना की मुख्य विशेषताएं और गुणात्मक स्तर पर उनके बीच संबंध की पहचान की जाती है। फिर गणित की भाषा में पाई गई गुणात्मक निर्भरताएँ तैयार की जाती हैं, यानी एक गणितीय मॉडल बनाया जाता है। यह मॉडलिंग का सबसे कठिन हिस्सा है।

2) उस गणितीय समस्या को हल करना जो मॉडल की ओर ले जाती है. इस स्तर पर, कंप्यूटर पर समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम और संख्यात्मक विधियों के विकास पर बहुत ध्यान दिया जाता है, जिसकी सहायता से आवश्यक सटीकता के साथ और स्वीकार्य समय के भीतर परिणाम प्राप्त किया जा सकता है।

3) गणितीय मॉडल से प्राप्त परिणामों की व्याख्या।गणित की भाषा में मॉडल से प्राप्त परिणामों की व्याख्या इस क्षेत्र में स्वीकृत भाषा में की जाती है।

4) मॉडल की पर्याप्तता की जाँच करना।इस स्तर पर, यह पता लगाया जाता है कि प्रयोग के परिणाम एक निश्चित सटीकता के भीतर मॉडल के सैद्धांतिक परिणामों से सहमत हैं या नहीं।

5) मॉडल संशोधन।इस स्तर पर, या तो मॉडल अधिक जटिल हो जाता है ताकि यह वास्तविकता के लिए अधिक पर्याप्त हो, या व्यावहारिक रूप से स्वीकार्य समाधान प्राप्त करने के लिए इसे सरल बनाया जाए।

3. मॉडलों का वर्गीकरण

मॉडल को विभिन्न मानदंडों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हल की जा रही समस्याओं की प्रकृति के अनुसार, मॉडल को कार्यात्मक और संरचनात्मक में विभाजित किया जा सकता है। पहले मामले में, किसी घटना या वस्तु की विशेषता वाली सभी मात्राएं मात्रात्मक रूप से व्यक्त की जाती हैं। साथ ही, उनमें से कुछ को स्वतंत्र चर माना जाता है, जबकि अन्य को इन मात्राओं के कार्य के रूप में माना जाता है। एक गणितीय मॉडल आमतौर पर विभिन्न प्रकार (अंतर, बीजीय, आदि) के समीकरणों की एक प्रणाली है जो विचाराधीन मात्राओं के बीच मात्रात्मक संबंध स्थापित करता है। दूसरे मामले में, मॉडल एक जटिल वस्तु की संरचना की विशेषता है, जिसमें अलग-अलग हिस्से होते हैं, जिसके बीच कुछ कनेक्शन होते हैं। आमतौर पर, ये रिश्ते मात्रात्मक नहीं होते हैं। ऐसे मॉडल बनाने के लिए ग्राफ थ्योरी का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। एक ग्राफ एक गणितीय वस्तु है, जो एक समतल या अंतरिक्ष में बिंदुओं (कोने) का एक समूह है, जिनमें से कुछ रेखाओं (किनारों) से जुड़े होते हैं।

प्रारंभिक डेटा और भविष्यवाणी परिणामों की प्रकृति के अनुसार, मॉडल को नियतात्मक और संभाव्य-सांख्यिकीय में विभाजित किया जा सकता है। पहले प्रकार के मॉडल निश्चित, स्पष्ट भविष्यवाणियां करते हैं। दूसरे प्रकार के मॉडल सांख्यिकीय जानकारी पर आधारित होते हैं, और उनकी मदद से प्राप्त भविष्यवाणियां संभाव्य प्रकृति की होती हैं।

4. गणितीय मॉडल के उदाहरण

1) प्रक्षेप्य की गति के बारे में समस्याएं।

यांत्रिकी में निम्नलिखित समस्या पर विचार करें।

प्रक्षेप्य को पृथ्वी से प्रारंभिक वेग v 0 = 30 m/s के कोण पर a = 45° से इसकी सतह पर प्रक्षेपित किया जाता है; इसके आंदोलन के प्रक्षेपवक्र और इस प्रक्षेपवक्र के प्रारंभ और अंत बिंदुओं के बीच की दूरी S का पता लगाना आवश्यक है।

फिर, जैसा कि स्कूल भौतिकी पाठ्यक्रम से जाना जाता है, प्रक्षेप्य की गति का वर्णन सूत्रों द्वारा किया जाता है:

जहाँ t - समय, g = 10 m / s 2 - मुक्त गिरावट त्वरण। ये सूत्र कार्य का गणितीय मॉडल देते हैं। पहले समीकरण से x के रूप में t को व्यक्त करने और इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं:

यह वक्र (परवलय) x-अक्ष को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है: x 1 \u003d 0 (प्रक्षेपवक्र की शुरुआत) और (वह स्थान जहाँ प्रक्षेप्य गिरा था)। दिए गए मानों v0 और a को प्राप्त सूत्रों में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

उत्तर: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 मीटर।

ध्यान दें कि इस मॉडल के निर्माण में कई मान्यताओं का उपयोग किया गया था: उदाहरण के लिए, यह माना जाता है कि पृथ्वी समतल है, और पृथ्वी की हवा और घूर्णन प्रक्षेप्य की गति को प्रभावित नहीं करते हैं।

2) सबसे छोटे सतह क्षेत्र वाले टैंक की समस्या।

एक बंद वृत्ताकार सिलेंडर के आकार वाले एक टिन टैंक की ऊंचाई h 0 और त्रिज्या r 0 को वॉल्यूम V = 30 m 3 के साथ खोजना आवश्यक है, जिस पर इसका सतह क्षेत्र S न्यूनतम है (इस मामले में, सबसे छोटा इसके निर्माण के लिए टिन की मात्रा का उपयोग किया जाएगा)।

हम ऊँचाई h और त्रिज्या r के बेलन के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए निम्नलिखित सूत्र लिखते हैं:

वी = पी आर 2 एच, एस = 2पी आर(आर + एच)।

पहले सूत्र से r और V के पदों में h को व्यक्त करने और परिणामी व्यंजक को दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, गणितीय दृष्टिकोण से, समस्या r के मान को निर्धारित करने के लिए कम हो जाती है जिस पर फ़ंक्शन S(r) अपने न्यूनतम तक पहुंच जाता है। आइए हम r 0 के वे मान ज्ञात करें जिनके लिए अवकलज

शून्य हो जाता है: जब तर्क r बिंदु r 0 से होकर गुजरता है, तो आप जाँच सकते हैं कि फ़ंक्शन S(r) का दूसरा व्युत्पन्न चिह्न ऋण से धन में बदलता है। इसलिए, फ़ंक्शन S(r) का न्यूनतम बिंदु r0 है। संगत मान h 0 = 2r 0 । दिए गए मान V को r 0 और h 0 के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम वांछित त्रिज्या प्राप्त करते हैं और ऊंचाई

3) परिवहन कार्य।

शहर में आटा के दो गोदाम और दो बेकरी हैं। हर दिन, पहले गोदाम से 50 टन आटा निर्यात किया जाता है, और दूसरे से कारखानों में 70 टन, पहले से 40 टन और दूसरे से 80 टन का निर्यात किया जाता है।

द्वारा निरूपित करें ए ij i-वें गोदाम से j-वें संयंत्र (i, j = 1.2) तक 1 टन आटे के परिवहन की लागत है। रहने दो

ए 11 \u003d 1.2 पी।, ए 12 \u003d 1.6 पी।, ए 21 \u003d 0.8 पी।, ए 22 = 1 पी।

परिवहन की योजना कैसे बनाई जानी चाहिए ताकि उनकी लागत कम से कम हो?

आइए समस्या को गणितीय सूत्रीकरण दें। हम x 1 और x 2 से निरूपित करते हैं कि आटे की मात्रा को पहले गोदाम से पहले और दूसरे कारखानों में ले जाया जाना चाहिए, और x 3 और x 4 के माध्यम से - दूसरे गोदाम से पहले और दूसरे कारखानों तक, क्रमशः। फिर:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

सभी परिवहन की कुल लागत सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

f = 1.2x1 + 1.6x2 + 0.8x3 + x4।

गणितीय दृष्टिकोण से, कार्य चार संख्याओं x 1, x 2, x 3 और x 4 को खोजना है जो सभी दी गई शर्तों को पूरा करते हैं और न्यूनतम फ़ंक्शन f देते हैं। आइए अज्ञात के उन्मूलन की विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली (1) को xi (i = 1, 2, 3, 4) के संबंध में हल करें। हमें वह मिलता है

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

और x 4 को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। चूँकि x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4), यह समीकरण (2) से 30J x 4 J 70 का अनुसरण करता है। x 1 , x 2 , x 3 के व्यंजक को f के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

च \u003d 148 - 0.2x 4.

यह देखना आसान है कि इस फ़ंक्शन का न्यूनतम x 4 के अधिकतम संभव मान पर पहुंच गया है, यानी x 4 = 70 पर। अन्य अज्ञात के संबंधित मान सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0।

4) रेडियोधर्मी क्षय की समस्या।

मान लीजिए N(0) रेडियोधर्मी पदार्थ के परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या है, और N(t) समय t पर अधूरे परमाणुओं की संख्या है। यह प्रयोगात्मक रूप से स्थापित किया गया है कि इन परमाणुओं की संख्या में परिवर्तन की दर N "(t) N (t) के समानुपाती है, अर्थात N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 है किसी दिए गए पदार्थ की रेडियोधर्मिता स्थिरांक। गणितीय विश्लेषण के स्कूल पाठ्यक्रम में, यह दिखाया गया है कि इस अंतर समीकरण के समाधान का रूप N(t) = N(0)e –l t है। समय T, जिसके दौरान प्रारंभिक परमाणुओं की संख्या आधी हो गई है, अर्ध-आयु कहलाती है, और यह किसी पदार्थ की रेडियोधर्मिता की एक महत्वपूर्ण विशेषता है। टी निर्धारित करने के लिए, सूत्र में रखना आवश्यक है फिर उदाहरण के लिए, रेडॉन l = 2.084 10–6 के लिए, और इसलिए T = 3.15 दिन।

5) ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या।

शहर A 1 में रहने वाले एक ट्रैवलिंग सेल्समैन को शहरों A 2 , A 3 और A 4 , प्रत्येक शहर में ठीक एक बार जाना है, और फिर वापस A 1 पर लौटना है। यह ज्ञात है कि सभी शहर सड़कों द्वारा जोड़े में जुड़े हुए हैं, और शहरों ए और ए जे (i, j = 1, 2, 3, 4) के बीच सड़कों की लंबाई b ij इस प्रकार है:

ख 12 = 30, ख 14 = 20, ख 23 = 50, ख 24 = 40, ख 13 = 70, ख 34 = 60।

शहरों में जाने का क्रम निर्धारित करना आवश्यक है, जिसमें संबंधित पथ की लंबाई न्यूनतम हो।

आइए प्रत्येक शहर को समतल पर एक बिंदु के रूप में चित्रित करें और इसे संबंधित लेबल एआई (i = 1, 2, 3, 4) से चिह्नित करें। आइए इन बिंदुओं को रेखा खंडों से जोड़ते हैं: वे शहरों के बीच की सड़कों को चित्रित करेंगे। प्रत्येक "सड़क" के लिए, हम इसकी लंबाई किलोमीटर (चित्र 2) में इंगित करते हैं। परिणाम एक ग्राफ है - एक गणितीय वस्तु जिसमें विमान पर बिंदुओं का एक निश्चित सेट होता है (जिसे कोने कहा जाता है) और इन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाओं का एक निश्चित सेट (किनारे कहा जाता है)। इसके अलावा, इस ग्राफ को लेबल किया गया है, क्योंकि कुछ लेबल इसके शीर्षों और किनारों - संख्याओं (किनारों) या प्रतीकों (कोने) को दिए गए हैं। एक ग्राफ पर एक चक्र शीर्ष V 1, V 2, ..., V k, V 1 का एक क्रम है जैसे कि शीर्ष V 1 , ..., V k भिन्न हैं, और शीर्षों का कोई भी जोड़ा V i , V i+1 (i = 1, ..., k - 1) और युग्म V 1, V k एक किनारे से जुड़े हुए हैं। इस प्रकार, विचाराधीन समस्या सभी चार शीर्षों से गुजरने वाले ग्राफ पर ऐसे चक्र को खोजने की है जिसके लिए सभी किनारों के भार का योग न्यूनतम है। आइए चार शीर्षों से गुजरने वाले और ए 1 से शुरू होने वाले सभी विभिन्न चक्रों को खोजें:

