प्राथमिक कार्यांचा सिद्धांत. मूलभूत प्राथमिक कार्ये

ज्ञान मूलभूत प्राथमिक कार्ये, त्यांचे गुणधर्म आणि आलेखगुणाकार सारण्या जाणून घेण्यापेक्षा कमी महत्त्वाचे नाही. ते पायासारखे आहेत, सर्व काही त्यांच्यावर आधारित आहे, सर्वकाही त्यांच्यापासून तयार केले आहे आणि सर्वकाही त्यांच्याकडे येते.

या लेखात आम्ही सर्व मुख्य प्राथमिक कार्ये सूचीबद्ध करू, त्यांचे आलेख देऊ आणि निष्कर्ष किंवा पुराव्याशिवाय देऊ. मूलभूत प्राथमिक कार्यांचे गुणधर्मयोजनेनुसार:

• परिभाषेच्या डोमेनच्या सीमेवर फंक्शनचे वर्तन, अनुलंब लक्षणे (आवश्यक असल्यास, फंक्शनच्या खंडितता बिंदूंचे लेख वर्गीकरण पहा);
• सम आणि विषम;
• बहिर्वक्रता (उर्ध्वगामी) आणि उत्तलता (अधोमुखी) चे अंतराल, विक्षेपण बिंदू (आवश्यक असल्यास, फंक्शनचा लेख बहिर्वक्रता, बहिर्वक्रतेची दिशा, वळण बिंदू, बहिर्वक्रता आणि वळणाची स्थिती पहा);
• तिरकस आणि क्षैतिज लक्षणे;
• फंक्शन्सचे एकवचन बिंदू;
• काही फंक्शन्सचे विशेष गुणधर्म (उदाहरणार्थ, त्रिकोणमितीय फंक्शन्सचा सर्वात लहान सकारात्मक कालावधी).

आपल्याला स्वारस्य असल्यास किंवा, नंतर आपण सिद्धांताच्या या विभागांमध्ये जाऊ शकता.

मूलभूत प्राथमिक कार्येआहेत: स्थिर कार्य (स्थिर), nth रूट, पॉवर फंक्शन, घातांक, लॉगरिदमिक फंक्शन, त्रिकोणमितीय आणि व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

कायमस्वरूपी कार्य.

एक स्थिर कार्य सर्व वास्तविक संख्यांच्या सेटवर सूत्राद्वारे परिभाषित केले जाते, जेथे C ही काही वास्तविक संख्या आहे. एक स्थिर फंक्शन स्वतंत्र व्हेरिएबल x च्या प्रत्येक वास्तविक मूल्यास अवलंबून व्हेरिएबल y - मूल्य C च्या समान मूल्याशी संबद्ध करते. स्थिर कार्याला स्थिरांक देखील म्हणतात.

स्थिर फंक्शनचा आलेख म्हणजे x-अक्षाच्या समांतर आणि निर्देशांक (0,C) सह बिंदूमधून जाणारी सरळ रेषा आहे. उदाहरणार्थ, y=5, y=-2 आणि खालील आकृतीत अनुक्रमे काळ्या, लाल आणि निळ्या रेषांशी संबंधित असलेल्या स्थिर फंक्शन्सचे आलेख दाखवू.

स्थिर कार्याचे गुणधर्म.

• डोमेन: वास्तविक संख्यांचा संपूर्ण संच.
• स्थिर कार्य सम आहे.
• मूल्यांची श्रेणी: एकवचनी संख्या C असलेला संच.
• स्थिर कार्य म्हणजे न वाढणारे आणि न घटणारे (म्हणूनच ते स्थिर आहे).
• स्थिरतेची उत्तलता आणि अवतलता याबद्दल बोलण्यात काही अर्थ नाही.
• कोणतीही लक्षणे नाहीत.
• फंक्शन कोऑर्डिनेट प्लेनच्या बिंदू (0,C) मधून जाते.

nth रूट.

चला मूलभूत प्राथमिक कार्याचा विचार करूया, जे सूत्राने दिलेले आहे, जेथे n ही एकापेक्षा मोठी नैसर्गिक संख्या आहे.

nव्या अंशाचे मूळ, n ही सम संख्या आहे.

मूळ घातांक n च्या सम मूल्यांसाठी nव्या रूट फंक्शनपासून सुरुवात करूया.

उदाहरण म्हणून, फंक्शन आलेखांच्या प्रतिमा असलेले एक चित्र येथे आहे आणि , ते काळ्या, लाल आणि निळ्या रेषांशी संबंधित आहेत.

सम-डिग्री रूट फंक्शन्सचे आलेख घातांकाच्या इतर मूल्यांसाठी समान स्वरूपाचे असतात.

सम n साठी nव्या रूट फंक्शनचे गुणधर्म.

nवे मूळ, n ही विषम संख्या आहे.

विषम मूळ घातांक n सह nवे मूळ कार्य वास्तविक संख्यांच्या संपूर्ण संचावर परिभाषित केले आहे. उदाहरणार्थ, येथे फंक्शन आलेख आहेत आणि , ते काळ्या, लाल आणि निळ्या वक्रांशी संबंधित आहेत.

मूळ घातांकाच्या इतर विषम मूल्यांसाठी, फंक्शन आलेखांचे स्वरूप सारखेच असेल.

विषम n साठी nव्या रूट फंक्शनचे गुणधर्म.

पॉवर फंक्शन.

पॉवर फंक्शन फॉर्मच्या सूत्राद्वारे दिले जाते.

पॉवर फंक्शनच्या आलेखांचे स्वरूप आणि घातांकाच्या मूल्यावर अवलंबून पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म पाहू.

पूर्णांक घातांक a सह पॉवर फंक्शनसह प्रारंभ करूया. या प्रकरणात, पॉवर फंक्शन्सच्या आलेखांचे स्वरूप आणि फंक्शन्सचे गुणधर्म घातांकाच्या समानता किंवा विषमतेवर तसेच त्याच्या चिन्हावर अवलंबून असतात. म्हणून, आपण प्रथम a च्या घातांकाच्या विषम सकारात्मक मूल्यांसाठी, नंतर सम धनात्मक घातांकासाठी, नंतर विषम ऋणात्मक घातांकासाठी आणि शेवटी, सम ऋण a साठी पॉवर फंक्शन्सचा विचार करू.

अपूर्णांक आणि अपरिमेय घातांक असलेल्या पॉवर फंक्शन्सचे गुणधर्म (तसेच अशा पॉवर फंक्शन्सच्या आलेखांचे प्रकार) घातांक a च्या मूल्यावर अवलंबून असतात. आम्ही त्यांचा विचार करू, प्रथम, शून्य ते एक, दुसरे, एकापेक्षा जास्त, तिसरे, वजा एक ते शून्य, चौथे, वजा एक पेक्षा कमी.

या विभागाच्या शेवटी, पूर्णतेसाठी, आम्ही शून्य घातांकासह पॉवर फंक्शनचे वर्णन करू.

विषम धनात्मक घातांकासह पॉवर फंक्शन.

विषम धनात्मक घातांक असलेल्या पॉवर फंक्शनचा विचार करू, म्हणजे = 1,3,5,.... सह.

खालील आकृती पॉवर फंक्शन्सचे आलेख दाखवते - काळी रेषा, - निळी रेषा, - लाल रेषा, - हिरवी रेषा. a=1 साठी आमच्याकडे आहे रेखीय कार्य y=x.

विषम धनात्मक घातांकासह पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म.

अगदी सकारात्मक घातांकासह पॉवर फंक्शन.

सम धनात्मक घातांक असलेल्या पॉवर फंक्शनचा विचार करू, म्हणजेच a = 2,4,6,.... साठी

उदाहरण म्हणून, आम्ही पॉवर फंक्शन्सचे आलेख देतो – काळी रेषा, – निळी रेषा, – लाल रेषा. a=2 साठी आपल्याकडे चतुर्भुज कार्य आहे, ज्याचा आलेख आहे चतुर्भुज पॅराबोला.

सम धनात्मक घातांकासह पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म.

विषम ऋण घातांकासह पॉवर फंक्शन.

घातांकाच्या विषम ऋण मूल्यांसाठी पॉवर फंक्शनचे आलेख पहा, म्हणजे = -1, -3, -5,.... साठी.

आकृती पॉवर फंक्शन्सचे आलेख उदाहरणे म्हणून दाखवते - काळी रेषा, - निळी रेषा, - लाल रेषा, - हिरवी रेषा. a=-1 साठी आमच्याकडे आहे व्यस्त आनुपातिकता, ज्याचा आलेख आहे हायपरबोला.

विषम ऋण घातांकासह पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म.

सम ऋण घातांकासह पॉवर फंक्शन.

a=-2,-4,-6,…. साठी पॉवर फंक्शन वर जाऊ.

आकृती पॉवर फंक्शन्सचे आलेख दर्शविते – काळी रेषा, – निळी रेषा, – लाल रेषा.

सम ऋण घातांकासह पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म.

परिमेय किंवा अपरिमेय घातांक असलेले पॉवर फंक्शन ज्याचे मूल्य शून्यापेक्षा जास्त आणि एकापेक्षा कमी आहे.

लक्षात ठेवा!जर a हा विषम भाजकासह सकारात्मक अपूर्णांक असेल, तर काही लेखक पॉवर फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन मध्यांतर मानतात. घातांक a हा एक अपरिवर्तनीय अपूर्णांक आहे असे नमूद केले आहे. आता बीजगणित आणि विश्लेषणाच्या तत्त्वांवरील अनेक पाठ्यपुस्तकांचे लेखक वितर्काच्या नकारात्मक मूल्यांसाठी विषम भाजक असलेल्या अपूर्णांकाच्या रूपात घातांकासह पॉवर फंक्शन्स परिभाषित करत नाहीत. आम्ही या मताचे तंतोतंत पालन करू, म्हणजेच आम्ही अपूर्णांक पॉझिटिव्ह घातांकांसह पॉवर फंक्शनच्या परिभाषेचे डोमेन मानू. मतभेद टाळण्यासाठी विद्यार्थ्यांनी या सूक्ष्म मुद्यावर तुमच्या शिक्षकांचे मत जाणून घेण्याची आम्ही शिफारस करतो.

परिमेय किंवा अपरिमेय घातांक a, आणि सह पॉवर फंक्शनचा विचार करू.

a=11/12 (काळी रेषा), a=5/7 (लाल रेषा), (निळी रेषा), a=2/5 (हिरवी रेषा) साठी पॉवर फंक्शन्सचे आलेख सादर करू.

पूर्णांक नसलेले परिमेय किंवा अपरिमेय घातांक एकापेक्षा जास्त असलेले पॉवर फंक्शन.

पूर्णांक नसलेल्या परिमेय किंवा अपरिमेय घातांक a, आणि सह पॉवर फंक्शनचा विचार करूया.

सूत्रांनी दिलेल्या पॉवर फंक्शन्सचे आलेख सादर करू (अनुक्रमे काळ्या, लाल, निळ्या आणि हिरव्या रेषा).

घातांक a च्या इतर मूल्यांसाठी, फंक्शनचे आलेख समान स्वरूपाचे असतील.

येथील पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म.

वजा एक पेक्षा मोठे आणि शून्यापेक्षा कमी असलेले वास्तविक घातांक असलेले पॉवर फंक्शन.

लक्षात ठेवा!जर a हा विषम भाजक असलेला ऋण अपूर्णांक असेल, तर काही लेखक पॉवर फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन मध्यांतर मानतात. . घातांक a हा एक अपरिवर्तनीय अपूर्णांक आहे असे नमूद केले आहे. आता बीजगणित आणि विश्लेषणाच्या तत्त्वांवरील अनेक पाठ्यपुस्तकांचे लेखक वितर्काच्या नकारात्मक मूल्यांसाठी विषम भाजक असलेल्या अपूर्णांकाच्या रूपात घातांकासह पॉवर फंक्शन्स परिभाषित करत नाहीत. आम्ही या मताचे तंतोतंत पालन करू, म्हणजेच, आम्ही अनुक्रमे अपूर्णांक अपूर्णांक ऋण घातांक असलेल्या पॉवर फंक्शन्सच्या व्याख्येच्या डोमेनचा एक संच मानू. मतभेद टाळण्यासाठी विद्यार्थ्यांनी या सूक्ष्म मुद्यावर तुमच्या शिक्षकांचे मत जाणून घेण्याची आम्ही शिफारस करतो.

चला पॉवर फंक्शनकडे जाऊ, kgod.

पॉवर फंक्शन्सच्या आलेखांच्या स्वरूपाची चांगली कल्पना येण्यासाठी, आम्ही फंक्शन्सच्या आलेखांची उदाहरणे देतो (अनुक्रमे काळा, लाल, निळा आणि हिरवा वक्र).

घातांक a सह पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म, .

पूर्णांक नसलेले वास्तविक घातांक असलेले पॉवर फंक्शन जे वजा एक पेक्षा कमी आहे.

साठी पॉवर फंक्शन्सच्या आलेखांची उदाहरणे देऊ , ते अनुक्रमे काळ्या, लाल, निळ्या आणि हिरव्या रेषांनी दर्शविले आहेत.

वजा एक पेक्षा कमी पूर्णांक नसलेल्या ऋणात्मक घातांकासह पॉवर फंक्शनचे गुणधर्म.

जेव्हा a = 0, आमच्याकडे फंक्शन असते - ही एक सरळ रेषा आहे ज्यातून बिंदू (0;1) वगळला जातो (0 0 या अभिव्यक्तीला कोणतेही महत्त्व न देण्याचे मान्य केले होते).

घातांकीय कार्य.

मुख्य प्राथमिक कार्यांपैकी एक म्हणजे घातांकीय कार्य.

घातांकीय फंक्शनचा आलेख, जेथे आणि बेस a च्या मूल्यावर अवलंबून भिन्न रूपे घेते. चला हे शोधून काढूया.

प्रथम, जेव्हा घातांकीय फंक्शनचा आधार शून्य ते एक मूल्य घेतो तेव्हा केस विचारात घ्या, म्हणजे .

उदाहरण म्हणून, आम्ही = 1/2 – निळ्या रेषेसाठी, a = 5/6 – लाल रेषेसाठी घातांकीय कार्याचे आलेख सादर करतो. घातांकीय कार्याचे आलेख मध्यांतरापासून बेसच्या इतर मूल्यांसाठी समान स्वरूपाचे असतात.

एकापेक्षा कमी पाया असलेल्या घातांकीय कार्याचे गुणधर्म.

जेव्हा घातांकीय फंक्शनचा पाया एकापेक्षा मोठा असतो तेव्हा आपण केसकडे जाऊ या.

उदाहरण म्हणून, आम्ही घातांकीय कार्यांचे आलेख सादर करतो - निळी रेषा आणि - लाल रेषा. एकापेक्षा मोठ्या पायाच्या इतर मूल्यांसाठी, घातांकीय फंक्शनचे आलेख समान स्वरूपाचे असतील.

एकापेक्षा जास्त बेस असलेल्या घातांकीय फंक्शनचे गुणधर्म.

लॉगरिदमिक कार्य.

पुढील मूलभूत प्राथमिक कार्य लॉगरिदमिक कार्य आहे, जेथे , . लॉगरिदमिक फंक्शन केवळ वितर्काच्या सकारात्मक मूल्यांसाठी परिभाषित केले आहे, म्हणजे साठी.

लॉगरिदमिक फंक्शनचा आलेख बेस a च्या मूल्यावर अवलंबून भिन्न रूपे घेतो.

मूलभूत प्राथमिक कार्यांची संपूर्ण यादी

मूलभूत प्राथमिक कार्यांच्या वर्गामध्ये खालील गोष्टींचा समावेश होतो:

1. स्थिर कार्य $y=C$, जेथे $C$ एक स्थिरांक आहे. असे फंक्शन कोणत्याही $x$ साठी $C$ समान मूल्य घेते.
2. पॉवर फंक्शन $y=x^(a) $, जेथे घातांक $a$ ही वास्तविक संख्या आहे.
3. एक्सपोनेन्शियल फंक्शन $y=a^(x) $, जिथे बेस डिग्री आहे $a>0$, $a\ne 1$.
4. लॉगरिदमिक फंक्शन $y=\log _(a) x$, जेथे लॉगरिदमचा आधार $a>0$, $a\ne 1$ आहे.
5. त्रिकोणमितीय कार्ये $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ सेकंद\,x$.
6. व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

पॉवर फंक्शन्स

आम्ही पॉवर फंक्शन $y=x^(a) $ च्या वर्तनाचा त्या सोप्या केसेससाठी विचार करू जेव्हा त्याचा घातांक पूर्णांक घातांक आणि रूट एक्स्ट्रॅक्शन ठरवतो.

केस १

फंक्शनचा घातांक $y=x^(a) $ ही नैसर्गिक संख्या आहे, ती म्हणजे $y=x^(n) $, $n\in N$.

जर $n=2\cdot k$ ही सम संख्या असेल, तर फंक्शन $y=x^(2\cdot k) $ सम आहे आणि वितर्क $\left(x\to +\infty \ right) प्रमाणे अनिश्चित काळासाठी वाढते. )$, आणि त्याच्या अमर्यादित घट सह $\left(x\to -\infty \right)$. फंक्शनच्या या वर्तनाचे वर्णन $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ आणि $\mathop(\lim )\ या अभिव्यक्तींद्वारे केले जाऊ शकते. limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, याचा अर्थ दोन्ही प्रकरणांमध्ये फंक्शन मर्यादेशिवाय वाढते ($\lim $ ही मर्यादा आहे). उदाहरण: $y=x^(2) $ फंक्शनचा आलेख.

जर $n=2\cdot k-1$ ही विषम संख्या असेल, तर $y=x^(2\cdot k-1) $ हे फंक्शन विषम आहे, वितर्क अनिश्चित काळासाठी वाढते म्हणून अनिश्चित काळासाठी वाढते आणि वितर्क म्हणून अनिश्चित काळासाठी कमी होते. अनिश्चित काळासाठी कमी होते. फंक्शनच्या या वर्तनाचे वर्णन $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ आणि $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. उदाहरण: $y=x^(3) $ फंक्शनचा आलेख.

केस 2

$y=x^(a) $ फंक्शनचा घातांक हा ऋण पूर्णांक आहे, म्हणजे $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

जर $n=2\cdot k$ ही सम संख्या असेल, तर फंक्शन $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ सम आहे आणि अमर्यादित वाढीव वितर्काप्रमाणे असिम्प्टोटिकली (हळूहळू) शून्याकडे जाते. , आणि त्याच्या अमर्यादित घट सह. फंक्शनचे हे वर्तन $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$ द्वारे वर्णन केले जाऊ शकते, याचा अर्थ असा की निरपेक्ष मूल्यातील वितर्कामध्ये अमर्यादित वाढीसह, फंक्शनची मर्यादा शून्य आहे. याव्यतिरिक्त, युक्तिवाद डावीकडे $\left(x\to 0-0\right)$ आणि उजवीकडे $\left(x\to 0+0\right)$ दोन्हीकडे शून्याकडे झुकत असल्याने, फंक्शन शिवाय वाढते मर्यादा म्हणून, $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ आणि $\mathop(\lim )\ limits_ वैध आहेत (x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, म्हणजे फंक्शन $y=\frac(1)(x^(2) \cdot k ) ) $ दोन्ही प्रकरणांमध्ये $+\infty $ च्या बरोबरीची असीम मर्यादा आहे. उदाहरण: फंक्शनचा आलेख $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

जर $n=2\cdot k-1$ ही विषम संख्या असेल, तर $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ हे फंक्शन विषम आहे आणि असिम्प्टोटिकरीत्या शून्यावर येते जसे की दोन्ही जेव्हा वाद वाढतो आणि जेव्हा तो मर्यादेशिवाय कमी होतो. फंक्शनचे हे वर्तन $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$ द्वारे वर्णन केले जाऊ शकते. याशिवाय, जसजसा वितर्क डावीकडे शून्याजवळ येतो, फंक्शन मर्यादेशिवाय कमी होते आणि जसजसा वितर्क उजवीकडे शून्याजवळ येतो, फंक्शन मर्यादेशिवाय वाढते, म्हणजेच $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ आणि $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. उदाहरण: फंक्शनचा आलेख $y=\frac(1)(x) $.

केस 3

$y=x^(a) $ फंक्शनचा घातांक हा नैसर्गिक संख्येचा व्यस्त आहे, म्हणजेच $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\in N$.

जर $n=2\cdot k$ ही सम संख्या असेल, तर फंक्शन $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ हे दोन-मूल्य आहे आणि फक्त $x\ge 0 साठी परिभाषित केले आहे $. युक्तिवादामध्ये अमर्यादित वाढीसह, फंक्शनचे मूल्य $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ अमर्यादपणे वाढते आणि फंक्शनचे मूल्य $y=-\sqrt[(2\) cdot k)](x) $ अमर्यादितपणे कमी होते, म्हणजे $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ आणि $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. उदाहरण: $y=\pm \sqrt(x) $ फंक्शनचा आलेख.

जर $n=2\cdot k-1$ ही विषम संख्या असेल, तर फंक्शन $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ विषम आहे, वितर्कातील अमर्याद वाढीसह अमर्यादितपणे वाढते. आणि अमर्यादितपणे कमी होते जेव्हा अमर्यादित असते तेव्हा ते कमी होते, म्हणजेच $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ आणि $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. उदाहरण: $y=\sqrt[(3)](x) $ फंक्शनचा आलेख.

घातांक आणि लॉगरिदमिक कार्ये

घातांक $y=a^(x) $ आणि लॉगरिदमिक $y=\log _(a) x$ फंक्शन्स परस्पर व्यस्त आहेत. त्यांचे आलेख पहिल्या आणि तिसऱ्या समन्वय कोनांच्या सामान्य दुभाजकाच्या संदर्भात सममितीय आहेत.

जेव्हा $\left(x\to +\infty \right)$ वितर्क अनिश्चित काळासाठी वाढते, तेव्हा घातांकीय कार्य किंवा $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ अनिश्चित काळासाठी , जर $a>1$, किंवा असिम्प्टोटिकरीत्या शून्याजवळ आला तर $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, $a1$, किंवा $\mathop मर्यादेशिवाय वाढते (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, जर $a

फंक्शन $y=a^(x) $ साठी वैशिष्ट्यपूर्ण मूल्य $x=0$ आहे. या स्थितीत, सर्व घातांकीय कार्ये, $a$ची पर्वा न करता, $Oy$ अक्षाला $y=1$ वर छेदतात. उदाहरणे: फंक्शन्सचे आलेख $y=2^(x) $ आणि $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $.

लॉगरिदमिक फंक्शन $y=\log _(a) x$ फक्त $x > 0$ साठी परिभाषित केले आहे.

$\left(x\to +\infty \right)$ हा वितर्क अनिश्चित काळासाठी वाढत असताना, लॉगरिदमिक फंक्शन किंवा $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ अनिश्चित काळासाठी infty $ वाढते, जर $a>1$, किंवा मर्यादेशिवाय कमी होते $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, जर $a1 $, किंवा मर्यादेशिवाय $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ वाढल्यास $a

$y=\log _(a) x$ फंक्शनचे वैशिष्ट्यपूर्ण मूल्य $y=0$ आहे. या प्रकरणात, सर्व लॉगरिदमिक फंक्शन्स, $a$ ची पर्वा न करता, $Ox$ अक्षला $x=1$ वर छेदतात. उदाहरणे: $y=\log _(2) x$ आणि $y=\log _(1/2) x$ फंक्शनचे आलेख.

काही लॉगरिदमिक फंक्शन्सना विशेष नोटेशन असते. विशेषतः, लॉगरिदमचा आधार $a=10$ असल्यास, अशा लॉगरिदमला दशांश असे म्हणतात आणि संबंधित कार्य $y=\lg x$ असे लिहिले जाते. आणि जर अपरिमेय संख्या $e=2.7182818\ldots $ ही लॉगरिदमचा आधार म्हणून निवडली असेल, तर अशा लॉगरिदमला नैसर्गिक म्हटले जाते आणि संबंधित फंक्शन $y=\ln x$ असे लिहिले जाते. त्याचे व्यस्त हे फंक्शन $y=e^(x) $ आहे, ज्याला घातांक म्हणतात.

विभागात मुख्य प्राथमिक कार्ये आणि त्यांच्या गुणधर्मांवरील संदर्भ सामग्री आहे. प्राथमिक कार्यांचे वर्गीकरण दिले आहे. खाली उपविभागांचे दुवे आहेत जे विशिष्ट कार्यांच्या गुणधर्मांवर चर्चा करतात - आलेख, सूत्रे, डेरिव्हेटिव्ह्ज, अँटीडेरिव्हेटिव्ह (अविभाज्य), मालिका विस्तार, जटिल चलांद्वारे अभिव्यक्ती.

मूलभूत कार्यांसाठी संदर्भ पृष्ठे

प्राथमिक कार्यांचे वर्गीकरण

बीजगणितीय कार्यसमीकरण पूर्ण करणारे कार्य आहे:
,
अवलंबून व्हेरिएबल y आणि स्वतंत्र व्हेरिएबल x मध्ये बहुपदी कुठे आहे. हे असे लिहिले जाऊ शकते:
,
बहुपदी कुठे आहेत.

बीजगणितीय कार्ये बहुपदी (संपूर्ण परिमेय कार्ये), परिमेय कार्ये आणि अपरिमेय कार्ये मध्ये विभागली जातात.

संपूर्ण तर्कसंगत कार्य, ज्याला देखील म्हणतात बहुपदीकिंवा बहुपदी, बेरीज (वजाबाकी) आणि गुणाकाराच्या अंकगणितीय क्रिया वापरून x आणि मर्यादित संख्येच्या व्हेरिएबलमधून मिळवले जाते. कंस उघडल्यानंतर, बहुपदी प्रमाणिक स्वरूपात कमी केले जाते:
.

अपूर्णांक तर्कसंगत कार्य, किंवा फक्त तर्कसंगत कार्य, बेरीज (वजाबाकी), गुणाकार आणि भागाकाराच्या अंकगणितीय क्रियांचा वापर करून x आणि मर्यादित संख्येच्या व्हेरिएबलमधून मिळवले जाते. तर्कसंगत कार्य फॉर्ममध्ये कमी केले जाऊ शकते
,
कुठे आणि बहुपदी आहेत.

अतार्किक कार्यबीजगणितीय कार्य आहे जे तर्कसंगत नाही. नियमानुसार, तर्कहीन कार्य मुळे आणि तर्कसंगत कार्यांसह त्यांची रचना समजली जाते. अंश n चे मूळ समीकरणाचे समाधान म्हणून परिभाषित केले आहे
.
हे खालीलप्रमाणे नियुक्त केले आहे:
.

अतींद्रिय कार्येत्यांना बीजगणितीय कार्ये म्हणतात. हे घातांक, त्रिकोणमितीय, हायपरबोलिक आणि त्यांची व्यस्त कार्ये आहेत.

मूलभूत प्राथमिक कार्यांचे विहंगावलोकन

सर्व प्राथमिक फंक्शन्स फॉर्मच्या अभिव्यक्तीवर केल्या जाणाऱ्या बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार क्रियांची मर्यादित संख्या म्हणून दर्शविली जाऊ शकतात:
z t .
व्यस्त कार्ये लॉगरिदमच्या संदर्भात देखील व्यक्त केली जाऊ शकतात. मूलभूत प्राथमिक कार्ये खाली सूचीबद्ध आहेत.

पॉवर फंक्शन:
y(x) = x p ,
जेथे p हा घातांक आहे. हे x डिग्रीच्या पायावर अवलंबून असते.
पॉवर फंक्शनचा व्यस्त हे पॉवर फंक्शन देखील आहे:
.
घातांक p च्या पूर्णांक नॉन-ऋणात्मक मूल्यासाठी, ते बहुपदी आहे. पूर्णांक मूल्य p साठी - एक परिमेय कार्य. तर्कसंगत अर्थासह - एक अपरिमेय कार्य.

अतींद्रिय कार्ये

घातांकीय कार्य:
y(x) = a x ,
जेथे a हा पदवीचा आधार आहे. हे घातांक x वर अवलंबून आहे.
इनव्हर्स फंक्शन हे बेस a चे लॉगरिथम आहे:
x = लॉग a y.

घातांक, x पॉवरसाठी e:
y(x) = e x ,
हे एक घातांकीय फंक्शन आहे ज्याचे व्युत्पन्न फंक्शनच्या समान आहे:
.
घातांकाचा आधार ही संख्या e आहे:
≈ 2,718281828459045... .
व्यस्त कार्य - नैसर्गिक लॉगरिदम - लॉगरिदम ते बेस ई:
x = ln y ≡ log e y.

त्रिकोणमितीय कार्ये:
साइन: ;
कोसाइन: ;
स्पर्शिका: ;
कोटँजेंट: ;
येथे i काल्पनिक एकक आहे, i 2 = -1.

व्यस्त त्रिकोणमितीय कार्ये:
आर्कसिन: x = arcsin y, ;
आर्क कोसाइन: x = arccos y, ;
आर्कटेंजेंट: x = arctan y, ;
चाप स्पर्शिका: x = arcctg y, .

मूलभूत प्राथमिक कार्येआहेत: स्थिर कार्य (स्थिर), रूट n-वी डिग्री, पॉवर फंक्शन, घातांक, लॉगरिदमिक फंक्शन, त्रिकोणमितीय आणि व्यस्त त्रिकोणमितीय फंक्शन्स.

कायमस्वरूपी कार्य.

सर्व वास्तविक संख्यांच्या संचावर सूत्राद्वारे स्थिर कार्य दिले जाते, जेथे सी- काही वास्तविक संख्या. एक स्थिर कार्य स्वतंत्र व्हेरिएबलचे प्रत्येक वास्तविक मूल्य नियुक्त करते xअवलंबून व्हेरिएबलचे समान मूल्य y- अर्थ सह. स्थिर कार्याला स्थिरांक देखील म्हणतात.

स्थिर फंक्शनचा आलेख हा x-अक्षाच्या समांतर आणि निर्देशांकांसह बिंदूमधून जाणारी सरळ रेषा आहे (0,C). उदाहरणार्थ, स्थिर फंक्शन्सचे आलेख दाखवू y=5,y=-2आणि , जे खालील आकृतीत अनुक्रमे काळ्या, लाल आणि निळ्या रेषांशी संबंधित आहेत.

स्थिर कार्याचे गुणधर्म.

डोमेन: वास्तविक संख्यांचा संपूर्ण संच.

स्थिर कार्य सम आहे.

मूल्यांची श्रेणी: एकवचनी संख्या असलेला संच सह.

स्थिर कार्य म्हणजे न वाढणारे आणि न घटणारे (म्हणूनच ते स्थिर आहे).

स्थिरतेची उत्तलता आणि अवतलता याबद्दल बोलण्यात काही अर्थ नाही.

कोणतीही लक्षणे नाहीत.

फंक्शन पॉइंटमधून जाते (0,C)समन्वय विमान.

nth पदवी मूळ.

चला मूलभूत प्राथमिक कार्याचा विचार करू, जे सूत्राने दिलेले आहे, कुठे n- एकापेक्षा मोठी नैसर्गिक संख्या.

nवे मूळ, n ही सम संख्या आहे.

चला रूट फंक्शनपासून सुरुवात करूया nमूळ घातांकाच्या सम मूल्यांसाठी -वी पॉवर n.

उदाहरण म्हणून, फंक्शन आलेखांच्या प्रतिमा असलेले एक चित्र येथे आहे आणि , ते काळ्या, लाल आणि निळ्या रेषांशी संबंधित आहेत.

सम-डिग्री रूट फंक्शन्सचे आलेख घातांकाच्या इतर मूल्यांसाठी समान स्वरूपाचे असतात.

रूट फंक्शनचे गुणधर्मn -वी शक्ती सम साठीn .

nवे मूळ, n ही विषम संख्या आहे.

रूट फंक्शन nविषम मूळ घातांकासह -वी घात nवास्तविक संख्यांच्या संपूर्ण संचावर परिभाषित केले आहे. उदाहरणार्थ, येथे फंक्शन आलेख आहेत आणि , ते काळ्या, लाल आणि निळ्या वक्रांशी संबंधित आहेत.