सुवर्ण गुणोत्तराचा शोध कोणी लावला. सुवर्ण गुणोत्तर कसे कार्य करते

मुख्यपृष्ठ / माजी

गोल्डन रेशो हे एक साधे तत्व आहे जे डिझाइन्स डोळ्यांना आनंददायक दिसण्यासाठी मदत करू शकते. या लेखात, आम्ही ते कसे आणि का वापरावे याचे तपशीलवार वर्णन करू.

नैसर्गिक गणितीय प्रमाण, ज्याला गोल्डन रेशो किंवा गोल्डन मीन म्हणतात, हे फिबोनाची क्रमावर आधारित आहे (ज्याबद्दल तुम्ही बहुधा शाळेत ऐकले असेल किंवा डॅन ब्राउनच्या द दा विंची कोडमध्ये वाचले असेल), आणि 1 चे गुणोत्तर सूचित करते: १.६१.

असे प्रमाण आपल्या जीवनात अनेकदा आढळते (शिंपले, अननस, फुले इ.) आणि म्हणूनच एखाद्या व्यक्तीला नैसर्गिक, डोळ्यांना आनंद देणारे काहीतरी समजले जाते.

→ सुवर्ण गुणोत्तर म्हणजे फिबोनाची क्रमातील दोन संख्यांमधील संबंध
→ हा क्रम स्केलवर प्लॉट केल्याने निसर्गात दिसू शकणारे सर्पिल तयार होतात.

असे मानले जाते की गोल्डन रेशोचा वापर मानवजातीने कला आणि डिझाइनमध्ये 4 हजार वर्षांहून अधिक काळ केला आहे आणि कदाचित त्याहूनही अधिक, प्राचीन इजिप्शियन लोकांनी पिरॅमिडच्या बांधकामात या तत्त्वाचा वापर केल्याचा दावा करणाऱ्या शास्त्रज्ञांच्या मते.

प्रसिद्ध उदाहरणे

आम्ही म्हटल्याप्रमाणे, गोल्डन रेशो कला आणि वास्तुशास्त्राच्या संपूर्ण इतिहासात पाहिले जाऊ शकते. येथे काही उदाहरणे आहेत जी केवळ हे तत्त्व वापरण्याच्या वैधतेची पुष्टी करतात:

आर्किटेक्चर: पार्थेनॉन

प्राचीन ग्रीक आर्किटेक्चरमध्ये, गोल्डन रेशोचा वापर इमारतीची उंची आणि रुंदी, पोर्टिकोचा आकार आणि स्तंभांमधील अंतर यांच्यातील आदर्श प्रमाण मोजण्यासाठी केला जात असे. नंतर, हे तत्त्व निओक्लासिकिझमच्या आर्किटेक्चरद्वारे वारशाने मिळाले.

कला: शेवटचे जेवण

कलाकारांसाठी, रचना हा पाया आहे. लिओनार्डो दा विंची, इतर अनेक कलाकारांप्रमाणे, गोल्डन रेशोच्या तत्त्वानुसार मार्गदर्शन केले गेले: शेवटच्या रात्रीच्या जेवणात, उदाहरणार्थ, शिष्यांच्या आकृत्या खालच्या दोन-तृतियांश (गोल्डनच्या दोन भागांपैकी मोठ्या) मध्ये स्थित आहेत. गुणोत्तर), आणि येशू दोन आयतांमध्‍ये मध्यभागी कडकपणे ठेवलेला आहे.

वेब डिझाईन: Twitter 2010 मध्ये पुन्हा डिझाइन केले

Twitter क्रिएटिव्ह डायरेक्टर डग बोमन यांनी त्याच्या फ्लिकर खात्यावर 2010 च्या रीडिझाइनसाठी गोल्डन रेशोचा वापर स्पष्ट करणारा एक स्क्रीनशॉट पोस्ट केला. "#NewTwitter प्रमाणांमध्ये स्वारस्य असलेल्या कोणालाही - तुम्हाला माहिती आहे, हे असे केले जात नाही," तो म्हणाला.

ऍपल iCloud

iCloud सेवा चिन्ह देखील एक यादृच्छिक स्केच नाही. ताकामासा मात्सुमोटोने त्याच्या ब्लॉगमध्ये (मूळ जपानी आवृत्ती) स्पष्ट केल्याप्रमाणे, सर्वकाही गोल्डन रेशोच्या गणितावर आधारित आहे, ज्याचे शरीरशास्त्र उजवीकडील चित्रात पाहिले जाऊ शकते.

गोल्डन रेशो कसा तयार करायचा?

बांधकाम अगदी सरळ आहे आणि मुख्य चौकापासून सुरू होते:

एक चौरस काढा. हे आयताच्या "लहान बाजू" ची लांबी तयार करेल.

उभ्या रेषेने चौरस अर्ध्यामध्ये विभाजित करा म्हणजे तुम्हाला दोन आयत मिळतील.

एका आयतामध्ये, विरुद्ध कोपरे जोडून एक रेषा काढा.

आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे ही रेषा क्षैतिजरित्या विस्तृत करा.

तुम्ही मागील पायऱ्यांमध्ये आधार म्हणून काढलेली क्षैतिज रेषा वापरून दुसरा आयत तयार करा. तयार!

"गोल्डन" वाद्ये

जर प्लॉटिंग आणि मोजमाप हा तुमचा आवडता मनोरंजन नसेल, तर सर्व घाणेरडे काम त्या साधनांवर सोडा जे विशेषतः यासाठी डिझाइन केले आहेत. खालील 4 संपादकांच्या मदतीने गोल्डन रेशो सहज शोधा!

GoldenRATIO अॅप तुम्हाला वेबसाइट्स, इंटरफेस आणि लेआउट्स गोल्डन रेशोनुसार डिझाइन करण्यात मदत करते. मॅक अॅप स्टोअरमध्ये $2.99 मध्ये उपलब्ध आहे, यात दृश्य अभिप्रायासह अंगभूत कॅल्क्युलेटर आणि एक सुलभ आवडते वैशिष्ट्य आहे जे पुनरावृत्ती कार्यांसाठी प्राधान्ये संग्रहित करते. Adobe Photoshop सह सुसंगत.

गोल्डन रेशोच्या तत्त्वांनुसार तुमच्या वेबसाइटसाठी परिपूर्ण टायपोग्राफी तयार करण्यात मदत करणारे हे कॅल्क्युलेटर आहे. साइटवरील फील्डमध्ये फक्त फॉन्ट आकार, सामग्री रुंदी प्रविष्ट करा आणि "माझा प्रकार सेट करा" क्लिक करा!

Mac आणि PC साठी हा एक साधा आणि विनामूल्य अनुप्रयोग आहे. फक्त एक संख्या प्रविष्ट करा आणि ते गोल्डन रेशो नियमानुसार त्याचे प्रमाण मोजेल.

एक सुलभ प्रोग्राम जो तुम्हाला गणना आणि ग्रिड काढण्याचा त्रास वाचवेल. तिच्यासाठी परिपूर्ण प्रमाण शोधणे सोपे आहे! फोटोशॉपसह सर्व ग्राफिक संपादकांसह कार्य करते. साधन दिले आहे की असूनही - $ 49, चाचणी आवृत्ती 30 दिवस चाचणी करण्याची संधी आहे.

सोनेरी गुणोत्तर सोपे आहे, जसे की सर्वकाही कल्पक आहे. बिंदू C द्वारे विभक्त केलेल्या AB ची कल्पना करा. तुम्हाला फक्त बिंदू C ठेवणे आवश्यक आहे जेणेकरून तुम्ही समानता CB/AC = AC/AB = 0.618 करू शकता. म्हणजेच, सर्वात लहान सेगमेंट CB ला मधल्या सेगमेंट AC च्या लांबीने भागून मिळालेली संख्या AC ला AB च्या मोठ्या सेगमेंटच्या लांबीने भागून मिळालेल्या संख्येशी जुळली पाहिजे. ही संख्या 0.618 असेल. हे सोनेरी आहे, किंवा त्यांनी पुरातन काळात म्हटल्याप्रमाणे, दैवी प्रमाण - f(ग्रीक "फी"). उत्कृष्टता निर्देशांक.

हे प्रमाण पाळल्याने समरसतेची अनुभूती येते हे नेमके कधी आणि कोणाच्या लक्षात आले हे सांगणे कठीण आहे. परंतु जेव्हा लोकांनी त्यांच्या स्वत: च्या हातांनी काहीतरी तयार करण्यास सुरवात केली तेव्हा त्यांनी अंतर्ज्ञानाने या गुणोत्तराचे पालन करण्याचा प्रयत्न केला. सह उभारलेल्या इमारती f, ज्यात सुवर्ण गुणोत्तराचे उल्लंघन केले जाते त्या तुलनेत नेहमी अधिक सुसंवादी दिसले. हे अनेक वेळा विविध चाचण्यांद्वारे सत्यापित केले गेले आहे.

भूमितीमध्ये दोन वस्तू आहेत ज्यांचा एकमेकांशी अतूट संबंध आहे f: नियमित पंचकोन (पेंटाग्राम) आणि लॉगरिदमिक सर्पिल. पेंटाग्राममध्ये, प्रत्येक रेषा, समीप असलेल्या रेषेला छेदते, तिला सोनेरी प्रमाणात विभाजित करते आणि लॉगरिदमिक सर्पिलमध्ये, लगतच्या लूपचे व्यास आपल्या AB रेषेवरील AC आणि CB खंडांप्रमाणेच एकमेकांशी संबंधित असतात. परंतु fकेवळ भूमितीमध्येच काम करत नाही. असे मानले जाते की कोणत्याही प्रणालीचे भाग (उदाहरणार्थ, अणूच्या केंद्रकातील प्रोटॉन आणि न्यूट्रॉन) सुवर्ण संख्येशी संबंधित प्रमाणात असू शकतात. या प्रकरणात, शास्त्रज्ञांचा विश्वास आहे की, प्रणाली इष्टतम असल्याचे बाहेर वळते. हे खरे आहे की, गृहीतकेची वैज्ञानिक पुष्टी करण्यासाठी डझनभर वर्षांपेक्षा जास्त संशोधन आवश्यक आहे. कुठे fइन्स्ट्रुमेंटल पद्धतीने मोजता येत नाही, तथाकथित फिबोनाची संख्या मालिका वापरली जाते, ज्यामध्ये प्रत्येक त्यानंतरची संख्या मागील दोन संख्यांची बेरीज असते: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, इ. या मालिकेचे वैशिष्ठ्य हे आहे की त्यातील कोणत्याही संख्येला पुढील एकाने विभाजित करताना, परिणाम शक्य तितक्या जवळ 0.618 प्राप्त होतो. उदाहरणार्थ, 2.3 आणि 5. 2/3 = 0.666 आणि 3/5 = 0.6 या संख्या घेऊ. खरं तर, आमच्या खंड AB च्या घटकांमध्ये समान गुणोत्तर आहे. अशा प्रकारे, जर एखाद्या वस्तूची किंवा घटनेची मोजमाप वैशिष्ट्ये फिबोनाची संख्या मालिकेत प्रविष्ट केली जाऊ शकतात, तर याचा अर्थ त्यांच्या संरचनेत सोनेरी प्रमाण दिसून येते. आणि अशा असंख्य वस्तू आणि प्रणाली आहेत आणि आधुनिक विज्ञान अधिकाधिक नवीन शोधत आहे. तर प्रश्न आहे, नाही fखरोखर दैवी प्रमाण ज्यावर आपले जग अवलंबून आहे ते अजिबात वक्तृत्वपूर्ण नाही.

निसर्गात सोनेरी प्रमाण

सोनेरी प्रमाण निसर्गातही पाळले जाते आणि अगदी साध्या पातळीवरही. उदाहरणार्थ, प्रथिनांचे रेणू घ्या जे सर्व सजीवांच्या ऊती बनवतात. रेणू वस्तुमानात एकमेकांपासून भिन्न असतात, जे त्यांच्यामध्ये समाविष्ट असलेल्या अमीनो ऍसिडच्या संख्येवर अवलंबून असतात. फार पूर्वी असे आढळले नाही की सर्वात सामान्य प्रथिने 31 च्या वस्तुमानासह आहेत; ८१.२; 140.6; 231; 319 हजार युनिट्स. शास्त्रज्ञांनी लक्षात ठेवा की ही मालिका जवळजवळ फिबोनाची मालिकेशी संबंधित आहे - 3, 8,13, 21, 34 (येथे शास्त्रज्ञ या मालिकेतील दशांश फरक विचारात घेत नाहीत).

निश्चितपणे, पुढील संशोधनात एक प्रोटीन सापडेल, ज्याचे वस्तुमान 5 शी संबंधित असेल. हा आत्मविश्वास अगदी प्रोटोझोआच्या संरचनेद्वारे दिला जातो - अनेक विषाणूंची पंचकोनी रचना असते. कल fआणि रासायनिक घटकांचे प्रमाण. त्याच्या सर्वात जवळचे प्लुटोनियम आहे: त्याच्या न्यूक्लियसमधील प्रोटॉन आणि न्यूट्रॉनच्या संख्येचे गुणोत्तर 0.627 आहे. सर्वात दूर हायड्रोजन आहे. या बदल्यात, रासायनिक संयुगांमधील अणूंची संख्या आश्चर्यकारकपणे अनेकदा फिबोनाची संख्यांच्या गुणाकार असते. हे विशेषतः युरेनियम ऑक्साईड्स आणि धातूच्या संयुगेसाठी खरे आहे.

जर तुम्ही झाडाची कळी कापली तर तुम्हाला दोन सर्पिल विरुद्ध दिशेला दिसतील. हे पानांचे मूळ आहेत. या दोन सर्पिलमधील वळणांच्या संख्येचे गुणोत्तर नेहमी 2/3, किंवा 3/5, किंवा 5/8, इत्यादी असेल. म्हणजेच पुन्हा फिबोनाचीनुसार. तसे, आपण सूर्यफुलाच्या बियांच्या व्यवस्थेमध्ये आणि शंकूच्या आकाराच्या झाडांच्या शंकूच्या संरचनेत समान नमुना पाहतो. पण पानांकडे परत. जेव्हा ते उघडतात तेव्हा ते त्यांचे कनेक्शन गमावणार नाहीत f, कारण ते लॉगरिदमिक सर्पिलमध्ये स्टेम किंवा शाखेवर स्थित असतील. पण एवढेच नाही. "पानांच्या विचलनाचा कोन" ही एक संकल्पना आहे - हा असा कोन आहे ज्यावर पाने एकमेकांशी संबंधित असतात. हा कोन काढणे अवघड नाही. कल्पना करा की स्टेममध्ये पंचकोनी आधार असलेले प्रिझम कोरलेले आहे. आता स्टेम खाली एक सर्पिल सुरू करा. ज्या बिंदूंवर सर्पिल प्रिझम चेहऱ्यांना स्पर्श करेल ते बिंदू ज्या बिंदूंपासून पाने वाढतात त्यांच्याशी संबंधित आहेत. आता पहिल्या पानावरून सरळ रेषा काढा आणि या रेषेवर किती पाने पडतील ते पहा. जीवशास्त्रातील त्यांची संख्या n अक्षराने दर्शविली जाते (आमच्या बाबतीत, ही दोन पत्रके आहेत). आता स्टेमभोवती फिरणाऱ्या वळणांची संख्या मोजा. परिणामी संख्येला लीफ सायकल म्हणतात आणि अक्षर p द्वारे दर्शविले जाते (आमच्या बाबतीत, ते 5 आहे). आता आपण कमाल कोन - 360 अंश 2 (n) ने गुणाकार करतो आणि 5 (p) ने भागतो. आम्हाला पानांच्या विचलनाचा इच्छित कोन - 144 अंश मिळतो. प्रत्येक वनस्पती किंवा झाडाच्या मेजवानीसाठी n आणि p चे गुणोत्तर वेगळे आहे, परंतु ते सर्व फिबोनाची मालिकेतून बाहेर जात नाहीत: 1/2; 2/5; 3/8; 5/13, इ. जीवशास्त्रज्ञांनी हे स्थापित केले आहे की या प्रमाणांमुळे तयार झालेले कोन 137 अंशापर्यंत अनंत असतात - इष्टतम विचलन कोन ज्यावर सूर्यप्रकाश समान रीतीने शाखा आणि पानांवर वितरीत केला जातो. आणि स्वतः पानांमध्ये, आपण सोनेरी गुणोत्तराचे पालन करू शकतो, जसे की, खरंच, फुलांमध्ये - पेंटाग्रामचा आकार असलेल्यांमध्ये हे लक्षात घेणे सर्वात सोपे आहे.

fप्राणी जगाला बायपास केले नाही. शास्त्रज्ञांच्या मते, सजीवांच्या सांगाड्याच्या संरचनेत सुवर्ण गुणोत्तराची उपस्थिती एक अतिशय महत्त्वाची समस्या सोडवते. अशाप्रकारे, किमान संभाव्य वजनासह सांगाड्याची जास्तीत जास्त संभाव्य शक्ती प्राप्त केली जाते, ज्यामुळे शरीराच्या भागांवर तर्कशुद्धपणे प्रकरण वितरित करणे शक्य होते. हे प्राण्यांच्या जवळजवळ सर्व प्रतिनिधींना लागू होते. उदाहरणार्थ, स्टारफिश परिपूर्ण पंचकोन आहेत आणि अनेक मोलस्कचे कवच लॉगरिदमिक सर्पिल आहेत. ड्रॅगनफ्लायच्या शेपटीच्या लांबीचे त्याच्या शरीराचे गुणोत्तर देखील समान आहे f... आणि मच्छर साधा नाही: त्याच्या पायांच्या तीन जोड्या आहेत, उदर आठ विभागांमध्ये विभागलेला आहे आणि डोक्यावर पाच अँटेना-अँटेना आहेत - समान फिबोनाची पंक्ती. अनेक प्राण्यांमध्ये मणक्यांची संख्या, उदाहरणार्थ, व्हेल किंवा घोडा, 55 आहे. फास्यांची संख्या 13 आहे, आणि अंगांमधील हाडांची संख्या 89 आहे. आणि हातापायांची स्वतःची रचना तीन भागांची असते. दात (त्यातील 21 जोड्या) आणि श्रवणयंत्राच्या हाडांसह या प्राण्यांच्या हाडांची एकूण संख्या 233 (फिबोनाची संख्या) आहे. आश्चर्य वाटण्यासारखे काय आहे जेव्हा एक अंडे, ज्यावरून, अनेक लोकांच्या मते, सर्व काही घडले, ते सोनेरी गुणोत्तराच्या आयतामध्ये कोरले जाऊ शकते - अशा आयताची लांबी त्याच्या रुंदीच्या 1.618 पट आहे.

04/18/2011 A.F. Afanasiev अपडेटेड 06.16.12

प्लास्टिक आर्टच्या कोणत्याही कामाच्या कलात्मक प्रतिमेच्या शोधात आकार आणि प्रमाण हे मुख्य कार्य आहे. हे स्पष्ट आहे की आकाराचा मुद्दा ज्या खोलीत असेल आणि त्याच्या सभोवतालच्या वस्तू विचारात घेऊन निर्णय घेतला जातो.

प्रमाणांबद्दल (आयामी मूल्यांचे गुणोत्तर) बोलणे, आम्ही त्यांना एका सपाट प्रतिमेच्या स्वरूपात (चित्र, मार्केट्री) विचारात घेतो, व्हॉल्यूमेट्रिक ऑब्जेक्टच्या एकूण परिमाण (लांबी, उंची, रुंदी) च्या प्रमाणात, मध्ये उंची किंवा लांबीमध्ये भिन्न असलेल्या एका जोडणीच्या दोन वस्तूंचे गुणोत्तर, एकाच वस्तूच्या दोन स्पष्टपणे दृश्यमान भागांचे आकार इ.

अनेक शतकांपासून, ललित कलेच्या अभिजात वर्गाने प्रमाण तयार करण्याची पद्धत शोधून काढली आहे, ज्याला गोल्डन रेशो किंवा गोल्डन नंबर म्हणतात (ही संज्ञा लिओनार्डो दा विंचीने प्रचलित केली होती). सुवर्ण गुणोत्तर किंवा डायनॅमिक सममितीचे तत्व असे आहे की "एका पूर्णाच्या दोन भागांमधील गुणोत्तर हे त्याच्या मोठ्या भागाच्या संपूर्ण भागाच्या गुणोत्तरासारखे असते" (किंवा, त्यानुसार, संपूर्ण ते मोठ्या भागाच्या गुणोत्तराप्रमाणे). गणिती ते आहे

संख्या - 1 ± 2? 5 - म्हणून व्यक्त केली जाते - जी 1.6180339 ... किंवा 0.6180339 देते ... कला मध्ये, 1.62 ही सुवर्ण संख्या म्हणून घेतली जाते, म्हणजेच, च्या प्रमाणात मोठ्या मूल्याच्या गुणोत्तराची अंदाजे अभिव्यक्ती त्याचे लहान मूल्य...
अंदाजे ते अधिक अचूक, हे गुणोत्तर व्यक्त केले जाऊ शकते: इ., कुठे: 5 + 3 = 8, 8 + 5 = 13, इ. किंवा: 2.2: 3.3: 5.5: 8, 8, इ., कुठे 2.2 + 3.3 -5.5, इ.

ग्राफिकदृष्ट्या, सुवर्ण गुणोत्तर वेगवेगळ्या बांधकामांद्वारे प्राप्त केलेल्या विभागांच्या गुणोत्तराने व्यक्त केले जाऊ शकते. अधिक सोयीस्कर, आमच्या मते, अंजीर मध्ये दर्शविलेले बांधकाम आहे. 169: जर तुम्ही अर्ध्या चौरसाच्या कर्णात तिची लहान बाजू जोडली, तर तुम्हाला सोनेरी संख्येच्या लांब बाजूच्या संबंधात मूल्य मिळेल.

तांदूळ. 169. सोनेरी विभागातील आयताचे भौमितिक बांधकाम 1.62: 1. खंड (a आणि b) च्या संबंधात सुवर्ण क्रमांक 1.62

तांदूळ. 170. सुवर्ण गुणोत्तर 1.12: 1 चे कार्य प्लॉटिंग

सुवर्ण गुणोत्तराच्या दोन मूल्यांचे प्रमाण

सुसंवाद आणि संतुलनाची दृश्य भावना निर्माण करते. दोन समीप प्रमाणांचे आणखी एक सुसंवादी गुणोत्तर आहे, जे 1.12 क्रमांकाने व्यक्त केले आहे. हे सोनेरी संख्येचे कार्य आहे: जर तुम्ही सुवर्ण गुणोत्तराच्या दोन मूल्यांमधील फरक घेतला, तर ते देखील सुवर्ण गुणोत्तरामध्ये विभाजित केले आणि प्रत्येक अपूर्णांक मूळ सुवर्ण गुणोत्तराच्या लहान मूल्यामध्ये जोडला तर तुम्हाला एक गुणोत्तर मिळेल. च्या 1.12 (चित्र 170). या संदर्भात, उदाहरणार्थ, मधला घटक (शेल्फ) काही फॉन्टमध्ये H, P, I इत्यादी अक्षरांमध्ये काढला जातो, रुंद अक्षरांसाठी उंची आणि रुंदीचे प्रमाण घेतले जाते आणि हे प्रमाण निसर्गात देखील आढळते. .

सुवर्ण क्रमांक सुसंवादीपणे विकसित व्यक्तीच्या प्रमाणात पाळला जातो (चित्र 171): डोकेची लांबी सोनेरी विभागात कंबरेपासून मुकुटापर्यंतचे अंतर विभाजित करते; पॅटेला कंबरेपासून पायांच्या तळव्यापर्यंतचे अंतर देखील विभाजित करते; पसरलेल्या हाताच्या मधल्या बोटाचे टोक एखाद्या व्यक्तीच्या संपूर्ण उंचीच्या सोनेरी प्रमाणात विभागते; बोटांच्या फॅलेंजचे गुणोत्तर देखील एक सुवर्ण संख्या आहे. निसर्गाच्या इतर रचनांमध्ये हीच घटना दिसून येते: मोलस्कच्या सर्पिलमध्ये, फुलांच्या कोरोलामध्ये इ.

तांदूळ. 172. कोरलेली तांबडी किंवा पांढरी फुले येणारे एक फुलझाड (पेलार्गोनियम) पानांचे सोनेरी प्रमाण. बांधकाम: 1) स्केल आलेख वापरून (चित्र 171 पहा), आम्ही बांधतो? ABC,	तांदूळ. 173. पाच पानांचे आणि तीन पानांचे द्राक्षाचे पान. लांबी ते रुंदीचे गुणोत्तर 1.12 आहे. सुवर्ण प्रमाण व्यक्त केले आहे

अंजीर मध्ये. 172 आणि 173 सुवर्ण क्रमांक 1.62 आणि 1.12 च्या प्रमाणात तांबडी किंवा पांढरी फुले येणारे एक फुलझाड पान (पेलार्गोनियम) आणि द्राक्षाच्या पानांचे रेखांकन दर्शविते. तांबडी किंवा पांढरी फुले येणारे एक फुलझाड पानामध्ये, बांधकाम पाया दोन त्रिकोण आहे: ABC आणि CEF, जेथे त्या प्रत्येकाची उंची आणि पाया यांचे गुणोत्तर 0.62 आणि 1.62 अंकांद्वारे व्यक्त केले जाते आणि सर्वात दूरच्या बिंदूंच्या तीन जोड्यांमधील अंतर. पाने समान आहेत: AB = CE = SF. बांधकाम रेखाचित्र मध्ये सूचित केले आहे. अशा पानांची रचना geraniums ची वैशिष्ट्यपूर्ण आहे, ज्यात अशीच कोरलेली पाने आहेत.

सामान्यीकृत सायकॅमोर पानाचे (चित्र 173) प्रमाण द्राक्षाच्या पानांप्रमाणेच असते, 1.12 च्या प्रमाणात, परंतु द्राक्षाच्या पानाचा एक मोठा भाग तिची लांबी आणि सायकॅमोरच्या पानाची रुंदी असते. सायकॅमोरच्या पानाला 1.62 च्या गुणोत्तरासह तीन आनुपातिक आकार असतात. आर्किटेक्चरमधील अशा पत्रव्यवहाराला ट्रायड म्हणतात (चार प्रमाणात - एक टेट्राड आणि पुढे: पेक्टॅड, हेक्सोड).

अंजीर मध्ये. 174 सुवर्ण विभागाच्या प्रमाणात मॅपल लीफ तयार करण्याची पद्धत दर्शविते. 1.12 च्या रुंदी ते लांबीच्या गुणोत्तरासह, त्यात 1.62 क्रमांकासह अनेक प्रमाणात आहेत. बांधकाम दोन ट्रॅपेझॉइड्सवर आधारित आहे, ज्यामध्ये पायाची उंची आणि लांबी यांचे गुणोत्तर सुवर्ण संख्येने व्यक्त केले जाते. रेखांकनामध्ये बांधकाम दर्शविले आहे आणि मॅपल पानाच्या आकाराचे पर्याय देखील दर्शविले आहेत.

ललित कलाकृतींमध्ये, कलाकार किंवा शिल्पकार, जाणीवपूर्वक किंवा अवचेतनपणे, त्याच्या प्रशिक्षित डोळ्यावर विश्वास ठेवून, अनेकदा सुवर्ण गुणोत्तरामध्ये आकारांचे गुणोत्तर वापरतात. म्हणून, ख्रिस्ताच्या डोक्यावरून (मायकेलएंजेलोद्वारे) एका प्रतीवर काम करताना, या पुस्तकाच्या लेखकाच्या लक्षात आले की केसांच्या पट्ट्यांमध्ये त्यांच्या आकारात जवळचे कर्ल सोनेरी गुणोत्तर आणि आकारात - आर्किमिडीजचे सर्पिल प्रतिबिंबित करतात. , एक अंतर्भूत. वाचकाला स्वतःची खात्री पटली जाऊ शकते की शास्त्रीय कलाकारांच्या अनेक पेंटिंग्जमध्ये मध्यवर्ती आकृती फॉरमॅटच्या बाजूंनी अंतरावर स्थित आहे जी सोनेरी विभागाचे प्रमाण बनवते (उदाहरणार्थ, डोके उभ्या आणि क्षैतिज दोन्ही ठिकाणी बसवणे. मिलोपुखिना व्ही. बोरोविकोव्स्कीचे पोर्ट्रेट; ओ. किप्रेन्स्की आणि इतरांच्या ए.एस. पुष्किनच्या पोर्ट्रेटमध्ये डोक्याच्या उभ्या मध्यभागी स्थित). हेच काहीवेळा क्षितिजाच्या रेषेच्या प्लेसमेंटसह पाहिले जाऊ शकते (एफ. वासिलिव्ह: "वेट मेडो", आय. लेव्हिटन: "मार्च", "इव्हनिंग बेल्स").

अर्थात, हा नियम रचनांच्या समस्येवर नेहमीच उपाय नसतो आणि कलाकाराच्या कामात लय आणि प्रमाणांच्या अंतर्ज्ञानाची जागा घेऊ नये. हे ज्ञात आहे, उदाहरणार्थ, काही कलाकारांनी त्यांच्या रचनांसाठी "संगीत संख्या" चे गुणोत्तर वापरले: तृतीयांश, चतुर्थांश, पाचवा (2: 3, 3: 4, इ.). कला समीक्षक, कारण नसताना, लक्षात ठेवा की कोणत्याही शास्त्रीय वास्तुशिल्प स्मारकाची किंवा शिल्पाची रचना, इच्छित असल्यास, संख्यांच्या कोणत्याही गुणोत्तरामध्ये समायोजित केली जाऊ शकते. या प्रकरणात आमचे कार्य, आणि विशेषत: नवशिक्या कलाकार किंवा वुडकाव्हरचे कार्य, आपल्या कामाची जाणीवपूर्वक रचना यादृच्छिक गुणोत्तरांनुसार कशी तयार करावी हे शिकणे आहे, परंतु सरावाने तपासलेल्या सुसंवादी प्रमाणानुसार. उत्पादनाच्या डिझाइन आणि आकारासह हे सुसंवादी प्रमाण ओळखण्यास आणि त्यावर जोर देण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे.

अंजीर मध्ये दर्शविलेल्या कामासाठी फ्रेमचा आकार निश्चित करण्यासाठी, कर्णमधुर प्रमाण शोधण्याचे उदाहरण म्हणून विचार करा. 175. त्यामध्ये ठेवलेल्या प्रतिमेचे स्वरूप सोनेरी विभागाच्या प्रमाणात सेट केले आहे. त्याच्या बाजूंच्या समान रुंदीसह फ्रेमचे बाह्य परिमाण सोनेरी गुणोत्तर देणार नाहीत. म्हणून, त्याची लांबी आणि रुंदी (ЗЗ0X220) चे गुणोत्तर सोनेरी संख्येपेक्षा किंचित कमी घेतले जाते, म्हणजे 1.5 च्या बरोबरीचे, आणि पार्श्व बाजूंच्या तुलनेत ट्रान्सव्हर्स लिंक्सची रुंदी अनुरूपपणे वाढविली जाते. यामुळे सोनेरी विभागाचे प्रमाण देऊन प्रकाशात (चित्रासाठी) फ्रेमच्या आकारापर्यंत पोहोचणे शक्य झाले. फ्रेमच्या खालच्या दुव्याच्या रुंदीचे त्याच्या वरच्या दुव्याच्या रुंदीचे गुणोत्तर दुसर्या सोनेरी क्रमांकावर समायोजित केले आहे, म्हणजेच 1.12. तसेच, खालच्या दुव्याच्या रुंदीचे लॅटरल (94:63) च्या रुंदीचे गुणोत्तर 1.5 च्या जवळ आहे (आकृतीमध्ये - डावीकडील पर्याय).

आता एक प्रयोग करूया: खालच्या दुव्याच्या रुंदीमुळे (ते 130 मिमी असेल) फ्रेमची लांब बाजू 366 मिमी पर्यंत वाढवू (आकृतीमध्ये - उजवीकडे पर्याय), जे जवळ आणणार नाही. फक्त प्रमाण पण सोन्याचेही
संख्या 1.12 ऐवजी 1.62. परिणाम म्हणजे एक नवीन रचना जी इतर कोणत्याही उत्पादनात वापरली जाऊ शकते, परंतु फ्रेमसाठी ती लहान करण्याची इच्छा आहे. त्याचा खालचा भाग शासकाने बंद करा जेणेकरून डोळा परिणामी प्रमाण "घेतो", आणि आम्हाला त्याची लांबी 330 मिमी मिळेल, म्हणजेच आम्ही मूळ आवृत्तीकडे जाऊ.

म्हणून, विविध पर्यायांचे विश्लेषण करून (विश्लेषित केलेल्या दोन पर्यायांव्यतिरिक्त इतरही असू शकतात), मास्टर त्याच्या दृष्टिकोनातून एकमेव संभाव्य समाधानावर थांबतो.

सोप्या डिव्हाइसचा वापर करून इच्छित रचना शोधताना सोनेरी गुणोत्तराचे तत्त्व लागू करणे चांगले आहे, ज्याच्या डिझाइनचा एक योजनाबद्ध आकृती अंजीर मध्ये दर्शविला आहे. 176. या उपकरणाचे दोन शासक, बिजागर B भोवती फिरत, एक अनियंत्रित कोन बनवू शकतात. जर, कोणत्याही कोनातील द्रावणासाठी, सुवर्ण गुणोत्तरातील अंतर AC बिंदू K ने भागले असेल आणि आणखी दोन शासक बसवले असतील: KM \\ BC आणि KE \\ AB बिंदू K, E आणि M वर बिजागरांसह, तर कोणत्याही AC द्रावणासाठी हे अंतर सुवर्ण गुणोत्तराच्या संबंधात बिंदू K ने भागले जाईल.

सुवर्ण गुणोत्तर - गणित

एखादी व्यक्ती त्याच्या सभोवतालच्या वस्तू फॉर्मद्वारे वेगळे करते. कोणत्याही वस्तूच्या आकारात स्वारस्य अत्यावश्यक गरजेनुसार ठरवले जाऊ शकते किंवा ते स्वरूपाच्या सौंदर्यामुळे होऊ शकते. फॉर्म, जो सममिती आणि सोनेरी गुणोत्तराच्या संयोजनावर आधारित आहे, सर्वोत्तम व्हिज्युअल समज आणि सौंदर्य आणि सुसंवादाची भावना दिसण्यासाठी योगदान देते. संपूर्ण मध्ये नेहमीच भाग असतात, वेगवेगळ्या आकाराचे भाग एकमेकांशी आणि संपूर्ण संबंधात असतात. सुवर्ण गुणोत्तराचे तत्त्व हे कला, विज्ञान, तंत्रज्ञान आणि निसर्गातील संपूर्ण आणि त्याच्या भागांच्या संरचनात्मक आणि कार्यात्मक परिपूर्णतेचे सर्वोच्च प्रकटीकरण आहे.

गोल्डन रेशो - हार्मोनिक प्रमाण

गणितात, प्रमाण (लॅटिन प्रमाण) ही दोन गुणोत्तरांची समानता आहे: a: b = c: d.
सरळ रेषाखंड AB खालील प्रकारे दोन भागात विभागला जाऊ शकतो:
दोन समान भागांमध्ये - AB: AC = AB: BC;
कोणत्याही गुणोत्तरात दोन असमान भागांमध्ये (असे भाग प्रमाण बनत नाहीत);
अशा प्रकारे जेव्हा AB: AC = AC: BC.
नंतरचे म्हणजे अत्यंत आणि सरासरी गुणोत्तरामध्ये विभागाचा सुवर्ण विभाग किंवा विभागणी.
सुवर्ण गुणोत्तर हे एका विभागाचे असमान भागांमध्ये असे आनुपातिक विभाजन आहे, ज्यामध्ये संपूर्ण विभाग मोठ्या भागाचा उल्लेख करतो त्याच प्रकारे मोठा भाग लहान भागाचा संदर्भ देतो; किंवा दुसर्‍या शब्दांत, लहान विभाग म्हणजे मोठ्या भागाला प्रत्येक गोष्टीसाठी मोठा म्हणून संदर्भित करतो

a: b = b: c किंवा c: b = b: a.

तांदूळ. 1. सुवर्ण गुणोत्तराची भौमितीय प्रतिमा

सोनेरी गुणोत्तराचा व्यावहारिक परिचय होकायंत्र आणि शासक वापरून सोनेरी गुणोत्तरामध्ये सरळ रेषेचा भाग विभाजित करण्यापासून सुरू होतो.

तांदूळ. 2. सोनेरी गुणोत्तरासह सरळ रेषेचा विभाग. BC = 1/2 AB; CD = BC

बिंदू B पासून, अर्धा AB बरोबर एक लंब उभा केला जातो. परिणामी बिंदू C हा बिंदू A सह एका रेषेने जोडलेला आहे. परिणामी रेषेवर, BC हा बिंदू घातला जातो, ज्याचा शेवट D बिंदूने होतो. AD खंड AB रेषेवर हस्तांतरित केला जातो. परिणामी बिंदू E हा खंड AB ला सुवर्ण गुणोत्तरामध्ये विभाजित करतो.

सुवर्ण गुणोत्तराचे विभाग अनंत अपरिमेय अपूर्णांक AE = 0.618 द्वारे व्यक्त केले जातात ... जर AB हे एकक म्हणून घेतले तर, BE = 0.382... व्यावहारिक हेतूंसाठी, 0.62 आणि 0.38 ची अंदाजे मूल्ये अनेकदा वापरली जातात. जर AB खंड 100 भाग म्हणून घेतला असेल, तर विभागाचा मोठा भाग 62 असेल आणि लहान भाग 38 भाग असेल.

सुवर्ण गुणोत्तराचे गुणधर्म समीकरणाद्वारे वर्णन केले आहेत:
x2 - x - 1 = 0.

या समीकरणावर उपाय:

सुवर्ण गुणोत्तराच्या गुणधर्मांनी या संख्येच्या आसपास गूढ आणि जवळजवळ गूढ उपासनेचा रोमँटिक प्रभामंडल तयार केला आहे.

दुसरा सुवर्ण गुणोत्तर

बल्गेरियन नियतकालिक Otechestvo (क्रमांक 10, 1983) ने त्स्वेतन त्सेकोव्ह-करंदश यांचा लेख "दुसऱ्या गोल्डन रेशोवर" प्रकाशित केला, जो मुख्य विभागातून येतो आणि 44: 56 चे भिन्न गुणोत्तर देतो.
हे प्रमाण आर्किटेक्चरमध्ये आढळते आणि वाढवलेल्या क्षैतिज स्वरूपाच्या प्रतिमांच्या रचना तयार करताना देखील आढळते.

विभागणी खालीलप्रमाणे केली जाते. AB हा खंड सुवर्ण गुणोत्तराच्या प्रमाणात विभागलेला आहे. बिंदू C पासून, लंब सीडी पुनर्संचयित केली जाते. बिंदू D त्रिज्या AB सह स्थित आहे, जो बिंदू A सह एका रेषेने जोडलेला आहे. काटकोन ACD अर्ध्या भागात विभागलेला आहे. बिंदू C पासून, रेषा AD सह छेदनबिंदूपर्यंत एक रेषा काढली जाते. 56:44 च्या प्रमाणात पॉइंट एडिलिट सेगमेंट AD.

तांदूळ. 3. दुसऱ्या सुवर्ण गुणोत्तराचे बांधकाम

तांदूळ. 4. दुस-या सोनेरी विभागाच्या रेषेसह आयत विभाजित करणे

आकृती दुसऱ्या सुवर्ण गुणोत्तराच्या रेषेची स्थिती दर्शवते. हे गोल्डन सेक्शन लाइन आणि आयताच्या मध्य रेषेच्या मध्यभागी स्थित आहे.

सुवर्ण त्रिकोण

चढत्या आणि उतरत्या मालिकेतील सुवर्ण गुणोत्तराचे विभाग शोधण्यासाठी, तुम्ही पेंटाग्राम वापरू शकता.

तांदूळ. 5. नियमित पंचकोन आणि पेंटाग्रामचे बांधकाम

पेंटाग्राम तयार करण्यासाठी, आपल्याला नियमित पेंटॅगॉन तयार करणे आवश्यक आहे. त्याच्या बांधकामाची पद्धत जर्मन चित्रकार आणि ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471 ... 1528) यांनी विकसित केली होती. O हा वर्तुळाचा केंद्र असू द्या, A हा वर्तुळावरील बिंदू असू द्या आणि E हा OA खंडाचा मध्यबिंदू असू द्या. त्रिज्या OA ला लंब, बिंदू O वर पुनर्संचयित, बिंदू D वर वर्तुळाला छेदतो. होकायंत्र वापरून, आम्ही व्यासावरील खंड CE = ED पुढे ढकलतो. वर्तुळात कोरलेल्या नियमित पंचकोनाच्या बाजूची लांबी DC असते. आम्ही वर्तुळावरील DC विभाग बाजूला ठेवतो आणि नियमित पंचकोन काढण्यासाठी पाच गुण मिळवतो. आम्ही पंचकोनचे कोपरे एका कर्णरेषेद्वारे जोडतो आणि पेंटाग्राम मिळवतो. पंचकोनचे सर्व कर्ण एकमेकांना सुवर्ण गुणोत्तराने जोडलेल्या खंडांमध्ये विभागतात.
पंचकोनी ताऱ्याचे प्रत्येक टोक एक सोनेरी त्रिकोण आहे. त्याच्या बाजू शीर्षस्थानी 36 ° चा कोन बनवतात आणि बाजूला बाजूला ठेवलेला पाया सोनेरी गुणोत्तराच्या प्रमाणात विभागतो.

आम्ही एक सरळ रेषा AB काढतो. बिंदू A वरून, आपण त्यावर अनियंत्रित मूल्याच्या तीन पट खंड ठेवतो, प्राप्त बिंदू P द्वारे आपण रेखा AB ला लंब काढतो, बिंदू P च्या उजवीकडे आणि डावीकडे लंब काढतो. आपण O खंड जोडतो. बिंदू A ला सरळ रेषांसह d आणि d1 बिंदू मिळवले, C बिंदू मिळवला. तिने Ad1 रेषा सुवर्ण गुणोत्तराच्या प्रमाणात विभागली. "सोनेरी" आयत काढण्यासाठी Ad1 आणि dd1 रेषा वापरल्या जातात.

तांदूळ. 6. सोनेरी त्रिकोणाचे बांधकाम

सुवर्ण गुणोत्तराचा इतिहास

असे मानले जाते की सोन्याच्या विभाजनाची संकल्पना वैज्ञानिक वापरात पायथागोरस, प्राचीन ग्रीक तत्वज्ञानी आणि गणितज्ञ (इ.पू. सहावी शतक) यांनी मांडली होती. अशी एक धारणा आहे की पायथागोरसने इजिप्शियन आणि बॅबिलोनियन लोकांकडून सुवर्ण विभागाचे ज्ञान घेतले होते. खरंच, तुतानखामुनच्या थडग्यातील चेप्स पिरॅमिड, मंदिरे, बेस-रिलीफ्स, घरगुती वस्तू आणि दागिन्यांचे प्रमाण दर्शविते की इजिप्शियन कारागीरांनी ते तयार करताना सुवर्ण विभाजन गुणोत्तर वापरले. फ्रेंच वास्तुविशारद ले कॉर्बुझियर यांना आढळले की अबीडोस येथील फारो सेटी I च्या मंदिरातील आरामात आणि फारो रामसेसचे चित्रण केलेल्या आरामात, आकृत्यांचे प्रमाण सुवर्ण विभागाच्या मूल्यांशी संबंधित आहे. वास्तुविशारद खेसीरा, त्याच्या नावाच्या थडग्यावरील लाकडी फळीच्या सुटकेवर चित्रित केले आहे, त्याच्या हातात मोजमाप यंत्रे आहेत, ज्यामध्ये सोनेरी विभागणीचे प्रमाण निश्चित केले आहे.
ग्रीक लोक कुशल भूमापक होते. भौमितिक आकार वापरून त्यांच्या मुलांना अंकगणितही शिकवले जात असे. पायथागोरियन स्क्वेअर आणि या स्क्वेअरचा कर्ण डायनॅमिक आयत बांधण्यासाठी आधार होता.

तांदूळ. 7. डायनॅमिक आयत

प्लेटो (427 ... 347 इ.स.पू.) यांनाही सुवर्ण विभागाची माहिती होती. त्याचा संवाद "Timaeus" हा पायथागोरियन शाळेच्या गणिती आणि सौंदर्यविषयक दृश्यांना आणि विशेषतः सुवर्ण विभागाच्या मुद्द्यांसाठी समर्पित आहे.
पार्थेनॉनच्या प्राचीन ग्रीक मंदिराच्या दर्शनी भागावर सोनेरी रंग आहे. त्याच्या उत्खननादरम्यान, होकायंत्र सापडले, जे प्राचीन जगाच्या वास्तुविशारद आणि शिल्पकारांनी वापरले होते. पोम्पेई कंपास (नेपल्समधील एक संग्रहालय) मध्ये, सुवर्ण विभागाचे प्रमाण देखील ठेवलेले आहे.

तांदूळ. 8. सोनेरी विभागातील पुरातन कंपास

आपल्यापर्यंत आलेल्या प्राचीन वाङ्‌मयात सुवर्ण विभागणीचा प्रथम उल्लेख युक्‍लिडच्या ‘एलिमेंट्स’मध्ये करण्यात आला होता. "बिगिनिंग्ज" च्या दुसर्‍या पुस्तकात सुवर्ण विभागाचे भौमितिक बांधकाम दिले आहे. युक्लिड नंतर, गिप्सिकल्स (दुसरे शतक BC), पप्पस (III शतक AD) आणि इतर सुवर्ण विभागाच्या अभ्यासात गुंतले होते. मध्ययुगीन युरोपमध्ये सुवर्ण विभागासह आम्ही युक्लिड्स एलिमेंट्सच्या अरबी भाषांतरांद्वारे भेटलो. Navarra (तिसरे शतक) येथील अनुवादक जे. कॅम्पानो यांनी भाषांतरावर भाष्य केले. सोन्याच्या विभागाची रहस्ये ईर्ष्याने संरक्षित केली गेली, कठोर गुप्तता पाळली गेली. ते फक्त दीक्षा घेणाऱ्यांनाच ओळखायचे.
पुनर्जागरणाच्या काळात, भूमिती आणि कला या दोन्हीमध्ये त्याच्या वापराच्या संबंधात शास्त्रज्ञ आणि कलाकारांमध्ये सुवर्ण विभागातील स्वारस्य वाढले, विशेषत: आर्किटेक्चरमध्ये लिओनार्डो दा विंची, एक कलाकार आणि शास्त्रज्ञ, यांनी पाहिले की इटालियन कलाकारांना बरेच अनुभवजन्य अनुभव आहेत, परंतु थोडे ज्ञान... त्याने गर्भधारणा केली आणि भूमितीवर एक पुस्तक लिहायला सुरुवात केली, परंतु यावेळी भिक्षु लुका पॅसिओलीचे एक पुस्तक आले आणि लिओनार्डोने आपला उपक्रम सोडला. विज्ञानाच्या समकालीन आणि इतिहासकारांच्या मते, लुका पॅसिओली हे फिबोनाची आणि गॅलिलिओ दरम्यानच्या काळात इटलीचे सर्वात महान गणितज्ञ होते. लुका पॅसिओली हा चित्रकार पिएरो डेला फ्रान्सिस्का यांचा विद्यार्थी होता, ज्याने दोन पुस्तके लिहिली, त्यापैकी एक ऑन पर्स्पेक्टिव्ह इन पेंटिंग असे शीर्षक होते. तो वर्णनात्मक भूमितीचा निर्माता मानला जातो.
लुका पॅसिओली यांना कलेसाठी विज्ञानाचे महत्त्व चांगलेच ठाऊक होते. 1496 मध्ये, ड्यूक ऑफ मोर्यूच्या आमंत्रणावरून, तो मिलानला आला, जिथे त्याने गणितावर व्याख्यान दिले. लिओनार्डो दा विंची यांनीही त्यावेळी मिलानमध्ये मोरोच्या दरबारात काम केले होते. 1509 मध्ये, लुका पॅसिओलीचे पुस्तक दैवी प्रमाण व्हेनिसमध्ये चमकदारपणे अंमलात आणलेल्या चित्रांसह प्रकाशित झाले, म्हणूनच असे मानले जाते की ते लिओनार्डो दा विंचीने बनवले होते. हे पुस्तक सुवर्ण गुणोत्तराचे एक उत्फुल्ल स्तोत्र होते. सोनेरी गुणोत्तराच्या अनेक गुणांपैकी, भिक्षू लुका पॅसिओलीने त्याचे "दैवी सार" हे दैवी त्रिमूर्ती देव पुत्र, देव पिता आणि देव पवित्र आत्मा यांची अभिव्यक्ती म्हणून नाव देण्यात अयशस्वी झाले नाही (हे समजले की लहान भाग हे पुत्राच्या देवाचे अवतार आहे, मोठा विभाग पित्याचा देव आहे आणि संपूर्ण विभाग - पवित्र आत्म्याचा देव).
लिओनार्डो दा विंचीनेही सुवर्ण विभागाच्या अभ्यासाकडे खूप लक्ष दिले. त्याने नियमित पंचकोनांनी तयार केलेल्या स्टिरिओमेट्रिक सॉलिडचे विभाग तयार केले आणि प्रत्येक वेळी त्याला सोन्याच्या विभागातील गुणोत्तरांसह आयत प्राप्त झाले. त्यामुळे त्यांनी या भागाला गोल्डन रेशो असे नाव दिले. म्हणून ते अजूनही सर्वात लोकप्रिय आहे.
त्याच वेळी, उत्तर युरोपमध्ये, जर्मनीमध्ये, अल्ब्रेक्ट ड्युरर त्याच समस्यांवर काम करत होते. त्यांनी प्रमाणावरील ग्रंथाच्या पहिल्या मसुद्याची प्रस्तावना रेखाटली आहे. ड्युरेर लिहितात. “ज्याला त्याची गरज आहे त्यांना ते कसे शिकवायचे हे माहित असणे आवश्यक आहे. मी हेच करायला निघाले आहे."
ड्युरेरच्या एका पत्राचा आधार घेत, तो इटलीतील मुक्कामादरम्यान लुका पॅसिओलीशी भेटला. अल्ब्रेक्ट ड्युररने मानवी शरीराच्या प्रमाणाचा सिद्धांत तपशीलवार विकसित केला. ड्युररने त्याच्या गुणोत्तरांच्या प्रणालीमध्ये सुवर्ण गुणोत्तराला महत्त्वाचे स्थान दिले. एखाद्या व्यक्तीची उंची बेल्ट रेषेद्वारे, तसेच खालच्या हातांच्या मधल्या बोटांच्या टिपांमधून काढलेल्या रेषेद्वारे, चेहऱ्याचा खालचा भाग तोंडाने इत्यादीद्वारे सोनेरी प्रमाणात विभागली जाते. Dürer च्या आनुपातिक होकायंत्र ज्ञात आहे.
XVI शतकातील महान खगोलशास्त्रज्ञ. जोहान्स केप्लरने सुवर्ण गुणोत्तराला भूमितीच्या खजिन्यापैकी एक म्हटले आहे. वनस्पतिशास्त्रासाठी (वनस्पतीची वाढ आणि रचना) सुवर्ण गुणोत्तराच्या महत्त्वाकडे लक्ष वेधणारे ते पहिले होते.
केप्लरने स्वतःच्या निरंतरतेचे सुवर्ण प्रमाण म्हटले आहे, “हे अशा प्रकारे मांडलेले आहे,” त्याने लिहिले, “या अंतहीन प्रमाणाच्या दोन खालच्या संज्ञा तिसऱ्या पदाला जोडल्या जातात आणि शेवटच्या कोणत्याही दोन संज्ञा जोडल्या गेल्यास, पुढील शब्द द्या. मुदत, आणि तेच प्रमाण अनंतापर्यंत राहते ".
सुवर्ण गुणोत्तराच्या विभागांच्या मालिकेचे बांधकाम वरच्या दिशेने (वाढणारी पंक्ती) आणि कमी होण्याच्या दिशेने (उतरणारी पंक्ती) दोन्ही केले जाऊ शकते.
अनियंत्रित लांबीच्या सरळ रेषेवर असल्यास, सेगमेंट m पुढे ढकलतो, त्यापुढील सेगमेंट M काढून टाकतो. या दोन विभागांच्या आधारे, आम्ही चढत्या आणि उतरत्या मालिकेच्या सुवर्ण गुणोत्तराच्या खंडांचे स्केल तयार करतो.

तांदूळ. 9. सुवर्ण गुणोत्तराच्या विभागांचे स्केल तयार करणे

पुढील शतकांमध्ये, सुवर्ण गुणोत्तराचा नियम शैक्षणिक सिद्धांतात बदलला आणि जेव्हा कालांतराने, "मुलाला पाण्याबरोबर बाहेर फेकले गेले" या संघर्षाच्या उष्णतेमध्ये, कलेत शैक्षणिक दिनचर्यासह संघर्ष सुरू झाला. . 19व्या शतकाच्या मध्यात सुवर्ण विभाग पुन्हा "शोधला" गेला. 1855 मध्ये, गोल्डन रेशोचे जर्मन संशोधक, प्रोफेसर झेसिंग यांनी त्यांचे सौंदर्य संशोधन प्रकाशित केले. झीसिंगच्या बाबतीत, इतर घटनांशी कोणताही संबंध न ठेवता या घटनेला असे मानणाऱ्या संशोधकाच्या बाबतीत जे घडले तेच घडले पाहिजे. त्याने सुवर्ण गुणोत्तराचे प्रमाण निरपेक्ष केले आणि ते सर्व निसर्ग आणि कलेच्या घटनांसाठी सार्वत्रिक घोषित केले. झीसिंगचे असंख्य अनुयायी होते, परंतु असे विरोधक देखील होते ज्यांनी त्याचे प्रमाण सिद्धान्त "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित केले.

तांदूळ. 10. मानवी शरीराच्या काही भागांमध्ये सुवर्ण प्रमाण

झीसिंगने जबरदस्त काम केले आहे. त्याने सुमारे दोन हजार मानवी शरीरे मोजली आणि असा निष्कर्ष काढला की सुवर्ण गुणोत्तर सरासरी सांख्यिकीय नियम व्यक्त करतो. नाभी बिंदूद्वारे शरीराचे विभाजन हे सुवर्ण गुणोत्तराचे सर्वात महत्वाचे सूचक आहे. पुरुष शरीराचे प्रमाण 13:8 = 1.625 च्या सरासरी गुणोत्तरामध्ये चढ-उतार होते आणि ते स्त्री शरीराच्या प्रमाणापेक्षा सोनेरी गुणोत्तराच्या काहीसे जवळ असते, ज्याच्या संबंधात प्रमाणाचे सरासरी मूल्य 8 च्या प्रमाणात व्यक्त केले जाते. : ५ = १.६. नवजात मुलामध्ये, गुणोत्तर 1: 1 आहे, 13 वर्षांच्या वयापर्यंत ते 1.6 आहे आणि वयाच्या 21 व्या वर्षी ते पुरुषांच्या बरोबरीचे आहे. सोनेरी गुणोत्तराचे प्रमाण शरीराच्या इतर भागांच्या संबंधात देखील प्रकट होते - खांदा, हात आणि हात, हात आणि बोटे इत्यादींची लांबी.

तांदूळ. 11. मानवी आकृतीमध्ये सुवर्ण प्रमाण

झीसिंगने ग्रीक पुतळ्यांवर त्याच्या सिद्धांताची वैधता तपासली. सर्वात तपशीलवार, त्याने अपोलो बेल्व्हेडेरचे प्रमाण विकसित केले. ग्रीक फुलदाण्या, विविध युगांच्या वास्तू रचना, वनस्पती, प्राणी, पक्ष्यांची अंडी, संगीताचे स्वर आणि काव्यात्मक परिमाण यावर संशोधन केले गेले. झीसिंगने सुवर्ण गुणोत्तराची व्याख्या दिली, ते सरळ रेषेत आणि संख्यांमध्ये कसे व्यक्त केले जाते ते दाखवले. जेव्हा सेगमेंटची लांबी दर्शविणारी संख्या प्राप्त झाली, तेव्हा झाइजिंगने पाहिले की त्यांनी फिबोनाची मालिका तयार केली आहे, जी एका दिशेने किंवा दुसर्‍या दिशेने अनिश्चित काळासाठी चालू ठेवली जाऊ शकते. त्याच्या पुढच्या पुस्तकाचे शीर्षक होते "निसर्ग आणि कलेतील मूलभूत मॉर्फोलॉजिकल लॉ म्हणून गोल्डन डिव्हिजन." 1876 मध्ये, एक लहान पुस्तक, जवळजवळ एक माहितीपत्रक, रशियामध्ये प्रकाशित झाले, ज्यामध्ये झीसिंगच्या कार्याचे प्रदर्शन होते. लेखकाने यु.एफ.व्ही. या आद्याक्षराखाली आश्रय घेतला. या आवृत्तीत कोणत्याही चित्राचा उल्लेख नाही.

XIX च्या उत्तरार्धात - XX शतकाच्या सुरुवातीस. कला आणि आर्किटेक्चरच्या कामात सुवर्ण गुणोत्तर वापरण्यावर बरेच पूर्णपणे औपचारिक सिद्धांत दिसून आले. डिझाइन आणि तांत्रिक सौंदर्यशास्त्राच्या विकासासह, सुवर्ण गुणोत्तराचा कायदा कार, फर्निचर इत्यादींच्या डिझाइनपर्यंत विस्तारित झाला.

फिबोनाची मालिका

पिसा येथील इटालियन गणितज्ञ भिक्षू लिओनार्डोचे नाव, ज्याला फिबोनाची (बोनाचीचा मुलगा) म्हणून ओळखले जाते, ते अप्रत्यक्षपणे सुवर्ण गुणोत्तराच्या इतिहासाशी जोडलेले आहे. त्याने पूर्वेला खूप प्रवास केला, युरोपला भारतीय (अरबी) अंकांची ओळख करून दिली. 1202 मध्ये, त्यांचे गणितीय कार्य "द बुक ऑफ द अबॅकस" (मोजणी मंडळ) प्रकाशित झाले, ज्यामध्ये त्या वेळी ज्ञात असलेल्या सर्व समस्या एकत्रित केल्या गेल्या. त्यातील एक कार्य होते “एका जोडीतून एका वर्षात सशांच्या किती जोड्या जन्माला येतील”. या विषयावर विचार करून, फिबोनाचीने खालील संख्यांची मालिका तयार केली:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, इ. क्रमांकांची पंक्ती. फिबोनाची मालिका म्हणून ओळखली जाते. संख्यांच्या क्रमाचे वैशिष्ठ्य म्हणजे तिसर्‍यापासून सुरू होणारा प्रत्येक सदस्य 2 + 3 = 5 मागील दोनच्या बेरजेइतका असतो; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34, इ. आणि मालिकेतील समीप संख्यांचे गुणोत्तर सुवर्ण विभागाच्या गुणोत्तरापर्यंत पोहोचते. तर, 21: 34 = 0.617, आणि 34: 55 = 0.618. हे गुणोत्तर F या चिन्हाने दर्शविले जाते. फक्त हे गुणोत्तर - 0.618: 0.382 - सोनेरी प्रमाणात एका सरळ रेषेचा अखंड विभागणी देते, त्याची वाढ किंवा अनंतता कमी होते, जेव्हा लहान विभाग मोठ्या भागाशी संबंधित असतो प्रत्येक गोष्टीसाठी.

फिबोनाचीने व्यापाराच्या व्यावहारिक गरजा देखील हाताळल्या: कमोडिटीचे वजन करण्यासाठी सर्वात लहान वजन किती आहे? फिबोनाची हे सिद्ध करते की खालील वजन प्रणाली इष्टतम आहे: 1, 2, 4, 8, 16 ...

सामान्यीकृत सुवर्ण गुणोत्तर

फिबोनाची मालिका केवळ एक गणितीय घटनाच राहू शकते, जर वनस्पती आणि प्राणी जगतातील सुवर्ण विभागणीचे सर्व संशोधक, कलेचा उल्लेख न करता, सुवर्ण विभागणीच्या कायद्याची अंकगणित अभिव्यक्ती म्हणून या मालिकेत नेहमीच आले.

शास्त्रज्ञांनी फिबोनाची संख्या आणि सुवर्ण गुणोत्तराचा सिद्धांत सक्रियपणे विकसित करणे सुरू ठेवले. Yu. Matiyasevich फिबोनाची संख्या वापरून हिल्बर्टची 10वी समस्या सोडवतो. फिबोनाची संख्या आणि सुवर्ण गुणोत्तर वापरून अनेक सायबरनेटिक समस्या (शोध सिद्धांत, गेम, प्रोग्रामिंग) सोडवण्यासाठी अत्याधुनिक पद्धती आहेत. युनायटेड स्टेट्समध्ये, अगदी मॅथेमॅटिकल फिबोनाची असोसिएशन तयार केली जात आहे, जी 1963 पासून एक विशेष जर्नल प्रकाशित करत आहे.

या क्षेत्रातील एक प्रगती म्हणजे सामान्यीकृत फिबोनाची संख्या आणि सामान्यीकृत सुवर्ण गुणोत्तरांचा शोध.

फिबोनाची मालिका (1, 1, 2, 3, 5, 8) आणि त्याने शोधलेल्या 1, 2, 4, 8, 16 वजनांची "बायनरी" पंक्ती पहिल्या दृष्टीक्षेपात पूर्णपणे भिन्न आहेत. परंतु त्यांच्या बांधणीसाठी अल्गोरिदम एकमेकांशी अगदी समान आहेत: पहिल्या प्रकरणात, प्रत्येक संख्या स्वतः 2 = 1 + 1 सह मागील संख्येची बेरीज आहे; 4 = 2 + 2…, दुसऱ्यामध्ये ती आधीच्या दोन संख्यांची बेरीज 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2…. सामान्य गणितीय सूत्र शोधणे शक्य आहे ज्यातून "बायनरी" मालिका आणि फिबोनाची मालिका दोन्ही मिळतील? किंवा कदाचित हे सूत्र आपल्याला काही नवीन अद्वितीय गुणधर्मांसह नवीन संख्यात्मक संच देईल?

खरंच, संख्यात्मक पॅरामीटर सेट करूया एस, जी कोणतीही मूल्ये घेऊ शकतात: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... संख्या मालिका विचारात घ्या, एसप्रथम सदस्यांपैकी + 1 हे एकक आहेत आणि त्यानंतरचे प्रत्येक सदस्य मागील सदस्याच्या दोन सदस्यांच्या बेरजेइतके आहे आणि मागील सदस्यापासून अंतर ठेवले आहे. एसपायऱ्या तर n-या मालिकेतील वा टर्म φ ने दर्शविला जाईलएस (n), नंतर आपल्याला सामान्य सूत्र φ मिळेलएस ( n) = φ S ( n- 1) + φ एस (n – एस – 1).

अर्थात, साठी एस= 0 या सूत्रावरून आपल्याला "बायनरी" मालिका मिळते एस= 1 - फिबोनाची मालिका, साठी एस= 2, 3, 4. संख्यांची नवीन मालिका, ज्याला म्हणतात एस- फिबोनाची संख्या.

सर्वसाधारणपणे, सोने एस-प्रमाण हे सोनेरी समीकरणाचे सकारात्मक मूळ आहे एस-विभाग x S + 1 - x S - 1 = 0.

हे दर्शविणे सोपे आहे की जेव्हा S = 0, तेव्हा विभाग अर्ध्यामध्ये विभागला जातो आणि जेव्हा S = 1, परिचित शास्त्रीय सुवर्ण गुणोत्तर.

शेजारच्या फिबोनाची S-संख्यांचे गुणोत्तर हे सोनेरी S-प्रमाणांसह मर्यादेतील परिपूर्ण गणितीय सुस्पष्टतेशी जुळतात! अशा प्रकरणांमध्ये गणितज्ञ म्हणतात की सोनेरी S-गुणोत्तर S-Fibonacci संख्यांचे संख्यात्मक अपरिवर्तनीय आहेत.

निसर्गात सोनेरी एस-सेक्शनच्या अस्तित्वाची पुष्टी करणारे तथ्य बेलारशियन शास्त्रज्ञ ई.एम. "प्रणालींची संरचनात्मक सुसंवाद" (मिन्स्क, "विज्ञान आणि तंत्रज्ञान", 1984) या पुस्तकात चाळीस. हे दिसून येते की, उदाहरणार्थ, चांगल्या प्रकारे अभ्यासलेल्या बायनरी मिश्रधातूंमध्ये विशेष, उच्चारित कार्यात्मक गुणधर्म असतात (थर्मलली स्थिर, कठोर, पोशाख-प्रतिरोधक, ऑक्सिडेशन-प्रतिरोधक, इ.) केवळ प्रारंभिक घटकांचे विशिष्ट वजन एकमेकांशी जोडलेले असल्यास. सोनेरी S-प्रमाणांपैकी एकाने. यामुळे लेखकाला एक गृहितक मांडण्याची परवानगी मिळाली की सोनेरी S-विभाग स्वयं-संयोजन प्रणालीचे संख्यात्मक अपरिवर्तनीय आहेत. प्रायोगिकरित्या पुष्टी केली गेली आहे, हे गृहितक सिनर्जेटिक्सच्या विकासासाठी मूलभूत महत्त्व असू शकते, विज्ञानाचे एक नवीन क्षेत्र जे स्वयं-संयोजित प्रणालींमधील प्रक्रियांचा अभ्यास करते.

सोनेरी S-गुणोत्तर कोडसह, तुम्ही पूर्णांक गुणांकांसह सोनेरी S-प्रमाणांच्या अंशांची बेरीज म्हणून कोणतीही वास्तविक संख्या व्यक्त करू शकता.

अंकांच्या एन्कोडिंगच्या या पद्धतीमधील मूलभूत फरक हा आहे की नवीन कोड्सचे बेस, जे सोनेरी S-प्रमाण आहेत, S> 0 साठी अपरिमेय संख्या आहेत. अशाप्रकारे, अपरिमेय आधार असलेल्या नवीन संख्या प्रणाली, जसे होत्या, परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांमधील संबंधांची ऐतिहासिकदृष्ट्या स्थापित पदानुक्रम "उलट" ठेवतात. वस्तुस्थिती अशी आहे की प्रथम नैसर्गिक संख्या "शोधली" गेली; मग त्यांचे संबंध परिमेय संख्या आहेत. आणि फक्त नंतर - पायथागोरियन्सच्या अतुलनीय विभागांच्या शोधानंतर - अपरिमेय संख्या दिसू लागल्या. उदाहरणार्थ, दशांश, पेंटरी, बायनरी आणि इतर शास्त्रीय स्थानीय संख्या प्रणालींमध्ये, नैसर्गिक संख्या - 10, 5, 2 - एक प्रकारचे मूलभूत तत्त्व म्हणून निवडले गेले, ज्यामधून इतर सर्व नैसर्गिक संख्या तसेच परिमेय आणि अपरिमेय संख्या तयार केल्या गेल्या. काही नियमांनुसार.

विद्यमान क्रमांकन पद्धतींचा एक प्रकारचा पर्याय म्हणजे एक नवीन, अपरिमेय प्रणाली, एक मूलभूत तत्त्व म्हणून, ज्याची सुरूवात एक अपरिमेय संख्या आहे (जो, सुवर्ण विभागाच्या समीकरणाचे मूळ आहे); इतर वास्तविक संख्या त्याद्वारे आधीच व्यक्त केल्या आहेत.

अशा संख्या प्रणालीमध्ये, कोणतीही नैसर्गिक संख्या नेहमी मर्यादित स्वरूपात दर्शविली जाते - आणि पूर्वी विचार केल्याप्रमाणे अनंत नाही! - कोणत्याही सोनेरी S-प्रमाणातील अंशांची बेरीज. आश्चर्यकारक गणितीय साधेपणा आणि सुरेखता असलेल्या "अतार्किक" अंकगणिताने शास्त्रीय बायनरी आणि "फिबोनाची" अंकगणितातील सर्वोत्तम गुण आत्मसात केल्याचे हे एक कारण आहे.

निसर्गात आकार देण्याची तत्त्वे

प्रत्येक गोष्ट ज्याने काहीतरी रूप धारण केले, तयार केले, वाढले, अवकाशात स्थान घेण्याचा आणि स्वतःचे जतन करण्याचा प्रयत्न केला. या प्रयत्नांची अंमलबजावणी प्रामुख्याने दोन आवृत्त्यांमध्ये आढळते - पृथ्वीच्या पृष्ठभागावर वाढणे किंवा पसरणे आणि सर्पिलमध्ये वळणे.

कवच एक सर्पिल मध्ये twisted आहे. जर तुम्ही ते उलगडले तर तुम्हाला सापाच्या लांबीपेक्षा किंचित निकृष्ट लांबी मिळेल. एका लहान दहा सेंटीमीटर शेलमध्ये 35 सेमी लांबीचा सर्पिल असतो. सर्पिल निसर्गात खूप सामान्य असतात. सर्पिल नसल्यास सुवर्ण गुणोत्तर अपूर्ण असेल.

तांदूळ. 12. आर्किमिडीजचा सर्पिल

सर्पिल कर्ल शेलच्या आकाराने आर्किमिडीजचे लक्ष वेधून घेतले. त्याने त्याचा अभ्यास केला आणि सर्पिल समीकरण काढले. या समीकरणातून काढलेल्या सर्पिलला त्याचे नाव देण्यात आले आहे. तिच्या पावलांची वाढ नेहमीच एकसमान असते. सध्या, आर्किमिडीज सर्पिल तंत्रज्ञानामध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते.

गोएथेने देखील निसर्गाच्या सर्पिल प्रवृत्तीवर जोर दिला. झाडांच्या फांद्यांवरील पानांची पेचदार आणि सर्पिल मांडणी फार पूर्वीच लक्षात आली होती. सर्पिल सूर्यफुलाच्या बियांच्या व्यवस्थेमध्ये, पाइन शंकू, अननस, कॅक्टी इत्यादींमध्ये दिसत होते. वनस्पतिशास्त्रज्ञ आणि गणितज्ञांच्या संयुक्त कार्याने या आश्चर्यकारक नैसर्गिक घटनांवर प्रकाश टाकला आहे. असे दिसून आले की फिबोनाची मालिका शाखा (फायलोटॅक्सिस), सूर्यफुलाच्या बिया, झुरणे शंकूवरील पानांच्या व्यवस्थेमध्ये प्रकट होते आणि म्हणूनच सुवर्ण विभागाचा कायदा स्वतः प्रकट होतो. स्पायडर सर्पिल पद्धतीने जाळे विणतो. चक्रीवादळ सर्पिलमध्ये फिरत आहे. रेनडिअरचा घाबरलेला कळप सर्पिलमध्ये विखुरतो. डीएनए रेणू दुहेरी हेलिक्समध्ये वळवलेला असतो. गोएथेने सर्पिलला "जीवनाचा वक्र" म्हटले.

रस्त्याच्या कडेला असलेल्या गवतांमध्ये, एक अविस्मरणीय वनस्पती वाढते - चिकोरी. चला त्याला जवळून बघूया. मुख्य स्टेमपासून एक प्रक्रिया तयार झाली आहे. प्रथम पत्रक तेथे स्थित आहे.

तांदूळ. 13. चिकोरी

शूट अंतराळात जोरदार उत्सर्जन करते, थांबते, एक पान सोडते, परंतु पहिल्यापेक्षा लहान असते, पुन्हा अंतराळात बाहेर काढते, परंतु कमी शक्तीने, आणखी लहान आकाराचे एक पान सोडते आणि पुन्हा बाहेर पडते. जर पहिले उत्सर्जन 100 युनिट्स म्हणून घेतले, तर दुसरे 62 युनिट्स, तिसरे 38, चौथे 24, इ. पाकळ्यांची लांबी देखील सोनेरी गुणोत्तराच्या अधीन आहे. वाढीमध्ये, जागा जिंकणे, वनस्पतीने विशिष्ट प्रमाणात राखले. सोनेरी भागाच्या प्रमाणात त्याच्या वाढीचे आवेग हळूहळू कमी होत गेले.

तांदूळ. 15. पक्ष्यांची अंडी

महान गोएथे, कवी, निसर्गवादी आणि कलाकार (त्याने जलरंगात रंगविले आणि रंगविले), सेंद्रिय शरीराचे स्वरूप, निर्मिती आणि परिवर्तन याबद्दल एकसंध शिकवणी तयार करण्याचे स्वप्न पाहिले. त्यांनीच मॉर्फोलॉजी हा शब्द वैज्ञानिक वापरात आणला.

या शतकाच्या सुरुवातीला पियरे क्युरीने सममितीच्या अनेक गहन कल्पना मांडल्या. त्यांनी असा युक्तिवाद केला की पर्यावरणाची सममिती विचारात घेतल्याशिवाय कोणत्याही शरीराच्या सममितीचा विचार करता येत नाही.

"सोनेरी" सममितीचे नमुने प्राथमिक कणांच्या ऊर्जा संक्रमणामध्ये, काही रासायनिक संयुगांच्या संरचनेत, ग्रह आणि अवकाश प्रणालींमध्ये, सजीवांच्या अनुवांशिक संरचनांमध्ये प्रकट होतात. हे नमुने, वर दर्शविल्याप्रमाणे, एखाद्या व्यक्तीच्या वैयक्तिक अवयवांच्या आणि संपूर्ण शरीराच्या संरचनेत असतात आणि बायोरिदम्स आणि मेंदूच्या कार्यामध्ये आणि दृश्य धारणामध्ये देखील प्रकट होतात.

सुवर्ण गुणोत्तर आणि सममिती

सुवर्ण गुणोत्तर सममितीशी जोडल्याशिवाय, स्वतंत्रपणे, स्वतःच मानले जाऊ शकत नाही. महान रशियन क्रिस्टलोग्राफर जी.व्ही. वुल्फ (1863 ... 1925) यांनी सुवर्ण गुणोत्तर हे सममितीच्या प्रकटीकरणांपैकी एक मानले.

सोन्याचे विभाजन हे असममितीचे प्रकटीकरण नाही, सममितीच्या विरुद्ध काहीतरी आहे. आधुनिक संकल्पनेनुसार, सुवर्ण विभागणी ही असममित सममिती आहे. सममितीच्या विज्ञानामध्ये स्थिर आणि गतिमान सममितीसारख्या संकल्पनांचा समावेश होतो. स्थिर सममिती विश्रांती, संतुलन आणि गतिमान - हालचाल, वाढ दर्शवते. तर, निसर्गात, स्थिर सममिती क्रिस्टल्सच्या संरचनेद्वारे दर्शविली जाते आणि कलामध्ये ती शांतता, संतुलन आणि अचलता दर्शवते. डायनॅमिक सममिती क्रियाकलाप व्यक्त करते, हालचाल, विकास, लय दर्शवते, हे जीवनाचा पुरावा आहे. स्थिर सममिती समान विभाग, समान मूल्यांद्वारे दर्शविली जाते. डायनॅमिक सममिती विभागांमध्ये वाढ किंवा घट द्वारे दर्शविले जाते आणि ते वाढत्या किंवा कमी होणाऱ्या मालिकेच्या सुवर्ण विभागाच्या मूल्यांमध्ये व्यक्त केले जाते.

ग्रंथसूची वर्णन:मॅक्सिमेन्को ओ.व्ही., पास्टर व्ही.एस., व्होर्फोलोमिवा पी.व्ही., मोझिकोवा के.ए., निकोलायवा एम.ई., श्मेलेवा ओ.व्ही. गोल्डन सेक्शनच्या संकल्पनेसाठी // तरुण वैज्ञानिक. - 2016. - क्रमांक 6.1. - S. 35-39..02.2019).

भूमितीकडे दोन खजिना आहेत:

त्यापैकी एक म्हणजे पायथागोरियन प्रमेय,

दुसरा भाग सरासरी आणि अत्यंत गुणोत्तरामध्ये विभागत आहे "

जोहान्स केपलर

कीवर्ड: सुवर्ण गुणोत्तर, सुवर्ण प्रमाण, वैज्ञानिक घटना.

आमच्या कार्याचा उद्देश ज्ञानाच्या विविध क्षेत्रातील "गोल्डन सेक्शन" शी संबंधित माहितीच्या स्त्रोतांचा अभ्यास करणे, नमुने ओळखणे आणि विज्ञानांमधील दुवे शोधणे, गोल्डन सेक्शनचा व्यावहारिक अर्थ ओळखणे हा आहे.

या संशोधनाची प्रासंगिकता गणित आणि कला यातील सुवर्ण गुणोत्तराच्या वापराच्या शतकानुशतके जुन्या इतिहासावरून निश्चित केली जाते. प्राचीन लोक ज्या गोष्टींबद्दल गोंधळात पडले होते ते समकालीन लोकांच्या स्वारस्य जागृत करणारे आणि संबंधित राहिले.

प्रत्येक वेळी, लोकांनी त्यांच्या सभोवतालच्या जगात नमुने शोधण्याचा प्रयत्न केला आहे. आम्ही त्यांच्या दृष्टिकोनातून "योग्य" स्वरूपाच्या वस्तूंनी स्वतःला वेढले. केवळ गणिताच्या विकासामुळे लोक "गोल्डन रेशो" मोजण्यात यशस्वी झाले, जे नंतर "गोल्डन सेक्शन" म्हणून ओळखले जाऊ लागले.

सोनेरी प्रमाण- हार्मोनिक प्रमाण

सुवर्ण गुणोत्तर हे एका विभागाचे असमान भागांमध्ये असे आनुपातिक विभाजन आहे, ज्यामध्ये संपूर्ण विभाग मोठ्या भागाचा उल्लेख करतो त्याच प्रकारे मोठा भाग लहान भागाचा संदर्भ देतो; किंवा, दुसर्‍या शब्दात, लहान विभाग म्हणजे मोठ्या भागाचा संदर्भ प्रत्येक गोष्टीसाठी मोठा म्हणून (चित्र 1).

a: b = b: c

तांदूळ. 1. सोनेरी प्रमाणात विभागणी

गोल्डन रेशो म्हणजे काय याची आठवण करून देऊ. सुवर्ण गुणोत्तराची सर्वात विस्तृत व्याख्या सांगते की लहान भाग मोठ्या भागाचा संदर्भ देते, संपूर्ण संपूर्ण भागासाठी मोठा. त्याचे अंदाजे मूल्य 1.6180339887 आहे. गोलाकार टक्केवारीत, संपूर्ण भागांचे प्रमाण 62% ते 38% इतके असेल. हे नाते स्थळ आणि काळाच्या रूपात चालते.

सुवर्ण त्रिकोण आणिआयत

एका विभागाला असमान भागांमध्ये (सुवर्ण गुणोत्तर) विभाजित करण्याव्यतिरिक्त, एक सोनेरी त्रिकोण आणि एक सोनेरी आयत मानले जाते.

सोनेरी आयत एक आयत आहे ज्याच्या बाजूची लांबी सोनेरी प्रमाणात आहे (चित्र 2).

पंचकोनी ताऱ्याचे प्रत्येक टोक एक सोनेरी त्रिकोण आहे. त्याच्या बाजू शीर्षस्थानी 36 ° चा कोन बनवतात आणि बाजूला ठेवलेला पाया सोनेरी गुणोत्तराच्या प्रमाणात (चित्र 3) विभाजित करतो.

अंजीर 2. सोनेरी आयत

अंजीर 3 सुवर्ण त्रिकोण

पेंटॅकल

नियमित पाच-बिंदू असलेल्या ताऱ्यामध्ये, प्रत्येक सेगमेंटला सोनेरी गुणोत्तरामध्ये छेदणाऱ्या एका सेगमेंटने विभागलेला असतो, म्हणजे, निळ्या भागाचे हिरवे, लाल ते निळे, हिरव्या ते व्हायलेटचे गुणोत्तर 1.618 (चित्र 4) असते.

अंजीर 4. पेंटाग्राम - स्वच्छता

पायथागोरसने असा युक्तिवाद केला की पेंटाग्राम, किंवा त्याने त्याला म्हटले म्हणून, हायजिआ ही एक गणितीय परिपूर्णता आहे, कारण ते स्वतःमध्ये सुवर्ण गुणोत्तर लपवते. निळा ते हिरवा, लाल ते निळा, हिरवा ते व्हायलेट हे सुवर्ण गुणोत्तर आहे.

फिबोनाची मालिका

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, इत्यादी संख्यांची मालिका फिबोनाची मालिका म्हणून ओळखली जाते. संख्यांच्या क्रमाचे वैशिष्ठ्य म्हणजे त्यातील प्रत्येक सदस्य, तिसऱ्यापासून सुरू होणारा, मागील दोनच्या बेरजेइतके, आणि मालिकेतील समीप संख्यांचे गुणोत्तर सुवर्ण विभागाच्या गुणोत्तरापर्यंत पोहोचते.

तर, 21:34 = 0.617

34: 55 = 0,618.

सुवर्ण गुणोत्तराचा इतिहास

मध्ये सोनेरी प्रमाणमानवी शरीराचे भाग

1855 मध्ये, गोल्डन रेशोचे जर्मन संशोधक, प्रोफेसर झेसिंग यांनी त्यांचे सौंदर्य संशोधन प्रकाशित केले.

Zeising ने सुमारे दोन हजार मानवी शरीरे मोजली आणि निष्कर्षापर्यंत पोहोचले की सुवर्ण गुणोत्तर सरासरी सांख्यिकीय नियम (चित्र 5) व्यक्त करते.

अंजीर. 5 मानवी शरीराच्या भागांमध्ये सुवर्ण प्रमाण

मध्ये सुवर्ण गुणोत्तरवन्यजीव

मानवी ज्ञानाच्या अनेक क्षेत्रांमध्ये फक्त एक गणिती संकल्पना कशी उद्भवते हे आश्चर्यकारक आहे. सुसंवाद आणि अराजकता, गणित आणि कला यांना जोडणारे ते जगातील प्रत्येक गोष्टीत झिरपते.

जैविक संशोधनात, हे दर्शविले गेले आहे की, विषाणू आणि वनस्पतींपासून सुरू होणारे आणि मानवी शरीरासह समाप्त होणारे, त्यांच्या संरचनेची समानता आणि सुसंवाद दर्शविणारे सोनेरी प्रमाण सर्वत्र प्रकट होते. सुवर्ण गुणोत्तर जीवन प्रणालीचा सार्वत्रिक नियम म्हणून ओळखला जातो.

सरडेमध्ये, पहिल्या दृष्टीक्षेपात, आपल्या डोळ्यांसाठी आनंददायी प्रमाण पकडले जाते - त्याच्या शेपटीची लांबी शरीराच्या उर्वरित लांबीशी 62 ते 38 (चित्र 6) इतकी असते.

अंजीर. 6 सरड्याच्या शरीराच्या भागांमध्ये सोनेरी प्रमाण

मध्ये सुवर्ण गुणोत्तरआर्किटेक्चर

"सुवर्ण गुणोत्तर" बद्दलच्या पुस्तकांमध्ये आपल्याला एक टिप्पणी सापडेल की वास्तुशास्त्रात, चित्रकलेप्रमाणेच, सर्व काही निरीक्षकाच्या स्थितीवर अवलंबून असते आणि एकीकडे इमारतीतील काही प्रमाणात "सुवर्ण गुणोत्तर" तयार होत असल्याचे दिसते. मग इतर दृष्टिकोनातून ते वेगळे दिसतील. "गोल्डन सेक्शन" विशिष्ट लांबीच्या आकारांचे सर्वात शांत गुणोत्तर देते.

प्राचीन ग्रीक वास्तुकलेतील सर्वात सुंदर नमुने म्हणजे पार्थेनॉन (चित्र 7). इमारतीच्या उंचीचे त्याच्या लांबीचे गुणोत्तर 0.618 आहे. जर आपण पार्थेनॉनचे विभाजन “सुवर्ण गुणोत्तर” नुसार केले तर आपल्याला दर्शनी भागाचा एक किंवा दुसरा प्रसार मिळेल.

पुरातन वास्तूचे आणखी एक उदाहरण म्हणजे चेप्सचे पिरॅमिड (चित्र 8).

ग्रेट पिरॅमिडचे प्रमाण "गोल्डन रेशो" मध्ये ठेवले जाते.

प्राचीन बांधकाम व्यावसायिकांनी जवळजवळ परिपूर्ण अभियांत्रिकी अचूकता आणि सममितीसह हे भव्य स्मारक उभारण्यात व्यवस्थापित केले.

अंजीर 7. पार्थेनॉन

अंजीर 8. Cheops च्या पिरॅमिड

मध्ये सुवर्ण गुणोत्तरशिल्प

"गोल्डन सेक्शन" चे प्रमाण सौंदर्याच्या सुसंवादाची छाप निर्माण करतात, म्हणून शिल्पकारांनी त्यांच्या कामात त्यांचा वापर केला. तर, उदाहरणार्थ, अपोलो बेल्व्हेडेरच्या प्रसिद्ध पुतळ्यामध्ये सोनेरी गुणोत्तरांनुसार विभागलेले भाग असतात (चित्र 9).

अंजीर. 9 अपोलो बेल्वेडेरचा पुतळा

मध्ये सुवर्ण गुणोत्तरचित्रकला

चित्रकलेतील "गोल्डन रेशो" च्या उदाहरणांकडे जाताना, कोणीही मदत करू शकत नाही परंतु लिओनार्डो दा विंचीच्या कार्यावर लक्ष केंद्रित करू शकत नाही. चला "ला जिओकोंडा" पेंटिंग जवळून पाहूया. पोर्ट्रेटची रचना सोनेरी त्रिकोणांवर बनलेली आहे (चित्र 10).

अंजीर. 10 लिओनार्डो दा विंची "ला जिओकोंडा"

पेंटिंगमधील सुवर्ण गुणोत्तराचे आणखी एक उदाहरण म्हणजे राफेलचे पेंटिंग "द बीटिंग ऑफ बेबीज" (चित्र 11). राफेलच्या तयारीच्या स्केचवर, रचनाच्या अर्थपूर्ण केंद्रातून लाल रेषा काढल्या जातात. जर तुम्ही हे तुकडे नैसर्गिकरित्या वक्र ठिपके असलेल्या रेषेने जोडले तर तुम्हाला खूप उच्च अचूकता मिळेल... सोनेरी सर्पिल!

अंजीर 11. राफेल "बाळांना मारहाण"

मध्ये सुवर्ण गुणोत्तरसाहित्यिक कामे

तात्पुरत्या कलाकृती त्यांच्या स्वत: च्या मार्गाने आपल्याला सुवर्ण विभागणीचे तत्त्व दर्शवतात. सुवर्ण विभागाचा नियम रशियन क्लासिकच्या वैयक्तिक कामांमध्ये देखील लागू होतो. तर, "द क्वीन ऑफ हुकुम" या कथेत 853 ओळी आहेत आणि कळस 535 ओळीवर येतो (853: 535 = 1.6) - हा सुवर्ण विभागाचा मुद्दा आहे.

मध्ये सुवर्ण गुणोत्तरमोशन पिक्चर्स

चित्रपट दिग्दर्शक सर्गेई आयझेनस्टाईन यांनी जाणूनबुजून त्याच्या "बॅटलशिप पोटेमकिन" चित्रपटाच्या स्क्रिप्टचा सुवर्ण विभागाच्या नियमाशी समन्वय साधला आणि टेपला पाच भागांमध्ये विभागले.

निष्कर्ष

प्राचीन इजिप्त आणि बॅबिलोन, भारत आणि चीनमध्येही सुवर्ण गुणोत्तर ओळखले जात असे. महान पायथागोरसने एक गुप्त शाळा तयार केली जिथे "सुवर्ण विभाग" च्या गूढ साराचा अभ्यास केला गेला. युक्लिडने ते लागू केले, त्याची भूमिती तयार केली आणि फिडियास - त्याची अमर शिल्पे. प्लेटोने सांगितले की विश्वाची मांडणी "गोल्डन रेशो" नुसार केली जाते. आणि अॅरिस्टॉटलला नैतिक कायद्याशी "सुवर्ण विभाग" चा पत्रव्यवहार सापडला. "सुवर्ण गुणोत्तर" च्या सर्वोच्च सुसंवादाचा प्रचार लिओनार्डो दा विंची आणि मायकेल एंजेलोद्वारे केला जाईल, कारण सौंदर्य आणि "गोल्डन रेशो" एकच आहेत. आणि ख्रिश्चन गूढवादी सैतानापासून पळून त्यांच्या मठांच्या भिंतींवर "सुवर्ण विभाग" चे पेंटाग्राम रंगवतील. त्याच वेळी, शास्त्रज्ञ - पॅसिओली ते आईन्स्टाईन - शोधतील, परंतु त्याचा अचूक अर्थ कधीही सापडणार नाही. दशांश बिंदू नंतर एक अनंत संख्या - 1.6180339887 ... एक विचित्र, गूढ, अकल्पनीय गोष्ट: हे दैवी प्रमाण गूढपणे सर्व सजीवांच्या सोबत असते. निर्जीव निसर्गाला "गोल्डन रेशो" म्हणजे काय हे माहित नाही. पण हे प्रमाण तुम्हाला समुद्राच्या कवचाच्या वक्रांमध्ये, फुलांच्या रूपात आणि बीटलच्या रूपात आणि सुंदर मानवी शरीरात नक्कीच दिसेल. सर्व काही जिवंत आणि सुंदर - प्रत्येक गोष्ट दैवी कायद्याचे पालन करते, ज्याचे नाव "सुवर्ण विभाग" आहे. तर गोल्डन रेशो म्हणजे काय? हे परिपूर्ण, दैवी संयोजन काय आहे? कदाचित हा सौंदर्याचा नियम आहे? किंवा तो एक गूढ रहस्य आहे? वैज्ञानिक घटना की नैतिक तत्त्व? याचे उत्तर अजूनही माहीत नाही. अधिक तंतोतंत - नाही, हे ज्ञात आहे. "सुवर्ण विभाग" एक आणि दुसरा, आणि तिसरा दोन्ही आहे. केवळ स्वतंत्रपणे नाही तर एकाच वेळी ... आणि हे त्याचे खरे रहस्य आहे, त्याचे महान रहस्य आहे.

साहित्य:

Vilenkin N. Ya., Zhokhov V.I. et al. गणित - 6. - M.: Mnemozina, 2015
कोरबालन एफ. गोल्डन विभाग. सौंदर्याची गणिती भाषा. (गणिताचे जग खंड 1). - एम.: डीएगोस्टिनी, 2014
टाइमर्डिंग G.E. गोल्डन विभाग. - एम.: लिब्रोकॉम, 2009

कीवर्ड: सुवर्ण गुणोत्तर, सुवर्ण प्रमाण, वैज्ञानिक घटना.

भाष्य: गोल्डन रेशो हे स्ट्रक्चरल सुसंवादाचे सार्वत्रिक प्रकटीकरण आहे. हे निसर्ग, विज्ञान, कला - प्रत्येक व्यक्तीच्या संपर्कात येऊ शकते अशा प्रत्येक गोष्टीमध्ये आढळते. लेखाचे लेखक साहित्याचे संशोधन करतात, सुवर्ण विभागाशी संबंधित विज्ञानांमधील दुवे शोधतात आणि सुवर्ण प्रमाणांचा व्यावहारिक अर्थ प्रकट करतात.

निसर्गात सोनेरी प्रमाण

संपादकाची निवड