1) ए 1, ए 4, ए 3, ए 2, ए 1;
2) ए 1, ए 3, ए 2, ए 4, ए 1;
3) ए 1, ए 3, ए 4, ए 2, ए 1।

अब आइए इन चक्रों की लंबाई (किमी में) ज्ञात करें: एल 1 = 160, एल 2 = 180, एल 3 = 200। तो, सबसे छोटी लंबाई का मार्ग पहला है।

ध्यान दें कि यदि ग्राफ़ में n शीर्ष हैं और सभी कोने किनारों से जोड़े में जुड़े हुए हैं (ऐसे ग्राफ़ को पूर्ण कहा जाता है), तो सभी शीर्षों से गुजरने वाले चक्रों की संख्या समान होती है। इसलिए, हमारे मामले में ठीक तीन चक्र हैं .

6) पदार्थों की संरचना और गुणों के बीच संबंध खोजने की समस्या।

कई रासायनिक यौगिकों पर विचार करें जिन्हें सामान्य अल्केन्स कहा जाता है। वे n कार्बन परमाणु और n + 2 हाइड्रोजन परमाणु (n = 1, 2 ...) से मिलकर बने होते हैं, जैसा कि चित्र 3 में n = 3 में दिखाया गया है। इन यौगिकों के क्वथनांक के प्रायोगिक मूल्यों को ज्ञात होने दें:

वाई ई (3) = - 42 डिग्री, वाई ई (4) = 0 डिग्री, वाई ई (5) = 28 डिग्री, वाई ई (6) = 69 डिग्री।

इन यौगिकों के क्वथनांक और संख्या n के बीच एक सन्निकट संबंध ज्ञात करना आवश्यक है। हम मानते हैं कि इस निर्भरता का रूप है

वाई » एएन+बी

कहाँ पे ए, बी - स्थिरांक निर्धारित किया जाना है। खोजने के लिए एऔर बी हम इस सूत्र में क्रमिक रूप से n = 3, 4, 5, 6 और क्वथनांक के संबंधित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। हमारे पास है:

- 42 » 3 ए+ ख, 0 » 4 ए+ बी, 28 » 5 ए+ ख, 69 » 6 ए+ख.

सर्वश्रेष्ठ का निर्धारण करने के लिए एऔर बी कई अलग-अलग तरीके हैं। आइए उनमें से सबसे सरल का उपयोग करें। हम b को के रूप में व्यक्त करते हैं एइन समीकरणों से:

बी" - 42 - 3 ए, बी 4 ए, बी »28 - 5 ए, ख » 69 - 6 ए.

आइए हम इन मानों के अंकगणितीय माध्य को वांछित b के रूप में लें, अर्थात, हम b »16 - 4.5 . डालते हैं ए. आइए हम इस मान b को समीकरणों की मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं ए, हम के लिए मिलता है एनिम्नलिखित मान: ए»37, ए»28, ए»28, ए» 36 एइन नंबरों का औसत मान, यानी हम सेट करते हैं ए»34. तो, वांछित समीकरण का रूप है

वाई »34एन - 139।

आइए प्रारंभिक चार यौगिकों पर मॉडल की सटीकता की जांच करें, जिसके लिए हम प्राप्त सूत्र का उपयोग करके क्वथनांक की गणना करते हैं:

वाई आर (3) = - 37 डिग्री, वाई आर (4) = - 3 डिग्री, वाई आर (5) = 31 डिग्री, वाई आर (6) = 65 डिग्री।

इस प्रकार, इन यौगिकों के लिए इस गुण की गणना त्रुटि 5° से अधिक नहीं होती है। हम परिणामी समीकरण का उपयोग n = 7 के साथ एक यौगिक के क्वथनांक की गणना करने के लिए करते हैं, जो प्रारंभिक सेट में शामिल नहीं है, जिसके लिए हम n = 7 को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: y р (7) = 99°। परिणाम काफी सटीक निकला: यह ज्ञात है कि क्वथनांक का प्रायोगिक मूल्य y e (7) = 98 ° है।

7) विद्युत परिपथ की विश्वसनीयता निर्धारित करने की समस्या।

यहां हम एक संभाव्य मॉडल के एक उदाहरण पर विचार करते हैं। सबसे पहले, आइए संभाव्यता के सिद्धांत से कुछ जानकारी दें - एक गणितीय अनुशासन जो किसी प्रयोग के बार-बार दोहराव के दौरान देखी गई यादृच्छिक घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करता है। आइए एक यादृच्छिक घटना ए को कुछ अनुभव का संभावित परिणाम कहते हैं। घटनाएँ A 1, ..., A k एक पूर्ण समूह बनाते हैं यदि उनमें से एक प्रयोग के परिणामस्वरूप आवश्यक रूप से होता है। घटनाओं को असंगत कहा जाता है यदि वे एक ही अनुभव में एक साथ नहीं हो सकते हैं। प्रयोग के n-गुना पुनरावृत्ति के दौरान घटना A को m बार घटित होने दें। घटना A की बारंबारता संख्या W = है। जाहिर है, जब तक n प्रयोगों की एक श्रृंखला नहीं की जाती है, तब तक W के मूल्य का ठीक-ठीक अनुमान नहीं लगाया जा सकता है। हालांकि, यादृच्छिक घटनाओं की प्रकृति ऐसी है कि व्यवहार में कभी-कभी निम्नलिखित प्रभाव देखा जाता है: प्रयोगों की संख्या में वृद्धि के साथ, मूल्य व्यावहारिक रूप से यादृच्छिक होना बंद हो जाता है और कुछ गैर-यादृच्छिक संख्या पी (ए) के आसपास स्थिर हो जाता है, जिसे कहा जाता है घटना की संभावना ए। एक असंभव घटना के लिए (जो प्रयोग में कभी नहीं होता है) पी (ए) = 0, और एक निश्चित घटना के लिए (जो हमेशा प्रयोग में होता है) पी (ए) = 1। यदि घटनाएँ A 1, ..., A k असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं, तो P(A 1)+...+P(A k)=1.

उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, प्रयोग में एक पासा फेंकना और गिराए गए बिंदुओं की संख्या का अवलोकन करना शामिल है। फिर हम निम्नलिखित यादृच्छिक घटनाओं का परिचय दे सकते हैं: A i = (X = i), i = 1, ..., 6. वे बनाते हैं असंगत समान रूप से संभावित घटनाओं का एक पूरा समूह, इसलिए P(A i) = (i = 1, ..., 6)।

घटनाओं ए और बी का योग घटना ए + बी है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि उनमें से कम से कम एक प्रयोग में होता है। घटनाओं ए और बी का उत्पाद घटना एबी है, जिसमें इन घटनाओं की एक साथ घटना होती है। स्वतंत्र घटनाओं ए और बी के लिए, सूत्र सत्य हैं

पी (एबी) = पी (ए) पी (बी), पी (ए + बी) = पी (ए) + पी (बी)।

8) अब निम्नलिखित पर विचार करें काम. मान लीजिए कि तीन तत्व एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करते हुए एक विद्युत परिपथ में श्रृंखला में जुड़े हुए हैं। पहले, दूसरे और तीसरे तत्वों की विफलता की संभावनाएं क्रमशः पी 1 = 0.1, पी 2 = 0.15, पी 3 = 0.2 हैं। हम परिपथ को विश्वसनीय मानेंगे यदि परिपथ में धारा न होने की प्रायिकता 0.4 से अधिक न हो। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि दी गई श्रृंखला विश्वसनीय है या नहीं।

चूंकि तत्व श्रृंखला में जुड़े हुए हैं, कम से कम एक तत्व विफल होने पर सर्किट (घटना ए) में कोई करंट नहीं होगा। मान लीजिए कि i-वें तत्व के कार्य करने की घटना A i है (i = 1, 2, 3)। तब P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.85, P(A3) = 0.8। जाहिर है, ए 1 ए 2 ए 3 वह घटना है जिसमें तीनों तत्व एक साथ काम करते हैं, और

पी (ए 1 ए 2 ए 3) = पी (ए 1) पी (ए 2) पी (ए 3) = 0.612।

तब P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, इसलिए P(A) = 0.388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि गणितीय मॉडल के उपरोक्त उदाहरण (जिनमें कार्यात्मक और संरचनात्मक, नियतात्मक और संभाव्य हैं) उदाहरण हैं और जाहिर है, प्राकृतिक और मानव विज्ञान में उत्पन्न होने वाले गणितीय मॉडल की पूरी विविधता को समाप्त नहीं करते हैं।