ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠ 2: ಪಿರಮಿಡ್ ಸವಾಲು. ಪಿರಮಿಡ್ ಪರಿಮಾಣ

ವೀಡಿಯೊ ಪಾಠ 3: ಪಿರಮಿಡ್ ಸವಾಲು. ಸರಿಯಾದ ಪಿರಮಿಡ್

ಉಪನ್ಯಾಸ: ಪಿರಮಿಡ್, ಅದರ ಮೂಲ, ಪಾರ್ಶ್ವದ ಅಂಚುಗಳು, ಎತ್ತರ, ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈ; ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್; ಬಲ ಪಿರಮಿಡ್

ಪಿರಮಿಡ್- ಇದು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ದೇಹವಾಗಿದ್ದು, ತಳದಲ್ಲಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಕೋನ್, ಅದರ ತಳದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವಿದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್ನ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಅಪೋಥೆಮ್ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮುಖದ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಚಿನ ಮಧ್ಯಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಮುಖದ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀವು ADS, ABS, BCS, CDS ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ನೀವು ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನವು ಅದರ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು - S. ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಮುಖಗಳು (ತ್ರಿಕೋನಗಳು) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬೇಸ್ನ ಕರ್ಣಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಶೃಂಗವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗ OS (ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎತ್ತರಗಳ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿರಮಿಡ್ ಎತ್ತರ.

ಕರ್ಣೀಯ ವಿಭಾಗವು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಒಂದು ಸಮತಲವಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಬೇಸ್‌ನ ಕರ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೇಲ್ಮೈ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಒಟ್ಟು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಪ್ರತಿ ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಆಕಾರವು ತಳದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಏಕೈಕ ಸಮತಲವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಧಾರದಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳು.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೇಸ್ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಇರಬಹುದು.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅದು ಒಂದೇ ಉದ್ದದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

• ಅಂತಹ ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳದ ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ನೀವು ಯೋಜಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.
• ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳು ಪ್ರತಿ ಮುಖಕ್ಕೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.
• ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದ ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು, ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಮುಖಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಚಿನ ನಡುವೆ ಒಂದೇ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. .

ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮುಖಗಳು ಮತ್ತು ತಳದ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ನೀವು ಕಂಡರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಜ:

• ನೀವು ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳದ ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ.
• ನೀವು ಎತ್ತರದ ಪ್ರತಿ ಬದಿಯ ಮುಖವನ್ನು ಬೇಸ್ಗೆ ಸೆಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಮಾನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
• ಅಂತಹ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಬೇಸ್ನ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉದ್ದದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಸಾಕು.
• Sbp \u003d 0.5P oc H.
• ಪಿರಮಿಡ್ ವಿಧಗಳು.
• ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅವು ತ್ರಿಕೋನ, ಚತುರ್ಭುಜ, ಇತ್ಯಾದಿ ಆಗಿರಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ಸಮಾನ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ) ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್

ಈ ವೀಡಿಯೊ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ ಬಳಕೆದಾರರಿಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ ಥೀಮ್ ಬಗ್ಗೆ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸರಿಯಾದ ಪಿರಮಿಡ್. ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪಿರಮಿಡ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ ಎಂದರೇನು ಮತ್ತು ಅದು ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪಿರಮಿಡ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎ 1 ಎ 2...ಎ ಎನ್, ಇದು α ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದು ಪ, ಇದು ಸಮತಲ α (ಚಿತ್ರ 1) ನಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಡಾಟ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ ಪಶಿಖರಗಳೊಂದಿಗೆ ಎ 1, ಎ 2, ಎ 3, … ಎ ಎನ್. ಪಡೆಯಿರಿ ಎನ್ತ್ರಿಕೋನಗಳು: ಎ 1 ಎ 2 ಆರ್, ಎ 2 ಎ 3 ಆರ್ಇತ್ಯಾದಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ RA 1 A 2 ... A n, ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎನ್-ಗೊನ್ ಎ 1 ಎ 2...ಎ ಎನ್ಮತ್ತು ಎನ್ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಆರ್ಎ 1 ಎ 2, ಆರ್ಎ 2 ಎ 3 …ಆರ್ಎ ಎನ್ ಎ ಎನ್-1, ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್- ಕಲ್ಲಿದ್ದಲು ಪಿರಮಿಡ್. ಅಕ್ಕಿ. ಒಂದು.

ಅಕ್ಕಿ. ಒಂದು

ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ PABCD(ಚಿತ್ರ 2).

ಆರ್- ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗ.

ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ- ಪಿರಮಿಡ್ನ ಆಧಾರ.

RA- ಪಕ್ಕದ ಪಕ್ಕೆಲುಬು.

ಎಬಿ- ಮೂಲ ಅಂಚು.

ಒಂದು ಹಂತದಿಂದ ಆರ್ಲಂಬವಾಗಿ ಬಿಡಿ RNನೆಲದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ. ಲಂಬವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 2

ಪಿರಮಿಡ್ನ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮುಖಗಳ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಪ್ರದೇಶ:

ಎಸ್ ಪೂರ್ಣ \u003d ಎಸ್ ಸೈಡ್ + ಎಸ್ ಮುಖ್ಯ

ಒಂದು ವೇಳೆ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

• ಅದರ ಮೂಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ;
• ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ಬೇಸ್‌ನ ಮಧ್ಯಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವು ಅದರ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯ ಮೇಲೆ ವಿವರಣೆ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ PABCD(ಚಿತ್ರ 3).

ಆರ್- ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗ. ಪಿರಮಿಡ್ನ ಆಧಾರ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ- ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಚೌಕ. ಡಾಟ್ ಓ, ಕರ್ಣಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ಚೌಕದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ROಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 3

ವಿವರಣೆ: ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎನ್-ಗೊನ್, ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವರು ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಬದಿಯ ಮುಖದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಅದರ ಮೇಲ್ಭಾಗದಿಂದ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪೋಥೆಮಾಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ h a.

1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;

2. ಪಾರ್ಶ್ವ ಮುಖಗಳು ಸಮಾನ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ನೀಡಿದ: RABSD- ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್,

ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ- ಚೌಕ,

ROಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ. 4.

ಅಕ್ಕಿ. 4

ಪುರಾವೆ.

ROಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನೇರವಾಗಿ ROಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಬಿಸಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನೇರ AO, VO, SOಮತ್ತು DOಅದರಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ROA, ROV, ROS, ROD- ಆಯತಾಕಾರದ.

ಚೌಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ. ಇದು ಚೌಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ AO = BO = CO = DO

ನಂತರ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ROA, ROV, ROS, RODಕಾಲು RO- ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಕಾಲುಗಳು AO, VO, SOಮತ್ತು DOಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎರಡು ಕಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, RA = PB = PC = PD.ಪಾಯಿಂಟ್ 1 ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ವಿಭಾಗಗಳು ಎಬಿಮತ್ತು ಸೂರ್ಯಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಒಂದೇ ಚೌಕದ ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ, RA = RV = PC. ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನಗಳು AVRಮತ್ತು VCR -ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಮತ್ತು ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ABP, BCP, CDP, DAPಐಸೊಸೆಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಐಟಂ 2 ರಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶವು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಅಪೋಥೆಮ್ನ ಪರಿಧಿಯ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಪುರಾವೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ನೀಡಿದ: RAVSಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಆಗಿದೆ.

AB = BC = AC.

RO- ಎತ್ತರ.

ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: . ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ. 5.

ಅಕ್ಕಿ. 5

ಪುರಾವೆ.

RAVSಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಆಗಿದೆ. ಅದು ಎಬಿ= AC = ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಅವಕಾಶ ಓ- ತ್ರಿಕೋನದ ಕೇಂದ್ರ ಎಬಿಸಿ, ನಂತರ ROಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಪಿರಮಿಡ್ನ ಮೂಲವು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಎಬಿಸಿ. ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸು .

ತ್ರಿಕೋನಗಳು RAV, RVS, RSA- ಸಮಾನ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳು (ಆಸ್ತಿಯಿಂದ). ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಮೂರು ಬದಿಯ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: RAV, RVS, RSA. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶವು:

S ಸೈಡ್ = 3S RAB

ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು 3 ಮೀ, ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವು 4 ಮೀ. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪಾರ್ಶ್ವ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನೀಡಿದ: ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ,

ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ- ಚೌಕ,

ಆರ್= 3 ಮೀ,

RO- ಪಿರಮಿಡ್ ಎತ್ತರ,

RO= 4 ಮೀ.

ಹುಡುಕಿ: ಎಸ್ ಕಡೆ. ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ. 6.

ಅಕ್ಕಿ. 6

ಪರಿಹಾರ.

ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, .

ಮೊದಲು ಬೇಸ್ನ ಬದಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಬಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು 3 ಮೀ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ನಂತರ, ಎಂ.

ಚೌಕದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ 6 ಮೀ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ:

ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ BCD. ಅವಕಾಶ ಎಂ- ಮಧ್ಯ ಭಾಗ ಡಿಸಿ. ಏಕೆಂದರೆ ಓ- ಮಧ್ಯಮ ಬಿಡಿ, ನಂತರ (ಮೀ)

ತ್ರಿಕೋನ DPC- ಸಮದ್ವಿಬಾಹು. ಎಂ- ಮಧ್ಯಮ ಡಿಸಿ. ಅದು, ಆರ್ಎಮ್- ಮಧ್ಯಮ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎತ್ತರ DPC. ನಂತರ ಆರ್ಎಮ್- ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಪೋಥೆಮ್.

ROಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ನೇರವಾಗಿ ROಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಬಿಸಿ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನೇರ ಓಂಅದರಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದೆ. ಅಪೋಥೆಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಆರ್ಎಮ್ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ರಾಮ್.

ಈಗ ನಾವು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಅಡ್ಡ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು:

ಉತ್ತರ: 60 ಮೀ2.

ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದ ಬಳಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಮೀ. ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ 18 ಮೀ 2 ಆಗಿದೆ. ಅಪೋಥೆಮ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನೀಡಿದ: ಎಬಿಸಿಪಿ- ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್,

AB = BC = SA,

ಆರ್= ಮೀ,

ಎಸ್ ಸೈಡ್ = 18 ಮೀ 2.

ಹುಡುಕಿ: . ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ. 7.

ಅಕ್ಕಿ. 7

ಪರಿಹಾರ.

ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಬಿಸಿಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಡೆ ಹುಡುಕೋಣ ಎಬಿಈ ತ್ರಿಕೋನವು ಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನದ (ಮೀ) ಬದಿಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದರ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅಲ್ಲಿ h a- ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಪೋಥೆಮ್. ನಂತರ:

ಉತ್ತರ: 4 ಮೀ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಿರಮಿಡ್ ಎಂದರೇನು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ ಎಂದರೇನು ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಮುಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ನೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

1. ರೇಖಾಗಣಿತ. ಗ್ರೇಡ್ 10-11: ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ (ಮೂಲ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಮಟ್ಟಗಳು) / I. M. ಸ್ಮಿರ್ನೋವಾ, V. A. ಸ್ಮಿರ್ನೋವ್. - 5 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ರೆವ್. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2008. - 288 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ.
2. ರೇಖಾಗಣಿತ. ಗ್ರೇಡ್ 10-11: ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / ಶಾರಿಜಿನ್ I. F. - M .: ಬಸ್ಟರ್ಡ್, 1999. - 208 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ.
3. ರೇಖಾಗಣಿತ. ಗ್ರೇಡ್ 10: ಗಣಿತದ ಆಳವಾದ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / ಇ. V. ಪೊಟೊಸ್ಕುಯೆವ್, L. I. ಜ್ವಾಲಿಚ್. - 6 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಸ್ಟೀರಿಯೊಟೈಪ್. - ಎಂ.: ಬಸ್ಟರ್ಡ್, 008. - 233 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ.

1. ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಪೋರ್ಟಲ್ "ಯಕ್ಲಾಸ್" ()
2. ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಪೋರ್ಟಲ್ "ಫೆಸ್ಟಿವಲ್ ಆಫ್ ಪೆಡಾಗೋಗಿಕಲ್ ಐಡಿಯಾಸ್ "ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ ಮೊದಲ" ()
3. ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಪೋರ್ಟಲ್ "Slideshare.net" ()

ಮನೆಕೆಲಸ

1. ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಅನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಆಧಾರವಾಗಿರಬಹುದೇ?
2. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಛೇದಿಸದ ಅಂಚುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
3. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಪೊಥೆಮ್ ಅದರ ತಳದ ಬದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ನಿಯಮಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ದ್ವಿಮುಖ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
4. RAVSಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಆಗಿದೆ. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನದ ರೇಖೀಯ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅಡ್ಡ ಮುಖ- ಇದು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕೋನವು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಎದುರು ಭಾಗವು ಬೇಸ್‌ನ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ (ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸೈಡ್ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳುಅಡ್ಡ ಮುಖಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ. ಪಿರಮಿಡ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲೆಗಳಿರುವಷ್ಟು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಪಿರಮಿಡ್ ಎತ್ತರಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಿಂದ ತಳಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಬೀಳುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಅಪೋಥೆಮ್- ಇದು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಬದಿಯ ಮುಖದ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದು, ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗದಿಂದ ಬೇಸ್‌ನ ಬದಿಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕರ್ಣೀಯ ವಿಭಾಗ- ಇದು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಮತ್ತು ಬೇಸ್‌ನ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದಿಂದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸರಿಯಾದ ಪಿರಮಿಡ್- ಇದು ಪಿರಮಿಡ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು ಬೇಸ್‌ನ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಸೂತ್ರ. ಪಿರಮಿಡ್ ಪರಿಮಾಣಮೂಲ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಎತ್ತರದ ಮೂಲಕ:

ಪಿರಮಿಡ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳದ ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಬೇಸ್ನ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಮೇಲಿನಿಂದ ಬೀಳಿಸಿದ ಲಂಬವು ಬೇಸ್ (ವೃತ್ತ) ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಒಂದೇ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ.

ಮೂಲ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದಾಗ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳಹದಿಯ ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮುಖಗಳು ಒಂದು ಕೋನದಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ನ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಒಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಬಹುದು ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಡ್ಡ ಮುಖಗಳು ಒಂದು ಕೋನದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಒಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅಡ್ಡ ಮುಖಗಳ ಅಪೋಥೆಮ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

1. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವು ಬೇಸ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲೆಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ.

2. ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳು ಬೇಸ್ಗೆ ಒಂದೇ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

4. ಎಲ್ಲಾ ಕಡೆ ಮುಖಗಳ ಅಪೋಥೆಮ್‌ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

5. ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಮುಖಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

6. ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳು ಒಂದೇ ದ್ವಿಮುಖ (ಫ್ಲಾಟ್) ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

7. ಪಿರಮಿಡ್ ಸುತ್ತಲೂ ಗೋಳವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ವಿವರಿಸಿದ ಗೋಳದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ಲಂಬಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

8. ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಗೋಳವನ್ನು ಕೆತ್ತಬಹುದು. ಕೆತ್ತಲಾದ ಗೋಳದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಅಂಚು ಮತ್ತು ತಳದ ನಡುವಿನ ಕೋನದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

9. ಕೆತ್ತಲಾದ ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರವು ಸುತ್ತುವರಿದ ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ತುದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು π ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಒಂದು ಕೋನವು π / n ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ n ಸಂಖ್ಯೆ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳು.

ಗೋಳದೊಂದಿಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಸಂಪರ್ಕ

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಇರುವಾಗ ಪಿರಮಿಡ್ ಸುತ್ತಲೂ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು (ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ). ಗೋಳದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಲಂಬವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನ ಅಥವಾ ನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್ ಸುತ್ತಲೂ ಗೋಳವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಆಂತರಿಕ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕ ವಿಮಾನಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ (ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ) ಗೋಳವನ್ನು ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಬಹುದು. ಈ ಬಿಂದುವು ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕೋನ್ನೊಂದಿಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಸಂಪರ್ಕ

ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ಶೃಂಗಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕೋನ್‌ನ ತಳವನ್ನು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಪೋಥೆಮ್‌ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಕೆತ್ತಬಹುದು.

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಶೃಂಗಗಳು ತಾಳೆಯಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಶಂಕುವಿನ ಬುಡವು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದ ಸುತ್ತಲೂ ಸುತ್ತುವರೆದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಪಿರಮಿಡ್ ಸುತ್ತಲೂ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು.

ಸಿಲಿಂಡರ್ನೊಂದಿಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಸಂಪರ್ಕ

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವು ಸಿಲಿಂಡರ್‌ನ ಒಂದು ತಳದಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳವನ್ನು ಸಿಲಿಂಡರ್‌ನ ಇನ್ನೊಂದು ತಳದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಿದ್ದರೆ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಸಿಲಿಂಡರ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದ ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸುತ್ತುವಂತೆ ಮಾಡಿದರೆ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಸುತ್ತಲೂ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಅನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿಯಬಹುದು.

ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ ನಾಲ್ಕು ಮುಖಗಳು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಆರು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವು ಮೂರು ಮುಖಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಟ್ರೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನ.

ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಶೃಂಗವನ್ನು ವಿರುದ್ಧ ಮುಖದ ಮಧ್ಯಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಮಧ್ಯಭಾಗ(GM).

ಬಿಮೆಡಿಯನ್ಸ್ಪರ್ಶಿಸದ (ಕೆಎಲ್) ವಿರುದ್ಧ ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಬೈಮೆಡಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮೀಡಿಯನ್‌ಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ (S) ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೈಮೆಡಿಯನ್‌ಗಳನ್ನು ಅರ್ಧ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮಗಳನ್ನು 3: 1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ತೀವ್ರ ಕೋನೀಯ ಪಿರಮಿಡ್ಒಂದು ಪಿರಮಿಡ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಪೋಥೆಮ್ ಬೇಸ್‌ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಚೂಪಾದ ಪಿರಮಿಡ್ಇದು ಪಿರಮಿಡ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಪೋಥೆಮ್ ತಳದ ಬದಿಯ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ನಿಯಮಿತ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ನಾಲ್ಕು ಮುಖಗಳು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್. ಇದು ಐದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ನಿಯಮಿತ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್‌ನಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ದ್ವಿಮುಖ ಕೋನಗಳು (ಮುಖಗಳ ನಡುವೆ) ಮತ್ತು ಟ್ರೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳು (ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಆಯತಾಕಾರದ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಅಂಚುಗಳ ನಡುವೆ ಲಂಬ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂಚುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಮೂರು ಮುಖಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಆಯತಾಕಾರದ ಟ್ರೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಮತ್ತು ಮುಖಗಳು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಮೂಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಮುಖದ ಅಪೋಥೆಮ್ ಅಪಾಥೆಮ್ ಬೀಳುವ ತಳದ ಅರ್ಧ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮುಖಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೂಲವು ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಮುಖಗಳು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಆರ್ಥೋಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನಿಂದ ವಿರುದ್ಧ ಮುಖಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಎತ್ತರಗಳು (ಲಂಬಗಳು) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ನಕ್ಷತ್ರ ಪಿರಮಿಡ್ನಕ್ಷತ್ರದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್. ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್

ಪಿರಮಿಡ್ಇದನ್ನು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮುಖವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ ( ಬೇಸ್ ), ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಮುಖಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ ( ಅಡ್ಡ ಮುಖಗಳು ) (ಚಿತ್ರ 15). ಪಿರಮಿಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಿಯಾದ , ಅದರ ಮೂಲವು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವು ಬೇಸ್‌ನ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿತವಾಗಿದ್ದರೆ (ಚಿತ್ರ 16). ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ .

ಸೈಡ್ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಬೇಸ್ಗೆ ಸೇರದ ಅಡ್ಡ ಮುಖದ ಬದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎತ್ತರ ಪಿರಮಿಡ್ ಅದರ ಮೇಲ್ಭಾಗದಿಂದ ಬೇಸ್ನ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಮುಖಗಳು ಸಮಾನ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ಶೃಂಗದಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಬದಿಯ ಮುಖದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಪೋಥೆಮಾ . ಕರ್ಣೀಯ ವಿಭಾಗ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಒಂದೇ ಮುಖಕ್ಕೆ ಸೇರದ ಎರಡು ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಡ್ಡ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಕಡೆ ಮುಖಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಮುಖಗಳು ಮತ್ತು ಬೇಸ್ನ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯಗಳು

1. ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಅಂಚುಗಳು ಬೇಸ್‌ನ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಒಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವು ಬೇಸ್‌ನ ಸಮೀಪವಿರುವ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಯೋಜಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

2. ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಅಂಚುಗಳು ಸಮಾನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವು ಬೇಸ್‌ನ ಸಮೀಪವಿರುವ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ.

3. ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳು ಬೇಸ್‌ನ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಒಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ತಳದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಸೂತ್ರವು ಸರಿಯಾಗಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ ವಿ- ಪರಿಮಾಣ;

ಎಸ್ ಮುಖ್ಯ- ಬೇಸ್ ಪ್ರದೇಶ;

ಎಚ್ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ನಿಜ:

ಎಲ್ಲಿ ಪ- ಬೇಸ್ನ ಪರಿಧಿ;

h a- ಅಪೋಥೆಮ್;

ಎಚ್- ಎತ್ತರ;

ಎಸ್ ಪೂರ್ಣ

ಎಸ್ ಕಡೆ

ಎಸ್ ಮುಖ್ಯ- ಬೇಸ್ ಪ್ರದೇಶ;

ವಿಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ.

ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ಪಿರಮಿಡ್ನ ಬೇಸ್ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಕತ್ತರಿಸುವ ಪ್ಲೇನ್ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 17). ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ ನಿಯಮಿತ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಕತ್ತರಿಸುವ ಸಮತಲದ ನಡುವೆ ಸುತ್ತುವರಿದಿದೆ.

ಅಡಿಪಾಯಗಳುಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ - ಇದೇ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು. ಅಡ್ಡ ಮುಖಗಳು - ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್. ಎತ್ತರ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಅದರ ನೆಲೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕರ್ಣೀಯ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ ಒಂದೇ ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಇರದ ಅದರ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಕರ್ಣೀಯ ವಿಭಾಗ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಒಂದೇ ಮುಖಕ್ಕೆ ಸೇರದ ಎರಡು ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

(4)

ಎಲ್ಲಿ ಎಸ್ 1 , ಎಸ್ 2 - ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ನೆಲೆಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು;

ಎಸ್ ಪೂರ್ಣಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ;

ಎಸ್ ಕಡೆಪಾರ್ಶ್ವದ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ;

ಎಚ್- ಎತ್ತರ;

ವಿಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ.

ನಿಯಮಿತ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವು ನಿಜವಾಗಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಪ 1 , ಪ 2 - ಬೇಸ್ ಪರಿಧಿಗಳು;

h a- ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಪೋಥೆಮ್.

ಉದಾಹರಣೆ 1ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ, ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವು 60º ಆಗಿದೆ. ಬೇಸ್ನ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಅಡ್ಡ ಅಂಚಿನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 18).

ಪಿರಮಿಡ್ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ತಳವು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಮುಖಗಳು ಸಮಾನ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಬದಿಯ ಮುಖವನ್ನು ಬೇಸ್‌ನ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಕೋನವು ಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಎರಡು ಲಂಬಗಳ ನಡುವೆ: ಅಂದರೆ. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವು ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿತವಾಗಿದೆ (ಪರಿವರ್ತಿತ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತ ಎಬಿಸಿ) ಬದಿಯ ಪಕ್ಕೆಲುಬಿನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎಸ್.ಬಿ) ಎಂಬುದು ಅಂಚಿನ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. ಪಕ್ಕೆಲುಬಿಗೆ ಎಸ್.ಬಿಈ ಕೋನವು ಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ SBD. ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಕಾಲುಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದಮತ್ತು OB. ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಬಿಡಿ ಬಿಡಿ 3 ಆಗಿದೆ ಎ. ಚುಕ್ಕೆ ಓವಿಭಾಗ ಬಿಡಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಮತ್ತು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ: ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 2ನಿಯಮಿತವಾದ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಚತುರ್ಭುಜ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅದರ ಮೂಲಗಳ ಕರ್ಣಗಳು cm ಮತ್ತು cm ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು 4 cm ಆಗಿದ್ದರೆ.

ಪರಿಹಾರ.ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು (4) ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನೆಲೆಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಬೇಸ್ ಚೌಕಗಳ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅವುಗಳ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಬೇಸ್‌ಗಳ ಬದಿಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 2 cm ಮತ್ತು 8 cm. ಇದರರ್ಥ ಬೇಸ್‌ಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ:

ಉತ್ತರ: 112 ಸೆಂ3.

ಉದಾಹರಣೆ 3ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅದರ ಬದಿಗಳು 10 ಸೆಂ ಮತ್ತು 4 ಸೆಂ, ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವು 2 ಸೆಂ.

ಪರಿಹಾರ.ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 19).

ಈ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಬದಿಯ ಮುಖವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಟ್ರೆಪೆಜಿಯಂ ಆಗಿದೆ. ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆಧಾರಗಳನ್ನು ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಎತ್ತರ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು ಎಲ್ಲಿಂದ ಹುಡುಕಿ ಎ 1 ಇಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ಎ 1 ಕೆಳಗಿನ ತಳದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಎ 1 ಡಿ- ನಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿ ಎ 1 ರಂದು ಎಸಿ. ಎ 1 ಇ\u003d 2 ಸೆಂ, ಇದು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ. ಹುಡುಕುವುದಕ್ಕಾಗಿ DEನಾವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಉನ್ನತ ನೋಟವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತೇವೆ (ಚಿತ್ರ 20). ಡಾಟ್ ಓ- ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ನೆಲೆಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ. ರಿಂದ (ಚಿತ್ರ 20 ನೋಡಿ) ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ ಸರಿಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಓಂಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ:

MK=DE.

ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ

ಅಡ್ಡ ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶ:

ಉತ್ತರ:

ಉದಾಹರಣೆ 4ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದಲ್ಲಿ ಐಸೊಸೆಲ್ಸ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಇದೆ, ಅದರ ನೆಲೆಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿ (ಎ> ಬಿ) ಪ್ರತಿ ಬದಿಯ ಮುಖವು ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಜ. ಪಿರಮಿಡ್ನ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಮಾಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 21). ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ SABCDಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ.

