एक बहुपद गुणांक. भाग 1

फॅक्टरायझेशनजटिल समीकरणे आणि असमानता सोडवण्यासाठी एक बहुमुखी युक्ती आहे. उजवीकडे शून्य असणारी समीकरणे आणि असमानता सोडवताना पहिला विचार मनात यायला हवा तो म्हणजे डाव्या बाजूला घटकांमध्ये घट्ट करण्याचा प्रयत्न करणे.

चला मुख्य यादी करूया बहुपद मोजण्याचे मार्ग:

• सामान्य घटकाचा कंस
• संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे वापरणे
• चौरस त्रिकोणाच्या गुणन सूत्रानुसार
• गटबद्ध करण्याची पद्धत
• द्विपदाने बहुपद विभाजित करणे
• अपरिभाषित गुणांक पद्धत

या लेखात आम्ही पहिल्या तीन पद्धतींवर लक्ष केंद्रित करू, आम्ही पुढील लेखांमध्ये उर्वरित गोष्टींचा विचार करू.

1. सामान्य घटक कंसातून काढणे.

सामान्य घटक शोधण्यासाठी, आपल्याला प्रथम ते शोधणे आवश्यक आहे. सामान्य घटकसर्व गुणांकांच्या सर्वात मोठ्या सामान्य भागाकाराच्या बरोबरीचे आहे.

पत्राचा भागसामान्य घटक हा प्रत्येक पदातील सर्वात लहान घातांकात समाविष्ट केलेल्या अभिव्यक्तींच्या उत्पादनाच्या बरोबरीचा आहे.

सामान्य घटक मिळवण्याची योजना अशी दिसते:

लक्ष!
कंसातील पदांची संख्या मूळ अभिव्यक्तीतील पदांच्या संख्येइतकी आहे. जर एखादी संज्ञा सामान्य घटकाशी जुळली असेल, तर ती सामान्य घटकाद्वारे विभाजित करताना, आपल्याला एकता मिळते.

उदाहरण 1.

गुणक बहुपद:

सामान्य घटक काढा. हे करण्यासाठी, प्रथम आपण ते शोधू.

1. बहुपदीच्या सर्व गुणकांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधा, म्हणजे. संख्या 20, 35 आणि 15. हे 5 च्या बरोबरीचे आहे.

2. आम्ही स्थापित करतो की व्हेरिएबल सर्व अटींमध्ये समाविष्ट आहे आणि त्याचे सर्वात लहान घातांक आहे 2. व्हेरिएबल सर्व अटींमध्ये समाविष्ट आहे आणि त्यातील सर्वात लहान घातांक 3 आहे.

व्हेरिएबल फक्त दुसऱ्या टर्ममध्ये आहे, म्हणून ते सामान्य घटकांमध्ये समाविष्ट नाही.

तर सामान्य घटक आहे

3. वर दिलेल्या योजनेचा वापर करून आम्ही कंसातून घटक काढतो:

उदाहरण 2.समीकरण सोडवा:

उपाय. समीकरणाच्या डाव्या बाजूस कारक करा. चला कंसातून घटक काढू:

तर, आम्हाला समीकरण मिळाले

चला प्रत्येक घटकाला शून्य असे समजू:

आम्हाला मिळते - पहिल्या समीकरणाचे मूळ.

मुळं:

उत्तर: -1, 2, 4

2. संक्षिप्त गुणाकार सूत्र वापरून गुणन.

जर आपण बहुपदात ज्या अटींची संख्या गुणन करणार आहोत त्या संख्येची संख्या तीनपेक्षा कमी किंवा समान असेल, तर आम्ही संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे लागू करण्याचा प्रयत्न करतो.

1. बहुपदी असल्यासदोन पदांचा फरक, मग आम्ही अर्ज करण्याचा प्रयत्न करतो चौरस सूत्राचा फरक:

किंवा क्यूब्स फरक सूत्र:

येथे अक्षरे आणि संख्या किंवा बीजगणित अभिव्यक्ती दर्शवा.

2. जर बहुपद दोन पदांची बेरीज असेल तर कदाचित ते वापरून गुणन केले जाऊ शकते क्यूब्स बेरीज सूत्र:

3. जर बहुपदी तीन पदांचा समावेश असेल तर आम्ही लागू करण्याचा प्रयत्न करतो चौरस बेरीज सूत्र:

किंवा वर्ग फरक सूत्र:

किंवा घटक बनवण्याचा प्रयत्न करत आहे चौरस त्रिमितीय गुणन सूत्र:

येथे आणि द्विघात समीकरणाची मुळे आहेत

उदाहरण 3.घटक अभिव्यक्ती:

उपाय. आमच्या आधी दोन पदांची बेरीज आहे. चला क्यूब्सच्या बेरीजसाठी सूत्र लागू करण्याचा प्रयत्न करूया. हे करण्यासाठी, आपल्याला प्रथम प्रत्येक अभिव्यक्तीच्या क्यूबच्या रूपात प्रत्येक संज्ञेचे प्रतिनिधित्व करण्याची आवश्यकता आहे आणि नंतर क्यूबच्या बेरीजसाठी सूत्र लागू करा:

उदाहरण 4.घटक अभिव्यक्ती:

घोषणा. आमच्यासमोर दोन अभिव्यक्तींच्या चौरसांचा फरक आहे. पहिली अभिव्यक्ती:, दुसरी अभिव्यक्ती:

चौरसाच्या फरकासाठी सूत्र लागू करूया:

चला कंस उघडू आणि तत्सम अटी देऊ, आम्हाला मिळते:

ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर.
द्विपद च्या चौरसाची निवड आणि चौरस त्रिमूर्तीचे गुणन.

त्या. संख्या finding (p, q \) आणि \ (n, m \) शोधण्यात समस्या कमी होतात

प्रोग्राम केवळ समस्येचे उत्तर देत नाही, तर निराकरण प्रक्रिया देखील प्रदर्शित करतो.

हा कार्यक्रम माध्यमिक शाळांच्या वरिष्ठ विद्यार्थ्यांसाठी चाचण्या आणि परीक्षांच्या तयारीसाठी, परीक्षेपूर्वी ज्ञान तपासताना, पालकांना गणित आणि बीजगणित विषयातील अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी उपयुक्त ठरू शकतो. किंवा कदाचित आपल्यासाठी शिक्षक घेणे किंवा नवीन पाठ्यपुस्तके खरेदी करणे खूप महाग आहे? किंवा तुम्हाला तुमचे गणित किंवा बीजगणित गृहपाठ शक्य तितक्या लवकर पूर्ण करायचे आहे का? या प्रकरणात, आपण आमच्या प्रोग्रामचा तपशीलवार समाधानासह वापर करू शकता.

अशाप्रकारे, तुम्ही तुमचे स्वतःचे अध्यापन करू शकता आणि / किंवा तुमच्या लहान भावांना किंवा बहिणींना शिकवू शकता, तर सोडवलेल्या समस्यांच्या क्षेत्रातील शिक्षणाची पातळी वाढते.

जर आपण चौरस त्रिमितीय प्रविष्ट करण्याच्या नियमांशी परिचित नसल्यास, आम्ही शिफारस करतो की आपण त्यांच्याशी परिचित व्हा.

चौरस बहुपद प्रविष्ट करण्याचे नियम

कोणतेही लॅटिन अक्षर व्हेरिएबल म्हणून वापरले जाऊ शकते.
उदाहरणार्थ: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) इ.

संख्या पूर्ण किंवा अपूर्णांक संख्या म्हणून प्रविष्ट केली जाऊ शकते.
शिवाय, अपूर्णांक संख्या केवळ दशांश स्वरूपातच नव्हे तर सामान्य अपूर्णांक स्वरूपात देखील प्रविष्ट केल्या जाऊ शकतात.

दशांश अपूर्णांक प्रविष्ट करण्याचे नियम.
दशांश अपूर्णांकांमध्ये, संपूर्ण पासून अपूर्णांक भाग बिंदू किंवा स्वल्पविरामाने विभक्त केला जाऊ शकतो.
उदाहरणार्थ, आपण याप्रमाणे दशांश प्रविष्ट करू शकता: 2.5x - 3.5x ^ 2

सामान्य अपूर्णांक प्रविष्ट करण्याचे नियम.
अंश, हर आणि अपूर्णांकाचा संपूर्ण भाग म्हणून फक्त पूर्णांक वापरला जाऊ शकतो.

भाजक नकारात्मक असू शकत नाही.

अंकीय अपूर्णांक प्रविष्ट करताना, अंश विभाजनाच्या चिन्हाद्वारे भागापासून विभक्त केला जातो: /
संपूर्ण भाग अंशापासून अँपरसँडद्वारे विभक्त केला जातो: &
इनपुट: 3 आणि 1/3 - 5 आणि 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
परिणाम: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) x + \ frac (1) (7) x ^ 2 \)

अभिव्यक्ती प्रविष्ट करताना कंस वापरले जाऊ शकते... या प्रकरणात, सोडवताना, प्रविष्ट केलेली अभिव्यक्ती प्रथम सरलीकृत केली जाते.
उदाहरणार्थ: 1/2 (x-1) (x + 1)-(5x-10 आणि 1/2)

तपशीलवार समाधानाचे उदाहरण

द्विपद च्या चौरसाची निवड.$$ ax ^ 2 + bx + c \ rightarrow a (x + p) ^ 2 + q $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$ $$ 2x ^ 2 +2 \ cdot 2 \ cdot \ बाकी ( \ frac (1) (2) \ right) \ cdot x + 2 \ cdot \ left (\ frac (1) (2) \ right) ^ 2- \ frac (9) (2) = $$ $$ 2 डावे (x ^ 2 + 2 \ cdot \ left (\ frac (1) (2) \ right) \ cdot x + \ left (\ frac (1) (2) \ right) ^ 2 \ right) - \ frac ( 9) (2) = $$ $$ 2 \ डावे (x + \ frac (1) (2) \ उजवे) ^ 2- \ frac (9) (2) $$ उत्तर:$$ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ डावे (x + \ frac (1) (2) \ उजवे) ^ 2- \ frac (9) (2) $$ फॅक्टरायझेशन.$$ ax ^ 2 + bx + c \ rightarrow a (x + n) (x + m) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$
$$ 2 \ डावे (x ^ 2 + x-2 \ उजवे) = $$
$$ 2 \ डावे (x ^ 2 +2x-1x-1 \ cdot 2 \ उजवे) = $$ $$ 2 \ डावे (x \ डावे (x +2 \ उजवे) -1 \ डावे (x +2 \ उजवे) ) \ उजवे) = $$ $$ 2 \ डावे (x -1 \ उजवे) \ डावे (x +2 \ उजवे) $$ उत्तर:$$ 2x ^ 2 + 2x -4 = 2 \ डावे (x -1 \ उजवे) \ डावे (x +2 \ उजवे) $$

असे आढळले की या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काही स्क्रिप्ट लोड केल्या गेल्या नाहीत आणि प्रोग्राम कार्य करू शकत नाही.
कदाचित तुमच्याकडे अॅडब्लॉक सक्षम असेल.
या प्रकरणात, ते अक्षम करा आणि पृष्ठ रीफ्रेश करा.

कारण असे बरेच लोक आहेत ज्यांना समस्या सोडवायची आहे, तुमची विनंती रांगेत आहे.
काही सेकंदांनंतर, समाधान खाली दिसेल.
कृपया थांबा सेकंद ...

जर तू समाधानामध्ये त्रुटी लक्षात आली, नंतर तुम्ही फीडबॅक फॉर्म मध्ये याबद्दल लिहू शकता.
विसरू नको कोणते कार्य सूचित करातुम्ही ठरवा आणि काय शेतात प्रवेश करा.

आमचे खेळ, कोडी, अनुकरण करणारे:

थोडा सिद्धांत.

चौरस त्रिमितीयातून चौरस द्विपद काढणे

जर चौरस त्रिमितीय कुऱ्हाड 2 + bx + c a (x + p) 2 + q स्वरूपात दर्शविले जाते, जेथे p आणि q वास्तविक संख्या आहेत, तर ते म्हणतात की चौरस त्रिमितीय चौरस द्विपद.

त्रिमितीय 2x 2 + 12x + 14 द्वारे द्विपद चा वर्ग निवडा.

(2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \)

हे करण्यासाठी, आम्ही 6x ला 2 * 3 * x चे उत्पादन म्हणून दर्शवितो आणि नंतर 3 2 जोडा आणि वजा करा. आम्हाला मिळते:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \ cdot 3 \ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) = 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) = $$ $$ = 2 ((x + 3) ^ 2-2) = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

ते. आम्ही चौरस त्रिमितीयातून चौरस द्विपद काढले, आणि ते दाखवा:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

चौरस त्रिमितीय गुणन

जर चौरस त्रिमितीय कुर्हाड 2 + bx + c a (x + n) (x + m) स्वरूपात दर्शविले जाते, जेथे n आणि m वास्तविक संख्या आहेत, तर ऑपरेशन केले गेले असे म्हटले जाते चौरस त्रिमितीय गुणन.

हे परिवर्तन कसे केले जाते हे उदाहरणासह दाखवूया.

चौरस त्रिमितीय 2x 2 + 4x-6 गुणनखूण करा.

चला कंसातून गुणांक ए काढू, म्हणजे. 2:
\ (2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x ^ 2 + 2x-3) \)

चला अभिव्यक्तीचे कंसात रूपांतर करूया.
हे करण्यासाठी, आम्ही 3x -1x फरक म्हणून 2x दर्शवितो, आणि -3 -1 * 3 म्हणून. आम्हाला मिळते:
$$ = 2 (x ^ 2 + 3 \ cdot x -1 \ cdot x -1 \ cdot 3) = 2 (x (x + 3) -1 \ cdot (x + 3)) = $$
$$ = 2 (x-1) (x + 3) $$

ते. आम्ही चौरस त्रिमितीय गुणक, आणि ते दाखवा:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x-1) (x + 3) $$

लक्षात घ्या की चतुर्भुज त्रिकोणीचे गुणन केवळ तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा या त्रिकोणीशी संबंधित चतुर्भुज समीकरणाची मुळे असतील.
त्या. आमच्या बाबतीत, 2x 2 + 4x-6 = 0 या चतुर्भुज समीकरणाची मुळे असल्यास त्रिकोणी 2x 2 + 4x-6 चे गुणन शक्य आहे. फॅक्टरिंगच्या प्रक्रियेत, आम्हाला आढळले की समीकरण 2x 2 + 4x -6 = 0 ची दोन मुळे 1 आणि -3 आहेत, कारण या मूल्यांसाठी, समीकरण 2 (x-1) (x + 3) = 0 ही खरी समानता बनते.

बहुपदीचे गुणनखरेदी हे एक ओळख परिवर्तन आहे, परिणामी बहुपद अनेक घटकांच्या उत्पादनात रूपांतरित होते - बहुपद किंवा एकपदी.

बहुपदांची संख्या मोजण्याचे अनेक मार्ग आहेत.

पद्धत 1. कंसातून सामान्य घटक काढणे.

हे परिवर्तन वितरण गुणाकार कायद्यावर आधारित आहे: ac + bc = c (a + b). परिवर्तनाचे सार म्हणजे विचाराधीन दोन घटकांमधील सामान्य घटक निवडणे आणि कंसातून "घेणे".

बहुपदी 28x 3 - 35x 4 चा गुणनखंड काढा.

उपाय.

1. 28x 3 आणि 35x 4 घटकांसाठी सामान्य विभाजक शोधा. 28 आणि 35 साठी हे 7 असेल; x 3 आणि x 4 - x 3 साठी. दुसऱ्या शब्दांत, आमचा सामान्य घटक 7x 3 आहे.

2. प्रत्येक घटक घटकांचे उत्पादन म्हणून दर्शविले जाते, त्यापैकी एक
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. सामान्य घटक काढा
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 - 5x).

पद्धत 2. संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे वापरणे. या पद्धतीवर प्रभुत्व मिळवण्याचे "कौशल्य" म्हणजे अभिव्यक्तीमध्ये संक्षिप्त गुणाकाराच्या सूत्रांपैकी एक लक्षात घेणे.

बहुपद x 6 - 1 चा गुणनखंड करा.

उपाय.

1. या अभिव्यक्तीसाठी, आम्ही चौरसांच्या फरकासाठी सूत्र लागू करू शकतो. हे करण्यासाठी, आम्ही x 6 (x 3) 2 आणि 1 ला 1 2 म्हणून दर्शवितो, म्हणजे. 1. अभिव्यक्ती स्वरूप घेईल:
(x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) (x 3 - 1).

2. परिणामी अभिव्यक्तीसाठी, आम्ही क्यूबच्या बेरीज आणि फरकासाठी सूत्र लागू करू शकतो:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

तर,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

पद्धत 3. गट करणे. ग्रुपिंग पद्धतीमध्ये बहुपदीचे घटक अशा प्रकारे एकत्र केले जातात की त्यांच्यावर क्रिया करणे सोपे आहे (बेरीज, वजाबाकी, सामान्य घटक काढून टाकणे).

बहुपद x 3 - 3x 2 + 5x - 15 चा गुणक काढा.

उपाय.

1. घटकांना अशा प्रकारे समूहीकृत करू: पहिला 2 रा सह, आणि 3 रा 4 था
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. परिणामी अभिव्यक्तीमध्ये, सामान्य घटक कंस बाहेर ठेवा: पहिल्या प्रकरणात x 2 आणि दुसऱ्या - 5 मध्ये.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. सामान्य घटक x - 3 काढा आणि मिळवा:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) (x 2 + 5).

तर,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 = (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).

चला सामग्रीचे निराकरण करूया.

बहुपद 2 - 7ab + 12b 2 चा गुणनखंड करा.

उपाय.

1. आपण 3ab + 4ab ही बेरीज म्हणून एकपदी 7ab दर्शवू. अभिव्यक्ती स्वरूप घेईल:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2.

चला कंस उघडू आणि मिळवू:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2.

2. बहुपदीचे घटक खालीलप्रमाणे गटबद्ध करूया: 2 रा सह पहिला आणि चौथा सह 3 रा. आम्हाला मिळते:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. सामान्य घटक कंसातून बाहेर काढू:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) = a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. सामान्य घटक (a - 3b) काढा:
a (a - 3b) - 4b (a - 3b) = (a - 3 b) ∙ (a - 4b).

तर,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (a - 3 b) (a - 4b).

ब्लॉग साइट, सामग्रीची पूर्ण किंवा आंशिक कॉपीसह, स्त्रोताचा दुवा आवश्यक आहे.

बीजगणित मध्ये "बहुपद" आणि "बहुपदीचे घटकांमध्ये गुणन" या संकल्पना खूप सामान्य आहेत, कारण मोठ्या बहु-अंकी संख्यांसह सहजपणे गणना करण्यासाठी आपल्याला त्या माहित असणे आवश्यक आहे. हा लेख विघटन करण्याच्या अनेक मार्गांचे वर्णन करेल. ते सर्व वापरण्यास अगदी सोपे आहेत, आपल्याला फक्त प्रत्येक विशिष्ट प्रकरणात योग्य निवडावे लागेल.

बहुपद संकल्पना

बहुपद म्हणजे मोनोमियल्सची बेरीज आहे, म्हणजे फक्त गुणाकार क्रियेसह अभिव्यक्ती.

उदाहरणार्थ, 2 * x * y हे एकपदी आहे, परंतु 2 * x * y + 25 हे एक बहुपद आहे ज्यात 2 मोनोमियल असतात: 2 * x * y आणि 25. अशा बहुपदांना द्विपद म्हणतात.

कधीकधी, बहुआयामी मूल्यांसह उदाहरणे सोडवण्याच्या सोयीसाठी, अभिव्यक्तीचे रूपांतर करणे आवश्यक आहे, उदाहरणार्थ, विशिष्ट संख्येच्या घटकांमध्ये विघटित होणे, म्हणजे संख्या किंवा अभिव्यक्ती ज्यामध्ये गुणाकार क्रिया केली जाते. बहुपद मोजण्याचे अनेक मार्ग आहेत. त्यांना सर्वात आदिमपासून प्रारंभ करणे विचारात घेण्यासारखे आहे, जे प्राथमिक श्रेणींमध्ये देखील वापरले जाते.

गटबद्ध करणे (सामान्य रेकॉर्डिंग)

सर्वसाधारणपणे गट करून बहुपदांना घटकांमध्ये विघटित करण्याचे सूत्र असे दिसते:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (जाहिरात + bd)

मोनोमियल्सचे गट करणे आवश्यक आहे जेणेकरून प्रत्येक गटात एक सामान्य घटक दिसून येईल. पहिल्या कंसात तो घटक c आहे, आणि दुसऱ्यामध्ये तो d आहे. हे कंसच्या बाहेर ठेवण्यासाठी केले जाणे आवश्यक आहे, ज्यामुळे गणना सुलभ होते.

विशिष्ट उदाहरणासाठी विघटन अल्गोरिदम

गटबद्ध करून घटकांमध्ये बहुपद ठरवण्याचे सर्वात सोपे उदाहरण खाली दर्शविले आहे:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

पहिल्या कंसात, आपल्याला घटक a सह अटी घेणे आवश्यक आहे, जे सामान्य असेल आणि दुसऱ्यामध्ये - b घटक सह. समाप्त अभिव्यक्तीमध्ये + आणि - चिन्हेकडे लक्ष द्या. आम्ही मोनोमियल समोर सुरुवातीच्या अभिव्यक्तीमध्ये असलेले चिन्ह ठेवले. म्हणजेच, आपल्याला 25a अभिव्यक्तीने नव्हे तर -25 अभिव्यक्तीसह कार्य करण्याची आवश्यकता आहे. वजा चिन्ह हे त्यामागील अभिव्यक्तीला "चिकटून" राहण्यासारखे आहे आणि गणनेत नेहमी ते विचारात घ्या.

पुढील चरणात, आपल्याला घटक, जे सामान्य आहे, बाहेर काढणे आवश्यक आहे. यासाठीच गटबाजी आहे. कंस बाहेर ठेवणे म्हणजे कंस समोर लिहिणे (गुणाकार चिन्ह वगळणे) ते सर्व घटक जे कंसात असलेल्या सर्व अटींमध्ये अचूकतेने पुनरावृत्ती होतात. जर कंसात 2 नाही, परंतु 3 किंवा अधिक अटी असतील, तर त्या प्रत्येकामध्ये सामान्य घटक असणे आवश्यक आहे, अन्यथा ते कंसातून काढले जाऊ शकत नाही.

आमच्या बाबतीत - कंसात फक्त 2 संज्ञा. सामान्य घटक लगेच दिसतो. पहिला कंस a आहे, दुसरा b आहे. येथे आपल्याला डिजिटल गुणांककडे लक्ष देणे आवश्यक आहे. पहिल्या कंसात, दोन्ही गुणांक (10 आणि 25) 5 चे गुणक आहेत. याचा अर्थ असा की केवळ a नव्हे तर 5a देखील कंसातून बाहेर काढले जाऊ शकते. कंस आधी 5a लिहा, आणि नंतर काढलेल्या सामान्य घटकाद्वारे कंसातील प्रत्येक संज्ञा विभाजित करा, आणि चिन्हे न विसरता कंसात भाग देखील लिहा + आणि - दुसऱ्या कंसातही तेच करा, बाहेर काढा 7 बी, तसेच 7 चे 14 आणि 35 गुणक.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

हे 2 अटी निघाले: 5 ए (2 सी - 5) आणि 7 बी (2 सी - 5). त्या प्रत्येकामध्ये एक सामान्य घटक आहे (कंसातील सर्व अभिव्यक्ती येथे समान आहेत, म्हणजे ते एक सामान्य घटक आहे): 2c - 5. हे कंसातून देखील काढले जाणे आवश्यक आहे, म्हणजे 5a आणि 7b या अटी दुसऱ्या कंसात रहा:

5 ए (2 सी - 5) + 7 बी (2 सी - 5) = (2 सी - 5) * (5 ए + 7 बी).

तर पूर्ण अभिव्यक्ती आहे:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

अशा प्रकारे, 10ac + 14bc - 25a - 35b हे बहुपद 2 घटकांमध्ये विघटित होते: (2c - 5) आणि (5a + 7b). लिहिताना त्यांच्यामधील गुणाकार चिन्ह वगळले जाऊ शकते

कधीकधी या प्रकारच्या अभिव्यक्ती असतात: 5 ए 2 + 50 ए 3, येथे आपण ब्रॅकेटमधून केवळ a किंवा 5a नाही तर 5a 2 देखील बाहेर टाकू शकता. आपण नेहमी सर्वात मोठा सामान्य घटक शोधण्याचा प्रयत्न केला पाहिजे. आमच्या बाबतीत, जर आपण प्रत्येक संज्ञेला एका सामान्य घटकाद्वारे विभाजित केले तर आम्हाला मिळते:

