अधिक तंतोतंत, "काटकोन" त्रिकोणाच्या नावावरून, हे स्पष्ट होते की त्यातील एक कोन 90 अंश आहे. उरलेले कोन साधी प्रमेये आणि त्रिकोणांचे गुणधर्म आठवून शोधता येतात.

तुला गरज पडेल

• साइन्स आणि कोसाइनचे टेबल, ब्रॅडिस टेबल

सूचना

1. आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे त्रिकोणाचे कोन A, B आणि C या अक्षरांनी दर्शवू. कोन BAC 90º च्या बरोबरीचा आहे, इतर दोन कोन α आणि β अक्षरांनी दर्शविले जातात. त्रिकोणाचे पाय a आणि b या अक्षरांनी आणि कर्ण c अक्षराने दर्शविले जातील.

2. नंतर sinα = b/c, आणि cosα = a/c. त्याचप्रमाणे त्रिकोणाच्या दुसऱ्या तीव्र कोनासाठी: sinβ = a/c, आणि cosβ = b/c. आपल्याला माहित असलेल्या बाजूंवर अवलंबून, आपण साइन्स किंवा कोसाइनची गणना करतो कोनांचे आणि α आणि β च्या मूल्यासाठी आपण ब्रॅडिस सारणी पाहतो.

3. कोनांपैकी एक सापडल्यानंतर, त्रिकोणाच्या अंतर्गत कोनांची बेरीज 180º आहे हे लक्षात ठेवण्याची परवानगी आहे. याचा अर्थ α आणि β ची बेरीज 180º - 90º = 90º एवढी आहे. त्यानंतर, तक्त्यांमधून α साठी मूल्य मोजल्यानंतर, β शोधण्यासाठी आपण खालील सूत्र वापरू शकतो: β = 90º - α

4. जर त्रिकोणाची एक बाजू अपरिचित असेल, तर आपण पायथागोरियन प्रमेय लागू करतो: a² + b² = c². यातून आपण इतर दोन द्वारे अपरिचित बाजूसाठी अभिव्यक्ती मिळवतो आणि एका कोनातील साइन किंवा कोसाइन शोधण्यासाठी सूत्रामध्ये बदलतो.

टीप 2: काटकोन त्रिकोणात कर्ण कसे शोधायचे

कर्ण ही काटकोन त्रिकोणातील बाजू आहे जी काटकोनाच्या विरुद्ध असते. कर्ण ही काटकोन त्रिकोणातील सर्वात लांब बाजू आहे. काटकोन त्रिकोणातील उरलेल्या बाजूंना पाय म्हणतात.

तुला गरज पडेल

• भूमितीचे मूलभूत ज्ञान.

सूचना

1. कर्णाच्या लांबीचा वर्ग पायांच्या चौरसांच्या बेरजेइतका असतो. म्हणजेच कर्णाच्या लांबीचा चौरस शोधण्यासाठी, आपल्याला पायांची लांबी चौरस करणे आणि जोडणे आवश्यक आहे.

2. कर्णाची लांबी त्याच्या लांबीच्या वर्गाच्या वर्गमूळाइतकी असते. त्याची लांबी शोधण्यासाठी, आपण पायांच्या चौरसांच्या बेरजेइतक्या संख्येचे वर्गमूळ काढतो. परिणामी संख्या कर्णाची लांबी असेल.

संबंधित व्हिडिओ

लक्षात ठेवा!
कर्णाची लांबी योग्य आहे, म्हणून मूळ काढताना, मूलगामी अभिव्यक्ती शून्यापेक्षा मोठी असणे आवश्यक आहे.

उपयुक्त सल्ला
समद्विभुज काटकोन त्रिकोणामध्ये, कर्णाची लांबी पायाला 2 च्या मुळाने गुणाकारून काढता येते.

टीप 3: काटकोन त्रिकोणात तीव्र कोन कसा शोधायचा

सरळ कार्बनिकत्रिकोण कदाचित ऐतिहासिक दृष्टिकोनातून सर्वात प्रसिद्ध भूमितीय आकृत्यांपैकी एक आहे. पायथागोरियन "पँट" फक्त "युरेका!" शी स्पर्धा करू शकतात! आर्किमिडीज.

तुला गरज पडेल

• - त्रिकोणाचे रेखाचित्र;
• - शासक;
• - संरक्षक.

सूचना

1. नेहमीप्रमाणे, त्रिकोणाच्या कोपऱ्यांचे शिरोबिंदू कॅपिटल लॅटिन अक्षरे (A, B, C) आणि विरुद्ध बाजू लहान लॅटिन अक्षरे (a, b, c) किंवा त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूंच्या नावाने दर्शविली जातात. ही बाजू (AC, BC, AB).

2. त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180 अंश आहे. आयताकृती मध्ये त्रिकोणएक कोन (उजवीकडे) नेहमीच 90 अंश असेल आणि उर्वरित तीव्र असेल, म्हणजे सर्व 90 अंशांपेक्षा कमी. आयताकृती मध्ये कोणता कोन निर्धारित करण्यासाठी त्रिकोणसरळ आहे, शासकाच्या मदतीने त्रिकोणाच्या बाजू मोजा आणि सर्वात मोठी निश्चित करा. त्याला कर्ण (AB) म्हणतात आणि काटकोनाच्या (C) विरुद्ध स्थित आहे. उर्वरित दोन बाजू काटकोन बनवतात आणि त्यांना पाय (AC, BC) म्हणतात.

3. एकदा तुम्ही कोणता कोन तीव्र आहे हे निर्धारित केल्यावर, तुम्ही एकतर कोन प्रोट्रॅक्टरने मोजू शकता किंवा गणितीय सूत्रांच्या आधारे गणना करू शकता.

4. प्रोट्रॅक्टरच्या आधाराने कोनाचे मूल्य निर्धारित करण्यासाठी, त्याच्या वरच्या (अ अक्षराने दर्शविलेले) प्रोटॅक्टरच्या मध्यभागी असलेल्या शासकावरील विशेष चिन्हासह संरेखित करा, एसी पाय त्याच्या वरच्या काठाशी एकरूप असणे आवश्यक आहे. कर्ण AB ज्या बिंदूमधून जातो त्या बिंदूच्या अर्धवर्तुळाकार भागावर चिन्हांकित करा. या बिंदूवरील मूल्य अंशांमधील कोन मूल्याशी संबंधित आहे. जर 2 मूल्ये प्रोट्रॅक्टरवर दर्शविली गेली असतील तर तीव्र कोनासाठी एक लहान निवडणे आवश्यक आहे, बोथटसाठी - एक मोठे.

6. ब्रॅडिस संदर्भ सारण्यांमध्ये परिणामी मूल्य शोधा आणि परिणामी संख्यात्मक मूल्य कोणत्या कोनाशी संबंधित आहे ते ठरवा. आमच्या आजींनी ही पद्धत वापरली.

7. आजकाल, त्रिकोणमितीय सूत्रांची गणना करण्यासाठी फंक्शनसह कॅल्क्युलेटर घेणे पुरेसे आहे. अंगभूत विंडोज कॅल्क्युलेटर म्हणू या. "कॅल्क्युलेटर" अनुप्रयोग लाँच करा, "पहा" मेनू आयटममध्ये, "अभियांत्रिकी" आयटम निवडा. इच्छित कोनाच्या साइनची गणना करा, म्हणा sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

8. कॅल्क्युलेटर डिस्प्लेवरील INV बटणावर क्लिक करून कॅल्क्युलेटरला व्युत्क्रम फंक्शन मोडवर स्विच करा, त्यानंतर आर्क्साइन फंक्शनची गणना करण्यासाठी बटणावर क्लिक करा (डिस्प्लेवर वजा एक अंशापर्यंत पाप म्हणून चिन्हांकित). गणना विंडोमध्ये आणखी एक शिलालेख दिसेल: asind (0.5) = 30. म्हणजेच, इच्छित कोनाचे मूल्य 30 अंश आहे.

टीप 4: त्रिकोणातील अज्ञात बाजू कशी शोधावी

त्रिकोणाच्या अज्ञात बाजूची गणना करण्याची पद्धत केवळ असाइनमेंटच्या अटींवर अवलंबून नाही तर ती कशासाठी केली जाते यावर देखील अवलंबून असते. भूमितीच्या धड्यांमध्ये केवळ शाळकरी मुलांनीच नव्हे तर विविध उद्योगांमध्ये काम करणारे अभियंते, इंटिरियर डिझाइनर, कटर आणि इतर अनेक व्यवसायांचे प्रतिनिधी देखील असेच कार्य करतात. वेगवेगळ्या हेतूंसाठी गणनेची अचूकता भिन्न असू शकते, परंतु त्यांचे नियम शाळेतील समस्या पुस्तकात सारखेच राहतात.

तुला गरज पडेल

• - दिलेल्या पॅरामीटर्ससह त्रिकोण;
• - कॅल्क्युलेटर;
• - पेन;
• - पेन्सिल;
• - प्रक्षेपक;
• - कागद;
• - ऑटोकॅड सॉफ्टवेअरसह संगणक;
• - साइन्स आणि कोसाइनची प्रमेये.

सूचना

1. कार्याच्या अटींशी सुसंगत त्रिकोण काढा. त्रिकोण तीन बाजू, दोन बाजू आणि त्यांच्यामध्ये एक कोन किंवा एक बाजू आणि दोन समीप कोनांवर बांधला जाऊ शकतो. या संदर्भात ऑटोकॅड प्रोग्राममधील नोटबुक आणि संगणकावरील कामाचा प्रबंध समान आहे. म्हणून कार्यामध्ये एक किंवा 2 बाजू आणि एक किंवा 2 कोपऱ्यांचे परिमाण दर्शविणे कठोरपणे आवश्यक आहे.

2. दोन बाजू आणि एक कोन बांधताना, शीटवर लीड साइडच्या बरोबरीने एक खंड काढा. प्रोट्रॅक्टरच्या आधाराने, हा कोपरा बाजूला ठेवा आणि दुसरा काढा बाजू, स्थितीत दिलेला आकार पुढे ढकलणे. तुम्हाला एक बाजू आणि त्याला लागून दोन कोपरे दिले असल्यास, प्रथम काढा बाजू, नंतर परिणामी विभागाच्या 2 टोकांपासून, कोपरे बाजूला ठेवा आणि इतर दोन बाजू काढा. त्रिकोणाला ABC असे लेबल करा.

3. ऑटोकॅड प्रोग्राममध्ये, सेगमेंट टूलच्या मदतीने चुकीचा त्रिकोण तयार करणे प्रत्येकासाठी अधिक सोयीस्कर आहे. ड्रॉइंग विंडोला प्राधान्य देऊन तुम्हाला ते मुख्य टॅबमधून मिळेल. तुम्हाला माहीत असलेल्या बाजूचे निर्देशांक सेट करा, त्यानंतर - दुसऱ्या दिलेल्या विभागाचा अंतिम बिंदू.

4. त्रिकोणाचा प्रकार निश्चित करा. जर ते आयताकृती असेल, तर पायथागोरियन प्रमेय वापरून अपरिचित बाजूची गणना केली जाते. कर्ण हे पायांच्या वर्गांच्या बेरजेच्या वर्गमूळाच्या समान आहे, म्हणजे c=?a2+b2. त्यानुसार, त्यांचा प्रत्येक पाय कर्णाचे वर्ग आणि प्रसिद्ध पाय यांच्यातील फरकाच्या वर्गमूळाच्या समान असेल: a=?c2-b2.

5. त्रिकोणाच्या अज्ञात बाजूची गणना करण्यासाठी एक बाजू आणि दोन समाविष्ट केलेले कोन, साइन प्रमेय वापरा. एक बाजू पापाशी संबंधित आहे?, जशी ब बाजू पापाशी आहे?. ? आणि? या प्रकरणात, विरुद्ध कोन. त्रिकोणाच्या अंतर्गत कोनांची बेरीज 180° आहे हे लक्षात ठेवून समस्येच्या परिस्थितीनुसार न दिलेला कोन शोधला जाऊ शकतो. त्यातून तुम्हाला माहीत असलेल्या 2 कोनांची बेरीज वजा करा. शोधा अज्ञाततुला बाजू b, नेहमीच्या पद्धतीने प्रमाण सोडवणे, म्हणजेच प्रसिद्ध गुणाकार करून बाजूआणि पापावर? आणि या उत्पादनाला पापाने विभाजित करणे? तुम्हाला b=a*sin?/sin? हे सूत्र मिळेल.

6. आपण बाजू a आणि b आणि कोनासाठी प्रसिद्ध असल्यास? त्यांच्या दरम्यान, कोसाइनचा नियम वापरा. अपरिचित बाजू c ही इतर 2 बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेच्या वर्गमूळाच्या समान असेल, या समान बाजूंच्या गुणाकाराच्या दुप्पट वजा, त्यांच्यामधील कोनाच्या कोसाइनने गुणाकार केला जाईल. म्हणजे c=?a2+b2-2ab*cos?.

संबंधित व्हिडिओ

टीप 5: काटकोन त्रिकोणातील कोन कसे मोजायचे

सरळ कार्बनिकत्रिकोणामध्ये दोन तीव्र कोन असतात, ज्याचे मूल्य बाजूंच्या लांबीवर अवलंबून असते, तसेच 90 ° च्या नेहमीच्या स्थिर मूल्याचा एक कोन असतो. त्रिकोणमितीय फंक्शन्स किंवा युक्लिडियन स्पेसमधील त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूंवरील कोनांच्या बेरजेवरील प्रमेय वापरून तीव्र कोनाच्या आकाराची अंशांमध्ये गणना करणे शक्य आहे.

सूचना

1. त्रिकोणमितीय फंक्शन्स वापरा जर फक्त त्रिकोणाच्या बाजूंची परिमाणे समस्येच्या स्थितीत दिली असतील. समजा, 2 पायांच्या लांबीनुसार (काटकोनाला लागून असलेल्या लहान बाजू), 2 तीव्र कोनांपैकी कोणतेही मोजणे शक्य आहे. त्या कोनाची स्पर्शिका (?), एक लेग A ला लागून, विरुद्ध बाजूची लांबी (लेग B) बाजू A च्या लांबीने भागून शोधता येते: tg (?) = B/A. आणि स्पर्शिका जाणून घेतल्यास, अंशांमध्ये संबंधित कोन मूल्याची गणना करणे शक्य आहे. यासाठी, arctangent फंक्शन तयार केले आहे: ? = arctg(tg(?)) = arctg(B/A).

2. समान सूत्र वापरून, विरुद्ध पाय A वर पडलेल्या दुसर्या तीव्र कोनाचे मूल्य शोधणे शक्य आहे. बाजूंच्या पदनामांमध्ये प्राथमिक बदल करा. परंतु त्रिकोणमितीय फंक्शन्सच्या दुसर्‍या जोडीच्या मदतीने हे उलट करणे देखील शक्य आहे - कोटॅंजेंट आणि आर्क कोटॅंजेंट. कोन b चा कोटॅंजंट समीप लेग A च्या लांबीला विरुद्ध लेग B च्या लांबीने भागून निर्धारित केला जातो: tg(?) = A/B. आणि चाप स्पर्शिका अंशांमधील कोनाच्या प्राप्त मूल्यातून काढण्यास मदत करेल: ? = arcctg(ctg(?)) = arcctg(A/B).

3. जर सुरुवातीच्या स्थितीत पाय (A) आणि कर्ण (C) पैकी एकाची लांबी दिली असेल, तर कोन मोजण्यासाठी, साइन आणि कोसाइन - आर्क्साइन आणि आर्ककोसाइनच्या व्यस्त फंक्शन्सचा वापर करा. तीव्र कोनाची साइन? कर्ण C: sin (?) \u003d B / C च्या लांबीच्या विरुद्ध असलेल्या पायाच्या B च्या लांबीच्या गुणोत्तराच्या समान आहे. म्हणून, या कोनाचे मूल्य अंशांमध्ये मोजण्यासाठी, खालील सूत्र वापरा: = arcsin(V/C).

4. कोनाच्या कोसाइनचे मूल्य किती आहे? त्रिकोणाच्या या शिरोबिंदूला लागून असलेल्या लेग A ची लांबी आणि कर्ण C च्या लांबीच्या गुणोत्तराने निर्धारित केले जाते. याचा अर्थ असा की अंशांमध्ये कोन मोजण्यासाठी, मागील सूत्राशी साधर्म्य करून, तुम्हाला खालील लागू करणे आवश्यक आहे समीकरण: = arccos(A/C).

5. त्रिकोणाच्या कोनांच्या बेरजेवरील प्रमेय समस्येच्या परिस्थितीत तीव्र कोनांपैकी एकाचे मूल्य दिले असल्यास त्रिकोणमितीय कार्ये वापरणे अयोग्य बनवते. या प्रकरणात, अज्ञात कोन (?) मोजण्यासाठी, 2 ज्ञात कोनांची मूल्ये 180° मधून सहजपणे वजा करा - उजवे (90°) आणि तीव्र (?): = 180° – 90° – ? = 90° -?.

लक्षात ठेवा!
h उंची त्रिकोण ABC ला त्याच्या सारख्याच दोन काटकोन त्रिकोणांमध्ये विभाजित करते. येथे तीन कोपऱ्यांमधील त्रिकोणांच्या समानतेचे चिन्ह कार्य करते.

त्रिकोण हा एक आदिम बहुभुज आहे जो एका समतलावर तीन बिंदूंनी आणि तीन रेषाखंडांनी जोडलेला असतो. त्रिकोणातील कोन तीव्र, स्थूल आणि उजवे असतात. त्रिकोणातील कोनांची बेरीज सतत असते आणि ती 180 अंश असते.

तुला गरज पडेल

• भूमिती आणि त्रिकोणमिती मधील मूलभूत ज्ञान.

सूचना

1. त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी a=2, b=3, c=4, आणि त्याचे कोन u, v, w दर्शवू या, त्यातील प्रत्येक कोन एका बाजूच्या विरुद्ध बाजूस आहे. कोसाइनच्या नियमानुसार, त्रिकोणाच्या एका बाजूच्या लांबीचा चौरस हा इतर 2 बाजूंच्या लांबीच्या चौरसांच्या बेरजेइतका असतो व त्यांच्यामधील कोनाच्या कोसाइनद्वारे या बाजूंच्या गुणाकाराच्या दुप्पट असतो. म्हणजे, a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(u). आम्ही या अभिव्यक्तीमध्ये बाजूंच्या लांबी बदलतो आणि मिळवतो: 4 \u003d 9 + 16 - 24cos (u).

2. प्राप्त समानतेतून cos(u) व्यक्त करू. आम्हाला पुढील गोष्टी मिळतात: cos(u) = 7/8. पुढे, आपल्याला वास्तविक कोन u सापडतो. हे करण्यासाठी, आम्ही arccos(7/8) ची गणना करतो. म्हणजेच, कोन u = arccos(7/8).

3. त्याचप्रमाणे, बाकीच्या बाजूने इतर बाजू व्यक्त करताना, आपल्याला उर्वरित कोन सापडतात.

लक्षात ठेवा!
एका कोनाचे मूल्य 180 अंशांपेक्षा जास्त असू शकत नाही. arccos() चिन्हामध्ये 1 पेक्षा मोठी आणि -1 पेक्षा लहान संख्या असू शकत नाही.

उपयुक्त सल्ला
सर्व तीन कोन शोधण्यासाठी, तिन्ही बाजू व्यक्त करणे आवश्यक नाही, फक्त 2 कोन शोधण्याची परवानगी आहे आणि 180 अंशांमधून उर्वरित 2 ची मूल्ये वजा करून तिसरा मिळवता येतो. त्रिकोणाच्या सर्व कोनांची बेरीज सतत असते आणि 180 अंश असते या वस्तुस्थितीवरून हे घडते.

ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर.
त्रिकोणांचे समाधान.

त्रिकोणाचे समाधान म्हणजे त्रिकोणाची व्याख्या करणार्‍या कोणत्याही तीन घटकांद्वारे त्यातील सर्व सहा घटक (म्हणजे तीन बाजू आणि तीन कोन) शोधणे.

हा गणित कार्यक्रम बाजू \(b, c\), आणि कोन \(\alpha \) वापरकर्त्याने निर्दिष्ट केलेल्या बाजू \(a \) आणि दोन समीप कोन \(\beta \) आणि \(\gamma \) शोधतो. )

प्रोग्राम केवळ समस्येचे उत्तर देत नाही तर उपाय शोधण्याची प्रक्रिया देखील प्रदर्शित करतो.

हे ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर हायस्कूलच्या विद्यार्थ्यांना चाचण्या आणि परीक्षांची तयारी करण्यासाठी, युनिफाइड स्टेट परीक्षेपूर्वी ज्ञानाची चाचणी करताना आणि पालकांसाठी गणित आणि बीजगणितातील अनेक समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी उपयुक्त ठरू शकते. किंवा कदाचित तुमच्यासाठी ट्यूटर घेणे किंवा नवीन पाठ्यपुस्तके खरेदी करणे खूप महाग आहे? किंवा तुम्हाला तुमचे गणित किंवा बीजगणित गृहपाठ शक्य तितक्या लवकर पूर्ण करायचे आहे का? या प्रकरणात, आपण तपशीलवार समाधानासह आमचे प्रोग्राम देखील वापरू शकता.

अशाप्रकारे, तुम्ही तुमचे स्वतःचे प्रशिक्षण आणि/किंवा तुमच्या लहान भाऊ किंवा बहिणींचे प्रशिक्षण घेऊ शकता, तर सोडवण्याच्या कार्याच्या क्षेत्रातील शिक्षणाचा स्तर वाढवला जाईल.

आपण संख्या प्रविष्ट करण्याच्या नियमांशी परिचित नसल्यास, आम्ही शिफारस करतो की आपण त्यांच्याशी परिचित व्हा.

संख्या प्रविष्ट करण्याचे नियम

संख्या केवळ पूर्णच नाही तर अपूर्णांक देखील सेट केल्या जाऊ शकतात.
दशांश अपूर्णांकांमधील पूर्णांक आणि अपूर्णांक भाग एकतर बिंदू किंवा स्वल्पविरामाने वेगळे केले जाऊ शकतात.
उदाहरणार्थ, तुम्ही 2.5 किंवा 2.5 सारखे दशांश प्रविष्ट करू शकता

असे आढळले की हे कार्य सोडवण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काही स्क्रिप्ट लोड झाल्या नाहीत आणि प्रोग्राम कार्य करू शकत नाही.
तुम्ही AdBlock सक्षम केले असेल.
या प्रकरणात, ते अक्षम करा आणि पृष्ठ रीफ्रेश करा.

कारण प्रश्न सोडवायचा आहे, तुमची विनंती रांगेत आहे असे बरेच लोक आहेत.
काही सेकंदांनंतर, समाधान खाली दिसेल.
कृपया थांबा सेकंद...

जर तू समाधानामध्ये त्रुटी लक्षात आली, नंतर तुम्ही फीडबॅक फॉर्ममध्ये याबद्दल लिहू शकता.
विसरू नको कोणते कार्य सूचित करातुम्ही ठरवा काय फील्डमध्ये प्रवेश करा.

आमचे खेळ, कोडी, अनुकरणकर्ते:

थोडा सिद्धांत.

साइन प्रमेय

प्रमेय

त्रिकोणाच्या बाजू विरुद्ध कोनांच्या साइन्सच्या प्रमाणात असतात:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

कोसाइन प्रमेय

प्रमेय
ABC AB = c, BC = a, CA = b त्रिकोणात समजा. मग
त्रिकोणाच्या एका बाजूचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या चौरसांच्या बेरजेइतका असतो वजा त्या बाजूंच्या गुणाकाराच्या दुप्पट गुणा त्यांच्यामधील कोनाच्या कोसाइनच्या.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

त्रिकोण सोडवणे

त्रिकोणाचे समाधान म्हणजे त्रिकोणाची व्याख्या करणार्‍या कोणत्याही तीन घटकांद्वारे त्यातील सर्व सहा घटक (म्हणजे तीन बाजू आणि तीन कोन) शोधणे.

त्रिकोण सोडवण्यासाठी तीन समस्यांचा विचार करा. या प्रकरणात, आपण ABC त्रिकोणाच्या बाजूंसाठी खालील संकेतन वापरू: AB = c, BC = a, CA = b.

त्रिकोणाचे निराकरण दोन बाजू आणि त्यांच्या दरम्यान एक कोन

दिलेले: \(a, b, \angle C \). शोधा \(c, \angle A, \angle B \)

उपाय
1. कोसाइनच्या नियमानुसार आपल्याला \(c\):

3. \(\कोन B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)

त्रिकोणाचे समाधान एक बाजू आणि समीप कोन दिले आहे

दिलेले: \(a, \angle B, \angle C \). शोधा \(\कोन A, b, c \)

उपाय
1. \(\कोन A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)

तीन बाजू असलेला त्रिकोण सोडवणे

दिलेले: \(a, b, c\). शोधा \(\कोन A, \कोन B, \कोन C \)

उपाय
1. कोसाइन प्रमेयानुसार, आम्हाला मिळते:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. त्याचप्रमाणे, आपल्याला B कोन सापडतो.
3. \(\कोन C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

दोन बाजू आणि ज्ञात बाजू विरुद्ध कोन दिलेला त्रिकोण सोडवणे

दिलेले: \(a, b, \angle A\). शोधा \(c, \angle B, \angle C \)

उपाय
1. साइन प्रमेयाद्वारे आपल्याला \(\sin B \) सापडते:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

नोटेशन ओळखू या: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). D क्रमांकावर अवलंबून, खालील प्रकरणे शक्य आहेत:
D > 1 असल्यास, असा त्रिकोण अस्तित्वात नाही, कारण \(\sin B \) १ पेक्षा जास्त असू शकत नाही
D = 1 असल्यास, एक अद्वितीय \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
जर D तर D 2. \(\कोन C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

3. साइन प्रमेय वापरून, आम्ही बाजू c ची गणना करतो:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

ज्यांच्या बाजूची लांबी (a, b, c) ज्ञात आहे, कोसाइन प्रमेय वापरा. ती म्हणते की दोन्ही बाजूंच्या लांबीचा चौरस हा इतर दोन बाजूंच्या लांबीच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असतो, ज्यातून त्याच दोन बाजूंच्या लांबीच्या दुप्पट गुणाकार आणि त्यांच्यामधील कोनाचा कोसाइन वजा केला जातो. . कोणत्याही शिरोबिंदूवरील कोनाची गणना करण्यासाठी तुम्ही हे प्रमेय वापरू शकता, केवळ बाजूंच्या सापेक्ष त्याचे स्थान जाणून घेणे महत्त्वाचे आहे. उदाहरणार्थ, b आणि c बाजूंच्या मध्ये असलेला α हा कोन शोधण्यासाठी, प्रमेय खालीलप्रमाणे लिहिला जाणे आवश्यक आहे: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

सूत्रावरून इच्छित कोनाचा कोसाइन व्यक्त करा: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). समीकरणाच्या दोन्ही भागांना व्यस्त कोसाइन फंक्शन लागू करा - आर्क कोसाइन. हे तुम्हाला कोसाइनच्या मूल्यानुसार अंशांमध्ये कोनाचे मूल्य पुनर्संचयित करण्यास अनुमती देते: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). डावी बाजू सरलीकृत केली जाऊ शकते आणि b आणि c बाजूंमधील कोनाची गणना अंतिम स्वरूप धारण करेल: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

काटकोन त्रिकोणातील तीव्र कोनांचे परिमाण शोधताना, सर्व बाजूंच्या लांबी जाणून घेणे आवश्यक नाही, त्यापैकी दोन पुरेसे आहेत. या दोन बाजू पाय (a आणि b) असल्यास, इच्छित कोनाच्या (α) विरुद्ध असलेल्या एका बाजूची लांबी दुसऱ्याच्या लांबीने विभाजित करा. तर तुम्हाला इच्छित कोनाच्या tg (α) = a / b च्या स्पर्शिकेचे मूल्य मिळते आणि समानतेच्या दोन्ही भागांना व्यस्त फंक्शन - चाप स्पर्शिका लागू करून - आणि मागील चरणाप्रमाणे, डावी बाजू, साधी करणे अंतिम सूत्र: α = arctg (a / b ).

जर ज्ञात बाजू लेग (a) आणि कर्ण (c) असतील तर, या बाजूंनी तयार केलेला कोन (β) काढण्यासाठी, कोसाइन फंक्शन आणि त्याचा व्यस्त - चाप कोसाइन वापरा. कोसाइन हे कर्णाच्या पायाच्या लांबीच्या गुणोत्तराने निर्धारित केले जाते आणि अंतिम सूत्र खालीलप्रमाणे लिहिता येते: β = arccos(a/c). ज्ञात पायाच्या विरुद्ध पडलेला समान प्रारंभिक तीव्र कोन (α) काढण्यासाठी, समान गुणोत्तर वापरा, आर्क्साइनच्या जागी आर्क्साइन: α = arcsin(a/c).

स्रोत:

• 2 बाजू असलेले त्रिकोण सूत्र

टीप 2: त्रिकोणाचे कोन त्याच्या बाजूंच्या लांबीनुसार कसे शोधायचे

त्रिकोणातील सर्व कोनांची मूल्ये शोधण्यासाठी अनेक पर्याय आहेत, जर तिची लांबी माहित असेल. पक्ष. एक मार्ग म्हणजे दोन भिन्न क्षेत्र सूत्रे वापरणे त्रिकोण. गणिते सोपी करण्यासाठी, तुम्ही कोनांच्या बेरजेवर साइन प्रमेय आणि प्रमेय देखील लागू करू शकता. त्रिकोण.

सूचना

उदाहरणार्थ, क्षेत्र मोजण्यासाठी दोन सूत्रे वापरा त्रिकोण, ज्यापैकी फक्त त्याच्या ओळखीच्या तीन जणांचा समावेश आहे पक्ष s (गेरोना), आणि इतर - दोन पक्ष s आणि त्यांच्यामधील कोनाची साइन. दुसऱ्या सूत्रात वेगवेगळ्या जोड्या वापरणे पक्ष, तुम्ही प्रत्येक कोनाची विशालता निर्धारित करू शकता त्रिकोण.

सामान्य अटींमध्ये समस्या सोडवा. हेरॉनचे सूत्र क्षेत्र निश्चित करते त्रिकोण, अर्धपरिमितीच्या गुणाकाराचे वर्गमूळ म्हणून (सर्वांच्या अर्धा पक्ष) अर्धपरिमिती आणि प्रत्येक मधील फरकावर पक्ष. आम्ही बेरीज बदलल्यास पक्ष, नंतर सूत्र खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते: S=0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C दुसरे पक्ष s क्षेत्र त्रिकोणत्याच्या दोनचे अर्धे गुणाकार म्हणून व्यक्त केले जाऊ शकते पक्षत्यांच्या दरम्यानच्या कोनाच्या साइनद्वारे. उदाहरणार्थ, साठी पक्ष a आणि b त्यांच्यामध्ये γ कोनासह, हे सूत्र खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते: S=a∗b∗sin(γ). हेरॉनच्या सूत्राने समीकरणाची डावी बाजू बदला: 0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). या समीकरणावरून सूत्र काढा

जवळजवळ प्रत्येक कोपऱ्यावर एक काटकोन त्रिकोण वास्तवात आढळतो. या आकृतीच्या गुणधर्मांचे ज्ञान, तसेच त्याचे क्षेत्रफळ मोजण्याची क्षमता, निःसंशयपणे आपल्यासाठी केवळ भूमितीमधील समस्या सोडवण्यासाठीच नव्हे तर जीवनातील परिस्थितींमध्ये देखील उपयुक्त ठरेल.

त्रिकोण भूमिती

प्राथमिक भूमितीमध्ये, काटकोन त्रिकोण ही एक आकृती आहे ज्यामध्ये तीन जोडलेले विभाग असतात जे तीन कोन बनवतात (दोन तीव्र आणि एक सरळ). काटकोन त्रिकोण ही मूळ आकृती आहे, जी त्रिकोणमितीचा पाया बनविणाऱ्या अनेक महत्त्वाच्या गुणधर्मांद्वारे वैशिष्ट्यीकृत आहे. सामान्य त्रिकोणाच्या विपरीत, आयताकृती आकृतीच्या बाजूंना त्यांची स्वतःची नावे असतात:

• कर्ण ही त्रिकोणाची सर्वात लांब बाजू आहे जी काटकोनाच्या विरुद्ध असते.
• पाय - काटकोन तयार करणारे विभाग. विचाराधीन कोनावर अवलंबून, पाय त्याच्या समीप (कर्णाने हा कोन तयार करणे) किंवा विरुद्ध (कोनाच्या विरुद्ध पडलेला) असू शकतो. आयताकृती नसलेल्या त्रिकोणांसाठी पाय नाहीत.

हे पाय आणि कर्ण यांचे गुणोत्तर आहे जे त्रिकोणमितीचा आधार बनते: सायन्स, स्पर्शरेषा आणि सेकंट्स काटकोन त्रिकोणाच्या बाजूंचे गुणोत्तर म्हणून परिभाषित केले जातात.

वास्तवात काटकोन त्रिकोण

ही आकृती प्रत्यक्षात मोठ्या प्रमाणावर वापरली जाते. डिझाइन आणि तंत्रज्ञानामध्ये त्रिकोणांचा वापर केला जातो, म्हणून आकृतीच्या क्षेत्राची गणना अभियंते, आर्किटेक्ट आणि डिझाइनर यांनी केली पाहिजे. टेट्राहेड्रा किंवा प्रिझमच्या पायामध्ये त्रिकोणाचा आकार असतो - त्रिमितीय आकृत्या ज्या दैनंदिन जीवनात सहज भेटतात. याव्यतिरिक्त, चौरस हे वास्तवात "सपाट" काटकोन त्रिकोणाचे सर्वात सोपे प्रतिनिधित्व आहे. स्क्वेअर हे लॉकस्मिथ, रेखांकन, बांधकाम आणि सुतारकामाचे साधन आहे ज्याचा उपयोग शाळकरी मुले आणि अभियंते दोन्ही कोपरे बांधण्यासाठी करतात.

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

भौमितिक आकृतीचे क्षेत्रफळ हे एका त्रिकोणाच्या बाजूंनी किती समतल बांधलेले आहे याचा परिमाणवाचक अंदाज आहे. सामान्य त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ हेरॉनचे सूत्र वापरून किंवा कोरलेल्या किंवा परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाचा पाया, बाजू, कोन आणि त्रिज्या यांसारख्या व्हेरिएबल्सच्या गणनेत काम करून, पाच प्रकारे शोधता येते. सर्वात सोपा क्षेत्र सूत्र असे व्यक्त केले आहे:

जेथे a त्रिकोणाची बाजू आहे, h ही त्याची उंची आहे.

काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे सूत्र आणखी सोपे आहे:

जेथे a आणि b पाय आहेत.

आमच्या ऑनलाइन कॅल्क्युलेटरसह कार्य करताना, तुम्ही पॅरामीटर्सच्या तीन जोड्या वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढू शकता:

• दोन पाय;
• पाय आणि समीप कोन;
• पाय आणि विरुद्ध कोन.

कार्ये किंवा दैनंदिन परिस्थितींमध्ये, तुम्हाला व्हेरिएबल्सचे वेगवेगळे संयोजन दिले जातील, म्हणून कॅल्क्युलेटरचा हा प्रकार तुम्हाला त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ अनेक प्रकारे मोजण्याची परवानगी देतो. एक दोन उदाहरणे पाहू.

वास्तविक जीवनातील उदाहरणे

सिरॅमीकची फरशी

समजा तुम्हाला स्वयंपाकघरातील भिंतींना सिरेमिक टाइल्स लावायच्या आहेत, ज्याचा आकार काटकोन त्रिकोणाचा आहे. टाइलचा वापर निश्चित करण्यासाठी, आपल्याला क्लॅडिंगच्या एक घटकाचे क्षेत्रफळ आणि उपचार करण्याच्या पृष्ठभागाचे एकूण क्षेत्रफळ शोधणे आवश्यक आहे. समजा तुम्हाला 7 चौरस मीटरवर प्रक्रिया करणे आवश्यक आहे. एका घटकाच्या पायांची लांबी प्रत्येकी 19 सेमी आहे, नंतर टाइलचे क्षेत्रफळ समान असेल:

याचा अर्थ एका घटकाचे क्षेत्रफळ २४.५ चौरस सेंटीमीटर किंवा ०.०१८०५ चौरस मीटर आहे. हे पॅरामीटर्स जाणून घेतल्यास, आपण गणना करू शकता की भिंतीचे 7 चौरस मीटर पूर्ण करण्यासाठी आपल्याला 7 / 0.01805 = 387 फेसिंग टाइलची आवश्यकता असेल.

शाळेचे कार्य

समजा शाळेच्या भूमितीच्या समस्येमध्ये काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधणे आवश्यक आहे, फक्त एका पायाची बाजू 5 सेमी आहे आणि विरुद्ध कोनाचे मूल्य 30 अंश आहे हे जाणून घेणे आवश्यक आहे. आमच्या ऑनलाइन कॅल्क्युलेटरमध्ये काटकोन त्रिकोणाच्या बाजू आणि कोन दर्शविणाऱ्या उदाहरणासह आहे. जर बाजू a = 5 सेमी असेल, तर त्याचा विरुद्ध कोन हा कोन अल्फा असेल, जो 30 अंश असेल. हा डेटा कॅल्क्युलेटर फॉर्ममध्ये प्रविष्ट करा आणि परिणाम मिळवा:

अशाप्रकारे, कॅल्क्युलेटर दिलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजत नाही तर समीप पाय आणि कर्णाची लांबी तसेच दुसऱ्या कोनाचे मूल्य देखील ठरवते.

निष्कर्ष

आयताकृती त्रिकोण आपल्या जीवनात अक्षरशः प्रत्येक कोपऱ्यावर आढळतात. अशा आकृत्यांचे क्षेत्रफळ निश्चित करणे केवळ भूमितीमधील शालेय असाइनमेंट सोडवतानाच नव्हे तर दैनंदिन आणि व्यावसायिक क्रियाकलापांमध्ये देखील उपयुक्त ठरेल.