ജ്യാമിതീയ ബോഡികളുടെ വോള്യങ്ങൾക്കുള്ള ഫോർമുലകൾ. കണക്കുകളുടെ അളവ്

ജ്യാമിതിയിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പോലുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളും നിങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്ന ലളിതമായ തന്ത്രങ്ങളും നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം.

ആദ്യം, നമുക്ക് കണക്കുകളുടെ മേഖലകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കാം. സൗകര്യപ്രദമായ ഒരു പട്ടികയിൽ ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം ശേഖരിച്ചിട്ടുണ്ട്. അച്ചടിക്കുക, പഠിക്കുക, പ്രയോഗിക്കുക!

തീർച്ചയായും, എല്ലാ ജ്യാമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഞങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ ഇല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഗണിതത്തിലെ USE പ്രൊഫൈലിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗത്ത് ജ്യാമിതിയിലും സ്റ്റീരിയോമെട്രിയിലും പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മേഖലയ്ക്കുള്ള മറ്റ് ഫോർമുലകളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. അവരെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും നിങ്ങളോട് പറയും.

എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഒരു ട്രപസോയിഡിന്റെ അല്ലെങ്കിൽ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണമല്ല, മറിച്ച് ചില സങ്കീർണ്ണ രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? സാർവത്രിക മാർഗങ്ങളുണ്ട്! FIPI ജോബ് ബാങ്കിൽ നിന്നുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അവരെ കാണിക്കാം.

1. നിലവാരമില്ലാത്ത ആകൃതിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഉദാഹരണത്തിന്, ഏകപക്ഷീയമായ ചതുർഭുജം? ഈ കണക്ക് നമുക്കെല്ലാവർക്കും അറിയാവുന്നവയായി വിഭജിച്ച് അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഈ തന്ത്രങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം.

ഈ ചതുർഭുജത്തെ ഒരു തിരശ്ചീന രേഖ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പൊതു അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുക. ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ ഉയരം തുല്യമാണ്. അപ്പോൾ ചതുർഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെ മേഖലകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

ഉത്തരം:.

2. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ചില പ്രദേശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

ഈ ത്രികോണത്തിൽ അടിത്തറയും ഉയരവും തുല്യമായി കണക്കാക്കുന്നത് അത്ര എളുപ്പമല്ല! എന്നാൽ അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങളും മൂന്ന് വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങളും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയും. നിങ്ങൾ അവരെ ചിത്രത്തിൽ കാണുന്നുണ്ടോ? നമുക്ക് ലഭിക്കും:.

ഉത്തരം:.

3. ചിലപ്പോൾ ടാസ്കിൽ മുഴുവൻ രൂപത്തിന്റെയും അല്ല, അതിന്റെ ഭാഗത്തിന്റെയും പ്രദേശം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സാധാരണയായി നമ്മൾ ഒരു മേഖലയുടെ മേഖലയെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത് - ഒരു സർക്കിളിന്റെ ഒരു ഭാഗം. ഒരു ആരം വൃത്തത്തിന്റെ ഒരു മേഖലയുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക, അതിന്റെ ആർക്കിന്റെ നീളം.

ഈ ചിത്രത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു സർക്കിളിന്റെ ഭാഗം കാണുന്നു. മുഴുവൻ സർക്കിളിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ്. സർക്കിളിന്റെ ഏത് ഭാഗമാണ് ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നതെന്ന് കാണേണ്ടതുണ്ട്. മുഴുവൻ സർക്കിളിന്റെയും നീളം തുല്യമായതിനാൽ (മുതൽ), ഈ മേഖലയുടെ ആർക്കിന്റെ നീളം, അതിനാൽ, ആർക്കിന്റെ നീളം മുഴുവൻ സർക്കിളിന്റെയും നീളത്തേക്കാൾ ഒരു മടങ്ങ് കുറവാണ്. ഈ ആർക്ക് നിൽക്കുന്ന കോണും ഒരു പൂർണ്ണ വൃത്തത്തേക്കാൾ ഒരു മടങ്ങ് കുറവാണ് (അതായത് ഡിഗ്രി). ഇതിനർത്ഥം ഈ മേഖലയുടെ വിസ്തീർണ്ണം മുഴുവൻ സർക്കിളിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തേക്കാൾ ഒരു മടങ്ങ് കുറവായിരിക്കും എന്നാണ്.

പുരാതന ഈജിപ്തുകാർ ഞങ്ങളുടെ രീതികൾക്ക് സമാനമായ വിവിധ ആകൃതികളുടെ മേഖലകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചു.

അവരുടെ പുസ്തകങ്ങളിൽ "തുടക്കം"പ്രശസ്തമായ പുരാതന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ യൂക്ലിഡ് നിരവധി ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ മേഖലകൾ കണക്കുകൂട്ടുന്നതിനുള്ള ധാരാളം രീതികൾ വിവരിച്ചു. ജ്യാമിതീയ വിവരങ്ങൾ അടങ്ങിയ റഷ്യയിലെ ആദ്യത്തെ കയ്യെഴുത്തുപ്രതികൾ $ XVI $ നൂറ്റാണ്ടിലാണ് എഴുതിയത്. വിവിധ ആകൃതിയിലുള്ള രൂപങ്ങളുടെ മേഖലകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ അവർ വിവരിക്കുന്നു.

ഇന്ന്, ആധുനിക രീതികളുടെ സഹായത്തോടെ, ഏത് രൂപത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം വളരെ കൃത്യതയോടെ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

ഏറ്റവും ലളിതമായ ആകൃതികളിലൊന്ന് - ദീർഘചതുരം - അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം എന്നിവ പരിഗണിക്കുക.

ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള ഫോർമുല

ഒരു ചിത്രം (ചിത്രം 1) പരിഗണിക്കുക, അതിൽ $ 8 $ സ്ക്വയറുകൾ $ 1 $ സെ.മീ. വശങ്ങളുള്ള ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $ 1 $ cm ആണ്, ഇത് $ 1 \ cm എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു $ 2 $.

ഈ ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം (ചിത്രം 1) $ 8 \ cm ^ 2 $ ന് തുല്യമായിരിക്കും.

$ 1 \ cm $ (ഉദാഹരണത്തിന്, $ p $) വശങ്ങളുള്ള നിരവധി സ്ക്വയറുകളായി തിരിക്കാവുന്ന ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $ p \ cm ^ 2 $ ന് തുല്യമായിരിക്കും.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $ 1 \ cm $ വശമുള്ള എത്ര ചതുരങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെടുമെന്നത് പോലെ, $ cm ^ 2 $ എന്നതിന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഒരു ദീർഘചതുരം (ചിത്രം 2) പരിഗണിക്കുക, അതിൽ $ 3 $ സ്ട്രിപ്പുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അവ ഓരോന്നും $ 1 \ cm $ വശങ്ങളുള്ള $ 5 $ സ്ക്വയറുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. മുഴുവൻ ദീർഘചതുരവും $ 5 \ cdot 3 = 15 $ അത്തരം സ്ക്വയറുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $ 15 \ cm ^ 2 $ ആണ്.

ചിത്രം 1.

ചിത്രം 2.

കണക്കുകളുടെ വിസ്തീർണ്ണം സാധാരണയായി $ S $ എന്ന അക്ഷരമാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ അതിന്റെ നീളം അതിന്റെ വീതി കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അതിന്റെ നീളം $ a $, വീതി $ b $ എന്നീ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

നിർവ്വചനം 1

കണക്കുകൾ വിളിക്കുന്നു തുല്യ,പരസ്പരം സൂപ്പർഇമ്പോസ് ചെയ്യുമ്പോൾ, ആകൃതികൾ യോജിക്കുന്നു. തുല്യ രൂപങ്ങൾക്ക് തുല്യ പ്രദേശങ്ങളും തുല്യ പരിധികളും ഉണ്ട്.

ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ ഭാഗങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി കാണാം.

ഉദാഹരണം 1

ഉദാഹരണത്തിന്, ചിത്രം $ 3 $ ൽ, $ ABCD $ ദീർഘചതുരം $ KLMN $ എന്ന വരിയിൽ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു ഭാഗത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $ 12 \ cm ^ 2 $ ആണ്, മറ്റൊന്ന് $ 9 \ cm ^ 2 $ ആണ്. അപ്പോൾ $ ABCD $ ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $ 12 \ cm ^ 2 + 9 \ cm ^ 2 = 21 \ cm ^ 2 $ എന്നതിന് തുല്യമായിരിക്കും. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, രണ്ട് രീതികളും കണ്ടെത്തിയ മേഖലകൾ തുല്യമാണ്.

ചിത്രം 3.

ചിത്രം 4.

$ AC $ സെഗ്മെന്റ് ദീർഘചതുരത്തെ രണ്ട് തുല്യ ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു: $ ABC $, $ ADC $. ഇതിനർത്ഥം ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം മുഴുവൻ ദീർഘചതുരത്തിന്റെ പകുതി വിസ്തൃതിക്ക് തുല്യമാണ് എന്നാണ്.

നിർവ്വചനം 2

തുല്യ വശങ്ങളുള്ള ദീർഘചതുരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു സമചതുരം Samachathuram.

നമ്മൾ $ a $ എന്ന അക്ഷരത്തിൽ സ്ക്വയറിന്റെ വശം നിയുക്തമാക്കിയാൽ, സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തും:

അതിനാൽ, $ a $ എന്ന സംഖ്യയുടെ നാമ ചതുരം.

ഉദാഹരണം 2

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ചതുരത്തിന്റെ വശം $ 5 $ cm ആണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം:

വോള്യങ്ങൾ

പുരാതന നാഗരികതയുടെ കാലത്ത് വ്യാപാരത്തിന്റെയും നിർമ്മാണത്തിന്റെയും വികാസത്തോടെ, വോള്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് അത്യാവശ്യമായി. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, സ്റ്റീരിയോമെട്രി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സ്പേഷ്യൽ ഫിഗറുകളെക്കുറിച്ച് പഠിക്കുന്ന ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു വിഭാഗമുണ്ട്. ബിസി $ IV $ നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇതിനകം തന്നെ ഗണിതത്തിന്റെ ഈ പ്രത്യേക മേഖലയെക്കുറിച്ച് പരാമർശിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

പുരാതന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ലളിതമായ കണക്കുകളുടെ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു - ഒരു ക്യൂബും സമാന്തരപൈപ്പും. അക്കാലത്തെ എല്ലാ ഘടനകളും കൃത്യമായി ഈ രൂപത്തിലായിരുന്നു. എന്നാൽ പിന്നീട്, കൂടുതൽ സങ്കീർണമായ രൂപങ്ങളുടെ കണക്കുകളുടെ അളവ് കണക്കാക്കാനുള്ള രീതികൾ കണ്ടെത്തി.

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമാന്തരപൈപ്പിന്റെ അളവ്

നിങ്ങൾ നനഞ്ഞ മണൽ കൊണ്ട് പൂപ്പൽ പൂരിപ്പിച്ച് അത് തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു വോള്യൂമെട്രിക് ചിത്രം ലഭിക്കും, അത് വോളിയത്തിന്റെ സവിശേഷതയാണ്. ഒരേ പൂപ്പൽ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ അത്തരം നിരവധി കണക്കുകൾ നിർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരേ അളവിലുള്ള കണക്കുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. നിങ്ങൾ പൂപ്പൽ വെള്ളത്തിൽ നിറച്ചാൽ, ജലത്തിന്റെ അളവും മണൽ രൂപത്തിന്റെ അളവും തുല്യമായിരിക്കും.

ചിത്രം 5.

ഒരു പാത്രത്തിൽ വെള്ളം നിറച്ച് രണ്ടാമത്തെ പാത്രത്തിലേക്ക് ഒഴിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പാത്രങ്ങളുടെ വോള്യങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം. രണ്ടാമത്തെ പാത്രം പൂർണ്ണമായും നിറഞ്ഞിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, പാത്രങ്ങൾക്ക് തുല്യ അളവുകളുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആദ്യത്തേതിൽ വെള്ളം നിലനിൽക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആദ്യത്തെ പാത്രത്തിന്റെ അളവ് രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. ആദ്യ പാത്രത്തിൽ നിന്ന് വെള്ളം ഒഴിക്കുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തെ പാത്രം പൂർണ്ണമായും നിറയ്ക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ആദ്യത്തെ പാത്രത്തിന്റെ അളവ് രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന യൂണിറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് വോളിയം അളക്കുന്നത്:

$ mm ^ 3 $ - ക്യുബിക് മില്ലിമീറ്റർ,

$ cm ^ 3 $ - ക്യുബിക് സെന്റിമീറ്റർ,

$ dm ^ 3 $ - ക്യുബിക് ഡെസിമീറ്റർ,

$ m ^ 3 $ - ക്യുബിക് മീറ്റർ,

$ km ^ 3 $ - ക്യുബിക് കിലോമീറ്റർ.

പൊതുവായ അവലോകനം. സ്റ്റീരിയോമെട്രി ഫോർമുലകൾ!

ഹലോ പ്രിയ സുഹൃത്തുക്കളെ! ഈ ലേഖനത്തിൽ, സ്റ്റീരിയോമെട്രിയിലെ ജോലികളുടെ പൊതുവായ അവലോകനം നടത്താൻ ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ e. ഈ ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്നുള്ള ജോലികൾ വളരെ വൈവിധ്യപൂർണ്ണമാണെന്ന് ഞാൻ പറയണം, പക്ഷേ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല. ജ്യാമിതീയ അളവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ജോലികൾ ഇവയാണ്: ദൈർഘ്യം, കോണുകൾ, പ്രദേശങ്ങൾ, വോള്യങ്ങൾ.

പരിഗണിക്കുന്നത്: ക്യൂബ്, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമാന്തരപൈപ്പ്, പ്രിസം, പിരമിഡ്, സംയുക്ത പോളിഹെഡ്രോൺ, സിലിണ്ടർ, കോൺ, ബോൾ. ചില ബിരുദധാരികൾ പരീക്ഷയിൽ തന്നെ അത്തരം ജോലികൾ പോലും ഏറ്റെടുക്കുന്നില്ല എന്നത് ദുdഖകരമാണ്, അവയിൽ 50% ത്തിലധികം പ്രാഥമികമായും പരിഹരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, മിക്കവാറും വാക്കാലുള്ളതാണ്.

ബാക്കിയുള്ളവർക്ക് ചെറിയ പരിശ്രമവും അറിവും പ്രത്യേക സാങ്കേതിക വിദ്യകളും ആവശ്യമാണ്. ഭാവി ലേഖനങ്ങളിൽ, ഞങ്ങൾ ഈ ജോലികൾ പരിഗണിക്കും, അത് നഷ്ടപ്പെടുത്തരുത്, ബ്ലോഗ് അപ്ഡേറ്റ് സബ്സ്ക്രൈബ് ചെയ്യുക.

പരിഹരിക്കാൻ, നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് ഉപരിതല മേഖലകൾക്കും വോള്യങ്ങൾക്കുമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾസമാന്തര പിപ്പിഡ്, പിരമിഡ്, പ്രിസം, സിലിണ്ടർ, കോൺ, ബോൾ. ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലികളൊന്നുമില്ല, അവയെല്ലാം 2-3 ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ പരിഹരിക്കപ്പെടും, ഏത് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കണമെന്ന് "കാണേണ്ടത്" പ്രധാനമാണ്.

ആവശ്യമായ എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ചുവടെ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:

പന്ത് അല്ലെങ്കിൽ ഗോളം. ഒരു ഗോളാകൃതിയിലുള്ള അല്ലെങ്കിൽ ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ഉപരിതലം (ചിലപ്പോൾ ഒരു ഗോളം) ഒരു സ്ഥലത്ത് നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള പോയിന്റുകളുടെ സ്ഥാനമാണ് - പന്തിന്റെ മധ്യഭാഗം.

ബോൾ വോളിയംപിരമിഡിന്റെ അളവിന് തുല്യമാണ്, അതിന്റെ അടിഭാഗം പന്തിന്റെ ഉപരിതലത്തിന് തുല്യമാണ്, ഉയരം പന്തിന്റെ ദൂരം

ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തി ചുറ്റുമുള്ള സിലിണ്ടറിന്റെ അളവിനേക്കാൾ ഒന്നര മടങ്ങ് കുറവാണ്.

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണം അതിന്റെ ഒരു കാലിൽ ചുറ്റിക്കൊണ്ട് ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള കോൺ ലഭിക്കും, അതിനാൽ ഒരു റൗണ്ട് കോണിനെ വിപ്ലവത്തിന്റെ ഒരു കോൺ എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള കോണിന്റെ ഉപരിതല ഭാഗവും കാണുക

റൗണ്ട് കോൺ വോളിയം H ന്റെ ഉയരം അടിസ്ഥാന മേഖല S യുടെ ഉൽപന്നത്തിന്റെ മൂന്നിലൊന്ന് തുല്യമാണ്:

(H എന്നത് ക്യൂബിന്റെ അരികിലെ ഉയരമാണ്)

ഒരു പാരലലിപിപ്പ്ഡ് എന്നത് ഒരു പ്രിസമാണ്, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു സമാന്തരചലനമാണ്. ഒരു സമാന്തരപൈപ്പിന് ആറ് മുഖങ്ങളുണ്ട്, അവയെല്ലാം സമാന്തരചലനങ്ങളാണ്. ഒരു സമാന്തരരേഖ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള നാല് വശങ്ങൾ നേരായതായി വിളിക്കുന്നു. ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ ആറ് മുഖങ്ങളുള്ള ഒരു നേർ സമാന്തരരേഖയെ ദീർഘചതുരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമാന്തരപൈപ്പിന്റെ അളവ്ഉയരം അടിസ്ഥാന മേഖലയുടെ ഉൽപന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

(എസ് എന്നത് പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണമാണ്, h ആണ് പിരമിഡിന്റെ ഉയരം)

ഒരു മുഖമുള്ള ഒരു ബഹുമുഖമാണ് പിരമിഡ് - പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനം - ഏകപക്ഷീയമായ ബഹുഭുജം, ബാക്കി വശങ്ങൾ - പൊതുവായ ശീർഷകമുള്ള ത്രികോണങ്ങൾ, പിരമിഡിന്റെ മുകൾഭാഗം.

പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു ഭാഗം പിരമിഡിനെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറയ്ക്കും ഈ ഭാഗത്തിനും ഇടയിലുള്ള ഭാഗം വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡാണ്.

വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ അളവ്ഉയരത്തിന്റെ ഉൽപന്നത്തിന്റെ മൂന്നിലൊന്ന് തുല്യമാണ് h (OS)മുകളിലെ അടിത്തറയുടെ പ്രദേശങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് S1 (abcde), വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ താഴത്തെ അടിത്തറ S2 (ABCDE)അവ തമ്മിലുള്ള ശരാശരി അനുപാതവും.

n - ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെ എണ്ണം - ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനം
a - ഒരു സാധാരണ ബഹുഭുജത്തിന്റെ വശം - ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനം
h - സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ ഉയരം

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡ് ഒരു പോളിഹെഡ്രോൺ ആണ്, അതിൽ ഒരു മുഖം - പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനം - ഒരു സാധാരണ ത്രികോണമാണ്, ബാക്കിയുള്ളവ - ലാറ്ററൽ മുഖങ്ങൾ - ഒരു പൊതു ശീർഷകമുള്ള തുല്യ ത്രികോണങ്ങളാണ്. മുകളിൽ നിന്ന് അടിത്തറയുടെ മധ്യത്തിലേക്ക് ഉയരം കുറയുന്നു.

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ അളവ്സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തൃതിയുടെ മൂന്നിലൊന്ന് തുല്യമാണ്, അത് അടിസ്ഥാനമാണ് എസ് (എബിസി)ഉയരത്തിലേക്ക് h (OS)

a - ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ വശം - ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനം
h - ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ ഉയരം

ഒരു ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്റെ അളവിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ ഉത്ഭവം

ഒരു പിരമിഡിന്റെ അളവിനുള്ള ക്ലാസിക്കൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്റെ അളവ് കണക്കാക്കുന്നത്. ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്റെ ഉയരവും ഒരു സാധാരണ (സമഭുജ) ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തൃതിയും അതിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ടെട്രാഹെഡ്രോൺ വോളിയം- സംഖ്യയിലെ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതിൽ ഡിനോമിനേറ്ററിലെ രണ്ടിന്റെ വർഗ്ഗമൂലം പന്ത്രണ്ട് ആണ്, ടെട്രാഹെഡ്രോണിന്റെ അരികിലെ നീളത്തിന്റെ ക്യൂബ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു

(h എന്നത് റോംബസ് വശത്തിന്റെ നീളമാണ്)

ചുറ്റളവ് പിഏകദേശം മൂന്ന് മുഴുവനും വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസത്തിന്റെ ഏഴിലൊന്ന് നീളവും. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവിന്റെ വ്യാസമുള്ള കൃത്യമായ അനുപാതം ഗ്രീക്ക് അക്ഷരത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു π

തത്ഫലമായി, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

(r എന്നത് ആർക്കിന്റെ ആരം, n എന്നത് ആർക്കിന്റെ മധ്യകോണാണ് ഡിഗ്രി.)

ആവശ്യമായ എല്ലാ ദൂരങ്ങളും മീറ്ററിൽ അളക്കുക.ഉചിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിരവധി ത്രിമാന രൂപങ്ങളുടെ അളവ് എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, ഫോർമുലകളിൽ നൽകിയ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും മീറ്ററിൽ അളക്കണം. അതിനാൽ, ഫോർമുലയിലെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, അവയെല്ലാം മീറ്ററുകളിലാണ് അളക്കുന്നതെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക, അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾ മറ്റ് യൂണിറ്റുകൾ മീറ്ററുകളാക്കി മാറ്റിയെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക.

• 1 മില്ലീമീറ്റർ = 0.001 മീ
• 1 സെമി = 0.01 മീ
• 1 കി.മീ = 1000 മീ

60-65 പോയിന്റിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പരീക്ഷ വിജയകരമായി വിജയിക്കാൻ ആവശ്യമായ എല്ലാ വിഷയങ്ങളും "ഗെറ്റ് എ എ" എന്ന വീഡിയോ കോഴ്സിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രൊഫൈൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ 1-13 വരെയുള്ള എല്ലാ ജോലികളും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അടിസ്ഥാന പരീക്ഷ പാസാകാനും അനുയോജ്യമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് 90-100 പോയിന്റുകൾക്ക് പരീക്ഷ വിജയിക്കണമെങ്കിൽ, ഭാഗം 1 30 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ തെറ്റുകൾ കൂടാതെ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്!

10-11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള തയ്യാറെടുപ്പ് കോഴ്സ്, അതുപോലെ തന്നെ അധ്യാപകർക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒന്നാം ഭാഗം (ആദ്യ 12 പ്രശ്നങ്ങൾ), പ്രശ്നം 13 (ത്രികോണമിതി) എന്നിവയിൽ നിങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടതെല്ലാം. ഇത് പരീക്ഷയിലെ 70 പോയിന്റിൽ കൂടുതലാണ്, കൂടാതെ നൂറ് പോയിന്റ് വിദ്യാർത്ഥിക്കോ ഹ്യുമാനിറ്റീസ് വിദ്യാർത്ഥിക്കോ അവയില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായ എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങളും. പരീക്ഷയുടെ ദ്രുത പരിഹാരങ്ങൾ, കെണികൾ, രഹസ്യങ്ങൾ. FIPI- യുടെ ബാങ്ക് ഓഫ് ടാസ്‌ക്കുകളിൽ നിന്ന് ഭാഗം 1 -ന്റെ പ്രസക്തമായ എല്ലാ ജോലികളും വേർപെടുത്തി. കോഴ്സ് പരീക്ഷ -2018 ന്റെ ആവശ്യകതകൾ പൂർണ്ണമായും പാലിക്കുന്നു.

കോഴ്സിൽ 5 വലിയ വിഷയങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, 2.5 മണിക്കൂർ വീതം. ഓരോ വിഷയവും ആദ്യം മുതൽ ലളിതവും നേരായതുമാണ്.

നൂറുകണക്കിന് USE അസൈൻമെന്റുകൾ. വാക്കുകളുടെ പ്രശ്നങ്ങളും സാധ്യത സിദ്ധാന്തവും. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ലളിതവും എളുപ്പവുമായ അൽഗോരിതം. ജ്യാമിതി സിദ്ധാന്തം, റഫറൻസ് മെറ്റീരിയൽ, എല്ലാത്തരം USE അസൈൻമെന്റുകളുടെയും വിശകലനം. സ്റ്റീരിയോമെട്രി. തന്ത്രപരമായ പരിഹാരങ്ങൾ, സഹായകരമായ ചീറ്റ് ഷീറ്റുകൾ, സ്പേഷ്യൽ ഭാവന വികസനം. ആദ്യം മുതൽ പ്രശ്നം വരെ ത്രികോണമിതി 13. ക്രാമിംഗിന് പകരം മനസ്സിലാക്കൽ. സങ്കീർണ്ണമായ ആശയങ്ങളുടെ ദൃശ്യ വിശദീകരണം. ബീജഗണിതം. വേരുകൾ, ബിരുദങ്ങൾ, ലോഗരിതം, പ്രവർത്തനം, ഡെറിവേറ്റീവ്. പരീക്ഷയുടെ രണ്ടാം ഭാഗത്തിന്റെ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം.