"വലത് കോണുള്ള" ത്രികോണത്തിന്റെ പേരിൽ നിന്ന് കൂടുതൽ അടുത്ത്, അതിൽ ഒരു കോൺ 90 ഡിഗ്രിയാണെന്ന് വ്യക്തമാകും. ത്രികോണങ്ങളുടെ ലളിതമായ സിദ്ധാന്തങ്ങളും ഗുണങ്ങളും ഓർമ്മിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ബാക്കി കോണുകൾ കണ്ടെത്താനാകും.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• സൈൻ ആൻഡ് കോസൈൻ ടേബിൾ, ബ്രാഡിസ് ടേബിൾ

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

1. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, A, B, C എന്നീ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം. BAC ആംഗിൾ 90º ആണ്, മറ്റ് രണ്ട് കോണുകൾ α, β എന്നീ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കും. ത്രികോണത്തിന്റെ കാലുകൾ a, b എന്നീ അക്ഷരങ്ങളാലും ഹൈപ്പോടെൻസിനെ c അക്ഷരങ്ങളാലും സൂചിപ്പിക്കും.

2. അപ്പോൾ sinα = b / c, cosα = a / c. ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിശിതകോണിന് സമാനമായി: sinβ = a / c, cosβ = b / c. നമുക്ക് അറിയാവുന്ന വശങ്ങളെ ആശ്രയിച്ച്, സൈനുകൾ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈനുകൾ കണക്കാക്കുന്നു. കോണുകളുടെ ബ്രാഡിസ് പട്ടികയിൽ α, β എന്നിവയുടെ മൂല്യം നോക്കുന്നു.

3. കോണുകളിലൊന്ന് കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, ത്രികോണത്തിന്റെ ആന്തരിക കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180º ആണെന്ന് ഓർമ്മിക്കാൻ അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, α, β എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 180º - 90º = 90º ന് തുല്യമാണ്. തുടർന്ന്, പട്ടികകൾ അനുസരിച്ച് α യുടെ മൂല്യം കണക്കാക്കിയ ശേഷം, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് β കണ്ടെത്താം: β = 90º - α

4. ത്രികോണത്തിന്റെ ഒരു വശം പരിചിതമല്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നു: a² + b² = c². ഞങ്ങൾ അതിൽ നിന്ന് അപരിചിതമായ വശത്തിന്റെ പദപ്രയോഗം മറ്റ് രണ്ടിലൂടെ നേടുകയും ഒരു കോണിന്റെ സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

നുറുങ്ങ് 2: ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഹൈപ്പോടെനസ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

വലത് കോണിന് എതിർവശത്തായി കിടക്കുന്ന വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിലെ വശമാണ് ഹൈപ്പോടെനസ്. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ഏറ്റവും നീളമേറിയ വശമാണ് ഹൈപ്പോടെനസ്. വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിലെ ബാക്കിയുള്ള വശങ്ങളെ കാലുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന അറിവ്.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

1. ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരം കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. അതായത്, ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ കാലുകളുടെ നീളം ചതുരാകൃതിയിലാക്കി അത് കൂട്ടിച്ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്.

2. ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ നീളം അതിന്റെ നീളത്തിന്റെ വർഗ്ഗത്തിന്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം ഞങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ ദൈർഘ്യമായിരിക്കും.

അനുബന്ധ വീഡിയോകൾ

കുറിപ്പ്!
ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ ദൈർഘ്യം ശരിയായ മൂല്യമാണ്, അതിനാൽ, റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യുമ്പോൾ, റാഡിക്കൽ എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം.

സഹായകരമായ ഉപദേശം
ഒരു ഐസോസിലിസ് വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിൽ, കാലിനെ 2 ന്റെ റൂട്ട് കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഹൈപ്പോടെനസിന്റെ നീളം കണക്കാക്കാം.

നുറുങ്ങ് 3: ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഒരു നിശിത കോണിനെ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

നേരിട്ട് കാർബോണിക്ചരിത്രപരമായ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളിൽ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ ഒന്നാണ് ത്രികോണം. പൈതഗോറിയൻ "പാന്റ്സ്" "യുറീക്ക!" ആർക്കിമിഡീസ്.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• - ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഡ്രോയിംഗ്;
• - ഭരണാധികാരി;
• - പ്രൊട്രാക്ടർ.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

1. പതിവുപോലെ, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളുടെ ലംബങ്ങളെ വലിയ ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങൾ (A, B, C), എതിർ വശങ്ങൾ ചെറിയ ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങൾ (a, b, c) അല്ലെങ്കിൽ ത്രികോണത്തിന്റെ ശീർഷകങ്ങളുടെ പേരുകൾ എന്നിവയാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഈ വശം (AC, BC, AB) രൂപീകരിക്കുന്നു.

2. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ 180 ഡിഗ്രി വരെ ചേർക്കുന്നു. ചതുരാകൃതിയിൽ ത്രികോണംഒരു ആംഗിൾ (വലത് കോൺ) സ്ഥിരമായി 90 ഡിഗ്രി ആയിരിക്കും, ബാക്കിയുള്ളത് മൂർച്ചയുള്ളതായിരിക്കും, അതായത്. മൊത്തത്തിൽ 90 ഡിഗ്രിയിൽ താഴെ. ഒരു ചതുരാകൃതിയിൽ ഏത് കോണിൽ നിർണ്ണയിക്കാൻ വേണ്ടി ത്രികോണംനേരായതാണ്, ഭരണാധികാരി ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ അളക്കുക, ഏറ്റവും വലുത് നിർണ്ണയിക്കുക. ഇതിനെ ഹൈപ്പോടെനസ് (എബി) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് വലത് കോണിന് (സി) എതിർവശത്തായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരു വലത് കോണായി മാറുന്നു, അവയെ കാലുകൾ (AC, BC) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

3. ഏത് ആംഗിൾ നിശിതമാണെന്ന് നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒന്നുകിൽ ഒരു പ്രോട്രാക്ടർ ഉപയോഗിച്ച് ആംഗിൾ അളക്കാം അല്ലെങ്കിൽ ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം.

4. പ്രോട്രാക്ടറിന്റെ പിന്തുണയോടെ കോണിന്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ മുകൾഭാഗം (എ അക്ഷരത്തിൽ സൂചിപ്പിക്കുക) പ്രൊട്രാക്ടറിന്റെ മധ്യഭാഗത്തുള്ള ഭരണാധികാരിയിൽ ഒരു പ്രത്യേക അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് വിന്യസിക്കുക, എസിയുടെ കാൽ അതിനോട് യോജിക്കണം. മുകളിലെ അറ്റം. പ്രൊട്രാക്റ്ററിന്റെ അർദ്ധവൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഭാഗത്ത് ഹൈപ്പോട്ടെനസ് എബി കടന്നുപോകുന്ന പോയിന്റ് അടയാളപ്പെടുത്തുക. ഈ പോയിന്റിലെ മൂല്യം ഡിഗ്രിയിലെ കോണിന്റെ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. പ്രോട്രാക്ടറിൽ 2 മൂല്യങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു നിശിത കോണിനായി ചെറുതൊന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, മൂർച്ചയുള്ള ഒന്ന് - വലുത്.

6. ബ്രാഡിസ് റഫറൻസ് ടേബിളിൽ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം കണ്ടെത്തുകയും ലഭിച്ച സംഖ്യാ മൂല്യം ഏത് കോണുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുക. ഈ രീതി ഞങ്ങളുടെ മുത്തശ്ശിമാർ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു.

7. ഇക്കാലത്ത്, ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷനുള്ള ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ എടുത്താൽ മതി. ബിൽറ്റ്-ഇൻ വിൻഡോസ് കാൽക്കുലേറ്റർ പറയാം. "കാൽക്കുലേറ്റർ" ആപ്ലിക്കേഷൻ സമാരംഭിക്കുക, "കാഴ്ച" മെനു ഇനത്തിൽ, "എഞ്ചിനീയറിംഗ്" ഇനം തിരഞ്ഞെടുക്കുക. ആവശ്യമുള്ള കോണിന്റെ സൈൻ കണക്കാക്കുക, പറയുക sin (A) = BC / AB = 2/4 = 0.5

8. കാൽക്കുലേറ്റർ ഡിസ്‌പ്ലേയിലെ INV ബട്ടണിൽ ക്ലിക്കുചെയ്‌ത് കാൽക്കുലേറ്ററിനെ വിപരീത ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ മോഡിലേക്ക് മാറ്റുക, തുടർന്ന് ആർക്‌സൈൻ ഫംഗ്‌ഷൻ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ബട്ടണിൽ ക്ലിക്കുചെയ്യുക (ഡിസ്‌പ്ലേയിൽ ഇത് ഫസ്റ്റ് ഡിഗ്രി മൈനസിൽ പാപമായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു). കണക്കുകൂട്ടൽ വിൻഡോയിൽ മറ്റൊരു ലിഖിതം ദൃശ്യമാകും: asind (0.5) = 30. ആവശ്യമുള്ള കോൺ 30 ഡിഗ്രി ആണ്.

ടിപ്പ് 4: ഒരു ത്രികോണത്തിൽ അജ്ഞാത വശം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

ത്രികോണത്തിന്റെ അജ്ഞാത വശം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രീതി ചുമതലയുടെ വ്യവസ്ഥകളെ മാത്രമല്ല, അത് എന്തിനുവേണ്ടിയാണ് ചെയ്യുന്നത് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ജ്യാമിതീയ പാഠങ്ങളിലെ സ്കൂൾ കുട്ടികൾ മാത്രമല്ല, വിവിധ വ്യവസായങ്ങളിൽ ജോലി ചെയ്യുന്ന എഞ്ചിനീയർമാർ, ഇന്റീരിയർ ഡിസൈനർമാർ, കട്ടറുകൾ, മറ്റ് പല തൊഴിലുകളുടെയും പ്രതിനിധികൾ എന്നിവരും സമാനമായ ഒരു ചുമതല അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു. വ്യത്യസ്ത ആവശ്യങ്ങൾക്കായുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കൃത്യത വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം, എന്നാൽ അവരുടെ നിയമം സ്കൂൾ പ്രശ്ന പുസ്തകത്തിലെ പോലെ തന്നെ തുടരുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• - തന്നിരിക്കുന്ന പരാമീറ്ററുകളുള്ള ത്രികോണം;
• - കാൽക്കുലേറ്റർ;
• - ഒരു പേന;
• - പെൻസിൽ;
• - പ്രൊട്ടക്റ്റർ;
• - പേപ്പർ;
• - ഓട്ടോകാഡ് പ്രോഗ്രാമുള്ള കമ്പ്യൂട്ടർ;
• - സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങൾ.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

1. അസൈൻമെന്റിന്റെ വ്യവസ്ഥകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു ത്രികോണം വരയ്ക്കുക. ത്രികോണം മൂന്ന് വശങ്ങളിലും രണ്ട് വശങ്ങളിലും അവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു കോണിലും അല്ലെങ്കിൽ അതിനോട് ചേർന്നുള്ള ഒരു വശവും രണ്ട് കോണുകളും സ്ഥാപിക്കാം. ഓട്ടോകാഡിലെ ഒരു നോട്ട്ബുക്കിലെയും കമ്പ്യൂട്ടറിലെയും ജോലിയുടെ തീസിസുകൾ ഇക്കാര്യത്തിൽ സമാനമാണ്. അതിനാൽ അസൈൻമെന്റ് ഒന്നോ രണ്ടോ വശങ്ങളുടെയും ഒന്നോ രണ്ടോ കോണുകളുടെയും അളവുകൾ കർശനമായി സൂചിപ്പിക്കണം.

2. രണ്ട് വശങ്ങളിലും ഒരു മൂലയിലും നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഷീറ്റിൽ അറിയപ്പെടുന്ന വശത്തിന് തുല്യമായ ഒരു വര വരയ്ക്കുക. പ്രൊട്ടക്റ്ററിന്റെ പിന്തുണയോടെ, ഈ ആംഗിൾ മാറ്റിവെച്ച് രണ്ടാമത്തേത് വരയ്ക്കുക വശം, വ്യവസ്ഥയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വലുപ്പം മാറ്റിവയ്ക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വശവും രണ്ട് അടുത്തുള്ള കോണുകളും നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ആദ്യം വരയ്ക്കുക വശം, തുടർന്ന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സെഗ്മെന്റിന്റെ 2 അറ്റങ്ങളിൽ നിന്ന്, കോണുകൾ മാറ്റിവെച്ച് മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളും വരയ്ക്കുക. ത്രികോണത്തെ ABC എന്ന് ലേബൽ ചെയ്യുക.

3. AutoCAD-ൽ, ലൈൻ ടൂളിന്റെ സഹായത്തോടെ ക്രമരഹിതമായ ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നത് എല്ലാവർക്കും കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. പ്രധാന ടാബിലൂടെ നിങ്ങൾ അത് കണ്ടെത്തും, ഡ്രോ വിൻഡോ മുൻഗണന നൽകുന്നു. നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്ന വശത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സജ്ജമാക്കുക, തുടർന്ന് രണ്ടാമത്തെ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അവസാന പോയിന്റ്.

4. ത്രികോണത്തിന്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കുക. ഇത് ചതുരാകൃതിയിലാണെങ്കിൽ, അപരിചിതമായ വശം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം കണക്കാക്കുന്നു. ഹൈപ്പോടെനസ് കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് c =?A2 + b2. അതനുസരിച്ച്, അവരുടെ ഓരോ കാലുകളും ഹൈപ്പോടെൻസിന്റെ ചതുരങ്ങളും പ്രശസ്തമായ ലെഗും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും: a =?C2-b2.

5. ഒരു വശവും അടുത്തുള്ള രണ്ട് കോണുകളും ഉള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ അജ്ഞാത വശം കണക്കാക്കാൻ സൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുക. സൈഡ് എ പാപവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണോ? വശം ബി പാപവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണോ?. ? ഒപ്പം? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിപരീത കോണുകൾ. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഇന്റീരിയർ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 ° ആണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുന്നതിലൂടെ പ്രശ്നത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകളാൽ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ലാത്ത ഒരു കോൺ കണ്ടെത്താനാകും. അതിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അറിയാവുന്ന 2 കോണുകളുടെ ആകെത്തുക കുറയ്ക്കുക. കണ്ടെത്തുക അജ്ഞാതംനിനക്ക് വശം b, സാധാരണ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അനുപാതം പരിഹരിക്കുന്നു, അതായത്, പ്രശസ്തമായതിനെ ഗുണിക്കുക വശംപാപത്തിന്റെ കാര്യമോ? ഈ ഉൽപ്പന്നത്തെ പാപത്താൽ വിഭജിക്കുന്നുണ്ടോ?. നിങ്ങൾക്ക് b = a * sin? / Sin ? എന്ന ഫോർമുല ലഭിക്കും.

6. എ, ബി എന്നീ വശങ്ങളും കോണും നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമാണെങ്കിൽ? അതിനിടയിൽ, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുക. അപരിചിതമായ വശം മറ്റ് 2 വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, അതേ വശങ്ങളിലെ ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നം മൈനസ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. അതായത്, c =?A2 + b2-2ab * cos?.

അനുബന്ധ വീഡിയോകൾ

ടിപ്പ് 5: ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിലെ ആംഗിൾ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം

നേരിട്ട് കാർബോണിക്ഒരു ത്രികോണം രണ്ട് നിശിത കോണുകളാൽ നിർമ്മിതമാണ്, അതിന്റെ വ്യാപ്തി വശങ്ങളുടെ നീളത്തെയും അതുപോലെ 90 ° എന്ന സ്ഥിരമായ മൂല്യത്തിന്റെ ഒരു കോണിനെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. യൂക്ലിഡിയൻ സ്പേസിലെ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ശീർഷകങ്ങളിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയിലുള്ള ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകളോ സിദ്ധാന്തമോ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രിയിൽ ഒരു നിശിതകോണിന്റെ വലുപ്പം കണക്കാക്കാം.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

1. പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ അളവുകൾ മാത്രം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുക. നമുക്ക് പറയാം, 2 കാലുകളുടെ നീളം അനുസരിച്ച് (ഒരു വലത് കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള ഹ്രസ്വ വശങ്ങൾ), 2 നിശിത കോണുകളിൽ ഏതെങ്കിലും കണക്കാക്കാൻ ഇത് അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു. ആ കോണിന്റെ ടാൻജെന്റ് (?), ലെഗ് എയോട് ചേർന്ന് നിൽക്കുന്നത്, എതിർ വശത്തിന്റെ (ലെഗ് ബി) നീളം എ: tg (?) = ബി / എ എന്ന വശത്തിന്റെ നീളം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ കണ്ടെത്താനാകും. ടാൻജെന്റ് അറിയുന്നതിലൂടെ, അനുബന്ധ കോൺ ഡിഗ്രിയിൽ കണക്കാക്കാൻ ഇത് അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇതിനായി, ആർക്റ്റഞ്ചന്റ് ഫംഗ്ഷൻ തയ്യാറാക്കി:? = ആർക്റ്റാൻ (tg (?)) = ആർക്റ്റാൻ (ബി / എ).

2. അതേ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, ലെഗ് A ന് എതിർവശത്തായി കിടക്കുന്ന മറ്റൊരു നിശിത കോണിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഇത് അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു. വശങ്ങളുടെ പദവികൾ പ്രാഥമികമായി മാറ്റുക. എന്നാൽ ഇത് ചെയ്യാൻ അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു, നേരെമറിച്ച്, മറ്റൊരു ജോഡി ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ - കോട്ടാൻജെന്റ്, ആർക്ക് കോട്ടാൻജെന്റ്. കോണിന്റെ കോടാൻജെന്റ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അടുത്തുള്ള ലെഗ് A യുടെ നീളം എതിർ ലെഗ് B യുടെ നീളം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ്: tg (?) = A / B. ലഭിച്ച മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് ഡിഗ്രിയിൽ ആംഗിൾ മൂല്യം വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ ആർക്ക് കോട്ടാൻജെന്റ് സഹായിക്കും :? = arсctan (сtg (?)) = arсctan (А / В).

3. പ്രാരംഭ സാഹചര്യങ്ങളിൽ കാലുകളിലൊന്നിന്റെ നീളവും (എ) ഹൈപ്പോടെന്യൂസും (സി) നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, കോണുകൾ കണക്കാക്കാൻ, സൈൻ, കോസൈൻ - ആർക്സൈൻ, ആർക്കോസൈൻ എന്നിവയുടെ വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക. ഒരു നിശിത കോണിന്റെ സൈൻ? എതിർ ലെഗ് B യുടെ നീളവും ഹൈപ്പോട്ടെനസ് C യുടെ നീളവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്: sin (?) = B / C. അതിനാൽ, ഈ കോണിന്റെ മൂല്യം ഡിഗ്രിയിൽ കണക്കാക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക :? = ആർക്‌സിൻ (ബി / സി).

4. പിന്നെ കോണിന്റെ കോസൈന്റെ മൂല്യം? ത്രികോണത്തിന്റെ ഈ ശീർഷത്തിനോട് ചേർന്നുള്ള ലെഗിന്റെ നീളത്തിന്റെ അനുപാതമാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്, ഹൈപ്പോട്ടെനസ് സിയുടെ നീളം C. ഇതിനർത്ഥം, മുമ്പത്തെ ഫോർമുലയുമായി സാമ്യപ്പെടുത്തി ഡിഗ്രിയിൽ കോണിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത് ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വം പ്രയോഗിക്കുക: = ആർക്കോസ് (എ / സി).

5. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം, പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിശിതകോണുകളിലൊന്നിന്റെ മൂല്യം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് അപ്രായോഗികമാക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അജ്ഞാത ആംഗിൾ (?) കണക്കാക്കാൻ, അറിയപ്പെടുന്ന 2 കോണുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ 180 ° ൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ കുറയ്ക്കുക - വലത് (90 °), നിശിതം (?):? = 180 ° - 90 ° -? = 90 ° -?.

കുറിപ്പ്!
ഉയരം h ത്രികോണം ABCയെ അതിന് സമാനമായ രണ്ട് വലത് കോണുകളുള്ള ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. മൂന്ന് കോണുകളിലെ ത്രികോണങ്ങളുടെ സമാനതയുടെ അടയാളം ഇവിടെ പ്രവർത്തനക്ഷമമാണ്.

ഈ പോയിന്റുകളെ ജോഡികളായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന മൂന്ന് പോയിന്റുകളും മൂന്ന് ലൈൻ സെഗ്‌മെന്റുകളും കൊണ്ട് ഒരു തലത്തിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു പ്രാകൃത ബഹുഭുജമാണ് ത്രികോണം. ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകൾ മൂർച്ചയുള്ളതും മങ്ങിയതും നേരായതുമാണ്. ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക തുടർച്ചയായതും 180 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യവുമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• ജ്യാമിതിയുടെയും ത്രികോണമിതിയുടെയും അടിസ്ഥാന അറിവ്.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

1. a = 2, b = 3, c = 4 എന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളവും അതിന്റെ കോണുകൾ u, v, w എന്നിവയും ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അവ ഓരോന്നും ഒരു വശത്ത് വിപരീതമായി കിടക്കുന്നു. കോസൈൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരം മറ്റ് 2 വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ ഈ വശങ്ങളുടെ ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് കുറച്ചാൽ. അതായത്, a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc * cos (u). ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ വശങ്ങളുടെ നീളം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: 4 = 9 + 16 - 24cos (u).

2. ലഭിച്ച സമത്വ cos (u) ൽ നിന്ന് നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും: cos (u) = 7/8. അടുത്തതായി, നമ്മൾ യഥാർത്ഥ ആംഗിൾ u കണ്ടെത്തുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആർക്കോസ് (7/8) കണക്കാക്കുക. അതായത്, ആംഗിൾ u = ആർക്കോസ് (7/8).

3. അതുപോലെ, മറ്റുള്ളവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ മറ്റ് വശങ്ങളെ പ്രകടിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ശേഷിക്കുന്ന കോണുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

കുറിപ്പ്!
ഒരു കോണിന്റെ മൂല്യം 180 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടരുത്. ആർക്കോസ് () ചിഹ്നത്തിൽ 1-ൽ കൂടുതലും -1-ൽ താഴെയും സംഖ്യ അടങ്ങിയിരിക്കരുത്.

സഹായകരമായ ഉപദേശം
മൂന്ന് കോണുകളും കണ്ടെത്തുന്നതിന്, മൂന്ന് വശങ്ങളും പ്രകടിപ്പിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, 2 കോണുകൾ മാത്രമേ കണ്ടെത്താൻ അനുവദിക്കൂ, 180 ഡിഗ്രിയിൽ നിന്ന് ശേഷിക്കുന്ന 2 ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കുറച്ചാൽ മൂന്നാമത്തേത് ലഭിക്കും. ത്രികോണത്തിന്റെ എല്ലാ കോണുകളുടെയും ആകെത്തുക തുടർച്ചയായ മൂല്യവും 180 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യവുമാണ് എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ.
ത്രികോണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

ത്രികോണത്തെ നിർവചിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ ആറ് മൂലകങ്ങളെയും (അതായത് മൂന്ന് വശങ്ങളും മൂന്ന് കോണുകളും) കണ്ടെത്തുന്നതാണ് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ പരിഹാരം.

ഈ ഗണിത പ്രോഗ്രാം ഉപയോക്തൃ-നിർദ്ദിഷ്‌ട വശത്ത് \ (\ ആൽഫ \) വശങ്ങളും \ (\ ആൽഫ \) വശങ്ങളും \ (\ ആൽഫ \) കൂടാതെ രണ്ട് അടുത്തുള്ള കോണുകളും \ (\ ബീറ്റ \) ഒപ്പം \ (\ ഗാമ \) കണ്ടെത്തുന്നു. )

പ്രോഗ്രാം പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരം നൽകുക മാത്രമല്ല, ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രക്രിയ പ്രദർശിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഈ ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ സെക്കണ്ടറി സ്കൂളുകളിലെ മുതിർന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ടെസ്റ്റുകൾക്കും പരീക്ഷകൾക്കും തയ്യാറെടുക്കുമ്പോൾ, പരീക്ഷയ്ക്ക് മുമ്പുള്ള അറിവ് പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ഗണിതത്തിലും ബീജഗണിതത്തിലും ഉള്ള പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം നിയന്ത്രിക്കാൻ മാതാപിതാക്കൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ട്യൂട്ടറെ നിയമിക്കുന്നതിനോ പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനോ ഇത് വളരെ ചെലവേറിയതാണോ? അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ഗണിതമോ ബീജഗണിതമോ ഗൃഹപാഠം കഴിയുന്നത്ര വേഗത്തിൽ പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിശദമായ ഒരു പരിഹാരം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാമുകളും ഉപയോഗിക്കാം.

ഈ രീതിയിൽ, നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം അധ്യാപനവും കൂടാതെ / അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ഇളയ സഹോദരന്മാരുടെയോ സഹോദരിമാരുടെയോ പഠിപ്പിക്കൽ നടത്താം, അതേസമയം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന മേഖലയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം വർദ്ധിക്കുന്നു.

നമ്പറുകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമല്ലെങ്കിൽ, അവയുമായി സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

നമ്പർ എൻട്രി നിയമങ്ങൾ

സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണമായി മാത്രമല്ല, ഭിന്നമായും സജ്ജീകരിക്കാം.
ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളിലെ മുഴുവൻ ഭാഗങ്ങളും ഭാഗങ്ങളും ഒരു പൂർണ്ണ സ്റ്റോപ്പ് അല്ലെങ്കിൽ കോമ ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കാം.
ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് 2.5 അല്ലെങ്കിൽ 2.5 പോലുള്ള ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകാം

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യമായ ചില സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ലോഡ് ചെയ്തിട്ടില്ലെന്ന് കണ്ടെത്തി, കൂടാതെ പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിച്ചേക്കില്ല.
ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങൾ AdBlock പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കാം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത് പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കി പേജ് പുതുക്കുക.

കാരണം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ധാരാളം ആളുകൾ ഉണ്ട്, നിങ്ങളുടെ അഭ്യർത്ഥന ക്യൂവിലാണ്.
കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പരിഹാരം താഴെ ദൃശ്യമാകും.
കാത്തിരിക്കൂ, ദയവായി സെക്കന്റ്...

നിങ്ങൾ എങ്കിൽ പരിഹാരത്തിൽ ഒരു പിശക് ശ്രദ്ധിച്ചു, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഫീഡ്ബാക്ക് ഫോമിൽ എഴുതാം.
മറക്കരുത് ഏത് ടാസ്ക് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകനിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുക, എന്താണ് വയലുകളിൽ പ്രവേശിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ, എമുലേറ്ററുകൾ:

കുറച്ച് സിദ്ധാന്തം.

സൈൻ സിദ്ധാന്തം

സിദ്ധാന്തം

ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾ വിപരീത കോണുകളുടെ സൈനുകൾക്ക് ആനുപാതികമാണ്:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) $$

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം

സിദ്ധാന്തം
ത്രികോണത്തിൽ ABC AB = c, BC = a, CA = b എന്ന് അനുവദിക്കുക. പിന്നെ
ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശത്തിന്റെ ചതുരം, മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ആ വശങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന്റെ ഇരട്ടി അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്.
$$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2ba \ cos A $$

ത്രികോണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ത്രികോണത്തെ നിർവചിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ ആറ് മൂലകങ്ങളും (അതായത്, മൂന്ന് വശങ്ങളും മൂന്ന് കോണുകളും) കണ്ടെത്തുന്നതാണ് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ പരിഹാരം.

ഒരു ത്രികോണം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മൂന്ന് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ABC ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കും: AB = c, BC = a, CA = b.

രണ്ട് വശങ്ങളിൽ ഒരു ത്രികോണവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഒരു കോണും പരിഹരിക്കുന്നു

നൽകിയിരിക്കുന്നത്: \ (a, b, \ angle C \). \ (c, \ ആംഗിൾ എ, \ ആംഗിൾ ബി \) കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം
1. കോസൈൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ \ (c \):

3. \ (\ ആംഗിൾ ബി = 180 ^ \ സർക് - \ ആംഗിൾ എ - \ ആംഗിൾ സി \)

ഒരു വശവും അടുത്തുള്ള കോണുകളും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണം പരിഹരിക്കുന്നു

നൽകിയിരിക്കുന്നത്: \ (എ, \ ആംഗിൾ ബി, \ ആംഗിൾ സി \). \ (\ ആംഗിൾ എ, ബി, സി \) കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം
1. \ (\ ആംഗിൾ എ = 180 ^ \ സർക് - \ ആംഗിൾ ബി - \ ആംഗിൾ സി \)

മൂന്ന് വശങ്ങളിൽ ഒരു ത്രികോണം പരിഹരിക്കുന്നു

നൽകിയിരിക്കുന്നത്: \ (a, b, c \). \ (\ ആംഗിൾ എ, \ ആംഗിൾ ബി, \ ആംഗിൾ സി \) കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം
1. കോസൈൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$

2. അതുപോലെ, നമ്മൾ ആംഗിൾ ബി കണ്ടെത്തുന്നു.
3. \ (\ ആംഗിൾ സി = 180 ^ \ സർക് - \ ആംഗിൾ എ - \ ആംഗിൾ ബി \)

രണ്ട് വശങ്ങളിൽ ഒരു ത്രികോണവും അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള ഒരു കോണും പരിഹരിക്കുന്നു

നൽകിയിരിക്കുന്നത്: \ (a, b, \ angle A \). \ (സി, \ ആംഗിൾ ബി, \ ആംഗിൾ സി \) കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം
1. സൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് \ (\ sin B \) നമുക്ക് ലഭിക്കും:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) \ Rightarrow \ sin B = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A $$

നമുക്ക് നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കാം: \ (D = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A \). ഡി നമ്പറിനെ ആശ്രയിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ സാധ്യമാണ്:
D> 1 ആണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു ത്രികോണം നിലവിലില്ല \ (\ sin B \) 1-ൽ കൂടുതലാകരുത്
D = 1 ആണെങ്കിൽ, ഒരേയൊരു \ (\ ആംഗിൾ B: \ ക്വാഡ് \ sin B = 1 \ വലത്താരോ \ ആംഗിൾ B = 90 ^ \ സർക് \)
D ആണെങ്കിൽ D 2. \ (\ ആംഗിൾ C = 180 ^ \ സർക് - \ ആംഗിൾ A - \ ആംഗിൾ B \)

3.സൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, സൈഡ് c കണക്കാക്കുക:
$$ c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$

ഏത് വശങ്ങളുടെ നീളം (a, b, c) അറിയപ്പെടുന്നു, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുക. ഏതെങ്കിലും വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ ചതുരം മറ്റ് രണ്ടിന്റെയും നീളത്തിന്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് അവൾ അവകാശപ്പെടുന്നു, അതിൽ നിന്ന് ഒരേ രണ്ട് വശങ്ങളിലെ നീളത്തിന്റെ ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നം കോണിന്റെ കോസൈൻ കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുന്നു. അവര്ക്കിടയില്. ഏത് ലംബങ്ങളിലും ആംഗിൾ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഈ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാം, വശങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അതിന്റെ സ്ഥാനം മാത്രം അറിയേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, b, c എന്നീ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ α കണ്ടെത്തുന്നതിന്, സിദ്ധാന്തം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതണം: a² = b² + c² - 2 * b * c * cos (α).

ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ആവശ്യമുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ പ്രകടിപ്പിക്കുക: cos (α) = (b² + c²-a²) / (2 * b * c). സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും വിപരീത കോസൈൻ ഫംഗ്ഷൻ പ്രയോഗിക്കുക - വിപരീത കോസൈൻ. കോസൈൻ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് ഡിഗ്രിയിൽ കോണിന്റെ മൂല്യം പുനഃസ്ഥാപിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: ആർക്കോസ് (കോസ് (α)) = ആർക്കോസ് ((ബി² + സി²-എ²) / (2 * ബി * സി)). ഇടത് വശം ലളിതമാക്കാം, b, c എന്നീ വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ അന്തിമ രൂപം കൈക്കൊള്ളും: α = ആർക്കോസ് ((b² + c²-a²) / 2 * b * c).

ഒരു വലത് കോണിലുള്ള ത്രികോണത്തിൽ നിശിത കോണുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, എല്ലാ വശങ്ങളുടെയും നീളം അറിയേണ്ട ആവശ്യമില്ല, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം മതി. ഈ രണ്ട് വശങ്ങളും കാലുകളാണെങ്കിൽ (a, b), ആവശ്യമുള്ള കോണിന് (α) എതിർവശത്ത് കിടക്കുന്ന ഒന്നിന്റെ നീളം മറ്റേതിന്റെ നീളം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള ആംഗിൾ tg (α) = a / b ന്റെ ടാൻജെന്റിന്റെ മൂല്യം ലഭിക്കും, കൂടാതെ സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും വിപരീത ഫംഗ്ഷൻ പ്രയോഗിക്കുന്നു - ആർക്റ്റഞ്ചന്റ് - കൂടാതെ ലളിതമാക്കുക, മുമ്പത്തെ ഘട്ടത്തിലെന്നപോലെ, ഇടത് വശം, പ്രിന്റ് ചെയ്യുക അവസാന ഫോർമുല: α = ആർക്റ്റാൻ (a / b ).

അറിയപ്പെടുന്ന വശങ്ങൾ ലെഗ് (a) ഉം ഹൈപ്പോടെന്യൂസും (c) ആണെങ്കിൽ, ഈ വശങ്ങൾ രൂപംകൊണ്ട ആംഗിൾ (β) കണക്കാക്കാൻ, കോസൈൻ ഫംഗ്ഷനും അതിന്റെ വിപരീതമായ കോസൈനും ഉപയോഗിക്കുക. കോസൈൻ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് കാലിന്റെ നീളവും ഹൈപ്പോട്ടെനസും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമാണ്, അവസാന ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: β = ആർക്കോസ് (a / c). അറിയപ്പെടുന്ന കാലിന് എതിർവശത്ത് കിടക്കുന്ന അതേ പ്രാരംഭ അക്യൂട്ട് ആംഗിളിൽ നിന്ന് (α) കണക്കാക്കാൻ, അതേ അനുപാതം ഉപയോഗിക്കുക, വിപരീത കോസൈനെ ആർക്‌സൈൻ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: α = ആർക്‌സിൻ (a / c).

ഉറവിടങ്ങൾ:

• 2 വശങ്ങളുള്ള ത്രികോണ ഫോർമുല

നുറുങ്ങ് 2: ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ കോണുകൾ അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം കൊണ്ട് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

ഒരു ത്രികോണത്തിലെ മൂന്ന് കോണുകളുടെ നീളം അറിയാമെങ്കിൽ, അതിൽ എല്ലാ കോണുകളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്. പാർട്ടികൾ... രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഏരിയ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് ഒരു വഴി ത്രികോണം... കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് സൈനുകളുടെ സിദ്ധാന്തവും കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയിൽ സിദ്ധാന്തവും പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. ത്രികോണം.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് ഏരിയ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുക ത്രികോണം, അതിലൊന്നിൽ അദ്ദേഹത്തിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന മൂന്ന് പേർ മാത്രം ഉൾപ്പെടുന്നു പാർട്ടികൾ s (Gerona), മറ്റൊന്നിൽ - രണ്ട് പാർട്ടികൾ s, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈൻ എന്നിവ. രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ വ്യത്യസ്ത ജോഡികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു പാർട്ടികൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഓരോ കോണുകളുടെയും വ്യാപ്തി നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും ത്രികോണം.

പൊതുവായ രീതിയിൽ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക. ഹെറോണിന്റെ സൂത്രവാക്യം പ്രദേശം നിർണ്ണയിക്കുന്നു ത്രികോണംഅർദ്ധ-പരിധിയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വർഗ്ഗമൂലമായി (എല്ലാത്തിന്റെയും പകുതി പാർട്ടികൾ) അർദ്ധപരിധിയും ഓരോന്നും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് പാർട്ടികൾ... നമ്മൾ തുക ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ പാർട്ടികൾ, തുടർന്ന് ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: S = 0.25 ∗ √ (a + b + c) ∗ (b + c-a) ∗ (a + c-b) ∗ (a + b-c). C മറ്റൊന്ന് പാർട്ടികൾയുടെ പ്രദേശം ത്രികോണംഅവന്റെ രണ്ടിന്റെ പകുതി ഉൽപ്പന്നമായി പ്രകടിപ്പിക്കാം പാർട്ടികൾഅവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ സൈനിലൂടെ. ഉദാഹരണത്തിന്, വേണ്ടി പാർട്ടികൾ a, b എന്നിവയ്ക്കിടയിൽ γ എന്ന കോണിൽ, ഈ ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: S = a ∗ b ∗ sin (γ). തുല്യതയുടെ ഇടതുവശം ഹെറോണിന്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: 0.25 ∗ √ (a + b + c) ∗ (b + c-a) ∗ (a + c-b) ∗ (a + b-c) = a ∗ b ∗ sin (γ). ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് ഫോർമുല എടുക്കുക

മിക്കവാറും എല്ലാ കോണുകളിലും ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണം യാഥാർത്ഥ്യത്തിൽ കാണപ്പെടുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിന്റെ സവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവും അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാനുള്ള കഴിവും നിസ്സംശയമായും ജ്യാമിതിയിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മാത്രമല്ല, ജീവിത സാഹചര്യങ്ങളിലും ഉപയോഗപ്രദമാകും.

ത്രികോണ ജ്യാമിതി

പ്രാഥമിക ജ്യാമിതിയിൽ, വലത് കോണുള്ള ത്രികോണം എന്നത് മൂന്ന് കോണുകൾ (രണ്ട് നിശിതവും ഒരു നേർരേഖയും) രൂപപ്പെടുന്ന മൂന്ന് ബന്ധിപ്പിച്ച രേഖാ സെഗ്‌മെന്റുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ആകൃതിയാണ്. ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാനമായ നിരവധി പ്രധാന ഗുണങ്ങളാൽ സവിശേഷമായ ഒരു യഥാർത്ഥ രൂപമാണ് വലത് കോണുള്ള ത്രികോണം. ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ആകൃതിയുടെ വശങ്ങൾക്ക് അവരുടേതായ പേരുകളുണ്ട്:

• വലത് കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ ഏറ്റവും നീളമേറിയ വശമാണ് ഹൈപ്പോടെനസ്.
• കാലുകൾ ഒരു വലത് കോണായി രൂപപ്പെടുന്ന ഭാഗങ്ങളാണ്. പരിഗണനയിലുള്ള കോണിനെ ആശ്രയിച്ച്, കാൽ അതിനോട് ചേർന്ന് (ഹൈപ്പോടെനസ് ഉപയോഗിച്ച് ഈ കോണിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു) അല്ലെങ്കിൽ എതിർവശത്ത് (കോണിന് എതിർവശത്ത് കിടക്കുന്നത്) ആകാം. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണങ്ങൾക്ക്, കാലുകൾ നിലവിലില്ല.

ത്രികോണമിതിയുടെ അടിസ്ഥാനം കാലുകളുടെയും ഹൈപ്പോടെന്യൂസിന്റെയും അനുപാതമാണ്: സൈനുകൾ, ടാൻജന്റുകൾ, സെക്കന്റുകൾ എന്നിവ ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ അനുപാതമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു.

