ഒരു സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം aഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം പക്ഷേ(a).

ഈ നിർവചനം മനസിലാക്കാൻ, വേരിയബിളിന് പകരമായി aഏതെങ്കിലും നമ്പർ, ഉദാഹരണത്തിന് 3 എന്നിട്ട് അത് വീണ്ടും വായിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക:

ഒരു സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം 3 ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം പക്ഷേ(3 ).

മൊഡ്യൂൾ ഒരു സാധാരണ ദൂരത്തേക്കാൾ കൂടുതലല്ലെന്ന് വ്യക്തമാകും. ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് പോയിന്റ് എയിലേക്കുള്ള ദൂരം കാണാൻ ശ്രമിക്കാം ( 3 )

ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് പോയിന്റ് എയിലേക്കുള്ള ദൂരം ( 3 ) 3 ന് തുല്യമാണ് (മൂന്ന് യൂണിറ്റുകൾ അല്ലെങ്കിൽ മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ).

ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് രണ്ട് ലംബ വരികളാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

നമ്പർ 3 ന്റെ മൊഡ്യൂൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: | 3 |

4 എന്ന നമ്പറിന്റെ മൊഡ്യൂൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: | 4 |

5 എന്ന നമ്പറിന്റെ മൊഡ്യൂൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: | 5 |

ഞങ്ങൾ നമ്പർ 3 ന്റെ മോഡുലസ് തിരയുകയും അത് 3 ന് തുല്യമാണെന്ന് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്തു. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ഇത് ഇപ്രകാരമാണ്: "മൂന്നാമത്തെ നമ്പറിന്റെ മോഡുലസ് മൂന്ന്"

ഇപ്പോൾ -3 എന്ന നമ്പറിന്റെ മോഡുലസ് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം. വീണ്ടും, നിർവചനത്തിലേക്ക് പോയി അതിൽ -3 നമ്പർ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഒരു ഡോട്ടിന് പകരം മാത്രം എഒരു പുതിയ പോയിന്റ് ഉപയോഗിക്കുക ബി... പോയിന്റ് എആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ഉപയോഗിച്ചു.

മൊഡ്യൂളോ നമ്പറുകൾ - 3 ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം ബി(—3 ).

ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള ദൂരം നെഗറ്റീവ് ആകരുത്. അതിനാൽ, ഏതെങ്കിലും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ്, ഒരു അകലം ആയതിനാൽ നെഗറ്റീവ് ആകില്ല. -3 എന്ന മോഡുലസ് നമ്പർ 3 ആയിരിക്കും. ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് പോയിന്റ് ബി (-3) ലേക്കുള്ള ദൂരവും മൂന്ന് യൂണിറ്റുകളാണ്:

ഇത് ഇപ്രകാരമാണ്: "മൈനസ് മൂന്നാമത്തെ മോഡുലസ് മൂന്നിന് തുല്യമാണ്"

0 എന്ന സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം 0 ആണ്, കാരണം കോർഡിനേറ്റ് 0 ഉള്ള പോയിന്റ് ഉറവിടവുമായി യോജിക്കുന്നു, അതായത്. ഉറവിടത്തിൽ നിന്ന് പോയിന്റിലേക്കുള്ള ദൂരം O (0)പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

"സീറോ മോഡുലസ് പൂജ്യമാണ്"

ഞങ്ങൾ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

• ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് നെഗറ്റീവ് ആകരുത്;
• ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്കും പൂജ്യത്തിനും, മോഡുലസ് സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്ക് വിപരീത സംഖ്യ;
• എതിർ അക്കങ്ങൾക്ക് തുല്യ മൊഡ്യൂളുകൾ ഉണ്ട്.

വിപരീത നമ്പറുകൾ

ചിഹ്നങ്ങളിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുള്ള അക്കങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു എതിർവശത്ത്... ഉദാഹരണത്തിന്, −2, 2 അക്കങ്ങൾ വിപരീതമാണ്. അവ അടയാളങ്ങളിൽ മാത്രം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. −2 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ട്, 2 ന് ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നമുണ്ട്, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ അത് കാണുന്നില്ല, കാരണം പ്ലസ്, ഞങ്ങൾ നേരത്തെ പറഞ്ഞതുപോലെ പരമ്പരാഗതമായി എഴുതിയിട്ടില്ല.

വിപരീത സംഖ്യകളുടെ കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

എതിർ അക്കങ്ങൾക്ക് തുല്യ മൊഡ്യൂളുകൾ ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, −2, 2 എന്നിവയ്‌ക്കുള്ള മൊഡ്യൂളുകൾ കണ്ടെത്തുക

ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് പോയിന്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരം കണക്കുകൾ കാണിക്കുന്നു A (−2)ഒപ്പം ബി (2)രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് പാഠം ഇഷ്ടപ്പെട്ടോ?
ഞങ്ങളുടെ പുതിയ Vkontakte ഗ്രൂപ്പിൽ ചേരുക, പുതിയ പാഠങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിയിപ്പുകൾ സ്വീകരിക്കാൻ ആരംഭിക്കുക

ഞങ്ങൾ കണക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നില്ലഅവളുടെ തൊഴിൽ, അവൾ ഞങ്ങളെ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.

റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ യു.ഐ. മണിൻ

മൊഡ്യൂളുകളുമായുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ

സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഏറ്റവും പ്രയാസമുള്ളത് മോഡുലസ് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങളാണ്. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, മൊഡ്യൂളിന്റെ നിർവചനവും അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകളും നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. സ്വാഭാവികമായും, ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കഴിവുകൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഉണ്ടായിരിക്കണം.

അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും സവിശേഷതകളും

ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ (കേവല മൂല്യം)സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഒരു മൊഡ്യൂളിന്റെ ലളിതമായ സവിശേഷതകളിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന അനുപാതങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു:

കുറിപ്പ്, അവസാന രണ്ട് ഗുണവിശേഷതകൾ ഏതെങ്കിലും ഇരട്ട ഡിഗ്രിക്ക് സാധുതയുള്ളതാണ്.

കൂടാതെ, എങ്കിൽ, എവിടെ, പിന്നെ

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ മൊഡ്യൂൾ പ്രോപ്പർട്ടികൾ, മൊഡ്യൂളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് ഫലപ്രദമായി ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും, ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് രൂപപ്പെടുത്തിയവയാണ്:

സിദ്ധാന്തം 1.ഏതെങ്കിലും വിശകലന പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കായിഒപ്പം അസമത്വം ശരിയാണ്

സിദ്ധാന്തം 2.സമത്വം അസമത്വത്തിന് തുല്യമാണ്.

സിദ്ധാന്തം 3.സമത്വം അസമത്വത്തിന് തുല്യമാണ്.

"സമവാക്യങ്ങൾ" എന്ന വിഷയത്തിൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം, മൊഡ്യൂൾ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ".

മൊഡ്യൂളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഒരു മൊഡ്യൂളിനൊപ്പം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കൂൾ ഗണിതത്തിലെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ രീതിയാണ് രീതി, മൊഡ്യൂളുകളുടെ വിപുലീകരണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി. ഈ രീതി വൈവിധ്യമാർന്നതാണ്, എന്നിരുന്നാലും, പൊതുവേ, അതിന്റെ ആപ്ലിക്കേഷൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. ഇക്കാര്യത്തിൽ, വിദ്യാർത്ഥികൾ മറ്റുള്ളവരെക്കുറിച്ച് ബോധവാന്മാരായിരിക്കണം, അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കൂടുതൽ ഫലപ്രദമായ രീതികളും സാങ്കേതികതകളും. പ്രത്യേകിച്ച്, സിദ്ധാന്തങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നതിൽ നിങ്ങൾക്ക് കഴിവുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം, ഈ ലേഖനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. (ഒന്ന്)

തീരുമാനം. സമവാക്യം (1) "ക്ലാസിക്കൽ" രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കും - മൊഡ്യൂളുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്ന രീതി. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ നമ്പർ അക്ഷം വിഭജിച്ചുപോയിന്റുകളും മൂന്ന് കേസുകൾ പരിഗണിക്കുക.

1. എങ്കിൽ ,,,, സമവാക്യം (1) എന്നിവ രൂപം കൊള്ളുന്നു. അതിനാൽ ഇത് പിന്തുടരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഇവിടെ, കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് അല്ല (1).

2. എങ്കിൽ, (1) സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുംഅഥവാ .

അപ്പോൾ മുതൽ സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് (1).

3. എങ്കിൽ, സമവാക്യം (1) രൂപം കൊള്ളുന്നുഅഥവാ . അതല്ല.

ഉത്തരം:,.

ഒരു മൊഡ്യൂളിനൊപ്പം തുടർന്നുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കാര്യക്ഷമത വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മൊഡ്യൂളുകളുടെ സവിശേഷതകൾ സജീവമായി ഉപയോഗിക്കും.

ഉദാഹരണം 2.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

തീരുമാനം.മുതൽ, സമവാക്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു... ഇക്കാര്യത്തിൽ,,, സമവാക്യം രൂപം കൊള്ളുന്നു... ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും... പക്ഷേ , അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

ഉത്തരം: വേരുകളൊന്നുമില്ല.

ഉദാഹരണം 3.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

തീരുമാനം.അപ്പോൾ മുതൽ. എങ്കിൽ, സമവാക്യം രൂപം കൊള്ളുന്നു.

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണം 4.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

തീരുമാനം.സമവാക്യം ഞങ്ങൾ തുല്യ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതുന്നു. (2)

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം തരത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളുടേതാണ്.

സിദ്ധാന്തം 2 കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, സമവാക്യം (2) ഒരു അസമത്വത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് വാദിക്കാം. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഉത്തരം :.

ഉദാഹരണം 5.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

തീരുമാനം. ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്... അതുകൊണ്ടു , സിദ്ധാന്തം 3 അനുസരിച്ച്, ഇവിടെ നമുക്ക് അസമത്വമുണ്ട്അഥവാ .

ഉദാഹരണം 6.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

തീരുമാനം.അങ്ങനെ വിചാരിക്കൂ. പോലെ, തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപമെടുക്കുന്നു, (3)

എവിടെ ... സമവാക്യത്തിന് (3) ഒരൊറ്റ പോസിറ്റീവ് റൂട്ട് ഉള്ളതിനാൽഎന്നിട്ട് ... അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് വേരുകൾ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു:ഒപ്പം.

ഉദാഹരണം 7. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. (4)

തീരുമാനം. സമവാക്യം മുതൽരണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ സംയോജനത്തിന് തുല്യമാണ്:ഒപ്പം, (4) സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് കേസുകൾ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

1. എങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ.

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും, ഒപ്പം.

2. എങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ.

അപ്പോൾ മുതൽ.

ഉത്തരം: ,,,.

ഉദാഹരണം 8.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക . (5)

തീരുമാനം.മുതൽ, പിന്നെ. ഇതിൽ നിന്നും ഇക്വയിൽ നിന്നും (5) അത് പിന്തുടരുന്നു, അതായത്. ഇവിടെ നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ഉണ്ട്

എന്നിരുന്നാലും, ഈ സമവാക്യങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല.

ഉത്തരം: വേരുകളൊന്നുമില്ല.

ഉദാഹരണം 9. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. (6)

തീരുമാനം.ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ (6) സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും

അഥവാ . (7)

സമവാക്യത്തിന് (7) രൂപം ഉള്ളതിനാൽ, ഈ സമവാക്യം ഒരു അസമത്വത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും. മുതൽ, അല്ലെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ.

ഉത്തരം :.

ഉദാഹരണം 10.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. (8)

തീരുമാനം.സിദ്ധാന്തം 1 അനുസരിച്ച് നമുക്ക് എഴുതാം

(9)

സമവാക്യം (8) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് അസമത്വങ്ങളും (9) തുല്യതയായി മാറുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു, അതായത്. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം നിലനിർത്തുന്നു

എന്നിരുന്നാലും, സിദ്ധാന്തം 3 അനുസരിച്ച്, മുകളിലുള്ള സമവാക്യ സംവിധാനം അസമത്വ വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് തുല്യമാണ്

(10)

അസമത്വങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു (10), ഞങ്ങൾ നേടുന്നു. അസമത്വങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം (10) സമവാക്യത്തിന് (8) തുല്യമായതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്.

ഉത്തരം :.

ഉദാഹരണം 11. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. (11)

തീരുമാനം.സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് സമത്വം പിന്തുടരട്ടെ (11).

അതിനാൽ അത് പിന്തുടരുന്നു. അങ്ങനെ, ഇവിടെ നമുക്ക് അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമുണ്ട്

അസമത്വത്തിന്റെ ഈ സംവിധാനത്തിനുള്ള പരിഹാരംഒപ്പം.

ഉത്തരം:,.

ഉദാഹരണം 12.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. (12)

തീരുമാനം. മൊഡ്യൂളുകളുടെ തുടർച്ചയായ വിപുലീകരണ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം (12) പരിഹരിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിരവധി കേസുകൾ പരിഗണിക്കുക.

1. എങ്കിൽ.

1.1. എങ്കിൽ, പിന്നെ ,.

1.2. എങ്കിൽ. പക്ഷേ , അതിനാൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന് (12) വേരുകളില്ല.

2. എങ്കിൽ.

2.1. എങ്കിൽ, പിന്നെ ,.

2.2. എങ്കിൽ, പിന്നെ.

ഉത്തരം: ,,,,.

ഉദാഹരണം 13.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. (13)

തീരുമാനം.സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത് വശത്ത് (13) നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതിനാൽ, പിന്നെ. ഇക്കാര്യത്തിൽ, സമവാക്യം (13)

ഫോം എടുക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ.

സമവാക്യം അറിയപ്പെടുന്നു രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ സംയോജനത്തിന് തുല്യമാണ്ഒപ്പം, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത് തീരുമാനിക്കുന്നത്,. പോലെ, സമവാക്യത്തിന് (13) ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.

ഉത്തരം :.

ഉദാഹരണം 14. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക (14)

തീരുമാനം.മുതൽ, പിന്നെ. അതിനാൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് (14) നമുക്ക് നാല് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു:

സമവാക്യങ്ങളുടെ മുകളിലുള്ള സിസ്റ്റങ്ങളുടെ വേരുകൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകളാണ് (14).

ഉത്തരം: ,,,,,,,,.

ഉദാഹരണം 15. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക (15)

തീരുമാനം.അപ്പോൾ മുതൽ. ഇക്കാര്യത്തിൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് (15), ഞങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ നേടുന്നു

ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ, കൂടാതെ, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യ സമ്പ്രദായത്തിൽ നിന്നും നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു.

ഉത്തരം: ,,,.

ഉദാഹരണം 16. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക (16)

തീരുമാനം.സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (16) അത് പിന്തുടരുന്നു.

അപ്പോൾ മുതൽ ... സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. എന്നപോലെതുടർന്ന്, സമവാക്യം രൂപം കൊള്ളുന്നു, , അഥവാ .

നിങ്ങൾ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽസിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് (16), പിന്നെ, അല്ലെങ്കിൽ.

ഉത്തരം:,.

പ്രശ്ന പരിഹാര രീതികളെക്കുറിച്ച് ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തിനായി, സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടത്, മൊഡ്യൂൾ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ശുപാർശിത വായനയുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ട്യൂട്ടോറിയലുകൾ ശുപാർശ ചെയ്യാൻ കഴിയും.

1. സാങ്കേതിക കോളേജുകളിലേക്കുള്ള അപേക്ഷകർക്കുള്ള ഗണിതത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ശേഖരണം / എഡ്. എം.ഐ. സ്കനവി. - എം .: സമാധാനവും വിദ്യാഭ്യാസവും, 2013 .-- 608 പി.

2. സുപ്രൺ വി.പി. ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള മാത്തമാറ്റിക്സ്: വർദ്ധിച്ച സങ്കീർണ്ണതയുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ. - എം .: സിഡി "ലിബ്രോകോം" / യുആർ‌എസ്എസ്, 2017 .-- 200 പി.

3. സുപ്രൺ വി.പി. ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള മാത്തമാറ്റിക്സ്: നിലവാരമില്ലാത്ത പ്രശ്ന പരിഹാര രീതികൾ. - എം .: സിഡി "ലിബ്രോകോം" / യുആർ‌എസ്എസ്, 2017 .-- 296 പി.

ഇപ്പോഴും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടോ?

ഒരു അദ്ധ്യാപകനിൽ നിന്ന് സഹായം ലഭിക്കാൻ - രജിസ്റ്റർ ചെയ്യുക.

സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയലിന്റെ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുന്നതിലൂടെ, ഉറവിടത്തിലേക്ക് ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.

മോഡുലസ് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക എന്നതാണ് വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിഷയങ്ങളിലൊന്ന്. ഒരു തുടക്കത്തിനായി ഇത് കണ്ടെത്താം, ഇത് ഇതുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നത് എന്താണ്? ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ മിക്ക കുട്ടികളും അണ്ടിപ്പരിപ്പ് പോലെ ക്ലിക്കുചെയ്യുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്, ഒരു മൊഡ്യൂൾ എന്ന സങ്കീർണ്ണമായ ആശയത്തിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെ, ഇതിന് വളരെയധികം പ്രശ്‌നങ്ങളുണ്ട്?

എന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഈ പ്രതിസന്ധികളെല്ലാം ഒരു മോഡുലസുമായി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് വ്യക്തമായി രൂപപ്പെടുത്തിയ നിയമങ്ങളുടെ അഭാവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, വിവേചനപരമായ സൂത്രവാക്യം ആദ്യം പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്നും തുടർന്ന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം വിദ്യാർത്ഥിക്ക് ഉറപ്പായും അറിയാം. എന്നാൽ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു മൊഡ്യൂൾ ഉണ്ടെങ്കിലോ? മോഡുലസ് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു അജ്ഞാതം അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ കേസിന് ആവശ്യമായ പ്രവർത്തന പദ്ധതി വ്യക്തമായി വിവരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും. ഓരോ കേസിനും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ.

എന്നാൽ ആദ്യം, നമുക്ക് ഓർമിക്കാം മൊഡ്യൂൾ നിർവചനം... അതിനാൽ, സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് a if ഈ സംഖ്യയെ തന്നെ വിളിക്കുന്നു aനോൺ-നെഗറ്റീവ് കൂടാതെ -എനമ്പർ ആണെങ്കിൽ aപൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ഇതുപോലെ എഴുതാം:

| a | = a എങ്കിൽ ≥ 0 ഉം | a | ഉം = -a എങ്കിൽ< 0

മൊഡ്യൂളിന്റെ ജ്യാമിതീയ ബോധത്തെക്കുറിച്ച് പറയുമ്പോൾ, ഓരോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും സംഖ്യാ അക്ഷത്തിലെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ് - അതിന്റെ കെ ഏകോപിപ്പിക്കുക. അതിനാൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ് അല്ലെങ്കിൽ കേവല മൂല്യം ഈ പോയിന്റിൽ നിന്ന് സംഖ്യാ അക്ഷത്തിന്റെ ഉത്ഭവത്തിലേക്കുള്ള ദൂരമാണ്. ദൂരം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായി വ്യക്തമാക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഏതെങ്കിലും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. വഴിയിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ പോലും, പല വിദ്യാർത്ഥികളും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാൻ തുടങ്ങുന്നു. ഏത് നമ്പറും മൊഡ്യൂളിൽ ആകാം, പക്ഷേ മൊഡ്യൂൾ പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്റെ ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നേരിട്ട് പോകാം.

1. | X | എന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക = c, ഇവിടെ c ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്. മോഡുലസ് നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനാകും.

എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെയും ഞങ്ങൾ മൂന്ന് ഗ്രൂപ്പുകളായി വിഭജിക്കുന്നു: പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുത്, പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവുള്ളവ, മൂന്നാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ് നമ്പർ 0 എന്നിവയാണ്. പരിഹാരം ഒരു ഡയഗ്രാമിന്റെ രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

(> C എങ്കിൽ c> 0

എങ്കിൽ | x | = c, തുടർന്ന് x = (0, c = 0 ആണെങ്കിൽ

(വേരുകളില്ലെങ്കിൽ< 0

1) | x | = 5, കാരണം 5> 0, തുടർന്ന് x = ± 5;

2) | x | = -5, കാരണം -ഫൈവ്< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | = 0, തുടർന്ന് x = 0.

2. ഫോമിന്റെ സമവാക്യം | f (x) | = b, ഇവിടെ b> 0. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, മോഡുലസിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഞങ്ങൾ ഇത് ഇതുപോലെ ചെയ്യുന്നു: f (x) = b അല്ലെങ്കിൽ f (x) = -b. ഇപ്പോൾ ലഭിച്ച ഓരോ സമവാക്യങ്ങളും വെവ്വേറെ പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലാണെങ്കിൽ b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4, കാരണം 4> 0, പിന്നെ

x + 2 = 4 അല്ലെങ്കിൽ x + 2 = -4

2) | x 2 - 5 | = 11, കാരണം 11> 0, പിന്നെ

x 2 - 5 = 11 അല്ലെങ്കിൽ x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 വേരുകളില്ല

3) | x 2 - 5x | = -8, കാരണം -എയിറ്റ്< 0, то уравнение не имеет корней.

3. | F (x) | എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യം = g (x). മൊഡ്യൂളിന്റെ അർത്ഥത്തിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണെങ്കിൽ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകും, അതായത്. g (x) ≥ 0. അപ്പോൾ നമുക്ക് ഇവ ഉണ്ടാകും:

f (x) = g (x)അഥവാ f (x) = -g (x).

1) | 2x - 1 | = 5x - 10. 5x - 10 0 ആണെങ്കിൽ ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ടാകും. ഇതുപയോഗിച്ചാണ് അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ആരംഭിക്കുന്നത്.

1.O.D.Z. 5x - 10 0

2. പരിഹാരം:

2x - 1 = 5x - 10 അല്ലെങ്കിൽ 2x - 1 = - (5x - 10)

3. ഞങ്ങൾ ODZ നെ ഒന്നിപ്പിക്കുന്നു. പരിഹാരം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

റൂട്ട് x = 11/7 O.D.Z അനുസരിച്ച് പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, ഇത് 2 ൽ കുറവാണ്, x = 3 ഈ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

ഉത്തരം: x = 3

2) | x - 1 | = 1 - x 2.

1.O.D.Z. 1 - x 2 0. ഇടവേളകളുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഈ അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു:

(1 - x) (1 + x) 0

2. പരിഹാരം:

x - 1 = 1 - x 2 അല്ലെങ്കിൽ x - 1 = - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 അല്ലെങ്കിൽ x = 1 x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x = 1

3. ഞങ്ങൾ പരിഹാരവും ODZ ഉം സംയോജിപ്പിക്കുന്നു:

X = 1, x = 0 എന്നീ വേരുകൾ മാത്രമേ അനുയോജ്യമാകൂ.

ഉത്തരം: x = 0, x = 1.

4. ഫോമിന്റെ സമവാക്യം | f (x) | = | g (x) |. അത്തരമൊരു സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ് f (x) = g (x) അല്ലെങ്കിൽ f (x) = -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. ഈ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ടിന് തുല്യമാണ്:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 അല്ലെങ്കിൽ x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 അല്ലെങ്കിൽ x = 4 x = 2 അല്ലെങ്കിൽ x = 1

ഉത്തരം: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി (വേരിയബിൾ മാറ്റം) പരിഹരിച്ച സമവാക്യങ്ങൾ. ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കാൻ ഈ പരിഹാര രീതി എളുപ്പമാണ്. അതിനാൽ, ഒരു മോഡുലസുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നൽകട്ടെ:

x 2 - 6 | x | + 5 = 0. x 2 = | x | എന്ന മൊഡ്യൂളിന്റെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച് 2, അതിനാൽ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

| x | 2 - 6 | x | + 5 = 0. നമുക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം | x | = t ≥ 0, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഇവ ഉണ്ടാകും:

t 2 - 6t + 5 = 0. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ആ t = 1 അല്ലെങ്കിൽ t = 5 ലഭിക്കും. നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കലിലേക്ക് പോകാം:

| x | = 1 അല്ലെങ്കിൽ | x | = 5

x = ± 1 x = ± 5

ഉത്തരം: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

നമുക്ക് മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

x 2 + | x | - 2 = 0. x 2 = | x | എന്ന മൊഡ്യൂളിന്റെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച് 2, അതിനാൽ

| x | 2 + | x | - 2 = 0. നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം | x | = t ≥ 0, തുടർന്ന്:

t 2 + t - 2 = 0. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് t = -2 അല്ലെങ്കിൽ t = 1 ലഭിക്കും. നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം:

| x | = -2 അല്ലെങ്കിൽ | x | = 1

വേരുകളൊന്നുമില്ല x = ± 1

ഉത്തരം: x = -1, x = 1.

6. മറ്റൊരു തരം സമവാക്യങ്ങൾ "സങ്കീർണ്ണമായ" മോഡുലസുള്ള സമവാക്യങ്ങളാണ്. ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ “ഒരു മൊഡ്യൂളിലെ മൊഡ്യൂളുകൾ” ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. മൊഡ്യൂളിന്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

1) | 3 - | x || = 4. രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിലെ അതേ രീതിയിൽ ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകും. കാരണം 4> 0, അപ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും:

3 - | x | = 4 അല്ലെങ്കിൽ 3 - | x | = -4.

ഇപ്പോൾ ഓരോ സമവാക്യത്തിലും x മോഡുലസ് x, പിന്നെ | x | = -1 അല്ലെങ്കിൽ | x | = 7.

ലഭിച്ച ഓരോ സമവാക്യങ്ങളും ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ വേരുകളൊന്നുമില്ല, കാരണം -ഒരു< 0, а во втором x = ±7.

X = -7, x = 7 എന്നാണ് ഉത്തരം.

2) | 3 + | x + 1 || = 5. ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം അതേ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കുന്നു:

3 + | x + 1 | = 5 അല്ലെങ്കിൽ 3 + | x + 1 | = -5

| x + 1 | = 2 | x + 1 | = -8

x + 1 = 2 അല്ലെങ്കിൽ x + 1 = -2. വേരുകളില്ല.

ഉത്തരം: x = -3, x = 1.

ഒരു മോഡുലസ് ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഒരു സാർവത്രിക രീതിയും ഉണ്ട്. ഇതാണ് സ്പേസിംഗ് രീതി. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ അത് പിന്നീട് പരിഗണിക്കും.

ബ്ലോഗ് സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയലിന്റെ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുന്നതിലൂടെ, ഉറവിടത്തിലേക്ക് ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.

ഈ ഓൺലൈൻ ഗണിത കാൽക്കുലേറ്റർ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും മൊഡ്യൂളികളുമായുള്ള സമവാക്യം അല്ലെങ്കിൽ അസമത്വം പരിഹരിക്കുക... എന്നതിനായുള്ള പ്രോഗ്രാം മൊഡ്യൂളികളുമായുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും പരിഹാരങ്ങൾപ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നില്ല, അത് നൽകുന്നു വിശദീകരണങ്ങളോടെ വിശദമായ പരിഹാരം, അതായത്. ഫലം നേടുന്ന പ്രക്രിയ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു.

സെക്കൻഡറി സ്കൂളുകളിലെ മുതിർന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ടെസ്റ്റുകൾക്കും പരീക്ഷകൾക്കുമായി തയ്യാറെടുക്കുന്നതിന്, പരീക്ഷയ്ക്ക് മുമ്പുള്ള അറിവ് പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ഗണിതത്തിലും ബീജഗണിതത്തിലുമുള്ള നിരവധി പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരം നിയന്ത്രിക്കാൻ മാതാപിതാക്കൾക്ക് ഈ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗപ്രദമാകും. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു അദ്ധ്യാപകനെ നിയമിക്കുന്നതിനോ പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനോ വളരെ ചെലവേറിയതാകാമോ? അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ കണക്ക് അല്ലെങ്കിൽ ബീജഗണിത ഗൃഹപാഠം എത്രയും വേഗം പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിശദമായ പരിഹാരം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാമുകളും ഉപയോഗിക്കാം.

ഈ രീതിയിൽ, നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം അദ്ധ്യാപനം നടത്താനും കൂടാതെ / അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ഇളയ സഹോദരന്മാരെയും സഹോദരിമാരെയും പഠിപ്പിക്കാനും കഴിയും, അതേസമയം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന മേഖലയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം വർദ്ധിക്കുന്നു.

മൊഡ്യൂളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം അല്ലെങ്കിൽ അസമത്വം നൽകുക

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ ചില സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ലോഡുചെയ്തിട്ടില്ലെന്നും പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിച്ചേക്കില്ലെന്നും കണ്ടെത്തി.
ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങൾ AdBlock പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കാം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇത് പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കി പേജ് പുതുക്കുക.

കാരണം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ധാരാളം ആളുകൾ ഉണ്ട്, നിങ്ങളുടെ അഭ്യർത്ഥന ക്യൂവിലാണ്.
കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പരിഹാരം ചുവടെ ദൃശ്യമാകും.
കാത്തിരിക്കൂ സെക്കന്റ് ...

നിങ്ങളാണെങ്കിൽ പരിഹാരത്തിൽ ഒരു പിശക് ശ്രദ്ധിച്ചു, തുടർന്ന് ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഫീഡ്‌ബാക്ക് ഫോമിൽ നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം.
മറക്കരുത് ഏത് ചുമതലയാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകനിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുക, എന്ത് ഫീൽഡുകളിൽ പ്രവേശിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ, എമുലേറ്ററുകൾ:

ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം.

മൊഡ്യൂളുകളുമായുള്ള സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും

അടിസ്ഥാന സ്കൂളിന്റെ ബീജഗണിത കോഴ്സിൽ, മൊഡ്യൂളുകളുള്ള ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും നിങ്ങൾക്ക് നേരിടാം. അവ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, x (a xa | \) എന്നത് x, a എന്നീ പോയിന്റുകൾക്കിടയിലുള്ള സംഖ്യയിലെ ദൂരമാണ് എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ജ്യാമിതീയ രീതി പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും: \ (| xa | = \ rho (x; \; a ) \). ഉദാഹരണത്തിന്, equ (| x-3 | = 2 \) എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, പോയിന്റ് 3 ൽ നിന്ന് 2 അകലെയുള്ള നമ്പർ ലൈനിൽ നിങ്ങൾ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരം രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്: \ (x_1 = 1 \) ഒപ്പം \ (x_2 = 5 \) ...

അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു \ (| 2x + 7 |

എന്നാൽ മൊഡ്യൂളുകളുമായുള്ള സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കാനുള്ള പ്രധാന മാർഗം "നിർവചനം അനുസരിച്ച് മൊഡ്യൂളിന്റെ വിപുലീകരണം" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:
\ (a \ geq 0 \) ആണെങ്കിൽ \ (| a | = a \);
if (a ചട്ടം പോലെ, മൊഡ്യൂളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യം (അസമത്വം) മോഡുലസ് ചിഹ്നം അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത ഒരു കൂട്ടം സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് (അസമത്വം) ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

നിർദ്ദിഷ്ട നിർവചനത്തിന് പുറമേ, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:
1) \ (c> 0 \) ആണെങ്കിൽ, equ (| f (x) | = c \) എന്ന സമവാക്യം ഒരു കൂട്ടം സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്: \ (\ ഇടത് [\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) f (x ) = c \\ f (x) = - c \ end (അറേ) \ വലത്. \)
2) \ (c> 0 \) ആണെങ്കിൽ, അസമത്വം \ (| f (x) | 3) \ (c \ geq 0 \) ആണെങ്കിൽ, അസമത്വം \ (| f (x) |> c \) അസമത്വങ്ങളുടെ ഗണത്തിന് തുല്യമാണ്: \ (\ ഇടത് [\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) f (x) c \ end (അറേ) \ വലത്. \)
4) അസമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശവും \ (f (x) ആണെങ്കിൽ ഉദാഹരണം 1. equ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 = 0 \) എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

\ (X-1 \ geq 0 \) ആണെങ്കിൽ, \ (| x-1 | = x-1 \), നൽകിയ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കുന്നു
\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 = 0 \ വലതുവശത്തെ x ^ 2 + 2x -8 = 0 \).
\ (X-1 \ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 = 0 \ വലതുവശത്ത് x ^ 2 -2x -4 = 0 \) ആണെങ്കിൽ.
അതിനാൽ, സൂചിപ്പിച്ച രണ്ട് കേസുകളിലും തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യം പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കണം.
1) Let (x-1 \ geq 0 \), അതായത്. \ (x \ geq 1 \). \ (X ^ 2 + 2x -8 = 0 \) എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് \ (x_1 = 2, \; x_2 = -4 \) കണ്ടെത്താം. X (x \ geq 1 \) എന്ന അവസ്ഥ \ (x_1 = 2 \) മൂല്യത്തിൽ മാത്രം തൃപ്‌തിപ്പെടുന്നു.
2) Let (x-1 ഉത്തരം: \ (2; \; \; 1- \ ചതുരശ്ര (5) Let)

ഉദാഹരണം 2. equ (| x ^ 2-6x + 7 | = \ frac (5x-9) (3) \) എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ആദ്യ വഴി(നിർവചനം അനുസരിച്ച് മൊഡ്യൂൾ വിപുലീകരണം).
ഉദാഹരണം 1 ലെ വാദം പോലെ, രണ്ട് നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യം പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന നിഗമനത്തിലെത്തുന്നു: \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) അല്ലെങ്കിൽ \ (x ^ 2-6x + 7

1) \ (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) ആണെങ്കിൽ \ (| x ^ 2-6x + 7 | = x ^ 2-6x + 7 \), നൽകിയ സമവാക്യം form (x ^ 2 -6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \ വലത് 3x ^ 2-23x + 30 = 0 \). ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: \ (x_1 = 6, \; x_2 = \ frac (5) (3) \).
\ (X_1 = 6 \) എന്ന മൂല്യം condition (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ എന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം ചതുര അസമത്വത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: \ (6 ^ 2-6 \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \), അതായത്. \ (7 \ geq 0 \) ഒരു യഥാർത്ഥ അസമത്വമാണ്. അതിനാൽ, നൽകിയ സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലമാണ് \ (x_1 = 6 \).
\ (X_2 = \ frac (5) (3) \) എന്ന മൂല്യം condition (x ^ 2-6x + 7 \ geq 0 \) അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ എന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം ചതുര അസമത്വത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: \ (\ ഇടത് (\ frac (5) (3) \ വലത്) ^ 2 - \ frac (5) (3) \ cdot 6 + 7 \ geq 0 \), അതായത്. \ (\ frac (25) (9) -3 \ geq 0 \) - തെറ്റായ അസമത്വം. അതിനാൽ, നൽകിയ സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലമല്ല \ (x_2 = \ frac (5) (3) \).

2) \ (x ^ 2-6x + 7 മൂല്യം \ (x_3 = 3 \) അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ x (x ^ 2-6x + 7 മൂല്യം \ (x_4 = \ frac (4) (3) \) വ്യവസ്ഥ \ (x ^ 2-6x + 7 അതിനാൽ, നൽകിയ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: \ (x = 6, \; x = 3 \).

രണ്ടാമത്തെ വഴി.\ (| F (x) | = h (x) \) എന്ന സമവാക്യം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, \ (h (x) for (\ ഇടത് [\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) x ^ 2-6x + 7 = \ frac (5x-9) (3) \\ x ^ 2-6x + 7 = - \ frac (5x-9) (3) \ end (array) \ right. \)
ഈ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും മുകളിൽ പരിഹരിച്ചു (തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആദ്യ രീതിയിൽ), അവയുടെ വേരുകൾ ഇപ്രകാരമാണ്: \ (6, \; \ frac (5) (3), \; 3, \; \ frac (4 ) (3) \). ഈ നാല് മൂല്യങ്ങളുടെ \ (\ frac (5x-9) (3) \ geq 0 \) എന്ന അവസ്ഥ രണ്ടെണ്ണം മാത്രം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു: 6, 3. അതിനാൽ, തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: \ (x = 6, \; x = 3 \).

മൂന്നാം വഴി(ഗ്രാഫിക്).
1) function (y = | x ^ 2-6x + 7 | \) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം. ആദ്യം, ഒരു പരാബോള നിർമ്മിക്കുക \ (y = x ^ 2-6x + 7 \). ഞങ്ങൾക്ക് \ (x ^ 2-6x + 7 = (x-3) ^ 2-2 \) ഉണ്ട്. Function (y = (x-3) ^ 2-2 \) ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് the (y = x ^ 2 \) ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് 3 സ്കെയിൽ യൂണിറ്റുകൾ വലത്തേക്ക് മാറ്റിക്കൊണ്ട് ലഭിക്കും (ഒപ്പം x അക്ഷം) 2 സ്കെയിൽ യൂണിറ്റുകൾ താഴേക്ക് (y- ആക്സിസിൽ). നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള പരാബോളയുടെ അക്ഷമാണ് x = 3 എന്ന നേർരേഖ. കൂടുതൽ കൃത്യമായ പ്ലോട്ടിംഗിനുള്ള നിയന്ത്രണ പോയിന്റുകൾ എന്ന നിലയിൽ, പോയിന്റ് (3; -2) എടുക്കാൻ സൗകര്യമുണ്ട് - പരാബോളയുടെ ശീർഷകം, പോയിന്റ് (0; 7), പോയിന്റ് (6; 7) എന്നിവ പരാബോള അക്ഷവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ .
ഇപ്പോൾ the (y = | x ^ 2-6x + 7 | \) എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ എക്സ്-ആക്സിസിനു താഴെ കിടക്കാത്ത നിർമ്മിത പാരബോളയുടെ ഭാഗങ്ങൾ മാറ്റമില്ലാതെ ഉപേക്ഷിക്കേണ്ടതുണ്ട്, x- അക്ഷത്തെക്കുറിച്ച് x- അക്ഷത്തിന് താഴെ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന പരാബോള.
2) ലീനിയർ ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക y (y = \ frac (5x-9) (3) \). (0; –3), (3; 2) പോയിന്റുകൾ നിയന്ത്രണ പോയിന്റുകളായി എടുക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തോടുകൂടിയ നേർരേഖയുടെ പോയിന്റ് x = 1.8 വിഭജനം പരാബോളയുടെ വിഭജനത്തിന്റെ ഇടത് പോയിന്റിന്റെ വലതുവശത്ത് അബ്സിസ്സ അച്ചുതണ്ട് സ്ഥിതിചെയ്യേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ് - ഇതാണ് പോയിന്റ് \ (x = 3- q ചതുരശ്ര ( 2) \) (since (3- q ചതുരശ്ര (2) 3 മുതൽ) ഡ്രോയിംഗ് അനുസരിച്ച് വിഭജിക്കുമ്പോൾ ഗ്രാഫുകൾ രണ്ട് പോയിന്റുകളായി വിഭജിക്കുന്നു - എ (3; 2), ബി (6; 7) ഈ പോയിന്റുകളുടെ അബ്സിസ്സാസുകൾക്ക് പകരമായി x = തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിലെ 3 ഉം x = 6 ഉം, മറ്റൊരു മൂല്യത്തിനും ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം നൽകുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം നമ്മുടെ സിദ്ധാന്തം സ്ഥിരീകരിച്ചു എന്നാണ് - സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: x = 3, x = 6. ഉത്തരം: 3; 6.

അഭിപ്രായം... ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി, അതിന്റെ എല്ലാ കൃപയ്ക്കും, വളരെ വിശ്വസനീയമല്ല. പരിഗണിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായതിനാൽ മാത്രമേ ഇത് പ്രവർത്തിക്കൂ.

ഉദാഹരണം 3. equ (| 2x-4 | + | x + 3 | = 8 \) സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ആദ്യ വഴി
2x - 4 എന്ന പദപ്രയോഗം x = 2 പോയിന്റിൽ 0 ഉം x + 3 എക്സ്പ്രഷൻ x = -3 പോയിന്റുമായി മാറുന്നു. ഈ രണ്ട് പോയിന്റുകളും സംഖ്യയെ മൂന്ന് ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുന്നു: \ (x

ആദ്യ സ്‌പാൻ പരിഗണിക്കുക: \ ((- \ infty; \; -3) \).
X രണ്ടാമത്തെ ഇടവേള പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ: \ ([- 3; \; 2) \).
If (- 3 \ leq x മൂന്നാമത്തെ ഇടവേള പരിഗണിക്കുക: \ ()