ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾಯಗಳ ಸಂಪುಟಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು. ಅಂಕಿಗಳ ಪರಿಮಾಣ

ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - ಉದಾಹರಣೆಗೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶ - ಹಾಗೆಯೇ ನಾವು ಮಾತನಾಡುವ ಸರಳ ತಂತ್ರಗಳು.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕಲಿಯೋಣ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಮುದ್ರಿಸಿ, ಕಲಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸಿ!

ಸಹಜವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸೂತ್ರಗಳು ನಮ್ಮ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಬಳಕೆಯ ಎರಡನೇ ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಇತರ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಅವರ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಆದರೆ ನೀವು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕೇ? ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ! ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು FIPI ಉದ್ಯೋಗ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

1. ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಆಕಾರದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಚತುರ್ಭುಜ? ಈ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ನಮಗೆಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು - ಈ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಒಂದು ಸರಳ ಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ.

ಈ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಸಮತಲ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೇಸ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿಭಜಿಸಿ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಎತ್ತರಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ :.

ಉತ್ತರ:.

2. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಈ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ತಳ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಸುಲಭವಲ್ಲ! ಆದರೆ ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಒಂದು ಬದಿ ಮತ್ತು ಮೂರು ಬಲ-ಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ನೀವು ಅವರನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೀರಾ? ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ :.

ಉತ್ತರ:.

3. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಾವು ಒಂದು ವಲಯದ ಪ್ರದೇಶದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ - ವೃತ್ತದ ಒಂದು ಭಾಗ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದ ವಲಯದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅದರ ಚಾಪದ ಉದ್ದ.

ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಾವು ವೃತ್ತದ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಅಂದಿನಿಂದ ಇಡೀ ವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತದ ಯಾವ ಭಾಗವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಇಡೀ ವೃತ್ತದ ಉದ್ದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಆದರಿಂದ), ಮತ್ತು ಈ ವಲಯದ ಚಾಪದ ಉದ್ದವು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಚಾಪದ ಉದ್ದವು ಇಡೀ ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಆರ್ಕ್ ಇರುವ ಕೋನವು ಪೂರ್ಣ ವೃತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳು). ಇದರರ್ಥ ವಲಯದ ಪ್ರದೇಶವು ಇಡೀ ವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತು ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ನಮ್ಮ ವಿಧಾನಗಳಂತೆಯೇ ವಿವಿಧ ಆಕಾರಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು.

ಅವರ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ "ಆರಂಭಗಳು"ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ಅನೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಷ್ಯಾದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಗಳು $ XVI $ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲ್ಪಟ್ಟವು. ವಿವಿಧ ಆಕಾರಗಳ ಆಕೃತಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅವರು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಇಂದು, ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಆಕಾರದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ.

ಸರಳವಾದ ಆಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ - ಒಂದು ಆಯತ - ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ.

ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರ

ಒಂದು ಫಿಗರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 1), ಇದು $ 1 $ ಸೆಂ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ $ 8 $ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. $ 1 $ cm ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಚದರ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು $ 1 \ cm ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ^ 2 $.

ಈ ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ (ಚಿತ್ರ 1) $ 8 \ cm ^ 2 $ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

$ 1 \ cm $ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $ p $) ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ಚೌಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದಾದ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವು $ p \ cm ^ 2 $ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆಕೃತಿಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಅನೇಕ $ cm ^ 2 $ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, $ 1 \ cm $ನ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಅಂಕಿ ಮುರಿಯಬಹುದು.

$ 3 $ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು (Fig. 2) ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ $ 5 $ ಚೌಕಗಳನ್ನು $ 1 \ cm $ ನೊಂದಿಗೆ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಡೀ ಆಯತವು $ 5 \ cdot 3 = 15 $ ಅಂತಹ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರದೇಶವು $ 15 \ cm ^ 2 $ ಆಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 1.

ಚಿತ್ರ 2.

