ऑनलाइन कैलकुलेटर।
द्विपद के एक वर्ग का चयन और एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड।

वो। संख्याओं \ (p, q \) और \ (n, m \) को खोजने में समस्याएं कम हो जाती हैं

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया को भी प्रदर्शित करता है।

गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए माता-पिता के लिए परीक्षा से पहले ज्ञान की जाँच करते समय, परीक्षण और परीक्षा की तैयारी में माध्यमिक विद्यालयों के वरिष्ठ छात्रों के लिए यह कार्यक्रम उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार आप अपने स्वयं के शिक्षण का संचालन कर सकते हैं और / या अपने छोटे भाइयों या बहनों को पढ़ा सकते हैं, जबकि समस्याओं के समाधान के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

यदि आप वर्ग त्रिपद में प्रवेश करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप उनसे स्वयं को परिचित कर लें।

वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियम Rules

किसी भी लैटिन अक्षर को एक चर के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

संख्याओं को पूर्ण या भिन्नात्मक संख्याओं के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण भिन्न के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में, पूर्ण से भिन्नात्मक भाग को एक बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप इस तरह दशमलव दर्ज कर सकते हैं: 2.5x - 3.5x ^ 2

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
अंश, हर और भिन्न के पूरे भाग के रूप में केवल एक पूर्णांक का उपयोग किया जा सकता है।

भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
एम्परसेंड द्वारा पूरे भाग को भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट: 3 और 1/3 - 5 और 6/5x + 1 / 7x ^ 2
परिणाम: \ (3 \ फ़्रेक (1) (3) - 5 \ फ़्रेक (6) (5) x + \ फ़्रेक (1) (7) x ^ 2 \)

व्यंजक दर्ज करते समय कोष्ठक का उपयोग किया जा सकता है... इस मामले में, हल करते समय, दर्ज की गई अभिव्यक्ति को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 और 1/2)

विस्तृत समाधान उदाहरण

द्विपद के एक वर्ग का चयन।$$ कुल्हाड़ी ^ 2 + बीएक्स + सी \ दायां तीर ए (एक्स + पी) ^ 2 + क्यू $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$ $$ 2x ^ 2 + 2 \ cdot 2 \ cdot \ बाएँ ( \ frac (1) (2) \ right) \ cdot x + 2 \ cdot \ left (\ frac (1) (2) \ right) ^ 2- \ frac (9) (2) = $$ $$ 2 \ बाएँ (x ^ 2 + 2 \ cdot \ बाएँ (\ frac (1) (2) \ दाएँ) \ cdot x + \ बाएँ (\ frac (1) (2) \ दाएँ) ^ 2 \ दाएँ) - \ frac ( 9 ) (2) = $$ $$ 2 \ बाएँ (x + \ frac (1) (2) \ दाएँ) ^ 2- \ फ़्रेक (9) (2) $$ उत्तर:$$ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ बाएँ (x + \ फ़्रेक (1) (2) \ दाएँ) ^ 2- \ फ़्रेक (9) (2) $$ गुणनखंडन।$$ कुल्हाड़ी ^ 2 + बीएक्स + सी \ दायां तीर ए (एक्स + एन) (एक्स + एम) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$
$$ 2 \ बाएँ (x ^ 2 + x-2 \ दाएँ) = $$
$$ 2 \ बाएँ (x ^ 2 + 2x-1x-1 \ cdot 2 \ दाएँ) = $$ $$ 2 \ बाएँ (x \ बाएँ (x +2 \ दाएँ) -1 \ बाएँ (x +2 \ दाएँ) ) \ दाएँ) = $$ $$ 2 \ बाएँ (x -1 \ दाएँ) \ बाएँ (x +2 \ दाएँ) $$ उत्तर:$$ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ बाएँ (x -1 \ दाएँ) \ बाएँ (x +2 \ दाएँ) $$

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ लिपियों को लोड नहीं किया गया था, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
शायद आपके पास एडब्लॉक सक्षम है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

चूंकि बहुत सारे लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड ...

अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप तय करें और क्या खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

एक वर्ग त्रिपद से एक वर्ग द्विपद का निष्कर्षण

यदि वर्ग त्रिपद ax 2 + bx + c को a (x + p) 2 + q के रूप में निरूपित किया जाता है, जहाँ p और q वास्तविक संख्याएँ हैं, तो वे कहते हैं कि वर्ग त्रिपद वर्ग द्विपद.

त्रिपद 2x 2 + 12x + 14 में से द्विपद का वर्ग चुनिए।

\ (2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \)

ऐसा करने के लिए, हम 2 * 3 * x के गुणनफल के रूप में 6x का प्रतिनिधित्व करते हैं, और फिर 3 2 को जोड़ते और घटाते हैं। हम पाते हैं:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \ cdot 3 \ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) = 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) = $$ $$ = 2 ((x + 3) ^ २-२) = २ (x + ३) ^ २-४ $$

इसलिए हम वर्ग द्विपद को वर्ग त्रिपद से अलग किया गया, और दिखाएँ कि:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

एक वर्ग ट्रिनोमियल फैक्टरिंग

यदि वर्ग त्रिपदीय कुल्हाड़ी 2 + bx + c को a (x + n) (x + m) के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ n और m वास्तविक संख्याएँ हैं, तो कहा जाता है कि संक्रिया की गई है वर्ग त्रिपद गुणनखंड.

आइए एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं कि यह परिवर्तन कैसे किया जाता है।

वर्ग त्रिपद 2x 2 + 4x-6 का गुणनखंड करें।

आइए गुणांक a को कोष्ठक से निकालते हैं, अर्थात्। 2:
\ (2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x ^ 2 + 2x-3) \)

हम अभिव्यक्ति को कोष्ठक में बदलते हैं।
ऐसा करने के लिए, हम 2x को 3x-1x के अंतर के रूप में और -3 को -1 * 3 के रूप में दर्शाते हैं। हम पाते हैं:
$$ = 2 (x ^ 2 + 3 \ cdot x -1 \ cdot x -1 \ cdot 3) = 2 (x (x + 3) -1 \ cdot (x + 3)) = $$
$$ = 2 (x-1) (x + 3) $$

इसलिए हम वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन किया गया, और दिखाएँ कि:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x-1) (x + 3) $$

ध्यान दें कि एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन तभी संभव है जब इस त्रिपद के संगत द्विघात समीकरण के मूल हों।
वो। हमारे मामले में, त्रिपद 2x 2 + 4x-6 का गुणनखंड करना संभव है यदि द्विघात समीकरण 2x 2 + 4x-6 = 0 के मूल हों। फैक्टरिंग की प्रक्रिया में, हमने पाया कि समीकरण 2x 2 + 4x-6 = 0 के दो मूल 1 और -3 हैं, क्योंकि इन मानों के लिए, समीकरण 2 (x-1) (x + 3) = 0 एक वास्तविक समानता बन जाता है।

क्या गुणनखंडन?यह एक अजीब और जटिल उदाहरण को सरल और प्यारे में बदलने का एक तरीका है।) बहुत शक्तिशाली चाल! यह प्राथमिक गणित और उच्च गणित दोनों में हर कदम पर पाया जाता है।

गणितीय भाषा में इस तरह के परिवर्तनों को अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तन कहा जाता है। विषय में कौन नहीं है - लिंक पर टहलें। बहुत कम, सरल और उपयोगी है।) किसी भी समान परिवर्तन का अर्थ एक अभिव्यक्ति लिखना है दूसरे रूप मेंअपने सार को संरक्षित करते हुए।

जिसका अर्थ है गुणनअत्यंत सरल और सीधा। सीधे नाम से ही। आप भूल सकते हैं (या नहीं जानते) गुणक क्या है, लेकिन क्या आप यह पता लगा सकते हैं कि यह शब्द "गुणा" शब्द से आया है?) फैक्टरिंग का अर्थ है: किसी चीज को किसी चीज से गुणा करने के रूप में अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं हाँ, मुझे गणित और रूसी भाषा माफ कर दो ...) और बस।

उदाहरण के लिए, आपको संख्या 12 का विस्तार करने की आवश्यकता है। आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

इसलिए हमने संख्या १२ को ३ से ४ के गुणन के रूप में प्रस्तुत किया। कृपया ध्यान दें कि दाईं ओर की संख्याएँ (३ और ४) बाईं ओर (१ और २) की तुलना में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन हम पूरी तरह से समझते हैं कि 12 और 3 4 वही।रूपांतरण से 12 नंबर का सार नहीं बदला गया है।

क्या 12 को अलग-अलग तरीके से विघटित करना संभव है? सरलता!

१२ = ३ ४ = २ ६ = ३ २ २ = ०.५ २४ = ........

अपघटन विकल्प अंतहीन हैं।

फैक्टरिंग नंबर एक उपयोगी चीज है। यह बहुत मदद करता है, उदाहरण के लिए, जड़ों से निपटने के दौरान। लेकिन बीजीय व्यंजकों का गुणनखंड करना कोई उपयोगी चीज नहीं है, वह है - ज़रूरी!बस उदाहरण के लिए:

सरल करें:

जो लोग यह नहीं जानते कि किसी व्यंजक को कैसे कारक बनाया जाए, वे किनारे रह जाते हैं। कौन जानता है कि कैसे - सरल करता है और प्राप्त करता है:

प्रभाव अद्भुत है, है ना?) वैसे, समाधान काफी सरल है। आप अपने लिए नीचे देखेंगे। या, उदाहरण के लिए, इस तरह का एक कार्य:

प्रश्न हल करें:

एक्स 5 - एक्स 4 = 0

यह मन में तय होता है, वैसे। गुणनखंडन का उपयोग करना। नीचे हम इस उदाहरण को हल करेंगे। उत्तर: एक्स 1 = 0; एक्स 2 = 1.

या, वही बात, लेकिन पुराने लोगों के लिए):

प्रश्न हल करें:

इन उदाहरणों के साथ मैंने दिखाया है मुख्य उद्देश्यगुणनखंडन: भिन्नात्मक व्यंजकों को सरल बनाना और कुछ प्रकार के समीकरणों को हल करना। मैं अंगूठे के नियम को याद रखने की सलाह देता हूं:

यदि हम एक भयानक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति का सामना कर रहे हैं, तो आप अंश और हर को कारकों में विभाजित करने का प्रयास कर सकते हैं। बहुत बार अंश को छोटा और सरलीकृत किया जाता है।

यदि हमारे सामने एक समीकरण है, जहां दाईं ओर शून्य है, और बाईं ओर - समझ में नहीं आता है, तो आप बाईं ओर को कारकों में कारक करने का प्रयास कर सकते हैं। कभी-कभी यह मदद करता है)।

फैक्टरिंग के बुनियादी तरीके।

यहाँ सबसे लोकप्रिय तरीके हैं:

4. एक वर्ग त्रिपद का अपघटन।

इन विधियों को याद रखना चाहिए। उस क्रम में। जटिल उदाहरणों की जाँच की जाती है अपघटन के सभी संभावित तरीकों में।और क्रम में जांचना बेहतर है, ताकि भ्रमित न हों ... तो चलिए क्रम से शुरू करते हैं।)

1. कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालना।

एक सरल और विश्वसनीय तरीका। यह कभी दर्द नहीं देता! यह अच्छा होता है या नहीं।) इसलिए, वह पहले है। समझ।

हर कोई जानता है (मुझे विश्वास है!)) नियम:

ए (बी + सी) = एबी + एसी

या, अधिक आम तौर पर:

ए (बी + सी + डी + .....) = एबी + एसी + विज्ञापन + ....

सभी समानताएँ बाएँ से दाएँ काम करती हैं, और इसके विपरीत, दाएँ से बाएँ। तुम लिख सकते हो:

एबी + एसी = ए (बी + सी)

एबी + एसी + विज्ञापन + .... = ए (बी + सी + डी + .....)

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठकों से बाहर निकालने का यही पूरा बिंदु है।

बाईं तरफ लेकिन अ - सामान्य अवयवसभी शर्तों के लिए। हर चीज से गुणा)। दाईं ओर सबसे . है लेकिन अपहले से ही है कोष्ठक के बाहर।

हम उदाहरणों द्वारा विधि के व्यावहारिक अनुप्रयोग पर विचार करेंगे। सबसे पहले, विकल्प सरल है, यहां तक ​​​​कि आदिम भी।) लेकिन इस विकल्प पर मैं किसी भी कारक के लिए (हरे रंग में) बहुत महत्वपूर्ण बिंदुओं को चिह्नित करूंगा।

गुणनखंड करना:

आह + 9x

क्या आमगुणक दोनों पदों में बैठता है? एक्स, बिल्कुल! हम इसे कोष्ठक से निकालेंगे। हम यह करते हैं। हम तुरंत एक्स को कोष्ठक के बाहर लिखते हैं:

कुल्हाड़ी + 9x = एक्स (

और कोष्ठक में हम विभाजन का परिणाम लिखते हैं प्रत्येक शब्दइस पर x. क्रम में:

बस इतना ही। बेशक, इतने विस्तार से वर्णन करने की आवश्यकता नहीं है, यह मन में किया जाता है। लेकिन यह समझने के लिए कि क्या है, यह वांछनीय है)। हम स्मृति में ठीक करते हैं:

हम कोष्ठक के बाहर उभयनिष्ठ गुणनखंड लिखते हैं। कोष्ठक में, हम सभी पदों को इस बहुत ही सामान्य कारक से विभाजित करने के परिणाम लिखते हैं। क्रम में।

इसलिए हमने अभिव्यक्ति का विस्तार किया expanded आह + 9xकारकों द्वारा। इसे x से गुणा करने में बदल दिया (ए + 9)।ध्यान दें कि मूल व्यंजक में गुणन भी होता है, यहाँ तक कि दो भी: एक एक्स और 9 एक्स।पर यह कारक नहीं बनाया गया है!क्योंकि गुणा के अलावा, इस अभिव्यक्ति में "+" चिह्न भी शामिल है! और अभिव्यक्ति में एक्स (ए + 9) गुणन के अलावा कुछ भी नहीं है!

ऐसा कैसे !? - मुझे लोगों की आक्रोश की आवाज सुनाई देती है - और कोष्ठक में!?)

हाँ, कोष्ठक के अंदर जोड़ है। लेकिन चाल यह है कि जब कोष्ठक प्रकट नहीं होते हैं, तो हम उन पर विचार करते हैं एक अक्षर के रूप में।और हम सभी क्रियाएं पूरी तरह से कोष्ठक के साथ करते हैं, जैसे एक अक्षर के साथ।इस अर्थ में, अभिव्यक्ति में एक्स (ए + 9)गुणन के अलावा कुछ भी नहीं है। यह फैक्टरिंग का पूरा बिंदु है।

वैसे, क्या यह जांचना संभव है कि क्या हमने सब कुछ ठीक किया? आसान! जो निकाला गया था (x) उसे कोष्ठक से गुणा करने के लिए पर्याप्त है और देखें कि क्या यह काम करता है प्रारंभिकअभिव्यक्ति? अगर यह काम करता है, तो सब कुछ टिप-टॉप है!)

एक्स (ए + 9) = कुल्हाड़ी + 9x

हो गई।)

इस आदिम उदाहरण में कोई समस्या नहीं है। लेकिन अगर कई जोड़ हैं, और अलग-अलग संकेतों के साथ भी ... संक्षेप में, हर तीसरा छात्र गड़बड़ करता है)। इसलिए:

यदि आवश्यक हो, तो व्युत्क्रम गुणन द्वारा गुणनखंड की जाँच करें।

गुणनखंड करना:

३एक्स + ९एक्स

हम एक सामान्य कारक की तलाश कर रहे हैं। खैर, एक्स के साथ सब कुछ स्पष्ट है, आप इसे सहन कर सकते हैं। क्या यहां और है आमकारक? हाँ! यह एक तीन है। आप इस तरह की अभिव्यक्ति लिख सकते हैं:

३एक्स + ३ ३एक्स

यहाँ यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि उभयनिष्ठ गुणनखंड होगा 3x... यहाँ हम इसे निकालते हैं:

3ax + 3 3x = 3x (a + 3)

उन्होंने इसे बिछाया।

और सहोगे तो क्या होगा केवल एक्स?कुछ खास नहीं:

3ax + 9x = x (3a + 9)

यह भी एक फैक्टराइजेशन होगा। लेकिन इस आकर्षक प्रक्रिया में, जब तक कोई अवसर होता है, तब तक सब कुछ बंद करने की प्रथा है। यहां कोष्ठक में एक तिहाई निकालने का अवसर है। यह निकलेगा:

3ax + 9x = x (3a + 9) = 3x (a + 3)

वही बात, केवल एक अतिरिक्त कार्रवाई के साथ।) याद रखें:

उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते समय, हम निकालने का प्रयास करते हैं ज्यादा से ज्यादासामान्य अवयव।

क्या हम मज़ा जारी रखते हैं?)

कारक अभिव्यक्ति:

3ax + 9x-8a-24

हम क्या सहने वाले हैं? तीन, एक्स? नहीं... तुम नहीं कर सकते। मैं आपको याद दिलाता हूं कि आप केवल सह सकते हैं आमगुणक जो है सभी मेंअभिव्यक्ति की शर्तें। इसलिए वह सामान्य।यहाँ ऐसा कोई गुणक नहीं है ... क्या, आप विस्तार नहीं कर सकते!? खैर, हाँ, हम ख़ुश थे, ज़रूर... मिलिए:

2. समूहन।

दरअसल, समूहीकरण को शायद ही फैक्टरिंग का एक स्वतंत्र तरीका कहा जा सकता है। बल्कि, यह एक जटिल उदाहरण से बाहर निकलने का एक तरीका है।) शर्तों को समूहीकृत करना आवश्यक है ताकि सब कुछ ठीक हो जाए। इसे केवल उदाहरण के द्वारा ही दिखाया जा सकता है। तो, हमारे सामने अभिव्यक्ति है:

3ax + 9x-8a-24

यह देखा जा सकता है कि कुछ सामान्य अक्षर और संख्याएँ हैं। परंतु... सामान्य कासभी शर्तों में होने का कोई कारक नहीं है। हम हिम्मत नहीं हारते और अभिव्यक्ति को टुकड़ों में तोड़ो।चलो समूह। ताकि प्रत्येक टुकड़े में एक सामान्य कारक हो, कुछ निकालना था। हम इसे कैसे तोड़ते हैं? हां, बस कोष्ठक लगाएं।

मैं आपको याद दिला दूं कि कोष्ठक कहीं भी और किसी भी तरह से रखे जा सकते हैं। यदि केवल उदाहरण का सार परिवर्तन नहीं किया।उदाहरण के लिए, आप यह कर सकते हैं:

3ax + 9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24 .))

दूसरे कोष्ठक पर ध्यान दें! उनके सामने एक ऋण चिह्न है, और 8एतथा 24 सकारात्मक बनो! यदि, सत्यापन के लिए, कोष्ठक को वापस खोलें, तो संकेत बदल जाते हैं, और हमें मिलता है प्रारंभिकअभिव्यक्ति। वो। कोष्ठक से अभिव्यक्ति का सार नहीं बदला है।

लेकिन अगर आप सिर्फ कोष्ठक में फंस गए हैं, तो संकेत परिवर्तन को अनदेखा कर रहे हैं, उदाहरण के लिए, इस तरह:

3ax + 9x-8a-24=(3एक्स + 9एक्स) - (8a-24 .) )

यह एक गलती होगी। सही - पहले से ही अन्यअभिव्यक्ति। कोष्ठक खोलो और सब कुछ दिखाई देने लगेगा। आपको आगे निर्णय लेने की आवश्यकता नहीं है, हाँ...)

लेकिन वापस फैक्टरिंग के लिए। हम पहले कोष्ठक को देखते हैं (3एक्स + 9एक्स)और हम सोचते हैं, क्या हम कुछ सह सकते हैं? खैर, हमने इस उदाहरण को ऊपर हल किया है, आप ले सकते हैं 3x:

(3ax + 9x) = 3x (a + 3)

हम दूसरे कोष्ठक का अध्ययन करते हैं, वहां आप आठ निकाल सकते हैं:

(8ए + 24) = 8 (ए + 3)

हमारी पूरी अभिव्यक्ति निकलेगी:

(3ax + 9x) - (8a + 24) = 3x (a + 3) -8 (a + 3)

गुणनखंडित? नहीं। अपघटन का परिणाम होना चाहिए केवल गुणा,और हमारा माइनस साइन सब कुछ खराब कर देता है। लेकिन ... दोनों शब्दों का एक सामान्य गुणनखंड है! आईटी (ए + 3)... यह व्यर्थ नहीं था कि मैंने कहा कि पूरे कोष्ठक, जैसे थे, एक अक्षर हैं। इसका मतलब है कि इन कोष्ठकों को कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है। हाँ, बिल्कुल ऐसा ही लगता है।)

हम ऊपर वर्णित अनुसार करते हैं। हम उभयनिष्ठ गुणनखंड लिखते हैं (ए + 3), दूसरे कोष्ठक में हम पदों को विभाजित करने के परिणाम लिखते हैं (ए + 3):

3x (ए + 3) -8 (ए + 3) = (ए + 3) (3x-8)

हर एक चीज़! दाईं ओर, गुणा के अलावा कुछ नहीं है! तो गुणनखंड सफल रहा!) यहाँ यह है:

3ax + 9x-8a-24 = (a + 3) (3x-8)

आइए समूहीकरण के सार को संक्षेप में दोहराएं।

यदि व्यंजक में शामिल नहीं है सामान्यके लिए गुणक के सभीशब्दों में, हम कोष्ठक के साथ व्यंजक को तोड़ते हैं ताकि कोष्ठक के अंदर उभयनिष्ठ गुणनखंड था।हम इसे बाहर निकालते हैं और देखते हैं कि क्या हुआ। यदि आप भाग्यशाली हैं, और कोष्ठक में बिल्कुल समान भाव हैं, तो इन कोष्ठकों को कोष्ठक के बाहर ले जाएँ।

मैं जोड़ूंगा कि समूहीकरण एक रचनात्मक प्रक्रिया है)। यह हमेशा पहली बार काम नहीं करता है। कोई खराबी नहीं। कभी-कभी आपको पदों के स्थान बदलने पड़ते हैं, समूहीकरण के लिए विभिन्न विकल्पों पर विचार करना पड़ता है, जब तक कि आपको एक सफल विकल्प न मिल जाए। यहाँ मुख्य बात हिम्मत नहीं हारना है!)

उदाहरण।

अब, ज्ञान से समृद्ध होकर, आप कठिन उदाहरणों को हल कर सकते हैं।) पाठ की शुरुआत में इनमें से तीन थे ...

सरल करें:

वास्तव में, हम इस उदाहरण को पहले ही हल कर चुके हैं। खुद से अनजान।) मैं आपको याद दिला दूं: अगर हमें एक भयानक अंश दिया जाता है, तो हम अंश और हर को निकालने का प्रयास करते हैं। अन्य सरलीकरण विकल्प बस नहीं।

खैर, यहाँ हर का विस्तार नहीं होता है, लेकिन अंश ... हम पाठ के दौरान पहले ही अंश का विस्तार कर चुके हैं! ऐशे ही:

3ax + 9x-8a-24 = (a + 3) (3x-8)

हम भिन्न के अंश में विस्तार का परिणाम लिखते हैं:

भिन्नों को घटाने के नियम के अनुसार (एक भिन्न का मुख्य गुण), हम अंश और हर को एक ही संख्या या व्यंजक से विभाजित कर सकते हैं (एक साथ!)। इससे अंश बदलना मत।इसलिए हम अंश और हर को व्यंजक से विभाजित करते हैं (3x-8)... और यहाँ और वहाँ हमें एक मिलता है। सरलीकरण का अंतिम परिणाम है:

मैं इस बात पर जोर देना चाहूंगा: एक अंश की कमी संभव है यदि और केवल यदि अंश और हर में, भावों के गुणन के अलावा वहां कुछ भी नहीं है।इसीलिए योग (अंतर) का . में परिवर्तन गुणासरलीकरण के लिए इतना महत्वपूर्ण। बेशक, अगर भाव भिन्न हो,तो कुछ भी कम नहीं होगा। वैसे। लेकिन फैक्टरिंग मौका देता है।क्षय के बिना यह मौका बस नहीं है।

समीकरण के साथ उदाहरण:

प्रश्न हल करें:

एक्स 5 - एक्स 4 = 0

हम सामान्य कारक निकालते हैं एक्स 4कोष्ठक के बाहर। हम पाते हैं:

एक्स 4 (एक्स -1) = 0

हम मानते हैं कि कारकों का उत्पाद शून्य के बराबर है तब और केवल तभी,जब उनमें से कोई शून्य हो। यदि संदेह है, तो मुझे कुछ गैर-शून्य संख्याएं खोजें, जिन्हें गुणा करने पर शून्य मिलेगा।) तो हम लिखते हैं, पहला कारक:

इस समानता के साथ, दूसरा कारक हमें परेशान नहीं करता है। कोई भी हो सकता है, अंत में वही सब शून्य हो जाएगा। और शून्य के चौथे घात में कौन सा अंक देगा? केवल शून्य! और कुछ नहीं ... तो:

हमने पहले कारक को सुलझाया, एक जड़ पाया। आइए दूसरे कारक से निपटें। अब हम पहले कारक की परवाह नहीं करते हैं।)

तो हमें एक समाधान मिला: एक्स 1 = 0; एक्स 2 = 1... इनमें से कोई भी मूल हमारे समीकरण में फिट बैठता है।

एक बहुत ही महत्वपूर्ण नोट। कृपया ध्यान दें कि हमने समीकरण हल किया एक एक!हर फ़ैक्टर को शून्य के बराबर सेट किया गया था, बाकी कारकों की अनदेखी।वैसे, अगर इस तरह के समीकरण में दो कारक नहीं हैं, जैसा कि हमारे पास है, लेकिन तीन, पांच, जितने आप चाहें, हम हल करेंगे समान।एक एक। उदाहरण के लिए:

(एक्स -1) (एक्स + 5) (एक्स -३) (एक्स + २) = ०

जो कोष्ठक खोलता है, सब कुछ गुणा करता है, वह हमेशा के लिए इस समीकरण पर लटका रहेगा।) सही छात्र तुरंत देखेगा कि बाईं ओर गुणा के अलावा कुछ भी नहीं है, दाईं ओर - शून्य। और यह शुरू हो जाएगा (मन में!) क्रम में सभी कोष्ठकों को शून्य करने के लिए। और वह प्राप्त करेगा (10 सेकंड में!) सही समाधान: एक्स 1 = 1; एक्स 2 = -5; एक्स ३ = ३; एक्स 4 = -2।

बढ़िया, है ना?) इस तरह का एक सुरुचिपूर्ण समाधान संभव है यदि समीकरण के बाईं ओर गुणनखंडित।क्या संकेत स्पष्ट है?)

खैर, आखिरी उदाहरण, पुराने लोगों के लिए):

प्रश्न हल करें:

यह किसी भी तरह पिछले एक के समान है, क्या आपको नहीं लगता?) बिल्कुल। यह याद रखने का समय है कि सातवीं कक्षा के बीजगणित में, अक्षर साइन, लघुगणक, और कुछ भी छिपा सकते हैं! फैक्टरिंग सभी गणित में काम करता है।

हम सामान्य कारक निकालते हैं एलजी 4 एक्सकोष्ठक के बाहर। हम पाते हैं:

एलजी 4 एक्स = 0

यह एक जड़ है। आइए दूसरे कारक से निपटें।

यहाँ अंतिम उत्तर है: एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 10.

मुझे आशा है कि आपने भिन्नों को सरल बनाने और समीकरणों को हल करने में फैक्टरिंग की शक्ति को महसूस किया होगा।)

इस पाठ में हमने सामान्य गुणनखंड और समूहन के बारे में सीखा। यह संक्षिप्त गुणन और वर्ग त्रिपद के सूत्रों का पता लगाने के लिए बनी हुई है।

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

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आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

बीजगणित में "बहुपद" और "गुणकों में बहुपद का गुणनखंड" की अवधारणाएं बहुत सामान्य हैं, क्योंकि बड़ी बहु-अंकीय संख्याओं के साथ आसानी से गणना करने के लिए आपको उन्हें जानने की आवश्यकता होती है। यह लेख अपघटन के कई तरीकों का वर्णन करेगा। वे सभी उपयोग करने के लिए काफी सरल हैं, आपको बस प्रत्येक विशिष्ट मामले में सही चुनना है।

बहुपद अवधारणा

एक बहुपद एकपदी का योग है, अर्थात्, केवल गुणन संक्रिया वाले व्यंजक।

उदाहरण के लिए, 2 * x * y एक एकपदी है, लेकिन 2 * x * y + 25 एक बहुपद है जिसमें 2 एकपदी होते हैं: 2 * x * y और 25. ऐसे बहुपदों को द्विपद कहा जाता है।

कभी-कभी, बहु-मूल्यवान मूल्यों के साथ उदाहरणों को हल करने की सुविधा के लिए, अभिव्यक्ति को रूपांतरित किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, एक निश्चित संख्या में कारकों में विघटित होना, यानी संख्या या अभिव्यक्ति जिसके बीच गुणा क्रिया की जाती है। बहुपद को गुणन करने के कई तरीके हैं। उन्हें सबसे आदिम से शुरू करने पर विचार करना उचित है, जिसका उपयोग प्राथमिक ग्रेड में भी किया जाता है।

समूहीकरण (सामान्य रिकॉर्डिंग)

सामान्य तौर पर समूहीकरण विधि द्वारा बहुपद को कारकों में विघटित करने का सूत्र इस तरह दिखता है:

एसी + बीडी + बीसी + विज्ञापन = (एसी + बीसी) + (विज्ञापन + बीडी)

एकपदी का समूह बनाना आवश्यक है ताकि प्रत्येक समूह में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड प्रकट हो। पहले कोष्ठक में यह कारक c है, और दूसरे में यह d है। यह तब किया जाना चाहिए ताकि इसे कोष्ठक के बाहर रखा जा सके, जिससे गणनाओं को सरल बनाया जा सके।

एक विशिष्ट उदाहरण के लिए अपघटन एल्गोरिथ्म

एक बहुपद को समूहन द्वारा गुणनखंडों में विभाजित करने का सबसे सरल उदाहरण नीचे दिखाया गया है:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

पहले कोष्ठक में, आपको कारक a के साथ पदों को लेना होगा, जो सामान्य होगा, और दूसरे में, कारक b के साथ। समाप्त अभिव्यक्ति में + और - चिह्नों पर ध्यान दें। हमने एकपदी के सामने वह चिन्ह रखा जो प्रारंभिक व्यंजक में था। यही है, आपको अभिव्यक्ति 25a के साथ नहीं, बल्कि अभिव्यक्ति -25 के साथ काम करने की आवश्यकता है। ऋण चिह्न इसके पीछे की अभिव्यक्ति के लिए "चिपके" जैसा है और गणना में इसे हमेशा ध्यान में रखता है।

अगले चरण में, आपको कोष्ठक के बाहर वह गुणनखंड निकालना होगा, जो सामान्य है। यही समूहीकरण के लिए है। कोष्ठक से बाहर निकालने का अर्थ है कोष्ठक के सामने लिखना (गुणन चिह्न को छोड़कर) उन सभी कारकों को जो कोष्ठक में सभी शब्दों में सटीकता के साथ दोहराया जाता है। यदि कोष्ठक में 2 नहीं, बल्कि 3 या अधिक शब्द हैं, तो उनमें से प्रत्येक में सामान्य कारक होना चाहिए, अन्यथा इसे कोष्ठक से बाहर नहीं किया जा सकता है।

हमारे मामले में - कोष्ठक में केवल 2 पद। सामान्य कारक तुरंत दिखाई देता है। पहला कोष्ठक a है, दूसरा b है। यहां आपको डिजिटल गुणांक पर ध्यान देने की आवश्यकता है। पहले कोष्ठक में, दोनों गुणांक (10 और 25) 5 के गुणज हैं। इसका अर्थ है कि न केवल a, बल्कि 5a को भी कोष्ठक से बाहर निकाला जा सकता है। कोष्ठक से पहले 5a लिखें, और फिर निकाले गए सामान्य कारक द्वारा कोष्ठक में प्रत्येक शब्द को विभाजित करें, और कोष्ठक में भागफल भी लिखें, संकेतों को न भूलें + और - दूसरे कोष्ठक के साथ भी ऐसा ही करें, बाहर निकालें 7b, साथ ही 14 और 35 7 के गुणज।

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5)।

यह 2 पद निकला: 5a (2c - 5) और 7b (2c - 5)। उनमें से प्रत्येक में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है (कोष्ठक में सभी व्यंजक यहां समान हैं, जिसका अर्थ है कि यह एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है): 2c - 5. इसे कोष्ठक से निकालने की भी आवश्यकता है, अर्थात पद 5a और 7b दूसरे कोष्ठक में रहें:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b)।

तो पूर्ण अभिव्यक्ति है:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b)।

इस प्रकार, बहुपद 10ac + 14bc - 25a - 35b 2 कारकों में विघटित हो जाता है: (2c - 5) और (5a + 7b)। लिखते समय उनके बीच गुणन चिह्न छोड़ा जा सकता है

कभी-कभी इस प्रकार के भाव होते हैं: 5a 2 + 50a 3, यहां आप न केवल a या 5a, बल्कि 5a 2 को भी ब्रैकेट से बाहर कर सकते हैं। आपको हमेशा सबसे बड़ा संभव सामान्य कारक निकालने का प्रयास करना चाहिए। हमारे मामले में, यदि हम प्रत्येक पद को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

5ए 2/5ए 2 = 1; ५०ए ३ / ५ए २ = १०ए(समान आधारों के साथ कई डिग्री के भागफल की गणना करते समय, आधार को बरकरार रखा जाता है, और घातांक घटाया जाता है)। इस प्रकार, इकाई कोष्ठक में रहती है (किसी भी स्थिति में, इकाई को लिखना न भूलें, यदि आप कोष्ठक में से किसी एक शब्द को निकालते हैं) और भागफल: 10 ए। पता चलता है कि:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

वर्ग सूत्र

गणना की सुविधा के लिए, कई सूत्र निकाले गए हैं। उन्हें संक्षिप्त गुणन सूत्र कहा जाता है और अक्सर उपयोग किया जाता है। ये सूत्र डिग्री वाले कारक बहुपदों की सहायता करते हैं। यह एक और शक्तिशाली कारककरण तकनीक है। तो, यहाँ वे हैं:

• ए 2 + 2एबी + बी 2 = (ए + बी) 2 -सूत्र, जिसे "योग का वर्ग" कहा जाता है, क्योंकि एक वर्ग में विस्तार के परिणामस्वरूप, कोष्ठकों में संलग्न संख्याओं का योग लिया जाता है, अर्थात इस योग का मान 2 गुना से गुणा किया जाता है, जिसका अर्थ है यह एक गुणक है।
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - अंतर के वर्ग के लिए सूत्र, यह पिछले के समान है। परिणाम वर्ग शक्ति में निहित कोष्ठकों में संलग्न अंतर है।
• ए 2 - बी 2 = (ए + बी) (ए - बी)- यह वर्गों के अंतर का सूत्र है, क्योंकि शुरू में बहुपद में संख्याओं या भावों के 2 वर्ग होते हैं, जिनके बीच घटाव किया जाता है। शायद, तीनों नामों में से, इसका सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

वर्ग सूत्रों की गणना के उदाहरण

उनके लिए गणना काफी सरल है। उदाहरण के लिए:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - हम "योग का वर्ग" सूत्र का उपयोग करते हैं।
2. 25x 2 5x का वर्ग है। 20xy 2 * (5x * 2y) का दोगुना गुणनफल है, और 4y 2 2y का वर्ग है।
3. तो 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y)।यह बहुपद 2 कारकों में विघटित होता है (कारक समान हैं, इसलिए, इसे एक वर्ग शक्ति के साथ एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा जाता है)।

अंतर के वर्ग के सूत्र द्वारा क्रियाएं उसी तरह की जाती हैं। वर्ग का अंतर सूत्र बना रहता है। इस सूत्र के उदाहरण अन्य अभिव्यक्तियों के बीच पहचानना और खोजना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20) (5a + 20)। चूंकि 25a 2 = (5a) 2, और 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y)। चूंकि 36x 2 = (6x) 2, और 25y 2 = (5y 2)
• सी 2 - 169 बी 2 = (सी - 13 बी) (सी + 13 बी)। चूँकि 169b 2 = (13b) 2

यह महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक पद किसी न किसी व्यंजक का वर्ग हो। तब यह बहुपद वर्गों के अंतर के सूत्र द्वारा गुणनखंडन के अधीन है। इसके लिए यह जरूरी नहीं है कि दूसरी डिग्री संख्या से ऊपर हो। ऐसे बहुपद हैं जिनमें बड़ी डिग्री होती है, लेकिन फिर भी ये सूत्र फिट होते हैं।

ए 8 + 10 ए 4 +25 = (ए 4) 2 + 2 * ए 4 * 5 + 5 2 = (ए 4 +5) 2

इस उदाहरण में, 8 को (a 4) 2 के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो कि किसी व्यंजक का वर्ग है। 25 5 2 है, और 10a 4 - यह 2 * a 4 * 5 पदों का दोगुना गुणनफल है। यही है, यह अभिव्यक्ति, बड़े घातांक के साथ डिग्री की उपस्थिति के बावजूद, बाद में उनके साथ काम करने के लिए 2 कारकों में विघटित हो सकती है।

घन सूत्र

घनों वाले बहुपदों के गुणनखंड के लिए समान सूत्र मौजूद हैं। वे वर्गों वाले लोगों की तुलना में थोड़े अधिक जटिल हैं:

• ए 3 + बी 3 = (ए + बी) (ए 2 - एबी + बी 2)- इस सूत्र को घनों का योग कहा जाता है, क्योंकि इसके प्रारंभिक रूप में एक बहुपद एक घन में संलग्न दो व्यंजकों या संख्याओं का योग होता है।
• ए 3 - बी 3 = (ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2) -पिछले एक के समान सूत्र को घनों के अंतर के रूप में निर्दिष्ट किया गया है।
• ए 3 + 3ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3 = (ए + बी) 3 - योग का घन, गणनाओं के परिणामस्वरूप, संख्याओं या भावों का योग प्राप्त होता है, कोष्ठक में संलग्न होता है और इसे 3 बार से गुणा किया जाता है, अर्थात घन में स्थित होता है
• ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3 = (ए - बी) 3 -गणितीय संक्रियाओं (प्लस और माइनस) के केवल कुछ संकेतों को बदलने के साथ पिछले एक के साथ सादृश्य द्वारा तैयार किए गए सूत्र को "डिफरेंस क्यूब" कहा जाता है।

अंतिम दो सूत्र व्यावहारिक रूप से बहुपद को कारकों में विभाजित करने के उद्देश्य से उपयोग नहीं किए जाते हैं, क्योंकि वे जटिल होते हैं, और बहुपद जो पूरी तरह से ऐसी संरचना के अनुरूप होते हैं, शायद ही कभी सामने आते हैं ताकि उन्हें इन सूत्रों के अनुसार विघटित किया जा सके। लेकिन आपको अभी भी उन्हें जानने की जरूरत है, क्योंकि विपरीत दिशा में काम करते समय - कोष्ठक का विस्तार करते समय उनकी आवश्यकता होगी।

घन सूत्रों के उदाहरण

आइए एक उदाहरण पर विचार करें: 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) = (4a - 2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 )

यहां हमने काफी सरल संख्याएं ली हैं, ताकि आप तुरंत देख सकें कि 64a 3 (4a) 3 है, और 8b 3 (2b) 3 है। इस प्रकार, यह बहुपद 2 गुणनखंडों के घनों के अंतर के सूत्र के अनुसार विघटित हो जाता है। घनों के योग के सूत्र के अनुसार क्रिया सादृश्य द्वारा की जाती है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि सभी बहुपदों को कम से कम एक तरीके से विघटित नहीं किया जा सकता है। लेकिन ऐसे भाव हैं जिनमें वर्ग या घन की तुलना में अधिक शक्तियां होती हैं, लेकिन उन्हें संक्षिप्त गुणन रूपों में भी विघटित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: x 12 + 125y 3 = (x 4) 3 + (5y) 3 = (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) = (x 4 + 5y) ) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2)।

इस उदाहरण में 12 डिग्री जितना है। लेकिन यहां तक ​​कि इसे घनों के योग के सूत्र का उपयोग करके भी गुणनखंडित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको x 12 को (x 4) 3 के रूप में प्रस्तुत करना होगा, अर्थात किसी व्यंजक के घन के रूप में। अब, a के बजाय, आपको इसे सूत्र में स्थानापन्न करने की आवश्यकता है। खैर, व्यंजक 125y 3 घन 5y है। इसके बाद, आपको सूत्र के अनुसार उत्पाद तैयार करना चाहिए और गणना करनी चाहिए।

सबसे पहले, या संदेह के मामले में, आप हमेशा बैक गुणा द्वारा जांच कर सकते हैं। आपको परिणामी अभिव्यक्ति में केवल कोष्ठकों का विस्तार करने और ऐसी शर्तों के साथ कार्य करने की आवश्यकता है। यह विधि उपरोक्त कमी के सभी तरीकों पर लागू होती है: दोनों एक सामान्य कारक और समूह के साथ काम करने के लिए, और क्यूब्स और वर्ग डिग्री के सूत्रों पर कार्रवाई के लिए।

एक बहुपद एक व्यंजक है जिसमें एकपदी का योग होता है। उत्तरार्द्ध एक स्थिर (संख्या) और अभिव्यक्ति की जड़ (या जड़ें) के गुणनफल हैं k की शक्ति के लिए। इस मामले में, एक डिग्री k के बहुपद की बात करता है। एक बहुपद के विस्तार में व्यंजक का रूपांतरण शामिल होता है, जिसमें पदों को कारकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। आइए इस तरह के परिवर्तन को अंजाम देने के मुख्य तरीकों पर विचार करें।

एक सामान्य कारक के निष्कर्षण द्वारा बहुपद अपघटन विधि

यह विधि वितरण कानून के नियमों पर आधारित है। तो, एमएन + एमके = एम * (एन + के)।

• उदाहरण: 7y 2 + 2uy और 2m 3 - 12m 2 + 4lm फैलाएं।

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm = 2m (m 2 - 6m + 2l)।

हालांकि, प्रत्येक बहुपद में अनिवार्य रूप से मौजूद कारक हमेशा नहीं मिल सकता है, इसलिए यह विधि सार्वभौमिक नहीं है।

संक्षिप्त गुणन सूत्रों के आधार पर बहुपद अपघटन विधि

संक्षिप्त गुणन सूत्र किसी भी डिग्री के बहुपद के लिए मान्य हैं। सामान्य शब्दों में, एक रूपांतरण अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:

यूके - एलके = (यू - एल) (यू के -1 + यू के -2 * एल + यू के -3 * एल 2 +… यू * एल के -2 + एल के -1), जहां के प्रतिनिधि है प्राकृतिक संख्या...

व्यवहार में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सूत्र दूसरे और तीसरे क्रम के बहुपदों के लिए हैं:

यू २ - एल २ = (यू - एल) (यू + एल),

यू 3 - एल 3 = (यू - एल) (यू 2 + उल + एल 2),

यू 3 + एल 3 = (यू + एल) (यू 2 - उल + एल 2)।

• उदाहरण: 25p 2 - 144b 2 और 64m 3 - 8l 3 फैलाएं।

25p 2 - 144b 2 = (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 = (4m) 3 - (2l) 3 = (4m - 2l) ((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m - 2l) (16m 2 + 8ml + 4l 2 )

बहुपद अपघटन विधि - व्यंजक के पदों को समूहीकृत करना

इस विधि में एक प्रकार से सार्व गुणनखंड व्युत्पन्न करने की तकनीक में कुछ समानता है, लेकिन इसमें कुछ अंतर हैं। विशेष रूप से, उभयनिष्ठ गुणनखंड का चयन करने से पहले, एकपदी का समूह बनाना चाहिए। समूहीकरण संयोजन और स्थानांतरीय कानूनों के नियमों पर आधारित है।

व्यंजक में प्रस्तुत सभी एकपदी समूहों में विभाजित हैं, जिनमें से प्रत्येक में कुल मान इस प्रकार निकाला जाता है कि सभी समूहों में दूसरा गुणनखंड समान हो। सामान्य शब्दों में, ऐसी अपघटन विधि को एक व्यंजक के रूप में दर्शाया जा सकता है:

पीएल + केएस + केएल + पीएस = (पीएल + पीएस) + (केएस + केएल) ⇒ पीएल + केएस + केएल + पीएस = पी (एल + एस) + के (एल + एस),

पीएल + केएस + केएल + पीएस = (पी + के) (एल + एस)।

• उदाहरण: 14mn + 16ln - 49m - 56l फैलाएं।

14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l) (2n - 7)।

बहुपद अपघटन विधि - एक पूर्ण वर्ग बनाना

बहुपद के अपघटन के दौरान यह विधि सबसे कुशल में से एक है। प्रारंभिक चरण में, उन मोनोमियल्स को निर्धारित करना आवश्यक है जिन्हें अंतर या योग के वर्ग में "मुड़ा" जा सकता है। इसके लिए, अनुपातों में से एक का उपयोग किया जाता है:

(पी - बी) 2 = पी 2 - 2पीबी + बी 2,

• उदाहरण:व्यंजक u 4 + 4u 2 - 1 का विस्तार कीजिए।

आइए हम इसके एकपदी में से उन पदों को अलग करें जो एक पूर्ण वर्ग बनाते हैं: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

= (यू 4 + 2 * 2यू 2 + 4) - 4 - 1 = (यू 4 + 2 * 2यू 2 + 4) - 5।

संक्षिप्त गुणन नियमों का उपयोग करके परिवर्तन को पूरा करें: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - 5) (u 2 + 2 + 5)।

इसलिए यू 4 + 4यू 2 - 1 = (यू 2 + 2 - -5) (यू 2 + 2 + 5)।

बहुपदों के गुणन को ध्यान में रखते हुए, हमने कई सूत्रों को याद किया, अर्थात्: (a + b) ², (a - b) ², के लिए (a + b) (a - b), (a + b) और के लिए सूत्र (ए - बी) के लिए।

यदि दिया गया बहुपद इन सूत्रों में से किसी एक के साथ मेल खाता है, तो इसे कारकों में विभाजित करना संभव होगा। उदाहरण के लिए, बहुपद a² - 2ab + b², हम जानते हैं, बराबर (a - b) [या (a - b) · (a - b) के बराबर है, अर्थात, हम a² - 2ab + b² को में विघटित करने में कामयाब रहे 2 कारक]; भी

आइए इन उदाहरणों में से दूसरे को देखें। हम देखते हैं कि यहां दिया गया बहुपद दो संख्याओं के अंतर (पहली संख्या का वर्ग, पहली संख्या और दूसरी से दो का गुणनफल, और दूसरी संख्या का वर्ग) के अंतर का वर्ग करने से प्राप्त सूत्र में फिट बैठता है: x 6 पहली संख्या का वर्ग है, और इसलिए, पहली संख्या स्वयं x 3 है, दूसरी संख्या का वर्ग इस बहुपद का अंतिम पद है, अर्थात 1, दूसरी संख्या स्वयं भी 1 है; दो और पहली संख्या का गुणनफल और दूसरा पद -2x 3 है, क्योंकि 2x 3 = 2 · x 3 · 1। इसलिए, हमारा बहुपद संख्याओं x 3 और 1 के बीच के अंतर को चुकता करके प्राप्त किया गया था, अर्थात, यह बराबर है (x 3 - 12 . आइए एक और चौथे उदाहरण पर विचार करें। हम देखते हैं कि इस बहुपद a 2 b 2 - 25 को दो संख्याओं के वर्गों के अंतर के रूप में माना जा सकता है, अर्थात् a 2 b 2 पहली संख्या के वर्ग के रूप में कार्य करता है, इसलिए पहली संख्या स्वयं ab है, का वर्ग दूसरी संख्या 25 है, दूसरी संख्या ही 5 क्यों है। इसलिए, हमारे बहुपद को दो संख्याओं के योग को उनके अंतर से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात।

(एबी + 5) (एबी - 5)।

कभी-कभी ऐसा होता है कि किसी दिए गए बहुपद में, शब्द उस क्रम में नहीं होते हैं जिसके लिए हम अभ्यस्त हैं, उदाहरण के लिए।

9a 2 + b 2 + 6ab - मानसिक रूप से हम दूसरे और तीसरे पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं, और तब हमें यह स्पष्ट हो जाएगा कि हमारा त्रिपद = (3a + b) 2.

... (चलो मानसिक रूप से पहले और दूसरे शब्दों की अदला-बदली करें)।

25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2, आदि।

बहुपद पर भी विचार करें

ए 2 + 2ab + 4b 2.

हम देखते हैं कि इसका पहला पद संख्या a का वर्ग है और तीसरा पद 2b का वर्ग है, लेकिन दूसरा पद पहली संख्या से दो का गुणनफल नहीं है और दूसरा, - ऐसा गुणनफल 2 के बराबर होगा ए 2बी = 4ab. इसलिए, इस बहुपद पर दो संख्याओं के योग के वर्ग का सूत्र लागू नहीं किया जा सकता है। यदि किसी ने लिखा है कि a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, तो यह गलत होगा - आपको बहुपद के सभी पदों पर सूत्रों द्वारा गुणनखंड लागू करने से पहले सावधानीपूर्वक विचार करना चाहिए।

40. दोनों तकनीकों का मेल... कभी-कभी, बहुपदों को गुणनखंडों में विभाजित करते समय, आपको कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने की विधि और सूत्रों को लागू करने की विधि दोनों को मिलाना पड़ता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

१.२ए ३ - २एबी २. सबसे पहले, हम कोष्ठक के बाहर उभयनिष्ठ गुणनखंड 2a निकालते हैं, - हमें 2a (a 2 - b 2) मिलता है। कारक ए 2 - बी 2, बदले में, सूत्र द्वारा कारकों (ए + बी) और (ए - बी) में विघटित होता है।

कभी-कभी सूत्रों द्वारा अपघटन की विधि को कई बार लागू करना आवश्यक होता है:

1.ए 4 - बी 4 = (ए 2 + बी 2) (ए 2 - बी 2)

हम देखते हैं कि पहला गुणनखंड a 2 + b 2 किसी भी परिचित सूत्र में फिट नहीं बैठता है; इसके अलावा, विभाजन के विशेष मामलों (आइटम 37) को याद करते हुए, हम यह स्थापित करेंगे कि a 2 + b 2 (दो संख्याओं के वर्गों का योग) बिल्कुल भी गुणनखंड नहीं किया जा सकता है। प्राप्त कारकों में से दूसरा 2 - बी 2 (दो संख्याओं के वर्ग का अंतर) कारकों (ए + बी) और (ए - बी) में विघटित होता है। इसलिए,

41. विभाजन के विशेष मामलों का आवेदन... खंड 37 के आधार पर, हम तुरंत लिख सकते हैं कि, उदाहरण के लिए,