ಉದಾಹರಣೆ 1.

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು a \u003d (1; 2) ಮತ್ತು b \u003d (4; 8) ಹುಡುಕಿ.

ನಿರ್ಧಾರ: a b \u003d 1 4 + 2 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20.

ಉದಾಹರಣೆ 2.

ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ a ಮತ್ತು b ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು | a | \u003d 3, | ಬಿ | \u003d 6, ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ 60˚.

ನಿರ್ಧಾರ: a b \u003d | a | · | ಬಿ | cos α \u003d 3 6 cos 60˚ \u003d 9.

ಉದಾಹರಣೆ 3.

ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ p \u003d a + 3b ಮತ್ತು q \u003d 5a - 3 b ಅವುಗಳ ಉದ್ದವಿದ್ದರೆ | a | \u003d 3, | ಬಿ | \u003d 2, ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳು a ಮತ್ತು b ನಡುವಿನ ಕೋನ 60˚ ಆಗಿದೆ.

ನಿರ್ಧಾರ:

p q \u003d (a + 3b) (5a - 3b) \u003d 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b \u003d \u003d 5 | a | 2 + 12 ಎ ಬಿ - 9 | ಬಿ | 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 ಕಾಸ್ 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆ

ಉದಾಹರಣೆ 4.

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ a \u003d (1; 2; -5) ಮತ್ತು ಬಿ \u003d (4; 8; 1).

ನಿರ್ಧಾರ: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 \u003d 4 + 16 - 5 \u003d 15.

ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್\u200cಗಳಿಗೆ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆ

ಉದಾಹರಣೆ 5.

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ a \u003d (1; 2; -5; 2) ಮತ್ತು ಬಿ \u003d (4; 8; 1; -2).

ನಿರ್ಧಾರ: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) \u003d 4 + 16 - 5 -4 \u003d 11.

ವೆಕ್ಟರ್ ಡೊಬುಟೊಕ್ ವಾಹಕಗಳು, ಶಕ್ತಿ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ zm_st. ವೆಕ್ಟರ್-ಗುಣಕದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಡ್-ಆನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕೊಲೈನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು, ವೇಳೆ:

1) ಇದರ ಉದ್ದವು ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್\u200cನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: (ಚಿತ್ರ 1.42);

2) ವೆಕ್ಟರ್ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮತ್ತು;

3) ವಾಹಕಗಳು ,, (ಸೂಚಿಸಿದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ) ಸರಿಯಾದ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಕೊಲಿನೀಯರ್ ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಂಶ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ) ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್\u200cಗೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ).

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಯಾವುದೇ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ,, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ:

1. ;

3. .

ಮೊದಲ ಆಸ್ತಿಯು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಂಟಿಸ್ಮಿಟ್ರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು - ಮೊದಲ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪತೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ: ಮೊದಲ ಆಸ್ತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಸಂವಹನ ನಿಯಮಕ್ಕೆ "ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ" (ಆಂಟಿಕೊಮ್ಯುಟಾವಿಟಿ ನಿಯಮ), ಎರಡನೆಯ ಆಸ್ತಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಸೇರ್ಪಡೆ, ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದು, ಗುಣಾಕಾರದ ಸಹಭಾಗಿತ್ವದ ನಿಯಮಕ್ಕೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ವಾಹಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್\u200cಗಳ ಅಂತಹ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಲೈನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು uming ಹಿಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಮೊದಲ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ (ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್\u200cಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ, ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಎರಡೂ ವಾಹಕಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವುದರಿಂದ). ವಾಹಕಗಳ ತ್ರಿವಳಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮತ್ತು ಸರಿ, ಅಂದರೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ತುದಿಯಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ) ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದರಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ತಿರುವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ನೋಡಿದಾಗ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಂತ್ಯ (ಚಿತ್ರ 1.43) ... ಇದರರ್ಥ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ. ಉಳಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಟೀಕೆ 1.13 ರ ಐಟಂ 1 ನೋಡಿ).

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ನಾವು ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಡಮ್ಮೀಸ್ಗಾಗಿ ವಾಹಕಗಳು ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ವೆಕ್ಟರ್\u200cಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು, ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್\u200cಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸರಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಸರ್ಚ್ ಎಂಜಿನ್\u200cನಿಂದ ಈ ಪುಟಕ್ಕೆ ಬಂದಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಲು ನಾನು ಹೆಚ್ಚು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇನೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಿಷಯವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾನು ಬಳಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ನ್ಯಾವಿಗೇಟ್ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ವಾಹಕಗಳ ಮೂಲ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪಾಠವು ವಿಷಯದ ತಾರ್ಕಿಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ನಾನು ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇನೆ. ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಚಟುವಟಿಕೆಯಾಗಿದೆ... ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದಿರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ, ಅವುಗಳು ಉಪಯುಕ್ತ ಬೋನಸ್\u200cನೊಂದಿಗೆ ಇರುತ್ತವೆ - ಅಭ್ಯಾಸವು ನೀವು ಆವರಿಸಿರುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕ್ರೋ id ೀಕರಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು "ನಿಮ್ಮ ಕೈಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು" ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಗುಣಾಕಾರ…. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬೇರೆ ಯಾವುದನ್ನೂ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಯೋಚಿಸುವುದು ನಿಷ್ಕಪಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ಇತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ... ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶಾಲೆಯಿಂದ ನಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ, ಇತರ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್\u200cಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ವಿಷಯಗಳು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕೊರೆಯಚ್ಚು ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ವಿಷಯ. ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾಹಿತಿಯಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವುದು ಅನಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ. ಟೀಪಾಟ್\u200cಗಳಿಗೆ ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ, ನನ್ನನ್ನು ನಂಬಿರಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಚಿಕತಿಲೋನಂತೆ ಅನಿಸಲು ಲೇಖಕನು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ. ಒಳ್ಳೆಯದು, ಮತ್ತು ಗಣಿತದಿಂದ ಅಲ್ಲ, ಸಹಜವಾಗಿ, \u003d) ಹೆಚ್ಚು ತಯಾರಾದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಯ್ದವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಕಾಣೆಯಾದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು "ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ", ನಿಮಗಾಗಿ ನಾನು ನಿರುಪದ್ರವ ಕೌಂಟ್ ಡ್ರಾಕುಲಾ \u003d)

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ಬಾಗಿಲು ತೆರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಭೇಟಿಯಾದಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಉತ್ಸಾಹದಿಂದ ನೋಡೋಣ….

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಣಯ.
ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಮೊದಲು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ... ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಏನೆಂಬುದನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ. ಉಚಿತ ನಾನ್ಜೆರೋ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು. ನೀವು ಈ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮುಂದೂಡಿದರೆ, ಅನೇಕರು ಈಗಾಗಲೇ ತಮ್ಮ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಂಡ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ:

ಇಲ್ಲಿ ನಾನು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತಿಳುವಳಿಕೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ನಾನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಬೇಕಾದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವನ್ನು ನೋಡಿ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗಾಗಿ, ನಮಗೆ, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಲ್ಲದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅನುಸರಿಸುವುದು, ಕೆಲವು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯಿಂದಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತೇನೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೆಲವು ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ ನನ್ನನ್ನು ನಿಂದಿಸುವ ಸುಧಾರಿತ ಸೈಟ್ ಸಂದರ್ಶಕರಿಗೆ ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಯ್ದಿರಿಸಿದ್ದೇನೆ.

ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಕೋನ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಡೆಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್\u200cನಿಂದ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇದು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಕಷ್ಟು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಅಗತ್ಯ ಮಾಹಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಹುದ್ದೆ: ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು NUMBER ಆಗಿದೆ: ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ ಸಹ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೇವಲ ಒಂದೆರಡು ಅಭ್ಯಾಸ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನಿರ್ಧಾರ: ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ... ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ಉತ್ತರ:

ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಇದರಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಕೋಷ್ಟಕ... ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ - ಇದು ಗೋಪುರದ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಲವು ಬಾರಿ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆಯಾಮರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅಷ್ಟೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ನಂತರ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಭೌತಿಕ ಘಟಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಬಲದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅಂಗೀಕೃತ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು (ಸೂತ್ರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ ಬಲದ ಕೆಲಸವನ್ನು ಜೂಲ್ಸ್\u200cನಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ , ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ.

ಸ್ಟ್ಯಾಂಡ್ ಅಲೋನ್ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಉತ್ತರವು ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ, ಅದು .ಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆ ಏನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಾವು ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ... ನಾನ್ಜೆರೋ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ: ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಕೊಸೈನ್\u200cನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ: ಕೆಳಗಿನ ಮಾಹಿತಿಯ ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ಕೈಪಿಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೊಸೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್\u200cಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು... ಕೊಸೈನ್ ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ.

ಈಗಾಗಲೇ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಒಳಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು , ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

1) ಇದ್ದರೆ ಕೋನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ತೀವ್ರ: (0 ರಿಂದ 90 ಡಿಗ್ರಿವರೆಗೆ), ನಂತರ ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಸಹ ನಿರ್ದೇಶನ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಶೂನ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ :.

2) ಇದ್ದರೆ ಕೋನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ದಡ್ಡ: (90 ರಿಂದ 180 ಡಿಗ್ರಿವರೆಗೆ), ನಂತರ , ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ .ಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ:. ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ: ವಾಹಕಗಳು ಇದ್ದರೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ: (180 ಡಿಗ್ರಿ). ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಹ negative ಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಸಂವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಹ ನಿಜ:

1) ಇದ್ದರೆ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ಕೋಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

2) ಇದ್ದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಚೂಪಾದವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿವೆ.

ಆದರೆ ಮೂರನೆಯ ಪ್ರಕರಣವು ವಿಶೇಷ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

3) ಇದ್ದರೆ ಕೋನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ನೇರ: (90 ಡಿಗ್ರಿ), ನಂತರ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:. ಸಂಭಾಷಣೆ ಸಹ ನಿಜ: ಆಗಿದ್ದರೆ. ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ಈ ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ... ಸಣ್ಣ ಗಣಿತ ಸಂಕೇತ:

! ಸೂಚನೆ : ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಅಡಿಪಾಯ: ಡಬಲ್ ಸೈಡೆಡ್ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮದ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ “ನಂತರ ಮತ್ತು ನಂತರ”, “ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ” ಎಂದು ಓದಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಬಾಣಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - "ಇದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ - ಇದರಿಂದ ಏನಾಗುತ್ತದೆ." ಮೂಲಕ, ಒನ್-ವೇ ಫಾಲೋ ಐಕಾನ್\u200cನಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಐಕಾನ್ ಹಕ್ಕುಗಳು ಅದು ಮಾತ್ರ"ಇದು ಇದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ" ಮತ್ತು ಇದು ವಿರುದ್ಧವಾದ ಸತ್ಯ ಎಂಬುದು ಸತ್ಯವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಾಣಿಯೂ ಪ್ಯಾಂಥರ್ ಅಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಐಕಾನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಐಕಾನ್ ಬದಲಿಗೆ ಮಾಡಬಹುದು ಒನ್-ವೇ ಐಕಾನ್ ಬಳಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದ್ದೇವೆ: - ಅಂತಹ ನಮೂದು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ .

ಮೂರನೆಯ ಪ್ರಕರಣವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂದು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಬಂದಾಗ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗೆ ಮರಳೋಣ ಸಹ ನಿರ್ದೇಶನ... ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ :.

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ವೆಕ್ಟರ್ ತನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕೋಡೈರೆಕ್ಷನಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸರಳೀಕೃತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ವೆಕ್ಟರ್, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಉದ್ದದ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಇದು ಅಸ್ಪಷ್ಟವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಪಾಠದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಅದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಮಗೂ ಬೇಕು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

1) - ಚಲಿಸಬಲ್ಲ ಅಥವಾ ಪರಿವರ್ತಕ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನು.

2) - ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ವಿತರಣೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನು. ಸರಳವಾಗಿ, ನೀವು ಆವರಣವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

3) - ಸಂಯೋಜನೆ ಅಥವಾ ಸಹಾಯಕ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನು. ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು.

ಆಗಾಗ್ಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಇದನ್ನು ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ!) ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಅನಗತ್ಯ ಕಸ ಎಂದು ಗ್ರಹಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅದನ್ನು ಕೇವಲ ಕಂಠಪಾಠ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ನಂತರ ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಮರೆತುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಮುಖ್ಯವಾದುದು ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಅಂಶಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆಯಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಈಗಾಗಲೇ ಮೊದಲ ದರ್ಜೆಯಿಂದ ತಿಳಿದಿದೆ :. ನಾನು ನಿಮಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡಬೇಕು, ಈ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಮರವನ್ನು ಒಡೆಯುವುದು ಸುಲಭ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಆಸ್ತಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸೈಸ್... ಇದಕ್ಕೂ ತಪ್ಪು ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ... ಆದ್ದರಿಂದ, ಕನಿಷ್ಠ, ಉನ್ನತ ಗಣಿತದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಾಣುವ ಯಾವುದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ ಮತ್ತು ಏನು ಮಾಡಬಾರದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

.

ನಿರ್ಧಾರ:ಮೊದಲಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ. ಹೇಗಾದರೂ ಇದು ಏನು? ವಾಹಕಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಡಮ್ಮೀಸ್ಗಾಗಿ ವಾಹಕಗಳು... ವೆಕ್ಟರ್\u200cನೊಂದಿಗಿನ ಅದೇ ಪಾರ್ಸ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್\u200cಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಕೆಲಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ , ಆದರೆ ತೊಂದರೆ ಎಂದರೆ ನಮಗೆ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯು ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಬೇರೆ ದಾರಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ:

(1) ವೆಕ್ಟರ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ.

(2) ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಶ್ಲೀಲ ನಾಲಿಗೆಯ ಟ್ವಿಸ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕ್ರಿಯೆಯ ಏಕೀಕರಣ... ನಾನು ನಾನೇ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ \u003d) ಮೂಲಕ, ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಹಕ್ಕಿದೆ.

(3) ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: ... ಎರಡನೆಯ ಪದದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ :.

(4) ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ :.

(5) ಮೊದಲ ಪದದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಕೊನೆಯ ಪದದಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಅದೇ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ :. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ .

(6) ನಾವು ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ , ಮತ್ತು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಅಂತಿಮ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಉತ್ತರ:

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ negative ಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಚೂಪಾದವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ .

ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಉದ್ದದ ಹೊಸ ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ ಈಗ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯ. ಇಲ್ಲಿರುವ ಪದನಾಮಗಳು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾನು ಅದನ್ನು ಬೇರೆ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇನೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ವೇಳೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ .

ನಿರ್ಧಾರ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

(1) ವೆಕ್ಟರ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಸರಬರಾಜು ಮಾಡಿ.

(2) ನಾವು ಉದ್ದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ :, ಇಡೀ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವೆಕ್ಟರ್ "ವೆ" ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

(3) ಮೊತ್ತದ ಚೌಕಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಶಾಲಾ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಇಲ್ಲಿ ಕುತೂಹಲದಿಂದ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: - ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಚೌಕ, ಮತ್ತು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ. ಆಸಕ್ತರು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು: - ಇದು ಪದಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆಯವರೆಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

(4) ಉಳಿದವು ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

ನಾವು ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ - "ಘಟಕಗಳು".

ಉದಾಹರಣೆ 6

ವೇಳೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ .

ಮಾಡಬೇಕಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ನಾವು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಉಪಯುಕ್ತ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹಿಸುಕುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡೋಣ ... ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಎಡಭಾಗದ omin ೇದಕ್ಕೆ ಮರುಹೊಂದಿಸೋಣ:

ಮತ್ತು ನಾವು ಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸೂತ್ರದ ಅರ್ಥವೇನು? ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ನೀವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕೋನವು ಸ್ವತಃ.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯೇ? ಸಂಖ್ಯೆ. ವಾಹಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉದ್ದಗಳು? ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಾಗವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ: , ನಂತರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೋನವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ: .

ಉದಾಹರಣೆ 7

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ.

ನಿರ್ಧಾರ: ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಂತಿಮ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು - omin ೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ನಿರ್ಮೂಲನೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು, ನಾನು ಅಂಶ ಮತ್ತು omin ೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ವೇಳೆ , ನಂತರ:

ವಿಲೋಮ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಈ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಕೋಷ್ಟಕ... ಇದು ವಿರಳವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಿದರೂ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ನಾಜೂಕಿಲ್ಲದ ಕರಡಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಅಂತಹ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ:

ಮತ್ತೆ, ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ - ರೇಡಿಯನ್\u200cಗಳು ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿಗಳು. ವೈಯಕ್ತಿಕವಾಗಿ, ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ “ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ತೆರವುಗೊಳಿಸಲು”, ನಾನು ಮತ್ತು ಅದನ್ನೂ ಸೂಚಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ (ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ, ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಉತ್ತರವನ್ನು ರೇಡಿಯನ್\u200cಗಳಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ).

ಈಗ ನೀವು ನಿಮ್ಮದೇ ಆದ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 7 *

ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ,.

ಕಾರ್ಯವು ಬಹು-ಹಂತದಷ್ಟು ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ.
ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ:

1) ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ .

2) ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 3, 4 ನೋಡಿ).

3) ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ (ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 5, 6 ನೋಡಿ).

4) ಪರಿಹಾರದ ಅಂತ್ಯವು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ರೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ - ನಮಗೆ ಸಂಖ್ಯೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಕೋನವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ:

ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಪಾಠದ ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗವು ಒಂದೇ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಕ್ಷೆಗಳು. ಇದು ಮೊದಲ ಭಾಗಕ್ಕಿಂತಲೂ ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ,
ಆರ್ಥೊಡಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ

ಉತ್ತರ:

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಆಹ್ಲಾದಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 14

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು, ಇದ್ದರೆ

ಮಾಡಬೇಕಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಲೆಕ್ಕಿಸಬೇಡಿ, ಆದರೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಹೊರಗೆ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಚೋದನಕಾರಿ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 15

ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ , ಒಂದು ವೇಳೆ

ನಿರ್ಧಾರ:ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಮಾರ್ಗವು ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ :, ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಅದರ ಉದ್ದ :

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯಿಲ್ಲ!

ವ್ಯವಹಾರದ ಹೊರತಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಇದು:
ನಿಲ್ಲಿಸು. ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಆಸ್ತಿಯ ಲಾಭವನ್ನು ಏಕೆ ಪಡೆಯಬಾರದು? ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಿಂತ 5 ಪಟ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದೇಶನವು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮಾತುಕತೆ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಘಟಕ ಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು:
- ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಭವನೀಯ ಮೈನಸ್ ಅನ್ನು "ತಿನ್ನುತ್ತದೆ".

ಹೀಗೆ:

ಉತ್ತರ:

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್\u200cನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ

ಈಗ ನಾವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್\u200cಗಾಗಿ ಈ ಹಿಂದೆ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ:

ಸಮತಲದ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೊನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಆರ್ಥೊನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 16

ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹುಡುಕಿ (ಶೃಂಗದ ಕೋನ).

ನಿರ್ಧಾರ:ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ:

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಹಸಿರು ಚಾಪದಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೋನದ ಶಾಲೆಯ ಹೆಸರನ್ನು ತಕ್ಷಣ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ: - ವಿಶೇಷ ಗಮನ ಸರಾಸರಿ ಅಕ್ಷರ - ಇದು ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮೂಲೆಯ ಶೃಂಗವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನವು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ: .

ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ನಡೆಸಿದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಡೆಸುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು:

ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್:

ಟೀಪಾಟ್\u200cಗಳಿಗೆ ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯದ ಕ್ರಮ ಇದು. ಹೆಚ್ಚು ಸುಧಾರಿತ ಓದುಗರು "ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ" ಗಣನೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

“ಕೆಟ್ಟ” ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಮೌಲ್ಯವು ಅಂತಿಮವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ omin ೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸ್ವಲ್ಪವೇ ಇಲ್ಲ.

ಮೂಲೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಹುಡುಕಿ:

ನೀವು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಕಷ್ಟು ತೋರಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಪರಿಶೀಲನೆಗಾಗಿ, ಕೋನವನ್ನು ಪ್ರೊಟ್ರಾಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದು. ಮಾನಿಟರ್ನ ಕವರ್ ಅನ್ನು ಹಾನಿ ಮಾಡಬೇಡಿ \u003d)

ಉತ್ತರ:

ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಮರೆಯಬೇಡಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಿದೆ (ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ), ನಿಖರವಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಮರೆಯಬೇಡಿ: ಮತ್ತು ಕೋನದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯ: ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ.

ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆನಂದಿಸಿದವರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮಾನತೆ ನಿಜವೆಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ 17

ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು

ಮಾಡಬೇಕಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ

ಸಣ್ಣ ಅಂತಿಮ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು "ಮಿಶ್ರ" ಆಗಿದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್-ಟು-ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ.
ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ನಿರ್ದೇಶನ ಕೊಸೈನ್\u200cಗಳು

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು:

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸೋಣ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ (ಹಸಿರು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಸಾಲುಗಳು). ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣಗಳು ವೆಕ್ಟರ್\u200cಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತಿವೆ ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಂತರ ವಿಭಾಗ (ಕೆಂಪು ರೇಖೆ) ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ "ನೆರಳು" ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಯೋಜನೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ :, "ದೊಡ್ಡ ವೆಕ್ಟರ್" ಎಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾವುದು ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್, "ಸಣ್ಣ ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ವೆಕ್ಟರ್" ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಇದನ್ನು ಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ.

ದಾಖಲೆಯು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: "ವೆಕ್ಟರ್" ಎ "ವೆಕ್ಟರ್" ಬಿ "ಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ.

ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿಎಸ್" "ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ" ಆಗಿದ್ದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿ" ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಾವು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ "ಎ" ಅನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಯೋಜಿಸಲಾಗುವುದು ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿಎಸ್" ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ, ಸರಳವಾಗಿ - ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿ" ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ. ಮೂವತ್ತನೇ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ "ಎ" ಅನ್ನು ಮುಂದೂಡಿದರೆ ಅದೇ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ - ವೆಕ್ಟರ್ "ಬಿಎಚ್" ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೋನ ವೇಳೆ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ತೀವ್ರ (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ), ನಂತರ

ವಾಹಕಗಳು ಇದ್ದರೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ನಂತರ (ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಅದರ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯವೆಂದು are ಹಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಕೋನ ವೇಳೆ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವೆ ದಡ್ಡ(ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಬಾಣವನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಿ), ನಂತರ (ಅದೇ ಉದ್ದ, ಆದರೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ).

ಈ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ಮುಂದೂಡೋಣ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಚಲಿಸಿದಾಗ, ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ

ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ (ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಇದನ್ನು ಎಸ್\u200cಪಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಆತ್ಮೀಯ ಸ್ನೇಹಿತರೆ! ಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ವೆಕ್ಟರ್-ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು "ವೆಕ್ಟರ್ಸ್" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು. ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಕೋರ್ಸ್\u200cನಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಸೂತ್ರಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ. ಒಮ್ಮೆ ನೋಡಿ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎಸ್ಪಿ ವಾಹಕಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ (ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ). ಈಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ "ಇಮ್ಮರ್ಶನ್":

ಎಚ್ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅದರ ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿಅದರ ಪ್ರಾರಂಭದ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಮತ್ತು ಮತ್ತಷ್ಟು:

* ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ (ಮಾಡ್ಯುಲಸ್) ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಈ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು !!!

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ:

ಇದು 0 ರಿಂದ 180 0 ವರೆಗೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ 0 ರಿಂದ ಪೈ ವರೆಗೆ ರೇಡಿಯನ್\u200cಗಳಲ್ಲಿ).

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಕೆಲವು ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

1. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತೀವ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ (0 0 ರಿಂದ 90 0 ವರೆಗೆ), ನಂತರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

2. ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಚೂಪಾದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ (90 0 ರಿಂದ 180 0 ವರೆಗೆ), ನಂತರ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

* ಶೂನ್ಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ವಾಹಕಗಳು ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಕೊಸೈನ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

180 at ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ವಾಹಕಗಳು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಕೊಸೈನ್ ಮೈನಸ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಫಲಿತಾಂಶವು .ಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಪ್ರಮುಖ ಕ್ಷಣ!

90 o ನಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ವಾಹಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುವಾಗ, ಕೊಸೈನ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಎಸ್\u200cಪಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಗತಿಯನ್ನು (ಸಹವರ್ತಿ, ತೀರ್ಮಾನ) ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮುಕ್ತ ಬ್ಯಾಂಕ್\u200cನಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವಾಹಕಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಜೋಡಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ.

ನಾವು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ: ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಸ್ಪಿ ವಾಹಕಗಳ ಸೂತ್ರಗಳು:

ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ತುದಿಗಳ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು:

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

27724 ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ವೆಕ್ಟರ್\u200cಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು:

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಎರಡೂ ವಾಹಕಗಳ ಮೂಲವು ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅವುಗಳ ತುದಿಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ

ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ: 40

ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ:

ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಅದರ ಆರಂಭದ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ:

ಉತ್ತರ: 40

A ಮತ್ತು b ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಿ.

ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ:

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್:

ಆದ್ದರಿಂದ:

ಈ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಹೀಗಿವೆ:

ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸೋಣ:

ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು 45 ಡಿಗ್ರಿ.

ಉತ್ತರ: 45

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆನ್\u200cಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್\u200cಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ.

ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ (ವೆಕ್ಟರ್ ಅಲ್ಲ).

ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್\u200cನಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬದಿಗಿಟ್ಟರೆ ಅವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವ ಕೋನ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ವಾಹಕಗಳ ಮೂಲವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು.

ಕೆಳಗಿನ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ:

1. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ವತಃ (ವೆಕ್ಟರ್ ಎ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್) ಯಾವಾಗಲೂ negative ಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಈ ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಉದ್ದದ ಚೌಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

2. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಯಾವುದೇ ಲಂಬ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

4 ... ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

5. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಬ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು negative ಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಚೂಪಾದ ಕೋನವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲ್ಪಟ್ಟ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.

(ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ -

ವೆಕ್ಟರ್ ಎಬಿ, ಎ ಇರಲಿ - ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಪ್ರಾರಂಭ, ಬಿ - ಅಂತ್ಯ ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಎ \u003d (ಎ 1, ಎ 2, ಎ 3), ಬಿ \u003d (ಬಿ 1, ಬಿ 2, ಬಿ 3)

ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಬಿಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು:

ಎಬಿ \u003d (ಬಿ 1-ಎ 1, ಬಿ 2-ಎ 2, ಬಿ 3-ಎ 3).

ಅಂತೆಯೇ, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ - ಕೇವಲ ಮೂರನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಲ್ಲ)

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನೀಡೋಣ:

ಎ) ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ (ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ).

ನಂತರ ಅವರ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:

ಬೌ) ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ

ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣದಂತೆಯೇ, ಅವುಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತದ ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ನೀಡಿದ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು. 3D ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. (ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ, ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳು ಕೇವಲ ಮೂರನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.)

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:

ಮತ್ತು ನಾವು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅವರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಅವುಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ತದನಂತರ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ a ನ ಉದ್ದವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ a ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೌಕದ ಮೂಲವೆಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ ಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಯಸಿದ ಮೂಲೆಯು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ.

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆನ್\u200cಲೈನ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್.

ಈ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ನೀವು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಬೇಕು, ಎರಡನೆಯದು - ಎರಡನೆಯದು. ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು (ಮೇಲೆ ನೋಡಿ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ನೀಡಿದ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.)

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್\u200cನ ಮೂರನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು.