Իմացեք եռանկյան բոլոր կողմերը, գտեք միջինը: Առաջադրանք

Ռեժիմը և միջինը- միջինների հատուկ տեսակ, որոնք օգտագործվում են տատանումների շարքի կառուցվածքն ուսումնասիրելու համար: Դրանք երբեմն կոչվում են կառուցվածքային միջիններ՝ ի տարբերություն նախկինում քննարկված ուժային իրավունքի միջինների:

Նորաձևություն- սա հատկանիշի (տարբերակի) արժեքն է, որն առավել հաճախ հանդիպում է այս պոպուլյացիայի մեջ, այսինքն. ունի ամենաբարձր հաճախականությունը:

Նորաձևությունը մեծ գործնական կիրառություն ունի, և որոշ դեպքերում միայն նորաձևությունը կարող է բնութագրել սոցիալական երևույթները։

Միջինայն տարբերակն է, որը գտնվում է պատվիրված տատանումների շարքի մեջտեղում։

Միջինը ցույց է տալիս փոփոխական բնութագրիչի արժեքի քանակական սահմանը, որին հասնում է բնակչության միավորների կեսը: Միջինի օգտագործումը միջինի հետ կամ դրա փոխարեն ցանկալի է, եթե տատանումների շարքում կան բաց ընդմիջումներ, քանի որ մեդիանայի հաշվարկը չի պահանջում բաց միջակայքերի սահմանների պայմանական սահմանում, և, հետևաբար, դրանց մասին տեղեկատվության բացակայությունը չի ազդում մեդիանայի հաշվարկի ճշգրտության վրա:

Մեդիանն օգտագործվում է նաև այն դեպքում, երբ անհայտ են որպես կշիռներ օգտագործելու ցուցիչները: Արտադրանքի որակի վերահսկման վիճակագրական մեթոդներում միջին թվաբանականի փոխարեն օգտագործվում է միջինը: Տարբերակների բացարձակ շեղումների գումարը միջինից փոքր է, քան ցանկացած այլ թվից:

Դիտարկենք ռեժիմի և միջինի հաշվարկը դիսկրետ տատանումների շարքում :

Որոշեք ռեժիմը և միջինը:

Fashion Mo = 4 տարի, քանի որ այս արժեքը համապատասխանում է f = 5 ամենաբարձր հաճախականությանը:

Նրանք. Աշխատողների մեծ մասն ունի 4 տարվա փորձ։

Միջինը հաշվարկելու համար մենք նախ գտնում ենք հաճախությունների գումարի կեսը: Եթե ​​հաճախականությունների գումարը կենտ թիվ է, ապա այս գումարին նախ ավելացնում ենք մեկը, այնուհետև կիսում ենք այն.

Միջինը կլինի ութերորդ տարբերակը:

Որպեսզի գտնենք, թե որ տարբերակն է լինելու թվով ութերորդը, մենք կկուտակենք հաճախականություններ այնքան ժամանակ, մինչև չստանանք բոլոր հաճախությունների գումարի կեսից հավասար կամ ավելի մեծ հաճախականությունների գումարը: Համապատասխան տարբերակը կլինի մեդիանը։

Ես = 4 տարի:

Նրանք. աշխատողների կեսը չորս տարուց պակաս փորձ ունի, կեսը՝ ավելին։

Եթե ​​մեկ տարբերակի նկատմամբ կուտակված հաճախականությունների գումարը հավասար է հաճախությունների գումարի կեսին, ապա միջինը սահմանվում է որպես այս տարբերակի և հաջորդի միջին թվաբանականը:

Ռեժիմի և մեդիանայի հաշվարկ ինտերվալային տատանումների շարքում

Միջակայքի տատանումների շարքի ռեժիմը հաշվարկվում է բանաձևով

որտեղ X М0- մոդալ միջակայքի սկզբնական սահմանը,

հմ 0 մոդալ միջակայքի արժեքն է,

զմ 0 , զմ 0-1 , զմ 0+1 - մոդալային միջակայքի հաճախականությունը, համապատասխանաբար, նախորդող մոդալին և դրան հաջորդողին:

ՄոդալԱմենաբարձր հաճախականությամբ ինտերվալը կոչվում է.

Օրինակ 1

Որոշեք ռեժիմը և միջինը:

Մոդալ միջակայքը, քանի որ այն համապատասխանում է f = 35 ամենաբարձր հաճախականությանը: Ապա.

Հմ 0 =6, fm 0 =35

Կառուցվածքային (դիրքային) միջիններ- սրանք միջին արժեքներ են, որոնք որոշակի տեղ (դիրք) են զբաղեցնում վարկանիշային փոփոխական շարքում:

Նորաձևություն(Մո) այն հատկանիշի արժեքն է, որն առավել հաճախ հայտնաբերվում է ուսումնասիրվող բնակչության շրջանում:

Համար դիսկրետ տատանումների շարքռեժիմը կլինի ամենաբարձր հաճախականությամբ ընտրանքների արժեքը

Օրինակ. Որոշեք ռեժիմը առկա տվյալներից (Աղյուսակ 7.5):

Աղյուսակ 7.5 - Կոշիկի խանութում վաճառվող կանացի կոշիկների բաշխում Ն, փետրվար 2013 թ

Աղյուսակի համաձայն. 5 ցույց է տալիս, որ ամենաբարձր հաճախականությունը fmax= 28, այն համապատասխանում է հատկանիշի արժեքին x= 37 չափ: հետևաբար, Մո= 37 կոշիկի չափը, այսինքն. հենց այս կոշիկի չափսն ուներ ամենամեծ պահանջարկը, ամենից հաճախ գնում էին 37-րդ չափսի կոշիկներ։

AT նախ որոշվել է մոդալ տարածություն, այսինքն. ռեժիմը պարունակող՝ ամենաբարձր հաճախականությամբ ինտերվալը (հավասար ընդմիջումներով ինտերվալային բաշխման դեպքում, անհավասար ընդմիջումների դեպքում՝ ամենաբարձր խտությամբ):

Ռեժիմը մոտավորապես համարվում է մոդալ միջակայքի կեսը: Ինտերվալային շարքի հատուկ ռեժիմի արժեքը որոշվում է բանաձևով.

որտեղ x Moմոդալ միջակայքի ստորին սահմանն է.

ես Մոմոդալ միջակայքի արժեքն է.

f Moմոդալ միջակայքի հաճախականությունն է.

fMo-1մոդալին նախորդող միջակայքի հաճախականությունն է.

f Mo +1մոդալին հաջորդող միջակայքի հաճախականությունն է:

Օրինակ. Որոշեք ռեժիմը առկա տվյալներից (Աղյուսակ 7.6):

Աղյուսակ 7.6 - Աշխատողների բաշխումն ըստ ստաժի

Աղյուսակի համաձայն. 6 ցույց է տալիս, որ ամենաբարձր հաճախականությունը fmax= 35, այն համապատասխանում է միջակայքին՝ 6-8 տարի (մոդալ ընդմիջում): Նորաձևությունը մենք սահմանում ենք բանաձևով.

տարիներ։

հետևաբար, Մո= 6,8 տարի, այսինքն. Աշխատակիցների մեծ մասն ունի 6,8 տարվա փորձ։

Միջնագծի անվանումը վերցված է երկրաչափությունից, որտեղ այն վերաբերում է եռանկյան գագաթներից մեկը հակառակ կողմի միջնակետին միացնող հատվածին և այդպիսով եռանկյան կողմը բաժանելով երկու հավասար մասերի։

Միջին(Ես) – հատկանիշի արժեքն է, որն ընկնում է ընդգրկված բնակչության միջին մասում: Հակառակ դեպքում, մեդիանն այն արժեքն է, որը բաժանում է պատվիրված տատանումների շարքի թիվը երկու հավասար մասերի. մի մասը ունի տարբեր հատկանիշի արժեքները միջին տարբերակից պակաս, իսկ մյուսը՝ մեծ արժեքներ:

Համար դասակարգված շարք(այսինքն՝ պատվիրված - կառուցված է անհատական ​​հատկանիշի արժեքների աճման կամ նվազման կարգով) կենտ թվով անդամների ( n=տարօրինակ) միջինը տողի կենտրոնում գտնվող տարբերակն է: Միջինի հերթական համարը ( N Me) սահմանվում է հետևյալ կերպ.

N Me =(n+1)/ 2.

Օրինակ. 51 անդամներից բաղկացած շարքում միջին թիվը (51+1)/2 = 26 է, այսինքն. մեդիանը շարքի 26-րդ տարբերակն է:

Զույգ թվով անդամների վարկանիշային շարքի համար ( n=նույնիսկ) - մեդիանը կլինի շարքի մեջտեղում գտնվող հատկանիշի երկու արժեքների միջին թվաբանականը: Երկու կենտրոնական տարբերակների սերիական համարները որոշվում են հետևյալ կերպ.

N Me 1 =n/ 2; N Me 2 =(n/ 2)+ 1.

Օրինակ.Երբ n=50; N Me1 = 50/2 = 25; N Me2= (50/2)+1 = 26, այսինքն. մեդիանը հերթականությամբ 25-րդ և 26-րդ շարքի տարբերակների միջինն է:

AT դիսկրետ տատանումների շարքմեդիանը հայտնաբերվում է կուտակված հաճախականությամբ, որը համապատասխանում է մեդիանայի հերթական թվին կամ այն ​​գերազանցում է առաջին անգամ: Հակառակ դեպքում, ըստ կուտակված հաճախականության, որը հավասար է կամ առաջին անգամ գերազանցում է շարքի բոլոր հաճախությունների գումարի կեսը:

Օրինակ. Որոշեք մեդիանը առկա տվյալներից (Աղյուսակ 7.7):

Աղյուսակ 7.7 - Կոշիկի խանութում վաճառվող կանացի կոշիկների բաշխում Ն, փետրվար 2013 թ

Աղյուսակի համաձայն. 7 սահմանում է միջինի հերթական համարը. N Me =( 67+1)/2=34.

Նորաձևություն. Միջին. Ինչպես հաշվարկել դրանք (էջ 1-ը 2-ից)

Այս արժեքն առաջին անգամ գերազանցող կուտակային հաճախականությունը Ս= 41, այն համապատասխանում է հատկանիշի արժեքին x= 37 չափ: հետևաբար, Ես= 37 կոշիկի չափը, այսինքն. Զույգերի կեսը գնվում է 37 չափսից փոքր, իսկ մյուս կեսը՝ ավելի մեծ։

Այս օրինակում ռեժիմը և մեդիանը նույնն են, բայց դրանք կարող են նույնը լինել կամ չլինել:

AT ինտերվալային տատանումների շարքորոշվում են կուտակային հաճախականությունները, ըստ կուտակային հաճախականությունների՝ հայտնաբերվում են տվյալներ միջին միջակայքը– այն միջակայքը, որում կուտակված հաճախականությունը կեսն է կամ առաջին անգամ գերազանցում է հաճախականությունների ընդհանուր գումարի կեսը: Բաշխման ինտերվալային շարքում մեդիանը որոշելու բանաձևը հետևյալն է.

.

որտեղ x Եսմիջին միջակայքի ստորին սահմանն է.

ես ինձմիջին միջակայքի արժեքն է.

∑fiշարքի հաճախությունների գումարն է.

S Me-1միջինին նախորդող միջակայքի կուտակված հաճախությունների գումարն է.

f Meմիջին միջակայքի հաճախականությունն է:

Օրինակ. Որոշեք մեդիանը առկա տվյալներից (Աղյուսակ 7.8):

Աղյուսակ 7.8 - Աշխատողների բաշխումն ըստ ստաժի

Աղյուսակի համաձայն. 8 սահմանել միջնագծի հերթական համարը. NMe=100/2=50. Այս արժեքն առաջին անգամ գերազանցող կուտակային հաճախականությունը Ս= 82, այն համապատասխանում է 6-8 տարվա ընդմիջմանը (միջին միջակայքը): Այս օրինակում մոդալը և միջին միջակայքերը նույնն են, բայց դրանք կարող են լինել կամ չլինել նույնը: Եկեք որոշենք միջինը բանաձևով.

տարիներ

հետևաբար, Ես= 6,2 տարի, այսինքն. աշխատողների կեսն ունի 6,2 տարուց պակաս ստաժ, իսկ մյուս կեսը՝ ավելի շատ։

Ռեժիմը և մեդիանը լայնորեն կիրառվում են տնտեսության տարբեր ոլորտներում: Այսպիսով, մոդալ աշխատանքի արտադրողականության, մոդալ ծախսերի հաշվարկը և այլն: տնտեսագետին հնարավորություն է տալիս դատել դրանց ներկա մակարդակի մասին։ Այս հատկանիշը պետք է օգտագործել մեր տնտեսության պաշարները բացահայտելու համար։ Նորաձևությունը կարևոր է գործնական խնդիրների լուծման համար: Այսպիսով, հագուստի և կոշկեղենի զանգվածային արտադրություն պլանավորելիս սահմանվում է արտադրանքի չափսերը, որն ունի ամենամեծ պահանջարկը (մոդալ չափս): Ռեժիմը կարող է օգտագործվել որպես ուսումնասիրված հատկանիշի մակարդակի մոտավոր բնութագիր՝ միջին թվաբանականի փոխարեն, եթե հաճախականությունների բաշխումները մոտ են սիմետրիկին և ունեն մեկ ոչ հարթ գագաթ:

Միջինը պետք է օգտագործվի որպես միջին այն դեպքերում, երբ անբավարար վստահություն կա ուսումնասիրվող բնակչության միատարրության նկատմամբ: Մեդիանի վրա ազդում են ոչ այնքան իրենց արժեքները, որքան դեպքերի քանակը այս կամ այն ​​մակարդակում: Հարկ է նաև նշել, որ մեդիանը միշտ կոնկրետ է (մեծ թվով դիտարկումների կամ բնակչության կենտ թվի դեպքում), քանի որ. տակ ԵսԲնակչության որոշ իրական իրական տարր ենթադրվում է, մինչդեռ թվաբանական միջինը հաճախ ստանում է մի արժեք, որը բնակչության միավորներից ոչ մեկը չի կարող ընդունել:

Հիմնական գույք Եսքանի որ հատկանիշի արժեքների բացարձակ շեղումների գումարը միջինից փոքր է, քան ցանկացած այլ արժեքից. . Այս գույքը Եսկարող է օգտագործվել, օրինակ, հասարակական շենքերի շինհրապարակը որոշելիս, քանի որ Եսորոշում է այն կետը, որը տալիս է ամենակարճ հեռավորությունը, ասենք, մանկապարտեզները ծնողների բնակության վայրից, բնակավայրի բնակիչները կինոթատրոնից, տրամվայի, տրոլեյբուսի կանգառներ նախագծելիս և այլն։

Կառուցվածքային ցուցանիշների համակարգում բաշխման ձևի առանձնահատկությունների ցուցիչ են հանդիսանում այն ​​տարբերակները, որոնք որոշակի տեղ են զբաղեցնում վարկանիշային տատանումների շարքում (յուրաքանչյուր չորրորդ, հինգերորդ, տասներորդ, քսանհինգերորդ և այլն): Նմանապես, փոփոխական շարքում մեդիանը գտնելով, դուք կարող եք հերթականությամբ գտնել հատկանիշի արժեքը դասակարգված շարքի ցանկացած միավորի համար:

քառորդներ- հատկանիշի արժեքներ, որոնք բաժանում են ընդգրկված բնակչությունը չորս հավասար մասերի: Տարբերակել ստորին քառորդը ( Q1), միջին ( Q2) և վերին ( Q 3) Ստորին քառորդը բաժանում է հատկանիշի ամենացածր արժեքներով բնակչության 1/4-ը, վերին քառորդը առանձնացնում է հատկանիշի ամենաբարձր արժեքներով բնակչության 1/4-ը: Սա նշանակում է, որ բնակչության միավորների 25%-ն արժեքով ավելի փոքր կլինի Q1; միջեւ կկնքվի 25% միավոր Q1և Q2; 25% - միջեւ Q2և Q 3; մնացած 25%-ը գերազանցում է Q 3. Միջին քառորդ ( Q2) միջինն է .

Ինտերվալային շարքի քառորդները հաշվարկելու համար օգտագործվում են հետևյալ բանաձևերը.

;

.

որտեղ x Q1– ստորին քառորդը պարունակող միջակայքի ստորին սահմանը (միջակայքը որոշվում է կուտակված հաճախականությամբ, առաջինը գերազանցում է 25%).

x Q3- վերին քառորդը պարունակող միջակայքի ստորին սահմանը (միջակայքը որոշվում է կուտակված հաճախականությամբ, առաջինը գերազանցում է 75%).

Ս Ք 1-1ստորին քառորդը պարունակող միջակայքին նախորդող միջակայքի կուտակային հաճախականությունն է.

Ս Ք 3-1վերին քառորդը պարունակող միջակայքին նախորդող միջակայքի կուտակային հաճախականությունն է.

fQ1ստորին քառորդը պարունակող միջակայքի հաճախականությունն է.

fQ3վերին քառորդը պարունակող միջակայքի հաճախականությունն է:

ԴեցիլներՏարբերակային արժեքներ են, որոնք դասակարգված շարքը բաժանում են տասը հավասար մասերի. 1-ին դեցիլ ( դ1Բնակչությունը 1/10 բաժանում է 9/10, 2-րդ դեցիլ ( դ2) - 2/10-ից 8/10 հարաբերակցությամբ և այլն: Դեցիլները հաշվարկվում են այնպես, ինչպես միջինն ու քառորդը.

;

.

Վերոնշյալ բնութագրերի օգտագործումը վարիացիոն բաշխման շարքերի վերլուծության մեջ թույլ է տալիս խորապես և մանրամասն բնութագրել ուսումնասիրվող բնակչությանը:

ԴԻՏԵԼ ԱՎԵԼԻՆ:

Կառուցվածքային միջիններ

Իշխանության իրավունքի միջին ցուցանիշների հետ մեկտեղ լայնորեն կիրառվում են կառուցվածքային միջինները:

Վիճակագրական ագրեգատների կառուցվածքը տարբեր է. Միևնույն ժամանակ, որքան սիմետրիկ է բնակչության միավորների բաշխումը, որքան որակապես նրա կազմն ըստ ուսումնասիրվող հատկանիշի, այնքան ավելի լավ, ավելի հուսալի հատկանիշի միջին արժեքը բնութագրում է ուսումնասիրվող երևույթը։ Բայց բաշխման շարքի կտրուկ թեքության (անհամաչափության) դեպքերի համար միջին թվաբանականն արդեն այնքան էլ բնորոշ չէ։ Օրինակ, խնայողական բանկերում ավանդի միջին չափը առանձնահատուկ հետաքրքրություն չի ներկայացնում, քանի որ ավանդների մեծ մասը գտնվում է այս մակարդակից ցածր, և միջինի վրա էապես ազդում են մեծ ավանդները, որոնք քիչ են և բնորոշ չեն ավանդների զանգվածին: ավանդներ.

Նորաձևություն (վիճակագրություն)

Նման դեպքերում վիճակագրությունը օգտագործում է մեկ այլ համակարգ՝ օժանդակ կառուցվածքային միջինների համակարգ։ Դրանք ներառում են ռեժիմ, միջին, ինչպես նաև քառյակներ, կվինտելներ, դելեր, տոկոսներ:

Նորաձևություն (Mo)- հատկանիշի ամենատարածված արժեքը, իսկ դիսկրետ տատանումների շարքում սա ամենաբարձր հաճախականությամբ տարբերակն է:

Վիճակագրական պրակտիկայում նորաձեւությունն օգտագործվում է բնակչության եկամուտների, սպառողների պահանջարկի, գների գրանցման և ձեռնարկությունների որոշ տեխնիկական և տնտեսական ցուցանիշների վերլուծության մեջ:

Որոշ դեպքերում հետաքրքրում է ռեժիմը, այլ ոչ թե միջին թվաբանականը: Երբեմն այն օգտագործվում է միջին թվաբանականի փոխարեն, օրինակ՝ բաշխման շարքերի կառուցվածքը բնութագրելու համար։

Ռեժիմի որոշման հերթականությունը կախված է բաշխման շարքի տեսակից: Եթե ​​փոփոխական հատկանիշը ներկայացվում է որպես դիսկրետ շարք, ապա ռեժիմը որոշելու համար հաշվարկներ չեն պահանջվում: Նման շարքում ռեժիմը կլինի այն հատկանիշի արժեքը, որն ունի ամենաբարձր հաճախականությունը:

Եթե ​​հատկանիշի արժեքը ներկայացված է որպես ինտերվալային տատանումների շարք՝ հավասար ընդմիջումներով, ապա ռեժիմը որոշվում է հաշվարկով՝ օգտագործելով բանաձևը.

որտեղ X Մոմոդալ միջակայքի ստորին սահմանն է,

ես Մոմոդալ միջակայքի արժեքն է,

զ Մո , զ Mo-1 , զ Mo+1համապատասխանաբար մոդալ, պրեմոդալ (նախորդ) և հետմոդալ (մոդալից հետո) ինտերվալների հաճախականություններն են։

Միջին (ես)- սա հատկանիշի արժեքն է, որը գտնվում է միջակայքային տատանումների շարքի մեջտեղում, որտեղ հատկանիշի առանձին արժեքները (տարբերակները) դասավորված են աճման կամ նվազման կարգով (ըստ աստիճանի):

Միջինը պետք է օգտագործվի որպես միջին այն դեպքերում, երբ անբավարար վստահություն կա ուսումնասիրվող բնակչության միատարրության նկատմամբ: Միջինը կիրառություն է գտնում մարքեթինգային գործունեության մեջ: Օրինակ՝ վերելակների, առաջնային գինեգործարանների, պահածոների գործարանների տեղադրումը, հումքի մատակարարներից հեռավորությունների գումարը պետք է լինի ամենափոքրը:

Միջինը, ինչպես ռեժիմը, սահմանվում է տարբեր ձևերով: Դա կախված է բաշխման շարքի կառուցվածքից:
Դիսկրետ փոփոխական շարքերում միջինը որոշելու համար.

1) բանաձևով գտեք դրա հերթական համարը

N Me =
2) կառուցել մի շարք կուտակված հաճախականություններ

3) գտնել կուտակված հաճախականությունը, որը հավասար է կամ գերազանցում է մեդիանայի հերթական համարը

4) տվյալ կուտակված հաճախականությանը համապատասխան տարբերակի մեդիանն է։

Եթե ​​դիսկրետ շարքի անդամների թիվը կենտ է, ապա միջինը գտնվում է շարքի մեջտեղում և այս շարքը բաժանում է երկու հավասար մասերի՝ ըստ շարքի անդամների թվի։ Մեդիանի հերթական թիվը այս դեպքում հաշվարկվում է բանաձևով.

NMe =(f + 1)2,

որտեղ  զ – շարքի անդամների թիվը.

Ինտերվալային շարքերում նախ որոշվում է միջին միջակայքը: Դրա համար, ինչպես դիսկրետ շարքերում, հաշվարկվում է միջինի հերթական թիվը: Կուտակված հաճախականությունը, որը հավասար է մեդիանայի թվին կամ առաջինը գերազանցում է այն, համապատասխանում է միջակայքի տատանումների շարքի միջին ինտերվալին: Այս կուտակված հաճախականությունը նշանակենք որպես S Me: Միջինը ուղղակիորեն հաշվարկվում է բանաձևով.

,
որտեղ է միջին միջակայքի ստորին սահմանը

- միջին միջակայքի արժեքը

մեդիանին նախորդող միջակայքի կուտակային հաճախականությունն է

- միջին միջակայքի հաճախականությունը

Ռեժիմի և մեդիանայի գրաֆիկական սահմանում
Ինտերվալային շարքի ռեժիմը և միջինը կարող են որոշվել գրաֆիկորեն:

Ռեժիմը որոշվում է բաշխման հիստոգրամից: Դրա համար ընտրվում է ամենաբարձր ուղղանկյունը, որն այս դեպքում մոդալ է։ Այնուհետև մոդալ ուղղանկյան աջ գագաթը միացնում ենք նախորդ ուղղանկյան վերին աջ անկյունին։ Իսկ մոդալ ուղղանկյան ձախ գագաթը հաջորդ ուղղանկյան վերին ձախ անկյունի հետ է։ Այնուհետև, դրանց հատման կետից ուղղահայացը իջեցվում է աբսցիսայի առանցքին: Այս գծերի հատման կետի աբսցիսան կլինի բաշխման ռեժիմը (նկ. 1): Միջինը հաշվարկվում է կուտակումից (նկ. 2): Այն որոշելու համար կուտակված հաճախականությունների (հաճախականությունների) սանդղակի 50%-ին համապատասխանող կետից ուղիղ գիծ է գծվում աբսցիսայի առանցքին զուգահեռ, մինչև այն հատվում է կուտակման հետ։ Այնուհետև նշված ուղիղ գծի կուտակման հետ հատման կետից ուղղահայաց իջեցվում է աբսցիսայի առանցքին: Հատման կետի աբսցիսան միջինն է:

Վիճակագրության տատանումների ցուցանիշները.

Վիճակագրական վերլուծության գործընթացում կարող է առաջանալ իրավիճակ, երբ միջին արժեքների արժեքները համընկնում են, և պոպուլյացիաները, որոնց հիման վրա դրանք հաշվարկվում են, բաղկացած են միավորներից, որոնց բնորոշ արժեքները բավականին կտրուկ տարբերվում են միմյանցից: Այս դեպքում հաշվարկվում են տատանումների ցուցանիշները։

Կատալոգ:ներբեռնումներ -> Sotrudniki
ներբեռնումներ -> N. L. Ivanova M. F. Lukanina
ներբեռնումներ -> Դասախոսություն նախադպրոցականների և ծնողների համար «Ագրեսիվ վարքի կանխարգելում նախադպրոցական տարիքի երեխաների մոտ»
ներբեռնումներ -> Անհատականության հոգեբանական մասնագիտական ​​ադապտացիա
ներբեռնումներ -> Կեմերովոյի շրջանի կրթության և գիտության վարչություն Կեմերովոյի տարածաշրջանային հոգեբանական և վալեոլոգիական կենտրոն
ներբեռնումներ -> Կեմերովոյի մարզի Ռուսաստանի Դաշնության վարչության թմրամիջոցների վերահսկման դաշնային ծառայություն
Սոտրուդնիկի -> Չուվաշի Հանրապետության աղեղ
ներբեռնումներ -> Նախադպրոցական տարիքի երեխաների զարգացման հոգեբանական և մանկավարժական աջակցության առանձնահատկությունները
ներբեռնումներ -> Mishina M. M. Մտածողության զարգացում կախված ընտանեկան և կլանային հարաբերություններում ներգրավվածությունից
Սոտրուդնիկի -> Մտավոր հաշմանդամություն ունեցող ուսանողների մոտ մասնագիտությամբ նշանակալի որակների ձևավորում.

ՓՈՐՁԱՐԿՈՒՄ

Թեմայի շուրջ՝ «Ռեժիմ. Միջին. Դրանց հաշվարկման եղանակները»

Ներածություն

Միջին արժեքները և տատանումների հարակից ցուցանիշները շատ կարևոր դեր են խաղում վիճակագրության մեջ, ինչը պայմանավորված է դրա ուսումնասիրության առարկայով: Ուստի այս թեման դասընթացի կենտրոնականներից մեկն է։

Միջինը վիճակագրության մեջ շատ տարածված ընդհանրացնող ցուցանիշ է։ Սա բացատրվում է նրանով, որ միայն միջինի օգնությամբ է հնարավոր բնակչությանը բնութագրել ըստ քանակապես փոփոխվող հատկանիշի։ Վիճակագրության մեջ միջին արժեքը նույն տեսակի երևույթների մի շարքի ընդհանրացնող բնութագիր է՝ ըստ քանակապես տարբեր հատկանիշի: Միջինը ցույց է տալիս այս հատկանիշի մակարդակը՝ կապված բնակչության միավորի հետ։

Ուսումնասիրելով սոցիալական երևույթները և ձգտելով բացահայտել դրանց բնորոշ, բնորոշ հատկանիշները տեղի և ժամանակի հատուկ պայմաններում՝ վիճակագիրները լայնորեն օգտագործում են միջին արժեքները: Միջինների օգնությամբ տարբեր պոպուլյացիաներ կարելի է համեմատել միմյանց հետ՝ ըստ տարբեր բնութագրերի։

Վիճակագրության մեջ օգտագործվող միջինները պատկանում են հզորության միջինների դասին: Հզորության միջիններից առավել հաճախ օգտագործվում է միջին թվաբանականը, ավելի քիչ՝ ներդաշնակ միջինը. Ներդաշնակ միջինը օգտագործվում է միայն դինամիկայի միջին տեմպերը հաշվարկելիս, իսկ միջին քառակուսինը՝ միայն տատանումների ցուցիչները հաշվարկելիս:

Միջին թվաբանականը տարբերակների գումարը նրանց թվի վրա բաժանելու գործակիցն է։ Այն օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ ամբողջ բնակչության համար փոփոխական հատկանիշի ծավալը ձևավորվում է որպես իր առանձին միավորների հատկանիշի արժեքների գումար: Միջին թվաբանականը միջինի ամենատարածված տեսակն է, քանի որ այն համապատասխանում է սոցիալական երևույթների բնույթին, որտեղ տարբեր նշանների ծավալը ագրեգատում ամենից հաճախ ձևավորվում է հենց որպես հատկանիշի արժեքների գումարը առանձին միավորներում: բնակչությունը։

Ըստ իր որոշիչ հատկության՝ ներդաշնակ միջինը պետք է օգտագործվի, երբ հատկանիշի ընդհանուր ծավալը ձևավորվում է որպես տարբերակի փոխադարձ արժեքների գումար։ Այն օգտագործվում է, երբ, կախված առկա նյութից, կշիռները պետք չէ բազմապատկել, այլ բաժանել տարբերակների կամ, նույնն է, բազմապատկել դրանց հակադարձ արժեքով: Այս դեպքերում ներդաշնակ միջինը հատկանիշի փոխադարձ արժեքների թվաբանական միջինի փոխադարձությունն է:

Հարմոնիկ միջինը պետք է օգտագործվի այն դեպքերում, երբ կշիռները ոչ թե պոպուլյացիայի միավորներն են՝ հատկանիշի կրողները, այլ այդ միավորների արտադրյալները և հատկանիշի արժեքը։

1. Ռեժիմի և միջինի սահմանումը վիճակագրության մեջ

Թվաբանական և ներդաշնակ միջոցները բնակչության ընդհանրացնող բնութագրերն են՝ ըստ այս կամ այն ​​տարբեր հատկանիշի: Փոփոխական հատկանիշի բաշխման օժանդակ նկարագրական բնութագրիչներն են՝ ռեժիմը և մեդիանը:

Վիճակագրության մեջ նորաձևությունը հատկանիշի (տարբերակի) արժեքն է, որն առավել հաճախ հանդիպում է տվյալ բնակչության մեջ: Վարիացիոն շարքում սա կլինի ամենաբարձր հաճախականությամբ տարբերակը:

Վիճակագրության մեջ միջինը կոչվում է տարբերակ, որը գտնվում է տատանումների շարքի մեջտեղում: Միջինը բաժանում է շարքը կիսով չափ, դրա երկու կողմերում (վեր ու վար) կան նույն թվով բնակչության միավորներ։

Ռեժիմը և մեդիանը, ի տարբերություն էքսպոնենցիալ միջինների, հատուկ բնութագրիչներ են, դրանց արժեքը տատանումների շարքի ցանկացած որոշակի տարբերակ է:

Ռեժիմն օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ անհրաժեշտ է բնութագրել հատկանիշի առավել հաճախ հանդիպող արժեքը:

5.5 Ռեժիմ և միջին: Դրանց հաշվարկը դիսկրետ և ինտերվալային փոփոխական շարքերում

Եթե ​​անհրաժեշտ է, օրինակ, պարզել ձեռնարկությունում ամենատարածված աշխատավարձը, շուկայական գինը, որով վաճառվել է ամենամեծ թվով ապրանքներ, կոշիկի չափսերը, որոնք առավել պահանջված են սպառողների շրջանում և այլն, այս դեպքերում. դիմել նորաձևության.

Միջինը հետաքրքիր է նրանով, որ ցույց է տալիս փոփոխական բնութագրիչի արժեքի քանակական սահմանը, որին հասել է բնակչության կեսը։ Թող բանկի աշխատողների միջին աշխատավարձը կազմի 650,000 ռուբլի: ամսական. Այս բնութագիրը կարելի է լրացնել, եթե ասենք, որ աշխատողների կեսը ստացել է 700 000 ռուբլի աշխատավարձ։ և ավելի բարձր, այսինքն. վերցնենք միջինը. Մոդելը և մեդիանը բնորոշ բնութագրիչներ են այն դեպքերում, երբ պոպուլյացիաները միատարր են և մեծ թվով:

Գտնելով ռեժիմը և միջինը դիսկրետ տատանումների շարքում

Տարբերակային շարքում ռեժիմը և մեդիանը գտնելը, որտեղ հատկանիշի արժեքները տրվում են որոշակի թվերով, այնքան էլ դժվար չէ: Դիտարկենք աղյուսակ 1. ընտանիքների բաշխումն ըստ երեխաների թվի:

Աղյուսակ 1. Ընտանիքների բաշխումն ըստ երեխաների թվի

Ակնհայտ է, որ այս օրինակում նորաձևությունը կլինի երկու երեխա ունեցող ընտանիքը, քանի որ ընտրանքների այս արժեքը համապատասխանում է ընտանիքների ամենամեծ թվին: Կարող են լինել բաշխումներ, որտեղ բոլոր տարբերակները հավասարապես հաճախակի են, այդ դեպքում չկա նորաձեւություն, կամ, այլ կերպ ասած, բոլոր տարբերակները կարելի է ասել հավասարապես մոդալ են։ Այլ դեպքերում, ոչ թե մեկ, այլ երկու տարբերակներ կարող են լինել ամենաբարձր հաճախականությունը: Այնուհետեւ կլինի երկու ռեժիմ, բաշխումը կլինի երկմոդալ: Բիմոդալ բաշխումները կարող են ցույց տալ պոպուլյացիայի որակական տարասեռությունը՝ ըստ ուսումնասիրվող հատկանիշի:

Դիսկրետ տատանումների շարքում մեդիանը գտնելու համար հարկավոր է հաճախականությունների գումարը կիսով չափ բաժանել և արդյունքին ավելացնել ½: Այսպիսով, երեխաների թվով 185 ընտանիքի բաշխման դեպքում միջինը կլինի՝ 185/2 + ½ = 93, այսինքն. 93-րդ տարբերակը, որը բաժանում է պատվիրված շարքը կիսով չափ։ Ո՞րն է 93-րդ տարբերակի իմաստը. Պարզելու համար պետք է հաճախականություններ կուտակել՝ սկսած ամենափոքր տարբերակներից։ 1-ին և 2-րդ տարբերակի հաճախականությունների գումարը 40 է։ Պարզ է, որ այստեղ 93 տարբերակ չկա։ Եթե ​​3-րդ տարբերակի հաճախականությունը ավելացնենք 40-ին, ապա կստանանք գումարը հավասար է 40 + 75 = 115: Հետևաբար, 93-րդ տարբերակը համապատասխանում է փոփոխական հատկանիշի երրորդ արժեքին, և միջինը կլինի երկու երեխա ունեցող ընտանիքը: .

Այս օրինակում ռեժիմը և մեդիանը համընկել են: Եթե ​​մենք ունեինք հաճախականությունների զույգ գումար (օրինակ՝ 184), ապա կիրառելով վերը նշված բանաձևը, մենք ստանում ենք միջին ընտրանքների թիվը՝ 184/2 + ½ = 92,5: Քանի որ կոտորակային տարբերակներ չկան, արդյունքը ցույց է տալիս, որ միջինը գտնվում է 92-ից 93 տարբերակների մեջտեղում:

3. Միջակայքի տատանումների շարքում ռեժիմի և մեդիանայի հաշվարկ

Ռեժիմի և մեդիանայի նկարագրական բնույթը պայմանավորված է նրանով, որ դրանք չեն փոխհատուցում անհատական ​​շեղումները: Նրանք միշտ համապատասխանում են որոշակի տարբերակի։ Հետևաբար, ռեժիմը և մեդիանը չեն պահանջում հաշվարկներ դրանք գտնելու համար, եթե հատկանիշի բոլոր արժեքները հայտնի են: Այնուամենայնիվ, ինտերվալների տատանումների շարքում հաշվարկներն օգտագործվում են որոշակի միջակայքում ռեժիմի և մեդիանայի մոտավոր արժեքը գտնելու համար:

Ընդմիջումով փակված նշանի մոդալ արժեքի որոշակի արժեքը հաշվարկելու համար օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը.

M o \u003d X Mo + i Mo * (f Mo - f Mo-1) / ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

Որտեղ X Mo մոդալ միջակայքի նվազագույն սահմանն է.

i Mo-ը մոդալ միջակայքի արժեքն է.

fMo-ն մոդալ միջակայքի հաճախականությունն է.

f Mo-1 - մոդալին նախորդող միջակայքի հաճախականությունը.

f Mo+1 մոդալին հաջորդող միջակայքի հաճախականությունն է։

Մենք ցույց կտանք ռեժիմի հաշվարկը՝ օգտագործելով Աղյուսակ 2-ում տրված օրինակը:

Աղյուսակ 2. Ձեռնարկության աշխատողների բաշխումն ըստ արտադրական ստանդարտների կատարման

Ռեժիմը գտնելու համար նախ որոշում ենք տվյալ շարքի մոդալ միջակայքը։ Օրինակից երևում է, որ ամենաբարձր հաճախականությունը համապատասխանում է այն միջակայքին, որտեղ տարբերակն ընկած է 100-ից 105 միջակայքում: Սա մոդալ միջակայքն է: Մոդալ միջակայքի արժեքը 5 է:

Աղյուսակ 2-ի թվային արժեքները փոխարինելով վերը նշված բանաձևով, մենք ստանում ենք.

M o \u003d 100 + 5 * (104 -12) / ((104 - 12) + (104 - 98)) \u003d 108.8

Այս բանաձևի իմաստը հետևյալն է. մոդալ միջակայքի այն մասի արժեքը, որը պետք է ավելացվի դրա նվազագույն սահմանին, որոշվում է կախված նախորդ և հաջորդ ինտերվալների հաճախականությունների մեծությունից: Այս դեպքում 100-ին ավելացնում ենք 8,8, այսինքն. ինտերվալի կեսից ավելին, քանի որ նախորդ ինտերվալի հաճախականությունը փոքր է հաջորդ միջակայքի հաճախականությունից:

Հիմա եկեք հաշվարկենք միջինը: Միջանկյալ տատանումների շարքում մեդիանը գտնելու համար նախ որոշում ենք այն միջակայքը, որում այն ​​գտնվում է (միջին միջակայքը): Այդպիսի միջակայք կլինի այն, որի կուտակային հաճախականությունը հավասար է կամ մեծ է հաճախությունների գումարի կեսից: Կուտակային հաճախականությունները ձևավորվում են հաճախականությունների աստիճանական գումարմամբ՝ սկսած ամենափոքր հատկանիշի արժեք ունեցող միջակայքից: Մեր ունեցած հաճախությունների գումարի կեսը 250 է (500:2): Հետևաբար, ըստ աղյուսակ 3-ի, միջին միջակայքը կլինի աշխատավարձի արժեքի միջակայքը 350,000 ռուբլիից: մինչև 400,000 ռուբլի:

Աղյուսակ 3. Մեդիանի հաշվարկը միջակայքի տատանումների շարքում

Մինչև այս միջակայքը, կուտակված հաճախականությունների գումարը 160 էր: Հետևաբար, միջինի արժեքը ստանալու համար անհրաժեշտ է ավելացնել ևս 90 միավոր (250 - 160):

Մեդիանի արժեքը որոշելիս ենթադրվում է, որ միջակայքի սահմաններում միավորների արժեքը բաշխվում է հավասարաչափ։ Հետևաբար, եթե այս միջակայքում 115 միավորը հավասարաչափ բաշխված է 50-ին հավասար միջակայքում, ապա 90 միավորը կհամապատասխանի հետևյալ արժեքին.

Նորաձևությունը վիճակագրության մեջ

Միջին (վիճակագրություն)

Միջին (վիճակագրություն), մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ նմուշը բնութագրող թիվ (օրինակ՝ թվերի հավաքածու)։ Եթե ​​նմուշի բոլոր տարրերը տարբեր են, ապա մեդիանը նմուշի թիվն է այնպես, որ նմուշի տարրերի ուղիղ կեսը նրանից մեծ են, իսկ մյուս կեսը նրանից փոքր են:

Ավելի ընդհանուր դեպքում մեդիանը կարելի է գտնել՝ նմուշի տարրերը դասավորելով աճման կամ նվազման կարգով և վերցնելով միջին տարրը։ Օրինակ, նմուշը (11, 9, 3, 5, 5) պատվիրելուց հետո վերածվում է (3, 5, 5, 9, 11) և դրա մեդիանը 5 թիվն է: Եթե նմուշն ունի զույգ թվով տարրեր, ապա մեդիանը չի կարող եզակիորեն որոշվել. թվային տվյալների համար ամենից հաճախ օգտագործվում է երկու հարակից արժեքների կիսագումարը (այսինքն, բազմության միջինը (1, 3, 5, 7) վերցվում է հավասար 4-ի):

Այլ կերպ ասած, վիճակագրության մեջ մեդիանն այն արժեքն է, որը շարքը կիսով չափ կիսում է այնպես, որ դրա երկու կողմերում (վերև կամ վար) գտնվում է տվյալ բնակչության նույն թվով միավորները։ Այս հատկության պատճառով այս ցուցանիշն ունի մի քանի այլ անվանումներ՝ 50-րդ տոկոսը կամ 0,5 քվանտիլը:

Միջինը օգտագործվում է միջին թվաբանականի փոխարեն, երբ դասակարգված շարքի ծայրահեղ տարբերակները (ամենափոքրը և ամենամեծը) մնացածի համեմատ չափազանց մեծ են կամ չափազանց փոքր։

MEDIAN ֆունկցիան չափում է կենտրոնական միտումը, որը վիճակագրական բաշխման մեջ թվերի բազմության կենտրոնն է: Կենտրոնական միտումը որոշելու երեք ամենատարածված եղանակ կա.

• Նկատի ունեմ- թվաբանական միջինը, որը հաշվարկվում է թվերի մի շարք գումարելով, որից հետո ստացված գումարը բաժանվում է դրանց թվի վրա:
  Օրինակ, 2, 3, 3, 5, 7 և 10 թվերի միջինը 5 է, որը արդյունք է նրանց գումարը, որը 30 է, նրանց թվի վրա, որը 6 է։
• Միջին- Թիվ, որը թվերի բազմության միջնամասն է. թվերի կեսը միջինից մեծ արժեքներ ունի, իսկ թվերի կեսը փոքր են:
  Օրինակ, 2, 3, 3, 5, 7 և 10 թվերի միջինը 4 է։
• Նորաձևությունայն թիվն է, որն առավել հաճախ հանդիպում է տվյալ թվերի շարքում:

  Օրինակ, 2, 3, 3, 5, 7 և 10 թվերի ռեժիմը 3 է։

Միջին (վիճակագրություն), մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ՝ նմուշը բնութագրող թիվ (օրինակ՝ թվերի հավաքածու)։ Եթե ​​նմուշի բոլոր տարրերը տարբեր են, ապա մեդիանը նմուշի թիվն է այնպես, որ նմուշի տարրերի ուղիղ կեսը նրանից մեծ են, իսկ մյուս կեսը նրանից փոքր են: Ավելի ընդհանուր դեպքում մեդիանը կարելի է գտնել՝ նմուշի տարրերը դասավորելով աճման կամ նվազման կարգով և վերցնելով միջին տարրը։ Օրինակ, նմուշը (11, 9, 3, 5, 5) պատվիրելուց հետո վերածվում է (3, 5, 5, 9, 11) և դրա մեդիանը 5 թիվն է: Եթե նմուշն ունի զույգ թվով տարրեր, ապա մեդիանը չի կարող եզակիորեն որոշվել. թվային տվյալների համար ամենից հաճախ օգտագործվում է երկու հարակից արժեքների կիսագումարը (այսինքն, բազմության միջինը (1, 3, 5, 7) վերցվում է հավասար 4-ի):

Այլ կերպ ասած, վիճակագրության մեջ մեդիանն այն արժեքն է, որը շարքը կիսով չափ կիսում է այնպես, որ դրա երկու կողմերում (վերև կամ վար) գտնվում է տվյալ բնակչության նույն թվով միավորները։ Այս հատկության պատճառով այս ցուցանիշն ունի մի քանի այլ անվանումներ՝ 50-րդ տոկոսը կամ 0,5 քվանտիլը:

Միջինը օգտագործվում է միջին թվաբանականի փոխարեն, երբ դասակարգված շարքի ծայրահեղ տարբերակները (ամենափոքրը և ամենամեծը) մնացածի համեմատ չափազանց մեծ են կամ չափազանց փոքր։

MEDIAN ֆունկցիան չափում է կենտրոնական միտումը, որը վիճակագրական բաշխման մեջ թվերի բազմության կենտրոնն է: Կենտրոնական միտումը որոշելու երեք ամենատարածված եղանակ կա.

• Նկատի ունեմ- թվաբանական միջինը, որը հաշվարկվում է թվերի մի շարք գումարելով, որից հետո ստացված գումարը բաժանվում է դրանց թվի վրա:
  Օրինակ, 2, 3, 3, 5, 7 և 10 թվերի միջինը 5 է, որը արդյունք է նրանց գումարը, որը 30 է, նրանց թվի վրա, որը 6 է։
• Միջին- թիվ, որը թվերի բազմության միջնամասն է. թվերի կեսը միջինից մեծ արժեքներ ունի, իսկ թվերի կեսն ավելի փոքր արժեքներ ունեն:
  Օրինակ, 2, 3, 3, 5, 7 և 10 թվերի միջինը 4 է։
• Նորաձևություն- այն թիվը, որն առավել հաճախ հանդիպում է տվյալ թվերի շարքում:
  Օրինակ, 2, 3, 3, 5, 7 և 10 թվերի ռեժիմը 3 է։

Ռեժիմը և միջինը- միջինների հատուկ տեսակ, որոնք օգտագործվում են տատանումների շարքի կառուցվածքն ուսումնասիրելու համար: Դրանք երբեմն կոչվում են կառուցվածքային միջիններ՝ ի տարբերություն նախկինում քննարկված ուժային իրավունքի միջինների:

Նորաձևություն- սա հատկանիշի (տարբերակի) արժեքն է, որն առավել հաճախ հանդիպում է այս պոպուլյացիայի մեջ, այսինքն. ունի ամենաբարձր հաճախականությունը:

Նորաձևությունը մեծ գործնական կիրառություն ունի, և որոշ դեպքերում միայն նորաձևությունը կարող է բնութագրել սոցիալական երևույթները։

