2 बिंदुओं से एक सीधी रेखा की बराबरी करें। दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: उदाहरण, समाधान,

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। लेख" " मैंने आपको एक फ़ंक्शन के दिए गए ग्राफ़ और इस ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के लिए व्युत्पन्न खोजने की प्रस्तुत समस्याओं को हल करने की दूसरी विधि का विश्लेषण करने का वादा किया था। हम इस विधि का विश्लेषण करेंगे , याद मत करिएं! क्यूं करअगले में?

तथ्य यह है कि एक सीधी रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग वहां किया जाएगा। बेशक, आप केवल इस सूत्र को दिखा सकते हैं और आपको इसे सीखने की सलाह दे सकते हैं। लेकिन यह समझाना बेहतर है - यह कहां से आता है (इसे कैसे प्राप्त किया जाता है)। यह जरुरी है! यदि आप इसे भूल जाते हैं, तो इसे जल्दी से पुनर्स्थापित करेंमुश्किल नहीं होगा। सब कुछ नीचे विस्तृत है। अतः, निर्देशांक तल पर हमारे पास दो बिंदु A हैं(x 1; y 1) और B (x 2; y 2), इंगित बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है:

यहाँ सीधी रेखा के लिए सूत्र है:

* अर्थात्, बिंदुओं के विशिष्ट निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y = kx + b के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है।

** यदि दिया गया सूत्र केवल "दांतेदार" है, तो सूचकांकों के साथ भ्रमित होने की एक उच्च संभावना है एक्स... इसके अलावा, सूचकांकों को विभिन्न तरीकों से निरूपित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

इसलिए इसका अर्थ समझना जरूरी है।

अब इस सूत्र का निष्कर्ष। सब कुछ बहुत आसान है!

त्रिभुज ABE और ACF न्यून कोण में समरूप हैं (समकोण त्रिभुजों की समरूपता का पहला चिन्ह)। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि संबंधित तत्वों के संबंध समान हैं, अर्थात्:

अब हम इन खंडों को बिंदुओं के निर्देशांक में अंतर के रूप में व्यक्त करते हैं:

बेशक, यदि आप तत्वों के संबंधों को एक अलग क्रम में लिखते हैं तो कोई गलती नहीं होगी (मुख्य बात पत्राचार रखना है):

परिणाम सीधी रेखा का समान समीकरण होगा। यह सब है!

अर्थात्, बिंदु स्वयं (और उनके निर्देशांक) कैसे भी निर्दिष्ट हैं, इस सूत्र को समझने से आपको हमेशा एक सीधी रेखा का समीकरण मिलेगा।

वैक्टर के गुणों का उपयोग करके सूत्र प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन अनुमान का सिद्धांत समान होगा, क्योंकि हम उनके निर्देशांक की आनुपातिकता के बारे में बात करेंगे। इस मामले में, समकोण त्रिभुजों की समान समानता काम करती है। मेरी राय में, ऊपर वर्णित आउटपुट स्पष्ट है))।

वेक्टर निर्देशांक के माध्यम से आउटपुट देखें >>>

मान लीजिए कि दिए गए दो बिंदुओं A (x 1; y 1) और B (x 2; y 2) से गुजरने वाले निर्देशांक तल पर एक सीधी रेखा का निर्माण होता है। आइए हम सीधी रेखा पर निर्देशांक के साथ एक मनमाना बिंदु C चिह्नित करें ( एक्स; आप) हम दो वैक्टरों को भी निरूपित करते हैं:

यह ज्ञात है कि समानांतर रेखाओं (या एक सीधी रेखा पर) पर स्थित सदिशों के लिए, उनके संगत निर्देशांक समानुपाती होते हैं, अर्थात्:

- हम संबंधित निर्देशांक के अनुपातों की समानता लिखते हैं:

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

निर्देशांक (2; 5) और (7: 3) के साथ दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

आपको स्वयं सीधी रेखा बनाने की भी आवश्यकता नहीं है। हम सूत्र लागू करते हैं:

यह महत्वपूर्ण है कि आप अनुपात बनाते समय पत्राचार को पकड़ लें। यदि आप लिखते हैं तो आप गलत नहीं हो सकते:

उत्तर: y = -2 / 5x + 29/5 गो y = -0.4x + 5.8

यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्राप्त समीकरण सही ढंग से पाया गया है, एक चेक करना सुनिश्चित करें - इसमें बिंदुओं की स्थिति में डेटा के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें। आपको सही समानताएं मिलनी चाहिए।

बस इतना ही। मुझे आशा है कि सामग्री आपके लिए उपयोगी थी।

निष्ठा से, सिकंदर।

पुनश्च: यदि आप हमें सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बता सकते हैं तो मैं आभारी रहूंगा।

समीकरण परवलयद्विघात फलन है। इस समीकरण के निर्माण के लिए कई विकल्प हैं। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि समस्या कथन में कौन से पैरामीटर प्रस्तुत किए गए हैं।

अनुदेश

एक परवलय एक वक्र है जो आकार में एक चाप जैसा दिखता है और एक शक्ति समारोह का एक ग्राफ है। परवलय की विशेषताओं के बावजूद, यह सम है। इस तरह के फ़ंक्शन को सम कहा जाता है; परिभाषा से तर्क के सभी मूल्यों के लिए, जब तर्क का संकेत बदलता है, तो मान नहीं बदलता है: f (-x) = f (x) सबसे सरल फ़ंक्शन से प्रारंभ करें: y = एक्स ^ 2. इसके रूप से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह तर्क x के सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मानों के लिए है। जिस बिंदु पर x = 0, और साथ ही, y = 0 को एक बिंदु माना जाता है।

इस फ़ंक्शन और इसे बनाने के लिए सभी मुख्य विकल्प नीचे दिए गए हैं। पहले उदाहरण के रूप में, नीचे हम फॉर्म के एक फ़ंक्शन पर विचार करते हैं: f (x) = x ^ 2 + a, जहां a एक पूर्णांक है इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ को स्थानांतरित करना आवश्यक है एफ (एक्स) एक इकाइयों द्वारा। एक उदाहरण फ़ंक्शन y = x ^ 2 + 3 है, जहां फ़ंक्शन को y-अक्ष के साथ दो इकाइयों द्वारा स्थानांतरित किया जाता है। यदि विपरीत चिन्ह वाला कोई फलन दिया जाता है, उदाहरण के लिए y = x ^ 2-3, तो उसका ग्राफ y-अक्ष के अनुदिश नीचे खिसक जाता है।

एक अन्य प्रकार का फलन जिसे परवलय दिया जा सकता है वह है f (x) = (x + a) ^ २। ऐसे मामलों में, इसके विपरीत, ग्राफ को एक इकाई द्वारा भुज (x-अक्ष) के अनुदिश स्थानांतरित कर दिया जाता है। उदाहरण के लिए, कार्यों पर विचार करें: y = (x +4) ^ 2 और y = (x-4) ^ 2। पहले मामले में, जहां एक प्लस चिह्न के साथ एक फ़ंक्शन होता है, ग्राफ को एक्स-अक्ष के साथ बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, और दूसरे मामले में, दाईं ओर। इन सभी मामलों को चित्र में दिखाया गया है।

दो अंक दिए गए म(एक्स 1 ,है 1) और नहीं(एक्स 2,आप 2))। आइए इन बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करें।

चूँकि यह रेखा बिंदु . से होकर गुजरती है म, तो सूत्र (1.13) के अनुसार इसके समीकरण का रूप है

है – यू 1 = क(एक्स - एक्स 1),

कहा पे क- अज्ञात ढलान।

इस गुणांक का मान इस शर्त से निर्धारित होता है कि वांछित सीधी रेखा बिंदु से होकर गुजरती है नहीं, और इसलिए, इसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं (1.13)

यू 2 – यू 1 = क(एक्स 2 – एक्स 1),

यहाँ से आप इस सीधी रेखा का ढाल ज्ञात कर सकते हैं:

,

या रूपांतरण के बाद

(1.14)

सूत्र (1.14) निर्धारित करता है दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण म(एक्स 1, यू 1) और नहीं(एक्स 2, यू 2).

विशेष मामले में जब अंक म(ए, 0), नहीं(0, ख), लेकिन अ ¹ 0, ख 0, निर्देशांक अक्षों पर स्थित है, समीकरण (1.14) एक सरल रूप लेता है

समीकरण (1.15)बुला हुआ खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा, यहां लेकिन अतथा खअक्षों पर एक सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंडों को निरूपित करें (चित्र 1.6)।

चित्र 1.6

उदाहरण 1.10. बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा की बराबरी करें म(1, 2) और ख(3, –1).

. (१.१४) के अनुसार, मांगी गई रेखा के समीकरण का रूप है

2(यू – 2) = -3(एक्स – 1).

सभी पदों को बाईं ओर स्थानांतरित करते हुए, हम अंत में वांछित समीकरण प्राप्त करते हैं

3एक्स + 2यू – 7 = 0.

उदाहरण 1.11. एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा को समान करें म(2, 1) और रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु एक्स+ वाई - 1 = 0, एक्स - वाई+ 2 = 0.

. हम दिए गए समीकरणों को एक साथ हल करके सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करते हैं

यदि हम इन समीकरणों को पद दर पदों में जोड़ते हैं, तो हमें 2 . प्राप्त होता है एक्स+ 1 = 0, कहाँ से। पाए गए मान को किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम कोटि का मान ज्ञात करते हैं है:

अब हम बिंदुओं (2, 1) और से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण लिखते हैं:

या।

इसलिए, या -5 ( यू – 1) = एक्स – 2.

अंत में, हम वांछित सीधी रेखा के समीकरण को रूप में प्राप्त करते हैं एक्स + 5यू – 7 = 0.

उदाहरण 1.12. बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए म(2,1) और नहीं(2,3).

सूत्र (1.14) का उपयोग करके, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

इसका कोई मतलब नहीं है क्योंकि दूसरा हर शून्य है। समस्या कथन से यह देखा जा सकता है कि दोनों बिंदुओं के भुजों का मान समान है। अत: मांगी गई रेखा अक्ष के समांतर है ओएऔर इसका समीकरण है: एक्स = 2.

टिप्पणी . यदि, सूत्र (1.14) के अनुसार एक सीधी रेखा का समीकरण लिखते समय, हर में से एक शून्य के बराबर हो जाता है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर करके वांछित समीकरण प्राप्त किया जा सकता है।

समतल पर सीधी रेखा को परिभाषित करने के अन्य तरीकों पर विचार करें।

1. मान लीजिए कि एक शून्येतर सदिश दी गई रेखा पर लंबवत है लीऔर बिंदु म 0(एक्स 0, यू 0) इस सीधी रेखा पर स्थित है (चित्र 1.7)।

चित्र 1.7

हम निरूपित करते हैं म(एक्स, यू) रेखा पर एक मनमाना बिंदु ली... वेक्टर और ओर्थोगोनल। इन वैक्टरों के लिए ऑर्थोगोनैलिटी शर्तों का उपयोग करते हुए, हम या तो प्राप्त करते हैं लेकिन अ(एक्स – एक्स 0) + ख(यू – यू 0) = 0.

हमें एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त होता है म 0 वेक्टर के लंबवत। इस वेक्टर को कहा जाता है सामान्य वेक्टर सीधे करने के लिए ली... परिणामी समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है

ओह + वू + से= 0, जहां से = –(लेकिन अएक्स 0 + द्वारा 0), (1.16),

कहा पे लेकिन अतथा में- सामान्य वेक्टर के निर्देशांक।

हम पैरामीट्रिक रूप में सीधी रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त करते हैं।

2. एक समतल पर एक सीधी रेखा को निम्नानुसार निर्दिष्ट किया जा सकता है: मान लीजिए कि एक शून्येतर सदिश दी गई सीधी रेखा के समानांतर है लीऔर बिंदु म 0(एक्स 0, यू 0) इस सीधी रेखा पर स्थित है। फिर से एक मनमाना बिंदु लें म(एक्स, y) एक सीधी रेखा पर (चित्र 1.8)।

चित्र 1.8

वेक्टर और समरेख।

आइए हम इन सदिशों के लिए संरेखता की स्थिति को लिखें: जहां टी- एक मनमाना संख्या जिसे पैरामीटर कहा जाता है। आइए इस समानता को निर्देशांक में लिखें:

इन समीकरणों को कहा जाता है पैरामीट्रिक समीकरण सीधे... हम इन समीकरणों से बाहर करते हैं पैरामीटर टी:

इन समीकरणों को अन्यथा रूप में लिखा जा सकता है

. (1.18)

परिणामी समीकरण कहलाता है सीधी रेखा का विहित समीकरण... वेक्टर कहा जाता है सीधी रेखा की दिशा वेक्टर .

टिप्पणी . यह देखना आसान है कि यदि रेखा का सामान्य सदिश है ली, तो इसका दिशा सदिश एक सदिश हो सकता है, क्योंकि, अर्थात्।

उदाहरण 1.13. बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण लिखिए म 0 (1, 1) सीधी रेखा के समानांतर 3 एक्स + 2है– 8 = 0.

फेसला . वेक्टर दी गई और वांछित सीधी रेखाओं का सामान्य वेक्टर है। हम बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करेंगे म 0 दिए गए सामान्य वेक्टर के साथ 3 ( एक्स –1) + 2(है- १) = ० या ३ एक्स + २ वर्ष- 5 = 0. वांछित सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त किया।

बिंदु K (x 0; y 0) से होकर जाने वाली सीधी रेखा और सीधी रेखा y = kx + a के समानांतर सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:

वाई - वाई 0 = के (एक्स - एक्स 0) (1)

जहाँ k सीधी रेखा का ढाल है।

वैकल्पिक सूत्र:
बिंदु M 1 (x 1; y 1) से गुजरने वाली सीधी रेखा और सीधी रेखा Ax + By + C = 0 के समानांतर को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है

ए (एक्स-एक्स 1) + बी (वाई-वाई 1) = 0। (2)

उदाहरण # २। सीधी रेखा 2x + 5y = 0 के समानांतर एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए और निर्देशांक अक्षों को मिलाकर एक त्रिभुज बनाइए, जिसका क्षेत्रफल 5 है।
फेसला ... चूँकि सीधी रेखाएँ समानांतर हैं, वांछित सीधी रेखा का समीकरण 2x + 5y + C = 0 है। एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, जहाँ a और b उसके पैर हैं। निर्देशांक अक्षों के साथ वांछित सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:
;
.
तो ए (-सी / 2.0), बी (0, -सी / 5)। क्षेत्र के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करें: ... हमें दो हल मिलते हैं: 2x + 5y + 10 = 0 और 2x + 5y - 10 = 0।

उदाहरण संख्या 3. बिंदु (-2; 5) से होकर जाने वाली सीधी रेखा का समीकरण बनाइए और सीधी रेखा के समानांतर 5x-7y-4 = 0.
फेसला। इस सीधी रेखा को समीकरण y = 5/7 x - 4/7 (यहाँ a = 5/7) द्वारा दर्शाया जा सकता है। आवश्यक सीधी रेखा का समीकरण y - 5 = 5/7 (x - (-2)) है, अर्थात। 7 (y-5) = 5 (x + 2) या 5x-7y + 45 = 0.

उदाहरण संख्या 4. उदाहरण 3 (A = 5, B = -7) को सूत्र (2) से हल करने पर हम 5 (x + 2) -7 (y-5) = 0 पाते हैं।

उदाहरण संख्या 5. बिंदु (-2; 5) से होकर जाने वाली सीधी रेखा का समीकरण बनाइए और सरल रेखा 7x + 10 = 0 के समानांतर।
फेसला। यहां ए = 7, बी = 0। सूत्र (2) 7 (x + 2) = 0 देता है, अर्थात्। एक्स + 2 = 0। सूत्र (1) अनुपयुक्त है, क्योंकि इस समीकरण को y के संबंध में हल नहीं किया जा सकता है (यह रेखा कोटि अक्ष के समानांतर है)।

यूक्लिडियन ज्यामिति में एक सीधी रेखा के गुण।

आप किसी भी बिंदु से होकर जाने वाली अपरिमित रूप से अनेक सीधी रेखाएँ खींच सकते हैं।

किन्हीं दो गैर-संयोग बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

समतल पर दो बेमेल सीधी रेखाएँ या तो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, या हैं

समानांतर (पिछले एक से अनुसरण करता है)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के लिए तीन विकल्प हैं:

• सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं;

• सीधी रेखाएँ समानांतर हैं;

• सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

सीधे लाइन- पहले क्रम का बीजीय वक्र: कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, एक सीधी रेखा straight

पहली डिग्री (रैखिक समीकरण) के समीकरण द्वारा विमान पर दिया जाता है।

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

परिभाषा... समतल पर किसी भी सीधी रेखा को प्रथम-क्रम समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

कुल्हाड़ी + वू + सी = 0,

स्थिरांक के साथ ए, बीएक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। इस प्रथम-क्रम समीकरण को कहा जाता है सामान्य

एक सीधी रेखा का समीकरण।स्थिरांक के मूल्यों के आधार पर ए, बीतथा सेनिम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

. सी = 0, ए 0, बी ≠ 0- सीधी रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है

. ए = 0, बी ≠ 0, सी ≠ 0 (बाय + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा ओह

. बी = 0, ए 0, सी ≠ 0 (एक्स + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा कहां

. बी = सी = 0, ए 0- सीधी रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है कहां

. ए = सी = 0, बी 0- सीधी रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है ओह

एक सीधी रेखा के समीकरण को किसी दिए गए के आधार पर विभिन्न रूपों में दर्शाया जा सकता है

आरंभिक स्थितियां।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा... एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों के साथ एक वेक्टर (ए, बी)

समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा के लंबवत

कुल्हाड़ी + वू + सी = 0।

उदाहरण... एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ए (1, 2)वेक्टर के लंबवत (3, -1).

फेसला... A = 3 और B = -1 पर, हम सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं: 3x - y + C = 0. गुणांक C ज्ञात करने के लिए

दिए गए बिंदु A के निर्देशांकों को परिणामी व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। हमें प्राप्त होता है: 3 - 2 + C = 0, इसलिए

सी = -1। कुल: आवश्यक समीकरण: 3x - y - 1 = 0।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं एम 1 (एक्स 1, वाई 1, जेड 1)तथा एम 2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2),तब फिर एक सीधी रेखा का समीकरण,

इन बिंदुओं से गुजरते हुए:

यदि हर में से कोई भी शून्य है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर किया जाना चाहिए। पर

समतल, ऊपर लिखी गई सीधी रेखा का समीकरण सरल है:

यदि एक एक्स 1 एक्स 2तथा एक्स = एक्स 1, यदि एक एक्स 1 = एक्स 2 .

अंश = केबुला हुआ ढाल सीधे.

उदाहरण... बिंदु A (1, 2) और B (3, 4) से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला... उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बिंदु और ढलान द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सीधी रेखा का सामान्य समीकरण कुल्हाड़ी + वू + सी = 0फॉर्म में लाओ:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहलाता है

ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले पैराग्राफ के अनुरूप, आप कार्य में प्रवेश कर सकते हैं

एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा और एक सीधी रेखा का एक निर्देशन वेक्टर।

परिभाषा... हर शून्येतर वेक्टर (α 1, α 2)जिनके घटक शर्त को पूरा करते हैं

α १ + α २ = ०बुला हुआ एक सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर।

कुल्हाड़ी + वू + सी = 0।

उदाहरण... दिशा सदिश (1, -1) और बिंदु A (1, 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला... आवश्यक सीधी रेखा का समीकरण फॉर्म में मांगा जाएगा: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0।परिभाषा के अनुसार,

गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी।

तब सीधी रेखा के समीकरण का रूप है: कुल्हाड़ी + आय + सी = 0,या एक्स + वाई + सी / ए = 0।

पर एक्स = 1, वाई = 2हम पाते हैं सी / ए = -3, अर्थात। आवश्यक समीकरण:

एक्स + वाई - 3 = 0

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सरल रेखा Ax + Vy + C = 0 C ≠ 0 के सामान्य समीकरण में, -C से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं:

या कहाँ

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक a प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है

अक्ष के साथ सीधा ओह,लेकिन अ ख- अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय ओ.यू.

उदाहरण... सरल रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है एक्स - वाई + 1 = 0।इस सीधी रेखा का समीकरण खण्डों में ज्ञात कीजिए।

= 1, ए = -1, बी = 1।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

यदि समीकरण के दोनों पक्ष कुल्हाड़ी + वू + सी = 0संख्या से विभाजित करें जिसे कहा जाता है

सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का ± चिन्ह चुना जाना चाहिए ताकि μ * सी< 0.

आर- मूल से सीधी रेखा तक गिराए गए लंबवत की लंबाई,

लेकिन अ φ - इस लंब द्वारा अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनने वाला कोण ओह।

उदाहरण... सरल रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है 12x - 5y - 65 = 0... विभिन्न प्रकार के समीकरण लिखना आवश्यक है required

यह सीधी रेखा।

खंडों में इस रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

एक सीधी रेखा का समीकरण:

cos φ = 12/13; पाप φ = -5/13; पी = 5.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएं,

कुल्हाड़ियों के समानांतर या मूल से गुजर रहा है।

समतल पर सीधी रेखाओं के बीच का कोण।

परिभाषा... यदि दो पंक्तियाँ दी गई हों वाई = के 1 एक्स + बी 1, वाई = के 2 एक्स + बी 2, तो इन रेखाओं के बीच एक न्यून कोण

के रूप में परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समानांतर हैं यदि कश्मीर 1 = कश्मीर 2... दो सीधी रेखाएँ लंबवत हैं,

यदि एक के 1 = -1 / के 2 .

प्रमेय.

प्रत्यक्ष कुल्हाड़ी + वू + सी = 0तथा ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0समानांतर हैं जब गुणांक आनुपातिक हैं

1 = , 1 =... अगर भी 1 =, तो सीधी रेखाएँ मेल खाती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक

इन सीधी रेखाओं के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा... बिंदु के माध्यम से रेखा एम 1 (एक्स 1, वाई 1)और सीधी रेखा के लंबवत वाई = केएक्स + बी

समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी।

प्रमेय... यदि एक बिंदु दिया जाता है एम (एक्स 0, वाई 0),सीधी रेखा की दूरी कुल्हाड़ी + वू + सी = 0के रूप में परिभाषित:

सबूत... बात करने दो एम 1 (एक्स 1, वाई 1)- बिंदु से गिराए गए लंबवत का आधार मदिए हुए के लिए

सीधी रेखा। फिर बिंदुओं के बीच की दूरी मतथा एम 1:

(1)

COORDINATES एक्स 1तथा 1 परसमीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

प्रणाली का दूसरा समीकरण दिए गए बिंदु M 0 से लम्बवत गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है is

एक दी गई सीधी रेखा। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध होता है।