5 ए 2 /5 ए 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(समान अंशांसह अनेक अंशांच्या भागांची गणना करताना, आधार संरक्षित केला जातो आणि घातांक वजा केला जातो). अशाप्रकारे, एकक कंसात राहते (कोणत्याही परिस्थितीत, जर आपण कंसातील अटींपैकी एक काढली तर युनिट लिहायला विसरू नका) आणि भागाचा भाग: 10а. हे निष्पन्न झाले की:

5 ए 2 + 50 ए 3 = 5 ए 2 (1 + 10 ए)

चौरस सूत्रे

गणनेच्या सोयीसाठी, अनेक सूत्रे काढली गेली आहेत. त्यांना संक्षिप्त गुणाकार सूत्र म्हणतात आणि ते बर्याचदा वापरले जातात. ही सूत्रे बहुपद असलेल्या अंशांना घटक बनविण्यात मदत करतात. हे आणखी एक शक्तिशाली फॅक्टरायझेशन तंत्र आहे. तर, ते येथे आहेत:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -सूत्र, ज्याला "बेरीजचा वर्ग" म्हणतात, कारण एका चौरसात विस्ताराचा परिणाम म्हणून, कंसात जोडलेल्या संख्यांची बेरीज घेतली जाते, म्हणजेच, या रकमेचे मूल्य स्वतःच 2 वेळा गुणाकार केले जाते, याचा अर्थ तो एक गुणक आहे.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - फरकाच्या चौरसाचे सूत्र, ते मागील एकासारखे आहे. परिणाम हा फरक आहे, जो कंसात बंद आहे, स्क्वेअर पॉवरमध्ये आहे.
• a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- चौरसांच्या फरकाचे हे सूत्र आहे, कारण सुरुवातीला बहुपदीमध्ये संख्या किंवा अभिव्यक्तीचे 2 चौरस असतात, ज्या दरम्यान वजाबाकी केली जाते. कदाचित, तीन नावांपैकी, हे बहुतेक वेळा वापरले जाते.

चौरस सूत्रांची गणना करण्यासाठी उदाहरणे

त्यांच्यासाठी गणना अगदी सोपी आहे. उदाहरणार्थ:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - आम्ही "बेरीजचा वर्ग" सूत्र वापरतो.
2. 25x 2 हा 5x चा वर्ग आहे. 20xy हे 2 * (5x * 2y) चे दुप्पट उत्पादन आहे आणि 4y 2 हा 2y चा वर्ग आहे.
3. तर 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y).हे बहुपद 2 घटकांमध्ये विघटित झाले आहे (घटक समान आहेत, म्हणून, ते चौरस अंशाने अभिव्यक्ती म्हणून लिहिलेले आहे).

फरकाच्या वर्गाच्या सूत्रानुसार क्रिया त्याच प्रकारे केल्या जातात. सूत्र चौरसाचा फरक राहतो. या सूत्रासाठी उदाहरणे परिभाषित करणे आणि इतर अभिव्यक्तींमध्ये शोधणे खूप सोपे आहे. उदाहरणार्थ:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20) (5a + 20). 25a 2 = (5a) 2, आणि 400 = 20 2 असल्याने
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 = (6x) 2, आणि 25y 2 = (5y 2) असल्याने
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). 169b 2 = (13b) 2 पासून

हे महत्वाचे आहे की प्रत्येक पद काही अभिव्यक्तीचा वर्ग आहे. मग हे बहुपद चौरसांच्या फरकाच्या सूत्रानुसार गुणनकरणाच्या अधीन आहे. यासाठी आवश्यक नाही की दुसरी पदवी संख्येच्या वर असावी. बहुपद आहेत ज्यात मोठ्या अंश आहेत, परंतु तरीही या सूत्रांमध्ये बसतात.

a 8 + 10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2 * a 4 * 5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

या उदाहरणात, 8 हे (a 4) 2 म्हणून दर्शविले जाऊ शकते, म्हणजे काही अभिव्यक्तीचा वर्ग. 25 म्हणजे 5 2, आणि 10a 4 - हे 2 * a 4 * 5 या अटींचे दुप्पट उत्पादन आहे. म्हणजेच, मोठ्या अभिव्यक्त्यांसह अंशांची उपस्थिती असूनही ही अभिव्यक्ती नंतर त्यांच्याबरोबर कार्य करण्यासाठी 2 घटकांमध्ये विघटित केली जाऊ शकते.

घन सूत्रे

चौकोनी तुकडे असलेल्या बहुपदांच्या फॅक्टरिंगसाठी समान सूत्रे अस्तित्वात आहेत. ते चौरस असलेल्यांपेक्षा थोडे अधिक क्लिष्ट आहेत:

• a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- या सूत्राला क्यूब्सची बेरीज म्हणतात, कारण त्याच्या सुरुवातीच्या स्वरूपात बहुपद म्हणजे क्यूबमध्ये जोडलेल्या दोन अभिव्यक्ती किंवा संख्यांची बेरीज आहे.
• a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) -मागील सारखाच फॉर्म्युला क्यूब्सचा फरक म्हणून नियुक्त केला आहे.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - बेरीजचे क्यूब, गणनेच्या परिणामस्वरूप, संख्या किंवा अभिव्यक्तींची बेरीज मिळवली जाते, कंसात बंद केली जाते आणि स्वतः 3 वेळा गुणाकार केली जाते, म्हणजेच क्यूबमध्ये स्थित
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -गणिती क्रियांच्या काही चिन्हे (प्लस आणि मायनस) बदलून मागील एकाशी साधर्म्य करून तयार केलेल्या सूत्राला "फरक घन" म्हणतात.

बहुपदांची घटकांमध्ये गणना करण्याच्या हेतूने शेवटची दोन सूत्रे व्यावहारिकदृष्ट्या वापरली जात नाहीत, कारण ती गुंतागुंतीची आहेत, आणि फक्त अशा संरचनेशी पूर्णपणे जुळणारी बहुपदी क्वचितच आढळतात जेणेकरून त्यांना या सूत्रांनुसार विघटित करता येईल. परंतु तरीही आपण त्यांना ओळखणे आवश्यक आहे, कारण उलट दिशेने गोष्टी करताना त्यांची आवश्यकता असेल - कंस विस्तारताना.

क्यूब सूत्रांसाठी उदाहरणे

चला एक उदाहरण विचारात घेऊ: 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) = (4a - 2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

येथे आम्ही अगदी सोप्या संख्या घेतल्या आहेत, म्हणून तुम्ही लगेच पाहू शकता की 64a 3 म्हणजे (4a) 3, आणि 8b 3 म्हणजे (2b) 3. अशा प्रकारे, हे बहुपद 2 घटकांद्वारे क्यूब्समधील फरक सूत्राद्वारे विघटित केले जाते. चौकोनी तुकड्यांच्या बेरीजच्या सूत्रानुसार क्रिया साधर्म्याद्वारे केल्या जातात.

हे समजून घेणे महत्वाचे आहे की सर्व बहुपदी कमीतकमी एका मार्गाने विघटित होऊ शकत नाहीत. परंतु असे अभिव्यक्ती आहेत ज्यात चौरस किंवा क्यूबपेक्षा अधिक शक्ती आहेत, परंतु ते संक्षिप्त गुणाकार स्वरूपात देखील विघटित केले जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ: x 12 + 125y 3 = (x 4) 3 + (5y) 3 = (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) = (x 4 + 5y ) (x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

या उदाहरणामध्ये 12 अंश आहेत. परंतु क्यूब्सच्या बेरीजसाठी सूत्र वापरून देखील ते घटक केले जाऊ शकते. हे करण्यासाठी, आपल्याला x 12 (x 4) 3, म्हणजे काही अभिव्यक्तीचे घन म्हणून दर्शवणे आवश्यक आहे. आता, a ऐवजी, आपल्याला ते सूत्रात बदलण्याची आवश्यकता आहे. बरं, 125y 3 ही अभिव्यक्ती घन 5y आहे. पुढे, आपण सूत्रानुसार उत्पादन तयार केले पाहिजे आणि गणना केली पाहिजे.

प्रथम, किंवा शंका असल्यास, आपण नेहमी मागील गुणाकाराने तपासू शकता. आपल्याला फक्त परिणामी अभिव्यक्तीमध्ये कंस विस्तृत करणे आणि अशा अटींसह क्रिया करणे आवश्यक आहे. ही पद्धत कमी करण्याच्या वरील सर्व पद्धतींना लागू होते: दोन्ही एक सामान्य घटक आणि गटबद्धतेसह कार्य करण्यासाठी, आणि चौकोनी आणि चौरस अंशांच्या सूत्रांवर कृती करण्यासाठी.

या धड्यात, आम्ही बहुपदीचे घटक बनवण्याच्या पूर्वी अभ्यास केलेल्या सर्व पद्धती आठवू आणि त्यांच्या अर्जाची उदाहरणे विचारात घेऊ, याव्यतिरिक्त, आम्ही एका नवीन पद्धतीचा अभ्यास करू - एक पूर्ण चौरस काढण्याची पद्धत आणि ती सोडवण्यासाठी कशी लागू करावी हे जाणून घेऊ. विविध समस्या.

थीम:बहुपदांचे गुणांक

धडा:बहुपदांचे गुणांक. पूर्ण चौरस निवड पद्धत. पद्धतींचे संयोजन

यापूर्वी अभ्यास केलेल्या घटकांमध्ये बहुपदीय घटक ठरवण्याच्या मुख्य पद्धती आठवू या:

सामान्य घटक कंसांच्या बाहेर ठेवण्याची पद्धत, म्हणजे असा घटक जो बहुपदांच्या सर्व दृष्टीने उपस्थित असतो. चला एक उदाहरण विचारात घेऊ:

लक्षात ठेवा की एकपदी हे अंश आणि संख्यांचे उत्पादन आहे. आमच्या उदाहरणात, दोन्ही सदस्यांमध्ये काही सामान्य, एकसारखे घटक आहेत.

तर, कंसातून सामान्य घटक काढू:

;

लक्षात ठेवा की काढलेल्या घटकाला कंसाने गुणाकार करून, आपण सबमिशनची शुद्धता तपासू शकता.

गटबद्ध करण्याची पद्धत. बहुपदीतील सामान्य घटक काढणे नेहमीच शक्य नसते. या प्रकरणात, त्याच्या सदस्यांना गटांमध्ये विभागणे आवश्यक आहे जेणेकरून प्रत्येक गटात एक सामान्य घटक काढणे आणि विभाजन करण्याचा प्रयत्न करणे शक्य होईल जेणेकरून गटांमध्ये घटक काढल्यानंतर, एक सामान्य घटक संपूर्णपणे दिसून येईल अभिव्यक्ती, आणि विस्तार चालू ठेवता येतो. चला एक उदाहरण विचारात घेऊ:

पहिल्या टर्मला चौथ्या, दुसऱ्याला पाचव्या आणि तिसऱ्याला अनुक्रमे सहाव्यासह गट करूया:

चला गटांमध्ये सामान्य घटक घेऊ:

अभिव्यक्तीमध्ये एक सामान्य घटक आहे. चला ते बाहेर काढू:

संक्षिप्त गुणाकार सूत्रे लागू करणे. चला एक उदाहरण विचारात घेऊ:

;

चला अभिव्यक्ती तपशीलवार लिहूया:

साहजिकच, आपल्यासमोर फरकाच्या चौरसाचे सूत्र आहे, कारण दोन अभिव्यक्तींच्या चौरसाची बेरीज आहे आणि त्यातून त्यांचे दुप्पट उत्पादन वजा केले आहे. चला सूत्रानुसार कोसळूया:

आज आपण दुसरी पद्धत शिकू - पूर्ण चौरस निवडण्याची पद्धत. हे बेरीजचे चौरस आणि फरकाच्या चौरसाच्या सूत्रांवर आधारित आहे. चला त्यांना आठवूया:

बेरीज (फरक) च्या वर्गाचे सूत्र;

या सूत्रांचे वैशिष्ठ्य म्हणजे त्यात दोन अभिव्यक्तींचे चौरस आणि त्यांचे दुप्पट उत्पादन आहे. चला एक उदाहरण विचारात घेऊ:

चला अभिव्यक्ती लिहा:

तर पहिली अभिव्यक्ती ही आहे, आणि दुसरी आहे.

बेरीज किंवा फरकाच्या वर्गासाठी सूत्र तयार करण्यासाठी, अभिव्यक्तीचे दुहेरी उत्पादन पुरेसे नाही. ते जोडणे आणि वजा करणे आवश्यक आहे:

चला बेरीजचा पूर्ण वर्ग कोसळू:

चला परिणामी अभिव्यक्तीचे रूपांतर करूया:

आम्ही चौरसांच्या फरकासाठी सूत्र लागू करतो, लक्षात ठेवा की दोन अभिव्यक्तींच्या चौरसांमधील फरक हे उत्पादन आणि त्यांच्या फरकाने बेरीज आहे:

तर, या पद्धतीत, सर्वप्रथम, हे खरं आहे की, स्क्वेअरमध्ये असलेल्या अ आणि ब अभिव्यक्ती ओळखणे आवश्यक आहे, म्हणजेच या उदाहरणात अभिव्यक्तीचे कोणते वर्ग आहेत हे निश्चित करणे. त्यानंतर, आपल्याला दुप्पट उत्पादनाची उपस्थिती तपासणे आवश्यक आहे आणि जर ते तेथे नसेल तर ते जोडा आणि वजा करा, उदाहरणाचा अर्थ यातून बदलणार नाही, परंतु चौकोनासाठी सूत्र वापरून बहुपद गुणन केले जाऊ शकते जर अशी शक्यता असेल तर बेरीज किंवा वर्गांचा फरक आणि फरक.

उदाहरणे सोडवण्याकडे जाऊया.

उदाहरण 1 - गुणन:

चला वर्ग काढलेले भाव शोधूया:

त्यांचे दुप्पट उत्पादन काय असावे ते लिहूया:

दुप्पट उत्पादन जोडा आणि वजा करा:

चला बेरीजचा पूर्ण वर्ग कोसळू आणि सारखे देऊ:

चौरसांच्या फरकासाठी सूत्र लिहूया:

उदाहरण 2 - समीकरण सोडवा:

;

समीकरणाच्या डाव्या बाजूला त्रिमितीय आहे. आपल्याला ते शोधणे आवश्यक आहे. आम्ही फरकाच्या वर्गासाठी सूत्र वापरतो:

आमच्याकडे पहिल्या अभिव्यक्तीचा चौरस आणि दुप्पट उत्पादन आहे, दुसऱ्या अभिव्यक्तीचा वर्ग नाही, तो जोडा आणि वजा करा:

चला एक पूर्ण चौरस दुमडू आणि समान अटी देऊ:

चौरसाच्या फरकासाठी सूत्र लागू करूया:

तर, आपल्याकडे हे समीकरण आहे

आम्हाला माहित आहे की कमीतकमी एक घटक शून्य असेल तरच उत्पादन शून्य आहे. या आधारावर, आम्ही समीकरणे तयार करतो:

चला पहिले समीकरण सोडवू:

चला दुसरे समीकरण सोडवू:

उत्तर: किंवा

;

आम्ही मागील उदाहरणाप्रमाणेच पुढे जाऊ - फरकाचा वर्ग निवडा.