ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೊದಲು, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ → , b → , c → ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಆದೇಶದ ಟ್ರಿಪಲ್‌ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ನಾವು ತಿರುಗೋಣ.

ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ a → , b → , c → ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇಡೋಣ. ಟ್ರಿಪಲ್ a → , b → , c → ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ವೆಕ್ಟರ್ c → ನ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿ → ಅಂತ್ಯದಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ a → ನಿಂದ b → ವರೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ತಿರುವು ಮಾಡಿದ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ, ಟ್ರಿಪಲ್ a → , b → , c → ರೂಪವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಡಿಮೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ a → , b → , c → ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಲಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಇದ್ದರೆ - ಬಿಟ್ಟರು.

ಮುಂದೆ, ಎರಡು ನಾನ್-ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು a → ಮತ್ತು b → ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಾವು ನಂತರ A B → = a → ಮತ್ತು A C → = b → ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಮುಂದೂಡೋಣ. ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ A D → = c → ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ, ಇದು A B → ಮತ್ತು A C → ಎರಡಕ್ಕೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ A D → = c → ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಎರಡು ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಅದು ಒಂದು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅಥವಾ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ನೋಡಿ).

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಂತೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ a → , b → , c → ಆದೇಶದ ಮೂವರೂ ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡವಾಗಿರಬಹುದು.

ಮೇಲಿನಿಂದ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

a → ಮತ್ತು b → ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ:

• a → ಮತ್ತು b → ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ a → → ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ b → ಎರಡಕ್ಕೂ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ತ್ರಿವಳಿ a → , b → , c → ನೀಡಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ a → ಮತ್ತು b → ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: a → × b → .

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೆಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ a → = (a x ; a y ; a z) ಮತ್ತು b → = (b x ; b y ; b z) ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕರೆ ಮಾಡಿ c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → , ಅಲ್ಲಿ i → , j → , k → ಸಮನ್ವಯ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಾಲು orta ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು i → , j → , k → , ಎರಡನೇ ಸಾಲು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ a → , ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ನೀಡಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ b → ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಈ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಈ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → = + axayb → b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿ → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , ನಂತರ ಬೇಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಕೆಳಗಿನವುಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. ಆಂಟಿಕಾಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ a → × b → = - b → × a → ;
2. ವಿತರಣೆ a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ಅಥವಾ a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ಸಹಭಾಗಿತ್ವ λ a → × b → = λ a → × b → ಅಥವಾ a → × (λ b →) = λ a → × b → , ಇಲ್ಲಿ λ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು.

ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿಯ ಪುರಾವೆ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆ, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ಮತ್ತು b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ, a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxaya - b → × a → , ಇದು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಂಟಿಕಾಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ - ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು

ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಮೂರು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ.

ಮೊದಲ ವಿಧದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ನೀವು ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

ಉದಾಹರಣೆ 1

a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ವಾಹಕಗಳ a → ಮತ್ತು b → ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ

ವಾಹಕಗಳ a → ಮತ್ತು b → ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

ಉತ್ತರ: 15 2 2 .

ಎರಡನೇ ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಅದರ ಉದ್ದ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ನೀಡಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ a → = (a x ; a y ; a z) ಮತ್ತು b → = (b x ; b y ; b z) .

ಈ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ನೀವು ಬಹಳಷ್ಟು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, a → ಮತ್ತು b → ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು b → = b x i → + b y j → + b z k → ಮತ್ತು c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, ಅಥವಾ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a → ಮತ್ತು b → ಆಗಿರಬಹುದು ಅವುಗಳ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ a → = (2 ; 1 ; - 3), b → = (0 ; - 1 ; 1) . ಅವರ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ನೀಡಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆದರೆ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

ಉತ್ತರ: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

ಉದಾಹರಣೆ 3

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ i → - j → ಮತ್ತು i → + j → + k → , ಅಲ್ಲಿ i → , j → , k → - ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ orts.

ಪರಿಹಾರ

ಮೊದಲಿಗೆ, ನೀಡಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ i → - j → × i → + j → + k →.

i → - j → ಮತ್ತು i → + j → + k → ವಾಹಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ (1 ; - 1 ; 0) ಮತ್ತು (1 ; 1 ; 1) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ನಂತರ ನಾವು i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 ಕೆ → .

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ i → - j → × i → + j → + k → ನೀಡಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (- 1 ; - 1 ; 2) ಹೊಂದಿದೆ.

ನಾವು ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ (ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

ಉತ್ತರ: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​, C (1 , 4 , 2) ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ A B → ಮತ್ತು A C → ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು A B → ಮತ್ತು A C → ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (- 1 ; 2 ; 2) ಮತ್ತು (0 ; 4 ; 1) ಹೊಂದಿವೆ. A B → ಮತ್ತು A C → ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ನಂತರ, ಇದು A B → ಮತ್ತು A C → ಎರಡಕ್ಕೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಲಂಬವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಹುಡುಕಿ A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

ಉತ್ತರ: - 6 i → + j → - 4 k → . ಲಂಬ ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಮೂರನೇ ವಿಧದ ತೊಂದರೆಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿವೆ. ಅದನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ನೀಡಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

a → ಮತ್ತು b → ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 3 ಮತ್ತು 4 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

ಪರಿಹಾರ

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿತರಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಮೂಲಕ, ನಾವು 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಯ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು a → × a → ಮತ್ತು b → × b → 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ a → × a → = a → a → sin 0 = 0 ಮತ್ತು b → × b → = b → b →, sin 0 = 0 ನಂತರ 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಂಟಿಕಾಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, a → ಮತ್ತು b → ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು π 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → ಪಾಪ (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

ಉತ್ತರ: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವು a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅದರ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ (ಶಾಲಾ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ) ಈ ಬದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ - ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ವಾಹಕಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ a → ಮತ್ತು b → , ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವಜಾಗೊಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಪಾಪ ∠ a → , b → .

ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ

ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಲದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3

ಫೋರ್ಸ್ ಕ್ಷಣದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಎಫ್ → , ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎ ಬಿ → × ಎಫ್ → ಅನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ತಪ್ಪನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನಮೂರು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ . ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಬರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

1. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ. 3 ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು, ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯವರೆಗೆ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್‌ಗಳ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅಂಚುಗಳ ಮೇಲೆ. .

   ಹೀಗಾಗಿ, ಮತ್ತು .

   

   ಪುರಾವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲದಿಂದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಮುಂದೂಡೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮಾನಾಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಗಮನಿಸೋಣ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ

   ಎಂದು ಊಹಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುವುದು ಗಂಸಮಾನಾಂತರದ ಎತ್ತರವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

   ಹೀಗಾಗಿ, ನಲ್ಲಿ

   ಒಂದು ವೇಳೆ , ನಂತರ ಮತ್ತು . ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, .

   ಈ ಎರಡೂ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ .

   ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಯಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ , ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಬಿಟ್ಟರೆ, ನಂತರ .

2. ಯಾವುದೇ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ , ಸಮಾನತೆ

   ಈ ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಯು ಆಸ್ತಿ 1 ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು . ಇದಲ್ಲದೆ, "+" ಮತ್ತು "-" ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಎರಡೂ ತೀವ್ರ ಅಥವಾ ಚೂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯಗೊಂಡಾಗ, ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.

   ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ , ನಂತರ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಥವಾ

4. ಒಂದು ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ.

   ಪುರಾವೆ.

   ಹೀಗಾಗಿ, 3 ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಮಂಜಸತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯು ಅವುಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

   ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು:

   .

   ಹೀಗಾಗಿ, ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನಿರ್ಧಾರಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಇರುತ್ತವೆ.

   ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ

ಸಮೀಕರಣ F(x, y, z)= 0 ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಆಕ್ಸಿಜ್ಕೆಲವು ಮೇಲ್ಮೈ, ಅಂದರೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳ x, y, zಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸಿ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು x, y, z- ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ಆಸ್ತಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಮಾನ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ಲೇನ್ ವೆಕ್ಟರ್.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿಮಾನದ ಸಮೀಕರಣ

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿಮಾನ σ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು M0(x0, y 0, z0) ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುವುದು σ.

σ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯಈ ವಿಮಾನದ ವೆಕ್ಟರ್. ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ σ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ M0ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, σ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ M(x, y, z)ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಯಾವುದೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಎಂÎ σ ವೆಕ್ಟರ್ ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯೇ ಬಿಂದು ಎಂಓ σ. ಇದು ಈ ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಾದ ತಕ್ಷಣ ಉಲ್ಲಂಘಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂσ ವಿಮಾನದ ಹೊರಗೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಎಂ, ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ M0, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣ. ಅದನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. ಅಂದಿನಿಂದ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವು ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ 1 ನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ x, yಮತ್ತು z.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ವಿಮಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ

ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು x, y, zಕೆಲವು ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

Ax+By+Cz+D=0

ಮತ್ತು ಕರೆದರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವಿಮಾನ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎ, ಬಿ, ಸಿವಿಮಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾದಾಗ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಮಾನವು ಹೇಗೆ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

A ಎಂಬುದು ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಸಮತಲದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ ಎತ್ತು. ಅಂತೆಯೇ, ಒಬ್ಬರು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು ಬಿಮತ್ತು ಸಿಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಮತಲದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಓಹ್ಮತ್ತು ಓಝ್.

ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

7.1. ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಮೂರು ನಾನ್-ಕೊಪ್ಲಾನರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a , b ಮತ್ತು c , ಸೂಚಿಸಲಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್ c ಯ ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್ a ನಿಂದ ಎರಡನೇ ವೆಕ್ಟರ್ b ಗೆ ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ತಿರುವು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಕಂಡುಬಂದರೆ ಬಲ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಡಕ್ಕೆ ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಇದ್ದರೆ (ಚಿತ್ರ 16 ನೋಡಿ).

ವೆಕ್ಟರ್ ಎ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು:

1. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ a ಮತ್ತು b, ಅಂದರೆ c ^ a ಮತ್ತು c ^ ಬಿ;

2. ಇದು ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ a ಮತ್ತುಬಿಬದಿಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ (ಅಂಜೂರ 17 ನೋಡಿ), ಅಂದರೆ.

3. ವಾಹಕಗಳು a , b ಮತ್ತು c ಬಲ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು x b ಅಥವಾ [a,b] ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ನಾನು ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುವ orts ನಡುವಿನ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು, ಜಮತ್ತು ಕೆ(ಅಂಜೂರ 18 ನೋಡಿ):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ i xj \u003d k.

1) ಕೆ ^ ಐ , ಕೆ ^ ಜೆ;

2) |ಕೆ |=1, ಆದರೆ | ನಾನು x ಜೆ| = |i | |ಜೆ| ಪಾಪ(90°)=1;

3) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು i , j ಮತ್ತು ಕೆಬಲ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 16 ನೋಡಿ).

7.2 ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿದಾಗ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಮತ್ತು xb \u003d (b xa) (Fig. 19 ನೋಡಿ).

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a xb ಮತ್ತು b xa ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಒಂದೇ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ), ಆದರೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಟ್ರಿಪಲ್ಸ್ a, b, ಮತ್ತು xb ಮತ್ತು a, b, b x a ವಿರುದ್ಧ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ). ಅದು axb = -(bxa).

2. ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

l >0 ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ. ವೆಕ್ಟರ್ ಎಲ್ (ಎ xb) ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ( ಎಲ್ a)x ಬಿ a ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಿ(ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a, ಎಲ್ಆದರೆ ಅದೇ ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಸುಳ್ಳು). ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ಎಲ್(ಎ xb) ಮತ್ತು ( ಎಲ್ a)x ಬಿಕೊಲಿನಿಯರ್. ಅವರ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಅವು ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಅದಕ್ಕೇ ಎಲ್(ಎ xb)= ಎಲ್ಒಂದು xb. ಇದು ಇದೇ ರೀತಿ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಎಲ್<0.

3. ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a ಮತ್ತು ಬಿಅವುಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಕೋಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ||b<=>ಮತ್ತು xb \u003d 0.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, i *i =j *j =k *k =0 .

4. ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

(a+b) xs = a xs + ಬಿ xs

ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲದೆ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ.

7.3 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಸ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ರಾಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ i , ಜಮತ್ತು ಕೆ:

ಮೊದಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗದ ದಿಕ್ಕು ಬಾಣದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ಮೂರನೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a =a x i +a y ಆಗಿರಲಿ ಜ+az ಕೆಮತ್ತು b=bx i+ ಮೂಲಕ ಜ+bz ಕೆ. ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳಾಗಿ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ (ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ):

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಇನ್ನೂ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗವು (7.1) ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಸಮಾನತೆ (7.2) ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ.

7.4 ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಲವು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳು

ವಾಹಕಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಆದರೆಮತ್ತು ಬಿ |ಎ xb | =| ಎ | * |b |sin g , ಅಂದರೆ S ಪಾರ್ = |a x b |. ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, D S \u003d 1/2 | a x b |.

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಬಗ್ಗೆ ಬಲದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು

A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಬಲವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ ಎಫ್ =ಎಬಿಹೋಗಲಿ ಬಿಡು ಬಗ್ಗೆ- ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪಾಯಿಂಟ್ (ಚಿತ್ರ 20 ನೋಡಿ).

ಎಂದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ ಟಾರ್ಕ್ ಎಫ್ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬಗ್ಗೆವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂ,ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಬಗ್ಗೆಮತ್ತು:

1) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ O, A, B;

2) ಬಲ ಮತ್ತು ಭುಜದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

3) OA ಮತ್ತು A B ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, M \u003d OA x F.

ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ರೇಖೀಯ ವೇಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ವೇಗ vಕೋನೀಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ದೇಹದ ಬಿಂದು M ಡಬ್ಲ್ಯೂಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ, ಯೂಲರ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ v \u003d w x r ನಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ r \u003d OM, ಅಲ್ಲಿ O ಅಕ್ಷದ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 21 ನೋಡಿ).

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ (ಅಗತ್ಯವಿರುವವರಿಗೆ ತಕ್ಷಣದ ಲಿಂಕ್). ಇದು ಪರವಾಗಿಲ್ಲ, ಅದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂತೋಷಕ್ಕಾಗಿ, ಜೊತೆಗೆ ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಚಟ. ನಾವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕಾಡಿನೊಳಗೆ ಹೋಗುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ. ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಉರುವಲು ಇರುತ್ತದೆ, ಬಹುಶಃ ಪಿನೋಚ್ಚಿಯೋಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವಸ್ತುವು ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ - ಅದೇ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಕಡಿಮೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ, ಅನೇಕರು ನೋಡುತ್ತಾರೆ ಅಥವಾ ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ್ದಾರೆ, ತಪ್ಪಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಅಲ್ಲ. ಕಾಗುಣಿತದಂತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ಮತ್ತು ನೀವು ಸಂತೋಷವಾಗಿರುತ್ತೀರಿ =)

ವಾಹಕಗಳು ಎಲ್ಲೋ ದೂರದಲ್ಲಿ ಮಿಂಚಿದರೆ, ದಿಗಂತದಲ್ಲಿ ಮಿಂಚಿನಂತೆ, ಪರವಾಗಿಲ್ಲ, ಪಾಠದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳುವಾಹಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಅಥವಾ ಮರುಪಡೆಯಲು. ಹೆಚ್ಚು ತಯಾರಾದ ಓದುಗರು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಆಯ್ದವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ನಾನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದೆ

ಯಾವುದು ನಿಮಗೆ ಸಂತೋಷವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ? ನಾನು ಚಿಕ್ಕವನಿದ್ದಾಗ, ನಾನು ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಕಣ್ಕಟ್ಟು ಮಾಡಬಲ್ಲೆ. ಇದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದೆ. ಈಗ ಕಣ್ಕಟ್ಟು ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳು ಮಾತ್ರ, ಮತ್ತು ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಫ್ಲಾಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆ? ಈ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಹುಟ್ಟಿದ್ದು ಹೀಗೆ - ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಸುಲಭ!

ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಂತೆಯೇ, ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು. ಅದು ನಾಶವಾಗದ ಅಕ್ಷರಗಳಾಗಲಿ.

ಕ್ರಿಯೆಯೇ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ: . ಇತರ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಕ್ರಾಸ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಚದರ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲು ನಾನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣವೇ ಪ್ರಶ್ನೆ: ಒಳಗಿದ್ದರೆ ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಫಲಿತಾಂಶವು NUMBER ಆಗಿದೆ:

ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಫಲಿತಾಂಶವು VECTOR ಆಗಿದೆ: , ಅಂದರೆ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಲಬ್. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಹೆಸರು. ವಿವಿಧ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಪದನಾಮಗಳು ಸಹ ಬದಲಾಗಬಹುದು, ನಾನು ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇನೆ .

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಮೊದಲು ಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಕೋಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದವಾಹಕಗಳು, ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದ್ದಇದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ; ವೆಕ್ಟರ್ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ಮತ್ತು ಆಧಾರವು ಸರಿಯಾದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ:

ನಾವು ಮೂಳೆಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ಬಹಳಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯಗಳಿವೆ!

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಬಹುದು:

1) ಮೂಲ ವಾಹಕಗಳು , ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಕೆಂಪು ಬಾಣಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ. ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2) ವಾಹಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ: – "a" ಅನ್ನು "be" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, "ಎ" ಗೆ "ಆಗಿದೆ" ಅಲ್ಲ. ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಫಲಿತಾಂಶವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಿದರೆ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಕಡುಗೆಂಪು ಬಣ್ಣ). ಅಂದರೆ ಸಮಾನತೆ .

3) ಈಗ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ! ನೀಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ LENGTH (ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಡುಗೆಂಪು ವೆಕ್ಟರ್) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಮಬ್ಬಾಗಿದೆ.

ಸೂಚನೆ : ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಾಮಮಾತ್ರದ ಉದ್ದವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ LENGTH ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತೇನೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅರ್ಥವೇನು? ಮತ್ತು ಅರ್ಥವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ:

ನಾವು ಎರಡನೇ ಪ್ರಮುಖ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣ (ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆ) ಅದನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು (ಕೆಂಪು ಛಾಯೆ) ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

4) ಅಷ್ಟೇ ಮುಖ್ಯವಾದ ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ . ಸಹಜವಾಗಿ, ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ (ಕಡುಗೆಂಪು ಬಾಣ) ಸಹ ಮೂಲ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ.

5) ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ ಆಧಾರದಇದು ಹೊಂದಿದೆ ಬಲದೃಷ್ಟಿಕೋನ. ಬಗ್ಗೆ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಬಗ್ಗೆ ವಿವರವಾಗಿ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇನೆ ವಿಮಾನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ, ಮತ್ತು ಈಗ ನಾವು ಜಾಗದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಏನೆಂದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾನು ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸುತ್ತೇನೆ ಬಲಗೈ. ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿ ತೋರುಬೆರಳುವೆಕ್ಟರ್ ಜೊತೆಗೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಬೆರಳುವೆಕ್ಟರ್ನೊಂದಿಗೆ. ಉಂಗುರ ಬೆರಳು ಮತ್ತು ಕಿರುಬೆರಳುನಿಮ್ಮ ಅಂಗೈಗೆ ಒತ್ತಿರಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಹೆಬ್ಬೆರಳು- ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಬಲ-ಆಧಾರಿತ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ (ಇದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿದೆ). ಈಗ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ ( ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಬೆರಳುಗಳು) ಕೆಲವು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹೆಬ್ಬೆರಳು ತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಳಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೂಡ ಬಲ-ಆಧಾರಿತ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಬಹುಶಃ ನಿಮಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ ಇದೆ: ಎಡ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಯಾವ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ? ಅದೇ ಬೆರಳುಗಳನ್ನು "ನಿಯೋಜಿಸು" ಎಡಗೈವಾಹಕಗಳು , ಮತ್ತು ಎಡ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಎಡ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಹೆಬ್ಬೆರಳು ಕಡಿಮೆ ವೆಕ್ಟರ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದೆ). ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ನೆಲೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ "ಟ್ವಿಸ್ಟ್" ಅಥವಾ ಓರಿಯಂಟ್ ಸ್ಪೇಸ್. ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ದೂರದ ಅಥವಾ ಅಮೂರ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಾರದು - ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನ್ನಡಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನೀವು "ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕನ್ನಡಿಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆದರೆ", ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು "ಮೂಲ" ದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ. ಮೂಲಕ, ಕನ್ನಡಿಗೆ ಮೂರು ಬೆರಳುಗಳನ್ನು ತಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿ ;-)

... ನೀವು ಈಗ ತಿಳಿದಿರುವುದು ಎಷ್ಟು ಒಳ್ಳೆಯದು ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಆಧಾರಿತಆಧಾರಗಳು, ಏಕೆಂದರೆ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಉಪನ್ಯಾಸಕರ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಭಯಾನಕವಾಗಿವೆ =)

ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ "ಮಡಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ". ಗಣಿತಜ್ಞರು ಹೇಳುವಂತೆ ಅಂತಹ ಪ್ರದೇಶಗಳು, ಅವನತಿಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ - ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸೈನ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರದೇಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ವೇಳೆ , ನಂತರ ಮತ್ತು . ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ, ಆದರೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ:

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಇತರರಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಬಹುದು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕೋಷ್ಟಕಅದರಿಂದ ಸೈನ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು.

ಸರಿ, ಬೆಂಕಿಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ:

ಉದಾಹರಣೆ 1

a) ವೇಳೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

b) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: ಇಲ್ಲ, ಇದು ಮುದ್ರಣದೋಷವಲ್ಲ, ನಾನು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿತಿಯ ಐಟಂಗಳಲ್ಲಿನ ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿನ್ಯಾಸವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ!

ಎ) ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಉದ್ದವೆಕ್ಟರ್ (ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ). ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ:

ಉತ್ತರ:

ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಕೇಳಿದಾಗಿನಿಂದ, ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ - ಘಟಕಗಳು.

ಬಿ) ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಪ್ರದೇಶವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ. ಈ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಉತ್ತರ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಚರ್ಚೆಯಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ, ನಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಲಾಗಿದೆ ಫಿಗರ್ ಪ್ರದೇಶ, ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಆಯಾಮವು ಚದರ ಘಟಕಗಳು.

ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಏನನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ ಸ್ಪಷ್ಟಉತ್ತರ ಇದು ಅಕ್ಷರಶಃ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಶಿಕ್ಷಕರಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಅಕ್ಷರಸ್ಥರಿದ್ದಾರೆ, ಮತ್ತು ಉತ್ತಮ ಅವಕಾಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯವು ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗೆ ಮರಳುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒತ್ತಡಕ್ಕೊಳಗಾಗದ ನಿಟ್‌ಪಿಕ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ - ಉತ್ತರವು ತಪ್ಪಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸರಳವಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು / ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲತತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಯಂತ್ರಣದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು.

"ಎನ್" ಎಂಬ ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರ ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಯಿತು? ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅಂಟಿಕೊಂಡಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ನಾನು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ವಿಷಯದ ಪದನಾಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಮಾಡು-ನೀವೇ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಜನಪ್ರಿಯ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ತುಂಬಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿತ್ರಹಿಂಸೆಗೊಳಿಸಬಹುದು.

ಇತರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು ಈ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸುತ್ತೇನೆ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಜ:

1) ಮಾಹಿತಿಯ ಇತರ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಐಟಂ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಇರಲಿ.

2) - ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕ್ರಮವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

3) - ಸಂಯೋಜನೆ ಅಥವಾ ಸಹಾಯಕವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನುಗಳು. ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಗಳಿಂದ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ, ಅವರು ಅಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದಾರೆ?

4) - ವಿತರಣೆ ಅಥವಾ ವಿತರಣೆವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಕಾನೂನುಗಳು. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ತೊಂದರೆಗಳಿಲ್ಲ.

ಪ್ರದರ್ಶನವಾಗಿ, ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ:ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಚಿಕಣಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ:

(1) ಸಹಾಯಕ ಕಾನೂನುಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

(2) ನಾವು ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನಿಂದ ಸ್ಥಿರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "ತಿನ್ನುತ್ತದೆ". ಉದ್ದವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು.

(3) ಮುಂದಿನದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

ಬೆಂಕಿಯ ಮೇಲೆ ಮರವನ್ನು ಎಸೆಯುವ ಸಮಯ ಇದು:

ಉದಾಹರಣೆ 4

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ

ಪರಿಹಾರ: ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ . ಸ್ನ್ಯಾಗ್ ಎಂದರೆ "ce" ಮತ್ತು "te" ವಾಹಕಗಳು ಸ್ವತಃ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿರುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪಾಠದ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಮತ್ತು 4 ರ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಮೂರು ಹಂತಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸೋಣ:

1) ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ. ಉದ್ದದ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನೂ ಯಾವುದೇ ಮಾತುಗಳಿಲ್ಲ!

(1) ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

(2) ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಿರಿ.

(3) ಸಹಾಯಕ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಆಚೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ. ಕಡಿಮೆ ಅನುಭವದೊಂದಿಗೆ, 2 ಮತ್ತು 3 ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು.

(4) ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳು ಆಹ್ಲಾದಕರ ಆಸ್ತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ (ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಪದದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಂಟಿಕಾಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

(5) ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಾಧಿಸಬೇಕಾದದ್ದು:

2) ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಉದಾಹರಣೆ 3 ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ:

3) ಅಗತ್ಯವಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಪರಿಹಾರದ 2-3 ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು.

ಉತ್ತರ:

ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಇದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಾಗ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಗಮನಹರಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ನೋಡೋಣ ;-)

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ

ಸೂತ್ರವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ "ಪ್ಯಾಕ್" ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ- ಮೊದಲು, ವೆಕ್ಟರ್ "ve" ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ "ಡಬಲ್-ವೆ" ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸಬೇಕಾದರೆ, ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸಹ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು:

ಉದಾಹರಣೆ 10

ಕೆಳಗಿನ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:
ಆದರೆ)
b)

ಪರಿಹಾರ: ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್): .

ಎ) ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ.

b) ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಉತ್ತರ: ಎ) ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ, ಬಿ)

ಇಲ್ಲಿ, ಬಹುಶಃ, ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಬಗ್ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಮಾಹಿತಿಯಾಗಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಈ ವಿಭಾಗವು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲವೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ ಮತ್ತು ಒಂದೆರಡು ಕೆಲಸದ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ:

ಹೀಗೆಯೇ ಅವರು ರೈಲಿನಂತೆ ಸಾಲುಗಟ್ಟಿ ನಿಂತು ಕಾಯುತ್ತಿದ್ದರು, ಲೆಕ್ಕ ಸಿಗುವವರೆಗೆ ಕಾಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮೊದಲು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಅಲ್ಲದವಾಹಕಗಳು, ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ನ ಪರಿಮಾಣ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆಧಾರವು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ "+" ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವು ಬಿಟ್ಟರೆ "-" ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ. ನಮಗೆ ಅಗೋಚರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ರೇಖೆಯಿಂದ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

2) ವಾಹಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ವಾಹಕಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ, ನೀವು ಊಹಿಸುವಂತೆ, ಪರಿಣಾಮಗಳಿಲ್ಲದೆ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ.

3) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ನಾನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತೇನೆ: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು NUMBER ಆಗಿದೆ: . ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ವಿನ್ಯಾಸವು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು, ನಾನು ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದೆ ಮತ್ತು "pe" ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ನ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ (ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಕೆಂಪು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ). ಅಂದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮಾನಾಂತರದ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸೂಚನೆ : ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಆಗಿದೆ.

4) ಆಧಾರ ಮತ್ತು ಜಾಗದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ತಲೆಕೆಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಾರದು. ಅಂತಿಮ ಭಾಗದ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು: .

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್‌ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವು ನೇರವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಗತ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಸಮರ್ಥಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅದರ ನಂತರ, ನಾವು ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥದ ಮೇಲೆ ವಾಸಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುವ ಮೊದಲು, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆದೇಶಿಸಿದ ಟ್ರಿಪಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸೋಣ.

ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಮುಂದೂಡೋಣ. ವೆಕ್ಟರ್ನ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಟ್ರಿಪಲ್ ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡವಾಗಿರಬಹುದು. ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಎಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯದಿಂದ ನೋಡೋಣ. ಕಡಿಮೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಲ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ಬಿಟ್ಟರು.

ಈಗ ನಾವು ಎರಡು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು . ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕಕ್ಕೆ ಇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ A. ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಎರಡು ಕೆಲಸಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಅದನ್ನು ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ನೀಡಬಹುದು (ಚಿತ್ರಣವನ್ನು ನೋಡಿ).

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಆದೇಶಿಸಿದ ಟ್ರಿಪಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡವಾಗಿರಬಹುದು.

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಮತ್ತು , ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು.

ಈಗ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ, ಇದು ನೀಡಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿವೆ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಮಗೆ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಸಾಲು ಓರ್ಟ್ಸ್, ಎರಡನೇ ಸಾಲು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ:

ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ನಾವು ಈ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ):

ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪವು ಈ ಲೇಖನದ ಮೊದಲ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಈ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಈ ಸತ್ಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಲೇಖನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮತ್ತು . ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವು ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, , ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ - ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು.

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮೂರು ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ.

ಮೊದಲ ವಿಧದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ .

ಉದಾಹರಣೆ.

ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ .

ಪರಿಹಾರ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, .

ಉತ್ತರ:

.

ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ಅದರ ಉದ್ದ ಅಥವಾ ಬೇರೆ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು .

ಇಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲ ಮತ್ತು , ಆದರೆ ರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು , ಅಥವಾ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು.

ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ . ಅವರ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಎರಡನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ ಮೂಲಕ ಬರೆದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ

ಉತ್ತರ:

.

ಉದಾಹರಣೆ.

ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು , ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆರ್ಟ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಮೊದಲು, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ನೀಡಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ.

ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಲೇಖನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೋಡಿ), ನಂತರ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ

ಅಂದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ನೀಡಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ):

ಉತ್ತರ:

.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ (ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ). ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ ಮತ್ತು , ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ಮತ್ತು ಎರಡಕ್ಕೂ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ನಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಅವನನ್ನು ಹುಡುಕೋಣ

ಉತ್ತರ:

ಲಂಬ ವಾಹಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಕೌಶಲ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ ನಂತರ, ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 3 ಮತ್ತು 4 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ಪರಿಹಾರ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿತರಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು

ಸಹಾಯಕ ಆಸ್ತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಾಗಿ ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ರಿಂದ ಮತ್ತು , ನಂತರ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಆಂಟಿಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ .

ಆದ್ದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಮಾನತೆಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ .

ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಉತ್ತರ:

.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದ . ಮತ್ತು ಹೈಸ್ಕೂಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವು ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬದಿಗಳ ಉದ್ದದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಸೈನ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವು ವಾಹಕಗಳ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮುಂದೂಡಿದರೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉದ್ದವು ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆ.