പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തം. അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ

അറിവ് അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ, അവയുടെ ഗുണങ്ങളും ഗ്രാഫുകളുംഗുണന പട്ടികകൾ അറിയുന്നതിനേക്കാൾ പ്രാധാന്യം കുറവാണ്. അവർ അടിസ്ഥാനം പോലെയാണ്, എല്ലാം അവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, എല്ലാം അവരിൽ നിന്നാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, എല്ലാം അവരിലേക്ക് ഇറങ്ങുന്നു.

ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ എല്ലാ പ്രധാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളും പട്ടികപ്പെടുത്തുകയും അവയുടെ ഗ്രാഫുകൾ നൽകുകയും നിഗമനമോ തെളിവോ ഇല്ലാതെ നൽകുകയും ചെയ്യും. അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾസ്കീം അനുസരിച്ച്:

• നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ അതിരുകളിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പെരുമാറ്റം, ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ (ആവശ്യമെങ്കിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർത്തലാക്കൽ പോയിൻ്റുകളുടെ ലേഖന വർഗ്ഗീകരണം കാണുക);
• ഇരട്ടയും ഒറ്റയും;
• കോൺവെക്‌സിറ്റി (കോൺവെക്‌സിറ്റി മുകളിലേക്ക്), ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ (ആവശ്യമെങ്കിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ കോൺവെക്‌സിറ്റി, കോൺവെക്‌സിറ്റിയുടെ ദിശ, ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ, കോൺവെക്‌സിറ്റിയുടെയും ഇൻഫ്‌ളെക്‌ഷൻ്റെയും അവസ്ഥകൾ എന്നിവ കാണുക);
• ചരിഞ്ഞതും തിരശ്ചീനവുമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ;
• പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏകവചനങ്ങൾ;
• ചില ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ പ്രത്യേക ഗുണവിശേഷതകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് കാലയളവ്).

നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഈ വിഭാഗങ്ങളിലേക്ക് പോകാം.

അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾഇവയാണ്: സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനം (സ്ഥിരമായ), nth റൂട്ട്, പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ, ത്രികോണമിതി, വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനം.

സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണത്തിൽ ഒരു സ്ഥിരമായ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ C എന്നത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്. ഒരു സ്ഥിരമായ ഫംഗ്ഷൻ, സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളായ x ൻ്റെ ഓരോ യഥാർത്ഥ മൂല്യത്തെയും ആശ്രിത വേരിയബിളിൻ്റെ അതേ മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു - മൂല്യം C. സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനത്തെ സ്ഥിരാങ്കം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് x-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു നേർരേഖയാണ്, കൂടാതെ കോർഡിനേറ്റുകൾ (0,C) ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. ഒരു ഉദാഹരണമായി, y=5, y=-2 എന്നീ സ്ഥിരമായ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ഞങ്ങൾ കാണിക്കും, ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ യഥാക്രമം കറുപ്പ്, ചുവപ്പ്, നീല വരകളുമായി യോജിക്കുന്നു.

സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

• ഡൊമെയ്ൻ: യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റ്.
• സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനം തുല്യമാണ്.
• മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി: C എന്ന ഏക സംഖ്യ അടങ്ങുന്ന സെറ്റ്.
• ഒരു സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കാത്തതും കുറയാത്തതുമാണ് (അതുകൊണ്ടാണ് ഇത് സ്ഥിരമായത്).
• ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ കോൺവെക്സിറ്റിയെയും കോൺകാവിറ്റിയെയും കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല.
• രോഗലക്ഷണങ്ങളൊന്നുമില്ല.
• കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റിലൂടെ (0,C) ഫംഗ്ഷൻ കടന്നുപോകുന്നു.

nth ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട്.

സൂത്രവാക്യം നൽകുന്ന അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കാം, ഇവിടെ n എന്നത് ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്.

Nth ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട്, n ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.

റൂട്ട് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് n ൻ്റെ ഇരട്ട മൂല്യങ്ങൾക്കായി nth റൂട്ട് ഫംഗ്‌ഷനിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം.

ഉദാഹരണമായി, ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളുടെ ചിത്രങ്ങളുള്ള ഒരു ചിത്രം ഇതാ കൂടാതെ, അവ കറുപ്പ്, ചുവപ്പ്, നീല വരകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഇരട്ട-ഡിഗ്രി റൂട്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾക്ക് എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്ക് സമാനമായ രൂപമുണ്ട്.

n-നുള്ള nth റൂട്ട് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

n-ാമത്തെ റൂട്ട്, n എന്നത് ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണ്.

ഒരു ഒറ്റമൂലി ഘാതം n ഉള്ള nth റൂട്ട് ഫംഗ്ഷൻ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ ഇതാ കൂടാതെ, അവ കറുപ്പ്, ചുവപ്പ്, നീല കർവുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

റൂട്ട് എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ മറ്റ് വിചിത്ര മൂല്യങ്ങൾക്ക്, ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫുകൾക്ക് സമാനമായ രൂപമുണ്ടാകും.

ഒറ്റ n-നുള്ള nth റൂട്ട് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

പവർ ഫംഗ്ഷൻ.

ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് പവർ ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നത്.

ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുകളുടെ രൂപവും എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ച് ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണങ്ങളും നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് a ഉള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷനിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ രൂപവും ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗുണങ്ങളും എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ തുല്യത അല്ലെങ്കിൽ വിചിത്രതയെയും അതിൻ്റെ ചിഹ്നത്തെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം a യുടെ ഒറ്റ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പരിഗണിക്കും, തുടർന്ന് പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾക്ക്, പിന്നെ ഒറ്റ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾക്ക്, ഒടുവിൽ, പോലും നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾക്ക്.

ഫ്രാക്ഷണൽ ആൻഡ് അറേഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ (അത്തരം പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ തരവും) എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് a യുടെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ അവ പരിഗണിക്കും, ഒന്നാമതായി, പൂജ്യം മുതൽ ഒന്ന് വരെ, രണ്ടാമതായി, ഒന്നിൽ കൂടുതൽ, മൂന്നാമത്, മൈനസ് ഒന്ന് മുതൽ പൂജ്യം വരെ, നാലാമതായി, മൈനസ് ഒന്നിൽ താഴെ.

ഈ വിഭാഗത്തിൻ്റെ അവസാനം, പൂർണ്ണതയ്ക്കായി, പൂജ്യം എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷനെ ഞങ്ങൾ വിവരിക്കും.

ഒറ്റ പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ.

വിചിത്രമായ പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ പരിഗണിക്കാം, അതായത്, = 1,3,5,....

ചുവടെയുള്ള ചിത്രം പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ കാണിക്കുന്നു - ബ്ലാക്ക് ലൈൻ, - ബ്ലൂ ലൈൻ, - റെഡ് ലൈൻ, - ഗ്രീൻ ലൈൻ. a=1 ന് നമുക്കുണ്ട് രേഖീയ പ്രവർത്തനം y=x.

വിചിത്രമായ പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റോടുകൂടിയ പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ.

പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ പരിഗണിക്കാം, അതായത് a = 2,4,6,....

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഞങ്ങൾ പവർ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നൽകുന്നു - ബ്ലാക്ക് ലൈൻ, - ബ്ലൂ ലൈൻ, - റെഡ് ലൈൻ. a=2 ന് നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട്, അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പരവലയം.

പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

ഒറ്റ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ.

എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ വിചിത്രമായ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുകൾ നോക്കുക, അതായത് a = -1, -3, -5,....

പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ഉദാഹരണങ്ങളായി ചിത്രം കാണിക്കുന്നു - ബ്ലാക്ക് ലൈൻ, - ബ്ലൂ ലൈൻ, - റെഡ് ലൈൻ, - ഗ്രീൻ ലൈൻ. a=-1 ന് ഞങ്ങൾക്കുണ്ട് വിപരീത അനുപാതം, ആരുടെ ഗ്രാഫ് ആണ് ഹൈപ്പർബോള.

വിചിത്രമായ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് പോലും ഉള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ.

നമുക്ക് a=-2,-4,-6,.... എന്നതിലെ പവർ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് പോകാം.

പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ചിത്രം കാണിക്കുന്നു - ബ്ലാക്ക് ലൈൻ, - ബ്ലൂ ലൈൻ, - റെഡ് ലൈൻ.

പോലും നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതും ഒന്നിൽ കുറവുമുള്ള യുക്തിസഹമോ യുക്തിരഹിതമോ ആയ ഘാതം ഉള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷൻ.

കുറിപ്പ്!ഒരു വിചിത്രമായ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു പോസിറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷൻ ആണെങ്കിൽ, ചില രചയിതാക്കൾ പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നെ ഇടവേളയായി കണക്കാക്കുന്നു. എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് a എന്നത് കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയാണെന്ന് വ്യവസ്ഥ ചെയ്യുന്നു. ഇപ്പോൾ ബീജഗണിതത്തെയും വിശകലന തത്വങ്ങളെയും കുറിച്ചുള്ള നിരവധി പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെ രചയിതാക്കൾ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി വിചിത്രമായ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിൽ ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ നിർവചിക്കുന്നില്ല. ഞങ്ങൾ ഈ വീക്ഷണം കൃത്യമായി പാലിക്കും, അതായത്, ഫ്രാക്ഷണൽ പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുകളായി ഞങ്ങൾ സെറ്റിനെ പരിഗണിക്കും. അഭിപ്രായവ്യത്യാസങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികൾ ഈ സൂക്ഷ്മമായ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങളുടെ അധ്യാപകൻ്റെ അഭിപ്രായം കണ്ടെത്തണമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

നമുക്ക് യുക്തിസഹമോ യുക്തിരഹിതമോ ആയ ഒരു ഘാതം a, കൂടാതെ .

a=11/12 (ബ്ലാക്ക് ലൈൻ), a=5/7 (ചുവപ്പ് വര), (നീല വര), a=2/5 (പച്ച വര) എന്നിവയ്‌ക്കായുള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നമുക്ക് അവതരിപ്പിക്കാം.

ഒന്നിൽ കൂടുതൽ നോൺ-ഇൻ്റേജർ റേഷണൽ അല്ലെങ്കിൽ അറേഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ.

ഒരു നോൺ-ഇൻ്റേജർ റേഷണൽ അല്ലെങ്കിൽ അറേഷണൽ എക്സ്പോണൻ്റ് ഉള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷൻ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം a, കൂടാതെ .

ഫോർമുലകൾ നൽകുന്ന പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നമുക്ക് അവതരിപ്പിക്കാം (യഥാക്രമം കറുപ്പ്, ചുവപ്പ്, നീല, പച്ച വരകൾ).

എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എയുടെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്ക്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുകൾക്ക് സമാനമായ രൂപമുണ്ടാകും.

വൈദ്യുതി പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ.

മൈനസ് ഒന്നിനേക്കാൾ വലുതും പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവുമായ ഒരു യഥാർത്ഥ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ.

കുറിപ്പ്! a എന്നത് ഒരു വിചിത്രമായ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു നെഗറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷൻ ആണെങ്കിൽ, ചില രചയിതാക്കൾ ഒരു പവർ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നെ ഇടവേളയായി കണക്കാക്കുന്നു. . എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് a എന്നത് കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയാണെന്ന് വ്യവസ്ഥ ചെയ്യുന്നു. ഇപ്പോൾ ബീജഗണിതത്തെയും വിശകലന തത്വങ്ങളെയും കുറിച്ചുള്ള നിരവധി പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെ രചയിതാക്കൾ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി വിചിത്രമായ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിൽ ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ നിർവചിക്കുന്നില്ല. ഞങ്ങൾ ഈ വീക്ഷണം കൃത്യമായി പാലിക്കും, അതായത്, ഫ്രാക്ഷണൽ ഫ്രാക്ഷണൽ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുകൾ യഥാക്രമം ഒരു സെറ്റായി ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. അഭിപ്രായവ്യത്യാസങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികൾ ഈ സൂക്ഷ്മമായ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങളുടെ അധ്യാപകൻ്റെ അഭിപ്രായം കണ്ടെത്തണമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

നമുക്ക് പവർ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് പോകാം, kgod.

പവർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ രൂപത്തെക്കുറിച്ച് നല്ല ആശയം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു. (യഥാക്രമം കറുപ്പ്, ചുവപ്പ്, നീല, പച്ച വളവുകൾ).

എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എ ഉള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

മൈനസ് ഒന്നിൽ കുറവുള്ള ഒരു നോൺ-ഇൻ്റേജർ റിയൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ.

പവർ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം , അവ യഥാക്രമം കറുപ്പ്, ചുവപ്പ്, നീല, പച്ച വരകളാൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

മൈനസ് ഒന്നിൽ കുറവുള്ള ഒരു നോൺ-ഇൻ്റേജർ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

a = 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ട് - ഇത് ഒരു നേർരേഖയാണ്, അതിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റ് (0;1) ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു (0 0 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് ഒരു പ്രാധാന്യവും നൽകേണ്ടതില്ലെന്ന് സമ്മതിച്ചു).

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനാണ് പ്രധാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിലൊന്ന്.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്, ബേസിൻ്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ച് വ്യത്യസ്ത രൂപങ്ങൾ എവിടെയും എടുക്കുന്നു. നമുക്ക് ഇത് കണ്ടുപിടിക്കാം.

ആദ്യം, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അടിസ്ഥാനം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് ഒന്നിലേക്ക് ഒരു മൂല്യം എടുക്കുമ്പോൾ കേസ് പരിഗണിക്കുക, അതായത്, .

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഒരു = 1/2 - നീല വര, a = 5/6 - ചുവപ്പ് വര എന്നിവയ്‌ക്കായുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുകൾ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുകൾക്ക് ഇടവേള മുതൽ അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്ക് സമാനമായ രൂപമുണ്ട്.

ഒന്നിൽ താഴെ അടിസ്ഥാനമുള്ള ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാകുമ്പോൾ നമുക്ക് കേസിലേക്ക് പോകാം, അതായത്.

ഒരു ചിത്രീകരണമെന്ന നിലയിൽ, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു - നീല വരയും - ചുവപ്പ് വരയും. ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള അടിത്തറയുടെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്ക്, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുകൾക്ക് സമാനമായ രൂപമുണ്ടാകും.

ഒന്നിൽ കൂടുതൽ അടിത്തറയുള്ള ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷൻ.

അടുത്ത അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക ഫംഗ്ഷൻ ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷനാണ്, എവിടെ , . ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി മാത്രമാണ് ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്, അതായത്, .

ഒരു ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അടിസ്ഥാന a യുടെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ച് വ്യത്യസ്ത രൂപങ്ങൾ എടുക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പൂർണ്ണമായ ലിസ്റ്റ്

അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്ലാസിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾപ്പെടുന്നു:

1. സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനം $y=C$, ഇവിടെ $C$ ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്. അത്തരം ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഏത് $x$ നും അതേ മൂല്യം $C$ എടുക്കുന്നു.
2. പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ $y=x^(a) $, ഇവിടെ $a$ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.
3. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ $y=a^(x) $, ഇവിടെ അടിസ്ഥാനം ഡിഗ്രി $a>0$, $a\ne 1$ ആണ്.
4. ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ $y=\log _(a) x$, ഇവിടെ ലോഗരിഥത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം $a>0$, $a\ne 1$ ആണ്.
5. ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ സെക്കൻ്റ്\,x$.
6. വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

പവർ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ $y=x^(a) $ അതിൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഇൻ്റിജർ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷനും റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌ഷനും നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ അതിൻ്റെ സ്വഭാവം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

കേസ് 1

$y=x^(a) $ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, അതായത് $y=x^(n) $, $n\in N$.

$n=2\cdot k$ ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ ആണെങ്കിൽ, $y=x^(2\cdot k) $ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഇരട്ടിയാകുകയും $\left(x\to +\infty \ right എന്ന വാദം പോലെ അനിശ്ചിതമായി വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. )$, കൂടാതെ അതിൻ്റെ പരിധിയില്ലാത്ത കുറവ് $\ഇടത്(x\to -\infty \right)$. $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, $\mathop(\lim )\ എന്നീ പദപ്രയോഗങ്ങളാൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഈ സ്വഭാവത്തെ വിവരിക്കാം. limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, അതായത് രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലെയും പ്രവർത്തനം പരിധിയില്ലാതെ വർദ്ധിക്കുന്നു ($\lim $ ആണ് പരിധി). ഉദാഹരണം: ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് $y=x^(2) $.

$n=2\cdot k-1$ ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യ ആണെങ്കിൽ, $y=x^(2\cdot k-1) $ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഒറ്റസംഖ്യയാണ്, ആർഗ്യുമെൻ്റ് അനിശ്ചിതമായി വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് അനിശ്ചിതമായി വർദ്ധിക്കുകയും ആർഗ്യുമെൻ്റായി അനിശ്ചിതമായി കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു. അനിശ്ചിതമായി കുറയുന്നു. $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $, $\mathop(\lim എന്നീ പദപ്രയോഗങ്ങളാൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഈ സ്വഭാവത്തെ വിവരിക്കാം. )\പരിമിതി_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. ഉദാഹരണം: ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് $y=x^(3) $.

കേസ് 2

$y=x^(a) $ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, അതായത് $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

$n=2\cdot k$ ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ തുല്യമാണ്, കൂടാതെ അൺലിമിറ്റഡ് വർദ്ധനവ് ആർഗ്യുമെൻ്റ് പോലെ അസിംപ്റ്റിക്കലിയായി (ക്രമേണ) പൂജ്യത്തെ സമീപിക്കുന്നു. , കൂടാതെ അതിൻ്റെ പരിധിയില്ലാത്ത കുറവും. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഈ സ്വഭാവത്തെ $\mathop(\lim )\limits_(x\ to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$ എന്ന ഒറ്റ പദപ്രയോഗത്തിലൂടെ വിവരിക്കാം, അതായത് കേവല മൂല്യത്തിൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനവ്, ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധി പൂജ്യമാണ്. കൂടാതെ, ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഇടതുവശത്ത് $\ഇടത്(x\ to 0-0\ right)$, വലത് $\ഇടത്(x\ to 0+0\right)$ എന്നിവയിൽ പൂജ്യമായി മാറുന്നതിനാൽ, ഫംഗ്ഷൻ ഇതില്ലാതെ വർദ്ധിക്കുന്നു പരിധി. അതിനാൽ, $\mathop(\lim )\limits_(x\ to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, $\mathop(\lim )\ എന്നീ പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരിധികൾ_ സാധുതയുള്ളതാണ് (x\ to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, അതായത് ഫംഗ്‌ഷൻ $y=\frac(1)(x^(2 \cdot k) ) രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും $+\infty $ ന് തുല്യമായ അനന്തമായ പരിധിയുണ്ട്. ഉദാഹരണം: ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

$n=2\cdot k-1$ ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ വിചിത്രവും അസിംപ്റ്റോട്ടിക്കലി പൂജ്യത്തെ സമീപിക്കുന്നതുമാണ്. വാദം കൂടുകയും അത് പരിധിയില്ലാതെ കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഈ സ്വഭാവത്തെ $\mathop(\lim )\limits_(x\ to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$ എന്ന ഒറ്റ പദപ്രയോഗത്തിലൂടെ വിവരിക്കാം. കൂടാതെ, ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഇടതുവശത്ത് പൂജ്യത്തോട് അടുക്കുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷൻ പരിധിയില്ലാതെ കുറയുന്നു, വലതുവശത്ത് ആർഗ്യുമെൻ്റ് പൂജ്യത്തിലേക്ക് അടുക്കുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷൻ പരിധിയില്ലാതെ വർദ്ധിക്കുന്നു, അതായത് $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $, $\mathop(\lim )\limits_(x\ to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. ഉദാഹരണം: ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് $y=\frac(1)(x) $.

കേസ് 3

$y=x^(a) $ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ വിപരീതമാണ്, അതായത് $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\ in N$.

$n=2\cdot k$ ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ ഫംഗ്‌ഷൻ രണ്ട് മൂല്യമുള്ളതും $x\ge 0 ന് മാത്രം നിർവചിക്കപ്പെടുന്നതുമാണ്. $. ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനവോടെ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ പരിധിയില്ലാതെ വർദ്ധിക്കുന്നു, കൂടാതെ $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ പരിധിയില്ലാതെ കുറയുന്നു, അതായത്, $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $, $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. ഉദാഹരണം: ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് $y=\pm \sqrt(x) $.

$n=2\cdot k-1$ ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യ ആണെങ്കിൽ, $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ ഒറ്റസംഖ്യയാണ്, ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനവ് കൊണ്ട് പരിധിയില്ലാതെ വർദ്ധിക്കുന്നു പരിധിയില്ലാത്തപ്പോൾ പരിധിയില്ലാതെ കുറയുന്നു, അതായത്, $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ ഒപ്പം $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. ഉദാഹരണം: ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് $y=\sqrt[(3)](x) $.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ $y=a^(x) $, ലോഗരിഥമിക് $y=\log _(a) x$ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പരസ്പരം വിപരീതമാണ്. അവയുടെ ഗ്രാഫുകൾ ആദ്യത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും കോർഡിനേറ്റ് കോണുകളുടെ പൊതു ദ്വിവിഭാഗവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയാണ്.

$\left(x\to +\infty \right)$ എന്ന വാദം അനിശ്ചിതമായി വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ അനിശ്ചിതമായി വർദ്ധിക്കുന്നു , $a>1$, അല്ലെങ്കിൽ ലക്ഷണരഹിതമായി പൂജ്യത്തെ സമീപിച്ചാൽ $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty) a^(x) =0$, $a1$ ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ $\mathop പരിധിയില്ലാതെ വർദ്ധിക്കുന്നു (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, എങ്കിൽ $a

$y=a^(x) $ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സ്വഭാവ മൂല്യം $x=0$ ആണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എല്ലാ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകളും, $a$ പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, $Oy$ അക്ഷത്തെ $y=1$-ൽ വിഭജിക്കണം. ഉദാഹരണങ്ങൾ: $y=2^(x) $, $y = \ഇടത് (\frac(1)(2) \വലത്)^(x) $ എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ.

$y=\log _(a) x$ എന്ന ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ $x > 0$-ന് മാത്രം നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്നു.

$\left(x\ to +\infty \right)$ അനിശ്ചിതമായി വർദ്ധിക്കുന്നതിനാൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \, $a>1$ ആണെങ്കിൽ, അനിശ്ചിതമായി infty $ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, $a1 ആണെങ്കിൽ $, അല്ലെങ്കിൽ പരിധിയില്ലാതെ $\mathop(\lim )\limits_(x\ to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ കൂടുന്നുവെങ്കിൽ $a

$y=\log _(a) x$ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സ്വഭാവ മൂല്യം $y=0$ ആണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എല്ലാ ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷനുകളും, $a$ പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, $x=1$ എന്നതിൽ $Ox$ അക്ഷത്തെ ഖണ്ഡിക്കേണ്ടതാണ്. ഉദാഹരണങ്ങൾ: $y=\log _(2) x$, $y=\log _(1/2) x$ എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ.

ചില ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷനുകൾക്ക് പ്രത്യേക നൊട്ടേഷൻ ഉണ്ട്. പ്രത്യേകിച്ചും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം $a=10$ ആണെങ്കിൽ, അത്തരം ലോഗരിതത്തെ ദശാംശം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അനുബന്ധ ഫംഗ്ഷൻ $y=\lg x$ എന്ന് എഴുതുന്നു. കൂടാതെ $e=2.7182818\ldots $ എന്നത് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമായി തിരഞ്ഞെടുത്താൽ, അത്തരമൊരു ലോഗരിതം സ്വാഭാവികം എന്നും അനുബന്ധ ഫംഗ്‌ഷൻ $y=\ln x$ എന്നും എഴുതപ്പെടും. ഇതിൻ്റെ വിപരീതം $y=e^(x) $ ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ്, ഇതിനെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

വിഭാഗത്തിൽ പ്രധാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളെയും അവയുടെ ഗുണങ്ങളെയും കുറിച്ചുള്ള റഫറൻസ് മെറ്റീരിയൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു വർഗ്ഗീകരണം നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഗ്രാഫുകൾ, ഫോർമുലകൾ, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകൾ (ഇൻ്റഗ്രലുകൾ), സീരീസ് വിപുലീകരണങ്ങൾ, സങ്കീർണ്ണമായ വേരിയബിളുകളിലൂടെയുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾ - നിർദ്ദിഷ്ട ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സവിശേഷതകൾ ചർച്ച ചെയ്യുന്ന ഉപവിഭാഗങ്ങളിലേക്കുള്ള ലിങ്കുകൾ ചുവടെയുണ്ട്.

അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുള്ള റഫറൻസ് പേജുകൾ

പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വർഗ്ഗീകരണം

ബീജഗണിത പ്രവർത്തനംസമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്:
,
ആശ്രിത വേരിയബിളായ y, സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ x എന്നിവയിൽ ഒരു ബഹുപദം എവിടെയാണ്. ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
,
ബഹുപദങ്ങൾ എവിടെയാണ്.

ബീജഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളെ ബഹുപദങ്ങൾ (മുഴുവൻ യുക്തിപരമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ), യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ, യുക്തിരഹിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്നിങ്ങനെ തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനം, എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു ബഹുപദംഅഥവാ ബഹുപദം, x എന്ന വേരിയബിളിൽ നിന്നും പരിമിതമായ സംഖ്യകളിൽ നിന്നും സങ്കലനം (കുറയ്ക്കൽ), ഗുണനം എന്നിവയുടെ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ലഭിക്കും. ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന ശേഷം, പോളിനോമിയൽ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:
.

ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനം, അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനം, സങ്കലനം (കുറക്കൽ), ഗുണനം, ഹരിക്കൽ എന്നിവയുടെ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് x എന്ന വേരിയബിളിൽ നിന്നും പരിമിതമായ സംഖ്യകളിൽ നിന്നും ലഭിക്കും. യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനം രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം
,
എവിടെ, ബഹുപദങ്ങൾ.

യുക്തിരഹിതമായ പ്രവർത്തനംയുക്തിസഹമല്ലാത്ത ഒരു ബീജഗണിത പ്രവർത്തനമാണ്. ചട്ടം പോലെ, യുക്തിരഹിതമായ ഫംഗ്ഷൻ വേരുകളും അവയുടെ രചനകളും യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി മനസ്സിലാക്കുന്നു. n ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു റൂട്ട് സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു
.
ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:
.

അതീന്ദ്രിയ പ്രവർത്തനങ്ങൾബീജഗണിതമല്ലാത്ത പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇവ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ, ത്രികോണമിതി, ഹൈപ്പർബോളിക്, അവയുടെ വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്നിവയാണ്.

അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അവലോകനം

എല്ലാ പ്രാഥമിക ഫംഗ്‌ഷനുകളും ഫോമിൻ്റെ ഒരു എക്‌സ്‌പ്രഷനിൽ നടത്തുന്ന സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, വിഭജനം എന്നിവയുടെ ഒരു പരിമിത സംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
ഇസഡ് ടി.
വിപരീത ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലും പ്രകടിപ്പിക്കാം. അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചുവടെ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

പവർ പ്രവർത്തനം:
y(x) = xp,
ഇവിടെ p ആണ് ഘാതം. ഇത് x ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.
പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വിപരീതവും പവർ ഫംഗ്‌ഷനാണ്:
.
p യുടെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ നോൺ-നെഗറ്റീവ് മൂല്യത്തിന്, ഇത് ഒരു ബഹുപദമാണ്. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യത്തിന് p - ഒരു യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനം. യുക്തിസഹമായ അർത്ഥത്തോടെ - യുക്തിരഹിതമായ പ്രവർത്തനം.

അതീന്ദ്രിയ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ:
y(x) = a x ,
ഇവിടെ a ആണ് ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനം. ഇത് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് x നെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഒരു ആധാരമാക്കാനുള്ള ലോഗരിതം ആണ് വിപരീത പ്രവർത്തനം:
x = ലോഗ് എ വൈ.

എക്‌സ്‌പോണൻ്റ്, ഇ മുതൽ x പവർ വരെ:
y(x) = e x,
ഇതൊരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനുതന്നെ തുല്യമാണ്:
.
ഘാതകത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം e എന്ന സംഖ്യയാണ്:
≈ 2,718281828459045... .
വിപരീത പ്രവർത്തനം - സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം - ലോഗരിതം മുതൽ അടിസ്ഥാനം വരെ ഇ:
x = ln y ≡ ലോഗ് e y.

ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ:
സൈൻ:;
കോസൈൻ:;
ടാൻജെൻ്റ്:;
കോട്ടാൻജെൻ്റ്:;
ഇവിടെ i സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ്, i 2 = -1.

വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ:
ആർക്സൈൻ: x = ആർക്‌സിൻ വൈ, ;
ആർക്ക് കോസൈൻ: x = ആർക്കോസ് വൈ, ;
ആർട്ടജൻ്റ്: x = ആർക്റ്റാൻ വൈ, ;
ആർക്ക് ടാൻജെൻ്റ്: x = arcctg വൈ, .

അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾഇവയാണ്: സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനം (സ്ഥിരമായത്), റൂട്ട് എൻ-th ഡിഗ്രി, പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ, ത്രികോണമിതി, വിപരീത ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനം.

സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണത്തിൽ ഒരു സ്ഥിരമായ ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നു സി- കുറച്ച് യഥാർത്ഥ സംഖ്യ. ഒരു സ്ഥിരമായ ഫംഗ്ഷൻ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ ഓരോ യഥാർത്ഥ മൂല്യവും നൽകുന്നു xആശ്രിത വേരിയബിളിൻ്റെ അതേ മൂല്യം വൈ- അർത്ഥം കൂടെ. സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനത്തെ സ്ഥിരാങ്കം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ഒരു സ്ഥിരാങ്ക ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് x-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു നേർരേഖയാണ്, കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. (0,C). ഉദാഹരണത്തിന്, സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ കാണിക്കാം y=5,y=-2കൂടാതെ, ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ യഥാക്രമം കറുപ്പ്, ചുവപ്പ്, നീല വരകളുമായി യോജിക്കുന്നു.

സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

ഡൊമെയ്ൻ: യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റ്.

സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനം തുല്യമാണ്.

മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി: ഒരു ഏകവചന സംഖ്യ അടങ്ങുന്ന സെറ്റ് കൂടെ.

ഒരു സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കാത്തതും കുറയാത്തതുമാണ് (അതുകൊണ്ടാണ് ഇത് സ്ഥിരമായത്).

ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ കോൺവെക്‌സിറ്റിയെയും കോൺകാവിറ്റിയെയും കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല.

രോഗലക്ഷണങ്ങളൊന്നുമില്ല.

പ്രവർത്തനം പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു (0,C)കോർഡിനേറ്റ് വിമാനം.

nth ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട്.

സൂത്രവാക്യം നൽകുന്ന അടിസ്ഥാന പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം എൻ- ഒന്നിൽ കൂടുതൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ.

n-ാമത്തെ റൂട്ട്, n ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.

നമുക്ക് റൂട്ട് ഫംഗ്ഷനിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം എൻറൂട്ട് എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ ഇരട്ട മൂല്യങ്ങൾക്കുള്ള പവർ എൻ.

ഉദാഹരണമായി, ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളുടെ ചിത്രങ്ങളുള്ള ഒരു ചിത്രം ഇതാ കൂടാതെ, അവ കറുപ്പ്, ചുവപ്പ്, നീല വരകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഇരട്ട-ഡിഗ്രി റൂട്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾക്ക് എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്ക് സമാനമായ രൂപമുണ്ട്.

റൂട്ട് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾഎൻ -th power for evenഎൻ .

n-ാമത്തെ റൂട്ട്, n എന്നത് ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയാണ്.

റൂട്ട് പ്രവർത്തനം എൻവിചിത്രമായ റൂട്ട് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള -th പവർ എൻയഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റിലും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ ഇതാ കൂടാതെ, അവ കറുപ്പ്, ചുവപ്പ്, നീല കർവുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.