ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പാരിറ്റി എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം. ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തുല്യതയും വിചിത്രതയും അതിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകളിൽ ഒന്നാണ്, കൂടാതെ സ്‌കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്‌സ് കോഴ്‌സിൻ്റെ ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു ഭാഗം സമത്വം എടുക്കുന്നു. ഇത് ഫംഗ്ഷൻ്റെ സ്വഭാവത്തെ വലിയ തോതിൽ നിർണ്ണയിക്കുകയും അനുബന്ധ ഗ്രാഫിൻ്റെ നിർമ്മാണത്തെ വളരെയധികം സഹായിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പാരിറ്റി നിർണ്ണയിക്കാം. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ (x) വിപരീത മൂല്യങ്ങൾക്ക്, y (ഫംഗ്ഷൻ) യുടെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിലും, പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു.

നമുക്ക് കൂടുതൽ കർശനമായ നിർവചനം നൽകാം. D എന്ന ഡൊമെയ്‌നിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ചില ഫംഗ്‌ഷൻ f (x) പരിഗണിക്കുക. നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ x സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റ് ആണെങ്കിൽ പോലും അത്:

• -x (എതിർ പോയിൻ്റ്) ഈ സ്കോപ്പിലും ഉണ്ട്,

• f(-x) = f(x).

മേൽപ്പറഞ്ഞ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത്തരം ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ പിന്തുടരുന്നു, അതായത്, കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവസ്ഥാനമായ പോയിൻ്റ് O യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സമമിതി, കാരണം ഒരു സമത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ചില പോയിൻ്റ് b അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ. ഫംഗ്‌ഷൻ, അപ്പോൾ അനുബന്ധ പോയിൻ്റ് ബിയും ഈ ഡൊമെയ്‌നിലാണ്. അതിനാൽ, മുകളിൽ പറഞ്ഞവയിൽ നിന്ന്, നിഗമനം ഇപ്രകാരമാണ്: ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷവുമായി (ഓയ്) തുല്യമായ ഒരു ഫോം സമമിതിയാണ് ഇരട്ട ഫംഗ്ഷനുള്ളത്.

പ്രായോഗികമായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പാരിറ്റി എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും?

h(x)=11^x+11^(-x) എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഇത് വ്യക്തമാക്കട്ടെ. നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്ന അൽഗോരിതം പിന്തുടർന്ന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യം അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ പരിശോധിക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, വാദത്തിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും ഇത് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്, ആദ്യ വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്.

ആർഗ്യുമെൻ്റിന് (x) വിപരീത മൂല്യം (-x) പകരം വയ്ക്കുന്നതാണ് അടുത്ത ഘട്ടം.
നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് (കമ്യൂട്ടേറ്റീവ്) നിയമത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനാൽ, h(-x) = h(x) കൂടാതെ നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനപരമായ ആശ്രിതത്വം തുല്യമാണെന്നും വ്യക്തമാണ്.

h(x)=11^x-11^(-x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പാരിറ്റി പരിശോധിക്കാം. ഇതേ അൽഗോരിതം പിന്തുടരുമ്പോൾ, നമുക്ക് h(-x) = 11^(-x) -11^x ലഭിക്കും. മൈനസ് എടുത്തുകളഞ്ഞാൽ, അവസാനം നമുക്കുണ്ട്
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). അതിനാൽ, h(x) വിചിത്രമാണ്.

വഴിയിൽ, ഈ മാനദണ്ഡങ്ങൾക്കനുസൃതമായി തരംതിരിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്, അവയെ ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് പോലും നിരവധി രസകരമായ ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

• സമാനമായ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി, അവർക്ക് ഒരു ഇരട്ടി ലഭിക്കും;
• അത്തരം ഫംഗ്ഷനുകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി, ഒരു ഇരട്ടി ലഭിക്കുന്നു;
• even, also even;
• അത്തരം രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഫലമായി, ഒരു ഇരട്ടി ലഭിക്കുന്നു;
• ഒറ്റ ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഗുണിച്ചതിൻ്റെ ഫലമായി, ഒറ്റത്തവണ ലഭിക്കുന്നു;
• ഒറ്റ ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി, ഒറ്റത്തവണ ലഭിക്കുന്നു;
• അത്തരമൊരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് വിചിത്രമാണ്;
• നിങ്ങൾ വിചിത്രമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ സ്‌ക്വയർ ചെയ്‌താൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇരട്ടിയൊന്ന് ലഭിക്കും.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പാരിറ്റി ഉപയോഗിക്കാം.

g(x) = 0 പോലെയുള്ള ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷനാണ്, വേരിയബിളിൻ്റെ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത മൂല്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ഇത് മതിയാകും. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഫലമായ വേരുകൾ വിപരീത സംഖ്യകളുമായി കൂട്ടിച്ചേർക്കണം. അവയിലൊന്ന് സ്ഥിരീകരണത്തിന് വിധേയമാണ്.

ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിലവാരമില്ലാത്ത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും ഇത് വിജയകരമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 2x^6-x^4-ax^2=1 എന്ന സമവാക്യത്തിന് മൂന്ന് വേരുകളുള്ള പരാമീറ്ററിന് എന്തെങ്കിലും മൂല്യമുണ്ടോ?

വേരിയബിൾ തുല്യ ശക്തികളിൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുന്നത് നമ്മൾ കണക്കിലെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, x - x മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തെ മാറ്റില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ അതിൻ്റെ മൂലമാണെങ്കിൽ, വിപരീത സംഖ്യയും മൂലമാണ്. നിഗമനം വ്യക്തമാണ്: പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ അതിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഗണത്തിൽ "ജോഡികളിൽ" ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.

സംഖ്യ തന്നെ 0 അല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതായത്, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം തുല്യമായിരിക്കും, സ്വാഭാവികമായും, പാരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിന് അതിന് മൂന്ന് വേരുകൾ ഉണ്ടാകരുത്.

എന്നാൽ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം വിചിത്രവും പരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിനും വിചിത്രമായിരിക്കാം. തീർച്ചയായും, ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ഗണത്തിൽ "ജോഡികളായി" പരിഹാരങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. 0 ഒരു റൂട്ടാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം. നമ്മൾ അതിനെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റുമ്പോൾ, നമുക്ക് 2=2 ലഭിക്കും. അങ്ങനെ, "ജോടിയാക്കിയവ" കൂടാതെ, 0 ഒരു റൂട്ട് കൂടിയാണ്, അത് അവയുടെ ഒറ്റസംഖ്യ തെളിയിക്കുന്നു.

ഏതെങ്കിലും ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ തുല്യതയ്ക്കും തുല്യതയ്ക്കും എങ്കിൽ ഇരട്ട (ഒറ്റ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു

.

ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ സമമിതിയാണ്
.

വിചിത്രമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തെ സംബന്ധിച്ച് സമമിതിയാണ്.

ഉദാഹരണം 6.2. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഇരട്ടയാണോ അതോ വിചിത്രമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക

1)
; 2)
; 3)
.

പരിഹാരം.

1) ഫംഗ്ഷൻ എപ്പോൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു
. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും
.

ആ.
. ഇതിനർത്ഥം ഈ പ്രവർത്തനം തുല്യമാണ് എന്നാണ്.

2) ഫംഗ്ഷൻ എപ്പോൾ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു

ആ.
. അതിനാൽ, ഈ പ്രവർത്തനം വിചിത്രമാണ്.

3) ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്, അതായത്. വേണ്ടി

,
. അതിനാൽ പ്രവർത്തനം ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല. നമുക്ക് ഇതിനെ പൊതുവായ രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കാം.

ഫംഗ്ഷൻ
ഈ ഇടവേളയിൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഓരോ വലിയ മൂല്യവും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വലിയ (ചെറിയ) മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നത് (കുറയുന്നത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്ന (കുറയുന്ന) പ്രവർത്തനങ്ങളെ മോണോടോണിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചടങ്ങാണെങ്കിൽ
ഇടവേളയിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു
കൂടാതെ പോസിറ്റീവ് (നെഗറ്റീവ്) ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്
, പിന്നെ ഫംഗ്ഷൻ
ഈ ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു (കുറയുന്നു).

ഉദാഹരണം 6.3. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏകതാനതയുടെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക

1)
; 3)
.

പരിഹാരം.

1) ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം.

ഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്
ഒപ്പം
. ഡോട്ടുകൾ കൊണ്ട് ഹരിച്ച സംഖ്യാ അക്ഷമാണ് നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ
,
ഇടവേളകളിൽ. ഓരോ ഇടവേളയിലും ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം.

ഇടവേളയിൽ
ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആണ്, ഈ ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്ഷൻ കുറയുന്നു.

ഇടവേളയിൽ
ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ ഈ ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു.

2) എങ്കിൽ ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്നു
അഥവാ

.

ഓരോ ഇടവേളയിലും ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ അടയാളം ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ

നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം
,
, എങ്കിൽ
, അതായത്.
, പക്ഷേ
. ഇടവേളകളിൽ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം
.

ഇടവേളയിൽ
ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ, ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു
. ഇടവേളയിൽ
ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്, ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു
.

ഡോട്ട്
ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരമാവധി (മിനിമം) പോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു
, പോയിൻ്റിൻ്റെ അത്തരമൊരു അയൽപക്കം ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് എല്ലാവർക്കും വേണ്ടിയുള്ളതാണ്
ഈ അയൽപക്കത്തിൽ നിന്ന് അസമത്വം നിലനിൽക്കുന്നു

.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ കൂടിയതും കുറഞ്ഞതുമായ പോയിൻ്റുകളെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചടങ്ങാണെങ്കിൽ
പോയിൻ്റിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട്, അപ്പോൾ ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല (ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീമിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ).

ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ പോയിൻ്റുകളെ ക്രിട്ടിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിയമം 1. പരിവർത്തന സമയത്ത് (ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട്) നിർണായക പോയിൻ്റിലൂടെയാണെങ്കിൽ ഡെറിവേറ്റീവ്
ചിഹ്നം "+" ൽ നിന്ന് "-" ലേക്ക് മാറ്റുന്നു, തുടർന്ന് പോയിൻ്റിൽ പ്രവർത്തനം
പരമാവധി ഉണ്ട്; “–” മുതൽ “+” വരെയാണെങ്കിൽ, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്; എങ്കിൽ
അടയാളം മാറുന്നില്ല, പിന്നെ ഒരു തീവ്രതയുമില്ല.

നിയമം 2. പോയിൻ്റിൽ അനുവദിക്കുക
ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ്
പൂജ്യത്തിന് തുല്യം
, രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലുണ്ട് കൂടാതെ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തവുമാണ്. എങ്കിൽ
, അത് - പരമാവധി പോയിൻ്റ്, എങ്കിൽ
, അത് - പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ്.

ഉദാഹരണം 6.4. പരമാവധി കുറഞ്ഞ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

പരിഹാരം.

1) ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായതുമാണ്
.

നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം
ഒപ്പം സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക
, അതായത്.
.ഇവിടെ നിന്ന്
- നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ.

നമുക്ക് ഇടവേളകളിൽ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കാം,
.

പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ
ഒപ്പം
ഡെറിവേറ്റീവ് "-" എന്നതിൽ നിന്ന് "+" എന്നതിലേക്ക് അടയാളം മാറുന്നു, അതിനാൽ, റൂൾ 1 അനുസരിച്ച്
- ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകൾ.

ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ
ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം "+" ൽ നിന്ന് "-" ആയി മാറുന്നു, അങ്ങനെ
- പരമാവധി പോയിൻ്റ്.

,
.

2) ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായതുമാണ്
. നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം
.

സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു
, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും
ഒപ്പം
- നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ. ഡിനോമിനേറ്റർ ആണെങ്കിൽ
, അതായത്.
, അപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ല. അതിനാൽ,
- മൂന്നാമത്തെ നിർണായക പോയിൻ്റ്. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം നമുക്ക് ഇടവേളകളിൽ നിർണ്ണയിക്കാം.

അതിനാൽ, പ്രവർത്തനത്തിന് പോയിൻ്റിൽ ഒരു മിനിമം ഉണ്ട്
, പോയിൻ്റുകളിൽ പരമാവധി
ഒപ്പം
.

3) ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ
, അതായത്. ചെയ്തത്
.

നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം

.

നമുക്ക് നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താം:

പോയിൻ്റുകളുടെ അയൽപക്കങ്ങൾ
നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല, അതിനാൽ അവ അതിരുകടന്നവയല്ല. അതിനാൽ, നമുക്ക് നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ പരിശോധിക്കാം
ഒപ്പം
.

4) ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായതുമാണ്
. നമുക്ക് റൂൾ 2 ഉപയോഗിക്കാം. ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക
.

നമുക്ക് നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം
പോയിൻ്റുകളിൽ അതിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക

പോയിൻ്റുകളിൽ
ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു മിനിമം ഉണ്ട്.

പോയിൻ്റുകളിൽ
പ്രവർത്തനത്തിന് പരമാവധി ഉണ്ട്.

ഒരു വെബ്സൈറ്റിൽ ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ ചേർക്കാം?

നിങ്ങൾക്ക് എപ്പോഴെങ്കിലും ഒരു വെബ് പേജിലേക്ക് ഒന്നോ രണ്ടോ ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, ലേഖനത്തിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഇത് ചെയ്യാനുള്ള എളുപ്പവഴി: വോൾഫ്രാം ആൽഫ യാന്ത്രികമായി സൃഷ്ടിക്കുന്ന ചിത്രങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സൈറ്റിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ തിരുകുന്നു. . ലാളിത്യം കൂടാതെ, ഈ സാർവത്രിക രീതി തിരയൽ എഞ്ചിനുകളിൽ സൈറ്റിൻ്റെ ദൃശ്യപരത മെച്ചപ്പെടുത്താൻ സഹായിക്കും. ഇത് വളരെക്കാലമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു (കൂടാതെ, എന്നേക്കും പ്രവർത്തിക്കുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു), പക്ഷേ ഇതിനകം ധാർമ്മികമായി കാലഹരണപ്പെട്ടതാണ്.

നിങ്ങളുടെ സൈറ്റിൽ നിങ്ങൾ പതിവായി ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, MathML, LaTeX അല്ലെങ്കിൽ ASCIIMathML മാർക്ക്അപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് വെബ് ബ്രൗസറുകളിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷൻ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പ്രത്യേക JavaScript ലൈബ്രറി - MathJax ഉപയോഗിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

MathJax ഉപയോഗിച്ച് തുടങ്ങാൻ രണ്ട് വഴികളുണ്ട്: (1) ഒരു ലളിതമായ കോഡ് ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങളുടെ വെബ്‌സൈറ്റിലേക്ക് ഒരു MathJax സ്‌ക്രിപ്റ്റ് വേഗത്തിൽ കണക്റ്റുചെയ്യാനാകും, അത് ശരിയായ സമയത്ത് ഒരു റിമോട്ട് സെർവറിൽ നിന്ന് സ്വയമേവ ലോഡ് ചെയ്യും (സെർവറുകളുടെ പട്ടിക); (2) നിങ്ങളുടെ സെർവറിലേക്ക് ഒരു റിമോട്ട് സെർവറിൽ നിന്ന് MathJax സ്‌ക്രിപ്റ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്‌ത് നിങ്ങളുടെ സൈറ്റിൻ്റെ എല്ലാ പേജുകളിലേക്കും ബന്ധിപ്പിക്കുക. രണ്ടാമത്തെ രീതി - കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണവും സമയമെടുക്കുന്നതും - നിങ്ങളുടെ സൈറ്റിൻ്റെ പേജുകൾ ലോഡുചെയ്യുന്നത് വേഗത്തിലാക്കും, ചില കാരണങ്ങളാൽ പാരൻ്റ് MathJax സെർവർ താൽക്കാലികമായി ലഭ്യമല്ലെങ്കിൽ, ഇത് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം സൈറ്റിനെ ഒരു തരത്തിലും ബാധിക്കില്ല. ഈ ഗുണങ്ങളുണ്ടെങ്കിലും, ലളിതവും വേഗതയേറിയതും സാങ്കേതിക വൈദഗ്ധ്യം ആവശ്യമില്ലാത്തതുമായതിനാൽ ഞാൻ ആദ്യ രീതി തിരഞ്ഞെടുത്തു. എൻ്റെ ഉദാഹരണം പിന്തുടരുക, വെറും 5 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ സൈറ്റിൽ MathJax-ൻ്റെ എല്ലാ സവിശേഷതകളും ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും.

പ്രധാന MathJax വെബ്‌സൈറ്റിൽ നിന്നോ ഡോക്യുമെൻ്റേഷൻ പേജിൽ നിന്നോ എടുത്ത രണ്ട് കോഡ് ഓപ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു റിമോട്ട് സെർവറിൽ നിന്ന് MathJax ലൈബ്രറി സ്ക്രിപ്റ്റ് കണക്റ്റുചെയ്യാനാകും:

ഈ കോഡ് ഓപ്‌ഷനുകളിലൊന്ന് നിങ്ങളുടെ വെബ് പേജിൻ്റെ കോഡിലേക്ക് പകർത്തി ഒട്ടിക്കേണ്ടതുണ്ട്, വെയിലത്ത് ടാഗുകൾക്കിടയിൽ അല്ലെങ്കിൽ ടാഗിന് തൊട്ടുപിന്നാലെ. ആദ്യ ഓപ്ഷൻ അനുസരിച്ച്, MathJax വേഗത്തിൽ ലോഡുചെയ്യുകയും പേജിൻ്റെ വേഗത കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ MathJax-ൻ്റെ ഏറ്റവും പുതിയ പതിപ്പുകൾ സ്വയമേവ നിരീക്ഷിക്കുകയും ലോഡ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു. നിങ്ങൾ ആദ്യ കോഡ് ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് ആനുകാലികമായി അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ കോഡ് ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, പേജുകൾ കൂടുതൽ സാവധാനത്തിൽ ലോഡുചെയ്യും, പക്ഷേ നിങ്ങൾ MathJax അപ്‌ഡേറ്റുകൾ നിരന്തരം നിരീക്ഷിക്കേണ്ടതില്ല.

MathJax കണക്റ്റുചെയ്യാനുള്ള എളുപ്പവഴി Blogger-ലോ WordPress-ലോ ആണ്: സൈറ്റ് കൺട്രോൾ പാനലിൽ, മൂന്നാം കക്ഷി JavaScript കോഡ് ചേർക്കാൻ രൂപകൽപ്പന ചെയ്‌ത ഒരു വിജറ്റ് ചേർക്കുക, മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡൗൺലോഡ് കോഡിൻ്റെ ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ പതിപ്പ് അതിലേക്ക് പകർത്തി വിജറ്റ് അടുത്ത് വയ്ക്കുക. ടെംപ്ലേറ്റിൻ്റെ ആരംഭം വരെ (വഴിയിൽ, ഇത് ആവശ്യമില്ല , കാരണം MathJax സ്ക്രിപ്റ്റ് അസമന്വിതമായി ലോഡ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു). അത്രയേയുള്ളൂ. ഇപ്പോൾ MathML, LaTeX, ASCIIMathML എന്നിവയുടെ മാർക്ക്അപ്പ് വാക്യഘടന പഠിക്കുക, നിങ്ങളുടെ സൈറ്റിൻ്റെ വെബ് പേജുകളിൽ ഗണിത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കാൻ നിങ്ങൾ തയ്യാറാണ്.

ഏതെങ്കിലും ഫ്രാക്റ്റൽ ഒരു നിശ്ചിത നിയമമനുസരിച്ചാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, അത് തുടർച്ചയായി പരിധിയില്ലാത്ത തവണ പ്രയോഗിക്കുന്നു. അത്തരം ഓരോ സമയത്തെയും ആവർത്തനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മെംഗർ സ്പോഞ്ച് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ആവർത്തന അൽഗോരിതം വളരെ ലളിതമാണ്: വശം 1 ഉള്ള യഥാർത്ഥ ക്യൂബിനെ അതിൻ്റെ മുഖങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായി 27 തുല്യ ക്യൂബുകളായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു സെൻട്രൽ ക്യൂബും അതിനോട് ചേർന്നുള്ള 6 ക്യൂബുകളും അതിൽ നിന്ന് നീക്കംചെയ്യുന്നു. ബാക്കിയുള്ള 20 ചെറിയ ക്യൂബുകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു സെറ്റാണ് ഫലം. ഈ ക്യൂബുകളിൽ ഓരോന്നിനും സമാനമായി ചെയ്യുമ്പോൾ, 400 ചെറിയ ക്യൂബുകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു സെറ്റ് നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഈ പ്രക്രിയ അനന്തമായി തുടരുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു മെംഗർ സ്പോഞ്ച് ലഭിക്കും.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഫംഗ്ഷൻ. x ൻ്റെ ഓരോ മൂല്യവും y യുടെ ഒരൊറ്റ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ, x എന്ന വേരിയബിളിൽ y എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ആശ്രിതത്വമാണ് ഫംഗ്ഷൻ. x എന്ന വേരിയബിളിനെ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ അല്ലെങ്കിൽ ആർഗ്യുമെൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. y എന്ന വേരിയബിളിനെ ആശ്രിത വേരിയബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ (വേരിയബിൾ x) എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. ആശ്രിത വേരിയബിൾ (വേരിയബിൾ y) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ശ്രേണി രൂപപ്പെടുത്തുന്ന എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് എന്നത് കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും ഗണമാണ്, അവയുടെ അബ്സിസ്സകൾ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഓർഡിനേറ്റുകൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത്, വേരിയബിൾ x ൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ abscissa അക്ഷത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്തിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ y എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ സവിശേഷതകൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ ചുവടെ ചർച്ചചെയ്യും!

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു - ഗ്രാഫിംഗ് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഓൺലൈനിൽ. ഈ പേജിലെ മെറ്റീരിയൽ പഠിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഞങ്ങളുടെ ഫോറത്തിൽ അവരോട് ചോദിക്കാം. ഫോറത്തിൽ അവർ ഗണിതം, രസതന്ത്രം, ജ്യാമിതി, പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി തുടങ്ങി നിരവധി വിഷയങ്ങളിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും!

പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ.

1) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയും.

y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ആർഗ്യുമെൻ്റ് x (വേരിയബിൾ x) ൻ്റെ എല്ലാ സാധുവായ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളുടെയും ഗണമാണ് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ.
ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ശ്രേണി എന്നത് ഫംഗ്‌ഷൻ അംഗീകരിക്കുന്ന എല്ലാ യഥാർത്ഥ y മൂല്യങ്ങളുടെയും ഗണമാണ്.

പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിൽ, ഫംഗ്ഷനുകൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ മാത്രമേ പഠിക്കൂ.

2) പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ.

x ൻ്റെ മൂല്യങ്ങളെ y=0 എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യങ്ങൾ. ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടുമായി ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സസുകളാണ് ഇവ.

3) ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ - x മൂല്യങ്ങളുടെ അത്തരം ഇടവേളകളെ വിളിക്കുന്നു, അതിൽ y ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് മാത്രമായിരിക്കും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ.

4) പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഏകതാനത.

ഈ ഇടവേളയിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വലിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ (ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ).

ഈ ഇടവേളയിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ചെറിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് കുറയുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ (ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ).

5) പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തുല്യത (വിചിത്രത).

ഏതെങ്കിലും x f(-x) = f(x) എന്നതിൻ്റെ ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ സമമിതിയുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷൻ. ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഓർഡിനേറ്റിൻ്റെ സമമിതിയാണ്.

നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് വിചിത്രമായ ഫംഗ്‌ഷൻ, കൂടാതെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്നുള്ള ഏത് x നും തുല്യത f(-x) = - f(x) ശരിയാണ്. വിചിത്രമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തെ സംബന്ധിച്ച് സമമിതിയാണ്.

പ്രവർത്തനം പോലും
1) നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ പോയിൻ്റുമായി (0; 0) സമമിതിയാണ്, അതായത്, പോയിൻ്റ് a നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റേതാണെങ്കിൽ, പോയിൻ്റ് -a നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റേതാണ്.
2) ഏത് മൂല്യത്തിനും x f(-x)=f(x)
3) ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് Oy അക്ഷത്തിന് സമമിതിയാണ്.

ഒരു വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:
1) നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ പോയിൻ്റുമായി സമമിതിയിലാണ് (0; 0).
2) നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഏത് മൂല്യത്തിനും x, തുല്യത f(-x)=-f(x) തൃപ്തികരമാണ്
3) ഒരു വിചിത്ര ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയാണ് (0; 0).

എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും ഇരട്ടയോ ഒറ്റയോ അല്ല. പ്രവർത്തനങ്ങൾ പൊതുവായ കാഴ്ചഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല.

6) പരിമിതവും പരിധിയില്ലാത്തതുമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

|f(x)| എന്ന പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ M ഉണ്ടെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ ബൗണ്ടഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും ≤ M. അത്തരമൊരു സംഖ്യ നിലവിലില്ലെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം പരിധിയില്ലാത്തതാണ്.

7) പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ആനുകാലികം.

പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ T ഉണ്ടെങ്കിൽ ഫംഗ്ഷൻ f(x) ആനുകാലികമാണ്, അതായത് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും x-ന് ഇനിപ്പറയുന്നവ കൈവശം വയ്ക്കുന്നു: f(x+T) = f(x). ഈ ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ കാലഘട്ടം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എല്ലാ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളും ആനുകാലികമാണ്. (ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ).

നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും x-ന് തുല്യത f(x)=f(x-T)=f(x+T) നിലനിർത്തുന്ന ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ f ഫംഗ്‌ഷനെ ആവർത്തനമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. T എന്നത് പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ കാലഘട്ടമാണ്.

ഓരോ ആവർത്തന പ്രവർത്തനത്തിനും അനന്തമായ പിരീഡുകൾ ഉണ്ട്. പ്രായോഗികമായി, ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് കാലയളവ് സാധാരണയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ആവർത്തന പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കാലയളവിന് തുല്യമായ ഇടവേളയ്ക്ക് ശേഷം ആവർത്തിക്കുന്നു. ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പ്രവർത്തന പഠനം.

1) D(y) - ഡെഫനിഷൻ ഡൊമെയ്ൻ: വേരിയബിളിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും സെറ്റ്. ഇതിനായി f(x), g(x) എന്നീ ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങൾ അർത്ഥവത്താണ്.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ഫോർമുലയാണ് നൽകിയതെങ്കിൽ, നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഫോർമുല അർത്ഥമാക്കുന്ന സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

2) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ: ഇരട്ട/ഒറ്റ, ആനുകാലികത:

ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിലെ മാറ്റങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഗ്രാഫുകൾ സമമിതിയുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളെ ഒറ്റയും ഇരട്ടയും എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ ചിഹ്നം മാറുമ്പോൾ (കോർഡിനേറ്റുകളുടെ കേന്ദ്രവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ സമമിതി) അതിൻ്റെ മൂല്യം വിപരീതമായി മാറ്റുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ് വിചിത്രമായ ഫംഗ്ഷൻ.

സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ ചിഹ്നം മാറുമ്പോൾ അതിൻ്റെ മൂല്യം മാറാത്ത ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷൻ (ഓർഡിനേറ്റിനെക്കുറിച്ചുള്ള സമമിതി).

ഒരു ഇരട്ട അല്ലെങ്കിൽ ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷൻ (പൊതു രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ) സമമിതി ഇല്ലാത്ത ഒരു ഫംഗ്‌ഷനല്ല. മുമ്പത്തെ 2 വിഭാഗങ്ങളിൽ പെടാത്ത ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഈ വിഭാഗത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

മുകളിലുള്ള വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നും ഉൾപ്പെടാത്ത ഫംഗ്‌ഷനുകളെ വിളിക്കുന്നു ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല(അല്ലെങ്കിൽ പൊതുവായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ).

വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പൂർണ്ണസംഖ്യ ഉള്ളിടത്ത് ഒറ്റ പവർ.

പ്രവർത്തനങ്ങൾ പോലും

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പൂർണ്ണസംഖ്യ എവിടെയാണ് പവർ പോലും.

ഒരു നിശ്ചിത പതിവ് ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഇടവേളയ്ക്ക് ശേഷം അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് ആവർത്തന പ്രവർത്തനം, അതായത്, മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലുടനീളം ചില നിശ്ചിത പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യകൾ (ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ കാലയളവ്) ആർഗ്യുമെൻ്റിലേക്ക് ചേർക്കുമ്പോൾ അതിൻ്റെ മൂല്യം മാറ്റില്ല. നിർവചനം.

3) ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ (വേരുകൾ) അത് പൂജ്യമാകുന്ന പോയിൻ്റുകളാണ്.

അച്ചുതണ്ടിനൊപ്പം ഗ്രാഫിൻ്റെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നു അയ്യോ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ മൂല്യം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട് എഫ്(0) അച്ചുതണ്ടുമായി ഗ്രാഫിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളും കണ്ടെത്തുക കാള, എന്തുകൊണ്ടാണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് എഫ്(x) = 0 (അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക).

ഗ്രാഫ് അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ പൂജ്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യമാകുന്ന "x" മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

4) അടയാളങ്ങളുടെ സ്ഥിരതയുടെ ഇടവേളകൾ, അവയിലെ അടയാളങ്ങൾ.

ഫംഗ്ഷൻ f(x) അടയാളം നിലനിർത്തുന്ന ഇടവേളകൾ.

സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇടവേള എന്നത് ഫംഗ്ഷൻ പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആയ ഓരോ പോയിൻ്റിലെയും ഒരു ഇടവേളയാണ്.

x-അക്ഷത്തിന് മുകളിൽ.

ആക്സിലിന് താഴെ.

5) തുടർച്ച (തടസ്സത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ, നിർത്തലാക്കുന്നതിൻ്റെ സ്വഭാവം, അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ).

തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷൻ എന്നത് "ജമ്പ്" ഇല്ലാത്ത ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അതായത്, ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ ചെറിയ മാറ്റങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യത്തിൽ ചെറിയ മാറ്റങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന ഒന്ന്.

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പരിധി എങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്, എന്നാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിച്ചിട്ടില്ല, അല്ലെങ്കിൽ പരിധി ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല:

,

അപ്പോൾ പോയിൻ്റ് വിളിക്കുന്നു നീക്കം ചെയ്യാവുന്ന ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റ്ഫംഗ്ഷനുകൾ (സങ്കീർണ്ണമായ വിശകലനത്തിൽ, നീക്കം ചെയ്യാവുന്ന ഏക പോയിൻ്റ്).

നീക്കം ചെയ്യാവുന്ന വിച്ഛേദിക്കുന്ന ഘട്ടത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ "ശരിയാക്കുകയും" ഇടുകയും ചെയ്താൽ , അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ തുടർച്ചയായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കും. ഒരു ഫംഗ്ഷനിലെ അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായി വിപുലീകരിക്കുന്നുഅഥവാ തുടർച്ചയായി പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പുനർനിർവചനം, ഇത് പോയിൻ്റിൻ്റെ പേര് ഒരു പോയിൻ്റായി ന്യായീകരിക്കുന്നു നീക്കം ചെയ്യാവുന്നപിളര്പ്പ്.

