വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം

ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളുമായി ഇടപെടുന്നത് തുടരുന്നു. ആദ്യ പാഠത്തിൽ ഡമ്മികൾക്കുള്ള വെക്‌ടറുകൾവെക്‌ടറിന്റെ ആശയം, വെക്‌ടറുകളുമായുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ, വെക്‌ടറിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ, വെക്‌ടറുകളുമായുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ ജോലികൾ എന്നിവ ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു. നിങ്ങൾ ഒരു സെർച്ച് എഞ്ചിനിൽ നിന്ന് ആദ്യമായി ഈ പേജിൽ വന്നതാണെങ്കിൽ, മുകളിലുള്ള ആമുഖ ലേഖനം വായിക്കാൻ ഞാൻ വളരെ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, കാരണം മെറ്റീരിയൽ മാസ്റ്റർ ചെയ്യുന്നതിന്, ഞാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന നിബന്ധനകളിലും നൊട്ടേഷനുകളിലും നിങ്ങൾ നാവിഗേറ്റ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്, വെക്റ്ററുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന അറിവ് ഉണ്ടായിരിക്കണം. പ്രാഥമിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഈ പാഠം വിഷയത്തിന്റെ യുക്തിസഹമായ തുടർച്ചയാണ്, അതിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കുന്ന സാധാരണ ജോലികൾ ഞാൻ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും. ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു പ്രവർത്തനമാണ്.... ഉദാഹരണങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാതിരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, അവയ്‌ക്കൊപ്പം ഉപയോഗപ്രദമായ ബോണസും ഉണ്ട് - നിങ്ങൾ കവർ ചെയ്‌ത മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കാനും വിശകലന ജ്യാമിതിയിലെ പൊതുവായ പ്രശ്‌നങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം കാണാനും പരിശീലനം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

വെക്‌ടറുകളുടെ സങ്കലനം, ഒരു വെക്‌ടറിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കൽ.... ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ മറ്റൊന്നും കൊണ്ടുവന്നിട്ടില്ലെന്ന് കരുതുന്നത് നിഷ്കളങ്കമായിരിക്കും. ഇതിനകം പരിഗണിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് പുറമേ, വെക്റ്ററുകളുള്ള മറ്റ് നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങളുണ്ട്, അതായത്: വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം, വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നംഒപ്പം വെക്റ്ററുകളുടെ മിശ്രിത ഉൽപ്പന്നം... വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം സ്കൂളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് പരിചിതമാണ്, മറ്റ് രണ്ട് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പരമ്പരാഗതമായി ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ കോഴ്സുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. വിഷയങ്ങൾ ലളിതമാണ്, നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം സ്റ്റീരിയോടൈപ്പ് ചെയ്തതും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമാണ്. ഒരേ ഒരു കാര്യം. മാന്യമായ അളവിലുള്ള വിവരങ്ങളുണ്ട്, അതിനാൽ മാസ്റ്റർ ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കുന്നത് അഭികാമ്യമല്ല, എല്ലാം ഒറ്റയടിക്ക് പരിഹരിക്കുക. ചായപ്പൊടികൾക്ക് ഇത് പ്രത്യേകിച്ചും സത്യമാണ്, എന്നെ വിശ്വസിക്കൂ, രചയിതാവ് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നിന്നുള്ള ചിക്കാറ്റിലോയെപ്പോലെ തോന്നാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല. ശരി, ഗണിതത്തിൽ നിന്നല്ല, തീർച്ചയായും, വളരെ =) കൂടുതൽ തയ്യാറാക്കിയ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മെറ്റീരിയലുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഉപയോഗിക്കാം, ഒരർത്ഥത്തിൽ, നഷ്ടപ്പെട്ട അറിവ് "നേടുക", നിങ്ങൾക്ക് ഞാൻ ഒരു നിരുപദ്രവകാരിയായ കൗണ്ട് ഡ്രാക്കുള ആയിരിക്കും =)

അവസാനമായി, നമുക്ക് വാതിൽ അൽപ്പം തുറന്ന് ആവേശത്തോടെ നോക്കാം, രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ പരസ്പരം കണ്ടുമുട്ടുമ്പോൾ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന്….

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർണ്ണയം.
ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന സവിശേഷതകൾ. സാധാരണ ജോലികൾ

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന ആശയം

ആദ്യം കുറിച്ച് വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ... വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ എന്താണെന്ന് എല്ലാവരും അവബോധപൂർവ്വം മനസ്സിലാക്കുന്നുവെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു, പക്ഷേ, കുറച്ചുകൂടി വിശദമായി. സ്വതന്ത്ര നോൺസീറോ വെക്റ്ററുകൾ പരിഗണിക്കുക. നിങ്ങൾ ഈ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റിൽ നിന്ന് മാറ്റിവയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, പലരും അവരുടെ മനസ്സിൽ ഇതിനകം സങ്കൽപ്പിച്ച ഒരു ചിത്രം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

ധാരണയുടെ തലത്തിൽ മാത്രമാണ് ഞാൻ ഇവിടെ സ്ഥിതിഗതികൾ വിവരിച്ചതെന്ന് ഞാൻ സമ്മതിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിന്റെ കർശനമായ നിർവചനം നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ദയവായി പാഠപുസ്തകം പരിശോധിക്കുക, എന്നാൽ പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങൾക്ക്, തത്വത്തിൽ, അത് ആവശ്യമില്ല. ഇവിടെയും തുടർന്നും ഞാൻ പൂജ്യം വെക്‌ടറുകളുടെ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യം കുറവായതിനാൽ അവയെ അവഗണിക്കും. ഇനിപ്പറയുന്ന ചില പ്രസ്താവനകളുടെ സൈദ്ധാന്തിക അപൂർണ്ണതയ്ക്ക് എന്നെ ആക്ഷേപിക്കാൻ കഴിയുന്ന വിപുലമായ സൈറ്റ് സന്ദർശകർക്കായി ഞാൻ പ്രത്യേകമായി റിസർവേഷൻ ചെയ്തു.

സാഹിത്യത്തിൽ, ആംഗിൾ ഐക്കൺ പലപ്പോഴും അവഗണിക്കപ്പെടുകയും ലളിതമായി എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു.

നിർവ്വചനം:രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം, ഈ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ അനുസരിച്ച് അവയുടെ നീളത്തിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമായ NUMBER ആണ്:

ഇത് ഇതിനകം തികച്ചും കർശനമായ നിർവചനമാണ്.

ഞങ്ങൾ അവശ്യ വിവരങ്ങളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു:

പദവി:ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം സൂചിപ്പിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി.

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഫലം ഒരു NUMBER ആണ്: വെക്‌ടറിനെ വെക്‌ടർ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഫലം ഒരു സംഖ്യയാണ്. തീർച്ചയായും, വെക്റ്ററുകളുടെ നീളം സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ ഒരു സംഖ്യയാണ്, അപ്പോൾ അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു സംഖ്യയും ആയിരിക്കും.

കുറച്ച് സന്നാഹ ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം:

ഉദാഹരണം 1

പരിഹാരം:ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു ... ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

ഉത്തരം:

കോസൈൻ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും ത്രികോണമിതി പട്ടിക... ഇത് അച്ചടിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു - ടവറിന്റെ മിക്കവാറും എല്ലാ വിഭാഗങ്ങളിലും ഇത് ആവശ്യമായി വരും കൂടാതെ നിരവധി തവണ ആവശ്യമാണ്.

പൂർണ്ണമായും ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം അളവില്ലാത്തതാണ്, അതായത്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഫലം ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്, അത്രമാത്രം. ഭൗതികശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങളുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു നിശ്ചിത ഭൗതിക അർത്ഥമുണ്ട്, അതായത്, ഫലത്തിന് ശേഷം, ഒന്നോ അതിലധികമോ ഫിസിക്കൽ യൂണിറ്റ് സൂചിപ്പിക്കണം. ഒരു ശക്തിയുടെ പ്രവർത്തനം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു കാനോനിക്കൽ ഉദാഹരണം ഏത് പാഠപുസ്തകത്തിലും കാണാം (സൂത്രം കൃത്യമായി ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നമാണ്). ശക്തിയുടെ പ്രവർത്തനം ജൂൾസിൽ അളക്കുന്നു, അതിനാൽ ഉത്തരം കൃത്യമായി എഴുതപ്പെടും, ഉദാഹരണത്തിന്.

ഉദാഹരണം 2

ഉണ്ടെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക , വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ ആണ്.

ഇത് സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ്, ഉത്തരം ട്യൂട്ടോറിയലിന്റെ അവസാനത്തിലാണ്.

വെക്റ്ററുകളും ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന മൂല്യവും തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ

ഉദാഹരണം 1-ൽ, ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആയി മാറി, ഉദാഹരണം 2-ൽ അത് നെഗറ്റീവ് ആയി. ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അടയാളം എന്തിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ഫോർമുല നോക്കുന്നു: ... പൂജ്യമല്ലാത്ത വെക്റ്ററുകളുടെ ദൈർഘ്യം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണ്:, അതിനാൽ അടയാളം കോസൈന്റെ മൂല്യത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

കുറിപ്പ്: ചുവടെയുള്ള വിവരങ്ങൾ നന്നായി മനസ്സിലാക്കുന്നതിന്, മാനുവലിൽ ഉള്ള കോസൈൻ ഗ്രാഫ് പഠിക്കുന്നത് നല്ലതാണ് ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളും ഗുണങ്ങളും... ഒരു സെഗ്‌മെന്റിൽ കോസൈൻ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് കാണുക.

ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ ഉള്ളിൽ വ്യത്യാസപ്പെടാം , കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ സാധ്യമാണ്:

1) എങ്കിൽ കുത്തിവയ്പ്പ്വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ മസാലകൾ: (0 മുതൽ 90 ഡിഗ്രി വരെ), പിന്നെ , ഒപ്പം ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും സഹസംവിധാനം, അപ്പോൾ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ പൂജ്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും. ഫോർമുല ലളിതമാക്കിയതിനാൽ:.

2) എങ്കിൽ കുത്തിവയ്പ്പ്വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ മൂർച്ചയുള്ള: (90 മുതൽ 180 ഡിഗ്രി വരെ), പിന്നെ , അതിനനുസരിച്ച്, ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആണ്:. പ്രത്യേക കേസ്: വെക്റ്ററുകൾ ആണെങ്കിൽ വിപരീത ദിശയിൽ, പിന്നെ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു വിന്യസിക്കപ്പെട്ടു: (180 ഡിഗ്രി). ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും നെഗറ്റീവ് ആണ്

വിപരീത പ്രസ്താവനകളും ശരിയാണ്:

1) എങ്കിൽ, ഈ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ നിശിതമാണ്. പകരമായി, വെക്‌ടറുകൾ കോഡയറക്ഷണൽ ആണ്.

2) എങ്കിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ അവ്യക്തമാണ്. പകരമായി, വെക്റ്ററുകൾ വിപരീത ദിശയിലാണ്.

എന്നാൽ മൂന്നാമത്തെ കേസ് പ്രത്യേക താൽപ്പര്യമുള്ളതാണ്:

3) എങ്കിൽ കുത്തിവയ്പ്പ്വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ ഋജുവായത്: (90 ഡിഗ്രി), പിന്നെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്:. വിപരീതവും ശരിയാണ്: എങ്കിൽ, പിന്നെ. പ്രസ്താവന ഒതുക്കമുള്ള രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു: ഈ വെക്‌ടറുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണെങ്കിൽ മാത്രം രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ സ്‌കേലാർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്... ഹ്രസ്വ ഗണിത നൊട്ടേഷൻ:

! കുറിപ്പ് : ആവർത്തിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിയുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ: ഇരട്ട-വശങ്ങളുള്ള ലോജിക്കൽ അനന്തരഫല ഐക്കൺ സാധാരണയായി "അപ്പോൾ പിന്നെ മാത്രം", "എങ്കിലും എങ്കിൽ മാത്രം" എന്നിങ്ങനെയാണ് വായിക്കുന്നത്. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, അമ്പുകൾ രണ്ട് ദിശകളിലേക്കും നയിക്കപ്പെടുന്നു - "ഇതിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, തിരിച്ചും - ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നതിൽ നിന്ന്." വഴിയിൽ, വൺ-വേ ഫോളോ ഐക്കണിൽ നിന്നുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്? ഐക്കൺ അവകാശപ്പെടുന്നു അത് മാത്രം"ഇത് ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു", വിപരീതം ശരിയാണെന്നത് ഒരു വസ്തുതയല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്: എന്നാൽ എല്ലാ മൃഗങ്ങളും ഒരു പാന്തർ അല്ല, അതിനാൽ ഈ കേസിൽ ഐക്കൺ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. അതേ സമയം, ഐക്കണിന് പകരം കഴിയുംവൺ-വേ ഐക്കൺ ഉപയോഗിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, വെക്റ്ററുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്തു: - അത്തരമൊരു എൻട്രി ശരിയായിരിക്കും, അതിലും കൂടുതൽ അനുയോജ്യമാണ് .

മൂന്നാമത്തെ കേസ് വലിയ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യമുള്ളതാണ്.വെക്‌ടറുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണോ അല്ലയോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. പാഠത്തിന്റെ രണ്ടാം വിഭാഗത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കും.

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന സവിശേഷതകൾ

രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ഉള്ള അവസ്ഥയിലേക്ക് മടങ്ങാം സഹസംവിധാനം... ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന ഫോർമുല ഫോം എടുക്കുന്നു :.

വെക്റ്റർ സ്വയം ഗുണിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? വെക്റ്റർ സ്വയം കോഡയറക്ഷണൽ ആണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ മുകളിൽ പറഞ്ഞ ലളിതമാക്കിയ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

നമ്പർ വിളിക്കുന്നു സ്കെയിലർ ചതുരംവെക്റ്റർ, എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഈ വഴിയിൽ, ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ സ്കെയിലർ ചതുരം നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്:

ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ നീളം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

ഇത് അവ്യക്തമാണെന്ന് തോന്നുമെങ്കിലും, പാഠത്തിന്റെ ചുമതലകൾ എല്ലാം അതിന്റെ സ്ഥാനത്ത് സ്ഥാപിക്കും. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ, നമുക്കും ആവശ്യമാണ് ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

അനിയന്ത്രിതമായ വെക്റ്ററുകൾക്കും ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും, ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾ സാധുവാണ്:

1) - സ്ഥാനഭ്രംശം അല്ലെങ്കിൽ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ്സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്ന നിയമം.

2) - വിതരണം അല്ലെങ്കിൽ വിതരണക്കാരൻസ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്ന നിയമം. ലളിതമായി, നിങ്ങൾക്ക് പരാൻതീസിസുകൾ വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

3) - കോമ്പിനേഷൻ അല്ലെങ്കിൽ സഹകാരിസ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്ന നിയമം. ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരാങ്കം പുറത്തെടുക്കാം.

മിക്കപ്പോഴും, എല്ലാത്തരം സ്വത്തുക്കളും (അതും തെളിയിക്കപ്പെടേണ്ടതുണ്ട്!) വിദ്യാർത്ഥികൾ അനാവശ്യ ചവറ്റുകുട്ടകളായി കാണുന്നു, അത് പരീക്ഷയ്ക്ക് ശേഷം മനഃപാഠമാക്കുകയും സുരക്ഷിതമായി മറക്കുകയും വേണം. ഇവിടെ പ്രധാനം എന്താണെന്ന് തോന്നുന്നു, ഘടകങ്ങളുടെ പുനഃക്രമീകരണത്തിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നം മാറുന്നില്ലെന്ന് ഒന്നാം ഗ്രേഡ് മുതൽ എല്ലാവർക്കും അറിയാം :. ഈ സമീപനത്തിലൂടെ ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, തടി തകർക്കാൻ എളുപ്പമാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് മുന്നറിയിപ്പ് നൽകണം. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഡിസ്പ്ലേസ്മെന്റ് പ്രോപ്പർട്ടി സാധുതയുള്ളതല്ല ബീജഗണിത മാട്രിക്സ്... അതും ശരിയല്ല വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം... അതിനാൽ, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഗതിയിൽ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്ന ഏതെങ്കിലും പ്രോപ്പർട്ടികൾ പരിശോധിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, എന്തുചെയ്യാൻ കഴിയും, എന്താണ് ചെയ്യാൻ കഴിയാത്തത്.

ഉദാഹരണം 3

.

പരിഹാരം:ആദ്യം, നമുക്ക് വെക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ച് സാഹചര്യം വ്യക്തമാക്കാം. എന്തായാലും ഇത് എന്താണ്? വെക്‌ടറുകളുടെ ആകെത്തുകയും നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട വെക്‌ടറാണ്, ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. വെക്റ്ററുകളുമായുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ലേഖനത്തിൽ കാണാം ഡമ്മികൾക്കുള്ള വെക്‌ടറുകൾ... വെക്റ്ററുള്ള അതേ ആരാണാവോ വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുക.

അതിനാൽ, വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സിദ്ധാന്തത്തിൽ, നിങ്ങൾ പ്രവർത്തന ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട് , പക്ഷേ വെക്‌ടറുകളുടെ നീളവും അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണും നമുക്ക് അറിയില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്‌നം. എന്നാൽ അവസ്ഥ വെക്റ്ററുകൾക്ക് സമാനമായ പാരാമീറ്ററുകൾ നൽകുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു വഴിക്ക് പോകും:

(1) വെക്റ്റർ എക്സ്പ്രഷനുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

(2) ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണന നിയമം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നു, ഒരു അശ്ലീല നാവ് ട്വിസ്റ്റർ ലേഖനത്തിൽ കാണാം സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾഅഥവാ ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ സംയോജനം... ഞാൻ സ്വയം ആവർത്തിക്കില്ല =) വഴി, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ വിതരണ സ്വത്ത് ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്.

(3) ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും പദങ്ങളിൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ സ്ക്വയറുകളെ ഞങ്ങൾ ചുരുക്കി എഴുതുന്നു: ... രണ്ടാമത്തെ ടേമിൽ, ഞങ്ങൾ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പെർമ്യൂട്ടബിലിറ്റി ഉപയോഗിക്കുന്നു:.

(4) ഞങ്ങൾ സമാനമായ നിബന്ധനകൾ നൽകുന്നു:.

(5) ആദ്യ പദത്തിൽ, ഞങ്ങൾ സ്കെയിലർ സ്ക്വയർ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് വളരെക്കാലം മുമ്പ് സൂചിപ്പിച്ചിട്ടില്ല. അവസാന ടേമിൽ, യഥാക്രമം, ഒരേ കാര്യം പ്രവർത്തിക്കുന്നു :. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ പദം വികസിപ്പിക്കുന്നു .

(6) ഞങ്ങൾ ഈ വ്യവസ്ഥകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു , ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം അന്തിമ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുക.

ഉത്തരം:

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യം വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ അവ്യക്തമാണെന്ന വസ്തുത പ്രസ്താവിക്കുന്നു.

ചുമതല സാധാരണമാണ്, ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

ഉദാഹരണം 4

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക, അത് അറിയാമെങ്കിൽ .

ഇപ്പോൾ മറ്റൊരു പൊതു ജോലി, വെക്‌ടറിന്റെ ദൈർഘ്യത്തിനായുള്ള പുതിയ ഫോർമുലയ്ക്ക് വേണ്ടി മാത്രം. ഇവിടെയുള്ള പദവികൾ അൽപ്പം ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യും, അതിനാൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഞാൻ അത് മറ്റൊരു അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിയെഴുതും:

ഉദാഹരണം 5

എങ്കിൽ വെക്‌ടറിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരംഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും:

(1) ഒരു വെക്റ്റർ എക്സ്പ്രഷൻ നൽകുക.

(2) ഞങ്ങൾ ദൈർഘ്യത്തിന്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:, മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും ഒരു വെക്‌ടറായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ "ve".

(3) തുകയുടെ വർഗ്ഗത്തിന് ഞങ്ങൾ സ്കൂൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് ഇവിടെ എങ്ങനെ കൗതുകകരമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക: - വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് വ്യത്യാസത്തിന്റെ ചതുരമാണ്, വാസ്തവത്തിൽ ഇത് അങ്ങനെയാണ്. താൽപ്പര്യമുള്ളവർക്ക് സ്ഥലങ്ങളിൽ വെക്‌ടറുകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയും: - നിബന്ധനകളുടെ പുനഃക്രമീകരണം വരെ ഇത് സമാനമാണ്.

(4) ബാക്കിയുള്ളവ മുമ്പത്തെ രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് പരിചിതമാണ്.

ഉത്തരം:

നമ്മൾ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത് എന്നതിനാൽ, അളവ് സൂചിപ്പിക്കാൻ മറക്കരുത് - "യൂണിറ്റുകൾ".

ഉദാഹരണം 6

എങ്കിൽ വെക്‌ടറിന്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക .

സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. ട്യൂട്ടോറിയലിന്റെ അവസാനം പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് ഉപയോഗപ്രദമായ കാര്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചൂഷണം ചെയ്യുന്നത് തുടരുന്നു. നമുക്ക് നമ്മുടെ ഫോർമുല ഒന്നുകൂടി നോക്കാം ... ആനുപാതിക നിയമം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് വെക്റ്ററുകളുടെ നീളം ഇടത് വശത്തെ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് പുനഃസജ്ജമാക്കാം:

ഞങ്ങൾ ഭാഗങ്ങൾ മാറ്റും:

ഈ ഫോർമുലയുടെ അർത്ഥമെന്താണ്? രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും നിങ്ങൾക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ, ഈ വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം, അതിനാൽ, ആംഗിൾ തന്നെ.

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം ഒരു സംഖ്യയാണോ? നമ്പർ. വെക്‌ടറുകളുടെ നീളം സംഖ്യകളാണോ? നമ്പറുകൾ. അതിനാൽ, ഭിന്നസംഖ്യയും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണ്. കോണിന്റെ കോസൈൻ അറിയാമെങ്കിൽ: , തുടർന്ന് വിപരീത ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ആംഗിൾ തന്നെ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്: .

ഉദാഹരണം 7

വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക, അത് അറിയാമെങ്കിൽ.

പരിഹാരം:ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അവസാന ഘട്ടത്തിൽ, ഒരു സാങ്കേതികത ഉപയോഗിച്ചു - ഡിനോമിനേറ്ററിലെ യുക്തിരാഹിത്യം ഇല്ലാതാക്കുക. യുക്തിരാഹിത്യം ഇല്ലാതാക്കാൻ, ഞാൻ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.

അങ്ങനെയാണെങ്കില് , പിന്നെ:

വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും ത്രികോണമിതി പട്ടിക... ഇത് അപൂർവ്വമായി സംഭവിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിലും. അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയിലെ പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ചിലതരം വിചിത്ര കരടികൾ പലപ്പോഴും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ കോണിന്റെ മൂല്യം ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഏകദേശം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. യഥാർത്ഥത്തിൽ, അത്തരമൊരു ചിത്രം നമ്മൾ ഒന്നിലധികം തവണ കാണും.

ഉത്തരം:

വീണ്ടും, അളവ് സൂചിപ്പിക്കാൻ മറക്കരുത് - റേഡിയൻസും ഡിഗ്രികളും. വ്യക്തിപരമായി, അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് "എല്ലാ ചോദ്യങ്ങളും മായ്‌ക്കുന്നതിന്", അതും അതും രണ്ടും സൂചിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു (തീർച്ചയായും, വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, ഉത്തരം റേഡിയനുകളിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഡിഗ്രിയിൽ മാത്രം അവതരിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്).

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു ജോലിയെ സ്വന്തമായി നേരിടാൻ കഴിയും:

ഉദാഹരണം 7*

വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും നൽകിയിരിക്കുന്നു. വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക.

ടാസ്ക് മൾട്ടി-സ്റ്റെപ്പ് പോലെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.
നമുക്ക് പരിഹാര അൽഗോരിതം വിശകലനം ചെയ്യാം:

1) വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ നിങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട് .

2) ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക (ഉദാഹരണങ്ങൾ നമ്പർ 3, 4 കാണുക).

3) വെക്റ്ററിന്റെ നീളവും വെക്റ്ററിന്റെ നീളവും കണ്ടെത്തുക (ഉദാഹരണങ്ങൾ നമ്പർ 5, 6 കാണുക).

4) പരിഹാരത്തിന്റെ അവസാനം ഉദാഹരണ നമ്പർ 7 മായി യോജിക്കുന്നു - ഞങ്ങൾക്ക് നമ്പർ അറിയാം, അതായത് ആംഗിൾ തന്നെ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്:

ട്യൂട്ടോറിയലിന്റെ അവസാനം ഒരു ചെറിയ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

പാഠത്തിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗം ഒരേ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു. കോർഡിനേറ്റുകൾ. ഇത് ആദ്യ ഭാഗത്തേക്കാൾ എളുപ്പമായിരിക്കും.

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം,
ഒരു ഓർത്തോനോർമൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു

ഉത്തരം:

കോർഡിനേറ്റുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് കൂടുതൽ മനോഹരമാണെന്ന് പറയേണ്ടതില്ലല്ലോ.

ഉദാഹരണം 14

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക, എങ്കിൽ

സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഓപ്പറേഷന്റെ അസോസിയേറ്റിവിറ്റി ഉപയോഗിക്കാം, അതായത്, കണക്കാക്കരുത്, എന്നാൽ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് ട്രിപ്പിൾ ഉടനടി നീക്കി അത് അവസാനം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

ഖണ്ഡികയുടെ അവസാനം, ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രകോപനപരമായ ഉദാഹരണം:

ഉദാഹരണം 15

വെക്റ്ററുകളുടെ നീളം കണ്ടെത്തുക , എങ്കിൽ

പരിഹാരം:വീണ്ടും മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിന്റെ വഴി സ്വയം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:, എന്നാൽ മറ്റൊരു വഴിയുണ്ട്:

വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക:

നിസ്സാര സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് അതിന്റെ നീളവും :

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം ഇവിടെ ചോദ്യത്തിന് പുറത്താണ്!

ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ നീളം കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഇത് ബിസിനസ്സിന് പുറത്താണ്:
നിർത്തുക. വെക്റ്റർ ദൈർഘ്യത്തിന്റെ വ്യക്തമായ ഗുണം എന്തുകൊണ്ട് പ്രയോജനപ്പെടുത്തിക്കൂടാ? വെക്‌ടറിന്റെ നീളത്തെക്കുറിച്ച്? ഈ വെക്റ്റർ വെക്റ്ററിനേക്കാൾ 5 മടങ്ങ് കൂടുതലാണ്. ദിശ നേരെ വിപരീതമാണ്, പക്ഷേ അതിൽ കാര്യമില്ല, കാരണം സംഭാഷണം നീളത്തെക്കുറിച്ചാണ്. വ്യക്തമായും, വെക്റ്ററിന്റെ നീളം ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ് മൊഡ്യൂൾഓരോ വെക്റ്റർ ദൈർഘ്യത്തിനും സംഖ്യകൾ:
- മൊഡ്യൂളിന്റെ അടയാളം സംഖ്യയുടെ സാധ്യമായ മൈനസ് "തിന്നുന്നു".

ഈ വഴിയിൽ:

ഉത്തരം:

കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകുന്ന വെക്‌ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനിനായുള്ള ഫോർമുല

വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനിനായി മുമ്പ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ സൂത്രവാക്യം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള പൂർണ്ണമായ വിവരങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ട്:

വിമാനത്തിന്റെ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻഒരു യാഥാസ്ഥിതിക അടിസ്ഥാനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു, സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
.

ബഹിരാകാശ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻഒരു യാഥാസ്ഥിതിക അടിസ്ഥാനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു, സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 16

ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് ലംബങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. കണ്ടെത്തുക (വെർട്ടെക്സ് ആംഗിൾ).

പരിഹാരം:വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, ഡ്രോയിംഗ് നടത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല, പക്ഷേ ഇപ്പോഴും:

ആവശ്യമുള്ള ആംഗിൾ ഒരു പച്ച ആർക്ക് ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. കോണിന്റെ സ്കൂൾ പദവി ഞങ്ങൾ ഉടനടി ഓർമ്മിക്കുന്നു: - പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ ശരാശരികത്ത് - ഇതാണ് നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള മൂലയുടെ ശീർഷകം. സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി, ഇത് ലളിതമായി എഴുതാം.

ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന്, ത്രികോണത്തിന്റെ കോൺ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്നും മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ: .

മാനസികമായി നടത്തിയ വിശകലനം എങ്ങനെ നടത്താമെന്ന് പഠിക്കുന്നത് അഭികാമ്യമാണ്.

വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്തുക:

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കാം:

വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും:

ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ:

ടീപ്പോയ്‌ക്ക് ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്ന ചുമതല പൂർത്തിയാക്കുന്നതിനുള്ള ക്രമമാണിത്. കൂടുതൽ വിപുലമായ വായനക്കാർക്ക് "ഒരു വരിയിൽ" കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എഴുതാൻ കഴിയും:

"മോശം" കോസൈൻ മൂല്യത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം അന്തിമമല്ല, അതിനാൽ ഡിനോമിനേറ്ററിലെ യുക്തിരാഹിത്യം ഒഴിവാക്കുന്നതിൽ കാര്യമില്ല.

നമുക്ക് മൂല തന്നെ കണ്ടെത്താം:

നിങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗ് നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫലം തികച്ചും വിശ്വസനീയമാണ്. പരിശോധിക്കുന്നതിനായി, ഒരു പ്രൊട്ടക്റ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ആംഗിൾ അളക്കാനും കഴിയും. മോണിറ്ററിന്റെ കവർ കേടാക്കരുത് =)

ഉത്തരം:

ഉത്തരത്തിൽ, അത് മറക്കരുത് ത്രികോണത്തിന്റെ കോണിനെക്കുറിച്ച് ചോദിച്ചു(വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിനെക്കുറിച്ചല്ല), കൃത്യമായ ഉത്തരം സൂചിപ്പിക്കാൻ മറക്കരുത്: കോണിന്റെ ഏകദേശ മൂല്യം: കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തി.

പ്രക്രിയ ആസ്വദിച്ചവർക്ക് കോണുകൾ കണക്കാക്കാനും കാനോനിക്കൽ തുല്യത ശരിയാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാനും കഴിയും

ഉദാഹരണം 17

ഒരു ത്രികോണത്തെ ബഹിരാകാശത്ത് നിർവചിക്കുന്നത് അതിന്റെ ലംബങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ്. വശങ്ങളും തമ്മിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക

സ്വയം ചെയ്യേണ്ട ഒരു പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. ട്യൂട്ടോറിയലിന്റെ അവസാനം പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും ഉത്തരവും

ഒരു ചെറിയ അന്തിമ വിഭാഗം പ്രൊജക്ഷനുകൾക്കായി നീക്കിവയ്ക്കും, അതിൽ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവും "മിക്സഡ്" ആണ്:

വെക്റ്റർ-ടു-വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്കുള്ള വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ.
ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ ദിശാ കോസൈനുകൾ

വെക്റ്ററുകൾ പരിഗണിക്കുക കൂടാതെ:

വെക്‌ടറിലേക്ക് ഞങ്ങൾ വെക്‌ടറിനെ പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നു, ഇതിനായി വെക്‌ടറിന്റെ തുടക്കത്തിലും അവസാനത്തിലും ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു. ലംബമായിഓരോ വെക്റ്ററിനും (പച്ച ഡോട്ടുള്ള വരകൾ). വെക്റ്ററിന് ലംബമായി വീഴുന്ന പ്രകാശകിരണങ്ങൾ സങ്കൽപ്പിക്കുക. അപ്പോൾ സെഗ്മെന്റ് (റെഡ് ലൈൻ) വെക്റ്ററിന്റെ "നിഴൽ" ആയിരിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വെക്‌ടറിലേക്ക് വെക്‌ടറിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ നീളമാണ്. അതായത്, പ്രൊജക്ഷൻ ഒരു സംഖ്യയാണ്.

ഈ NUMBER എന്നത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:, "വലിയ വെക്റ്റർ" ഒരു വെക്റ്ററിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ഏത്പ്രോജക്റ്റ്, "സ്മോൾ സബ്സ്ക്രിപ്റ്റ് വെക്റ്റർ" എന്നത് വെക്റ്ററിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ന്പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നത്.

റെക്കോർഡ് തന്നെ ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: "വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ" a "വെക്റ്ററിലേക്ക്" bh "".

വെക്റ്റർ "bs" "വളരെ ചെറുതാണെങ്കിൽ" എന്ത് സംഭവിക്കും? വെക്റ്റർ "be" അടങ്ങുന്ന ഒരു നേർരേഖ ഞങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു. വെക്റ്റർ "a" ഇതിനകം പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടും വെക്‌ടറിന്റെ ദിശയിൽ "bh", ലളിതമായി - വെക്റ്റർ "be" അടങ്ങുന്ന നേർരേഖയിൽ. മുപ്പതാം രാജ്യത്തിൽ വെക്റ്റർ "a" മാറ്റിവെച്ചാൽ ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കും - അത് വെക്റ്റർ "bh" അടങ്ങുന്ന നേർരേഖയിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടും.

കോണാണെങ്കിൽവെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ മസാലകൾ(ചിത്രത്തിലെന്നപോലെ), പിന്നെ

വെക്റ്ററുകൾ ആണെങ്കിൽ ഓർത്തോഗണൽ, പിന്നെ (മാനങ്ങൾ പൂജ്യമായി കണക്കാക്കുന്ന ഒരു പോയിന്റാണ് പ്രൊജക്ഷൻ).

കോണാണെങ്കിൽവെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ മൂർച്ചയുള്ള(ചിത്രത്തിൽ, വെക്റ്ററിന്റെ അമ്പടയാളം മാനസികമായി പുനഃക്രമീകരിക്കുക), തുടർന്ന് (അതേ നീളം, പക്ഷേ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്തത്).

നമുക്ക് ഈ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് മാറ്റിവയ്ക്കാം:

വ്യക്തമായും, വെക്റ്റർ നീങ്ങുമ്പോൾ, അതിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ മാറില്ല.

വെക്‌ടറും ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നു. $ \ ഓവർലൈൻ (എ) $, $ \ ഓവർലൈൻ (b) $ എന്നീ രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ നൽകട്ടെ, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഓറിയന്റഡ് ആംഗിൾ $ \ varphi $ ആണ്. $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $, $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $ എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക. അപ്പോൾ $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, ഇവിടെ $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $, ഒപ്പം $ \ varphi $ ആണ് ആവശ്യമായ ആംഗിൾ, അതായത്, പോയിന്റ് $ (x, y) $ ന് $ \ varphi $ ന് തുല്യമായ ഒരു ധ്രുവ കോണുണ്ട്, അതിനാൽ $ \ varphi $ ആറ്റാൻ2 (y, x) ആയി കണ്ടെത്താം.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് വെക്റ്റർ ദൈർഘ്യമുള്ള ഉൽപ്പന്നം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, ത്രികോണ ABC യുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കാം:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AC)] | $.

ഒരു നേർരേഖയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു ബിന്ദു

ഒരു പോയിന്റ് $ P $, ഒരു നേർരേഖ $ AB $ (രണ്ട് പോയിന്റുകൾ $ A $, $ B $ എന്നിവ നൽകിയത്) നൽകട്ടെ. പോയിന്റ് $ AB $ എന്ന വരിയിൽ പെട്ടതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

$ AP $, $ AB $ വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയർ ആണെങ്കിൽ മാത്രം, അതായത് $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $ ആണെങ്കിൽ മാത്രം, ഒരു പോയിന്റ് $ AB $ എന്ന നേർരേഖയിൽ പെടുന്നു.

ഒരു കിരണത്തിന് ഒരു ബിന്ദുവാണ്

ഒരു പോയിന്റ് $ P $, ഒരു ray $ AB $ (രണ്ട് പോയിന്റുകൾ നൽകിയത് - $ A $ ന്റെ തുടക്കവും $ B $ ന് ഒരു പോയിന്റും) നൽകട്ടെ. പോയിന്റ് $ AB $ റേയുടേതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

$ P $ എന്ന പോയിന്റ് $ AB $ എന്ന വരിയിൽ പെടുന്നു എന്ന വ്യവസ്ഥയിലേക്ക്, ഒരു അധിക വ്യവസ്ഥ ചേർക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് - വെക്റ്ററുകൾ $ AP $, $ AB $ എന്നിവ സഹ-ദിശയിലുള്ളവയാണ്, അതായത്, അവ കോളിനിയറും അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവുമാണ്. നെഗറ്റീവ് അല്ല, അതായത്, $ (\ ഓവർലൈൻ (AB), \ overline (AP )) \ ge 0 $.

ഒരു പോയിന്റ് ഒരു ലൈൻ സെഗ്‌മെന്റിൽ പെടുന്നു

ഒരു പോയിന്റ് $ P $, ഒരു സെഗ്മെന്റ് $ AB $ എന്നിവ നൽകട്ടെ. പോയിന്റ് $ AB $ എന്ന സെഗ്മെന്റിൽ പെട്ടതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പോയിന്റ് റേ $ AB $, ray $ BA $ എന്നിവയുടേതായിരിക്കണം, അതിനാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

$ [\ ഓവർലൈൻ (AP), \ ഓവർലൈൻ (AB)] = 0 $,

$ (\ ഓവർലൈൻ (AB), \ ഓവർലൈൻ (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ ഓവർലൈൻ (ബിഎ), \ ഓവർലൈൻ (ബിപി)) \ ge 0 $.

പോയിന്റിൽ നിന്ന് വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം

ഒരു പോയിന്റ് $ P $, ഒരു നേർരേഖ $ AB $ (രണ്ട് പോയിന്റുകൾ $ A $, $ B $ എന്നിവ നൽകിയത്) നൽകട്ടെ. $ AB $ എന്ന നേർരേഖയുടെ പോയിന്റിൽ നിന്ന് ദൂരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ABP എന്ന ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക. ഒരു വശത്ത്, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $ ആണ്.

മറുവശത്ത്, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $ ആണ്, ഇവിടെ $ h $ എന്നത് $ P $ എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് താഴേക്ക് പോയ ഉയരമാണ്, അതായത് $-ൽ നിന്നുള്ള ദൂരം P $ മുതൽ $ AB $ വരെ. എവിടെ നിന്ന് $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

ബീം ദൂരം പോയിന്റ്

ഒരു പോയിന്റ് $ P $, ഒരു ray $ AB $ (രണ്ട് പോയിന്റുകൾ നൽകിയത് - $ A $ ന്റെ തുടക്കവും $ B $ ന് ഒരു പോയിന്റും) നൽകട്ടെ. പോയിന്റിൽ നിന്ന് കിരണത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്, പോയിന്റ് $ P $ മുതൽ റേയിലെ ഏത് ബിന്ദുവിലേക്കും ഏറ്റവും ചെറിയ സെഗ്മെന്റിന്റെ നീളം.

ഈ ദൂരം ഒന്നുകിൽ $ AP $ ദൈർഘ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ $ P $ പോയിന്റിൽ നിന്ന് $ AB $ വരെയുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്. ഏത് കേസുകളാണ് നടക്കുന്നതെന്ന് ബീമിന്റെയും പോയിന്റിന്റെയും ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. PAB ആംഗിൾ നിശിതമാണെങ്കിൽ, അതായത്, $ (\ ഓവർലൈൻ (AB), \ ഓവർലൈൻ (AP))> 0 $, അപ്പോൾ ഉത്തരം $ P $ എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് $ AB $ എന്ന നേർരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരം ആയിരിക്കും, അല്ലാത്തപക്ഷം $ AB $ എന്ന സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ദൈർഘ്യമായിരിക്കും ഉത്തരം.

പോയിന്റിൽ നിന്ന് വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം

ഒരു പോയിന്റ് $ P $, ഒരു സെഗ്മെന്റ് $ AB $ എന്നിവ നൽകട്ടെ. $ P $ മുതൽ സെഗ്മെന്റ് $ AB $ വരെയുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

$ P $ മുതൽ വരി $ AB $ വരെയുള്ള ലംബത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം $ AB $ എന്ന സെഗ്‌മെന്റിൽ വീഴുകയാണെങ്കിൽ, അത് വ്യവസ്ഥകൾ പ്രകാരം പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്.

$ (\ ഓവർലൈൻ (AP), \ ഓവർലൈൻ (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ ഓവർലൈൻ (ബിപി), \ ഓവർലൈൻ (ബിഎ)) \ ge 0 $,

അപ്പോൾ ഉത്തരം $ P $ മുതൽ വരി $ AB $ വരെയുള്ള ദൂരമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ, ദൂരം $ \ മിനിറ്റ് (AP, BP) $ ന് തുല്യമായിരിക്കും.

നിർവ്വചനം 1

ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡൈനിന്റെയും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമായ സംഖ്യയാണ് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം.

a →, b → വെക്‌ടറുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നൊട്ടേഷനിൽ a →, b → എന്ന രൂപമുണ്ട്. നമുക്ക് ഫോർമുലയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാം:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a →, b → വെക്‌ടറുകളുടെ ദൈർഘ്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, a →, b → ^ നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. കുറഞ്ഞത് ഒരു വെക്റ്റർ പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, അതായത്, അതിന് 0 മൂല്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ഫലം പൂജ്യമായിരിക്കും, a →, b → = 0

വെക്റ്റർ സ്വയം ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് അതിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരം ലഭിക്കും:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

നിർവ്വചനം 2

ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ സ്കെയിലർ ഗുണനത്തെ സ്കെയിലർ സ്ക്വയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → എന്ന നൊട്ടേഷൻ കാണിക്കുന്നത് npb→ a → സംഖ്യയുടെ സംഖ്യയുടെ അയോൺ ആണ് npa → a → എന്നത് യഥാക്രമം a →-ലേക്കുള്ള b → ന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ആണ്.

രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കായി ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനം നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം:

a → by b → എന്ന രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ സ്‌കേലാർ ഉൽപ്പന്നത്തെ വെക്‌ടറിന്റെ നീളത്തിന്റെ ഗുണനഫലം a → പ്രൊജക്ഷൻ b → ദിശ a → വഴി അല്ലെങ്കിൽ b → ദൈർഘ്യത്തിന്റെ ഗുണനം യഥാക്രമം a → പ്രൊജക്ഷൻ വഴി വിളിക്കുന്നു.

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം

ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിലോ ബഹിരാകാശത്തിലോ ഉള്ള വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്താം.

ഒരു തലത്തിലെ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തെ, ത്രിമാന സ്ഥലത്ത്, നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ആകെത്തുക a →, b → എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കാർട്ടീഷ്യൻ സിസ്റ്റത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുമ്പോൾ a → = (a x, a y), b → = (b x, b y), ഉപയോഗിക്കുക:

a →, b → = a x b x + a y b y,

ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം ബാധകമാണ്:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ നിർവചനമാണ്.

നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

തെളിവ് 1

തെളിവിനായി, കാർട്ടീഷ്യനിൽ ഞങ്ങൾ a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by വെക്‌ടറുകൾക്കായി a → = (ax, ay), b → = (bx, by) സിസ്റ്റം.

വെക്‌ടറുകൾ മാറ്റിവയ്ക്കണം

O A → = a → = a x, a y, O B → = b → = b x, b y.

അപ്പോൾ A B → വെക്‌ടറിന്റെ നീളം A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) ന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഒരു ത്രികോണം O A B പരിഗണിക്കുക.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) എന്നത് കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ശരിയാണ്.

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^, അതിനാൽ, വെക്‌ടറുകൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായി എഴുതുന്നു.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

അപ്പോൾ ആദ്യത്തെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), അതിനാൽ (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

വെക്റ്ററുകളുടെ ദൈർഘ്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

നമുക്ക് തുല്യത തെളിയിക്കാം:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- യഥാക്രമം ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന്റെ വെക്റ്ററുകൾക്ക്.

കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വെക്‌ടറുകളുടെ സ്‌കേലാർ ഉൽപ്പന്നം പറയുന്നത്, ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ സ്‌കേലാർ സ്‌ക്വയർ സ്‌പെയ്‌നിലും ഒരു വിമാനത്തിലും ഉള്ള അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ സ്‌ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് എന്നാണ്. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) കൂടാതെ (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും അതിന്റെ ഗുണങ്ങളും

a →, b →, c → എന്നിവയ്‌ക്ക് ബാധകമായ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

1. കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി (a →, b →) = (b →, a →);
2. വിതരണക്ഷമത (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , സി →);
3. കോമ്പിനേഷൻ പ്രോപ്പർട്ടി (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ എന്നത് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്;
4. സ്കെയിലർ സ്ക്വയർ എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ് (a →, a →) ≥ 0, ഇവിടെ (a →, a →) = 0 എന്നത് പൂജ്യമായിരിക്കുമ്പോൾ.

പ്ലെയിനിലെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനത്തിനും യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുമ്പോഴും ഗുണിക്കുമ്പോഴും ഉള്ള ഗുണങ്ങൾ കാരണം ഗുണവിശേഷതകൾ വ്യക്തമാണ്.

കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി തെളിയിക്കുക (a →, b →) = (b →, a →). നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് (a →, b →) = a y b y + a y b y ഉം (b →, a →) = b x a x + b y a y ഉം ഉണ്ട്.

കമ്മ്യൂട്ടറ്റിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം, a x b x = b x a x, a y b y = b y a y എന്നീ തുല്യതകൾ ശരിയാണ്, അതിനാൽ a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

അത് പിന്തുടരുന്നു (a →, b →) = (b →, a →). ക്യു.ഇ.ഡി.

ഏത് നമ്പറുകൾക്കും ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടിവിറ്റി സാധുവാണ്:

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

കൂടാതെ (a →, b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . .. ... ... + (a →, b → (n)),

അതിനാൽ നമുക്കുണ്ട്

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b (1) → + b (2) → +... + b (m) →) = (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും ഉള്ള ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തെ സംബന്ധിച്ച പ്രോപ്പർട്ടികൾ, ഫോർമുലകൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് അത്തരമൊരു പ്ലാനിന്റെ ഏത് പ്രശ്‌നവും പരിഹരിക്കപ്പെടും:

1. (a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y അല്ലെങ്കിൽ (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) = a → 2.

ചില പരിഹാര ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 2

a → യുടെ നീളം 3 ആണ്, b → യുടെ നീളം 7 ആണ്. ആംഗിൾ 60 ഡിഗ്രി ആണെങ്കിൽ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, ഞങ്ങൾക്ക് എല്ലാ ഡാറ്റയും ഉണ്ട്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

ഉത്തരം: (a →, b →) = 21 2.

ഉദാഹരണം 3

നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറുകൾ a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). എന്താണ് ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം.

പരിഹാരം

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം അവ പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

(a →, b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

ഉത്തരം: (a →, b →) = - 9

ഉദാഹരണം 4

എ ബി →, എ സി → എന്നീ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക. കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) പോയിന്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

പരിഹാരം

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നു, കാരണം പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വ്യവസ്ഥയാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

ഉത്തരം: (എ ബി →, എ സി →) = 28.

ഉദാഹരണം 5

വെക്‌ടറുകൾക്ക് a → = 7 m → + 3 n →, b → = 5 m → + 8 n → എന്നിവ നൽകിയാൽ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക. m → 3 നും n → 2 യൂണിറ്റിനും തുല്യമാണ്, അവ ലംബമാണ്.

പരിഹാരം

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് പ്രോപ്പർട്ടി പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അടയാളത്തിനായി ഞങ്ങൾ കോഫിഫിഷ്യന്റ് എടുത്ത് നേടുക:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

കമ്മ്യൂട്ടിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

ഫലമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

ഇപ്പോൾ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിനായുള്ള ഫോർമുല മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ച ആംഗിൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രയോഗിക്കാം:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

ഉത്തരം: (a →, b →) = 411

ഒരു സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണം 6

a →, b → എന്നീ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക. വെക്റ്റർ a → കോർഡിനേറ്റുകൾ (- 3, - 1, 1) ഉള്ള ഒരു → = (9, 3, - 3), പ്രൊജക്ഷൻ b →.

പരിഹാരം

അനുമാനം അനുസരിച്ച്, വെക്‌ടറുകൾ a →, പ്രൊജക്ഷൻ b → എന്നിവ വിപരീത ദിശയിലാണ്, കാരണം a → = - 1 3 · npa → b → →, അതിനാൽ പ്രൊജക്ഷൻ b → npa → b → → ദൈർഘ്യത്തിനും ചിഹ്നത്തിനൊപ്പം " -":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

ഫോർമുലയിലേക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും:

(a →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

ഉത്തരം: (a →, b →) = - 33.

ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ ദൈർഘ്യം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്തേണ്ട ഒരു അറിയപ്പെടുന്ന ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിലെ പ്രശ്‌നങ്ങൾ.

ഉദാഹരണം 7

തന്നിരിക്കുന്ന സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് λ എന്ത് മൂല്യം എടുക്കണം a → = (1, 0, λ + 1), b → = (λ, 1, λ) എന്നിവ -1 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

പരിഹാരം

കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് ഫോർമുല കാണിക്കുന്നു:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

നമുക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്നത് (a →, b →) = - 1.

λ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം കണക്കാക്കുന്നു:

λ 2 + 2 λ = - 1, അതിനാൽ λ = - 1.

ഉത്തരം: λ = - 1.

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പ്രയോഗത്തെ മെക്കാനിക്സ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു.

ഒരു സ്ഥിരമായ ബലം എഫ് → ഉപയോഗിച്ച് A പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, ശരീരം പോയിന്റ് M-ൽ നിന്ന് N-ലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, വെക്റ്ററുകൾ F →, MN → എന്നിവയുടെ ദൈർഘ്യത്തിന്റെ ഉൽപ്പന്നം അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും, അതായത് ജോലി തുല്യമാണ്. ബലത്തിന്റെയും സ്ഥാനചലനത്തിന്റെയും വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിലേക്ക്:

A = (F →, M N →).

ഉദാഹരണം 8

5 nton ന് തുല്യമായ ഒരു ശക്തിയുടെ പ്രവർത്തനത്തിൽ 3 മീറ്റർ ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റിന്റെ ചലനം അച്ചുതണ്ടുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ 45 ഡിഗ്രി കോണിൽ നയിക്കപ്പെടുന്നു. എ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

ജോലി എന്നത് ഫോഴ്‌സ് വെക്‌ടറിന്റെയും ഡിസ്‌പ്ലേസ്‌മെന്റിന്റെയും ഉൽപ്പന്നമായതിനാൽ, അതിനർത്ഥം, F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° എന്ന അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

ഉത്തരം: A = 15 2 2.

ഉദാഹരണം 9

ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിന്റ്, M (2, - 1, - 3) ൽ നിന്ന് N (5, 3 λ - 2, 4) ലേക്ക് F → = (3, 1, 2) എന്ന ബലത്തിന് കീഴിൽ നീങ്ങുന്നു, 13 J ന് തുല്യമായ ജോലി നിർവഹിക്കുന്നു. കണക്കുകൂട്ടുക ചലനത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം.

പരിഹാരം

വെക്റ്റർ M N → ന്റെ നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾക്ക് നമുക്ക് M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) ഉണ്ട്.

വെക്‌ടറുകൾ F → = (3, 1, 2), MN → = (3, 3 λ - 1, 7) ഉപയോഗിച്ച് ജോലി കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

അനുമാനം അനുസരിച്ച്, A = 13 J എന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതായത് 22 + 3 λ = 13. അതിനാൽ λ = - 3, അതിനാൽ M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

സ്ഥാനചലനത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്താൻ M N →, ഫോർമുല പ്രയോഗിച്ച് മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

ഉത്തരം: 158.

വാചകത്തിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, ദയവായി അത് തിരഞ്ഞെടുത്ത് Ctrl + Enter അമർത്തുക

ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനായി ടാസ്ക്കുകളും ഉണ്ടാകും, അതിനുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും.

പ്രശ്നത്തിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും "ഒരു വെള്ളി താലത്തിൽ" അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയും അതിന്റെ പരിഹാരവും ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഉദാഹരണം 1.വെക്റ്ററുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. വെക്‌ടറുകളുടെ നീളവും അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണും ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ അവയുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

മറ്റൊരു നിർവചനവും സാധുവാണ്, ഇത് നിർവചനം 1 ന് പൂർണ്ണമായും തുല്യമാണ്.

നിർവ്വചനം 2... വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം, സൂചിപ്പിച്ച വെക്റ്ററുകളിൽ ആദ്യത്തേത് നിർണ്ണയിക്കുന്ന അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് മറ്റൊരു വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ വഴി ഈ വെക്റ്ററുകളിലൊന്നിന്റെ നീളത്തിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ് (സ്കെലാർ). നിർവചനം 2 അനുസരിച്ച് ഫോർമുല:

അടുത്ത പ്രധാന സൈദ്ധാന്തിക പോയിന്റിന് ശേഷം ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കും.

കോർഡിനേറ്റുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം നിർണ്ണയിക്കുന്നു

ഗുണിക്കുന്ന വെക്‌ടറുകൾ അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയാൽ അതേ സംഖ്യ ലഭിക്കും.

നിർവ്വചനം 3.വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് പ്രോഡക്റ്റ്, അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായ സംഖ്യയാണ്.

ഉപരിതലത്തിൽ

രണ്ട് വെക്‌ടറുകളും വിമാനത്തിലുള്ളതും അവയുടെ രണ്ടിനാൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടാൽ കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ

അപ്പോൾ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

.

ഉദാഹരണം 2.വെക്‌ടറിന് സമാന്തരമായ ഒരു അക്ഷത്തിൽ വെക്‌ടറിന്റെ പ്രൊജക്ഷന്റെ സംഖ്യാ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർത്ത് ഞങ്ങൾ അവയുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തെ വെക്റ്ററിന്റെ നീളത്തിന്റെയും വെക്റ്ററിന് സമാന്തരമായ അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷന്റെയും ഉൽപ്പന്നവുമായി തുല്യമാക്കേണ്ടതുണ്ട് (ഫോർമുലയ്ക്ക് അനുസൃതമായി).

വെക്‌ടറിന്റെ ദൈർഘ്യം അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗമൂലമായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

.

ഞങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യം വരച്ച് അത് പരിഹരിക്കുന്നു:

ഉത്തരം. ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യാ മൂല്യം മൈനസ് 8 ആണ്.

ബഹിരാകാശത്ത്

രണ്ട് വെക്‌ടറുകളും ബഹിരാകാശത്തും അവയുടെ മൂന്ന് കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർവചിച്ചാൽ

,

അപ്പോൾ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവും അവയുടെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഇതിനകം മൂന്ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ:

.

പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ പാഴ്‌സ് ചെയ്തതിന് ശേഷമാണ്. കാരണം ടാസ്ക്കിൽ ഗുണിച്ച വെക്റ്ററുകൾ ഏത് കോണാണ് രൂപപ്പെടുന്നത് എന്ന് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

വെക്റ്റർ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്ന സവിശേഷതകൾ

ബീജഗണിത ഗുണങ്ങൾ

1. (സ്ഥാനചലന സ്വത്ത്: വെക്റ്ററുകളുടെ സ്വാപ്പിംഗ് ഗുണിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് അവയുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അളവ് മാറില്ല).

2. (മൾട്ടിപ്ലയർ കോമ്പിനേറ്ററി പ്രോപ്പർട്ടി: ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ ഡോട്ട് പ്രോഡക്‌ട് ചില ഘടകത്താൽ ഗുണിച്ചാൽ മറ്റൊരു വെക്‌ടറും അതേ ഘടകത്താൽ ഗുണിച്ചാൽ ഈ വെക്‌ടറുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.

3. (വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുകയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിതരണ സ്വത്ത്: മൂന്നാമത്തെ വെക്‌ടർ മുഖേനയുള്ള രണ്ട് വെക്‌ടറുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡോട്ട് പ്രോഡക്‌ട് ആദ്യത്തെ വെക്‌ടറിന്റെ മൂന്നാം വെക്‌ടറിന്റെയും രണ്ടാമത്തെ വെക്‌ടറിന്റെ മൂന്നാമത്തെ വെക്‌ടറിന്റെയും ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്).

4. (വെക്റ്ററിന്റെ സ്കെയിലർ ചതുരം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്), പൂജ്യമല്ലാത്ത വെക്‌ടറാണെങ്കിൽ, പൂജ്യം വെക്‌റ്റർ ആണെങ്കിൽ.

ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങൾ

പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിർവചനങ്ങളിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിന്റെ ആശയം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം സ്പർശിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ ആശയം വ്യക്തമാക്കേണ്ട സമയമാണിത്.

മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ, രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ദൃശ്യമാണ്, അവ ഒരു പൊതു ഉത്ഭവത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. ആദ്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട കാര്യം: ഈ വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിൽ രണ്ട് കോണുകൾ ഉണ്ട് - φ 1 ഒപ്പം φ 2 ... വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനങ്ങളിലും ഗുണങ്ങളിലും ഈ കോണുകളിൽ ഏതാണ് ദൃശ്യമാകുന്നത്? പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 2 ആണ് π അതിനാൽ ഈ കോണുകളുടെ കോസൈനുകൾ തുല്യമാണ്. ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ നിർവചനത്തിൽ ഒരു കോണിന്റെ കോസൈൻ മാത്രമേ ഉൾപ്പെടുന്നുള്ളൂ, അതിന്റെ പ്രകടനത്തിന്റെ മൂല്യമല്ല. എന്നാൽ പ്രോപ്പർട്ടികളിൽ ഒരു മൂലയെ മാത്രമേ പരിഗണിക്കൂ. ഇത് മറികടക്കാത്ത രണ്ട് കോണുകളിൽ ഒന്നാണ് π , അതായത്, 180 ഡിഗ്രി. ചിത്രത്തിൽ, ഈ ആംഗിൾ ഇതായി നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു φ 1 .

1. രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ വിളിക്കുന്നു ഓർത്തോഗണൽ ഒപ്പം ഈ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ ഒരു നേർരേഖയാണ് (90 ഡിഗ്രി അല്ലെങ്കിൽ π / 2) എങ്കിൽ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ് :

.

വെക്റ്റർ ബീജഗണിതത്തിലെ ഓർത്തോഗണാലിറ്റി എന്നത് രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ലംബതയാണ്.

2. പൂജ്യമല്ലാത്ത രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നു മൂർച്ചയുള്ള മൂല (0 മുതൽ 90 ഡിഗ്രി വരെ, അല്ലെങ്കിൽ, അത് സമാനമാണ് - കുറവ് π ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആണ് .

3. രണ്ട് നോൺ സീറോ വെക്‌ടറുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നു മങ്ങിയ കോൺ (90 മുതൽ 180 ഡിഗ്രി വരെ, അല്ലെങ്കിൽ, അത് സമാനമാണ് - കൂടുതൽ π / 2) എങ്കിൽ മാത്രം അവരുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആണ് .

ഉദാഹരണം 3.വെക്റ്ററുകൾ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

.

നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകളുടെ എല്ലാ ജോഡികളുടെയും ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണക്കാക്കുക. ഈ ജോഡി വെക്‌ടറുകൾ ഏത് ആംഗിൾ (അക്യൂട്ട്, സ്‌ട്രെയ്‌റ്റ്, ഒബ്‌റ്റസ്) ഉണ്ടാക്കുന്നു?

പരിഹാരം. അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർത്ത് ഞങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടും.

ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്‌ടറുകൾ ഒരു മങ്ങിയ കോണായി മാറുന്നു.

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു നിശിത കോണായി മാറുന്നു.

നമുക്ക് പൂജ്യം ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു വലത് കോണായി മാറുന്നു.

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു നിശിത കോണായി മാറുന്നു.

.

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ വെക്റ്ററുകൾ ഒരു നിശിത കോണായി മാറുന്നു.

സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കായി, നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനും .

ഉദാഹരണം 4.രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും നൽകിയിരിക്കുന്നു:

.

സംഖ്യയുടെ ഏത് മൂല്യത്തിലാണ് വെക്റ്ററുകൾ എന്നും ഓർത്തോഗണൽ (ലംബമായി) എന്നും നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം. ബഹുപദങ്ങളെ ഗുണിക്കുന്ന നിയമമനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളെ ഗുണിക്കുന്നു:

ഇനി നമുക്ക് ഓരോ പദവും കണക്കാക്കാം:

.

നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം രചിക്കാം (ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ തുല്യത പൂജ്യത്തിന്), സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

ഉത്തരം: ഞങ്ങൾക്ക് അർത്ഥം ലഭിച്ചു λ = 1.8, അതിന് വെക്റ്ററുകൾ ഓർത്തോഗണൽ ആണ്.

ഉദാഹരണം 5.വെക്റ്റർ ആണെന്ന് തെളിയിക്കുക വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ (ലംബമായി).

പരിഹാരം. ഓർത്തോഗണാലിറ്റി പരിശോധിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളും പോളിനോമിയലുകളും ആയി ഗുണിക്കുന്നു, പകരം പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് പകരമായി:

.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആദ്യ പോളിനോമിയലിന്റെ ഓരോ പദവും (ടേം) രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഓരോ പദവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്:

.

തൽഫലമായി, അംശം ചെലവിൽ കുറയുന്നു. ഫലം ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്:

ഉപസംഹാരം: ഗുണനത്തിന്റെ ഫലമായി, നമുക്ക് പൂജ്യം ലഭിച്ചു, അതിനാൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ ഓർത്തോഗണാലിറ്റി (ലംബത) തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

പ്രശ്നം സ്വയം പരിഹരിക്കുക, തുടർന്ന് പരിഹാരം കാണുക

ഉദാഹരണം 6.വെക്‌ടറുകളുടെ നീളവും, ഈ വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ π /4. ഏത് മൂല്യത്തിലാണ് നിർണ്ണയിക്കുക μ വെക്‌ടറുകളും പരസ്പരം ലംബവുമാണ്.

സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കായി, നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനും .

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെയും എൻ-ഡൈമൻഷണൽ വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെയും മാട്രിക്സ് പ്രതിനിധാനം

മെട്രിക്സുകളുടെ രൂപത്തിൽ ഗുണിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് വെക്റ്ററുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് വ്യക്തതയ്ക്ക് ചിലപ്പോൾ പ്രയോജനകരമാണ്. അപ്പോൾ ആദ്യത്തെ വെക്റ്റർ ഒരു വരി മാട്രിക്സ് ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് - ഒരു കോളം മാട്രിക്സ് ആയി:

അപ്പോൾ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ആയിരിക്കും ഈ മെട്രിക്സുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം :

ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ച രീതിയിലൂടെ ലഭിച്ച ഫലം തന്നെയാണ് ഫലം. ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണ് ലഭിക്കുന്നത്, കോളം മാട്രിക്സിന്റെ വരി മാട്രിക്സിന്റെ ഗുണനവും ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണ്.

അമൂർത്തമായ എൻ-ഡൈമൻഷണൽ വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തെ മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. അതിനാൽ, രണ്ട് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം നാല് മൂലകങ്ങളുള്ള ഒരു വരി മാട്രിക്സിന്റെയും നാല് ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു കോളം മാട്രിക്സിന്റെയും ഉൽപ്പന്നമായിരിക്കും, രണ്ട് പഞ്ചമാന വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം അഞ്ച് ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു വരി മാട്രിക്സിന്റെ ഉൽപ്പന്നമായിരിക്കും. അഞ്ച് ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു കോളം മാട്രിക്സ്, തുടങ്ങിയവ.

ഉദാഹരണം 7.വെക്റ്ററുകളുടെ ജോഡികളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക

,

മാട്രിക്സ് പ്രാതിനിധ്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പരിഹാരം. വെക്റ്ററുകളുടെ ആദ്യ ജോടി. ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ വെക്‌ടറിനെ ഒരു വരി മാട്രിക്‌സ് ആയും രണ്ടാമത്തേത് ഒരു കോളം മാട്രിക്‌സ് ആയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് പ്രോഡക്റ്റ് കോളം മാട്രിക്സ് വഴിയുള്ള വരി മാട്രിക്സിന്റെ ഗുണനമായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ജോഡിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുകയും കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഉദാഹരണം 2-ൽ നിന്നുള്ള ഒരേ ജോഡികളുടെ ഫലങ്ങൾ സമാനമാണ്.

രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ

രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം വളരെ മനോഹരവും സംക്ഷിപ്തവുമാണ്.

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ

(1)

കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ, യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ ആദ്യം കണ്ടെത്തുന്നു. നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം:

മുകളിലുള്ള ഫോർമുലയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നതിന്റെ അർത്ഥം: ഒരു വെക്റ്ററിന്റെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം അതിന്റെ നീളത്തിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്... പൂജ്യത്തിന്റെ കോസൈൻ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ ഓരോ ഓർട്ടിന്റെയും ചതുരം ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കും:

വെക്റ്ററുകൾ മുതൽ

ജോടിയായി ലംബമാണ്, അപ്പോൾ യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ ജോഡിവൈസ് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും:

ഇനി നമുക്ക് വെക്റ്റർ പോളിനോമിയലുകളുടെ ഗുണനം ചെയ്യാം:

യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളുടെ അനുബന്ധ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ തുല്യതയുടെ വലതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഉദാഹരണം 8.മൂന്ന് പോയിന്റ് നൽകി എ(1;1;1), ബി(2;2;1), സി(2;1;2).

മൂല കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക:

,

.

ഒരു കോണിന്റെ കോസൈനിനുള്ള ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അതിനാൽ, .

സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കായി, നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനും .

ഉദാഹരണം 9.രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു

അവയ്ക്കിടയിലുള്ള തുക, വ്യത്യാസം, നീളം, ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം, ആംഗിൾ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

2.വ്യത്യാസം

പ്രഭാഷണം: വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾ; വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം; വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ

വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾ

അതിനാൽ, നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, വെക്‌ടറുകൾ ഒരു ഡയറക്ട് സെഗ്‌മെന്റാണ്, അതിന് അതിന്റേതായ തുടക്കവും അവസാനവുമുണ്ട്. തുടക്കവും അവസാനവും ചില പോയിന്റുകളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഒരു വിമാനത്തിലോ ബഹിരാകാശത്തിലോ അവയ്ക്ക് അവരുടേതായ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്.

ഓരോ പോയിന്റിനും അതിന്റേതായ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് മുഴുവൻ വെക്റ്ററിന്റെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ ലഭിക്കും.

നമുക്ക് ചില വെക്റ്റർ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക, അതിൽ വെക്റ്ററിന്റെ തുടക്കത്തിലും അവസാനത്തിലും താഴെപ്പറയുന്ന പദവികളും കോർഡിനേറ്റുകളും ഉണ്ട്: A (A x; Ay), B (B x; By)

ഈ വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, വെക്റ്ററിന്റെ അവസാനത്തെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് തുടക്കത്തിലെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകൾ കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

ബഹിരാകാശത്ത് വെക്റ്ററിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം

ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം നിർവചിക്കാൻ രണ്ട് വഴികളുണ്ട്:

• ജ്യാമിതീയ വഴി. അദ്ദേഹത്തിന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം ഈ മൊഡ്യൂളുകളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ.

• ബീജഗണിത അർത്ഥം. ബീജഗണിതത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ, രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം ഒരു നിശ്ചിത അളവാണ്, അത് അനുബന്ധ വെക്റ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഫലമായി ലഭിക്കുന്നതാണ്.

വെക്റ്ററുകൾ ബഹിരാകാശത്ത് നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ സമാനമായ ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കണം:

പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

• നിങ്ങൾ സമാനമായ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളെ സ്കെയിലറായി ഗുണിച്ചാൽ, അവയുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കില്ല:

• സമാനമായ രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ വെക്റ്ററുകൾ പൂജ്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു:

• ഒരു വെക്റ്റർ സ്വയം ഗുണിച്ചാൽ, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം അതിന്റെ മോഡുലസിന്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും:

• സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന് ഒരു ആശയവിനിമയ പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ട്, അതായത്, വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രമമാറ്റത്തിൽ നിന്ന് സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം മാറില്ല:

• വെക്‌ടറുകൾ പരസ്പരം ലംബമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ നോൺ-സീറോ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാകൂ:

• വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്, വെക്റ്ററുകളിൽ ഒന്നിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ സ്ഥാനചലന നിയമം സാധുവാണ്:

• ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഗുണനത്തിന്റെ വിതരണ ഗുണവും ഉപയോഗിക്കാം:

വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