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಮುಖಗಳು ಬೇಸ್‌ನ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಒಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಶೃಂಗವನ್ನು ತಳದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನಾವು ಬಳಸೋಣ. ಡಾಟ್ ಓ- ಶೃಂಗದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎಸ್ಪಿರಮಿಡ್ ತಳದಲ್ಲಿ. ತ್ರಿಕೋನ SODತ್ರಿಕೋನದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ CSDಮೂಲ ಸಮತಲಕ್ಕೆ. ಸಮತಟ್ಟಾದ ಆಕೃತಿಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂತೆಯೇ, ಇದರ ಅರ್ಥ ಹೀಗಾಗಿ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ. ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ (ಚಿತ್ರ 22). ಡಾಟ್ ಓಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.

ವೃತ್ತವನ್ನು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಥವಾ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

• ಅಪೋಥೆಮ್- ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಬದಿಯ ಮುಖದ ಎತ್ತರ, ಅದರ ಮೇಲ್ಭಾಗದಿಂದ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಜೊತೆಗೆ, ಅಪೋಥೆಮ್ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮಧ್ಯದಿಂದ ಅದರ 1 ಬದಿಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ);
• ಅಡ್ಡ ಮುಖಗಳು (ASB, BSC, CSD, DSA) - ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳು;
• ಅಡ್ಡ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳು ( AS , ಬಿಎಸ್ , ಸಿಎಸ್ , ಡಿ.ಎಸ್. ) - ಅಡ್ಡ ಮುಖಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬದಿಗಳು;
• ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗ (ವಿ. ಎಸ್) - ಪಕ್ಕದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಅದು ಬೇಸ್ನ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ;
• ಎತ್ತರ ( ಆದ್ದರಿಂದ ) - ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗ, ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಅದರ ತಳದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂತಹ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾದ ತಳಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ);
• ಪಿರಮಿಡ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ವಿಭಾಗ- ಪಿರಮಿಡ್ನ ವಿಭಾಗ, ಇದು ಬೇಸ್ನ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ;
• ಬೇಸ್ (ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ) ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವು ಸೇರದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

1. ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳು ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ನಂತರ:

• ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದ ಬಳಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಆದರೆ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ಈ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಅಡ್ಡ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳು ಮೂಲ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ;
• ಜೊತೆಗೆ, ಸಂಭಾಷಣೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಪಕ್ಕದ ಅಂಚುಗಳು ಮೂಲ ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದಾಗ ಅಥವಾ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದ ಬಳಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಿದಾಗ ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ಈ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಗ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಯ ಅಂಚುಗಳು ಅದೇ ಗಾತ್ರ.

2. ಬದಿಯ ಮುಖಗಳು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯದ ತಳಹದಿಯ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ನಂತರ:

• ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳದ ಬಳಿ, ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಆದರೆ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗವನ್ನು ಈ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಅಡ್ಡ ಮುಖಗಳ ಎತ್ತರಗಳು ಸಮಾನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ;
• ಲ್ಯಾಟರಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಬೇಸ್ನ ಪರಿಧಿಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ½ ಮತ್ತು ಪಾರ್ಶ್ವದ ಮುಖದ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳಭಾಗವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು (ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ) ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರವು ಅವುಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಅಂಚುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನಾವು ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ ಸುತ್ತಲೂ ಗೋಳವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

4. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಆಂತರಿಕ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕ ವಿಮಾನಗಳು 1 ನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ (ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ) ಗೋಳವನ್ನು ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಬಹುದು. ಈ ಬಿಂದುವು ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರವಾಗುತ್ತದೆ.

ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ಪಿರಮಿಡ್.

ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳದ ಮೂಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಅವುಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ, ಚತುರ್ಭುಜ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್ ತಿನ್ನುವೆ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ, ಚತುರ್ಭುಜ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಪಿರಮಿಡ್ನ ಮೂಲವು ತ್ರಿಕೋನ, ಚತುರ್ಭುಜ, ಇತ್ಯಾದಿ. ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದೆ - ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್. ಚತುರ್ಭುಜ - ಪೆಂಟಾಹೆಡ್ರಾನ್ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.