ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತ. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಾ ಎಂದರೇನು: ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮಾದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರೀಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ (ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಡಾಟ್ X1 ಕಾರ್ಯ ಡೊಮೇನ್ f(X) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು , ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಎಡಕ್ಕೆ ಇರುವ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 ಗರಿಷ್ಠ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಡಾಟ್ X2 ಕಾರ್ಯ ಡೊಮೇನ್ f(X) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಎಡಕ್ಕೆ ಇರುವ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ X2 ಕನಿಷ್ಠ

ಪಾಯಿಂಟ್ ಹೇಳೋಣ X1 - ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು f(X) ನಂತರ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ X1 ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ( f "(X) > 0 ), ಮತ್ತು ನಂತರದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ X1 ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

ಬಿಂದು ಎಂದು ಸಹ ಭಾವಿಸೋಣ X2 - ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು f(X) ನಂತರ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ X2 ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ( f "(X) > 0 ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಹ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ X2 ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಫೆರ್ಮಾಟ್‌ನ ಪ್ರಮೇಯ (ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಅಗತ್ಯ ಸಂಕೇತ). ಪಾಯಿಂಟ್ ವೇಳೆ X0 - ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದು f(X) ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ( f "(X) = 0 ) ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು .

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಹಂತದಲ್ಲಿ X= 0 ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ X= 0 ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್‌ನಾದ್ಯಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ X= 0 ಈ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುವಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು, ಆದರೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಅದಕ್ಕೇ ಸಾಕಷ್ಟು ಪುರಾವೆಗಳು ಇರಬೇಕು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಪರೀತವಿದೆಯೇ ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವ ರೀತಿಯ ವಿಪರೀತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಒಬ್ಬರಿಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ - ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ.

ಪ್ರಮೇಯ (ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮೊದಲ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಹ್ನೆ).ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ X0 f(X) ಈ ಹಂತದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯು "ಪ್ಲಸ್" ನಿಂದ "ಮೈನಸ್" ಗೆ ಬದಲಾದರೆ, ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು "ಮೈನಸ್" ನಿಂದ "ಪ್ಲಸ್" ಗೆ, ಆಗ ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಬಿಂದುವಿನ ಬಳಿ ಇದ್ದರೆ X0 , ಅದರ ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಬಲಕ್ಕೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ X0 . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹಂತದಲ್ಲಿ X0 ಯಾವುದೇ ವಿಪರೀತವಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ :

1. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
2. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
3. ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಅಥವಾ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯು "ಪ್ಲಸ್" ನಿಂದ "ಮೈನಸ್" ಗೆ ಬದಲಾದರೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು "ಮೈನಸ್" ನಿಂದ "ಪ್ಲಸ್" ಗೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು.
4. ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 2.ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ಪರಿಹಾರ. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ:

.

"x" ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ನಾವು ಅಂಶವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ X= 3. ಈ ಹಂತದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ:

ಮೈನಸ್ ಅನಂತದಿಂದ 3 ರವರೆಗಿನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿ - ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ,

3 ರಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಅನಂತದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಇದೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ ಅವಧಿ X= 3 ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: (3; 0), ಮತ್ತು ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ (ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಎರಡನೇ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಹ್ನೆ).ಕ್ರಿಟಿಕಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ X0 ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ f(X) ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗದಿದ್ದರೆ ( f ""(X) ≠ 0 ), ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ( f ""(X) > 0 ), ನಂತರ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

ಗಮನಿಸಿ 1. ಹಂತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ X0 ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಾದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾನದಂಡದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತೀವ್ರತೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಗೆ ನೀವು ಮೊದಲ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಟೀಕೆ 2. ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿರುವಾಗಲೂ (ನಂತರ ಎರಡನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ) ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಗೆ ಎರಡನೆಯ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾನದಂಡವು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯ ಮೊದಲ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯ ಸ್ಥಳೀಯ ಸ್ವಭಾವ

ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ಇದು ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯು ಸ್ಥಳೀಯ ಸ್ವಭಾವವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - ಇದು ಹತ್ತಿರದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವರ್ಷದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀವು ನೋಡುತ್ತಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ಮೇ ತಿಂಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು 45,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಏಪ್ರಿಲ್ನಲ್ಲಿ 42,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಜೂನ್ 39,000 ರೂಬಲ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿದ್ದರೆ, ಹತ್ತಿರದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಮೇ ಗಳಿಕೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಗಳಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅಕ್ಟೋಬರ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀವು 71,000 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿದ್ದೀರಿ, ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್‌ನಲ್ಲಿ 75,000 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ನವೆಂಬರ್‌ನಲ್ಲಿ 74,000 ರೂಬಲ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಗಳಿಸಿದ್ದೀರಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಕ್ಟೋಬರ್ ಗಳಿಕೆಯು ಹತ್ತಿರದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಗಳಿಕೆ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಏಪ್ರಿಲ್-ಮೇ-ಜೂನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠವು ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್-ಅಕ್ಟೋಬರ್-ನವೆಂಬರ್ ಕನಿಷ್ಠಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವುದನ್ನು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಹಲವಾರು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಗರಿಷ್ಠಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, .

ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠವು ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದರ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಭಾವಿಸಬಾರದು. ಗರಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಬಹುದು.

ನಾವು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 3.

ಪರಿಹಾರ: ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಸಹ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು ಮಾತ್ರ, ಅಂದರೆ. , ಎಲ್ಲಿಂದ ಮತ್ತು . ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಏಕತಾನತೆಯ ಮೂರು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿ: . ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಒಂದು ನಿಯಂತ್ರಣ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕಾಗಿ, ನಿಯಂತ್ರಣ ಬಿಂದು ಹೀಗಿರಬಹುದು: ಹುಡುಕಿ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ . ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯ ಮೊದಲ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯಿಲ್ಲ (ಉತ್ಪನ್ನವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ), ಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಉತ್ಪನ್ನವು ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ಮೈನಸ್‌ನಿಂದ ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಹಂತದ ಮೂಲಕ). ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: , a . ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ , ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ .

ಗ್ರಾಫ್ನ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದಾಗ ಅದರ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು , ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಎರಡು ಅಂಕಗಳು (0; 0) ಮತ್ತು (4; 0) ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಯ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ನೋಡಿ).

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ ಪರಿಶೀಲನೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ .

ಉದಾಹರಣೆ 4.ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅಂದರೆ. .

ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು . ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಓಹ್ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ನಡೆಸಬಹುದು.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು:

1) ;

2) ,

ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಅನುಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯವು ಎರಡು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಮತ್ತು . ಕಾರ್ಯದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ತೀವ್ರತೆಗೆ ಎರಡನೇ ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ: ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ . ರಿಂದ ಮತ್ತು , ಇದು ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು .

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

(ಇಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯು ಬಯಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ Xಬಲದಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು Xಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ; ಅದೇ ರೀತಿ ಆಕಾಂಕ್ಷೆ ಎಂದರ್ಥ Xಎಡದಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು Xನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ). ಹೀಗಾಗಿ, ವೇಳೆ , ನಂತರ . ಮುಂದೆ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

,

ಆ. ಒಂದು ವೇಳೆ , ಆಗ .

ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಚಿತ್ರವು ಉದಾಹರಣೆಯ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿದೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ ಪರಿಶೀಲನೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಬಳಸಬಹುದು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ .

ನಾವು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಉದಾಹರಣೆ 8.ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ನಿಂದ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ಅತಿರೇಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸರಳ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್..

• ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು
• ನಾವು ಈ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ
• ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ವ್ಯತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು)
• ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತೇವೆ (ಬ್ರೇಕ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮರೆಯಬೇಡಿ, ಅದನ್ನು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯೋಜಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ), ಈ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು "ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದ" ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
• ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಅನುಮಾನಾಸ್ಪದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ, ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ . ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲವು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾದರೆ, ಈ ಹಂತವು ಗರಿಷ್ಠ, ಮತ್ತು ಮೈನಸ್‌ನಿಂದ ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕನಿಷ್ಠ.

ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ.

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ
ನಾವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸರಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ-2 , ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ-0,24 , ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ0 , ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇರುತ್ತದೆ2 , ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ2 , ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇರುತ್ತದೆ-0.24. ನಾವು ಸೂಕ್ತ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್ -1 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್‌ನಿಂದ ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ಅದು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್‌ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಪಾಯಿಂಟ್.

ಅದರ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನವು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ಅಧ್ಯಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಚಿತ್ರಿಸುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು, ಆದರೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ವಿಷಯವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಉತ್ತಮ ಮಾರ್ಗ ಯಾವುದು?

ಕಾರ್ಯ: ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, f(x 2) ಕಾರ್ಯವು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ x ಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. x = 9 ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ನಂತರ ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು 9 2 = 81 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯಗಳು ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ: ತಾರ್ಕಿಕ, ವೆಕ್ಟರ್, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಅವರು ಲ್ಯಾಕ್ರೊಯಿಕ್ಸ್, ಲಾಗ್ರೇಂಜ್, ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮತ್ತು ಬರ್ನೌಲ್ಲಿಯಂತಹ ಮಹೋನ್ನತ ಮನಸ್ಸುಗಳಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಅವರ ಕೃತಿಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ಆಧಾರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೊದಲು, ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ.

ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದರ ಪಾತ್ರ

ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅವುಗಳ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅವರು ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬೀಳುವ ಅಥವಾ ಏರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯಂತೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇದು ಲಂಬ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ "y" ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಈ "ಆಂದೋಲನಗಳಿಗೆ" ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ಸಂಬಂಧ ಏನೆಂದು ವಿವರಿಸೋಣ.

ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಎಷ್ಟು ಬೇಗನೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ "x" ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ). ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾದ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ ಕೂಡ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಸೆಕೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗ್ರಾಫ್ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಬದಲಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು, ನೀವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು?

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಲವಾರು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಅತ್ಯಂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು: ಇದು ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ.

ಇದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನವು ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವೂ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು. ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳದೆ ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ.

1. ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಚಿತ್ರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ A) ಲಂಬವಾಗಿ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ (ಪಾಯಿಂಟ್ x 0) ಕೆಳಗೆ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ A ನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್. x-ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ a. ಕಾರ್ಯವು ಎಷ್ಟು ಬೇಗನೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಈ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು a.
2. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು x-ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಪಾಯಿಂಟ್ A ಯೊಂದಿಗೆ ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳು

ಶಾಲಾ ಗಣಿತ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ. ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು? ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಹಲವಾರು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "x" ನಂತಹ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ವಿಧಾನವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಎರಡೂ) ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

1. ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಮತ್ತು ನಂತರ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.
2. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ “x” ಭಾಜಕದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಅದರಿಂದ “0” ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ (ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎಂದಿಗೂ ಮಾಡಬಾರದು ಎಂಬ ಸರಳ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ).
3. ಇದರ ನಂತರ, ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲ ರೂಪವನ್ನು ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯವು ಈ ರೀತಿ ಕಂಡುಬಂದರೆ: f(x) = 2x 3 +38x, ನಂತರ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು f"(x) = 3x 2 +1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಒಂದು ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ: 3x 2 +1 = 0 .
4. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು "x" ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು x- ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ರೂಪಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. ಪದನಾಮದ ನಂತರ, ಕಾರ್ಯವು ಯಾವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಮೈನಸ್ನಿಂದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನೀವು ಕನಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳು

ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶವೆಂದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮಗಳ ಜ್ಞಾನ. ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮಾತ್ರ ನೀವು ತೊಡಕಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಅವರೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಇವೆ, ಆದರೆ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳೆರಡರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ ಅವೆಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ.

1. ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (f(x) = 0). ಅಂದರೆ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f(x) = x 5 + x - 160 ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: f" (x) = 5x 4 +1.
2. ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ: (f+w)" = f"w + fw".
3. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ: (ಲಾಗ್ ಎ ಡಿ)" = ಡಿ/ಎಲ್ಎನ್ ಎ*ಡಿ. ಈ ಸೂತ್ರವು ಎಲ್ಲಾ ವಿಧದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.
4. ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ: (x n)"= n*x n-1. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. ಸೈನುಸೈಡಲ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ: (ಸಿನ್ a)" = cos a. ಕೋನ a ದ ಪಾಪವು 0.5 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವು √3/2 ಆಗಿದೆ.

ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು

ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೂ ಇದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠವು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳು x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ - ಮೈನಸ್.

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಅವರು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎರಡೂ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು "ಅತಿಯಾದ ಬಿಂದುಗಳು" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಕಾರ್ಯವು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಿದಾಗ, ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದರ್ಥ.

y = f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (a, b) ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಧ್ಯಂತರ (a, b) ಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದು x1 ನ b-ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಎಲ್ಲಾ x (x1, b) ಗೆ ಅಸಮಾನತೆ f(x1) > f(x) ಹೊಂದಿದೆ, ಆಗ y1 = f1(x1) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ y = f(x) ಅಂಜೂರವನ್ನು ನೋಡಿ.

ನಾವು y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ f(x) ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ (a, b) ಸೇರಿದ ಬಿಂದುವಿನ b-ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ (a, b) ಅದು O (x2, 6) ಗೆ ಸೇರಿದೆ, x x2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ f(x2)< f(x) , ನಂತರ y2= f(x2) ಅನ್ನು y-f(x) ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ).

ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ವೀಡಿಯೊವನ್ನು ನೋಡಿ

ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಗಳು

ನಾವು y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ನಿಮಿಷ f(x) ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ y = f(x) ಎಂದು ಕರೆದರುಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ (ಕಡಿಮೆ) ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗಮನಿಸಿ 1. ಗರಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯ, ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಕಠಿಣವಲ್ಲದ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ f(x1) > = f(x2)

ಗಮನಿಸಿ 2. ಸ್ಥಳೀಯ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ (ಇವುಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ); ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕನಿಷ್ಠವು ಅದೇ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಹುದು

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ(ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ) ಸಂಪೂರ್ಣ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ - ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯ.

ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ . ಕಾರ್ಯಗಳ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಾ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ

ಲ್ಯಾಟಿನ್ ವಿಪರೀತ ಎಂದರೆ "ತೀವ್ರ" ಅರ್ಥ. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟನ್ನು ತಲುಪಿದ x ವಾದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೀವ್ರ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಡಿಫರೆನ್ಶಿಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ತೀವ್ರ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯವು ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ಅನುಗುಣವಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

1°. ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯ ನಿರ್ಣಯ.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ, ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ.

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ z =f (X ; ವೈ)ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಡಿಚುಕ್ಕೆ ಎನ್ (x 0;y 0) ಡಿ.

ಡಾಟ್ (x 0;y 0)ಒಂದು ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗರಿಷ್ಠಕಾರ್ಯಗಳು z= f (X ;y),ಬಿಂದುವಿನ ಅಂತಹ -ನೆರೆಹೊರೆ ಇದ್ದರೆ (x 0;y 0),ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಂದು (x;y),ಅದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದಂತ (x 0;y 0)ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ f (X ;ವೈ)< f (x 0;y 0).ಚಿತ್ರ 12 ರಲ್ಲಿ: ಎನ್ 1 -ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು, ಎ ಎನ್ 2 -ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು z =f (X ;y)

ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕನಿಷ್ಠಕಾರ್ಯಗಳು: ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ (x 0;y 0),ಅದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದಂತ (x 0;y 0),ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ d-ನೆರೆಹೊರೆಯಿಂದ (x 0;y 0)ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ: f (x 0;y 0) >f (x 0;y 0).

ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ) ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗರಿಷ್ಠ (ಕನಿಷ್ಠ)ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಪರೀತ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುವು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನೊಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಹೊಂದಿವೆ ಸ್ಥಳೀಯ(ಸ್ಥಳೀಯ) ಅಕ್ಷರ: ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ (x 0;y 0)ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (x 0;y 0).ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಡಿಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಹಲವಾರು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಯಾವುದನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

2°. ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸಮಾನತೆಗಳು f"ವೈ (x 0;y 0)= 0 ಮತ್ತು f"ವೈ (x 0;y 0) = 0 ಎಂದರೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ತೀವ್ರ ಹಂತದಲ್ಲಿ z = f (X ; ವೈ)ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲ f (X ; y),ವಿಮಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಓಹ್ ಹೂಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ z =z 0.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಆಂಶಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಹೊಂದಿದೆ ಬಗ್ಗೆ(0;0), ಆದರೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬಿಂದು z = f (X ;ವೈ)ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. f"X = 0, f" y = 0, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಕಾರ್ಯಗಳು z.

ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳು.

ನಿರ್ಣಾಯಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯವು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಮಾನತೆಯು ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ z = ಹು.ಅದಕ್ಕೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ 0(0; 0) ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ (ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರಲ್ಲಿ ವಿಪರೀತ ಕಾರ್ಯ z = xyಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ O (0;0) ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ z> 0 (1ನೇ ಮತ್ತು 3ನೇ ಕ್ವಾರ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಂಕಗಳು) ಮತ್ತು z< 0 (II ಮತ್ತು IV ಕ್ವಾರ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಂಕಗಳು).

ಹೀಗಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ

(ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು).

ಸಿಸ್ಟಮ್ (1) ಒಂದು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ df(x, y)=0.ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ತೀವ್ರ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪಿ(ಎ, ಬಿ)ಕಾರ್ಯಗಳು f(x, y)ಅಥವಾ df(x, y)=0, ಅಥವಾ df(a, b) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ.

3°. ಒಂದು ವಿಪರೀತಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು. ಅವಕಾಶ P(a;b)- ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದು f(x,y),ಅಂದರೆ . df(a, b) = 0. ನಂತರ:

ಮತ್ತು ವೇಳೆ d2f (a, b)< 0 ನಲ್ಲಿ, ನಂತರ f(a, b) ಇದೆ ಗರಿಷ್ಠಕಾರ್ಯಗಳು f (x, y);

ಬಿ) ವೇಳೆ d2f (a, b) > 0ನಲ್ಲಿ, ನಂತರ f(a, b) ಇದೆ ಕನಿಷ್ಠಕಾರ್ಯಗಳು f (x,y);

ಸಿ) ವೇಳೆ d2f (a, b)ಬದಲಾವಣೆ ಚಿಹ್ನೆ, ನಂತರ f (a, b) ಕಾರ್ಯದ ವಿಪರೀತವಲ್ಲ f (x, y).

ನೀಡಿರುವ ಷರತ್ತುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಅವಕಾಶ ಮತ್ತು . ಸಂಯೋಜನೆ ಮಾಡೋಣ ತಾರತಮ್ಯ Δ=AC -B².

1) Δ > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ P(a;b)ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಗರಿಷ್ಠ ವೇಳೆ ಎ<0 (ಅಥವಾ ಇದರೊಂದಿಗೆ<0 ), ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ವೇಳೆ A>0(ಅಥವಾ С>0);

2) ವೇಳೆ Δ< 0, то экстремума в точке P(a;b)ಇಲ್ಲ;

3) Δ =0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ವಿಪರೀತದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆ P(a;b)ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ (ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ).

4°. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಕರಣ. ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ವಿಪರೀತದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತುಗಳು ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ (1) ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ a), b), c) 3°.

ಉದಾಹರಣೆ. ವಿಪರೀತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿ z=x³+3xy²-15x-12y.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ (1):

ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ನಾಲ್ಕು ಸ್ಥಾಯಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ

ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ರಚಿಸಿ Δ=AC - B²ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ.

1) ಪಾಯಿಂಟ್ಗಾಗಿ: , Δ=AC-B²=36-144<0 . ಇದರರ್ಥ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿಪರೀತವಿಲ್ಲ.

2) ಪಾಯಿಂಟ್ P2 ಗಾಗಿ: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. ಪಾಯಿಂಟ್ P2 ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕನಿಷ್ಠವು ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ x=2, y=1: ​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) ಪಾಯಿಂಟ್ಗಾಗಿ: A= -6, B=-12, C= -6; Δ = 36-144<0 . ಯಾವುದೇ ವಿಪರೀತವಿಲ್ಲ.

4) ಪಾಯಿಂಟ್ P 4 ಗಾಗಿ: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. ಪಾಯಿಂಟ್ P4 ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತ. ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತಕಾರ್ಯಗಳು f(x,y) ಈ ಕಾರ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ, ಅದರ ವಾದಗಳು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಷರತ್ತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ φ(x,y)=0 (ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣ) ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು f(x, y) ಸಂಬಂಧದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ φ(x,y) = 0, ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರಚನೆ ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯ

ಎಫ್ (X,y )=f (X,y)+λφ (X,y),

ಅಲ್ಲಿ λ ಒಂದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸಹಾಯಕ ಕಾರ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ತೀವ್ರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಮೂವರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ x, y, λ, ಈ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎರಡನೇ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸ್ವಭಾವದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಾಗಿ x, y, λ, (2) ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ dxಮತ್ತು dуಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ

.

ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಕಾರ್ಯ f(x,y) ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ d²F< 0, ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠ d²F>0. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ತಾರತಮ್ಯ Δ ವೇಳೆ F(x,y)ಸ್ಥಾಯಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠ ಇರುತ್ತದೆ f(x, y), ವೇಳೆ ಎ< 0 (ಅಥವಾ ಇದರೊಂದಿಗೆ< 0), ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠ ಎ > ಒ(ಅಥವಾ С>0).

ಅಂತೆಯೇ, ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ವಿಪರೀತವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಪರ್ಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ (ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಬೇಕು). ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಲಗ್ರೇಂಜ್ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಅನಿಶ್ಚಿತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಕಾರ್ಯದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ z =6-4x -3ವೈಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ನಲ್ಲಿಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಿ x²+y²=1.

ಪರಿಹಾರ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ನ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆ ಬರುತ್ತದೆ zವಿಮಾನ z=6 - 4x - Zuಸಿಲಿಂಡರ್ನೊಂದಿಗೆ ಅದರ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ x2+y2=1.

ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುವುದು F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ . ಅಗತ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಪರಿಹಾರ:

.

,

d²F =2λ (dx²+dy²).

ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ d²ಎಫ್ >0, ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ d²ಎಫ್<0, ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ,

6°. ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು.

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ z =f (X ; ವೈ)ಸೀಮಿತ ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ . ನಂತರ ಅವಳು ಕೆಲವು ಹಂತಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತಾಳೆ ನಿಮ್ಮ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಎಂಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಟಿಮೌಲ್ಯಗಳು (ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಜಾಗತಿಕ ವಿಪರೀತ).ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರದೇಶದ ಒಳಗೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ , ಅಥವಾ ಪ್ರದೇಶದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ.