ഒരു പോയിന്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ 1 ഡെറിവേറ്റീവ്. ഫംഗ്ഷൻ ഡെറിവേറ്റീവ്
നിർവ്വചനം.\(y = f(x) \) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ചില ഇടവേളകളിൽ \(x_0 \) പോയിന്റ് ഉള്ളിൽ നിർവചിക്കട്ടെ. ഈ ഇടവേള വിട്ടുപോകാതിരിക്കാൻ ആർഗ്യുമെന്റിലേക്ക് \(\Delta x \) വർദ്ധിപ്പിക്കാം. \(\Delta y \) (\(x_0 \) പോയിന്റിൽ നിന്ന് \(x_0 + \Delta x \)) എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ അനുബന്ധ ഇൻക്രിമെന്റ് കണ്ടെത്തി \(\frac(\Delta y) ബന്ധം രചിക്കുക )(\ഡെൽറ്റ x) \). \(\Delta x \rightarrow 0 \) എന്നതിൽ ഈ ബന്ധത്തിന് ഒരു പരിധി ഉണ്ടെങ്കിൽ, സൂചിപ്പിച്ച പരിധിയെ വിളിക്കുന്നു ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ\(x_0 \) പോയിന്റിൽ \(y=f(x) \) കൂടാതെ \(f"(x_0) \) സൂചിപ്പിക്കുക.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
ഡെറിവേറ്റീവിനെ സൂചിപ്പിക്കാൻ y എന്ന ചിഹ്നം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, ശ്രദ്ധിക്കുക, y" = f(x) എന്നത് ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷനാണ്, എന്നാൽ സ്വാഭാവികമായും y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, മുകളിൽ പറഞ്ഞ പരിധി നിലനിൽക്കുന്ന എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും x നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ ഇതുപോലെ വിളിക്കുന്നു: y \u003d f (x) ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.
ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. y അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമല്ലാത്ത ഒരു ടാൻജെന്റ്, abscissa x \u003d a ഉള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ y \u003d f (x) ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, f (a) ടാൻജന്റിന്റെ ചരിവ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \), തുല്യത \(f"(a) = tg(a) \) ശരിയാണ്.
ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഏകദേശ തുല്യതയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വ്യാഖ്യാനിക്കുന്നു. \(y = f(x) \) ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു പ്രത്യേക പോയിന്റിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ഇതിനർത്ഥം x എന്ന പോയിന്റിന് സമീപം, ഏകദേശ തുല്യത \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \ approx f"(x) \), അതായത് \(\Delta y \ approx f"(x) \cdot \Deltax\). ലഭിച്ച ഏകദേശ സമത്വത്തിന്റെ അർത്ഥവത്തായ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്: ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവ് ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വർദ്ധനവിന് "ഏതാണ്ട് ആനുപാതികമാണ്", ആനുപാതികതയുടെ ഗുണകം ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യമാണ് x. ഉദാഹരണത്തിന്, ഫംഗ്‌ഷന് \(y = x^2 \) ഏകദേശ തുല്യത \(\Delta y \ approx 2x \cdot \Delta x \) ശരിയാണ്. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വിശകലനം ചെയ്താൽ, അത് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.
നമുക്ക് അത് രൂപപ്പെടുത്താം.
y \u003d f (x) ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?
1. ഫിക്സ് മൂല്യം \(x \), കണ്ടെത്തുക \(f(x) \)
2. ഇൻക്രിമെന്റ് \(x \) ആർഗ്യുമെന്റ് \(\Delta x \), ഒരു പുതിയ പോയിന്റിലേക്ക് നീങ്ങുക \(x+ \Delta x \), കണ്ടെത്തുക \(f(x+ \Delta x) \)
3. ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെന്റ് കണ്ടെത്തുക: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. ബന്ധം രചിക്കുക \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. കണക്കാക്കുക $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ഈ പരിധി x ലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.
y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് x എന്ന പോയിന്റിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ x എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. y \u003d f (x) ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമത്തെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യാസംഫംഗ്ഷനുകൾ y = f(x).
നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യം ചർച്ച ചെയ്യാം: ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ തുടർച്ചയും വ്യത്യാസവും എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു?
x എന്ന ബിന്ദുവിൽ y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ M (x; f (x)) എന്ന പോയിന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെന്റ് വരയ്‌ക്കാനാകും, കൂടാതെ സ്‌പർശകത്തിന്റെ ചരിവ് f "(x) ന് തുല്യമാണ്. അത്തരം ഒരു ഗ്രാഫിന് "ബ്രേക്ക്" ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല പോയിന്റ് M, അതായത്, പ്രവർത്തനം x-ൽ തുടർച്ചയായിരിക്കണം.
അത് "വിരലുകളിൽ" ന്യായവാദമായിരുന്നു. കുറച്ചുകൂടി കർക്കശമായ ഒരു വാദം അവതരിപ്പിക്കാം. x എന്ന ബിന്ദുവിൽ y = f(x) ഫംഗ്ഷൻ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ഏകദേശ തുല്യത \(\Delta y \ approx f"(x) \cdot \Delta x \) പൂജ്യം, പിന്നെ \(\Delta y \) ) പൂജ്യത്തിലേക്കും പ്രവണത കാണിക്കും, ഒരു ബിന്ദുവിലെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തുടർച്ചയുടെ അവസ്ഥയാണിത്.
അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ x എന്ന ബിന്ദുവിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, അത് ആ ബിന്ദുവിലും തുടർച്ചയായിരിക്കും.
സംഭാഷണം ശരിയല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്: ഫംഗ്ഷൻ y = |x| എല്ലായിടത്തും തുടർച്ചയായാണ്, പ്രത്യേകിച്ച് x = 0 എന്ന പോയിന്റിൽ, എന്നാൽ "ജോയിന്റ് പോയിന്റിൽ" (0; 0) ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് നിലവിലില്ല. ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെന്റ് വരയ്ക്കുന്നത് അസാധ്യമാണെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇല്ല.
ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി. \(y=\sqrt(x) \) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ x = 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഉൾപ്പെടെ മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു. കൂടാതെ x = 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഉൾപ്പെടെ ഏത് പോയിന്റിലും ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് നിലവിലുണ്ട്. എന്നാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ടാൻജെന്റ് y-അക്ഷവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതായത്, അത് abscissa അക്ഷത്തിന് ലംബമാണ്, അതിന്റെ സമവാക്യത്തിന് x \u003d 0 എന്ന രൂപമുണ്ട്. അത്തരമൊരു നേർരേഖയ്ക്ക് ചരിവില്ല, അതായത് \ ( f "(0) \) നിലവിലില്ല
അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു പുതിയ പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെട്ടു - ഡിഫറൻഷ്യബിലിറ്റി. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വ്യത്യസ്‌തമാണോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ പറയാൻ കഴിയും?
ഉത്തരം യഥാർത്ഥത്തിൽ മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരു ഘട്ടത്തിൽ x-അക്ഷത്തിന് ലംബമല്ലാത്ത ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെന്റ് വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് നിലവിലില്ലെങ്കിലോ അത് x-അക്ഷത്തിന് ലംബമാണെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ വ്യതിരിക്തമല്ല.
വ്യത്യാസ നിയമങ്ങൾ
ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യാസം. ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഘടകങ്ങൾ, തുകകൾ, ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ, അതുപോലെ "ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ", അതായത് സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്നിവയിൽ പ്രവർത്തിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഈ ജോലിയെ സുഗമമാക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. C ഒരു സ്ഥിരാങ്കം ആണെങ്കിൽ f=f(x), g=g(x) ചില ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷനുകളാണെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവ ശരിയാണ് വ്യത്യസ്തത നിയമങ്ങൾ:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
ചില ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക
$$ \ഇടത്(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = ax^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \ഇടത്(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ജ്യാമിതി, മെക്കാനിക്സ്, ഭൗതികശാസ്ത്രം, അറിവിന്റെ മറ്റ് ശാഖകൾ എന്നിവയുടെ വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു നിശ്ചിത പ്രവർത്തനത്തിൽ നിന്ന് അതേ വിശകലന പ്രക്രിയ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. y=f(x)എന്നൊരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ നേടുക ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ(അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ derivative) f(x)പ്രതീകവത്കരിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു
തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ ചെയ്യുന്ന പ്രക്രിയ f(x)ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ നേടുക f"(x), വിളിച്ചു വ്യത്യാസംഅതിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു: 1) ഞങ്ങൾ വാദം നൽകുന്നു xഇൻക്രിമെന്റും
xഫംഗ്ഷന്റെ അനുബന്ധ വർദ്ധനവ് നിർണ്ണയിക്കുക
y = f(x+
x)-f(x); 2) ബന്ധം ഉണ്ടാക്കുക 
3) എണ്ണുന്നു xസ്ഥിരം, ഒപ്പം
x0, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു 
, ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് f"(x), ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പ്രവർത്തനം മൂല്യത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് ഊന്നിപ്പറയുന്നതുപോലെ x, ഞങ്ങൾ പരിധി വരെ കടന്നുപോകുന്നു. നിർവ്വചനം:
ഡെറിവേറ്റീവ് y "=f" (x)
നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ y=f(x)
x നൽകിആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിലേക്കുള്ള ഫംഗ്ഷന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെ അനുപാതത്തിന്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വർദ്ധനവ് പൂജ്യമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, തീർച്ചയായും ഈ പരിധി നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അതായത്. പരിമിതമായ. ഈ വഴിയിൽ, 
, അഥവാ 
എന്തെങ്കിലും മൂല്യമുണ്ടെങ്കിൽ അത് ശ്രദ്ധിക്കുക x, ഉദാഹരണത്തിന് എപ്പോൾ x=a, ബന്ധം 
ചെയ്തത്
x0 ഒരു പരിമിത പരിധിയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നില്ല, അപ്പോൾ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് പറയുന്നു f(x)ചെയ്തത് x=a(അല്ലെങ്കിൽ പോയിന്റിൽ x=a) ഡെറിവേറ്റീവില്ല അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ വേർതിരിക്കാനാവില്ല x=a.
2. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം.
x 0 എന്ന ബിന്ദുവിന് സമീപത്തെ വ്യതിരിക്തമായ y \u003d f (x) ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുക.
f(x)
ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ നേർരേഖ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം - പോയിന്റ് A (x 0, f (x 0)) കൂടാതെ ഗ്രാഫിനെ ചില പോയിന്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു (x; f (x)). അത്തരമൊരു നേർരേഖയെ (AB) ഒരു സെക്കന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ∆ABC-യിൽ നിന്ന്: AC = ∆x; BC \u003d ∆y; tgβ=∆y/∆x .
എസി മുതൽ || കാള, പിന്നെ ALO = BAC = β (സമാന്തരമായി). എന്നാൽ ALO എന്നത് ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്കുള്ള സെക്കന്റ് എബിയുടെ ചെരിവിന്റെ കോണാണ്. അതിനാൽ, tgβ = k എന്നത് AB എന്ന നേർരേഖയുടെ ചരിവാണ്.
ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ∆x കുറയ്ക്കും, അതായത്. ∆x→ 0. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗ്രാഫ് അനുസരിച്ച് പോയിന്റ് ബി പോയിന്റ് എയെ സമീപിക്കും, കൂടാതെ സെക്കന്റ് എബി കറങ്ങും. ∆x → 0-ൽ സെക്കന്റ് AB യുടെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സ്ഥാനം നേർരേഖ (a) ആയിരിക്കും, പോയിന്റ് A-ൽ y \u003d f (x) എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
tgβ =∆y/∆x എന്ന തുല്യതയിൽ ∆х → 0 ആയി നമ്മൾ പരിധി കടന്നാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കും 
അല്ലെങ്കിൽ tg \u003d f "(x 0), മുതൽ 
-ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്കുള്ള ടാൻജന്റിന്റെ ചെരിവിന്റെ കോൺ 
, ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം പ്രകാരം. എന്നാൽ tg \u003d k എന്നത് ടാൻജെന്റിന്റെ ചരിവാണ്, അതായത് k \u003d tg \u003d f "(x 0).
അതിനാൽ, ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്:
ഒരു പോയിന്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് x 0 abscissa x എന്ന ബിന്ദുവിൽ വരച്ച ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റിന്റെ ചരിവിന് തുല്യം 0 .
3. ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം.
ഒരു നേർരേഖയിലൂടെയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ ചലനം പരിഗണിക്കുക. പോയിന്റ് കോർഡിനേറ്റ് എപ്പോൾ വേണമെങ്കിലും x(t) നൽകാം. ഒരു കാലഘട്ടത്തിലെ ശരാശരി വേഗത ഈ കാലയളവിൽ സഞ്ചരിച്ച ദൂരത്തിന്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് (ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിന്റെ കോഴ്സിൽ നിന്ന്) അറിയാം, അതായത്.
വാവ് = ∆x/∆t. അവസാനത്തെ സമത്വത്തിൽ നമുക്ക് ∆t → 0 ആയി കടന്നുപോകാം.
lim Vav (t) = (t 0) - t 0, ∆t → 0 സമയത്ത് തൽക്ഷണ വേഗത.
കൂടാതെ lim = ∆x/∆t = x "(t 0) (ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനപ്രകാരം).
അതിനാൽ, (t) = x"(t).
ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്: പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്വൈ = എഫ്(x) പോയിന്റിൽx 0 പ്രവർത്തനത്തിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക്എഫ്(x) പോയിന്റിൽx 0
സമയം മുതലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളുടെ അറിയപ്പെടുന്ന ഫംഗ്ഷനിൽ നിന്നുള്ള വേഗത, സമയത്തിൽ നിന്നുള്ള വേഗതയുടെ അറിയപ്പെടുന്ന ഫംഗ്ഷനിൽ നിന്നുള്ള ത്വരണം എന്നിവ കണ്ടെത്താൻ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.
(t) \u003d x "(t) - വേഗത,
a(f) = "(t) - ത്വരണം, അല്ലെങ്കിൽ
ഒരു വൃത്തത്തിനൊപ്പം ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റിന്റെ ചലന നിയമം അറിയാമെങ്കിൽ, ഭ്രമണ ചലന സമയത്ത് കോണീയ പ്രവേഗവും കോണീയ ത്വരണവും കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:
φ = φ(t) - സമയത്തിനനുസരിച്ച് കോണിൽ മാറ്റം,
ω \u003d φ "(t) - കോണീയ പ്രവേഗം,
ε = φ"(t) - കോണീയ ത്വരണം, അല്ലെങ്കിൽ ε = φ"(t).
ഒരു അസമമായ വടിയുടെ പിണ്ഡത്തിന്റെ വിതരണ നിയമം അറിയാമെങ്കിൽ, അസമമായ വടിയുടെ രേഖീയ സാന്ദ്രത കണ്ടെത്താനാകും:
m \u003d m (x) - പിണ്ഡം,
x , l - വടി നീളം,
p \u003d m "(x) - രേഖീയ സാന്ദ്രത.
ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ സഹായത്തോടെ, ഇലാസ്തികതയുടെയും ഹാർമോണിക് വൈബ്രേഷനുകളുടെയും സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. അതെ, ഹുക്കിന്റെ നിയമം അനുസരിച്ച്
F = -kx, x - വേരിയബിൾ കോർഡിനേറ്റ്, k - സ്പ്രിംഗിന്റെ ഇലാസ്തികതയുടെ ഗുണകം. ω 2 \u003d k / m ഇടുമ്പോൾ, സ്പ്രിംഗ് പെൻഡുലം x "(t) + ω 2 x (t) \u003d 0 എന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും.
ഇവിടെ ω = √k/√m ആന്ദോളന ആവൃത്തിയാണ് (l/c), k എന്നത് സ്പ്രിംഗ് റേറ്റ് (H/m) ആണ്.
y "+ ω 2 y \u003d 0 രൂപത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യത്തെ ഹാർമോണിക് ആന്ദോളനങ്ങളുടെ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു (മെക്കാനിക്കൽ, ഇലക്ട്രിക്കൽ, വൈദ്യുതകാന്തിക). അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം ഫംഗ്ഷനാണ്.
y = Asin(ωt + φ 0) അല്ലെങ്കിൽ y = Acos(ωt + φ 0), എവിടെ
A - ആന്ദോളനം വ്യാപ്തി, ω - ചാക്രിക ആവൃത്തി,
φ 0 - പ്രാരംഭ ഘട്ടം.
ഡെറിവേറ്റീവുകളെക്കുറിച്ചും അത് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളെക്കുറിച്ചും അറിവില്ലാതെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ശാരീരിക പ്രശ്നങ്ങളോ ഉദാഹരണങ്ങളോ പരിഹരിക്കുന്നത് തികച്ചും അസാധ്യമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിന്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഡെറിവേറ്റീവ്. ഇന്നത്തെ ലേഖനം ഈ അടിസ്ഥാന വിഷയത്തിനായി നീക്കിവയ്ക്കാൻ ഞങ്ങൾ തീരുമാനിച്ചു. എന്താണ് ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ്, അതിന്റെ ഭൗതികവും ജ്യാമിതീയവുമായ അർത്ഥം എന്താണ്, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? ഈ ചോദ്യങ്ങളെല്ലാം ഒന്നായി സംയോജിപ്പിക്കാം: ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം?
ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ജ്യാമിതീയവും ഭൗതികവുമായ അർത്ഥം
ഒരു ചടങ്ങ് നടക്കട്ടെ f(x) , ചില ഇടവേളകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു (എ,ബി) . x, x0 എന്നീ പോയിന്റുകൾ ഈ ഇടവേളയിൽ പെടുന്നു. x മാറുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനം തന്നെ മാറുന്നു. വാദം മാറ്റം - അതിന്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം x-x0 . ഈ വ്യത്യാസം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു ഡെൽറ്റ x ഇതിനെ ആർഗ്യുമെന്റ് ഇൻക്രിമെന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ മാറ്റം അല്ലെങ്കിൽ വർദ്ധനവ് എന്നത് രണ്ട് പോയിന്റുകളിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ്. ഡെറിവേറ്റീവ് നിർവ്വചനം:
ഒരു പോയിന്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും രണ്ടാമത്തേത് പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുമ്പോൾ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഇൻക്രിമെന്റിന്റെയും അനുപാതത്തിന്റെ പരിധിയാണ്.
അല്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
അത്തരമൊരു പരിധി കണ്ടെത്തുന്നതിൽ എന്താണ് അർത്ഥം? എന്നാൽ ഏതാണ്:
ഒരു പോയിന്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് OX അക്ഷത്തിനും ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റിനും ഇടയിലുള്ള കോണിന്റെ ടാൻജെന്റിനു തുല്യമാണ്.
ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം: പാതയുടെ സമയ ഡെറിവേറ്റീവ് റെക്റ്റിലീനിയർ ചലനത്തിന്റെ വേഗതയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.
തീർച്ചയായും, സ്കൂൾ കാലം മുതൽ, വേഗത ഒരു സ്വകാര്യ പാതയാണെന്ന് എല്ലാവർക്കും അറിയാം. x=f(t) സമയവും ടി . ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ ശരാശരി വേഗത:
ഒരു സമയത്ത് ചലനത്തിന്റെ വേഗത കണ്ടെത്താൻ t0 നിങ്ങൾ പരിധി കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്:
റൂൾ ഒന്ന്: സ്ഥിരാങ്കം പുറത്തെടുക്കുക
സ്ഥിരാങ്കം ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം. മാത്രമല്ല, അത് ചെയ്യണം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു ചട്ടം പോലെ എടുക്കുക - നിങ്ങൾക്ക് പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ലളിതമാക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക .
ഉദാഹരണം. നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കാം:
റൂൾ രണ്ട്: ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്
രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും ഇത് ശരിയാണ്.
ഞങ്ങൾ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന് ഒരു തെളിവ് നൽകില്ല, പകരം ഒരു പ്രായോഗിക ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:
റൂൾ മൂന്ന്: ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:
ഉദാഹരണം: ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:
പരിഹാരം: 
സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടലിനെക്കുറിച്ച് ഇവിടെ പറയേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഒരു കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇൻഡിപെൻഡന്റ് വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് മുഖേന ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.
മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം നേരിടുന്നു:
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെന്റ് അഞ്ചാമത്തെ ശക്തിയിൽ നിന്ന് 8x ആണ്. അത്തരമൊരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെന്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ബാഹ്യ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പരിഗണിക്കുന്നു, തുടർന്ന് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
റൂൾ നാല്: രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല:
ഞങ്ങൾ ആദ്യം മുതൽ ഡമ്മികൾക്കുള്ള ഡെറിവേറ്റീവുകളെ കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ ശ്രമിച്ചു. ഈ വിഷയം തോന്നുന്നത്ര ലളിതമല്ല, അതിനാൽ മുന്നറിയിപ്പ് നൽകുക: ഉദാഹരണങ്ങളിൽ പലപ്പോഴും അപകടങ്ങളുണ്ട്, അതിനാൽ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക.
ഇതിനെക്കുറിച്ചും മറ്റ് വിഷയങ്ങളെക്കുറിച്ചും എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വിദ്യാർത്ഥി സേവനവുമായി ബന്ധപ്പെടാം. ചുരുങ്ങിയ സമയത്തിനുള്ളിൽ, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ നിങ്ങൾ മുമ്പ് കൈകാര്യം ചെയ്തിട്ടില്ലെങ്കിലും, ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള നിയന്ത്രണം പരിഹരിക്കാനും ടാസ്ക്കുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാനും ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.
ഒരു വ്യക്തി ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലന പഠനത്തിൽ ആദ്യത്തെ സ്വതന്ത്ര നടപടികൾ കൈക്കൊള്ളുകയും അസുഖകരമായ ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കാൻ തുടങ്ങുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, "ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസ് കാബേജിൽ കണ്ടെത്തി" എന്ന വാചകത്തിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നത് ഇനി അത്ര എളുപ്പമല്ല. അതിനാൽ, ജനനത്തിന്റെ രഹസ്യം നിർണ്ണയിക്കാനും പരിഹരിക്കാനുമുള്ള സമയമാണിത് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളുടെയും പട്ടികകൾ. ലേഖനത്തിൽ തുടങ്ങി ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ച്, പഠനത്തിനായി ഞാൻ ശക്തമായി ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, കാരണം അവിടെ ഞങ്ങൾ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയം പരിഗണിക്കുകയും വിഷയത്തിൽ ടാസ്ക്കുകൾ ക്ലിക്കുചെയ്യാൻ തുടങ്ങുകയും ചെയ്തു. അതേ പാഠത്തിന് വ്യക്തമായ പ്രായോഗിക ഓറിയന്റേഷൻ ഉണ്ട്, കൂടാതെ,
ചുവടെ പരിഗണിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ, തത്വത്തിൽ, പൂർണ്ണമായും ഔപചാരികമായി മാസ്റ്റർ ചെയ്യാൻ കഴിയും (ഉദാഹരണത്തിന്, ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ സാരാംശം പരിശോധിക്കാൻ സമയം / ആഗ്രഹം ഇല്ലാത്തപ്പോൾ). "സാധാരണ" രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്നതും വളരെ അഭികാമ്യമാണ് (എന്നാൽ വീണ്ടും ആവശ്യമില്ല) - കുറഞ്ഞത് രണ്ട് അടിസ്ഥാന ക്ലാസുകളുടെ തലത്തിലെങ്കിലും:ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഡെറിവേറ്റീവും എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം.
എന്നാൽ ഇപ്പോൾ തീർച്ചയായും ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്ത എന്തെങ്കിലും ഇല്ലാതെ, അത് ഇല്ലാതെയാണ് പ്രവർത്തന പരിധികൾ. ഒരു പരിധി എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുകയും അവ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുകയും വേണം, കുറഞ്ഞത് ഒരു ഇന്റർമീഡിയറ്റ് തലത്തിലെങ്കിലും. എല്ലാത്തിനും കാരണം ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്
ഒരു പോയിന്റിലെ പ്രവർത്തനം ഫോർമുലയാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു:
പദവികളും നിബന്ധനകളും ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു: അവർ വിളിക്കുന്നു വാദം വർദ്ധനവ്;
- പ്രവർത്തന വർദ്ധനവ്;
- ഇവ ഒറ്റ ചിഹ്നങ്ങളാണ് ("ഡെൽറ്റ" എന്നത് "എക്സ്" അല്ലെങ്കിൽ "വൈ" എന്നിവയിൽ നിന്ന് "കീറിയെടുക്കാൻ" കഴിയില്ല).
വ്യക്തമായും, ഒരു "ഡൈനാമിക്" വേരിയബിളാണ്, ഒരു സ്ഥിരാങ്കവും പരിധി കണക്കാക്കുന്നതിന്റെ ഫലവുമാണ് 
- നമ്പർ (ചിലപ്പോൾ - "പ്ലസ്" അല്ലെങ്കിൽ "മൈനസ്" അനന്തത).
ഒരു പോയിന്റ് എന്ന നിലയിൽ, ഏത് മൂല്യവും നിങ്ങൾക്ക് പരിഗണിക്കാം ഡൊമെയ്‌നുകൾഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ.