Միջինայն տարբերակն է, որը գտնվում է պատվիրված տատանումների շարքի մեջտեղում։

Միջինը ցույց է տալիս փոփոխական բնութագրիչի արժեքի քանակական սահմանը, որին հասնում է բնակչության միավորների կեսը: Միջինի օգտագործումը միջինի հետ կամ դրա փոխարեն ցանկալի է, եթե տատանումների շարքում կան բաց ընդմիջումներ, քանի որ մեդիանայի հաշվարկը չի պահանջում բաց միջակայքերի սահմանների պայմանական սահմանում, և, հետևաբար, դրանց մասին տեղեկատվության բացակայությունը չի ազդում մեդիանայի հաշվարկի ճշգրտության վրա:

Մեդիանն օգտագործվում է նաև այն դեպքում, երբ անհայտ են որպես կշիռներ օգտագործելու ցուցիչները: Արտադրանքի որակի վերահսկման վիճակագրական մեթոդներում միջին թվաբանականի փոխարեն օգտագործվում է միջինը: Տարբերակների բացարձակ շեղումների գումարը միջինից փոքր է, քան ցանկացած այլ թվից:

Դիտարկենք ռեժիմի և միջինի հաշվարկը դիսկրետ տատանումների շարքում :

Որոշեք ռեժիմը և միջինը:

Fashion Mo = 4 տարի, քանի որ այս արժեքը համապատասխանում է f = 5 ամենաբարձր հաճախականությանը:

Նրանք. Աշխատողների մեծ մասն ունի 4 տարվա փորձ։

Միջինը հաշվարկելու համար մենք նախ գտնում ենք հաճախությունների գումարի կեսը: Եթե ​​հաճախականությունների գումարը կենտ թիվ է, ապա այս գումարին նախ ավելացնում ենք մեկը, այնուհետև կիսում ենք այն.

Միջինը կլինի ութերորդ տարբերակը:

Որպեսզի գտնենք, թե որ տարբերակն է լինելու թվով ութերորդը, մենք կկուտակենք հաճախականություններ այնքան ժամանակ, մինչև չստանանք բոլոր հաճախությունների գումարի կեսից հավասար կամ ավելի մեծ հաճախականությունների գումարը: Համապատասխան տարբերակը կլինի մեդիանը։

Ես = 4 տարի:

Նրանք. աշխատողների կեսը չորս տարուց պակաս փորձ ունի, կեսը՝ ավելին։

Եթե ​​մեկ տարբերակի նկատմամբ կուտակված հաճախականությունների գումարը հավասար է հաճախությունների գումարի կեսին, ապա միջինը սահմանվում է որպես այս տարբերակի և հաջորդի միջին թվաբանականը:

Ռեժիմի և մեդիանայի հաշվարկ ինտերվալային տատանումների շարքում

Միջակայքի տատանումների շարքի ռեժիմը հաշվարկվում է բանաձևով

որտեղ X М0- մոդալ միջակայքի սկզբնական սահմանը,

հմ 0 մոդալ միջակայքի արժեքն է,

զմ 0 , զմ 0-1 , զմ 0+1 - մոդալային միջակայքի հաճախականությունը, համապատասխանաբար, նախորդող մոդալին և դրան հաջորդողին:

ՄոդալԱմենաբարձր հաճախականությամբ ինտերվալը կոչվում է.

Օրինակ 1

Որոշեք ռեժիմը և միջինը:

Մոդալ միջակայքը, քանի որ այն համապատասխանում է f = 35 ամենաբարձր հաճախականությանը: Ապա.

Հմ 0 =6, fm 0 =35

հմ 0 =2, fm 0-1 =20

fm 0+1 =11

Եզրակացություն. Աշխատողների ամենամեծ թիվը մոտավորապես 6,7 տարվա փորձ ունի:

Ինտերվալային շարքի համար Me-ը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

որտեղ Հմ ե- միջանկյալ միջակայքի ստորին սահմանը,

հմ ե- միջին միջակայքի չափը,

- հաճախականությունների գումարի կեսը,

fm եմիջին միջակայքի հաճախականությունն է,

Սմ ե-1միջինին նախորդող միջակայքի կուտակված հաճախությունների գումարն է։

Միջին ինտերվալը այնպիսի միջակայք է, որին համակցված է կուտակային հաճախականությունը, որը հավասար է կամ ավելի, քան հաճախությունների գումարի կեսը:

Եկեք սահմանենք մեր օրինակի միջինը:

քանի որ 82>50, ապա միջին միջակայքը .

Հմ ե =6, fm ե =35,

հմ ե =2, Սմ ե-1 =47,

Եզրակացություն՝ աշխատողների կեսն ունի 6,16 տարուց պակաս փորձ, իսկ կեսը՝ ավելի քան 6,16 տարվա փորձ:

Առաջադրանք. Գտե՛ք եռանկյան միջնագծի երկարությունը՝ ըստ նրա կողմերի

Լուծում.

Խնդիրն ունի լուծման երկու ճանապարհ. Առաջինը, որը դուր չի գալիս ավագ դպրոցի ուսուցիչներին, բայց ամենաբազմակողմանին է։

Մեթոդ 1.

Կիրառենք Ստյուարտի թեորեմը, ըստ որի մեդիանայի քառակուսին հավասար է կողմերի կրկնակի քառակուսիների գումարի մեկ չորրորդին, որից հանվում է այն կողմի քառակուսին, որին գծված է միջինը։

M c 2 = (2a 2 + 2b 2 - c 2) / 4

Համապատասխանաբար

M c 2 \u003d (2 * 8 2 + 2 * 9 2 - 13 2) / 4
մ գ 2 = 30,25
m c = 5,5 սմ

Մեթոդ 2.

Երկրորդ լուծումը, որը սիրում են դպրոցում ուսուցիչները, զուգահեռագծին եռանկյունի լրացուցիչ կառուցումն է և լուծումը զուգահեռագծի անկյունագծային թեորեմի միջոցով:

Մենք երկարացնում ենք եռանկյան կողմերը և միջնագիծը՝ դրանք լրացնելով զուգահեռագծի վրա։ Այս դեպքում ABC եռանկյան միջին BO-ն հավասար կլինի ստացված զուգահեռագծի անկյունագծի կեսին, իսկ AB, BC եռանկյան երկու կողմերը՝ նրա կողմերին: AC եռանկյան երրորդ կողմը, որի վրա գծված է միջնագիծը, ստացված զուգահեռագծի երկրորդ անկյունագիծն է:

Համաձայն թեորեմի՝ զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է նրա կողմերի քառակուսիների գումարի կրկնապատիկին։

2(a 2 +b 2)=d 1 2 +d 2 2

Նշենք զուգահեռագծի անկյունագիծը, որը ձևավորվում է սկզբնական եռանկյան միջնագծի շարունակությամբ x, ստանում ենք.

2(8 2 + 9 2) = 13 2 + x 2
290 = 169 + x2
x2 = 290 - 169
x2 = 121
x = 11

Քանի որ ցանկալի մեդիանը հավասար է զուգահեռագծի անկյունագծի կեսին, ապա եռանկյան միջինի արժեքը կլինի 11/2 = 5,5 սմ:

Պատասխանել 5,5 սմ