ഒന്നും രണ്ടും തരത്തിലുള്ള വിച്ഛേദിക്കൽ പോയിൻ്റുകൾ

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ ഒരു വിരാമം ഉണ്ടെങ്കിൽ (അതായത്, ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധി ഇല്ലെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല), സംഖ്യാപരമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട് സംഖ്യാ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിലനിൽപ്പുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികൾ:

ഏകപക്ഷീയമായ രണ്ട് പരിധികളും നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ അത് പരിമിതമാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു ബിന്ദുവിനെ ആദ്യത്തെ തരത്തിലുള്ള വിച്ഛേദിക്കൽ പോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നീക്കം ചെയ്യാവുന്ന ഡിസ്‌കണ്ടിന്യുറ്റി പോയിൻ്റുകൾ ആദ്യ തരത്തിലുള്ള ഡിസ്‌കണ്ടിന്യുറ്റി പോയിൻ്റുകളാണ്;

ഏകപക്ഷീയമായ പരിമിതികളിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും നിലവിലില്ലെങ്കിലോ പരിമിതമായ മൂല്യമല്ലെങ്കിലോ, അത്തരമൊരു ബിന്ദുവിനെ രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഡിസ്‌കോൺറ്റിന്യൂറ്റി പോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ലക്ഷണം - ഋജുവായത്, വക്രത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഇതിലേക്കുള്ള ദൂരം എന്ന ഗുണമുണ്ട് ഋജുവായത്പോയിൻ്റ് ശാഖയിൽ നിന്ന് അനന്തതയിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു.

ലംബമായ

ലംബ അസിംപ്റ്റോട്ട് - പരിധി ലൈൻ .

ചട്ടം പോലെ, ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ട് നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ, അവർ ഒരു പരിധിയല്ല, രണ്ട് ഏകപക്ഷീയമായ (ഇടത്തും വലത്തും) നോക്കുന്നു. വ്യത്യസ്ത ദിശകളിൽ നിന്ന് ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടിനെ സമീപിക്കുമ്പോൾ പ്രവർത്തനം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്:

തിരശ്ചീനമായ ലക്ഷണം - ഋജുവായത്അസ്തിത്വത്തിന് വിധേയമായ ഇനങ്ങൾ പരിധി

.

ചരിഞ്ഞ ലക്ഷണം - ഋജുവായത്അസ്തിത്വത്തിന് വിധേയമായ ഇനങ്ങൾ പരിധികൾ

ശ്രദ്ധിക്കുക: ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ചരിഞ്ഞ (തിരശ്ചീന) അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഉണ്ടാകരുത്.

ശ്രദ്ധിക്കുക: മുകളിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന രണ്ട് പരിധികളിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും നിലവിലില്ലെങ്കിൽ (അല്ലെങ്കിൽ ന് തുല്യമാണ്), പിന്നെ (അല്ലെങ്കിൽ ) ലെ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് നിലവിലില്ല.

ഇനം 2-ൽ ആണെങ്കിൽ), പിന്നെ , തിരശ്ചീന അസിംപ്റ്റോട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് പരിധി കണ്ടെത്തുന്നത്, .

6) ഏകതാനതയുടെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തൽ. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏകതാനതയുടെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക എഫ്(x)(അതായത്, കൂടുന്നതിൻ്റെയും കുറയുന്നതിൻ്റെയും ഇടവേളകൾ). ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം പരിശോധിച്ചാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത് എഫ്(x). ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക എഫ്(x) അസമത്വം പരിഹരിക്കുക എഫ്(x)0. ഈ അസമത്വം നിലനിൽക്കുന്ന ഇടവേളകളിൽ, പ്രവർത്തനം എഫ്(x) കൂടുന്നു. വിപരീത അസമത്വം നിലനിൽക്കുന്നിടത്ത് എഫ്(x)0, പ്രവർത്തനം എഫ്(x) കുറയുന്നു.

ഒരു പ്രാദേശിക തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നു. മോണോടോണിസിറ്റിയുടെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, വർദ്ധനവ് കുറയുന്നതിലൂടെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്ന പ്രാദേശിക എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ നമുക്ക് ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും, പ്രാദേശിക മാക്സിമ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, കൂടാതെ കുറവിനെ വർദ്ധനവ് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, പ്രാദേശിക മിനിമ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. ഈ പോയിൻ്റുകളിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് ലോക്കൽ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകളല്ലാത്ത നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഈ പോയിൻ്റുകളിലും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൽ y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (തുടരും)