ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷന്റെ ലോഗരിതം. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം, ln x ഫംഗ്ഷൻ

ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം പഠിക്കുന്നത് തുടരുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ സംസാരിക്കും ലോഗരിതം കണക്കുകൂട്ടൽ, ഈ പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു ലോഗരിതം. ആദ്യം, നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യും. അടുത്തതായി, ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് പരിഗണിക്കുക. അതിനുശേഷം, മറ്റ് ലോഗരിതങ്ങളുടെ തുടക്കത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങളിലൂടെ ലോഗരിതങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലിൽ ഞങ്ങൾ താമസിക്കും. അവസാനമായി, ലോഗരിതം പട്ടികകൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് പഠിക്കാം. മുഴുവൻ സിദ്ധാന്തവും വിശദമായ പരിഹാരങ്ങളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം കമ്പ്യൂട്ടിംഗ്

ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും നിർവഹിക്കാൻ സാധിക്കും നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ പ്രക്രിയ എങ്ങനെ നടക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് കൂടുതൽ വിശദമായി നോക്കാം.

അതിന്റെ സാരാംശം b എന്ന സംഖ്യയെ a c എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുക എന്നതാണ്, അവിടെ നിന്ന്, ലോഗരിതം നിർവചനം അനുസരിച്ച്, സംഖ്യ c എന്നത് ലോഗരിതം മൂല്യമാണ്. അതായത്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വ ശൃംഖലയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു: ലോഗ് a b=log a a c =c .

അതിനാൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു c \u003d b എന്ന സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു, കൂടാതെ c സംഖ്യ തന്നെ ലോഗരിതത്തിന്റെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യമാണ്.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികകളുടെ വിവരങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിന്റെ ഒരു പരിധിവരെ നൽകുമ്പോൾ, ലോഗരിതം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും - ഇത് എക്‌സ്‌പോണന്റിന് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ലോഗ് 2 2 −3 കണ്ടെത്തുക, കൂടാതെ e 5.3 ന്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

ലോഗ് 2 2 −3 = -3 എന്ന് ഉടൻ തന്നെ പറയാൻ ലോഗരിതം നിർവചനം ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ ബേസ് 2 മുതൽ −3 പവർ വരെ തുല്യമാണ്.

അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നു: lne 5.3 =5.3.

ഉത്തരം:

ലോഗ് 2 2 −3 = -3, lne 5.3 =5.3 .

ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ബി നമ്പർ ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയുടെ ശക്തിയായി നൽകിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, a c എന്ന രൂപത്തിൽ ബി സംഖ്യയുടെ ഒരു പ്രാതിനിധ്യം കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. മിക്കപ്പോഴും ഈ പ്രാതിനിധ്യം വളരെ വ്യക്തമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യ 1, അല്ലെങ്കിൽ 2, അല്ലെങ്കിൽ 3, ന്റെ ശക്തിയുടെ അടിത്തറയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ ...

ഉദാഹരണം.

ലോഗരിതംസ് ലോഗ് 5 25 കണക്കാക്കുക, ഒപ്പം .

പരിഹാരം.

25=5 2 എന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്, ഇത് ആദ്യ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: ലോഗ് 5 25=ലോഗ് 5 5 2 =2 .

ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം കണക്കുകൂട്ടുന്നതിലേക്ക് പോകുന്നു. ഒരു സംഖ്യയെ 7 ന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: (ആവശ്യമെങ്കിൽ കാണുക). അതിനാൽ, .

ഇനി പറയുന്ന രൂപത്തിൽ മൂന്നാമത്തെ ലോഗരിതം മാറ്റിയെഴുതാം. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അത് കാണാൻ കഴിയും , എവിടെ നിന്നാണ് ഞങ്ങൾ അത് നിഗമനം ചെയ്യുന്നത് . അതിനാൽ, ലോഗരിതം നിർവചനം പ്രകാരം .

ചുരുക്കത്തിൽ, പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

ഉത്തരം:

ലോഗ് 5 25=2 , ഒപ്പം .

ആവശ്യത്തിന് വലിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണെങ്കിൽ, അതിനെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല. ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയുടെ ചില ശക്തിയായി അത്തരമൊരു സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഇത് പലപ്പോഴും സഹായിക്കുന്നു, അതിനാൽ, ഈ ലോഗരിതം നിർവചനം അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.

ലോഗരിതം മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ലോഗരിതത്തിന്റെ ചില സവിശേഷതകൾ ലോഗരിതത്തിന്റെ മൂല്യം ഉടനടി വ്യക്തമാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്നിന്റെ ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവും അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവും ഉൾപ്പെടുന്നു: log 1 1=log a a 0 =0, log a =log a a 1 =1 . അതായത്, നമ്പർ 1 അല്ലെങ്കിൽ നമ്പർ a എന്നത് ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലായിരിക്കുമ്പോൾ, ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ ലോഗരിതം യഥാക്രമം 0 ഉം 1 ഉം ആയിരിക്കും.

ഉദാഹരണം.

ലോഗരിതം, lg10 എന്നിവ എന്തൊക്കെയാണ്?

പരിഹാരം.

മുതൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു .

രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള നമ്പർ 10 അതിന്റെ അടിത്തറയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ പത്തിന്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, lg10=lg10 1 =1 .

ഉത്തരം:

ഒപ്പം lg10=1 .

നിർവചനം അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ചെയ്യുന്നത് (മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ ചർച്ചചെയ്തത്) സമത്വ ലോഗ് a a p =p യുടെ ഉപയോഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്.

പ്രായോഗികമായി, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള സംഖ്യയും ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനവും ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയായി എളുപ്പത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത് വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്. , ഇത് ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്നിനോട് യോജിക്കുന്നു. ഈ ഫോർമുലയുടെ ഉപയോഗം ചിത്രീകരിക്കുന്ന ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം.

യുടെ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

ഉത്തരം:

.

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ലാത്ത ലോഗരിതങ്ങളുടെ സവിശേഷതകളും കണക്കുകൂട്ടലിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഖണ്ഡികകളിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും.

അറിയപ്പെടുന്ന മറ്റ് ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നു

ഈ ഖണ്ഡികയിലെ വിവരങ്ങൾ അവയുടെ കണക്കുകൂട്ടലിൽ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന വിഷയം തുടരുന്നു. എന്നാൽ ഇവിടെ പ്രധാന വ്യത്യാസം, ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം മറ്റൊരു ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിന്റെ മൂല്യം അറിയപ്പെടുന്നു. വ്യക്തതയ്ക്കായി നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം. ലോഗ് 2 3≈1.584963 എന്ന് നമുക്ക് അറിയാമെന്ന് പറയാം, അപ്പോൾ നമുക്ക് ലോഗ് 2 6 കണ്ടെത്താം, ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചെറിയ പരിവർത്തനം നടത്തി: ലോഗ് 2 6=ലോഗ് 2 (2 3)=ലോഗ് 2 2+ലോഗ് 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ചാൽ മതിയായിരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, നൽകിയിരിക്കുന്നവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒറിജിനൽ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികളുടെ വിശാലമായ ആയുധശേഖരം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം.

ലോഗ് 60 2=എയും ലോഗ് 60 5=ബിയും ആണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ 27 മുതൽ ബേസ് 60 വരെയുള്ള ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

അതിനാൽ നമുക്ക് ലോഗ് 60 27 കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. 27=3 3 , ഡിഗ്രിയുടെ ലോഗരിതത്തിന്റെ സ്വഭാവം കാരണം യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം 3·ലോഗ് 60 3 എന്ന് മാറ്റിയെഴുതാൻ കഴിയുമെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

അറിയപ്പെടുന്ന ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ലോഗ് 60 3 എങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കാമെന്ന് നോക്കാം. 60 60=1 എന്ന സമത്വ ലോഗ് എഴുതാൻ അടിസ്ഥാനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടി നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. മറുവശത്ത്, ലോഗ് 60 60=log60(2 2 3 5)= ലോഗ് 60 2 2 +ലോഗ് 60 3+ലോഗ് 60 5= 2 ലോഗ് 60 2+ലോഗ് 60 3+ലോഗ് 60 5 . ഈ വഴിയിൽ, 2 ലോഗ് 60 2+ലോഗ് 60 3+ലോഗ് 60 5=1. അതിനാൽ, ലോഗ് 60 3=1−2 ലോഗ് 60 2−ലോഗ് 60 5=1−2 a−b.

അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു: ലോഗ് 60 27=3 ലോഗ് 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

ഉത്തരം:

ലോഗ് 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

ഫോമിന്റെ ലോഗരിതം ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ അർത്ഥം പ്രത്യേകം പരാമർശിക്കേണ്ടതാണ്. . ഏതെങ്കിലും അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട അടിത്തറയുള്ള ലോഗരിതത്തിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു അല്ലെങ്കിൽ അവ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. സാധാരണയായി, യഥാർത്ഥ ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന്, ട്രാൻസിഷൻ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, അവ 2, e അല്ലെങ്കിൽ 10 ബേസുകളിലൊന്നിൽ ലോഗരിതത്തിലേക്ക് മാറുന്നു, കാരണം ഈ ബേസുകൾക്ക് അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത അളവിൽ കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ലോഗരിതങ്ങളുടെ പട്ടികകളുണ്ട്. കൃത്യതയുടെ. അടുത്ത വിഭാഗത്തിൽ, ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ പട്ടികകൾ, അവയുടെ ഉപയോഗം

ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലിന്, ഒരാൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം ലോഗരിതം പട്ടികകൾ. ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന 2 ലോഗരിതം പട്ടിക, സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം പട്ടിക, ദശാംശ ലോഗരിതം പട്ടിക എന്നിവയാണ്. ദശാംശ സംഖ്യാ സംവിധാനത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, പത്ത് അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. അതിന്റെ സഹായത്തോടെ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ പഠിക്കും.

1.000 മുതൽ 9.999 വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ (മൂന്ന് ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങളോടെ) കണ്ടെത്താൻ, പതിനായിരത്തിലൊന്നിന്റെ കൃത്യതയോടെ, അവതരിപ്പിച്ച പട്ടിക അനുവദിക്കുന്നു. ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ദശാംശ ലോഗരിതം പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് ലോഗരിതം മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള തത്വം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും - ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാണ്. നമുക്ക് lg1,256 കണ്ടെത്താം.

ദശാംശ ലോഗരിതം പട്ടികയുടെ ഇടത് നിരയിൽ, 1.256 എന്ന സംഖ്യയുടെ ആദ്യ രണ്ട് അക്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതായത്, 1.2 (വ്യക്തതയ്ക്കായി ഈ നമ്പർ നീല നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലാണ്). 1.256 എന്ന സംഖ്യയുടെ മൂന്നാമത്തെ അക്കം (നമ്പർ 5) ഇരട്ട വരിയുടെ ഇടതുവശത്തുള്ള ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ അവസാന വരിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു (ഈ സംഖ്യ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലാണ്). യഥാർത്ഥ സംഖ്യയായ 1.256 (നമ്പർ 6) ന്റെ നാലാമത്തെ അക്കം ഇരട്ട വരിയുടെ വലതുവശത്തുള്ള ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ അവസാന വരിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു (ഈ സംഖ്യ പച്ച നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലാണ്). അടയാളപ്പെടുത്തിയ വരിയുടെയും അടയാളപ്പെടുത്തിയ നിരകളുടെയും കവലയിൽ (ഈ സംഖ്യകൾ ഓറഞ്ചിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു) ലോഗരിതങ്ങളുടെ പട്ടികയിലെ സെല്ലുകളിൽ ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അടയാളപ്പെടുത്തിയ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ദശാംശ ലോഗരിതം നാലാമത്തെ ദശാംശസ്ഥാനം വരെ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം നൽകുന്നു, അതായത്, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

മുകളിലുള്ള പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, ദശാംശ ബിന്ദുവിന് ശേഷം മൂന്നിൽ കൂടുതൽ അക്കങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളുടെ ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താനും 1 മുതൽ 9.999 വരെയുള്ള പരിധിക്കപ്പുറത്തേക്ക് പോകാനും കഴിയുമോ? അതെ, നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും. ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് കാണിക്കാം.

നമുക്ക് lg102.76332 കണക്കാക്കാം. ആദ്യം നിങ്ങൾ എഴുതേണ്ടതുണ്ട് സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിൽ നമ്പർ: 102.76332=1.0276332 10 2 . അതിനുശേഷം, മാന്റിസയെ മൂന്നാം ദശാംശ സ്ഥാനത്തേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യണം, നമുക്കുണ്ട് 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, യഥാർത്ഥ ദശാംശ ലോഗരിതം ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിന് ഏകദേശം തുല്യമാണ്, അതായത്, ഞങ്ങൾ lg102.76332≈lg1.028·10 2 എടുക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ ലോഗരിതത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ പ്രയോഗിക്കുക: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. അവസാനമായി, ദശാംശ ലോഗരിതം lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 എന്ന പട്ടിക അനുസരിച്ച് ലോഗരിതം lg1.028 ന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. തൽഫലമായി, ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള മുഴുവൻ പ്രക്രിയയും ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

ഉപസംഹാരമായി, ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഏത് ലോഗരിതത്തിന്റെയും ഏകദേശ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ കഴിയും എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളിലേക്ക് പോകാനും അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ പട്ടികയിൽ കണ്ടെത്താനും ശേഷിക്കുന്ന കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താനും ട്രാൻസിഷൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ലോഗ് 2 3 കണക്കാക്കാം. ലോഗരിതത്തിന്റെ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തിനുള്ള ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് . ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് നമ്മൾ lg3≈0.4771, lg2≈0.3010 എന്നിവ കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ വഴിയിൽ, .

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• കോൾമോഗോറോവ് എ.എൻ., അബ്രമോവ് എ.എം., ഡഡ്നിറ്റ്സിൻ യു.പി. ആൾജിബ്രയും വിശകലനത്തിന്റെ തുടക്കവും: പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ 10-11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള ഒരു പാഠപുസ്തകം.
• ഗുസെവ് വി.എ., മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി. ഗണിതശാസ്ത്രം (സാങ്കേതികവിദ്യാലയങ്ങളിലേക്കുള്ള അപേക്ഷകർക്കുള്ള ഒരു മാനുവൽ).

ലോഗരിതമിക് എക്സ്പ്രഷനുകൾ, ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരം. ഈ ലേഖനത്തിൽ, ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. ടാസ്‌ക്കുകൾ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചോദ്യം ഉയർത്തുന്നു. ലോഗരിതം എന്ന ആശയം പല ജോലികളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ടെന്നും അതിന്റെ അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ് എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. യു‌എസ്‌ഇയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലും പ്രായോഗിക പ്രശ്‌നങ്ങളിലും ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ പഠനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജോലികളിലും ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ലോഗരിതത്തിന്റെ അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡന്റിറ്റി:

നിങ്ങൾ എപ്പോഴും ഓർത്തിരിക്കേണ്ട ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ:

*ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

* * *

* ഘടകത്തിന്റെ (അംശം) ലോഗരിതം ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗരിതം വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.

* * *

* ഡിഗ്രിയുടെ ലോഗരിതം ഘാതകത്തിന്റെ ഗുണനത്തിനും അതിന്റെ അടിത്തറയുടെ ലോഗരിതംക്കും തുല്യമാണ്.

* * *

*പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

* * *

കൂടുതൽ പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

* * *

ലോഗരിതം കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ചെയ്യുന്നത് എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതുമായി അടുത്ത ബന്ധമുള്ളതാണ്.

അവയിൽ ചിലത് ഞങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നു:

ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്കും തിരിച്ചും മാറ്റുമ്പോൾ, ഘാതകത്തിന്റെ അടയാളം വിപരീതമായി മാറുന്നു എന്നതാണ് ഈ പ്രോപ്പർട്ടിയുടെ സാരം. ഉദാഹരണത്തിന്:

ഈ വസ്തുവിന്റെ അനന്തരഫലങ്ങൾ:

* * *

ഒരു ശക്തിയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, അടിസ്ഥാനം അതേപടി നിലനിൽക്കും, എന്നാൽ ഘാതങ്ങൾ ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു.

* * *

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ലോഗരിതം എന്ന ആശയം വളരെ ലളിതമാണ്. പ്രധാന കാര്യം, നല്ല പരിശീലനം ആവശ്യമാണ്, അത് ഒരു നിശ്ചിത വൈദഗ്ദ്ധ്യം നൽകുന്നു. തീർച്ചയായും ഫോർമുലകളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് നിർബന്ധമാണ്. പ്രാഥമിക ലോഗരിതം പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള വൈദഗ്ദ്ധ്യം രൂപപ്പെട്ടില്ലെങ്കിൽ, ലളിതമായ ജോലികൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരാൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ തെറ്റ് സംഭവിക്കാം.

പരിശീലിക്കുക, ആദ്യം ഗണിത കോഴ്‌സിൽ നിന്നുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക, തുടർന്ന് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായവയിലേക്ക് പോകുക. ഭാവിയിൽ, “വൃത്തികെട്ട” ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുമെന്ന് ഞാൻ തീർച്ചയായും കാണിക്കും, പരീക്ഷയിൽ അത്തരത്തിലുള്ളവ ഉണ്ടാകില്ല, പക്ഷേ അവ താൽപ്പര്യമുള്ളവയാണ്, അത് നഷ്‌ടപ്പെടുത്തരുത്!

