बड़ी संख्या से रूट कैसे चुनें। आप वर्गमूल कैसे खोजते हैं? गुण, जड़ निष्कर्षण के उदाहरण

बड़ी संख्या से जड़ निकालना। प्रिय मित्रों!इस लेख में, हम यह पता लगाएंगे कि कैलकुलेटर के बिना बड़ी संख्या में रूट कैसे निकाला जाए। यह न केवल कुछ प्रकार की USE समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है (कुछ आंदोलन के लिए हैं), बल्कि सामान्य गणितीय विकास के लिए भी, इस विश्लेषणात्मक तकनीक को जानना वांछनीय है।

ऐसा लगता है कि सब कुछ सरल है: इसे कारक बनाएं और इसे निकालें। कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, संख्या 291600 जब विस्तारित होगी तो उत्पाद देगी:

हम गणना करते हैं:

एक है लेकिन! विधि अच्छी है यदि भाजक 2, 3, 4 और इसी तरह आसानी से निर्धारित किए जाते हैं। लेकिन क्या होगा यदि जिस संख्या से हम मूल निकालते हैं वह अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हो? उदाहरण के लिए १५२८८१ संख्याओं १७, १७, २३, २३ का गुणनफल है। इन भाजक को तुरंत खोजने का प्रयास करें।

जिस पद्धति पर हम विचार कर रहे हैं उसका सार- यह शुद्ध विश्लेषण है। अर्जित कौशल के साथ जड़ जल्दी मिल जाती है। यदि कौशल पर काम नहीं किया जाता है, लेकिन दृष्टिकोण को आसानी से समझा जाता है, तो यह थोड़ा धीमा है, लेकिन फिर भी निर्धारित है।

आइए १९०९६९ से जड़ निकालें।

सबसे पहले, आइए निर्धारित करें - हमारा परिणाम किन संख्याओं (एक सौ के गुणक) के बीच है।

जाहिर है, किसी दी गई संख्या के मूल का परिणाम 400 से 500 के बीच होता है,जैसा

४०० २ = १६०,००० और ५०० २ = २५०,०००

सच में:

बीच में, १६०,००० या २५०,००० के करीब?

संख्या १९०९६९ लगभग बीच में है, लेकिन फिर भी १६०००० के करीब है। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारे रूट का परिणाम ४५० से कम होगा। आइए देखें:

दरअसल, 190 969 . के बाद से यह 450 से कम है< 202 500.

अब संख्या 440 की जाँच करते हैं:

तो हमारा परिणाम 440 से कम है, क्योंकि 190 969 < 193 600.

संख्या 430 की जाँच करना:

हमने स्थापित किया है कि इस जड़ का परिणाम 430 से 440 के बीच होता है।

अंत में 1 या 9 के साथ संख्याओं का गुणन अंत में 1 के साथ एक संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 21x21, 441 है।

अंत में 2 या 8 वाली संख्याओं का गुणनफल अंत में 4 के साथ एक संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 18 x 18 324 है।

अंत में 5 वाली संख्याओं का गुणनफल अंत में 5 के साथ एक संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 25x25 बराबर 625 है।

अंत में 4 या 6 वाली संख्याओं का गुणनफल अंत में 6 वाली संख्या देता है। उदाहरण के लिए 26x26 बराबर 676 है।

अंत में 3 या 7 वाली संख्याओं का गुणनफल अंत में 9 के साथ एक संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 17x17 289 के बराबर है।

चूँकि संख्या १९०९६९ संख्या ९ के साथ समाप्त होती है, यह संख्या ४३३ या ४३७ का गुणनफल है।

* चुकता होने पर केवल वे ही अंत में 9 दे सकते हैं।

हम जाँच:

तो मूल परिणाम 437 होगा।

यही है, हम सही उत्तर के लिए "ग्रोप" करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक कॉलम में अधिकतम 5 क्रियाओं को करने की आवश्यकता है। शायद आप तुरंत मुद्दे पर पहुंच जाएंगे, या सिर्फ तीन क्रियाएं करेंगे। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि आप संख्या का प्रारंभिक अनुमान कैसे लगाते हैं।

148996 की जड़ स्वयं निकालें root

समस्या में ऐसा विभेदक प्राप्त होता है:

मोटर जहाज नदी के किनारे अपने गंतव्य 336 किमी तक जाता है और रुकने के बाद प्रस्थान बिंदु पर लौटता है। शांत जल में जहाज की गति ज्ञात कीजिए, यदि वर्तमान गति 5 किमी/घंटा है, तो ठहराव 10 घंटे तक रहता है, और जहाज छोड़ने के 48 घंटे बाद प्रस्थान बिंदु पर वापस आ जाता है। अपना उत्तर किमी/घंटा में दें।

समाधान देखें

मूल परिणाम 300 और 400 के बीच है:

300 2 =90000 400 2 =160000

दरअसल, 90,000<148996<160000.

आगे के तर्क का सार यह निर्धारित करने के लिए नीचे आता है कि इन संख्याओं के सापेक्ष संख्या 148996 कैसे स्थित (दूर) है।

आइए अंतरों की गणना करें१४८९९६ - ९०००० = ५८९९६ और १६०००० - १४८९९६ = ११००४।

यह पता चला है कि १४८९९६ १६०००० के करीब (बहुत करीब) है। इसलिए, रूट का परिणाम निश्चित रूप से ३५० और यहां तक ​​कि ३६० से अधिक होगा।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारा परिणाम 370 से अधिक है। इसके अलावा, यह स्पष्ट है: चूंकि 148996 संख्या 6 के साथ समाप्त होता है, इसका मतलब है कि 4 या 6 में समाप्त होने वाली संख्या को चुकता किया जाना चाहिए। * केवल ये संख्याएं, जब चुकती हैं, तो दें अंत 6.

सादर, अलेक्जेंडर Krutitskikh।

पुनश्च: यदि आप हमें सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बता सकते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

अक्सर ओलंपियाड और परीक्षाओं में (उदाहरण के लिए, गणित की परीक्षा में), आप कैलकुलेटर का उपयोग नहीं कर सकते। और रोजमर्रा की जिंदगी में, कभी-कभी आपको हाथ में कैलकुलेटर के बिना एक पूर्णांक के वर्गमूल के मूल्य का अनुमान लगाने की आवश्यकता होती है। कैसे आगे बढ़ा जाए?

1. सबसे पहले किसी संख्या के अंतिम अंक को देखें, यदि वह 2, 3, 7, 8 है, तो इस संख्या का पूर्ण मूल नहीं होता है। और यदि अंक १, ४, ६, ९ के साथ समाप्त होता है, तो वांछित मूल का अंतिम अंक क्रमशः १ या ९, २ या ८, ४ या ६, ३ या ७ हो सकता है।
यदि संख्या 5 अंक के साथ समाप्त होती है, तो आपको अंतिम अंक पर ध्यान देना होगा। एक संपूर्ण जड़ के अस्तित्व के लिए, यह 2 होना चाहिए, अर्थात। केवल 25 में समाप्त होने वाली संख्याओं की जड़ें 5 में समाप्त हो सकती हैं।
इस प्रणाली में एक विशेष स्थान पर 0 का कब्जा है। यदि कोई संख्या एक या विषम संख्या में शून्य के साथ समाप्त होती है, तो कोई पूर्ण मूल नहीं होता है, यदि दो या सम, यानी 10 का मूल गुणक।

क्या आपने इस तालिका में कुछ सममिति देखी है? इस बारे में सोचें कि इसका क्या कारण है। यदि आपने अनुमान नहीं लगाया है, तो इस खंड के अंत पर एक नज़र डालें।

2. संख्या को दाएं से बाएं 2 अंकों के समूहों (किनारे पर) में विभाजित करें। अंतिम अंक से शुरू करें। इसके अलावा, यदि किसी दी गई संख्या में विषम संख्या में अंक होते हैं, तो सबसे बाएं समूह में एक अंक होगा, यदि एक सम संख्या से, तो दो।

यदि आपकी संख्या में केवल दो फलक हैं, तो आप इस पर रुक सकते हैं और एक कॉलम में गुणा करके संभावित परिणामों की जांच कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या १२२५ का मूल ३ से शुरू होना चाहिए (हमने इसे आइटम ३ में परिभाषित किया है), और केवल ५ के साथ समाप्त हो सकता है (आइटम १ देखें), यानी। यदि इस संख्या का एक प्राकृतिक मूल है, तो यह केवल 35 हो सकता है। संख्या 841 की जड़ 2 से शुरू होनी चाहिए, और 1 या 9 के साथ समाप्त हो सकती है, अर्थात। यह या तो 21 या 29 है। लेकिन 21 20 और 20 2 = 400, और 29 30 और 30 2 = 900। दी गई संख्या 841 400 की तुलना में 900 के करीब है, इसलिए उत्तर संभवतः 29 है।

चलो देखते है।

29
× 29
____
261
58
____
841

35
× 35
_____
175
105
_____
1225

तो, उत्तर मौजूद हैं, वे पाए जाते हैं और सही तरीके से पाए जाते हैं।
दोहरे अंकों के उत्तरों के लिए, और परीक्षा में लंबी संख्या दुर्लभ है, सब कुछ बहुत सरल है। है न?

4. यदि आपकी संख्या में दो से अधिक चेहरे हैं, या आप सीधे चेक पर नहीं जाना चाहते हैं, तो रूट खोजने के लिए एल्गोरिथ्म अगले चरण के साथ जारी है:
- उत्तर के पहले अंक का वर्ग करें और पहले पहलू से घटाएं, दूसरे पहलू को अंतर में जोड़ें, आपको तीन अंकों या चार अंकों की संख्या मिलती है। आइए इसे प्रतीक A से निरूपित करें।

5. अगला अंक सबसे बड़ा होना चाहिए, इस तरह चुना जाना चाहिए:
- हम उत्तर के मौजूदा भाग को 2 से गुणा करते हैं, उसमें अपेक्षित अंक जोड़ते हैं और परिणामी संख्या को उसी अंक से गुणा करते हैं। हम संख्या ए से परिणाम घटाते हैं। शेष सबसे छोटी संभव सकारात्मक संख्या होनी चाहिए।

उदाहरण के लिए, संख्या 142884 (14 "28" 84) के लिए उत्तर का एक भाग मिलता है - पहला अंक 3 है और दूसरा चेहरा हटा दिया जाता है, अर्थात। परिभाषित ए = 528। उत्तर के भाग को 2 से गुणा करें, हमें 3 × 2 = 6 मिलता है। अब दाईं ओर 6-के में आपको "अनुमानित अंक" जोड़ने की आवश्यकता है। हम इसका अनुमानित मूल्य निर्धारित करते हैं:
ए = 528 500.500: 60 8. इसलिए, हम 8 से चयन करना शुरू करते हैं।
528 - 68 × 8 = 528 - 544 528 - 67 × 7 = 528 - 469> 0. मूल का अगला अंक 7 है।

तो, हमारे उदाहरणों में:

यदि आपने उतने अंक बनाए हैं जितने फलक हैं, और इस चरण में शेषफल 0 है, तो उत्तर प्राप्त होता है। किसी भी मामले में, इसे गुणा करके जांचना समझ में आता है।
यदि फलक जितने अंक हैं, लेकिन शेष 0 नहीं है, तो या तो ऊपर की गणना में त्रुटि थी, या इस संख्या का कोई प्राकृतिक मूल नहीं है। बाद के मामले में, यदि आपको अभी भी दी गई सटीकता के साथ इसका मान खोजने की आवश्यकता है, तो आप दशमलव बिंदु के बाद आवश्यक संख्या में शून्य किनारों (00) को जोड़ सकते हैं और जारी रख सकते हैं।
यदि प्राप्त संख्याओं से अधिक चेहरे हैं, तो जारी रखें। दो ऊपरी उदाहरणों में, यह हमारे लिए केवल अंतिम अंक निर्धारित करने के लिए रहता है, यह आइटम 1 के अनुसार चयन द्वारा किया जा सकता है: संख्या 142884 के लिए, आपको 372 और 378 को गुणा करके जांचना होगा, संख्या 20449 के लिए, 143 की जांच करें और 147. लेकिन हम सामान्य एल्गोरिथम के अनुसार जारी रखेंगे।

6. हम पिछले चरण में प्राप्त शेषफल में अगला फलक जोड़कर एक नई संख्या A बनाते हैं। उत्तर का अगला अंक प्राप्त करने के लिए, 5वें चरण की क्रियाओं को दोहराएं। हम इस चरण को तब तक दोहराते हैं जब तक कि पूरा उत्तर प्राप्त न हो जाए।
हमारे उदाहरणों में:

एक्स + आप= 10 और आप = 10 − एक्स.

आइए दो संख्याओं के अंतर के वर्ग का सूत्र याद करें recall

(ए − ख) 2 = ए 2 − 2अब + ख 2 ;

और इसका उपयोग एक वर्ग खोजने के लिए करें आप.

आप 2 = (10 − एक्स) २ = १० २ - २ १० एक्स + एक्स 2 ;

इस योग में, पहला पद दो शून्य के साथ समाप्त होता है, दूसरा शून्य के साथ, जिसका अर्थ है कि जोड़ के बाद की पूरी अभिव्यक्ति उसी अंक के साथ समाप्त होगी जैसे एक्स 2. वो। एक्स 2 और आप 2 इसी तरह समाप्त करें।

जड़ की गणना के उदाहरण।

मूल्यांकन करें 6335289 _______ .

हम विभाजन के अनुरूप एक कॉलम में मध्यवर्ती परिणाम लिखेंगे। स्तंभ के दाईं ओर ड्राफ़्ट करें.

6"33"52"89 | 2517.
−4
____
233
−225 | 45 × 5
______
852
-501 | 501 × 1
________
35189
−35189 | 5027 × 7
__________
0

1) हम किनारे पर संख्या को विभाजित करते हैं: 6 "33" 52 "89। यह 4 टुकड़े निकला, इसलिए, उत्तर में 4 अंक होंगे। पहला अंक 2 है, क्योंकि 2 2 = 4 6।

2) अगला, हम उत्तर के मौजूदा भाग को दोगुना करते हैं, शेष का निर्धारण करते हैं, अगली पंक्ति को ध्वस्त करते हैं और उत्तर के अगले अंक का चयन करते हैं। हम इस चरण को अंतिम छोर तक दोहराते हैं:
२३३: ४० ५; ४५ x ५ = २२५ २३३; इसलिए दूसरा अंक 5 है;
८५२: ५०० १; ५०१ × १ = ५०१,८५२; इसलिए तीसरा अंक 1 है।

3) यदि एक पूर्णांक मूल मौजूद है, तो उसका अंतिम अंक 3 या 7 हो सकता है। हम 2513 और 2517 को एक कॉलम में गुणा करके देख सकते हैं। लेकिन बहु-अंकीय संख्याओं के लिए सामान्य एल्गोरिथम के अनुसार जारी रखना तेज़ है:
35189: 5000 7; 5027 × 7 = 35189 (!) अंतिम अंक 7 है।

उत्तर: 2517.

मूल्यांकन करें 2304 ____ .

48
× 48
______
384
192
______
2304

हम इसे कगार पर तोड़ देते हैं। 23 "04। इसलिए, उत्तर 2 अंकों से है, पहला अंक 4 है, क्योंकि 4 2 = 16 23. अंतिम अंक या तो 2 या 8 है, क्योंकि गुणन का परिणाम 4 के साथ समाप्त होना चाहिए।
तो, 42 या 48? ४२ ४०; ४० २ = १६००.४८ ५०; 50 2 = 2500.2500 दी गई संख्या के करीब है, इसलिए हम 48 से लंबी गुणा करके परीक्षण शुरू करते हैं।

उत्तर: 48.

यह गणित में परीक्षा का सबसे आम मामला है, और मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप इसे चेक के साथ समाप्त करें।

मूल्यांकन करें 503 ___ .

संख्या तीन के साथ समाप्त होती है। यह तुरंत स्पष्ट है कि संपूर्ण मूल मान काम नहीं करेगा। आइए हम अपने आप से यह प्रश्न पूछें कि मूल को निर्धारित करने के लिए कितनी सटीकता की आवश्यकता है। मान लीजिए कि शर्त उत्तर को निकटतम सौवें भाग में गोल करने के लिए कहती है। इसका मतलब है कि आपको इसे हजारवें हिस्से तक लाने की जरूरत है, यानी। दशमलव के तीसरे स्थान तक। इसलिए, दी गई संख्या में 3 और शून्य फलक जोड़े जाने चाहिए। और अल्पविराम को ही मत भूलना!

5"03,00"00"00 | 22,427.
−4
____
103
- 84 | 42 × 2
______
1900
−1776 | 444 × 4
________
12400
- 8964 | 4482 × 2
__________
343600
−313929 | 44847 × 7
____________
29671

१) इस प्रकार, फलकों में विभाजन इस प्रकार होगा ५ "०३ , 00 "00" 00। उत्तर पांच अंकों का होगा - 2 दशमलव बिंदु से पहले और 3 बाद में। पहला अंक 2 (2 2 = 4 5) के बराबर है, हम इस मामले में अंतिम अंक निर्धारित नहीं कर सकते हैं।

2) अगला, हम सामान्य एल्गोरिथम के चरण 4,5,6 हमेशा की तरह करते हैं:
१०३: ४० २; ४२ x २ = ८४ १०३; इसलिए दूसरा अंक 2 है।
१९००: ४४० ४; ४४४ x ४ = १७७६ १९००; इसलिए तीसरा अंक 4 है।
१२४००: ४४८० ३; ४४८३ × ३ = १३४४९> १२४००; ४४८२ × २ = ८९६४ ३४३६००: ४४८४० ८; ४४८४८ × ८ = ३५८७८४> ३४३६००; ४४८४७ × ७ = ३१३९२९ हमें अभी तक शून्य शेष नहीं मिला है और, शायद, हम इसे कभी नहीं प्राप्त करेंगे यदि आवश्यक मूल एक अपरिमेय संख्या है। लेकिन हमें इसकी आवश्यकता नहीं है, क्योंकि परिणाम पहले से ही गोलाई के लिए आवश्यक सटीकता के साथ प्राप्त किया जा चुका है।

दशमलव बिंदु के बाद तीसरे अंक को हटाकर, (७> ५ से) पिछले एक को २२.४२७ २२.४३ से बढ़ाना।

उत्तर: 22,43.

मूल्यांकन करें 1.5 ____ .

दशमलव भिन्न के मूल की गणना करने के लिए, आपको यह याद रखना होगा कि १० २ = १०० और ०.१ २ = ०.०१। वो। जब चुकता किया जाता है, तो अंक दोगुने हो जाते हैं। तदनुसार, दशमलव भिन्न का वर्गमूल निकालने के लिए, हमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक सम संख्या की आवश्यकता होती है। इस मामले में, हमें दशमलव बिंदु के बाद दाएं से बाएं (अंत से) विभाजित करने पर पूर्णांक संख्या मिलती है, और इसलिए उत्तर के आंशिक भाग में अंकों की एक पूर्णांक संख्या होती है।
यह भी याद रखें कि आप संख्या के पूर्णांक भाग में जितने चाहें उतने अग्रणी शून्य जोड़ सकते हैं, और अंत में जितने चाहें उतने शून्य भिन्नात्मक भाग में जोड़ सकते हैं। इससे संख्या नहीं बदलती है।

1 = 001; 23 = 000023; 1080 = 01080; लेकिन (!) 1080 10800
0.1 = 0.10; २.३ = २.३०००; 10.80 = 0010.8000; लेकिन (!) 10.80 100.80 और 10.80 ≠ 10.080

विधि मैं।

1,5 = 1,50 √1,5___ = √1,50____

मान लीजिए कि आपको दसवीं तक सटीक उत्तर देने की आवश्यकता है, तो आपको दशमलव के दूसरे स्थान तक इस मूल के मान की गणना करने की आवश्यकता है। अब हमारे पास दशमलव बिंदु के बाद 2 अंक हैं, अर्थात एक चेहरा, तो एक और शून्य चेहरा जोड़ें।

1,50"00 | 1,22
−1
____
50
-44 | 22 × 2
______
600
−484 | 242 × 2
_______
116

1) किनारे पर काम करना: 1.50 "00। परिणाम 3 अंक होगा - एक दशमलव बिंदु से पहले और दो बाद में। पहला अंक स्पष्ट रूप से 1 है।

3) राउंड अप 1.22 Round 1.2।

उत्तर: 1,2.

विधि II।

हम गुणा करते हैं और साथ ही अपनी संख्या को 10 से एक सम घात में विभाजित करते हैं (जरूरी है कि एक सम घात में, ताकि बाद में हम हर से मूल को आसानी से और सटीक रूप से निकाल सकें)। १.५ = १.५ × १००/१०० = १५०/१००। इसलिए, आपको 150 की जड़ की गणना करने और इसे 100 के मूल से विभाजित करने की आवश्यकता है, अर्थात। 10 पर

छोटे तीन-अंकीय पूर्णांकों के लिए, मूल मानों को याद रखना आसान होता है, क्योंकि वे बहुत सामान्य होते हैं (उदाहरण के लिए, "1 से 25 तक की संख्याओं के वर्ग" और "वर्गमूल" तालिका में देखें)। पूर्णांक संख्या 144 से 150 के वर्ग का निकटतम मान, इसलिए √150 ____ 12 और, तदनुसार, 1.5√ ____ ≈ 12:10 = 1,2.

उत्तर: 1,2.

ध्यान: यह एक बहुत ही सामान्य गलती है जब 1.5 के मूल का अनुमानित मान निर्धारित करने के लिए 15 का मूल लिया जाता है। याद रखें - शून्य की एक सम संख्या।

√10__ ≈ 3,16 √100___ = 10 √1000____ ≈ 31,62 √10000_____ = 100 √100000______ ≈ 316,23 √1000000_______ = 1000

अपने पहले संस्करण "इन द किंगडम ऑफ इनजीनिटी" (1908) की प्रस्तावना में, ईआई इग्नाटिव लिखते हैं: "... मानसिक पहल, सरलता और" सरलता "को न तो" ड्रिल "या" किसी के सिर में "डाल" जा सकता है। परिणाम तभी विश्वसनीय होते हैं जब गणितीय ज्ञान के क्षेत्र में परिचय आसान और सुखद तरीके से किया जाता है, वस्तुओं और रोजमर्रा और रोजमर्रा की स्थितियों के उदाहरणों पर, उपयुक्त बुद्धि और मनोरंजन के साथ चुना जाता है। ”

1911 के संस्करण "गणित में स्मृति की भूमिका" की प्रस्तावना में, ई.आई. इग्नाटिव लिखते हैं "... गणित में किसी को सूत्र नहीं, बल्कि सोचने की प्रक्रिया को याद रखना चाहिए।"

वर्गमूल निकालने के लिए, दो अंकों की संख्याओं के लिए वर्गों की तालिकाएँ हैं, आप संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित कर सकते हैं और उत्पाद का वर्गमूल निकाल सकते हैं। वर्गों की तालिका अक्सर पर्याप्त नहीं होती है, गुणनखंड द्वारा जड़ का निष्कर्षण एक समय लेने वाला कार्य है, जो हमेशा वांछित परिणाम की ओर नहीं ले जाता है। 209764 का वर्गमूल निकालने का प्रयास करें? प्राइम फैक्टराइजेशन उत्पाद को 2 * 2 * 52441 देता है। परीक्षण और त्रुटि से, चयन - यह, निश्चित रूप से, किया जा सकता है यदि आप सुनिश्चित हैं कि यह एक पूर्णांक है। जिस तरह से मैं सुझाव देना चाहता हूं वह वैसे भी वर्गमूल प्राप्त करना है।

एक बार संस्थान (पर्म स्टेट पेडागोगिकल इंस्टीट्यूट) में हमें इस पद्धति से परिचित कराया गया था, जिसके बारे में मैं अभी बात करना चाहता हूं। मैंने कभी नहीं सोचा कि क्या इस पद्धति का कोई प्रमाण है, इसलिए अब मुझे स्वयं कुछ प्रमाण प्राप्त करने थे।

इस पद्धति का आधार संख्या का संयोजन = है।

= &, यानी और 2 = 596334।

१. संख्या (५९६३३६४) को दाएँ से बाएँ जोड़े में विभाजित करें (५`९६`३३`६४)

2. बाईं ओर पहले समूह का वर्गमूल निकालें (-नंबर 2)। यह हमें & का पहला अंक देता है।

3. पहले अंक (2 2 = 4) का वर्ग ज्ञात कीजिए।

4. पहले समूह और पहले अंक के वर्ग (5-4 = 1) के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

5. हम अगले दो अंकों को तोड़ते हैं (हमें संख्या 196 मिली)।

6. हमें जो पहला अंक मिला है, उसे दुगुना करते हुए उसे रेखा के पीछे बाईं ओर लिख दें (2 * 2 = 4)।

7. अब आपको संख्या का दूसरा अंक खोजने की जरूरत है और: जो पहला अंक हमने पाया वह संख्या का दसवां अंक बन जाता है, जब संख्या से गुणा किया जाता है, तो आपको 196 से कम संख्या प्राप्त करने की आवश्यकता होती है (यह है अंक 4, 44 * 4 = 176)। 4 & का दूसरा अंक है।

8. अंतर ज्ञात कीजिए (196-176 = 20)।

9. हम अगले समूह को ध्वस्त करते हैं (हमें संख्या 2033 मिलती है)।

10. संख्या 24 को दुगुना करने पर हमें 48 प्राप्त होता है।

एक संख्या में 11.48 दहाई, जब इकाइयों की संख्या से गुणा किया जाता है, तो हमें 2033 (484 * 4 = 1936) से कम संख्या प्राप्त करनी चाहिए। इकाइयों का अंक (4) हमने पाया संख्या का तीसरा अंक है।

मामलों के लिए मेरे द्वारा सबूत दिया गया है:

1. तीन अंकों की संख्या का वर्गमूल निकालना;

2. चार अंकों की संख्या का वर्गमूल निकालना।

अनुमानित वर्गमूल विधियाँ (कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना)।

1. प्राचीन बेबीलोनियों ने अपनी संख्या x के वर्गमूल का सन्निकट मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित विधि का प्रयोग किया। उन्होंने संख्या x को योग a 2 + b के रूप में दर्शाया, जहां a 2 संख्या x के निकटतम प्राकृतिक संख्या a (a 2? X) का सटीक वर्ग है, और सूत्र का उपयोग किया . (1)

आइए हम सूत्र (1) का उपयोग करके वर्गमूल निकालें, उदाहरण के लिए, संख्या 28 से:

एमके 5.2915026 का उपयोग करके 28 से जड़ निकालने का परिणाम।

जैसा कि आप देख सकते हैं, बेबीलोन की पद्धति जड़ के सटीक मान का एक अच्छा सन्निकटन देती है।

2. आइजैक न्यूटन ने वर्गमूल निकालने की एक विधि विकसित की, जो अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन (लगभग 100 ईस्वी) की है। यह विधि (न्यूटन की विधि के रूप में जानी जाती है) इस प्रकार है।

रहने दो एक 1- एक संख्या का पहला सन्निकटन (1 के रूप में, आप एक प्राकृतिक संख्या के वर्गमूल के मान ले सकते हैं - एक सटीक वर्ग जो अधिक नहीं है एक्स)।

अगला, अधिक सटीक सन्निकटन एक 2संख्या सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है .

तथ्य 1.
\ (\ बुलेट \) कुछ गैर-ऋणात्मक संख्या \ (a \) लें (अर्थात, \ (a \ geqslant 0 \))। तब (अंकगणित) वर्गमूलसंख्या से \ (a \) को ऐसी गैर-ऋणात्मक संख्या \ (b \) कहा जाता है, वर्ग करने पर, हमें संख्या \ (a \) प्राप्त होती है: \ [\ sqrt ए = बी \ क्वाड \ टेक्स्ट (जैसा कि) \ क्वाड ए = बी ^ 2 \]यह परिभाषा से इस प्रकार है कि \ (ए \ geqslant 0, b \ geqslant 0 \). वर्गमूल के अस्तित्व के लिए ये बाधाएँ आवश्यक हैं और इन्हें याद रखना चाहिए!
याद रखें कि कोई भी संख्या जब चुकता है तो एक गैर-ऋणात्मक परिणाम देता है। यानी \ (100 ^ 2 = 10000 \ geqslant 0 \) और \ ((- 100) ^ 2 = 10000 \ geqslant 0 \)।
\ (\ बुलेट \) \ (\ sqrt (25) \) क्या है? हम जानते हैं कि \ (5 ^ 2 = 25 \) और \ ((- 5) ^ 2 = 25 \)। चूँकि, परिभाषा के अनुसार, हमें एक गैर-ऋणात्मक संख्या ज्ञात करनी चाहिए, तब \ (- 5 \) फिट नहीं होता है, इसलिए, \ (\ sqrt (25) = 5 \) (चूंकि \ (25 = 5 ^ 2 \)) .
\ (\ sqrt a \) का मान ज्ञात करना \ (a \) का वर्गमूल लेना कहलाता है, और संख्या \ (a \) को मूलक व्यंजक कहते हैं।
\ (\ बुलेट \) परिभाषा के आधार पर, अभिव्यक्ति \ (\ sqrt (-25) \), \ (\ sqrt (-4) \), आदि। कोई मतलब नहीं।

तथ्य २.
त्वरित गणना के लिए, \ (1 \) से \ (20 \) तक प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों की तालिका सीखना उपयोगी होगा: \ [\ start (सरणी) (| ll |) \ hline 1 ^ 2 = 1 और \ quad11 ^ 2 = 121 \\ 2 ^ 2 = 4 और \ quad12 ^ 2 = 144 \\ 3 ^ 2 = 9 और \ quad13 ^ 2 = 169 \\ 4 ^ 2 = 16 और \ quad14 ^ 2 = 196 \\ 5 ^ 2 = 25 और \ quad15 ^ 2 = 225 \\ 6 ^ 2 = 36 और \ quad16 ^ 2 = 256 \\ 7 ^ 2 = 49 और \ quad17 ^ 2 = 289 \\ 8 ^ 2 = 64 और \ quad18 ^ 2 = 324 \\ 9 ^ 2 = 81 और \ quad19 ^ 2 = 361 \\ 10 ^ 2 = 100 और \ quad20 ^ 2 = ४०० \\ \ hline \ अंत (सरणी) \]

तथ्य 3.
वर्गमूलों से क्या किया जा सकता है?
\ (\ गोली \) वर्गमूल का योग या अंतर योग या अंतर के वर्गमूल के बराबर नहीं होता है, अर्थात। \ [\ sqrt a \ pm \ sqrt b \ ne \ sqrt (a \ pm b) \]इस प्रकार, यदि आपको गणना करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, \ (\ sqrt (25) + \ sqrt (49) \), तो शुरू में आपको मान \ (\ sqrt (25) \) और \ (\ sqrt) खोजना चाहिए (४९) \ ) और फिर उन्हें मोड़ो। इसलिये, \ [\ sqrt (25) + \ sqrt (49) = 5 + 7 = 12 \] यदि \ (\ sqrt a \) या \ (\ sqrt b \) को \ (\ sqrt a + \ sqrt b \) जोड़ते समय मान नहीं पाया जा सकता है, तो ऐसी अभिव्यक्ति आगे रूपांतरित नहीं होती है और वही रहती है। उदाहरण के लिए, योग \ (\ sqrt 2+ \ sqrt (49) \) में हम \ (\ sqrt (49) \) पा सकते हैं - यह \ (7 \) है, लेकिन \ (\ sqrt 2 \) नहीं हो सकता किसी भी तरह से परिवर्तित, तो \ (\ sqrt 2+ \ sqrt (49) = \ sqrt 2 + 7 \)... दुर्भाग्य से, इस अभिव्यक्ति को और सरल नहीं किया जा सकता है।\ (\ बुलेट \) वर्गमूल का गुणनफल / भागफल गुणनफल / भागफल के वर्गमूल के बराबर होता है, अर्थात \ [\ sqrt a \ cdot \ sqrt b = \ sqrt (ab) \ quad \ text (और) \ quad \ sqrt a: \ sqrt b = \ sqrt (a: b) \] (बशर्ते कि समानता के दोनों पक्ष अर्थपूर्ण हों)
उदाहरण: \ (\ sqrt (32) \ cdot \ sqrt 2 = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8 \); \ (\ sqrt (768): \ sqrt3 = \ sqrt (768: 3) = \ sqrt (256) = 16 \); \ (\ sqrt ((- 25) \ cdot (-64)) = \ sqrt (25 \ cdot 64) = \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (64) = 5 \ cdot 8 = 40 \)... \ (\ Bullet \) इन गुणों का उपयोग करते हुए, बड़ी संख्याओं के वर्गमूलों को गुणनखंड करके ज्ञात करना सुविधाजनक होता है।
आइए एक उदाहरण देखें। \ (\ sqrt (44100) \) खोजें। चूँकि \ (४४१००: १०० = ४४१ \), तब \ (४४१०० = १०० \ cdot ४४१ \). विभाज्यता के आधार पर, संख्या \ (441 \) \ (9 \) से विभाज्य है (क्योंकि इसके अंकों का योग 9 है और 9 से विभाज्य है), इसलिए, \ (441: 9 = 49 \), कि है \ (441 = 9 \ cdot 49 \)।
इस प्रकार, हमें मिला: \ [\ sqrt (44100) = \ sqrt (9 \ cdot 49 \ cdot 100) = \ sqrt9 \ cdot \ sqrt (49) \ cdot \ sqrt (100) = 3 \ cdot 7 \ cdot 10 = 210 \]आइए एक और उदाहरण लें: \ [\ sqrt (\ dfrac (32 \ cdot 294) (27)) = \ sqrt (\ dfrac (16 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 49 \ cdot 2) (9 \ cdot 3)) = \ sqrt (\ dfrac (16 \ cdot4 \ cdot49) (9)) = \ dfrac (\ sqrt (16) \ cdot \ sqrt4 \ cdot \ sqrt (49)) (\ sqrt9) = \ dfrac (4 \ cdot 2 \ cdot 7) 3 = \ डीफ़्रैक (56) 3 \]
\ (\ बुलेट \) आइए दिखाते हैं कि व्यंजक \ (5 \ sqrt2 \) (अभिव्यक्ति के लिए आशुलिपि \ (5 \ cdot \ sqrt2 \)) के उदाहरण का उपयोग करके वर्गमूल चिह्न के नीचे संख्याएं कैसे दर्ज करें। चूँकि \ (5 = \ sqrt (25) \), तो \ यह भी ध्यान दें कि, उदाहरण के लिए,
1) \ (\ sqrt2 + 3 \ sqrt2 = 4 \ sqrt2 \),
2) \ (5 \ sqrt3- \ sqrt3 = 4 \ sqrt3 \)
3) \ (\ sqrt a + \ sqrt a = 2 \ sqrt a \)।

ऐसा क्यों है? आइए उदाहरण 1 का उपयोग करके समझाएं)। जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, हम किसी तरह संख्या \ (\ sqrt2 \) को परिवर्तित नहीं कर सकते। आइए कल्पना करें कि \ (\ sqrt2 \) कुछ संख्या \ (a \) है। तदनुसार, व्यंजक \ (\ sqrt2 + 3 \ sqrt2 \) \ (a + 3a \) (एक संख्या \ (a \) और एक ही संख्या \ (a \) के तीन और अधिक) से अधिक कुछ नहीं है। और हम जानते हैं कि यह चार ऐसी संख्याओं \ (a \) के बराबर है, जो \ (4 \ sqrt2 \) है।

तथ्य 4.
\ (\ Bullet \) अक्सर कहा जाता है कि "आप रूट नहीं निकाल सकते" जब आप किसी संख्या का मान ज्ञात करते समय रूट के \ (\ sqrt () \ \) चिह्न से छुटकारा नहीं पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप संख्या \ (16 \) का मूल निकाल सकते हैं क्योंकि \ (16 = 4 ^ 2 \), इसलिए \ (\ sqrt (16) = 4 \)। लेकिन संख्या \ (3 \) से रूट निकालना असंभव है, यानी \ (\ sqrt3 \) ढूंढना असंभव है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो वर्ग में \ (3 \) देगी।
ऐसी संख्याएँ (या ऐसी संख्याओं वाले व्यंजक) अपरिमेय हैं। उदाहरण के लिए, संख्या \ (\ sqrt3, \ 1+ \ sqrt2, \ \ sqrt (15) \)आदि। तर्कहीन हैं।
इसके अलावा अपरिमेय संख्याएँ हैं \ (\ pi \) (संख्या "pi", लगभग \ (3.14 \) के बराबर), \ (e \) (इस संख्या को यूलर संख्या कहा जाता है, लगभग यह \ (2.7 \) है। ) आदि
\ (\ बुलेट \) कृपया ध्यान दें कि कोई भी संख्या या तो परिमेय होगी या अपरिमेय। और साथ में, सभी परिमेय और सभी अपरिमेय संख्याएँ एक समुच्चय बनाती हैं जिसे कहा जाता है वास्तविक (वास्तविक) संख्याओं का समूह।इस सेट को \ (\ mathbb (R) \) अक्षर से दर्शाया जाता है।
इसका अर्थ है कि वे सभी संख्याएँ जिन्हें हम वर्तमान में जानते हैं वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं।

तथ्य 5.
\ (\ बुलेट \) एक वास्तविक संख्या \ (a \) का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या \ (| a | \) है जो बिंदु \ (a \) से \ (0 \) तक की दूरी के बराबर है। वास्तविक रेखा। उदाहरण के लिए, \ (| 3 | \) और \ (| -3 | \) 3 के बराबर हैं, क्योंकि बिंदुओं \ (3 \) और \ (- 3 \) से \ (0 \) की दूरी समान हैं। और बराबर \ (3 \)।
\ (\ बुलेट \) यदि \ (a \) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, तो \ (| a | = a \)।
उदाहरण: \ (| 5 | = 5 \); \ (\ qquad | \ sqrt2 | = \ sqrt2 \)। \ (\ बुलेट \) यदि \ (a \) एक ऋणात्मक संख्या है, तो \ (| a | = -a \)।
उदाहरण: \ (| -5 | = - (- 5) = 5 \); \ (\ qquad | - \ sqrt3 | = - (- \ sqrt3) = \ sqrt3 \).
वे कहते हैं कि मॉड्यूल नकारात्मक संख्याओं के लिए ऋण को "खाता है", और मॉड्यूल सकारात्मक संख्याओं को छोड़ देता है, साथ ही संख्या \ (0 \), अपरिवर्तित।
लेकिन अयह नियम केवल संख्याओं के लिए काम करता है। यदि मापांक चिह्न के तहत आपके पास एक अज्ञात \ (x \) (या कोई अन्य अज्ञात) है, उदाहरण के लिए, \ (| x | \), जिसके बारे में हम नहीं जानते, क्या यह सकारात्मक, शून्य या नकारात्मक है, तो छुटकारा पाएं मापांक के हम नहीं कर सकते। इस स्थिति में, यह व्यंजक इस प्रकार बना रहता है: \ (| x | \)। \ (\ बुलेट \) निम्नलिखित सूत्र धारण करते हैं: \ [(\ बड़ा (\ sqrt (a ^ 2) = | a |)) \] \ [(\ बड़ा ((\ sqrt (ए)) ^ 2 = ए)), \ टेक्स्ट (प्रदान किया गया) ए \ geqslant 0 \]एक बहुत ही सामान्य गलती की जाती है: वे कहते हैं कि \ (\ sqrt (a ^ 2) \) और \ ((\ sqrt a) ^ 2 \) समान हैं। यह तभी सत्य है जब \ (a \) एक धनात्मक संख्या या शून्य है। लेकिन यदि \ (a \) एक ऋणात्मक संख्या है, तो यह सत्य नहीं है। ऐसे उदाहरण पर विचार करना ही काफी है। आइए \ (a \) के बजाय संख्या \ (- 1 \) लें। तब \ (\ sqrt ((- 1) ^ 2) = \ sqrt (1) = 1 \), लेकिन व्यंजक \ ((\ sqrt (-1)) ^ 2 \) बिल्कुल मौजूद नहीं है (आखिरकार, मूल चिह्न के नीचे यह असंभव है ऋणात्मक संख्याएँ डालें!)
इसलिए, हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि \ (\ sqrt (a ^ 2) \) \ ((\ sqrt a) ^ 2 \) के बराबर नहीं है!उदाहरण 1) \ (\ sqrt (\ बाएँ (- \ sqrt2 \ दाएँ) ^ 2) = | - \ sqrt2 | = \ sqrt2 \)जबसे \ (- \ sqrt2<0\) ;

\ (\ प्रेत (00000) \) 2) \ ((\ sqrt (2)) ^ 2 = 2 \)। \ (\ बुलेट \) चूंकि \ (\ sqrt (a ^ 2) = | a | \), तब \ [\ sqrt (a ^ (2n)) = | a ^ n | \] (व्यंजक \ (2n \) एक सम संख्या को दर्शाता है)
यानी किसी संख्या से जड़ निकालने पर जो कुछ हद तक होती है, यह डिग्री आधी हो जाती है।
उदाहरण:
१) \ (\ sqrt (४ ^ ६) = | ४ ^ ३ | = ४ ^ ३ = ६४ \)
2) \ (\ sqrt ((- 25) ^ 2) = | -25 | = 25 \) (ध्यान दें कि यदि मॉड्यूल स्थापित नहीं है, तो यह पता चलता है कि संख्या का मूल \ (- 25 \) है; लेकिन हमें याद है कि, रूट की परिभाषा के अनुसार, यह नहीं हो सकता: रूट निकालते समय हमारे पास हमेशा एक सकारात्मक संख्या या शून्य होता है)
3) \ (\ sqrt (x ^ (16)) = | x ^ 8 | = x ^ 8 \) (चूंकि सम घात में कोई भी संख्या ऋणात्मक नहीं होती है)

तथ्य 6.
दो वर्गमूलों की तुलना कैसे की जाती है?
\ (\ बुलेट \) वर्गमूल के लिए, यह सत्य है: यदि \ (\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(aउदाहरण:
1) तुलना करें \ (\ sqrt (50) \) और \ (6 \ sqrt2 \)। सबसे पहले, आइए दूसरी अभिव्यक्ति को . में बदलें \ (\ sqrt (36) \ cdot \ sqrt2 = \ sqrt (36 \ cdot 2) = \ sqrt (72) \)... इस प्रकार, चूंकि \ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) किस पूर्णांक के बीच \ (\ sqrt (50) \) है?
चूँकि \ (\ sqrt (49) = 7 \), \ (\ sqrt (64) = 8 \), और \ (49)<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) तुलना करें \ (\ sqrt 2-1 \) और \ (0.5 \)। मान लीजिए \ (\ sqrt2-1> 0.5 \): \ [\ start (गठबंधन) और \ sqrt 2-1> 0.5 \ \ बड़ा | +1 \ क्वाड \ टेक्स्ट ((दोनों पक्षों में एक जोड़ें)) \\ & \ sqrt2> 0.5 + 1 \ \ बड़ा | \ ^ 2 \ क्वाड \ टेक्स्ट ((दोनों तरफ वर्गाकार)) \\ और 2> 1.5 ^ 2 \\ और 2> 2.25 \ अंत (गठबंधन) \]हम देखते हैं कि हमें गलत असमानता मिली है। इसलिए, हमारी धारणा गलत थी और \ (\ sqrt 2-1<0,5\) .
ध्यान दें कि किसी संख्या को असमानता के दोनों पक्षों में जोड़ने से उसके चिह्न पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। विषमता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या से गुणा/भाग करने से भी उसके चिह्न पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, और ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग असमानता के चिह्न को उलट देता है!
आप समीकरण/असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग तभी कर सकते हैं जब दोनों पक्ष ऋणात्मक न हों। उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण से असमानता में, आप असमानता में दोनों पक्षों को वर्ग कर सकते हैं \ (- 3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \ (\ बुलेट \) याद रखें कि \ [\ start (गठबंधन) और \ sqrt 2 \ लगभग 1.4 \\ और \ sqrt 3 \ लगभग 1.7 \ अंत (गठबंधन) \]इन नंबरों का अनुमानित मूल्य जानने से आपको संख्याओं की तुलना करने में मदद मिलेगी! \ (\ बुलेट \) किसी बड़ी संख्या से रूट (यदि इसे निकाला जाता है) निकालने के लिए, जो वर्गों की तालिका में नहीं है, आपको पहले यह निर्धारित करना होगा कि यह किस "सैकड़ों" के बीच है, फिर - किस "दस" के बीच , और फिर इस संख्या का अंतिम अंक निर्धारित करें। आइए दिखाते हैं कि यह एक उदाहरण के साथ कैसे काम करता है।
\ (\ sqrt (28224) \) लें। हम जानते हैं कि \ (100 ^ 2 = 10 \, 000 \), \ (200 ^ 2 = 40 \, 000 \), आदि। ध्यान दें कि \ (28224 \) \ (10 ​​\, 000 \) और \ (40 \, 000 \) के बीच है। इसलिए, \ (\ sqrt (28224) \) \ (100 \) और \ (200 \) के बीच है।
अब आइए निर्धारित करें कि हमारी संख्या किस "दहाई" के बीच स्थित है (अर्थात, उदाहरण के लिए, \ (120 \) और \ (130 \) के बीच)। वर्गों की तालिका से भी हम जानते हैं कि \ (11 ^ 2 = 121 \), \ (12 ^ 2 = 144 \), आदि, फिर \ (110 ^ 2 = 12100 \), \ (120 ^ 2 = 14400) \), \ (१३० ^ २ = १६९०० \), \ (१४० ^ २ = १९६०० \), \ (१५० ^ २ = २२५०० \), \ (१६० ^ २ = २५६०० \), \ (१७० ^ २ = २८९०० \) \). इस प्रकार, हम देखते हैं कि \ (28224 \) \ (160 ^ 2 \) और \ (170 ^ 2 \) के बीच है। इसलिए, संख्या \ (\ sqrt (28224) \) \ (160 \) और \ (170 \) के बीच है।
आइए अंतिम अंक निर्धारित करने का प्रयास करें। आइए याद करें कि चुकता करने पर \ (4 \) के अंत में कौन-सी एकल-अंकीय संख्याएँ हैं? ये हैं \ (2 ^ 2 \) और \ (8 ^ 2 \)। इसलिए, \ (\ sqrt (28224) \) 2 या 8 के साथ समाप्त होगा। आइए इसे जांचें। \ (162 ^ 2 \) और \ (168 ^ 2 \) खोजें:
\ (162 ^ 2 = 162 \ cdot 162 = 26224 \)
\ (168 ^ 2 = 168 \ cdot 168 = 28224 \)।
इसलिए, \ (\ sqrt (28224) = 168 \)। वोइला!

गणित में परीक्षा को पर्याप्त रूप से हल करने के लिए, सबसे पहले, सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करना आवश्यक है जो कई प्रमेयों, सूत्रों, एल्गोरिदम आदि का परिचय देता है। पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि यह काफी सरल है। हालांकि, किसी भी स्तर के प्रशिक्षण के छात्रों के लिए गणित में परीक्षा के सिद्धांत को आसानी से और समझने के लिए एक स्रोत खोजने के लिए वास्तव में एक कठिन काम है। स्कूली पाठ्यपुस्तकों को हमेशा हाथ में रखना असंभव है। और गणित में परीक्षा के लिए बुनियादी सूत्र खोजना इंटरनेट पर भी मुश्किल हो सकता है।

न केवल परीक्षा देने वालों के लिए गणित में सिद्धांत का अध्ययन करना इतना महत्वपूर्ण क्यों है?

1. क्योंकि यह आपके क्षितिज को विस्तृत करता है... गणित में सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन उन सभी के लिए उपयोगी है जो दुनिया भर के ज्ञान से संबंधित प्रश्नों की एक विस्तृत श्रृंखला के उत्तर प्राप्त करना चाहते हैं। प्रकृति में सब कुछ व्यवस्थित है और इसका एक स्पष्ट तर्क है। यह ठीक वही है जो विज्ञान में परिलक्षित होता है जिसके माध्यम से दुनिया को समझना संभव है।
2. क्योंकि इससे बुद्धि का विकास होता है... गणित में परीक्षा के लिए संदर्भ सामग्री का अध्ययन करने के साथ-साथ विभिन्न समस्याओं को हल करने से व्यक्ति तार्किक और तर्क करना सीखता है, सक्षम और स्पष्ट रूप से विचार तैयार करता है। वह विश्लेषण, सामान्यीकरण, निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करता है।

हम आपको शैक्षिक सामग्री के व्यवस्थितकरण और प्रस्तुति के लिए हमारे दृष्टिकोण के सभी लाभों का व्यक्तिगत रूप से मूल्यांकन करने के लिए आमंत्रित करते हैं।

अनुदेश

मूलांक के लिए एक गुणक चुनें, जिसे नीचे से हटा दिया जाए जड़वैध अभिव्यक्ति - अन्यथा ऑपरेशन खो जाएगा। उदाहरण के लिए, यदि संकेत के तहत जड़तीन (घनमूल) लागत के बराबर घातांक के साथ संख्या 128, फिर आप चिन्ह के नीचे से निकाल सकते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 5. साथ ही, संख्या 128 को 5 घन से विभाजित करना होगा: 128 = 5 (128/5³) = 5 (128/125) = 5 1.024. यदि चिह्न के नीचे भिन्नात्मक संख्या की उपस्थिति हो जड़समस्या की स्थितियों का खंडन नहीं करता है, तो यह इस रूप में संभव है। यदि आपको एक सरल संस्करण की आवश्यकता है, तो पहले कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को पूर्णांक कारकों में विभाजित करें, जिनमें से एक का घनमूल एक पूर्णांक होगा संख्यामी। उदाहरण के लिए: ³√128 = ³√ (64 ∗ 2) = ³√ (4³ 2) = 4 2।

यदि आपके दिमाग में किसी संख्या की शक्तियों की गणना करना संभव नहीं है, तो कारकों का चयन करने के लिए मूलांक का उपयोग करें। यह विशेष रूप से सच है जड़मी दो से अधिक घातांक के साथ। यदि आपके पास इंटरनेट तक पहुंच है, तो आप Google और निगमा खोज इंजनों में निर्मित कैलकुलेटरों से गणना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपको सबसे बड़ा पूर्णांक कारक खोजने की आवश्यकता है जिसे घन चिह्न से निकाला जा सकता है जड़ 250 नंबर के लिए, फिर Google साइट पर जाकर "6 ^ 3" क्वेरी दर्ज करें ताकि यह जांचा जा सके कि साइन से हटाना संभव है या नहीं जड़छह। खोज इंजन 216 के बराबर परिणाम दिखाएगा। काश, 250 को इससे पूरी तरह विभाजित नहीं किया जा सकता संख्या... फिर क्वेरी 5 ^ 3 दर्ज करें। परिणाम 125 होगा, और यह आपको 250 को 125 और 2 के गुणनखंडों में विभाजित करने की अनुमति देता है, और इसलिए साइन के नीचे से बाहर निकालता है जड़ संख्या 5 वहाँ से निकल रहा है संख्या 2.

स्रोत:

• जड़ के नीचे से कैसे निकले
• किसी कार्य का वर्गमूल

नीचे से निकाल लें जड़उन स्थितियों में कारकों में से एक आवश्यक है जहां आपको गणितीय अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। ऐसे समय होते हैं जब कैलकुलेटर का उपयोग करके आवश्यक गणना करना असंभव होता है। उदाहरण के लिए, यदि संख्याओं के बजाय चर अक्षरों का उपयोग किया जाता है।

अनुदेश

कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल कारकों में विस्तारित करें। देखें कि कौन से कारक समान संख्या में बार-बार दोहराए जाते हैं, संकेतकों में दर्शाया गया है जड़, या अधिक। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आप a का चौथा मूल लेना चाहते हैं। इस मामले में, संख्या को * a * a * a = a * (a * a * a) = a * a3 के रूप में दर्शाया जा सकता है। सूचक जड़इस मामले में के अनुरूप होगा फ़ैक्टरए३. इसे संकेत के लिए भी किया जाना चाहिए।

जहां संभव हो, परिणामी जड़ों की जड़ को अलग-अलग निकालें। पुनः प्राप्त करना जड़घातांक की विपरीत बीजीय क्रिया है। पुनः प्राप्त करना जड़एक संख्या से एक मनमाना डिग्री के लिए, एक संख्या खोजें, जो इस मनमानी शक्ति तक बढ़ाए जाने पर, एक दी गई संख्या में परिणाम देगी। यदि निकासी जड़उत्पन्न नहीं किया जा सकता है, मूल अभिव्यक्ति को चिह्न के नीचे छोड़ दें under जड़जिस तरह से यह है। सूचीबद्ध कार्रवाइयों को अंजाम देने के परिणामस्वरूप, आप नीचे से हटा देंगे संकेत जड़.

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ध्यान दें

कारकों के रूप में कट्टरपंथी अभिव्यक्ति लिखते समय सावधान रहें - इस स्तर पर एक त्रुटि गलत परिणाम देगी।

मददगार सलाह

जड़ों को निकालते समय, लॉगरिदमिक जड़ों की विशेष तालिकाओं या तालिकाओं का उपयोग करना सुविधाजनक होता है - इससे सही समाधान खोजने में लगने वाले समय में काफी कमी आएगी।

स्रोत:

• 2019 में जड़ निष्कर्षण संकेत

गणित के कई क्षेत्रों में बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का सरलीकरण आवश्यक है, जिसमें उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करना, विभेदन और एकीकरण शामिल है। यह गुणनखंडन सहित कई विधियों का उपयोग करता है। इस पद्धति को लागू करने के लिए, आपको एक सामान्य खोजने और बनाने की आवश्यकता है फ़ैक्टरप्रति कोष्ठक.

अनुदेश

के लिए सामान्य कारक को पूरा करना कोष्ठकअपघटन के सबसे आम तरीकों में से एक है। इस तकनीक का प्रयोग दीर्घ बीजीय व्यंजकों की संरचना को सरल बनाने के लिए किया जाता है, अर्थात्। बहुपद सामान्य एक संख्या, एकपदी या द्विपद हो सकता है, और इसे खोजने के लिए गुणन के वितरण गुण का उपयोग किया जाता है।

संख्या: प्रत्येक बहुपद के गुणांकों को ध्यान से देखें कि क्या उन्हें उसी संख्या से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 12 z³ + 16 z² - 4 में, स्पष्ट is obvious है फ़ैक्टर 4. परिवर्तन के बाद, आपको 4 (3 z³ + 4 z² - 1) मिलता है। दूसरे शब्दों में, यह संख्या सभी गुणांकों का सबसे छोटा सामान्य पूर्णांक भाजक है।

एकपदी - निर्धारित करें कि क्या बहुपद के प्रत्येक पद में एक ही चर है। मान लीजिए कि ऐसा ही है, अब पिछले मामले की तरह गुणांकों को देखें। उदाहरण: 9 z ^ 4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z।

इस बहुपद के प्रत्येक अवयव में एक चर z होता है। इसके अलावा, सभी गुणांक 3 के गुणज हैं। इसलिए, सामान्य कारक एकपदी 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1) है।

द्विपद कोष्ठकआम फ़ैक्टरदो का, एक चर और एक संख्या, जो एक सामान्य बहुपद है। इसलिए, यदि फ़ैक्टर-ध्वनि स्पष्ट नहीं है, तो आपको कम से कम एक जड़ खोजने की जरूरत है। बहुपद का मुक्त पद चुनिए, यह एक चर रहित गुणांक है। अब अंतःखंड के सभी पूर्णांक भाजक के उभयनिष्ठ व्यंजक में प्रतिस्थापन विधि लागू करें।

विचार करें: z ^ 4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4. जांचें कि 4 z ^ 4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 का कोई पूर्णांक भाजक है या नहीं। z1 = 1 और z2 = 2 खोजें, इसलिए, बाद में कोष्ठकहम द्विपद (z - 1) और (z - 2) निकाल सकते हैं। शेष व्यंजक ज्ञात करने के लिए, क्रमागत दीर्घ विभाजन का प्रयोग करें।