യഥാർത്ഥത്തിൽ ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണം

ഈ കണക്ക് യാഥാർത്ഥ്യത്തിൽ വ്യാപകമായിത്തീർന്നിരിക്കുന്നു. രൂപകൽപ്പനയിലും എഞ്ചിനീയറിംഗിലും ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിനാൽ ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത് എഞ്ചിനീയർമാർ, ആർക്കിടെക്റ്റുകൾ, ഡിസൈനർമാർ എന്നിവരാണ്. ടെട്രാഹെഡ്രോണുകളുടെയോ പ്രിസങ്ങളുടെയോ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ - ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടുമുട്ടാൻ കഴിയുന്ന ത്രിമാന രൂപങ്ങൾ - ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ആകൃതിയാണ്. കൂടാതെ, യഥാർത്ഥത്തിൽ "ഫ്ലാറ്റ്" വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രതിനിധാനമാണ് ഗോൺ. സ്‌കൂൾ കുട്ടികളും എഞ്ചിനീയർമാരും കോണുകൾ വരയ്ക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ലോക്ക് സ്മിത്ത്, ഡ്രോയിംഗ്, നിർമ്മാണം, മരപ്പണി ഉപകരണം എന്നിവയാണ് സ്‌ക്വയർ.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളാൽ എത്ര തലം പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു എന്നതിന്റെ അളവാണ്. ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഹെറോണിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചോ അല്ലെങ്കിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ആലേഖനം ചെയ്തതോ ചുറ്റപ്പെട്ടതോ ആയ വൃത്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം, വശം, ആംഗിൾ, ആരം എന്നിങ്ങനെയുള്ള വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ചോ അഞ്ച് തരത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും. ഏറ്റവും ലളിതമായ ഏരിയ ഫോർമുല ഇതാണ്:

ഇവിടെ a എന്നത് ത്രികോണത്തിന്റെ വശമാണ്, h ആണ് അതിന്റെ ഉയരം.

വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഇതിലും ലളിതമാണ്:

ഇവിടെ a, b എന്നിവ കാലുകളാണ്.

ഞങ്ങളുടെ ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്ററുമായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് ജോഡി പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാം:

• രണ്ട് കാലുകൾ;
• കാലും തൊട്ടടുത്തുള്ള കോണും;
• കാലും എതിർ മൂലയും.

ജോലികളിലോ ദൈനംദിന സാഹചര്യങ്ങളിലോ, നിങ്ങൾക്ക് വേരിയബിളുകളുടെ വ്യത്യസ്ത കോമ്പിനേഷനുകൾ നൽകും, അതിനാൽ കാൽക്കുലേറ്ററിന്റെ ഈ ഫോം ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പല തരത്തിൽ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഒന്നുരണ്ടു ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണങ്ങൾ

സെറാമിക് ടൈൽ

വലത് കോണിലുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ ആകൃതിയിലുള്ള സെറാമിക് ടൈലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങളുടെ അടുക്കളയുടെ ഭിത്തികൾ ടൈൽ ചെയ്യാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെന്ന് പറയാം. ടൈലുകളുടെ ഉപഭോഗം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന്, ഒരു ക്ലാഡിംഗ് മൂലകത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണവും ചികിത്സിക്കേണ്ട ഉപരിതലത്തിന്റെ ആകെ വിസ്തൃതിയും നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം. നിങ്ങൾ 7 ചതുരശ്ര മീറ്റർ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യണമെന്ന് കരുതുക. ഒരു മൂലകത്തിന്റെ കാലുകളുടെ നീളം 19 സെന്റീമീറ്റർ വീതമാണ്, അപ്പോൾ ടൈലിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമായിരിക്കും:

ഇതിനർത്ഥം ഒരു മൂലകത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 24.5 ചതുരശ്ര സെന്റീമീറ്റർ അല്ലെങ്കിൽ 0.01805 ചതുരശ്ര മീറ്റർ ആണ്. ഈ പാരാമീറ്ററുകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, മതിലിന്റെ 7 ചതുരശ്ര മീറ്റർ പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് 7 / 0.01805 = 387 ടൈലുകൾ ആവശ്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം.

സ്കൂൾ ചുമതല

ജ്യാമിതിയിലെ ഒരു സ്കൂൾ പ്രശ്നത്തിൽ, ഒരു കാലിന്റെ വശം 5 സെന്റിമീറ്ററാണെന്നും എതിർ കോണിന്റെ മൂല്യം 30 ഡിഗ്രിയാണെന്നും മാത്രം അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് ഒരു വലത് കോണുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് കരുതുക. ഞങ്ങളുടെ ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്ററിനൊപ്പം ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളും കോണുകളും കാണിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രീകരണമുണ്ട്. വശം a = 5 സെന്റീമീറ്റർ ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വിപരീത കോൺ ആംഗിൾ ആൽഫയാണ്, 30 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ്. ഈ ഡാറ്റ കാൽക്കുലേറ്റർ ഫോമിൽ നൽകി ഫലം നേടുക:

അങ്ങനെ, കാൽക്കുലേറ്റർ ഒരു നിശ്ചിത ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുക മാത്രമല്ല, തൊട്ടടുത്തുള്ള കാലിന്റെയും ഹൈപ്പോട്ടെനസിന്റെയും നീളവും രണ്ടാമത്തെ കോണിന്റെ മൂല്യവും നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഉപസംഹാരം

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണങ്ങൾ നമ്മുടെ ജീവിതത്തിൽ അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ എല്ലാ കോണുകളിലും കാണപ്പെടുന്നു. അത്തരം കണക്കുകളുടെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സ്കൂൾ ജ്യാമിതീയ ജോലികൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമല്ല, ദൈനംദിന, പ്രൊഫഷണൽ പ്രവർത്തനങ്ങളിലും നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും.