अक्ष के बारे में आंकड़ों की समरूपता। केंद्रीय और अक्षीय समरूपता

मैं ... गणित में समरूपता :

बुनियादी अवधारणाएँ और परिभाषाएँ।

अक्षीय समरूपता (परिभाषाएं, निर्माण योजना, उदाहरण)

केंद्रीय समरूपता (परिभाषाएं, निर्माण योजना, के लिएउपाय)

सारांश तालिका (सभी गुण, सुविधाएँ)

द्वितीय ... समरूपता अनुप्रयोग:

1) गणित में

2) रसायन शास्त्र में

3) जीव विज्ञान, वनस्पति विज्ञान और प्राणीशास्त्र में in

4) कला, साहित्य और वास्तुकला में

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1. समरूपता और उसके प्रकारों की मूल अवधारणाएँ।

समरूपता की अवधारणा n आरमानव जाति के पूरे इतिहास से गुजरता है। यह पहले से ही मानव ज्ञान के मूल में पाया जाता है। यह एक जीवित जीव, अर्थात् एक व्यक्ति के अध्ययन के संबंध में उत्पन्न हुआ। और इसका उपयोग मूर्तिकारों द्वारा 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में किया गया था। इ। शब्द "समरूपता" ग्रीक है, इसका अर्थ है "आनुपातिकता, आनुपातिकता, भागों की व्यवस्था में एकरूपता।" बिना किसी अपवाद के आधुनिक विज्ञान के सभी क्षेत्रों में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कई महान लोगों ने इस पैटर्न के बारे में सोचा। उदाहरण के लिए, एलएन टॉल्स्टॉय ने कहा: "एक ब्लैक बोर्ड के सामने खड़े होकर और चाक से उस पर अलग-अलग आंकड़े खींचते हुए, मुझे अचानक यह विचार आया: आंख को समरूपता स्पष्ट क्यों है? समरूपता क्या है? यह एक सहज भावना है, मैंने खुद को जवाब दिया। क्या उस पर आधारित है? " दरअसल, समरूपता आंख को भाती है। प्रकृति की रचनाओं की समरूपता की प्रशंसा किसने नहीं की: पत्ते, फूल, पक्षी, जानवर; या मानव रचनाएँ: भवन, तकनीक, - वह सब कुछ जो हमें बचपन से घेरे हुए है, जो सुंदरता और सद्भाव के लिए प्रयास करते हैं। हरमन वेइल ने कहा: "समरूपता वह विचार है जिसके माध्यम से मनुष्य ने सदियों से व्यवस्था, सौंदर्य और पूर्णता को समझने और बनाने की कोशिश की है।" हरमन वेइल एक जर्मन गणितज्ञ हैं। उनकी गतिविधि बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्ध में आती है। यह वह था जिसने समरूपता की परिभाषा तैयार की, जो किसी विशेष मामले में उपस्थिति या इसके विपरीत, समरूपता की अनुपस्थिति को देखने के लिए किस मानदंड द्वारा स्थापित की गई थी। इस प्रकार, गणितीय रूप से कठोर अवधारणा अपेक्षाकृत हाल ही में बनाई गई थी - बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में। यह काफी जटिल है। हम मुड़ेंगे और पाठ्यपुस्तक में हमें दी गई परिभाषाओं को एक बार फिर याद करेंगे।

2. अक्षीय समरूपता।

२.१ बुनियादी परिभाषाएँ

परिभाषा. दो बिंदु A और A 1 को सीधी रेखा a के संबंध में सममित कहा जाता है यदि यह सीधी रेखा खंड AA 1 के मध्य से होकर गुजरती है और इसके लंबवत है। सीधी रेखा a का प्रत्येक बिंदु अपने आप में सममित माना जाता है।

परिभाषा. एक सीधी रेखा के परितः सममित आकृति कहलाती है। लेकिन अयदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए एक सीधी रेखा के संबंध में सममित बिंदु है लेकिन अभी इस आंकड़े के अंतर्गत आता है। सीधे लेकिन अआकृति की सममिति की धुरी कहलाती है। यह भी कहा जाता है कि आकृति में अक्षीय समरूपता है।