അത്രയേയുള്ളൂ! നിങ്ങൾക്ക് ആശംസകൾ!

വിശ്വസ്തതയോടെ, അലക്സാണ്ടർ ക്രുറ്റിറ്റ്സ്കിഖ്

P.S: സോഷ്യൽ നെറ്റ്‌വർക്കുകളിലെ സൈറ്റിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ പറഞ്ഞാൽ ഞാൻ നന്ദിയുള്ളവനായിരിക്കും.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുകയും സംഭരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എന്ന് വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്. ദയവായി ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ നയം വായിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിന്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങളാണ് ഇനിപ്പറയുന്നത്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ഫോൺ നമ്പർ, ഇമെയിൽ വിലാസം മുതലായവ ഉൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാനും അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകൾ, മറ്റ് ഇവന്റുകൾ, വരാനിരിക്കുന്ന ഇവന്റുകൾ എന്നിവയെക്കുറിച്ച് നിങ്ങളെ അറിയിക്കാനും ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, നിങ്ങൾക്ക് പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും സന്ദേശങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പോ മത്സരമോ സമാനമായ പ്രോത്സാഹനമോ നൽകുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• അത് ആവശ്യമായ സാഹചര്യത്തിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ ഓർഡർ, നിയമ നടപടികളിൽ, കൂടാതെ / അല്ലെങ്കിൽ റഷ്യൻ ഫെഡറേഷന്റെ പ്രദേശത്തെ സംസ്ഥാന സ്ഥാപനങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള പൊതു അഭ്യർത്ഥനകൾ അല്ലെങ്കിൽ അഭ്യർത്ഥനകൾ എന്നിവ അടിസ്ഥാനമാക്കി - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുക. സുരക്ഷ, നിയമപാലകർ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് പൊതുതാൽപ്പര്യ കാരണങ്ങൾ എന്നിവയ്‌ക്ക് അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ ഉണ്ടായാൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ പ്രസക്തമായ മൂന്നാം കക്ഷി പിൻഗാമിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്‌ടത്തിൽ നിന്നും മോഷണത്തിൽ നിന്നും ദുരുപയോഗത്തിൽ നിന്നും അതുപോലെ അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം, നാശം എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെയുള്ള മുൻകരുതലുകൾ ഞങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്നു.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ രീതികളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

അതിനാൽ, നമുക്ക് രണ്ട് ശക്തികളുണ്ട്. ചുവടെയുള്ള വരിയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ നമ്പർ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന് രണ്ടെണ്ണം ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, 16 ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾ നാലാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് രണ്ടെണ്ണം ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. 64 ലഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ആറാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് രണ്ടെണ്ണം ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് മേശയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും.

ഇപ്പോൾ - വാസ്തവത്തിൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം:

ആർഗ്യുമെന്റ് x ന്റെ അടിസ്ഥാന a യിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം, x എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ a എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിയാണ്.

കുറിപ്പ്: ലോഗ് a x \u003d b, ഇവിടെ a അടിസ്ഥാനം, x എന്നത് ആർഗ്യുമെന്റ്, b എന്നത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ലോഗരിതം തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, 2 3 = 8 ⇒ ലോഗ് 2 8 = 3 (8 ന്റെ അടിസ്ഥാന 2 ലോഗരിതം മൂന്ന് ആയതിനാൽ 2 3 = 8). 2 64 = 6 ലോഗ് ചെയ്യാം, കാരണം 2 6 = 64.

ഒരു നിശ്ചിത അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനത്തെ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ട് നമ്മുടെ പട്ടികയിലേക്ക് ഒരു പുതിയ വരി ചേർക്കാം:

നിർഭാഗ്യവശാൽ, എല്ലാ ലോഗരിതങ്ങളും അത്ര എളുപ്പത്തിൽ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 5 കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. നമ്പർ 5 പട്ടികയിൽ ഇല്ല, എന്നാൽ ലോജിക് ലോഗരിതം സെഗ്മെന്റിൽ എവിടെയെങ്കിലും കിടക്കുമെന്ന് നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. കാരണം 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

അത്തരം സംഖ്യകളെ യുക്തിരഹിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു: ദശാംശ പോയിന്റിന് ശേഷമുള്ള സംഖ്യകൾ അനിശ്ചിതമായി എഴുതാം, അവ ഒരിക്കലും ആവർത്തിക്കില്ല. ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് ഇതുപോലെ വിടുന്നതാണ് നല്ലത്: ലോഗ് 2 5 , ലോഗ് 3 8 , ലോഗ് 5 100 .

ലോഗരിതം രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള (അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെന്റും) ഒരു പദപ്രയോഗമാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ആദ്യം, അടിസ്ഥാനം എവിടെയാണെന്നും വാദം എവിടെയാണെന്നും പലരും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു. ശല്യപ്പെടുത്തുന്ന തെറ്റിദ്ധാരണകൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ചിത്രം നോക്കുക:

ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല നമ്മുടെ മുമ്പിൽ. ഓർക്കുക: ലോഗരിതം ശക്തിയാണ്, വാദം ലഭിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ അടിത്തറയാണ് - ചിത്രത്തിൽ അത് ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനം എല്ലായ്പ്പോഴും അടിയിലാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു! ആദ്യ പാഠത്തിൽ തന്നെ ഞാൻ ഈ അത്ഭുതകരമായ നിയമം എന്റെ വിദ്യാർത്ഥികളോട് പറയുന്നു - ഒരു ആശയക്കുഴപ്പവുമില്ല.

ഞങ്ങൾ നിർവചനം കണ്ടെത്തി - ലോഗരിതം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു, അതായത്. "ലോഗ്" ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കുക. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് പ്രധാന വസ്തുതകൾ പിന്തുടരുന്നത് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

1. വാദവും അടിത്തറയും എപ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം. ഇത് ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റ് മുഖേനയുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു, ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം കുറയുന്നു.
2. അടിസ്ഥാനം ഐക്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തമായിരിക്കണം, കാരണം ഏതൊരു ശക്തിക്കും ഒരു യൂണിറ്റ് ഇപ്പോഴും ഒരു യൂണിറ്റാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, "രണ്ടെണ്ണം ലഭിക്കാൻ ഒരാൾ ഏത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തണം" എന്ന ചോദ്യം അർത്ഥശൂന്യമാണ്. അങ്ങനെ ഒരു ബിരുദം ഇല്ല!

അത്തരം നിയന്ത്രണങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സാധുവായ ശ്രേണി(ODZ). ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: ലോഗ് a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

നമ്പർ ബി (ലോഗരിതം മൂല്യം) ചുമത്തിയിട്ടില്ല എന്നതിന് നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും ഇല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കാം: ലോഗ് 2 0.5 \u003d -1, കാരണം 0.5 = 2 -1 .

എന്നിരുന്നാലും, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ മാത്രമാണ് പരിഗണിക്കുന്നത്, അവിടെ ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ അറിയേണ്ട ആവശ്യമില്ല. എല്ലാ നിയന്ത്രണങ്ങളും പ്രശ്നങ്ങളുടെ കംപൈലർമാർ ഇതിനകം തന്നെ കണക്കിലെടുത്തിട്ടുണ്ട്. എന്നാൽ ലോഗരിതമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പ്രാബല്യത്തിൽ വരുമ്പോൾ, DHS ആവശ്യകതകൾ നിർബന്ധമാകും. തീർച്ചയായും, അടിസ്ഥാനത്തിലും വാദത്തിലും മേൽപ്പറഞ്ഞ നിയന്ത്രണങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത വളരെ ശക്തമായ നിർമ്മാണങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം.

ഇപ്പോൾ ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു സ്കീം പരിഗണിക്കുക. ഇത് മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. ബേസ് a, ആർഗ്യുമെന്റ് x എന്നിവ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ സാധ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയ അടിത്തറയുള്ള ഒരു ശക്തിയായി പ്രകടിപ്പിക്കുക. വഴിയിൽ, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്;
2. വേരിയബിളിന്റെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക b: x = a b ;
3. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ b ആയിരിക്കും ഉത്തരം.

അത്രയേയുള്ളൂ! ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ തന്നെ കാണപ്പെടും. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലായിരിക്കണമെന്ന ആവശ്യം വളരെ പ്രസക്തമാണ്: ഇത് പിശകിന്റെ സാധ്യത കുറയ്ക്കുകയും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വളരെ ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതുപോലെ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ: നിങ്ങൾ അവയെ ഉടനടി സാധാരണക്കാരിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, നിരവധി തവണ പിശകുകൾ കുറവായിരിക്കും.

നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ സ്കീം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം:

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 5 25

1. നമുക്ക് അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും അഞ്ചിന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

നമുക്ക് സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കി പരിഹരിക്കാം:
ലോഗ് 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. ഒരു ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 2.

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക:

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 4 64

1. നമുക്ക് അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും രണ്ടിന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. നമുക്ക് സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കി പരിഹരിക്കാം:
   ലോഗ് 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. ഒരു ഉത്തരം ലഭിച്ചു: 3.

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 16 1

1. അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും രണ്ടിന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. നമുക്ക് സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കി പരിഹരിക്കാം:
   ലോഗ് 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. ഒരു പ്രതികരണം ലഭിച്ചു: 0.

ടാസ്ക്. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: ലോഗ് 7 14

1. നമുക്ക് അടിസ്ഥാനത്തെയും വാദത്തെയും ഏഴിന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: 7 = 7 1 ; 14 എന്നത് ഏഴിന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നില്ല, കാരണം 7 1< 14 < 7 2 ;
2. ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുന്നില്ലെന്ന് മുൻ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു;
3. ഉത്തരം മാറ്റമില്ല: ലോഗ് 7 14.

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഒരു ചെറിയ കുറിപ്പ്. ഒരു സംഖ്യ മറ്റൊരു സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തിയല്ലെന്ന് എങ്ങനെ ഉറപ്പാക്കാം? വളരെ ലളിതമാണ് - അതിനെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുക. വികാസത്തിൽ കുറഞ്ഞത് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഘടകങ്ങളെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, സംഖ്യ ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല.

ടാസ്ക്. സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികൾ ഇവയാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുക: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - കൃത്യമായ ഡിഗ്രി, കാരണം ഒരു ഗുണിതം മാത്രമേയുള്ളൂ;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 എന്നത് ഒരു കൃത്യമായ ശക്തിയല്ല, കാരണം രണ്ട് ഘടകങ്ങളുണ്ട്: 3, 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - കൃത്യമായ ഡിഗ്രി;
35 = 7 5 - വീണ്ടും ഒരു കൃത്യമായ ഡിഗ്രി അല്ല;
14 \u003d 7 2 - വീണ്ടും ഒരു കൃത്യമായ ഡിഗ്രി അല്ല;

അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ എപ്പോഴും അവയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളാണെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക.

ദശാംശ ലോഗരിതം

ചില ലോഗരിതങ്ങൾ വളരെ സാധാരണമാണ്, അവയ്ക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പേരും പദവിയും ഉണ്ട്.

x ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഡെസിമൽ ലോഗരിതം അടിസ്ഥാന 10 ലോഗരിതം ആണ്, അതായത്. x എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ 10 എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി. പദവി: lg x.

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 10 = 1; ലോഗ് 100 = 2; lg 1000 = 3 - മുതലായവ.

ഇനി മുതൽ, "Find lg 0.01" പോലുള്ള ഒരു വാചകം പാഠപുസ്തകത്തിൽ വരുമ്പോൾ, ഇത് അക്ഷരത്തെറ്റല്ലെന്ന് അറിയുക. ഇതാണ് ദശാംശ ലോഗരിതം. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ അത്തരമൊരു പദവി ഉപയോഗിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും അത് മാറ്റിയെഴുതാം:
ലോഗ് x = ലോഗ് 10 x

സാധാരണ ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് സത്യമായതെല്ലാം ദശാംശങ്ങൾക്കും ശരിയാണ്.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം

അതിന്റേതായ നൊട്ടേഷൻ ഉള്ള മറ്റൊരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്. ഒരർത്ഥത്തിൽ, ഇത് ദശാംശത്തേക്കാൾ പ്രധാനമാണ്. ഇതാണ് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം.

x ന്റെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം അടിസ്ഥാന ഇ ലോഗരിതം ആണ്, അതായത്. x എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന് e എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തി. പദവി: ln x.

പലരും ചോദിക്കും: മറ്റെന്താണ് നമ്പർ ഇ? ഇതൊരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്, അതിന്റെ കൃത്യമായ മൂല്യം കണ്ടെത്താനും എഴുതാനും കഴിയില്ല. ആദ്യ സംഖ്യകൾ ഇതാ:
ഇ = 2.718281828459...

ഈ സംഖ്യ എന്താണെന്നും എന്തുകൊണ്ട് ഇത് ആവശ്യമാണെന്നും ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കില്ല. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം e ആണെന്ന് ഓർക്കുക:
ln x = ലോഗ് ഇ x

അങ്ങനെ ln e = 1; ലോഗ് ഇ 2 = 2; ln e 16 = 16 - മുതലായവ. മറുവശത്ത്, ln 2 ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയാണ്. പൊതുവേ, ഏതൊരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയുടെയും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം യുക്തിരഹിതമാണ്. തീർച്ചയായും, ഏകത്വം ഒഴികെ: ln 1 = 0.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങൾക്ക്, സാധാരണ ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ശരിയായ എല്ലാ നിയമങ്ങളും സാധുവാണ്.

അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ.

1. ലോഗാക്സ് + ലോഗേ = ലോഗ് (x y);
2. ലോഗാക്സ് - ലോഗേ = ലോഗ് (x: y).

ഒരേ മൈതാനങ്ങൾ

log6 4 + log6 9.

ഇനി നമുക്ക് ടാസ്ക് അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം.

ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിലോ ആർഗ്യുമെന്റിലോ ഒരു ബിരുദം ഉണ്ടെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ബിരുദത്തിന്റെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

തീർച്ചയായും, ODZ ലോഗരിതം നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x >

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം ലോഗാക്സ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

ഇതും കാണുക:

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ഘാതം 2.718281828 ആണ്. എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഓർമ്മിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് നിയമം പഠിക്കാൻ കഴിയും: എക്‌സ്‌പോണന്റ് 2.7 ആണ്, ലിയോ ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനന വർഷത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്.

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ഈ നിയമം അറിയുന്നതിലൂടെ, ഘാതകത്തിന്റെ കൃത്യമായ മൂല്യവും ലിയോ ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനനത്തീയതിയും നിങ്ങൾക്ക് അറിയാം.

ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ലോഗരിതം എടുക്കുക

ഉദാഹരണം 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3,5 ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു

2.

3.

4. എവിടെ .

ഉദാഹരണം 2 എങ്കിൽ x കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 3. ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യം നൽകട്ടെ

എങ്കിൽ ലോഗ്(x) കണക്കാക്കുക

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതം, ഏതൊരു സംഖ്യയും പോലെ, സാധ്യമായ എല്ലാ വഴികളിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും പരിവർത്തനം ചെയ്യാനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം തികച്ചും സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ.

ഈ നിയമങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം - അവയില്ലാതെ ഗുരുതരമായ ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്‌നങ്ങളൊന്നും പരിഹരിക്കാനാവില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - എല്ലാം ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗാക്സും ലോഗേയും. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. ലോഗാക്സ് + ലോഗേ = ലോഗ് (x y);
2. ലോഗാക്സ് - ലോഗേ = ലോഗ് (x: y).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതം ആണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം ഇതാണ് - ഒരേ മൈതാനങ്ങൾ. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിന്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കാത്തപ്പോൾ പോലും ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയായതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log2 48 - log2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log3 135 - log3 5.

വീണ്ടും, അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്കുണ്ട്:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം സാധാരണ സംഖ്യകൾ മാറുന്നു. പല പരിശോധനകളും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. അതെ, നിയന്ത്രണം - എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും സമാനമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ (ചിലപ്പോൾ - ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) പരീക്ഷയിൽ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണന്റ് നീക്കംചെയ്യുന്നു

അവസാന നിയമം അവരുടെ ആദ്യ രണ്ട് പിന്തുടരുന്നത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്നാൽ എന്തായാലും അത് ഓർത്തിരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ODZ ലോഗരിതം നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x > 0. കൂടാതെ ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക, അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം. ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log7 496.

ആദ്യ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് വാദത്തിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരു ലോഗരിതം ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 24; 49 = 72. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ, ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ.

ലോഗരിതം ഫോർമുലകൾ. ലോഗരിതം പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.

അവർ അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയും വാദവും ഡിഗ്രി രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചു, സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുത്തു - അവർക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററിനും ഡിനോമിനേറ്ററിനും ഒരേ സംഖ്യയുണ്ട്: log2 7. ലോഗ്2 7 ≠ 0 മുതൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാം - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം സംഖ്യയിലേക്ക് മാറ്റാം, അത് ചെയ്തു. ഫലം ഉത്തരമാണ്: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. ഞങ്ങൾ അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു:

ലോഗരിതം ലോഗാക്സ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ c = x ഇട്ടാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയും വാദവും പരസ്പരം മാറ്റാൻ കഴിയുമെന്ന് രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ലോഗരിതം ഡിനോമിനേറ്ററിലാണ്.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുകയല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത ജോലികളുണ്ട്. ഇവയിൽ ചിലത് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log5 16 log2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെന്റുകൾ കൃത്യമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം ഫ്ലിപ്പുചെയ്യാം:

ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമമാറ്റത്തിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കണ്ടെത്തി.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log9 100 lg 3.

ആദ്യത്തെ ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് അത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡന്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ആർഗ്യുമെന്റിലെ സംഖ്യ n ഘാതം ആയി മാറുന്നു. n എന്ന സംഖ്യ തികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ലോഗരിതത്തിന്റെ മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. ഇതിനെ ഇങ്ങനെ വിളിക്കുന്നു:

തീർച്ചയായും, ഈ ഡിഗ്രിയിലെ സംഖ്യ a എന്ന സംഖ്യ നൽകുന്ന തരത്തിലേക്ക് b എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? അത് ശരിയാണ്: ഇത് ഒരേ നമ്പർ ആണ് a. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ "തൂങ്ങിക്കിടക്കുന്നു".

പുതിയ അടിസ്ഥാന പരിവർത്തന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

log25 64 = log5 8 - അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ചതുരവും ലോഗരിതത്തിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റും പുറത്തെടുത്തു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നൽകുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ആർക്കെങ്കിലും അറിവില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു 🙂

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള രണ്ട് ഐഡന്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, ഇവ ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്നതിൽ നിന്നുള്ള അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ കാണപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗാ = 1 ആണ്. ഒരിക്കൽ കൂടി ഓർക്കുക: ഏതെങ്കിലും അടിത്തറയിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം a ആ അടിത്തറയിൽ നിന്ന് തന്നെ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ 1 = 0 ആണ്. a അടിസ്ഥാനം എന്തും ആകാം, എന്നാൽ വാദം ഒന്നാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യമാണ്! കാരണം a0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, അത് പ്രിന്റ് ചെയ്ത് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

ഇതും കാണുക:

a എന്ന സംഖ്യയിലേക്കുള്ള b എന്ന സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം പദപ്രയോഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക എന്നതിനർത്ഥം തുല്യത ശരിയാകുന്ന x () പവർ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

മേൽപ്പറഞ്ഞ സവിശേഷതകൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം അവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, മിക്കവാറും എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും ഉദാഹരണങ്ങളും ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നത്. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കൃത്രിമങ്ങൾ വഴി ശേഷിക്കുന്ന വിദേശ ഗുണങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞു വരാം

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ (3.4) തുകയുടെയും വ്യത്യാസത്തിന്റെയും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ പലപ്പോഴും കണ്ടുമുട്ടുന്നു. ബാക്കിയുള്ളവ കുറച്ച് സങ്കീർണ്ണമാണ്, എന്നാൽ പല ജോലികളിലും സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നതിനും അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനും അവ ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്തതാണ്.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ സാധാരണ കേസുകൾ

സാധാരണ ലോഗരിതങ്ങളിൽ ചിലത് ബേസ് ടെൻ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ അല്ലെങ്കിൽ ഡ്യൂസ് ആണ്.
ബേസ് ടെൻ ലോഗരിതത്തെ സാധാരണയായി ബേസ് ടെൻ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് lg(x) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

രേഖയിൽ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടില്ലെന്ന് രേഖയിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്

ഘാതം (ln(x) എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു) ആധാരമായ ലോഗരിതം ആണ് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം.

ഘാതം 2.718281828 ആണ്. എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഓർമ്മിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് നിയമം പഠിക്കാൻ കഴിയും: എക്‌സ്‌പോണന്റ് 2.7 ആണ്, ലിയോ ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനന വർഷത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്. ഈ നിയമം അറിയുന്നതിലൂടെ, ഘാതകത്തിന്റെ കൃത്യമായ മൂല്യവും ലിയോ ടോൾസ്റ്റോയിയുടെ ജനനത്തീയതിയും നിങ്ങൾക്ക് അറിയാം.

മറ്റൊരു പ്രധാന അടിസ്ഥാന രണ്ട് ലോഗരിതം ആണ്

ഫംഗ്‌ഷന്റെ ലോഗരിതത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് വേരിയബിൾ കൊണ്ട് ഹരിച്ച ഒന്നിന് തുല്യമാണ്

ഇന്റഗ്രൽ അല്ലെങ്കിൽ ആന്റിഡെറിവേറ്റീവ് ലോഗരിതം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ആശ്രിതത്വമാണ്

ലോഗരിതം, ലോഗരിതം എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിവിധ തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ മുകളിലുള്ള മെറ്റീരിയൽ നിങ്ങൾക്ക് മതിയാകും. മെറ്റീരിയൽ സ്വാംശീകരിക്കുന്നതിന്, സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ നിന്നും സർവ്വകലാശാലകളിൽ നിന്നുമുള്ള പൊതുവായ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം ഞാൻ നൽകും.

ലോഗരിതങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ലോഗരിതം എടുക്കുക

ഉദാഹരണം 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3,5 ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു

2.
ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഉണ്ട്

3.
പ്രോപ്പർട്ടികൾ 3.5 ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

4. എവിടെ .

നിയമങ്ങളുടെ ഒരു പരമ്പര ഉപയോഗിച്ച് സങ്കീർണ്ണമെന്ന് തോന്നുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗം രൂപത്തിലേക്ക് ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു

ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ഉദാഹരണം 2 എങ്കിൽ x കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. കണക്കുകൂട്ടലിനായി, അവസാന ടേം വരെ ഞങ്ങൾ പ്രോപ്പർട്ടികൾ 5 ഉം 13 ഉം പ്രയോഗിക്കുന്നു

റെക്കോർഡിൽ പകരം വയ്ക്കുക, വിലപിക്കുക

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗങ്ങളെ തുല്യമാക്കുന്നു

ലോഗരിതംസ്. ആദ്യ നില.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ മൂല്യം നൽകട്ടെ

എങ്കിൽ ലോഗ്(x) കണക്കാക്കുക

പരിഹാരം: പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വഴി ലോഗരിതം എഴുതാൻ വേരിയബിളിന്റെ ലോഗരിതം എടുക്കുക

ഇത് ലോഗരിതങ്ങളുമായും അവയുടെ ഗുണങ്ങളുമായും പരിചയപ്പെടലിന്റെ തുടക്കം മാത്രമാണ്. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പരിശീലിക്കുക, നിങ്ങളുടെ പ്രായോഗിക കഴിവുകൾ സമ്പന്നമാക്കുക - ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ തന്നെ നേടിയ അറിവ് ആവശ്യമായി വരും. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികൾ പഠിച്ച ശേഷം, തുല്യമായ മറ്റൊരു വിഷയത്തിനായി ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ അറിവ് വികസിപ്പിക്കും - ലോഗരിഥമിക് അസമത്വങ്ങൾ ...

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ

ലോഗരിതം, ഏതൊരു സംഖ്യയും പോലെ, സാധ്യമായ എല്ലാ വഴികളിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും പരിവർത്തനം ചെയ്യാനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം തികച്ചും സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ.

ഈ നിയമങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം - അവയില്ലാതെ ഗുരുതരമായ ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്‌നങ്ങളൊന്നും പരിഹരിക്കാനാവില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - എല്ലാം ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗാക്സും ലോഗേയും. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. ലോഗാക്സ് + ലോഗേ = ലോഗ് (x y);
2. ലോഗാക്സ് - ലോഗേ = ലോഗ് (x: y).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതം ആണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം ഇതാണ് - ഒരേ മൈതാനങ്ങൾ. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിന്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കാത്തപ്പോൾ പോലും ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log6 4 + log6 9.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയായതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log2 48 - log2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log3 135 - log3 5.

വീണ്ടും, അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്കുണ്ട്:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതം കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം സാധാരണ സംഖ്യകൾ മാറുന്നു. പല പരിശോധനകളും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. അതെ, നിയന്ത്രണം - എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും സമാനമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ (ചിലപ്പോൾ - ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) പരീക്ഷയിൽ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണന്റ് നീക്കംചെയ്യുന്നു

ഇനി നമുക്ക് ടാസ്ക് അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിലോ ആർഗ്യുമെന്റിലോ ഒരു ബിരുദം ഉണ്ടെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ബിരുദത്തിന്റെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അവസാന നിയമം അവരുടെ ആദ്യ രണ്ട് പിന്തുടരുന്നത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്നാൽ എന്തായാലും അത് ഓർത്തിരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ODZ ലോഗരിതം നിരീക്ഷിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥവത്താണ്: a > 0, a ≠ 1, x > 0. കൂടാതെ ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക, അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം.

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമായി വരുന്നത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log7 496.

ആദ്യ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് വാദത്തിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരു ലോഗരിതം ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 24; 49 = 72. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ, ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ. അവർ അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയും വാദവും ഡിഗ്രി രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ച് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുത്തു - അവർക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററിനും ഡിനോമിനേറ്ററിനും ഒരേ സംഖ്യയുണ്ട്: log2 7. ലോഗ്2 7 ≠ 0 മുതൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാം - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം സംഖ്യയിലേക്ക് മാറ്റാം, അത് ചെയ്തു. ഫലം ഉത്തരമാണ്: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞു. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. ഞങ്ങൾ അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു:

ലോഗരിതം ലോഗാക്സ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ c > 0, c ≠ 1 എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഏത് c സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യത ശരിയാണ്:

പ്രത്യേകിച്ചും, നമ്മൾ c = x ഇട്ടാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിത്തറയും വാദവും പരസ്പരം മാറ്റാൻ കഴിയുമെന്ന് രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ലോഗരിതം ഡിനോമിനേറ്ററിലാണ്.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുകയല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത ജോലികളുണ്ട്. ഇവയിൽ ചിലത് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log5 16 log2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെന്റുകൾ കൃത്യമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം ഫ്ലിപ്പുചെയ്യാം:

ഘടകങ്ങളുടെ ക്രമമാറ്റത്തിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കണ്ടെത്തി.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: log9 100 lg 3.

ആദ്യത്തെ ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് അത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡന്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ആർഗ്യുമെന്റിലെ സംഖ്യ n ഘാതം ആയി മാറുന്നു. n എന്ന സംഖ്യ തികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ലോഗരിതത്തിന്റെ മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. ഇതിനെ ഇങ്ങനെ വിളിക്കുന്നു:

തീർച്ചയായും, ഈ ഡിഗ്രിയിലെ സംഖ്യ a എന്ന സംഖ്യ നൽകുന്ന തരത്തിലേക്ക് b എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? അത് ശരിയാണ്: ഇത് ഒരേ നമ്പർ ആണ് a. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ "തൂങ്ങിക്കിടക്കുന്നു".

പുതിയ അടിസ്ഥാന പരിവർത്തന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

log25 64 = log5 8 - അടിസ്ഥാനത്തിൽ നിന്ന് ചതുരവും ലോഗരിതത്തിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റും പുറത്തെടുത്തു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നൽകുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ആർക്കെങ്കിലും അറിവില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു 🙂

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള രണ്ട് ഐഡന്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, ഇവ ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്നതിൽ നിന്നുള്ള അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ കാണപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗാ = 1 ആണ്. ഒരിക്കൽ കൂടി ഓർക്കുക: ഏതെങ്കിലും അടിത്തറയിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം a ആ അടിത്തറയിൽ നിന്ന് തന്നെ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ 1 = 0 ആണ്. a അടിസ്ഥാനം എന്തും ആകാം, എന്നാൽ വാദം ഒന്നാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യമാണ്! കാരണം a0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, അത് പ്രിന്റ് ചെയ്ത് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.