संगत कोण सीधे होते हैं। दो सीधी रेखाओं के समांतरता के लक्षण

मान लीजिए कि रेखा c समानांतर रेखाओं a और b को काटती है। इससे आठ कोने बनते हैं। समांतर सीधी रेखाओं और छेदक रेखाओं पर कोणों का उपयोग अक्सर समस्याओं में किया जाता है कि उन्हें ज्यामिति में विशेष नाम दिए जाते हैं।

कोण 1 और 3 - खड़ा।जाहिर है, ऊर्ध्वाधर कोण समान हैं,अर्थात्
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

बेशक, कोने 5 और 7, 6 और 8 भी लंबवत हैं।

कोण 1 और 2 - सटा हुआ, हम पहले से ही जानते हैं। आसन्न कोणों का योग 180º है।

कोण 3 और 5 (साथ ही 2 और 8, 1 और 7, 4 और 6) क्रॉसवर्ड हैं। क्रॉसवाइज स्थित कोण बराबर होते हैं।
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

कोण 1 और 6 - एकतरफा।वे पूरी "संरचना" के एक तरफ स्थित हैं। कोण 4 और 7 भी एकतरफा हैं। एक तरफा कोणों का योग 180° . होता है, अर्थात्
1 + 6 = 180 °,
4 + 7 = 180 °।

कोण 2 और 6 (साथ ही 3 और 7, 1 और 5, 4 और 8) कहलाते हैं अपने अपने.

संगत कोण बराबर होते हैं, अर्थात्
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

कोण 3 और 5 (साथ ही 2 और 8, 1 और 7, 4 और 6) कहलाते हैं क्रॉसवाइज झूठ बोलना.

क्रॉसवाइज झूठ बोलने वाले कोण बराबर होते हैं, अर्थात्
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

USE की समस्याओं को हल करने में इन सभी तथ्यों को लागू करने के लिए, आपको उन्हें ड्राइंग पर देखना सीखना होगा। उदाहरण के लिए, एक समांतर चतुर्भुज या समलम्बाकार को देखते हुए, आप समानांतर रेखाओं और एक छेदक के साथ-साथ एक तरफा कोनों की एक जोड़ी देख सकते हैं। समांतर चतुर्भुज का विकर्ण खींचकर, हम एक क्रॉस में स्थित कोणों को देखते हैं। यह समाधान बनाने वाले चरणों में से एक है।

1. एक समांतर चतुर्भुज के अधिक कोण का समद्विभाजक विपरीत भुजा को अधिक कोण के शीर्ष से गिनते हुए 3:4 के अनुपात में विभाजित करता है। समांतर चतुर्भुज की बड़ी भुजा ज्ञात कीजिए यदि इसका परिमाप 88 है।

याद रखें कि कोण का समद्विभाजक कोण के शीर्ष से निकलने वाली और कोण को समद्विभाजित करने वाली किरण है।

मान लीजिए BM एक अधिक कोण B का समद्विभाजक है। शर्त के अनुसार, खंड MD और AB क्रमशः 3x और 4x के बराबर हैं।

सीबीएम और वीएमए कोणों पर विचार करें। चूँकि AD और समानांतर हैं, एक छेदक है, कोण CBM और क्रॉस-लेट हैं। हम जानते हैं कि इसके पार स्थित कोण बराबर होते हैं। इसका अर्थ है कि त्रिभुज ABM समद्विबाहु है, इसलिए AB = AM = 4x।

एक समांतर चतुर्भुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं का योग होता है, अर्थात्
7x + 7x + 4x + 4x = 88.
अत: x = 4, 7x = 28.

2. समांतर चतुर्भुज का विकर्ण इसकी दो भुजाओं से 26º और 34º के कोण बनाता है। समांतर चतुर्भुज का बड़ा कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में दें।

एक समांतर चतुर्भुज और उसका विकर्ण खींचिए। ड्राइंग में झूठ बोलने वाले कोनों और एक तरफा कोनों को देखते हुए, आपको आसानी से उत्तर मिल जाएगा: 120º।

3. समद्विबाहु समलंब का बड़ा कोण क्या होगा यदि यह ज्ञात हो कि सम्मुख कोणों के बीच का अंतर 50 डिग्री है? अपना उत्तर अंशों में दें।

हम वह जानते हैं समद्विबाहु(या समद्विबाहु) एक समलम्बाकार कहलाता है, जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए, शीर्ष आधार पर कोण बराबर होते हैं, साथ ही नीचे के आधार पर भी कोण होते हैं।

आइए ड्राइंग पर एक नज़र डालें। शर्त के अनुसार, α - β = 50 °, यानी α = β + 50 °।

कोण α और β समानांतर सीधी रेखाओं और एक छेदक के साथ एकतरफा हैं, इसलिए,
α + β = 180 °।

तो 2β + 50 ° = 180 °
β = 65 °, फिर α = 115 °।

उत्तर 115.

EGE-अध्ययन »पद्धति संबंधी सामग्री» ज्यामिति: शून्य से C4 तक »एक त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक

दो सीधी रेखाओं के समांतरता के लक्षण

प्रमेय 1. यदि दो छेदक रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर:

क्रॉस-क्रॉसिंग कोण बराबर हैं, या

संगत कोण बराबर हैं, या

एक तरफा कोणों का योग 180° होता है, तो

सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं(चित्र एक)।

सबूत। हम खुद को केस 1 के सबूत तक सीमित रखते हैं।

मान लीजिए कि रेखाओं a और b खण्ड AB के प्रतिच्छेदन पर प्रतिच्छेद करने वाले कोण बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, 4 = 6. आइए हम सिद्ध करें कि a || बी।

मान लीजिए कि रेखाएँ a और b समानांतर नहीं हैं। फिर वे किसी बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसलिए, कोण 4 या 6 में से एक त्रिभुज ABM का बाहरी कोना होगा। मान लीजिए, निश्चितता के लिए, 4 त्रिभुज ABM का बाहरी कोना है, और ∠ 6 - आंतरिक एक। एक त्रिभुज के बाहरी कोण पर प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि 4 ∠ 6 से बड़ा है, और यह इस शर्त का खंडन करता है, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ a और 6 प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं, इसलिए वे समानांतर हैं।

कोरोलरी 1. एक ही सीधी रेखा के लंबवत समतल में दो अलग-अलग सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं(रेखा चित्र नम्बर 2)।

टिप्पणी। जिस तरह से हमने प्रमेय 1 के केस 1 को अभी-अभी सिद्ध किया है, उसे विरोधाभास या गैरबराबरी में कमी कहा जाता है। इस पद्धति को अपना पहला नाम इसलिए मिला क्योंकि तर्क की शुरुआत में, एक धारणा बनाई जाती है जो साबित करने के लिए आवश्यक के विपरीत (विपरीत) है। इसे गैरबराबरी में कमी कहा जाता है क्योंकि, की गई धारणा के आधार पर बहस करते हुए, हम एक बेतुके निष्कर्ष (एक बेतुकेपन के लिए) पर आते हैं। इस तरह के निष्कर्ष की प्राप्ति हमें शुरुआत में की गई धारणा को अस्वीकार करने के लिए मजबूर करती है और जिसे साबित करने की आवश्यकता थी उसे स्वीकार करने के लिए।

उद्देश्य 1.किसी दिए गए बिंदु M से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा की रचना कीजिए और एक दी गई सीधी रेखा a के समानांतर, एक बिंदु M से न गुजरते हुए।

समाधान। बिंदु M से होकर एक सीधी रेखा a पर लंबवत एक सीधी रेखा p खींचिए (चित्र 3)।

फिर हम बिंदु M से एक सीधी रेखा p पर लंबवत एक सीधी रेखा b खींचते हैं। प्रमेय 1 के उपफल के अनुसार रेखा b, रेखा a के समानांतर है।

विचाराधीन समस्या से एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकलता है:
उस बिंदु से होकर जो किसी दी गई सीधी रेखा पर नहीं है, आप किसी दिए गए के समानांतर एक सीधी रेखा हमेशा खींच सकते हैं.

समांतर रेखाओं का मुख्य गुण इस प्रकार है।

समानांतर रेखाओं का अभिगृहीत। किसी दिए गए बिंदु से, जो किसी दी गई सीधी रेखा पर नहीं पड़ता है, केवल एक सीधी रेखा, दी गई रेखा के समानांतर, गुजरती है।

समानांतर रेखाओं के कुछ गुणों पर विचार करें जो इस अभिगृहीत से अनुसरण करते हैं।

1) यदि कोई रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक को काटती है, तो वह दूसरी को भी काटती है (चित्र 4)।

2) यदि दो अलग-अलग रेखाएं तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे समानांतर हैं (चित्र 5)।

निम्नलिखित प्रमेय भी सत्य है।

प्रमेय 2. यदि दो समानांतर रेखाएं एक छेदक द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं, तो:

क्रॉस-क्रॉसिंग कोण बराबर हैं;

संगत कोण बराबर हैं;

एक तरफा कोणों का योग 180° होता है।

कोरोलरी 2. यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से एक के लंबवत है, तो यह दूसरी पर लंबवत है(अंजीर देखें। 2)।

टिप्पणी। प्रमेय 2 को प्रमेय 1 का विलोम कहा जाता है। प्रमेय 1 का निष्कर्ष प्रमेय 2 की शर्त है। और प्रमेय 1 की शर्त प्रमेय 2 का निष्कर्ष है। प्रत्येक प्रमेय का विलोम नहीं होता है, अर्थात यदि यह प्रमेय सत्य है। , तो प्रमेय का विलोम सत्य नहीं हो सकता है।

आइए हम ऊर्ध्वाधर कोणों पर प्रमेय के उदाहरण का उपयोग करके इसकी व्याख्या करें। इस प्रमेय को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: यदि दो कोण लंबवत हैं, तो वे बराबर हैं। इसके विपरीत प्रमेय इस प्रकार होगा: यदि दो कोण बराबर हैं, तो वे लंबवत हैं। और यह, ज़ाहिर है, सच नहीं है। दो समान कोणों का लंबवत होना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है।

उदाहरण 1।दो समानांतर रेखाओं को एक तिहाई से पार किया जाता है। यह ज्ञात है कि दो आंतरिक एकतरफा कोणों के बीच का अंतर 30 ° है। इन कोनों को खोजें।

समाधान। मान लीजिए चित्र 6 इस शर्त को पूरा करता है।

प्रश्न 1।किन कोणों को आसन्न कहा जाता है?
उत्तर।दो कोनों को आसन्न कहा जाता है यदि उनका एक पक्ष समान है, और इन कोनों के अन्य किनारे अतिरिक्त अर्ध-रेखाएं हैं।
चित्र 31 में, कोण (a 1 b) और (a 2 b) आसन्न हैं। उनके पास बी आम है, और पक्ष 1 और 2 अतिरिक्त अर्ध-रेखाएं हैं।

प्रश्न 2।सिद्ध कीजिए कि आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
उत्तर। प्रमेय 2.1.आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
सबूत।मान लीजिए कोण (a 1 b) और कोण (a 2 b) दिए गए आसन्न कोण हैं (देखिए आकृति 31)। रे बी विकसित कोने के 1 और 2 पक्षों के बीच से गुजरता है। इसलिए, कोणों (ए 1 बी) और (ए 2 बी) का योग विस्तारित कोण के बराबर है, यानी 180 डिग्री। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 3।सिद्ध कीजिए कि यदि दो कोण बराबर हों, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।
उत्तर।

प्रमेय से 2.1 यह इस प्रकार है कि यदि दो कोण बराबर हैं, तो उनके आसन्न कोण बराबर हैं।
मान लीजिए कि कोण (a 1 b) और (c 1 d) बराबर हैं। हमें यह सिद्ध करना है कि कोण (a 2 b) और (c 2 d) भी बराबर हैं।
आसन्न कोणों का योग 180° होता है। इससे यह पता चलता है कि a 1 b + a 2 b = 180 ° और c 1 d + c 2 d = 180 °। अत: a 2 b = 180 ° - a 1 b और c 2 d = 180 ° - c 1 d। चूँकि कोण (a 1 b) और (c 1 d) बराबर हैं, हम पाते हैं कि a 2 b = 180 ° - a 1 b = c 2 d। समान चिह्न की ट्रांजिटिविटी के गुण से, यह इस प्रकार है कि a 2 b = c 2 d। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 4.किस कोण को समकोण (तीव्र, अधिक) कहते हैं?
उत्तर। 90° के बराबर कोण को समकोण कहते हैं।
90° से कम के कोण को न्यून कोण कहते हैं।
90° से अधिक और 180° से कम के कोण को अधिक कोण कहते हैं।

प्रश्न 5.सिद्ध कीजिए कि समकोण से लगा हुआ कोण समकोण होता है।
उत्तर।आसन्न कोणों के योग पर प्रमेय से यह निम्नानुसार है कि एक समकोण से सटा कोण एक समकोण है: x + 90 ° = 180 °, x = 180 ° - 90 °, x = 90 °।

प्रश्न 6.किन कोणों को उर्ध्वाधर कहा जाता है?
उत्तर।दो कोनों को लंबवत कहा जाता है यदि एक कोने के किनारे दूसरे के पूरक आधे सीधे पक्ष होते हैं।

प्रश्न 7.सिद्ध कीजिए कि उर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं।
उत्तर। प्रमेय 2.2. ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं।
सबूत।मान लीजिए (a 1 b 1) और (a 2 b 2) दिए गए ऊर्ध्वाधर कोण हैं (अंजीर। 34)। कोण (ए 1 बी 2) कोण (ए 1 बी 1) और कोण (ए 2 बी 2) के निकट है। इसलिए, आसन्न कोणों के योग पर प्रमेय द्वारा, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि प्रत्येक कोण (ए 1 बी 1) और (ए 2 बी 2) कोण (ए 1 बी 2) को 180 डिग्री तक पूरक करता है, यानी। कोण (a 1 b 1) और (a 2 b 2) बराबर हैं। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 8.सिद्ध कीजिए कि यदि दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एक कोना एक सीधी रेखा है, तो अन्य तीन कोने भी सीधी रेखाएँ हैं।
उत्तर।मान लीजिए कि रेखाएँ AB और CD एक दूसरे से O बिंदु पर मिलती हैं। मान लीजिए कि कोण AOD 90 ° है। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° होता है, हम पाते हैं कि AOC = 180 ° -AOD = 180 ° - 90 ° = 90 °। COB कोण AOD कोण के लंबवत है, इसलिए वे बराबर हैं। यानी COB कोण = 90°। COA BOD के लंबवत है, इसलिए वे बराबर हैं। यानी BOD कोण 90° होता है। इस प्रकार, सभी कोण 90 ° के बराबर होते हैं, अर्थात वे सभी समकोण होते हैं। क्यू.ई.डी.

प्रश्न 9.कौन सी सीधी रेखाएँ लंबवत कहलाती हैं? सीधी रेखाओं के लम्बवत्ता को दर्शाने के लिए किस चिन्ह का प्रयोग किया जाता है?
उत्तर।दो सीधी रेखाएँ लंबवत कहलाती हैं यदि वे समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखाओं की लंबता को \ (\ perp \) द्वारा निरूपित किया जाता है। प्रविष्टि \ (a \ perp b \) में लिखा है: "रेखा a, रेखा b के लंबवत है"।

प्रश्न 10.सिद्ध कीजिए कि एक सीधी रेखा के किसी भी बिंदु से होकर आप उस पर लम्बवत एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।
उत्तर। प्रमेय 2.3.प्रत्येक सीधी रेखा के माध्यम से, आप उस पर लंबवत एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।
सबूत।मान लीजिए कि एक दी गई रेखा है और A उस पर एक दिया हुआ बिंदु है। आइए हम एक प्रारंभिक बिंदु A (चित्र 38) के साथ सीधी रेखा a की अर्ध-रेखाओं में से 1 को निरूपित करें। आइए अर्ध-पंक्ति a 1 से 90° के बराबर कोण (a 1 b 1) को अलग रखें। तब किरण b 1 वाली सीधी रेखा सीधी रेखा a के लंबवत होगी।

मान लीजिए कि एक अन्य रेखा भी है, जो बिंदु A से होकर जाती है और रेखा a के लंबवत है। मान लीजिए c 1 इस रेखा की अर्ध-रेखा को निरूपित करता है जो किरण b 1 के साथ उसी अर्ध-तल में स्थित है।
कोण (a 1 b 1) और (a 1 c 1), प्रत्येक 90 ° के बराबर, अर्ध-पंक्ति a 1 से एक आधे-तल में प्लॉट किए जाते हैं। लेकिन अर्ध-पंक्ति 1 से इस अर्ध-तल में, 90 ° के बराबर केवल एक कोण को स्थगित किया जा सकता है। इसलिए, बिंदु A से होकर जाने वाली सीधी रेखा a के लंबवत और दूसरी सीधी रेखा नहीं होनी चाहिए। प्रमेय सिद्ध होता है।

प्रश्न 11.एक रेखा के लंबवत क्या है?
उत्तर।किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत एक सीधी रेखा का एक खंड होता है जो किसी दिए गए के लंबवत होता है, जिसका एक छोर उनका प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। खंड के इस छोर को कहा जाता है आधारलंबवत।

प्रश्न 12.बताएं कि विपरीत प्रमाण क्या है।
उत्तर।प्रमेय 2.3 में हमने जिस उपपत्ति की विधि का प्रयोग किया है, वह विरोधाभास द्वारा उपपत्ति कहलाती है। सिद्ध करने का यह तरीका है कि हम पहले प्रमेय के दावों के विपरीत एक धारणा बनाते हैं। फिर, तर्क द्वारा, अभिगृहीतों और सिद्ध प्रमेयों पर भरोसा करते हुए, हम एक निष्कर्ष पर पहुँचते हैं जो या तो प्रमेय की स्थिति का खंडन करता है, या किसी एक स्वयंसिद्ध, या पहले सिद्ध किए गए प्रमेय का खंडन करता है। इस आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि हमारी धारणा गलत थी, जिसका अर्थ है कि प्रमेय का कथन सत्य है।

प्रश्न 13.कोण का समद्विभाजक क्या कहलाता है?
उत्तर।कोण का समद्विभाजक एक किरण है जो कोण के शीर्ष से निकलती है, इसकी भुजाओं के बीच से गुजरती है और कोण को आधे में विभाजित करती है।