കുറിപ്പ്: "വ്യുൽപ്പന്നം നിലനിൽക്കുന്നത്" - പൊതുവെ പ്രാധാന്യം.! അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, പോയിന്റ്, അത് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡൊമെയ്നിൽ പ്രവേശിക്കുന്നുവെങ്കിലും, ഡെറിവേറ്റീവ്
അവിടെ നിലവിലില്ല. അതുകൊണ്ട് ഫോർമുല
പോയിന്റിൽ ബാധകമല്ല
റിസർവേഷൻ ഇല്ലാതെ ചുരുക്കിയ പദപ്രയോഗം തെറ്റായിരിക്കും. ഗ്രാഫിലെ "ബ്രേക്കുകൾ" ഉള്ള മറ്റ് ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കും സമാനമായ വസ്‌തുതകൾ സാധുവാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും, ആർക്‌സൈൻ, ആർക്കോസൈൻ എന്നിവയ്‌ക്ക്.
അങ്ങനെ, മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെ പ്രവർത്തന സൂത്രവാക്യം ലഭിക്കും:
ടീപ്പോയെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്ന ഒരു വഞ്ചനാപരമായ സാഹചര്യത്തിലേക്ക് ശ്രദ്ധിക്കുക: ഈ പരിധിയിൽ, "x", ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ ആയതിനാൽ, ഒരു അധിക പങ്ക് വഹിക്കുന്നു, കൂടാതെ "ഡൈനാമിക്സ്" വീണ്ടും വർദ്ധനവ് വഴി സജ്ജീകരിക്കുന്നു. പരിധി കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ ഫലം
ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ആണ്.
മേൽപ്പറഞ്ഞവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, രണ്ട് സാധാരണ പ്രശ്നങ്ങളുടെ വ്യവസ്ഥകൾ ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു:
- കണ്ടെത്താൻ ഒരു പോയിന്റിൽ ഡെറിവേറ്റീവ്ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച്.
- കണ്ടെത്താൻ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച്. ഈ പതിപ്പ്, എന്റെ നിരീക്ഷണങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, കൂടുതൽ തവണ സംഭവിക്കുകയും പ്രധാന ശ്രദ്ധ നൽകുകയും ചെയ്യും.
ടാസ്ക്കുകൾ തമ്മിലുള്ള അടിസ്ഥാന വ്യത്യാസം, ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ നമ്പർ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് എന്നതാണ് (ഓപ്ഷണലായി അനന്തം), രണ്ടാമത്തേതിൽ
ചടങ്ങ് . കൂടാതെ, ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ലായിരിക്കാം.
എങ്ങനെ ?
ഒരു അനുപാതം ഉണ്ടാക്കുക, പരിധി കണക്കാക്കുക.
എവിടെ വെയ്ച്ചുഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളുടെയും പട്ടിക ? ഒരൊറ്റ പരിധിയോടെ
മാന്ത്രികത പോലെ തോന്നുന്നു, പക്ഷേ
യാഥാർത്ഥ്യം - വഞ്ചനയില്ല. പാഠത്തിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ്?ഞാൻ നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാൻ തുടങ്ങി, അവിടെ, നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ലീനിയർ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഞാൻ കണ്ടെത്തി. കോഗ്നിറ്റീവ് വാം-അപ്പിന്റെ ഉദ്ദേശ്യത്തിനായി, ഞങ്ങൾ ശല്യപ്പെടുത്തുന്നത് തുടരും ഡെറിവേറ്റീവ് പട്ടിക, അൽഗോരിതവും സാങ്കേതിക പരിഹാരങ്ങളും മാനിക്കുന്നു:
വാസ്തവത്തിൽ, ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അത് സാധാരണയായി പട്ടികയിൽ ദൃശ്യമാകും: .
പരിഹാരം സാങ്കേതികമായി രണ്ട് വിധത്തിൽ ഔപചാരികമാണ്. ആദ്യത്തേതും ഇതിനകം പരിചിതമായതുമായ സമീപനത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം: ഗോവണി ഒരു പ്ലാങ്കിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു.
ചില (കോൺക്രീറ്റ്) പോയിന്റ് പരിഗണിക്കുക ഡൊമെയ്‌നുകൾഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ. ഈ ഘട്ടത്തിൽ വർദ്ധനവ് സജ്ജമാക്കുക (തീർച്ചയായും, അപ്പുറം അല്ല o / o - z) കൂടാതെ ഫംഗ്ഷന്റെ അനുബന്ധ ഇൻക്രിമെന്റ് രചിക്കുക:
നമുക്ക് പരിധി കണക്കാക്കാം:
അനിശ്ചിതത്വം 0:0 എന്നത് ബിസി ഒന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ കണക്കാക്കിയിട്ടുള്ള ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ടെക്നിക് ഉപയോഗിച്ച് ഇല്ലാതാക്കുന്നു. ഗുണിക്കുക
ഓരോ അഡ്ജോയിന്റ് എക്സ്പ്രഷനും ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 
:
അത്തരമൊരു പരിധി പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാങ്കേതികത ആമുഖ പാഠത്തിൽ വിശദമായി ചർച്ചചെയ്യുന്നു. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പരിധിയെക്കുറിച്ച്.
ഇടവേളയുടെ ഏത് പോയിന്റും ആയി തിരഞ്ഞെടുക്കാം
തുടർന്ന്, പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
ഒരിക്കൽ കൂടി, ലോഗരിതംസിൽ നമുക്ക് സന്തോഷിക്കാം:
ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക
പരിഹാരം: ഒരേ ടാസ്ക് സ്പിന്നിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു സമീപനം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഇത് തികച്ചും സമാനമാണ്, പക്ഷേ ഡിസൈനിന്റെ കാര്യത്തിൽ കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണ്. ഒഴിവാക്കുക എന്നതാണ് ആശയം
സബ്‌സ്‌ക്രിപ്റ്റ് ചെയ്‌ത് ഒരു അക്ഷരത്തിന് പകരം ഒരു അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുക.
ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് പരിഗണിക്കുക ഡൊമെയ്‌നുകൾഫംഗ്ഷൻ (ഇടവേള), അതിൽ വർദ്ധനവ് സജ്ജമാക്കുക. ഇവിടെ, മിക്ക കേസുകളിലും എന്നപോലെ, നിങ്ങൾക്ക് റിസർവേഷനുകളൊന്നുമില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയും, കാരണം നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിലെ ഏത് ഘട്ടത്തിലും ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ വ്യത്യസ്തമാണ്.
അപ്പോൾ അനുബന്ധ ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെന്റ് ഇതാണ്:
നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:
രൂപകൽപ്പനയുടെ ലാളിത്യം ആശയക്കുഴപ്പത്താൽ സന്തുലിതമാണ്, അതിന് കഴിയും
തുടക്കക്കാരിൽ ഉണ്ടാകുന്നു (മാത്രമല്ല). എല്ലാത്തിനുമുപരി, "X" എന്ന അക്ഷരം പരിധിയിൽ മാറുന്നു എന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു! എന്നാൽ ഇവിടെ എല്ലാം വ്യത്യസ്തമാണ്: - ഒരു പുരാതന പ്രതിമ, കൂടാതെ - ജീവിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു സന്ദർശകൻ, മ്യൂസിയത്തിന്റെ ഇടനാഴിയിലൂടെ വേഗത്തിൽ നടക്കുന്നു. അതായത്, "x" എന്നത് "ഒരു സ്ഥിരാങ്കം പോലെയാണ്".
ഘട്ടം ഘട്ടമായി അനിശ്ചിതത്വം ഇല്ലാതാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞാൻ അഭിപ്രായമിടും:
(1)
ലോഗരിതത്തിന്റെ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നു
.
(2) പരാൻതീസിസിലെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഹരിക്കുക.
(3) ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നമ്മൾ "x" കൊണ്ട് കൃത്രിമമായി ഗുണിക്കുകയും ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു
അതിശയകരമായത് പ്രയോജനപ്പെടുത്തുക 
, ആയി അനന്തമായനിർവഹിക്കുന്നു.
ഉത്തരം: ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം പ്രകാരം:
അല്ലെങ്കിൽ ചുരുക്കത്തിൽ:
രണ്ട് പട്ടിക സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കൂടി സ്വതന്ത്രമായി നിർമ്മിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:
നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കംപൈൽ ചെയ്ത ഇൻക്രിമെന്റ് ഒരു പൊതു ഡിനോമിനേറ്ററായി കുറയ്ക്കാൻ ഉടനടി സൗകര്യപ്രദമാണ്. പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ അസൈൻമെന്റിന്റെ ഏകദേശ സാമ്പിൾ (ആദ്യ രീതി).
നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക
ഇവിടെ എല്ലാം ശ്രദ്ധേയമായ പരിധിയിലേക്ക് ചുരുക്കണം. രണ്ടാമത്തെ രീതിയിലാണ് പരിഹാരം രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്.
അതുപോലെ, മറ്റു പലതും പട്ടിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ. ഒരു പൂർണ്ണമായ ലിസ്റ്റ് ഒരു സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകത്തിൽ കാണാം, അല്ലെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, Fichtenholtz-ന്റെ ഒന്നാം വാല്യം. പുസ്‌തകങ്ങളിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്ത നിയമങ്ങളുടെ തെളിവുകളിൽ നിന്നും മാറ്റിയെഴുതുന്നതിൽ ഞാൻ കാര്യമായൊന്നും കാണുന്നില്ല - അവയും സൃഷ്‌ടിക്കപ്പെട്ടവയാണ്
സൂത്രവാക്യം.
നമുക്ക് യഥാർത്ഥ ജീവിത ജോലികളിലേക്ക് പോകാം: ഉദാഹരണം 5
ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക 
, ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച്
പരിഹാരം: ആദ്യ ശൈലി ഉപയോഗിക്കുക. അതിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ചില പോയിന്റുകൾ പരിഗണിക്കാം, അതിൽ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വർദ്ധനവ് സജ്ജമാക്കുക. അപ്പോൾ അനുബന്ധ ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെന്റ് ഇതാണ്:
ഒരു ഇൻക്രിമെന്റ് നൽകേണ്ട തത്വം ചില വായനക്കാർക്ക് ഇതുവരെ പൂർണ്ണമായി മനസ്സിലായിട്ടില്ലായിരിക്കാം. ഞങ്ങൾ ഒരു പോയിന്റ് (നമ്പർ) എടുത്ത് അതിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: 
, അതായത്, പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക്
"x" ന് പകരം പകരം വയ്ക്കണം. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു
കമ്പോസ്ഡ് ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെന്റ് ഉടനെ ലളിതമാക്കുന്നത് പ്രയോജനകരമാണ്. എന്തിനായി? കൂടുതൽ പരിധിയുടെ പരിഹാരം സുഗമമാക്കുകയും ചുരുക്കുകയും ചെയ്യുക.
ഞങ്ങൾ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുകയും കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുന്ന എല്ലാം കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
ടർക്കി ജീർണിച്ചു, വറുത്തതിൽ പ്രശ്‌നമില്ല:
ഒടുവിൽ: 
ഏത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും ഗുണനിലവാരമായി തിരഞ്ഞെടുക്കാമെന്നതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കൽ നടത്തുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു 
.
ഉത്തരം: 
നിർവചനം പ്രകാരം.
സ്ഥിരീകരണ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി, നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു
വ്യത്യാസങ്ങളും പട്ടികകളും:
ശരിയായ ഉത്തരം മുൻകൂട്ടി അറിയുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഉപയോഗപ്രദവും സന്തോഷകരവുമാണ്, അതിനാൽ പരിഹാരത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ നിർദ്ദിഷ്ട ഫംഗ്ഷനെ മാനസികമായോ ഡ്രാഫ്റ്റിലോ വേർതിരിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്.
ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക
ഇത് സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. ഫലം ഉപരിതലത്തിൽ കിടക്കുന്നു:
സ്റ്റൈൽ #2-ലേക്ക് മടങ്ങുക: ഉദാഹരണം 7
എന്താണ് സംഭവിക്കേണ്ടതെന്ന് നമുക്ക് ഉടനടി കണ്ടെത്താം. എഴുതിയത് ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമം:
തീരുമാനം: ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റ് പരിഗണിക്കുക, അതിൽ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഇൻക്രിമെന്റ് സജ്ജീകരിച്ച് ഇൻക്രിമെന്റ് ഉണ്ടാക്കുക
നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:
(1) ഞങ്ങൾ ത്രികോണമിതി ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു
(2) സൈനിനു കീഴിൽ ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു, കോസൈനിന് കീഴിൽ ഞങ്ങൾ സമാന നിബന്ധനകൾ നൽകുന്നു.
(3) സൈനിന് കീഴിൽ നമ്മൾ നിബന്ധനകൾ കുറയ്ക്കുന്നു, കോസൈന് കീഴിൽ നമ്മൾ ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്റർ ടേം കൊണ്ട് ടേം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.
(4) സൈനിന്റെ വിചിത്രത കാരണം, ഞങ്ങൾ "മൈനസ്" പുറത്തെടുക്കുന്നു. കൊസൈന് കീഴിൽ
എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു .
(5) ഉപയോഗിക്കാനായി ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ കൃത്രിമമായി ഗുണിക്കുന്നു ആദ്യത്തെ അത്ഭുതകരമായ പരിധി. അങ്ങനെ, അനിശ്ചിതത്വം ഇല്ലാതാക്കി, ഞങ്ങൾ ഫലം ചീപ്പ് ചെയ്യുന്നു.
ഉത്തരം: നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, പരിഗണനയിലുള്ള പ്രശ്നത്തിന്റെ പ്രധാന ബുദ്ധിമുട്ട് നിലനിൽക്കുന്നു
പരിധിയുടെ സങ്കീർണ്ണത + പാക്കേജിംഗിന്റെ ഒരു ചെറിയ മൗലികത. പ്രായോഗികമായി, രൂപകൽപ്പനയുടെ രണ്ട് രീതികളും നേരിടുന്നു, അതിനാൽ രണ്ട് സമീപനങ്ങളും കഴിയുന്നത്ര വിശദമായി ഞാൻ വിവരിക്കുന്നു. അവ തുല്യമാണ്, പക്ഷേ ഇപ്പോഴും, എന്റെ ആത്മനിഷ്ഠമായ മതിപ്പിൽ, "X പൂജ്യം" ഉള്ള ആദ്യ ഓപ്ഷനിൽ ഉറച്ചുനിൽക്കുന്നത് ഡമ്മികൾക്ക് കൂടുതൽ പ്രയോജനകരമാണ്.
നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച്, ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക
സ്വതന്ത്രമായ തീരുമാനത്തിനുള്ള ചുമതലയാണിത്. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിന്റെ അതേ സ്പിരിറ്റിലാണ് സാമ്പിൾ ഫോർമാറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്.
പ്രശ്നത്തിന്റെ ഒരു അപൂർവ പതിപ്പ് നമുക്ക് വിശകലനം ചെയ്യാം:
ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
ആദ്യം, താഴത്തെ വരി എന്തായിരിക്കണം? നമ്പർ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രീതിയിൽ ഉത്തരം കണക്കാക്കുക:
തീരുമാനം: വ്യക്തതയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഈ ടാസ്ക് വളരെ ലളിതമാണ്, കാരണം ഫോർമുലയിൽ പകരം
ഒരു പ്രത്യേക മൂല്യമായി കണക്കാക്കുന്നു.
ഞങ്ങൾ പോയിന്റിൽ ഒരു ഇൻക്രിമെന്റ് സജ്ജീകരിക്കുകയും ഫംഗ്ഷന്റെ അനുബന്ധ ഇൻക്രിമെന്റ് രചിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
ഒരു പോയിന്റിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുക:
സ്പർശനങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിനായി ഞങ്ങൾ വളരെ അപൂർവമായ ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു 
പതിനാറാമത്തെ തവണ ഞങ്ങൾ പരിഹാരം ആദ്യത്തേത് കുറയ്ക്കുന്നു
അതിശയകരമായ പരിധി:
ഉത്തരം: ഒരു പോയിന്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്.
ചുമതല പരിഹരിക്കാൻ അത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല കൂടാതെ "പൊതുവായ രീതിയിൽ" - ഇത് നഖങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ മതിയാകും അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി, ഡിസൈൻ രീതിയെ ആശ്രയിച്ച്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയല്ല, മറിച്ച് ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കും.
ഉദാഹരണം 10 നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക 
പോയിന്റിൽ
ഇത് സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു ഉദാഹരണമാണ്.
അന്തിമ ബോണസ് ടാസ്‌ക്ക് പ്രാഥമികമായി ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തെക്കുറിച്ച് ആഴത്തിലുള്ള പഠനമുള്ള വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വേണ്ടിയുള്ളതാണ്, എന്നാൽ ഇത് എല്ലാവരേയും ഉപദ്രവിക്കില്ല:
പ്രവർത്തനം വ്യത്യസ്തമാകുമോ 
പോയിന്റിൽ?
പരിഹാരം: കഷണങ്ങളായി നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ തുടർച്ചയായി പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാണ്, പക്ഷേ അത് അവിടെ വേർതിരിക്കപ്പെടുമോ?
സൊല്യൂഷൻ അൽഗോരിതം, പീസ്വൈസ് ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് മാത്രമല്ല, ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്:
1) ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റിൽ ലെഫ്റ്റ് ഹാൻഡ് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:
2) തന്നിരിക്കുന്ന പോയിന്റിൽ വലതുവശത്തുള്ള ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക: .
3) ഏകപക്ഷീയമായ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പരിമിതവും യോജിച്ചതുമാണെങ്കിൽ:
, അപ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ പോയിന്റിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു ഒപ്പം
ജ്യാമിതീയമായി, ഇവിടെ ഒരു പൊതു സ്പർശനമുണ്ട് (പാഠത്തിന്റെ സൈദ്ധാന്തിക ഭാഗം കാണുക ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനവും അർത്ഥവും).
രണ്ട് വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾ ലഭിച്ചാൽ: 
(അതിൽ ഒന്ന് അനന്തമായിരിക്കാം), അപ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ വേർതിരിക്കാനാവില്ല.
രണ്ട് ഏകപക്ഷീയമായ ഡെറിവേറ്റീവുകളും അനന്തതയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ
(അവയ്ക്ക് വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിലും), അപ്പോൾ പ്രവർത്തനം ഇല്ല
ഒരു ബിന്ദുവിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണ്, എന്നാൽ ഗ്രാഫിലേക്ക് അനന്തമായ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവും ഒരു പൊതു ലംബമായ ടാൻജെന്റും നിലവിലുണ്ട്. (പാഠത്തിന്റെ ഉദാഹരണം 5 കാണുകസാധാരണ സമവാക്യം) .
ഈ പാഠത്തിൽ, സൂത്രവാക്യങ്ങളും വ്യത്യാസത്തിന്റെ നിയമങ്ങളും എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് നമ്മൾ പഠിക്കും.
ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നു ഐ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ 4, 2, 1 എന്നിവ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x6 -2x+5. ഒരേ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഫോർമുലയും ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സമാനമായി പരിഹരിക്കുന്നു 3.
y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നു ഐ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ 3, 5
ഒപ്പം 6
ഒപ്പം 1.
നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നു IV, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ 5
ഒപ്പം 1
.
അഞ്ചാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ചട്ടം അനുസരിച്ച് ഐതുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഞങ്ങൾ ആദ്യ പദത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി (ഉദാഹരണം 4 ), അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തും രണ്ടാമത്തേത്ഒപ്പം 3ആംനിബന്ധനകൾ, ഒപ്പം 1-ന്കാലാവധി, നമുക്ക് ഉടൻ ഫലം എഴുതാം.
വ്യത്യസ്തമാക്കുന്നു രണ്ടാമത്തേത്ഒപ്പം 3ആംഫോർമുല അനുസരിച്ച് നിബന്ധനകൾ 4
. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലെ മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും ഡിഗ്രികളുടെ വേരുകളെ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികളാക്കി മാറ്റുന്നു, തുടർന്ന് അനുസരിച്ച് 4
ഫോർമുല, ശക്തികളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
ഈ ഉദാഹരണവും ഫലവും നോക്കുക. പാറ്റേൺ പിടിച്ചോ? ശരി. ഇതിനർത്ഥം ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പുതിയ ഫോർമുല ഉണ്ടെന്നും അത് ഞങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിലേക്ക് ചേർക്കാമെന്നുമാണ്.
നമുക്ക് ആറാമത്തെ ഉദാഹരണം പരിഹരിച്ച് ഒരു ഫോർമുല കൂടി കണ്ടെത്താം.
ഞങ്ങൾ നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു IVഫോർമുലയും 4
. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നു.
ഞങ്ങൾ ഈ ഫംഗ്ഷനും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും നോക്കുന്നു. നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും പാറ്റേൺ മനസ്സിലാക്കി, ഫോർമുലയ്ക്ക് പേരിടാൻ തയ്യാറാണ്:
പുതിയ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു!
ഉദാഹരണങ്ങൾ.
1. ആർഗ്യുമെന്റ് ഇൻക്രിമെന്റ്, ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെന്റ് y= എന്നിവ കണ്ടെത്തുക x2വാദത്തിന്റെ പ്രാരംഭ മൂല്യമാണെങ്കിൽ 4 , പുതിയത് 4,01 .
പരിഹാരം.
പുതിയ ആർഗ്യുമെന്റ് മൂല്യം x \u003d x 0 + Δx. ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: 4.01=4+Δx, അതിനാൽ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വർദ്ധനവ് Δх=4.01-4=0.01. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവ്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഫംഗ്ഷന്റെ പുതിയതും മുമ്പത്തെതുമായ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉള്ളതിനാൽ y=x2, പിന്നെ Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
ഉത്തരം: വാദം വർദ്ധനവ് Δх=0.01; പ്രവർത്തന വർദ്ധനവ് Δу=0,0801.
മറ്റൊരു രീതിയിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഇൻക്രിമെന്റ് കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമായിരുന്നു: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.
2. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റിന്റെ ചെരിവിന്റെ കോൺ കണ്ടെത്തുക y=f(x)പോയിന്റിൽ x 0, എങ്കിൽ f "(x 0) \u003d 1.
പരിഹാരം.
കോൺടാക്റ്റ് പോയിന്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം x 0ടാൻജെന്റിന്റെ ചരിവിന്റെ ടാൻജെന്റിന്റെ മൂല്യമാണ് (ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം). നമുക്ക് ഉണ്ട്: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °,കാരണം tg45°=1.
ഉത്തരം: ഈ ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെന്റ് ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിന്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലുള്ള ഒരു കോണിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, ഇതിന് തുല്യമാണ് 45°.
3. ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല നേടുക y=xn.
വ്യത്യാസംഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനമാണ്.
ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഉരുത്തിരിഞ്ഞ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഡെറിവേറ്റീവ് ഡിഗ്രിക്കുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞതുപോലെ: (x n)" = nx n-1.
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതാ.
ഡെറിവേറ്റീവ് പട്ടികവാക്കാലുള്ള ഫോർമുലേഷനുകൾ ഉച്ചരിച്ച് മനഃപാഠമാക്കുന്നത് എളുപ്പമായിരിക്കും:
1. സ്ഥിരമായ മൂല്യത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമാണ്.
2. X സ്ട്രോക്ക് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
3. സ്ഥിരമായ ഘടകം ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം.
4. ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഡിഗ്രിയുടെ എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ ബേസ് ഉള്ള ഡിഗ്രിയാണ്, എന്നാൽ എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഒന്ന് കുറവാണ്.
5. റൂട്ടിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരേ വേരുകളിൽ രണ്ടെണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ച ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
6. ഏകത്വത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് x കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മൈനസ് ഒന്ന് x ചതുരം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.
7. സൈനിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കോസൈന് തുല്യമാണ്.
8. കോസൈന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് മൈനസ് സൈനിനു തുല്യമാണ്.
9. ടാൻജെന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കോസൈന്റെ ചതുരം കൊണ്ട് ഹരിച്ച ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
10. കോട്ടാൻജെന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് സൈനിന്റെ ചതുരം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മൈനസ് ഒന്ന് ആണ്.
ഞങ്ങൾ പഠിപ്പിക്കുന്നു വ്യത്യസ്തത നിയമങ്ങൾ.
1.
ബീജഗണിത തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഡെറിവേറ്റീവ് പദങ്ങളുടെ ബീജഗണിത തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.
2. ഉല്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ആദ്യ ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.
3. “ve” കൊണ്ട് ഹരിച്ച “y” യുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ “y എന്നത് “ve” മൈനസ് “y, ഒരു സ്ട്രോക്ക് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ” ഗുണിച്ചാൽ, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ - “ve ചതുരം ”.
4. ഫോർമുലയുടെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് 3.
നമുക്ക് ഒരുമിച്ച് പഠിക്കാം!
പേജ് 1 / 1 1