२.२ भवन योजना

और इसलिए, प्रत्येक बिंदु से एक सीधी रेखा के सापेक्ष एक सममित आकृति बनाने के लिए, हम इस सीधी रेखा पर एक लंब खींचते हैं और इसे समान दूरी तक बढ़ाते हैं, परिणामी बिंदु को चिह्नित करते हैं। हम प्रत्येक बिंदु के साथ ऐसा करते हैं, हमें नए आकार के सममित शिखर मिलते हैं। फिर हम उन्हें श्रृंखला में जोड़ते हैं और इस सापेक्ष अक्ष की एक सममित आकृति प्राप्त करते हैं।

2.3 अक्षीय समरूपता वाली आकृतियों के उदाहरण।

3. केंद्रीय समरूपता

३.१ बुनियादी परिभाषाएँ

परिभाषा. दो बिंदु A और A 1 बिंदु O के संबंध में सममित कहलाते हैं यदि O खंड AA 1 का मध्य है। बिंदु O को अपने आप में सममित माना जाता है।

परिभाषा.एक आकृति को बिंदु O के बारे में सममित कहा जाता है यदि आकृति के प्रत्येक बिंदु के लिए बिंदु O के बारे में सममित बिंदु भी इसी आकृति से संबंधित है।

३.२ योजना बनाएं

केंद्र O के बारे में दिए गए त्रिभुज के सममित त्रिभुज की रचना।

एक बिंदु के सममित बिंदु को आकर्षित करने के लिए लेकिन अबिंदु के सापेक्ष के बारे में, यह एक सीधी रेखा खींचने के लिए पर्याप्त है ओए(अंजीर। 46 ) और बिंदु के दूसरी तरफ के बारे मेंखंड के बराबर खंड स्थगित ओए. दूसरे शब्दों में , अंक ए और ; में और ; और साथ किसी बिंदु O के संबंध में सममित हैं। अंजीर में। 46 ने त्रिभुज के सममित त्रिभुज का निर्माण किया एबीसी बिंदु के सापेक्ष के बारे में।ये त्रिभुज बराबर होते हैं।

केंद्र के बारे में सममित बिंदु बनाता है।

आकृति में, बिंदु M और M 1, N और N 1 बिंदु O के बारे में सममित हैं, और बिंदु P और Q इस बिंदु के बारे में सममित नहीं हैं।

सामान्य तौर पर, किसी बिंदु के बारे में सममित आंकड़े बराबर होते हैं .

3.3 उदाहरण

केंद्रीय समरूपता वाले आंकड़ों के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं। केंद्रीय समरूपता वाली सबसे सरल आकृतियाँ वृत्त और समांतर चतुर्भुज हैं।

बिंदु O को आकृति की सममिति का केंद्र कहा जाता है। ऐसे मामलों में, आकृति में केंद्रीय समरूपता होती है। एक वृत्त की सममिति का केंद्र वृत्त का केंद्र होता है, और समांतर चतुर्भुज की सममिति का केंद्र उसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

सीधी रेखा में केंद्रीय समरूपता भी होती है, हालांकि, वृत्त और समांतर चतुर्भुज के विपरीत, जिसमें सममिति का केवल एक केंद्र होता है (आकृति में बिंदु O), सीधी रेखा में अनंत रूप से उनमें से कई होते हैं - सीधी रेखा का कोई भी बिंदु इसका केंद्र होता है समरूपता का।

आंकड़े शीर्ष के बारे में सममित कोण दिखाते हैं, केंद्र के बारे में दूसरे खंड के सममित एक खंड लेकिन अऔर इसके शीर्ष के बारे में एक चतुर्भुज सममित म।

एक ऐसी आकृति का उदाहरण जिसमें सममिति का केंद्र नहीं है, एक त्रिभुज है।

4. पाठ सारांश

आइए प्राप्त ज्ञान को संक्षेप में प्रस्तुत करें। आज पाठ में हम दो मुख्य प्रकार की समरूपता से परिचित हुए: केंद्रीय और अक्षीय। आइए स्क्रीन को देखें और प्राप्त ज्ञान को व्यवस्थित करें।

सारांश तालिका

	अक्षीय समरूपता	केंद्रीय समरूपता
फ़ीचर	आकृति के सभी बिंदु किसी न किसी सीधी रेखा के सममित होने चाहिए।	आकृति के सभी बिंदुओं को सममिति के केंद्र के रूप में चुने गए बिंदु के बारे में सममित होना चाहिए।
गुण	1. सममित बिंदु एक सीधी रेखा के लंबों पर स्थित होते हैं। 3. सीधी रेखाएं सीधी रेखाओं में बदल जाती हैं, कोण समान कोणों में। 4. आकृतियों के आकार और आकार सहेजे जाते हैं।	1. सममित बिंदु केंद्र से गुजरने वाली एक सीधी रेखा और आकृति के दिए गए बिंदु पर स्थित होते हैं। 2. एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी एक सीधी रेखा से एक सममित बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है। 3. आकृतियों के आकार और आकार सहेजे जाते हैं।

द्वितीय. समरूपता लागू करना

© ऐलेना व्लादिमीरोवना सुखाचेवा, 2008-2009।

कुछ ज्यामितीय आकृतियों के गुणों के रूप में अक्षीय और केंद्रीय समरूपता पर विचार करें; कुछ ज्यामितीय आकृतियों के गुणों के रूप में अक्षीय और केंद्रीय समरूपता पर विचार करें; सममित बिंदुओं का निर्माण करने में सक्षम हो और उन आकृतियों को पहचानने में सक्षम हो जो किसी बिंदु या रेखा के बारे में सममित हों; सममित बिंदुओं का निर्माण करने में सक्षम हो और उन आकृतियों को पहचानने में सक्षम हो जो किसी बिंदु या रेखा के बारे में सममित हों; समस्या समाधान कौशल में सुधार; समस्या समाधान कौशल में सुधार; ज्यामितीय ड्राइंग को रिकॉर्ड करने और पूरा करने की सटीकता पर काम करना जारी रखें; ज्यामितीय ड्राइंग को रिकॉर्ड करने और पूरा करने की सटीकता पर काम करना जारी रखें;

मौखिक कार्य "सौम्य सर्वेक्षण" मौखिक कार्य "सौम्य सर्वेक्षण" किस बिंदु को खंड का मध्य कहा जाता है? समद्विबाहु त्रिभुज किसे कहते हैं? समचतुर्भुज विकर्णों में क्या गुण होते हैं? एक समद्विबाहु त्रिभुज के समद्विभाजक का गुणधर्म बनाइए। कौन सी सीधी रेखाएँ लंबवत कहलाती हैं? किस त्रिभुज को समबाहु कहा जाता है? एक वर्ग के विकर्णों में क्या गुण होते हैं? क्या अंक समान कहलाते हैं?

पाठ में आपको कौन सी नई अवधारणाएँ मिलीं? पाठ में आपको कौन सी नई अवधारणाएँ मिलीं? ज्यामितीय आकृतियों के बारे में नया क्या है? ज्यामितीय आकृतियों के बारे में नया क्या है? अक्षीय सममित ज्यामितीय आकृतियों के उदाहरण दीजिए। अक्षीय सममित ज्यामितीय आकृतियों के उदाहरण दीजिए। केंद्रीय सममिति वाली आकृतियों का एक उदाहरण दीजिए। केंद्रीय सममिति वाली आकृतियों का एक उदाहरण दीजिए। अपने आसपास के जीवन से उन वस्तुओं के उदाहरण दीजिए जिनमें एक या दो प्रकार की सममिति होती है। आसपास के जीवन से वस्तुओं के उदाहरण दें जिनमें एक या दो प्रकार की समरूपता हो।

उद्देश्य:

• शैक्षिक:
  • समरूपता का विचार दें;
  • विमान और अंतरिक्ष में बुनियादी प्रकार की समरूपता से परिचित होना;
  • सममित आंकड़े बनाने में मजबूत कौशल विकसित करना;
  • समरूपता से जुड़े गुणों का परिचय देते हुए, प्रसिद्ध आंकड़ों की समझ का विस्तार करें;
  • विभिन्न समस्याओं को हल करने में सममिति के उपयोग की संभावनाओं को दिखा सकेंगे;
  • प्राप्त ज्ञान को समेकित करें;
• सामान्य शैक्षिक:
  • काम के लिए खुद को स्थापित करना सिखाएं;
  • अपने और अपने पड़ोसी को अपनी मेज पर नियंत्रित करना सिखाएं;
  • अपने और अपने डेस्कमेट का मूल्यांकन करना सिखाएं;
• विकसित होना:
  • स्वतंत्र गतिविधि को तेज करने के लिए;
  • संज्ञानात्मक गतिविधि विकसित करना;
  • प्राप्त जानकारी को सामान्य बनाना और व्यवस्थित करना सिखाएं;
• शैक्षिक:
  • छात्रों के बीच "कंधे की भावना" को बढ़ावा देना;
  • संचार को बढ़ावा देना;
  • संचार की संस्कृति विकसित करें।

कक्षाओं के दौरान

प्रत्येक के सामने कैंची और कागज की एक शीट है।

अभ्यास 1(3 मिनट)।

"चलो कागज की एक शीट लेते हैं, इसे टुकड़ों में मोड़ते हैं और कुछ मूर्ति काटते हैं। अब शीट का विस्तार करें और फोल्ड लाइन को देखें।

सवाल:इस लाइन का क्या काम है?

माना उत्तर:यह रेखा आकृति को आधे में विभाजित करती है।

सवाल:आकृति के सभी बिंदु दो परिणामी हिस्सों पर कैसे स्थित हैं?

माना उत्तर:हिस्सों के सभी बिंदु गुना रेखा से समान दूरी पर और समान स्तर पर हैं।

- इसका मतलब है कि गुना रेखा आकृति को आधे में विभाजित करती है ताकि 1 आधा 2 हिस्सों की एक प्रति हो, यानी। यह रेखा सरल नहीं है, इसमें एक उल्लेखनीय गुण है (सभी बिंदु इसके सापेक्ष समान दूरी पर हैं), यह रेखा समरूपता की धुरी है।

असाइनमेंट 2 (दो मिनट)।

- एक बर्फ के टुकड़े को काटें, समरूपता की धुरी का पता लगाएं, इसकी विशेषता बताएं।

असाइनमेंट 3 (5 मिनट)।

- एक नोटबुक में एक वृत्त बनाएं।

सवाल:निर्धारित करें कि समरूपता की धुरी कैसे चलती है?

माना उत्तर:अलग ढंग से।

सवाल:तो एक वृत्त में सममिति के कितने अक्ष होते हैं?

माना उत्तर:लॉट।

- यह सही है, एक वृत्त में समरूपता की कई कुल्हाड़ियाँ होती हैं। वही उल्लेखनीय आकृति गेंद है (स्थानिक आकृति)

सवाल:किन अन्य आकृतियों में एक से अधिक सममिति अक्ष हैं?

माना उत्तर:वर्ग, आयत, समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज।

- वॉल्यूमेट्रिक आंकड़ों पर विचार करें: घन, पिरामिड, शंकु, सिलेंडर, आदि। इन आकृतियों में सममिति का अक्ष भी होता है। निर्धारित करें कि वर्ग, आयत, समबाहु त्रिभुज और प्रस्तावित आयतन आकृतियों में कितनी सममिति की कुल्हाड़ियाँ हैं?

मैं छात्रों को प्लास्टिसिन के आंकड़ों के आधे हिस्से को वितरित करता हूं।

असाइनमेंट 4 (3 मिनट)।

- प्राप्त जानकारी का उपयोग करके आकृति के छूटे हुए भाग को भरें।

ध्यान दें: आंकड़ा तलीय और आयतन दोनों हो सकता है। यह महत्वपूर्ण है कि छात्र यह निर्धारित करें कि समरूपता की धुरी कैसे जाती है और लापता टुकड़े को पूरा करें। निष्पादन की शुद्धता पड़ोसी द्वारा डेस्क पर निर्धारित की जाती है, यह आकलन करती है कि काम कितनी सही ढंग से किया गया है।

डेस्कटॉप पर एक ही रंग के फीते से एक रेखा बिछाई जाती है (बंद, खुली, स्व-चौराहे के साथ, बिना आत्म-चौराहे के)।

असाइनमेंट 5 (समूह कार्य 5 मिनट)।

- समरूपता की धुरी को नेत्रहीन रूप से निर्धारित करें और इसके सापेक्ष एक अलग रंग के फीते से दूसरे भाग का निर्माण करें।

प्रदर्शन किए गए कार्य की शुद्धता छात्रों द्वारा स्वयं निर्धारित की जाती है।

चित्र के तत्व छात्रों को प्रस्तुत किए जाते हैं

असाइनमेंट 6 (दो मिनट)।

- इन पैटर्न के सममित भागों का पता लगाएं।

पारित सामग्री को समेकित करने के लिए, मैं निम्नलिखित कार्यों का प्रस्ताव करता हूं, जो 15 मिनट के लिए प्रदान किए जाते हैं:

त्रिभुज KOR और KOM के सभी समान तत्वों के नाम लिखिए। इन त्रिभुजों का स्वरूप कैसा है?

2. एक नोटबुक में कई समद्विबाहु त्रिभुज बनाएं जिनका उभयनिष्ठ आधार 6 सेमी है।

3. रेखाखंड AB खींचिए। रेखा खंड AB पर लंबवत और उसके मध्य से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा की रचना कीजिए। उस पर C और D इस प्रकार अंकित करें कि चतुर्भुज ACBD रेखा AB के सापेक्ष सममित हो।

- फॉर्म के बारे में हमारे शुरुआती विचार प्राचीन पाषाण युग - पुरापाषाण काल ​​​​के बहुत दूर के युग के हैं। इस अवधि के सैकड़ों सहस्राब्दियों तक, लोग गुफाओं में रहते थे, ऐसी परिस्थितियों में जो जानवरों के जीवन से बहुत अलग नहीं थे। मनुष्यों ने शिकार और मछली पकड़ने के लिए उपकरण बनाए, एक-दूसरे के साथ संवाद करने के लिए भाषाएं विकसित कीं, और पुरापाषाण काल ​​के उत्तरार्ध में अपने अस्तित्व को सुशोभित किया, कला, मूर्तियों और रेखाचित्रों का निर्माण किया जो रूप की अद्भुत भावना को प्रकट करते हैं।
जब भोजन के साधारण संग्रह से उसके सक्रिय उत्पादन में, शिकार और मछली पकड़ने से कृषि में संक्रमण हुआ, तो मानव जाति एक नए पाषाण युग, नवपाषाण युग में प्रवेश करती है।
नवपाषाण काल ​​के मनुष्य को ज्यामितीय आकार की गहरी समझ थी। मिट्टी के बर्तनों की फायरिंग और पेंटिंग, ईख की चटाई, टोकरियाँ, कपड़े बनाना और बाद में - धातुओं के प्रसंस्करण से तलीय और स्थानिक आकृतियों के बारे में विचार विकसित हुए। नियोलिथिक आभूषण आंख को भाते थे, समानता और समरूपता को प्रकट करते थे।
- प्रकृति में समरूपता कहाँ पाई जाती है?

माना उत्तर:तितलियों के पंख, भृंग, पेड़ के पत्ते ...

- वास्तुकला में भी समरूपता देखी जा सकती है। इमारतों का निर्माण करते समय, बिल्डर्स समरूपता का पालन करते हैं।

इसलिए इमारतें इतनी खूबसूरत हैं। साथ ही, समरूपता का एक उदाहरण एक व्यक्ति, जानवर है।

गृह समनुदेशन:

1. अपने खुद के आभूषण के साथ आओ, इसे ए 4 शीट पर चित्रित करें (आप इसे कालीन के रूप में खींच सकते हैं)।
2. तितलियाँ खींचिए, चिन्हित कीजिए कि सममिति के तत्व कहाँ मौजूद हैं।

गति अवधारणा

आइए पहले हम आंदोलन जैसी अवधारणा का विश्लेषण करें।

परिभाषा 1

यदि मानचित्रण दूरी बनाए रखता है तो किसी विमान का मानचित्रण विमान की गति कहलाता है।

इस अवधारणा से संबंधित कई प्रमेय हैं।

प्रमेय २

त्रिभुज, चलते समय, एक समान त्रिभुज में चला जाता है।

प्रमेय 3

कोई भी आकृति, चलते समय, उसके बराबर आकृति में चली जाती है।

अक्षीय और केंद्रीय समरूपता गति के उदाहरण हैं। आइए उन पर अधिक विस्तार से विचार करें।

अक्षीय समरूपता

परिभाषा 2

बिंदु $ A $ और $ A_1 $ को रेखा $ a $ के संबंध में सममित कहा जाता है यदि यह रेखा खंड $ (AA) _1 $ के लंबवत है और इसके केंद्र से गुजरती है (चित्र 1)।

चित्र 1।

एक समस्या के उदाहरण का उपयोग करते हुए अक्षीय समरूपता पर विचार करें।

उदाहरण 1

इस त्रिभुज की किसी भी भुजा के सापेक्ष एक सममित त्रिभुज की रचना कीजिए।

फेसला।

आइए हमें एक त्रिभुज $ ABC $ दिया जाए। हम $BC $ पक्ष के संबंध में इसकी समरूपता का निर्माण करेंगे। अक्षीय समरूपता के तहत $ BC $ पक्ष स्वयं में बदल जाएगा (परिभाषा से निम्नानुसार)। बिंदु $ A $ बिंदु $ A_1 $ पर निम्नानुसार चला जाएगा: $ (AA) _1 \ bot BC $, $ (AH = HA) _1 $। त्रिभुज $ ABC $ को त्रिभुज $ A_1BC $ (चित्र 2) में बदल दिया जाएगा।

चित्र 2।

परिभाषा 3

एक आकृति को सीधी रेखा $ a $ के संबंध में सममित कहा जाता है यदि इस आकृति का प्रत्येक सममित बिंदु एक ही आकृति (चित्र 3) में निहित है।

चित्र तीन।

चित्र $ 3 $ एक आयत दिखाता है। इसके प्रत्येक व्यास के बारे में अक्षीय समरूपता है, साथ ही लगभग दो सीधी रेखाएँ हैं जो इस आयत के विपरीत पक्षों के केंद्रों से होकर गुजरती हैं।

केंद्रीय समरूपता

परिभाषा 4

बिंदु $ X $ और $ X_1 $ को बिंदु $ O $ के संबंध में सममित कहा जाता है यदि बिंदु $ O $ खंड $ (XX) _1 $ (चित्र 4) का केंद्र है।

चित्रा 4.

आइए समस्या के उदाहरण पर केंद्रीय समरूपता पर विचार करें।

उदाहरण 2

किसी दिए गए त्रिभुज के किसी भी शीर्ष पर एक सममित त्रिभुज की रचना कीजिए।

फेसला।

आइए हमें एक त्रिभुज $ ABC $ दिया जाए। हम शीर्ष $ A $ के संबंध में इसकी सममिति का निर्माण करेंगे। केंद्रीय समरूपता के तहत शीर्ष $ ए $ अपने आप में चला जाता है (परिभाषा से निम्नानुसार है)। बिंदु $ B $ बिंदु $ B_1 $ पर इस प्रकार जाएगा $ (BA = AB) _1 $, और बिंदु $ C $ बिंदु $ C_1 $ पर इस प्रकार जाएगा: $ (CA = AC) _1 $। $ ABC $ त्रिभुज $ (AB) _1C_1 $ त्रिभुज (चित्र 5) में जाएगा।

चित्रा 5.

परिभाषा 5

एक आकृति बिंदु $ O $ के बारे में सममित है यदि इस आकृति का प्रत्येक सममित बिंदु एक ही आकृति (चित्र 6) में निहित है।

चित्र 6.

चित्र $ 6 $ एक समांतर चतुर्भुज दिखाता है। इसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन के बारे में केंद्रीय समरूपता है।

नमूना कार्य।

उदाहरण 3

आइए एक खंड $AB $ दिया जाए। रेखा $ l $ के संबंध में इसकी समरूपता की रचना करें जो दिए गए खंड को नहीं काटती है और बिंदु $ C $ के संबंध में सीधी रेखा $ l $ पर स्थित है।

फेसला।

आइए हम समस्या की स्थिति को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करें।

चित्र 7.

आइए सबसे पहले सीधी रेखा $ l $ के संबंध में अक्षीय समरूपता बनाएं। चूंकि अक्षीय समरूपता गति है, तो प्रमेय $ 1 $ द्वारा, खंड $ AB $ को इसके बराबर खंड $ A "B" $ पर मैप किया जाएगा। इसे बनाने के लिए, हम निम्नलिखित कार्य करेंगे: रेखा $ m \ और \ n $ को बिंदुओं $ A \ और \ B $ के माध्यम से रेखा $ l $ के लंबवत खींचें। मान लीजिए $m \ cap l = X, \ n \ cap l = Y $। फिर हम सेगमेंट $ A "X = AX $ और $ B" Y = BY $ खींचते हैं।

आंकड़ा 8।

आइए अब हम बिंदु $ C $ के बारे में केंद्रीय समरूपता को चित्रित करें। चूंकि केंद्रीय समरूपता एक गति है, तो प्रमेय $ 1 $ द्वारा, खंड $ AB $ को $ A "" B "" $ के बराबर खंड में मैप किया जाएगा। इसे बनाने के लिए, हम निम्नलिखित कार्य करेंगे: $ AC \ और \ BC $ रेखाएँ खींचें। फिर हम सेगमेंट $ A ^ ("") C = AC $ और $ B ^ ("") C = BC $ बनाते हैं।

चित्र 9.

तो, ज्यामिति के संबंध में: समरूपता के तीन मुख्य प्रकार हैं।

पहले तो, केंद्रीय समरूपता (या बिंदु समरूपता) - यह समतल (या स्थान) का परिवर्तन है, जिसमें एकमात्र बिंदु (बिंदु O समरूपता का केंद्र है) बना रहता है, जबकि शेष बिंदु अपनी स्थिति बदलते हैं: बिंदु A के बजाय, हमें बिंदु A1 मिलता है ऐसा है कि बिंदु O खंड AA1 का मध्य है। एक आकृति F1 का निर्माण करने के लिए, बिंदु O के सापेक्ष Ф को सममित करने के लिए, आपको बिंदु O (समरूपता के केंद्र) से गुजरने वाली आकृति through के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से एक किरण खींचने की आवश्यकता है, और इस किरण पर एक बिंदु सममित के साथ चयनित एक के लिए सममित है बिंदु O के संबंध में। इस तरह से निर्मित बिंदुओं का सेट एक आंकड़ा F1 देगा।

समरूपता के केंद्र वाले आंकड़े बहुत रुचि रखते हैं: बिंदु O के बारे में समरूपता के साथ, के किसी भी बिंदु को फिर से आकृति F के किसी बिंदु में बदल दिया जाता है। ज्यामिति में ऐसे कई आंकड़े हैं। उदाहरण के लिए: एक खंड (एक खंड का मध्य समरूपता का केंद्र है), एक सीधी रेखा (इसका कोई भी बिंदु इसकी समरूपता का केंद्र है), एक वृत्त (एक वृत्त का केंद्र समरूपता का केंद्र है), a आयत (इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु सममिति का केंद्र है)। जीवित और निर्जीव प्रकृति (छात्रों का संदेश) में कई केंद्रीय सममित वस्तुएं हैं। अक्सर लोग स्वयं ऐसी वस्तुओं का निर्माण करते हैं जिनमें समरूपता का केंद्र होता है।रीस (हस्तशिल्प से उदाहरण, मैकेनिकल इंजीनियरिंग से उदाहरण, वास्तुकला से उदाहरण और कई अन्य उदाहरण)।

दूसरी बात, अक्षीय समरूपता (या एक सीधी रेखा के बारे में समरूपता) - यह समतल (या स्थान) का परिवर्तन है, जिसमें केवल सीधी रेखा p के बिंदु ही यथावत रहते हैं (यह सीधी रेखा समरूपता की धुरी है), जबकि अन्य बिंदु अपनी स्थिति बदलते हैं: बिंदु B के बजाय, हमें ऐसा बिंदु B1 मिलता है कि सीधी रेखा p खंड BB1 के लंबवत मध्य बिंदु है ... एक आकृति F1 का निर्माण करने के लिए, सीधी रेखा p के सापेक्ष F को सममित, आकृति F के प्रत्येक बिंदु के लिए सीधी रेखा p के संबंध में एक बिंदु सममित बनाना आवश्यक है। इन सभी निर्मित बिंदुओं का समुच्चय वांछित आकृति F1 देता है। कई ज्यामितीय आकार हैं जिनमें समरूपता की धुरी होती है।

एक आयत में दो होते हैं, एक वर्ग में चार होते हैं, और एक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरने वाली कोई भी सीधी रेखा होती है। यदि आप वर्णमाला के अक्षरों को करीब से देखते हैं, तो उनमें से आप उन लोगों को पा सकते हैं जिनमें क्षैतिज या लंबवत होते हैं, और कभी-कभी समरूपता के दोनों अक्ष। समरूपता की कुल्हाड़ियों वाली वस्तुएं अक्सर जीवित और निर्जीव प्रकृति (छात्र रिपोर्ट) में पाई जाती हैं। अपनी गतिविधि में, एक व्यक्ति समरूपता के कई अक्षों के साथ कई वस्तुओं (उदाहरण के लिए, आभूषण) बनाता है।

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तीसरा, तलीय (दर्पण) समरूपता (या समतल के बारे में समरूपता) - यह अंतरिक्ष का एक परिवर्तन है जिसमें केवल एक विमान के बिंदु अपना स्थान बनाए रखते हैं (α-समरूपता का विमान), अंतरिक्ष में शेष बिंदु अपनी स्थिति बदलते हैं: बिंदु सी के बजाय, एक बिंदु सी 1 प्राप्त होता है जैसे कि विमान α इसके लंबवत खंड CC1 के मध्य से होकर गुजरता है।

विमान α के सापेक्ष F का आंकड़ा F1 सममित बनाने के लिए, आपको α के संबंध में सममित बिंदुओं का निर्माण करने के लिए आकृति F के प्रत्येक बिंदु की आवश्यकता होती है, वे अपने सेट में आकृति F1 बनाते हैं।

अक्सर, हमारे आस-पास की चीजों और वस्तुओं की दुनिया में, हम त्रि-आयामी निकायों से मिलते हैं। और इनमें से कुछ निकायों में समरूपता के विमान हैं, कभी-कभी कई भी। और व्यक्ति स्वयं अपनी गतिविधियों (निर्माण, हस्तशिल्प, मॉडलिंग, ...) में समरूपता के विमानों के साथ वस्तुओं का निर्माण करता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि तीन सूचीबद्ध प्रकार की समरूपता के साथ, (वास्तुकला में) हैंपोर्टेबल और कुंडा, जो ज्यामिति में कई आंदोलनों की रचनाएं हैं।