ಅಂಕಿಗಳ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ $ S $ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಅದರ ಅಗಲದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು $ a $ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು $ b $ ನೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶದ ಸೂತ್ರವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಮಾನಒಂದು ವೇಳೆ, ಒಂದರ ಮೇಲೊಂದರಂತೆ, ಆಕಾರಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಸಮಾನ ಆಕಾರಗಳು ಸಮಾನ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಪರಿಧಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರ ಭಾಗಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರ $ 3 $ ನಲ್ಲಿ, $ ABCD $ ಆಯತವನ್ನು $ KLMN $ ರೇಖೆಯಿಂದ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶವು $ 12 \ cm ^ 2 $, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು $ 9 \ cm ^ 2 $. ನಂತರ $ ABCD $ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವು $ 12 \ cm ^ 2 + 9 \ cm ^ 2 = 21 \ cm ^ 2 $ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಆಯತದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಕಂಡುಬರುವ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಚಿತ್ರ 3.

ಚಿತ್ರ 4.

$ AC $ ವಿಭಾಗವು ಆಯತವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ: $ ABC $ ಮತ್ತು $ ADC $. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಯತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

ಸಮಾನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಚೌಕ.

ನಾವು $ a $ ಅಕ್ಷರದೊಂದಿಗೆ ಚೌಕದ ಬದಿಯನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಚೌಕದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ $ a $ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚೌಕದ ಬದಿಯು $ 5 $ ಸೆಂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ:

ಸಂಪುಟಗಳು

ಪ್ರಾಚೀನ ನಾಗರಿಕತೆಗಳ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಾರ ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ, ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಯಿತು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಅಂಕಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಈ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪ್ರದೇಶದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಈಗಾಗಲೇ $ IV $ ಶತಮಾನ BC ಯಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗಿದೆ.

ಪುರಾತನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸರಳ ಅಂಕಿಗಳ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು - ಒಂದು ಘನ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್. ಆ ಕಾಲದ ಎಲ್ಲಾ ರಚನೆಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಈ ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು. ಆದರೆ ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಆಕಾರಗಳ ಅಂಕಿಗಳ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿಧಾನಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ.

ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರ ಕೊಳವೆಯ ಪರಿಮಾಣ

ನೀವು ಅಚ್ಚನ್ನು ಒದ್ದೆಯಾದ ಮರಳಿನಿಂದ ತುಂಬಿಸಿ ನಂತರ ಅದನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ನಾವು ವಾಲ್ಯೂಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಿಗರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಪರಿಮಾಣದಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ನೀವು ಒಂದೇ ಅಚ್ಚು ಬಳಸಿ ಅಂತಹ ಹಲವಾರು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ, ನೀವು ಅದೇ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ನೀವು ಅಚ್ಚನ್ನು ನೀರಿನಿಂದ ತುಂಬಿಸಿದರೆ, ನೀರಿನ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಮರಳಿನ ಆಕೃತಿಯ ಪರಿಮಾಣವೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 5.

ಒಂದನ್ನು ನೀರಿನಿಂದ ತುಂಬಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಸುರಿಯುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಎರಡು ಹಡಗುಗಳ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೇ ಹಡಗು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತುಂಬಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಹಡಗುಗಳು ಸಮಾನ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀರು ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲ ಹಡಗಿನ ಪ್ರಮಾಣವು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಮೊದಲ ಪಾತ್ರೆಯಿಂದ ನೀರನ್ನು ಸುರಿಯುವಾಗ, ಎರಡನೆಯ ಪಾತ್ರೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತುಂಬಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮೊದಲ ಹಡಗಿನ ಪರಿಮಾಣವು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

$ ಮಿಮೀ ^ 3 $ - ಘನ ಮಿಲಿಮೀಟರ್,

$ ಸೆಂ ^ 3 $ - ಘನ ಸೆಂಟಿಮೀಟರ್,

$ dm ^ 3 $ - ಘನ ಡೆಸಿಮೀಟರ್,

$ ಮೀ ^ 3 $ - ಘನ ಮೀಟರ್,

$ ಕಿಮೀ ^ 3 $ - ಘನ ಕಿಲೋಮೀಟರ್.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಮರ್ಶೆ. ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ ಸೂತ್ರಗಳು!

ಹಲೋ ಪ್ರಿಯ ಸ್ನೇಹಿತರೇ! ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾನು ನಿರ್ಧರಿಸಿದೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಇ. ಈ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಲೇಬೇಕು. ಇವುಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ: ಉದ್ದಗಳು, ಕೋನಗಳು, ಪ್ರದೇಶಗಳು, ಸಂಪುಟಗಳು.

ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ: ಘನ, ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರ, ಪ್ರಿಸ್ಮ್, ಪಿರಮಿಡ್, ಸಂಯುಕ್ತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್, ಸಿಲಿಂಡರ್, ಕೋನ್, ಬಾಲ್. ಕೆಲವು ಪದವೀಧರರು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿಯೇ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳದಿರುವುದು ದುಃಖಕರವಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 50% ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ, ಬಹುತೇಕ ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಉಳಿದವುಗಳಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಪ್ರಯತ್ನ, ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ತಂತ್ರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಮುಂದಿನ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಡಿ, ಬ್ಲಾಗ್ ನವೀಕರಣಕ್ಕೆ ಚಂದಾದಾರರಾಗಿ.

ಪರಿಹರಿಸಲು, ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪುಟಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳುಪ್ಯಾರಲೆಲೆಪಿಪ್ಡ್, ಪಿರಮಿಡ್, ಪ್ರಿಸ್ಮ್, ಸಿಲಿಂಡರ್, ಕೋನ್ ಮತ್ತು ಬಾಲ್. ಯಾವುದೇ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಲ್ಲ, ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ 2-3 ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು "ನೋಡಲು" ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಚೆಂಡು ಅಥವಾ ಗೋಳ. ಗೋಳಾಕಾರದ ಅಥವಾ ಗೋಳಾಕಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಗೋಳ) ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮಾನ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ - ಚೆಂಡಿನ ಮಧ್ಯಭಾಗ.

ಬಾಲ್ ಪರಿಮಾಣಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ತಳವು ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವು ಚೆಂಡಿನ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ

ಗೋಳದ ಪರಿಮಾಣವು ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ವಿವರಿಸಿದ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕಿಂತ ಒಂದೂವರೆ ಪಟ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.

ಅದರ ಒಂದು ಕಾಲಿನ ಸುತ್ತಲೂ ಆಯತಾಕಾರದ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸುತ್ತಿನ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಸುತ್ತಿನ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಕ್ರಾಂತಿಯ ಕೋನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕೋನ್‌ನ ಮೇಲ್ಮೈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನೂ ನೋಡಿ

ರೌಂಡ್ ಕೋನ್ ಪರಿಮಾಣಎತ್ತರ H ನಿಂದ ಮೂಲ ಪ್ರದೇಶದ S ನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(H ಘನಾಕೃತಿಯ ಅಂಚಿನ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ)

ಪ್ಯಾರಲೆಲೆಪಿಪ್ಡ್ ಎಂಬುದು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೂಲವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಪಿಪ್ಡ್ ಆರು ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರವಾದ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಾಲ್ಕು ಬದಿಯ ಮುಖಗಳನ್ನು ನೇರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಆಯತದ ಎಲ್ಲಾ ಆರು ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರವಾದ ಸಮಾನಾಂತರವನ್ನು ಆಯತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಆಯತಾಕಾರದ ಸಮಾನಾಂತರ ಕೊಳವೆಯ ಪರಿಮಾಣಎತ್ತರದಿಂದ ಬೇಸ್ ಪ್ರದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(S ಎಂಬುದು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ತಳಭಾಗದ ಪ್ರದೇಶ, h ಎಂಬುದು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರ)

ಪಿರಮಿಡ್ ಒಂದು ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಆಗಿದೆ - ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೂಲ - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ಮತ್ತು ಉಳಿದವು - ಪಾರ್ಶ್ವ ಮುಖಗಳು - ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳು, ಇದನ್ನು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪಿರಮಿಡ್ನ ತಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ವಿಭಾಗವು ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಈ ವಿಭಾಗದ ನಡುವಿನ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಭಾಗವು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ ಆಗಿದೆ.

ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್ ಪರಿಮಾಣಎತ್ತರದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ h (OS)ಮೇಲಿನ ತಳದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ S1 (abcde), ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಕೆಳ ತಳ S2 (ABCDE)ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಅನುಪಾತ.

n - ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ - ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಆಧಾರ
ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿ - ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಆಧಾರ
h - ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿರಮಿಡ್ನ ಎತ್ತರ

ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ ಒಂದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮುಖ - ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಮೂಲ - ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಉಳಿದವು - ಪಾರ್ಶ್ವ ಮುಖಗಳು - ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ. ಎತ್ತರವು ಮೇಲಿನಿಂದ ಬೇಸ್ನ ಮಧ್ಯಭಾಗಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ.

ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಬೇಸ್ ಆಗಿದೆ ಎಸ್ (ಎಬಿಸಿ)ಎತ್ತರಕ್ಕೆ h (OS)

ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿ - ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಆಧಾರ
h - ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎತ್ತರ

ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಪರಿಮಾಣದ ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ

ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ನಿಯಮಿತ (ಸಮಬಾಹು) ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅದರೊಳಗೆ ಬದಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ ಪರಿಮಾಣ- ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಎರಡರ ವರ್ಗಮೂಲವು ಹನ್ನೆರಡು ಆಗಿರುವ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಅಂಚಿನ ಉದ್ದದ ಘನದಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ

(h ಎಂಬುದು ರೋಂಬಸ್ ಬದಿಯ ಉದ್ದ)

ಸುತ್ತಳತೆ ಪವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸದ ಸುಮಾರು ಮೂರು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಏಳನೇ ಒಂದು ಭಾಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆಯ ನಿಖರವಾದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಗ್ರೀಕ್ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ π

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿ ಅಥವಾ ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

(r ಎಂಬುದು ಆರ್ಕ್ನ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ, n ಎಂಬುದು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಆರ್ಕ್ನ ಕೇಂದ್ರ ಕೋನವಾಗಿದೆ.)

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ದೂರಗಳನ್ನು ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಿರಿ.ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನೇಕ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆಕಾರಗಳ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನಮೂದಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ನೀವು ಇತರ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಮೀಟರ್‌ಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

• 1 ಮಿಮೀ = 0.001 ಮೀ
• 1 ಸೆಂ = 0.01 ಮೀ
• 1 ಕಿಮೀ = 1000 ಮೀ

"Get an A" ಎಂಬ ವೀಡಿಯೊ ಕೋರ್ಸ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ 60-65 ಅಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಉತ್ತೀರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ 1-13 ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನೀವು 90-100 ಅಂಕಗಳಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನೀವು ಭಾಗ 1 ಅನ್ನು 30 ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು!

10-11 ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ತಯಾರಿ ಕೋರ್ಸ್, ಹಾಗೆಯೇ ಶಿಕ್ಷಕರಿಗೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಭಾಗ 1 ಅನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ (ಮೊದಲ 12 ಸಮಸ್ಯೆಗಳು) ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆ 13 (ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ) ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು. ಮತ್ತು ಇದು ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ 70 ಅಂಕಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, ಮತ್ತು ನೂರು ಅಂಕಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಅಥವಾ ಮಾನವಿಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಅವರಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ನಿಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ತ್ವರಿತ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಬಲೆಗಳು ಮತ್ತು ರಹಸ್ಯಗಳು. FIPI ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬ್ಯಾಂಕ್‌ನಿಂದ ಭಾಗ 1 ರ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಡಿಸ್ಅಸೆಂಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಕೋರ್ಸ್ 2018 ರ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.

ಕೋರ್ಸ್ 5 ದೊಡ್ಡ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿ 2.5 ಗಂಟೆಗಳ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಷಯವನ್ನು ಮೊದಲಿನಿಂದ, ಸರಳ ಮತ್ತು ನೇರವಾದವುಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ನೂರಾರು USE ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳು. ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳು. ರೇಖಾಗಣಿತ. ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಉಲ್ಲೇಖ ವಸ್ತು, ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ USE ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ. ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ. ಟ್ರಿಕಿ ಪರಿಹಾರಗಳು, ಸಹಾಯಕವಾದ ಚೀಟ್ ಶೀಟ್‌ಗಳು, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ. ಮೊದಲಿನಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ 13. ಕ್ರ್ಯಾಮಿಂಗ್ ಬದಲಿಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ದೃಶ್ಯ ವಿವರಣೆ. ಬೀಜಗಣಿತ. ಬೇರುಗಳು, ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ 2 ನೇ ಭಾಗದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಆಧಾರ.