सदिश उत्पादनाची संकल्पना देण्यापूर्वी, त्रि-आयामी जागेत a →, b →, c → वेक्टरच्या क्रमबद्ध ट्रिपलेटच्या अभिमुखतेच्या प्रश्नाकडे वळू या.

सुरुवातीस एका बिंदूपासून a →, b →, c → हे वेक्टर बाजूला ठेवू. ट्रिपल a →, b →, c → ची दिशा उजवीकडे किंवा डावीकडे असू शकते, c → वेक्टरच्या दिशेवर अवलंबून. a → ते b → व्हेक्टर c → च्या टोकापासून ज्या दिशेला सर्वात लहान रोटेशन केले जाते त्या दिशेने a →, b →, c → चे स्वरूप निश्चित केले जाईल.

जर सर्वात लहान रोटेशन घड्याळाच्या उलट दिशेने असेल, तर a →, b →, c → व्हेक्टरच्या त्रिपुटीला म्हणतात. बरोबरजर घड्याळाच्या दिशेने - बाकी.

पुढे, a → आणि b → दोन नॉन-कॉलिनियर वेक्टर घ्या. चला मग बिंदू A पासून A B → = a → आणि A C → = b → वेक्टर पुढे ढकलू. आम्ही A D → = c → एक वेक्टर बनवतो, जो एकाच वेळी A B → आणि A C → दोन्हीसाठी लंब असतो. अशा प्रकारे, सदिश स्वतः A D → = c → तयार करताना आपण दोन गोष्टी करू शकतो, त्याला एक दिशा किंवा विरुद्ध दिशा देतो (चित्र पहा).

a →, b →, c → व्हेक्टरचा क्रमबद्ध तिप्पट व्हेक्टरच्या दिशेनुसार उजवीकडे किंवा डावीकडे असू शकतो.

वरीलवरून, आपण क्रॉस उत्पादनाची व्याख्या देऊ शकतो. त्रिमितीय जागेच्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये परिभाषित केलेल्या दोन सदिशांसाठी ही व्याख्या दिली आहे.

व्याख्या १

a → आणि b → या दोन सदिशांचे सदिश गुणाकार त्रिमितीय जागेच्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये दिलेल्या अशा वेक्टरला आपण असे म्हणतो:

• व्हेक्टर a → आणि b → समरेषीय असल्यास, ते शून्य असेल;
• ते a → आणि vector b → i.e. या दोन्ही वेक्टरला लंब असेल. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
• त्याची लांबी सूत्रानुसार निर्धारित केली जाते: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
• a →, b →, c → या वेक्टरच्या त्रिपुटीला दिलेल्या निर्देशांक प्रणालीप्रमाणेच अभिमुखता आहे.

a → आणि b → या वेक्टरच्या सदिश गुणाकारात खालील संकेत आहेत: a → × b →.

वेक्टर उत्पादन समन्वय

कोऑर्डिनेट सिस्टीममध्ये कोणत्याही वेक्टरचे विशिष्ट निर्देशांक असल्याने, तुम्ही क्रॉस उत्पादनाची दुसरी व्याख्या प्रविष्ट करू शकता, ज्यामुळे तुम्हाला व्हेक्टरच्या दिलेल्या निर्देशांकांद्वारे त्याचे निर्देशांक शोधता येतील.

व्याख्या २

त्रिमितीय जागेच्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये a → = (a x; a y; a z) आणि b → = (b x; b y; b z) दोन सदिशांचे सदिश गुणाकार वेक्टर म्हणतात c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, जेथे i →, j →, k → समन्वय सदिश आहेत.

सदिश उत्पादन हे तिसऱ्या क्रमाच्या चौरस मॅट्रिक्सचे निर्धारक म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते, जिथे पहिली पंक्ती i →, j →, k → या एकक व्हेक्टरचे सदिश असते, दुसऱ्या पंक्तीमध्ये a → व्हेक्टरचे निर्देशांक असतात. आणि तिसऱ्यामध्ये दिलेल्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये b → व्हेक्टरचे निर्देशांक असतात, मॅट्रिक्सचा हा निर्धारक यासारखा दिसतो: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

पहिल्या रांगेतील घटकांवर या निर्धारकाचा विस्तार केल्याने, आम्हाला समानता मिळते: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

वेक्टर उत्पादन गुणधर्म

हे ज्ञात आहे की निर्देशांकातील सदिश उत्पादन मॅट्रिक्स c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, नंतर आधारावर दर्शविला जातो. मॅट्रिक्सच्या निर्धारकाचे गुणधर्मखालील दाखवते वेक्टर उत्पादन गुणधर्म:

1. अँटीकम्युटेटिव्हिटी a → × b → = - b → × a →;
2. वितरणक्षमता a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → किंवा a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. सहयोगीता λ a → × b → = λ a → × b → किंवा a → × (λ b →) = λ a → × b →, जेथे λ ही अनियंत्रित वास्तविक संख्या आहे.

हे गुणधर्म सिद्ध करणे कठीण नाही.

उदाहरण म्हणून, आपण सदिश उत्पादनाची अँटी-कम्युटेटिव्हिटी गुणधर्म सिद्ध करू शकतो.

Anticommutativity पुरावा

व्याख्येनुसार, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z आणि b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. आणि जर मॅट्रिक्सच्या दोन ओळींची पुनर्रचना केली असेल, तर मॅट्रिक्सच्या निर्धारकाचे मूल्य उलट बदलले पाहिजे, म्हणून, a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, जे सदिश उत्पादनाची अँटी कम्युटेटिव्हिटी सिद्ध करते.

वेक्टर उत्पादन - उदाहरणे आणि उपाय

बहुतेक प्रकरणांमध्ये, तीन प्रकारची कार्ये आहेत.

पहिल्या प्रकारच्या समस्यांमध्ये, दोन सदिशांची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन सहसा दिले जातात, परंतु आपल्याला क्रॉस उत्पादनाची लांबी शोधणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, c → = a → b → sin ∠ a →, b → खालील सूत्र वापरा.

उदाहरण १

जर तुम्हाला a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 माहित असेल तर a → आणि b → वेक्टरच्या सदिश गुणाकाराची लांबी शोधा.

उपाय

a → आणि b → व्हेक्टरच्या सदिश गुणाकाराची लांबी ठरवून आपण ही समस्या सोडवू: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2.

उत्तर: 15 2 2 .

दुस-या प्रकारच्या समस्यांचा वेक्टरच्या समन्वयांशी संबंध असतो, त्यामध्ये क्रॉस उत्पादन, त्याची लांबी इ. दिलेल्या वेक्टर्सच्या ज्ञात निर्देशांकांद्वारे शोधले जातात a → = (a x; a y; a z) आणि b → = (b x; b y; b z) .

या प्रकारच्या कार्यासाठी, आपण कार्यांसाठी बरेच पर्याय सोडवू शकता. उदाहरणार्थ, a → आणि b → व्हेक्टरचे निर्देशांक दिले जाऊ शकत नाहीत, परंतु फॉर्मच्या समन्वय सदिशांमध्ये त्यांचे विस्तार दिले जाऊ शकतात. b → = b x i → + b y j → + b z k → आणि c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, किंवा vectors a → आणि b → निर्दिष्ट केले जाऊ शकतात त्यांच्या प्रारंभ आणि शेवटच्या बिंदूंच्या समन्वयाने.

खालील उदाहरणे विचारात घ्या.

उदाहरण २

आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये, a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) दोन सदिश दिले आहेत. त्यांचे क्रॉस उत्पादन शोधा.

उपाय

दुसऱ्या व्याख्येनुसार, आपल्याला दिलेल्या निर्देशांकांमध्ये दोन सदिशांचे सदिश गुण आढळतात: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + (- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

जर आपण मॅट्रिक्सच्या निर्धारकाद्वारे वेक्टर उत्पादन लिहिल्यास, या उदाहरणाचे समाधान असे दिसते: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

उत्तर: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

उदाहरण ३

i → - j → आणि i → + j → + k → या सदिशांच्या सदिश गुणाकाराची लांबी शोधा, जेथे i →, j →, k → हे आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणालीचे एकक वेक्टर आहेत.

उपाय

प्रथम, दिलेल्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये दिलेल्या सदिश गुणाकार i → - j → × i → + j → + k → आम्ही शोधतो.

हे ज्ञात आहे की i → - j → आणि i → + j → + k → या सदिशांमध्ये अनुक्रमे (1; - 1; 0) आणि (1; 1; 1) समन्वय आहेत. मॅट्रिक्सचा निर्धारक वापरून सदिश उत्पादनाची लांबी शोधू या, नंतर आपल्याकडे i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → ...

म्हणून, सदिश उत्पादन i → - j → × i → + j → + k → दिलेल्या निर्देशांक प्रणालीमध्ये निर्देशांक (- 1; - 1; 2) आहेत.

आम्ही सूत्रानुसार वेक्टर उत्पादनाची लांबी शोधतो (वेक्टरची लांबी शोधण्यासाठी विभाग पहा): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

उत्तर: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

उदाहरण ४

आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणालीमध्ये, A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) तीन बिंदूंचे समन्वय दिलेले आहेत. एकाच वेळी A B → आणि A C → ला लंब असलेले काही वेक्टर शोधा.

उपाय

A B → आणि A C → या सदिशांमध्ये अनुक्रमे खालील निर्देशांक (- 1; 2; 2) आणि (0; 4; 1) आहेत. A B → आणि A C → या व्हेक्टरचे सदिश उत्पादन आढळून आल्यावर, हे स्पष्ट आहे की ते A B → आणि A C → या दोन्हींच्या व्याख्येनुसार एक लंब वेक्टर आहे, म्हणजेच ते आपल्या समस्येचे निराकरण आहे. चला ते शोधूया A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

उत्तर: - 6 i → + j → - 4 k →. - लंब सदिशांपैकी एक.

तिसऱ्या प्रकारच्या समस्या वेक्टरच्या वेक्टर उत्पादनाच्या गुणधर्मांचा वापर करण्यावर केंद्रित आहेत. जे लागू केल्यानंतर, आम्ही दिलेल्या समस्येचे निराकरण करू.

उदाहरण ५

a → आणि b → हे वेक्टर लंब आहेत आणि त्यांची लांबी अनुक्रमे 3 आणि 4 आहे. सदिश उत्पादनाची लांबी शोधा 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

उपाय

सदिश उत्पादनाच्या वितरणाच्या गुणधर्मानुसार, आपण 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = लिहू शकतो. 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

असोसिएटिव्हिटीच्या गुणधर्मानुसार, आम्ही शेवटच्या अभिव्यक्तीमध्ये वेक्टर उत्पादनांच्या चिन्हाच्या बाहेर संख्यात्मक गुणांक हलवतो: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

सदिश उत्पादने a → × a → आणि b → × b → 0 आहेत कारण a → × a → = a → a → sin 0 = 0 आणि b → × b → = b → b → sin 0 = 0, नंतर 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...

वेक्टर उत्पादनाची अँटीकम्युटेटिव्हिटी सूचित करते - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. ...

सदिश उत्पादनाच्या गुणधर्मांचा वापर करून, आम्हाला समानता 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b → मिळते.

गृहीतकेनुसार, a → आणि b → हे वेक्टर लंब आहेत, म्हणजेच त्यांच्यामधील कोन π 2 आहे. आता फक्त सापडलेल्या मूल्यांना संबंधित सूत्रांमध्ये बदलणे बाकी आहे: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

उत्तर: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

क्रमाने वेक्टरच्या सदिश गुणाकाराची लांबी a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → बरोबर असते. त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्या दोन बाजूंच्या लांबीच्या निम्म्या गुणाकाराच्या गुणाकाराच्या या बाजूंमधील कोनाच्या साईनने गुणाकारल्यास (शालेय अभ्यासक्रमातून) आधीच ज्ञात असल्यामुळे. म्हणून, सदिश गुणाकाराची लांबी समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीची असते - दुप्पट त्रिकोण, म्हणजे a → आणि b → वेक्टरच्या रूपातील बाजूंचे गुणाकार, एका बिंदूपासून प्लॉट केलेले, ज्याच्या साईनद्वारे. त्यांच्यामधील कोन sin ∠ a →, b →.

हा सदिश उत्पादनाचा भौमितिक अर्थ आहे.

सदिश उत्पादनाचा भौतिक अर्थ

यांत्रिकीमध्ये, भौतिकशास्त्रातील एक शाखा, सदिश उत्पादनामुळे, आपण अवकाशातील एका बिंदूशी संबंधित बलाचा क्षण निर्धारित करू शकता.

व्याख्या ३

बिंदू A च्या सापेक्ष, बिंदू B वर F → लागू होण्याच्या क्षणापर्यंत, आमचा अर्थ खालील वेक्टर उत्पादन A B → × F → आहे.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ती निवडा आणि Ctrl + Enter दाबा

तीन वेक्टर आणि त्याचे गुणधर्म यांचे मिश्रित उत्पादन

मिश्र कार्यतीन सदिशांना समान संख्या म्हणतात. सूचित केले ... येथे पहिल्या दोन सदिशांचा वेक्टोरिअली गुणाकार केला जातो आणि नंतर परिणामी व्हेक्टरचा तिसऱ्या वेक्टरने स्केलरली गुणाकार केला जातो. अर्थात, असे उत्पादन एक विशिष्ट संख्या आहे.

मिश्रित उत्पादनाच्या गुणधर्मांचा विचार करा.

1. भौमितिक अर्थमिश्र कार्य. 3 सदिशांचे मिश्रित उत्पादन, एका चिन्हापर्यंत, या वेक्टरवर बांधलेल्या समांतर पाईपच्या आकारमानाच्या बरोबरीचे असते, जसे की कडांवर. ...

   अशा प्रकारे, आणि .

   

   पुरावा... सामान्य उत्पत्तीपासून वेक्टर बाजूला ठेवा आणि त्यांच्यावर समांतर पाईप तयार करा. आपण ते सूचित करू आणि लक्षात घ्या. डॉट उत्पादनाच्या व्याख्येनुसार

   असे गृहीत धरून आणि द्वारे सूचित करणे hसमांतर पाईपची उंची, आम्हाला आढळते.

   अशा प्रकारे, साठी

   जर, नंतर आणि. म्हणून, .

   या दोन्ही केसेस एकत्र करून, आम्हाला मिळते किंवा.

   विशेषतः, या गुणधर्माच्या पुराव्यावरून असे दिसून येते की जर सदिशांचा त्रिगुण उजवा असेल तर तो मिश्रित गुणाकार आहे आणि जर तो डावीकडे असेल तर.

2. कोणत्याही वेक्टरसाठी, समानता

   या मालमत्तेचा पुरावा मालमत्तेवरून मिळतो 1. खरंच, हे दाखवणे सोपे आहे आणि. शिवाय, "+" आणि "-" चिन्हे एकाच वेळी घेतली जातात, पासून वेक्टरमधील कोन आणि आणि आणि दोन्ही तीव्र किंवा ओबट्युस आहेत.

3. कोणत्याही दोन घटकांच्या क्रमपरिवर्तनानंतर, मिश्रित उत्पादनाचे चिन्ह बदलते.

   खरंच, जर आपण मिश्रित कामाचा विचार केला तर, उदाहरणार्थ, किंवा

4. मिश्र उत्पादन जर आणि फक्त जर घटकांपैकी एक शून्य असेल किंवा व्हेक्टर कॉप्लॅनर असेल.

   पुरावा.

   अशा प्रकारे, 3 वेक्टरच्या समतलतेसाठी आवश्यक आणि पुरेशी अट म्हणजे त्यांच्या मिश्रित उत्पादनाची शून्याची समानता. याव्यतिरिक्त, हे खालीलप्रमाणे आहे की तीन वेक्टर अवकाशात आधार बनवतात, जर.

   जर वेक्टर्स समन्वय स्वरूपात दिले असतील, तर असे दर्शवले जाऊ शकते की त्यांचे मिश्रित उत्पादन सूत्राद्वारे आढळते:

   .

   म्हणजेच, मिश्रित उत्पादन हे तिसऱ्या क्रमाच्या निर्धारकाच्या बरोबरीचे असते, ज्यामध्ये पहिल्या ओळीत पहिल्या वेक्टरचे निर्देशांक असतात, दुसऱ्या ओळीत दुसऱ्या वेक्टरचे निर्देशांक असतात आणि तिसऱ्या ओळीत तिसरा वेक्टर असतो.

   उदाहरणे.

अंतराळातील विश्लेषणात्मक भूमिती

समीकरण F (x, y, z)= 0 स्पेसमध्ये परिभाषित करते Oxyzकाही पृष्ठभाग, म्हणजे बिंदूंचे स्थान ज्यांचे समन्वय x, y, zहे समीकरण पूर्ण करा. या समीकरणाला पृष्ठभागाचे समीकरण म्हणतात, आणि x, y, z- वर्तमान निर्देशांक.

तथापि, बर्‍याचदा पृष्ठभाग समीकरणाद्वारे निर्दिष्ट केले जात नाही, परंतु अंतराळातील बिंदूंचा संच म्हणून ज्यामध्ये एक किंवा दुसरी मालमत्ता असते. या प्रकरणात, त्याच्या भौमितिक गुणधर्मांवर आधारित पृष्ठभागाचे समीकरण शोधणे आवश्यक आहे.

विमान.

नॉर्मल प्लेन वेक्टर.

दिलेल्या बिंदूमधून विमान जाण्यासाठी समीकरण

अंतराळातील अनियंत्रित विमान σ विचारात घ्या. या समतलाला लंब असलेला वेक्टर आणि काही स्थिर बिंदू निर्दिष्ट करून त्याची स्थिती निश्चित केली जाते मी 0(x ०, y 0, z 0) विमानात पडलेला σ.

समतल σ ला लंब असलेला सदिश म्हणतात सामान्यया विमानाचा वेक्टर. वेक्टरला निर्देशांक असू द्या.

दिलेल्या बिंदूतून जाणारे समतल σ चे समीकरण काढू मी 0आणि सामान्य वेक्टर असणे. हे करण्यासाठी, विमान σ वर एक अनियंत्रित बिंदू घ्या M (x, y, z)आणि वेक्टरचा विचार करा.

कोणत्याही बिंदूसाठी एमÎ σ हा सदिश आहे. त्यामुळे, त्यांचे स्केलर उत्पादन शून्याच्या बरोबरीचे आहे. ही समानता हीच स्थिती आहे एमÎ σ. हे या विमानाच्या सर्व बिंदूंसाठी वैध आहे आणि बिंदू होताच त्याचे उल्लंघन केले जाते एमविमानाच्या बाहेर असेल σ.

जर आपण बिंदूच्या त्रिज्या वेक्टरद्वारे दर्शवितो एम, बिंदूची त्रिज्या वेक्टर आहे मी 0, नंतर समीकरण फॉर्ममध्ये देखील लिहिले जाऊ शकते

या समीकरणाला म्हणतात वेक्टरविमानाचे समीकरण. चला ते समन्वय स्वरूपात लिहू. तेंव्हापासून

तर, आम्हाला या बिंदूवरून विमानाचे समीकरण मिळाले. अशा प्रकारे, विमानाचे समीकरण तयार करण्यासाठी, आपल्याला सामान्य वेक्टरचे निर्देशांक आणि विमानावर पडलेल्या काही बिंदूचे निर्देशांक माहित असणे आवश्यक आहे.

लक्षात घ्या की विमानाचे समीकरण हे वर्तमान निर्देशांकांच्या संदर्भात 1ल्या अंशाचे समीकरण आहे x, yआणि z.

उदाहरणे.

विमानाचे सामान्य समीकरण

हे दर्शविले जाऊ शकते की कार्टेशियन निर्देशांकांच्या संदर्भात प्रथम पदवीचे कोणतेही समीकरण x, y, zहे एका विशिष्ट विमानाचे समीकरण आहे. हे समीकरण असे लिहिले आहे:

Ax + By + Cz + D=0

आणि कॉल केला सामान्य समीकरणविमान आणि निर्देशांक A, B, Cविमानाच्या सामान्य वेक्टरचे निर्देशांक येथे आहेत.

सामान्य समीकरणाच्या विशेष प्रकरणांचा विचार करा. समीकरणातील एक किंवा अनेक गुणांक गायब झाल्यास समन्वय प्रणालीच्या सापेक्ष विमान कसे स्थित आहे ते शोधू या.

A ही अक्षावरील विमानाने कापलेल्या रेषेची लांबी आहे बैल... त्याचप्रमाणे, एक दाखवू शकता bआणि c- अक्षांवर प्रश्नात विमानाने कापलेल्या खंडांची लांबी ओयआणि ओझ.

विमाने बांधण्यासाठी रेषाखंडांमध्ये समतल समीकरण वापरणे सोयीचे आहे.

७.१. क्रॉस उत्पादनाची व्याख्या

तीन नॉन-कॉप्लनर व्हेक्टर a, b आणि c, दर्शविलेल्या क्रमाने घेतलेले, जर, तिसऱ्या वेक्टर c च्या शेवटी, पहिल्या व्हेक्टर a पासून दुसऱ्या वेक्टर b पर्यंतचे सर्वात लहान परिभ्रमण घड्याळाच्या उलट दिशेने दिसले तर, उजवा ट्रिपलेट तयार करतात. डावीकडे, घड्याळाच्या दिशेने असल्यास (चित्र पहा. सोळा).

व्हेक्टर b द्वारे वेक्टर a चे सदिश गुणाकार सदिश c आहे, जे:

1. a आणि b सदिशांना लंब, म्हणजेच c^a आणि c ^ b;

2. व्हेक्टर a आणि वर बांधलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाइतकी लांबी संख्यात्मकदृष्ट्या समान असतेbबाजूंप्रमाणे (अंजीर पहा. १७), म्हणजे.

3. व्हेक्टर a, b आणि c उजव्या हाताने तिहेरी बनवतात.

क्रॉस उत्पादनाला x b किंवा [a, b] असे दर्शविले जाते. सदिश उत्पादनाची व्याख्या थेट सदिश i मधील खालील संबंध सूचित करते, jआणि k(चित्र 18 पहा):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
उदाहरणार्थ, ते सिद्ध करूया i хj = k.

1) k^i, k ^ j;

2) | k | = 1, पण | i x j| = |मी | जे | पाप (90 °) = 1;

3) सदिश i, j आणि kउजव्या हाताने तिप्पट तयार करा (चित्र 16 पहा).

७.२. वेक्टर उत्पादन गुणधर्म

1. जेव्हा घटकांची पुनर्रचना केली जाते, तेव्हा वेक्टर उत्पादन चिन्ह बदलते; a xb = (b xa) (चित्र 19 पहा).

व्हेक्टर a xb आणि b समरेखीय आहेत, सारखे मोड्युली आहेत (समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्र अपरिवर्तित राहते), परंतु विरुद्ध दिशानिर्देश (तिप्पट a, b, a xb आणि a, b, b x a विरुद्ध दिशा). ते आहे एक xb = -(b xa).

2. वेक्टर उत्पादनामध्ये स्केलर घटकाच्या संदर्भात एकत्रित गुणधर्म असतो, म्हणजेच l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

l > 0 द्या. सदिश l (a xb) हे a आणि b वेक्टरला लंब आहे. वेक्टर ( lअ) x b a आणि vectors ला देखील लंब आहे b(वेक्टर a, lआणि त्याच विमानात झोपा). त्यामुळे वेक्टर l(a xb) आणि ( lअ) x bसमरेख साहजिकच त्यांची दिशा जुळते. समान लांबी आहे:

तर l(a хb) = lएक xb. साठी देखील असेच सिद्ध केले जाऊ शकते l<0.

3. दोन शून्य सदिश a आणि bसमरेख जर आणि फक्त त्यांचे क्रॉस गुणन शून्य वेक्टरच्या समान असेल, म्हणजे a || b<=>a xb = 0.

विशेषतः, i * i = j * j = k * k = 0.

4. वेक्टर उत्पादनामध्ये वितरण गुणधर्म आहेत:

(a + b) xc = a xc + b xc

ते आम्ही पुराव्याशिवाय मान्य करू.

७.३. निर्देशांकांच्या दृष्टीने क्रॉस उत्पादनाची अभिव्यक्ती

आम्ही व्हेक्टर i च्या क्रॉस उत्पादन सारणीचा वापर करू, jआणि k:

जर पहिल्या वेक्टरपासून दुसऱ्यापर्यंतच्या सर्वात लहान मार्गाची दिशा बाणाच्या दिशेशी जुळत असेल, तर उत्पादन तिसऱ्या वेक्टरच्या बरोबरीचे असेल, नसल्यास, तिसरा वेक्टर वजा चिन्हाने घेतला जातो.

तेथे दोन सदिश a = a x i + a y द्या j+ a z kआणि b = b x i+ b y j+ b z k... चला या सदिशांचे क्रॉस प्रॉडक्ट शोधू, त्यांना बहुपदी (क्रॉस प्रॉडक्टच्या गुणधर्मांनुसार) म्हणून गुणाकार करू.

परिणामी सूत्र आणखी लहान लिहिले जाऊ शकते:

कारण समानतेची उजवी बाजू (7.1) पहिल्या पंक्तीच्या घटकांच्या दृष्टीने तिसऱ्या क्रमाच्या निर्धारकाच्या विस्ताराशी संबंधित आहे. समानता (7.2) लक्षात ठेवणे सोपे आहे.

७.४. वेक्टर कार्याचे काही अनुप्रयोग

कोलिनियर वेक्टर्सची स्थापना

समांतरभुज चौकोन आणि त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधणे

वेक्टरच्या वेक्टर उत्पादनाच्या व्याख्येनुसार aआणि ब | a xb | =|अ | * |b | sin g, म्हणजेच S जोड्या = |a x b |. आणि, म्हणून, D S = 1/2 | a x b |.

एका बिंदूशी संबंधित बलाच्या क्षणाचे निर्धारण

बिंदू A वर बल लागू करू द्या F = ABते जाऊ द्या ओ- अंतराळातील काही बिंदू (चित्र 20 पहा).

हे भौतिकशास्त्रावरून कळते शक्तीचा क्षण एफ बिंदू सापेक्ष ओवेक्टर म्हणतात मी,जे बिंदूमधून जाते ओआणि:

1) बिंदूंमधून जाणाऱ्या विमानाला लंब ओ, ए, बी;

2) संख्यात्मकदृष्ट्या प्रति खांद्याच्या बलाच्या गुणाकाराच्या समान

3) OA आणि AB या सदिशांसह उजवा त्रिगुण बनवतो.

म्हणून, M = OA x F.

रोटेशनची रेषीय गती शोधणे

गती विटोकदार शरीराचा बिंदू M जो कोनीय वेगाने फिरतो wएका स्थिर अक्षाभोवती, यूलर सूत्र v = w хr द्वारे निर्धारित केले जाते, जेथे r = ОМ, जेथे О हा अक्षाचा काही निश्चित बिंदू आहे (चित्र 21 पहा).

या धड्यात, आम्ही आणखी दोन वेक्टर ऑपरेशन्स पाहू: वेक्टरचे वेक्टर उत्पादनआणि वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन (लगेच लिंक करा, कोणाला त्याची गरज आहे)... हे ठीक आहे, कधीकधी असे घडते की पूर्ण आनंदासाठी, व्यतिरिक्त वेक्टरचे डॉट उत्पादन, ते अधिकाधिक घेते. ऐसें वेक्टर व्यसन । आपण विश्लेषणात्मक भूमितीच्या जंगलात उतरत आहोत असा आभास होऊ शकतो. हे खरे नाही. उच्च गणिताच्या या विभागात, बुराटिनोसाठी पुरेसे सरपण वगळता सामान्यतः पुरेसे सरपण नसते. खरं तर, सामग्री अतिशय सामान्य आणि सोपी आहे - त्याचपेक्षा फारच क्लिष्ट आहे स्केलर उत्पादन, अगदी कमी ठराविक कार्ये असतील. विश्लेषणात्मक भूमितीतील मुख्य गोष्ट, अनेकांना पटली असेल किंवा आधीच खात्री पटली असेल, गणनामध्ये चूक होऊ नये. शब्दलेखन म्हणून पुनरावृत्ती करा आणि तुम्हाला आनंद होईल =)

क्षितिजावर वीज पडल्याप्रमाणे दूर कुठेतरी वेक्टर चमकत असतील तर काही फरक पडत नाही, धड्यापासून सुरुवात करा डमीसाठी वेक्टरवेक्टरचे मूलभूत ज्ञान पुनर्प्राप्त करण्यासाठी किंवा पुन्हा मिळवण्यासाठी. अधिक तयार वाचक निवडकपणे माहितीशी परिचित होऊ शकतात, मी बहुतेकदा व्यावहारिक कामांमध्ये आढळणाऱ्या उदाहरणांचा सर्वात संपूर्ण संग्रह गोळा करण्याचा प्रयत्न केला.

तुम्हाला लगेच कसे संतुष्ट करावे? जेव्हा मी लहान होतो तेव्हा मला दोन किंवा तीन बॉलमध्ये कसे खेळायचे हे माहित होते. कुशलतेने ते बाहेर वळले. आता तुम्हाला अजिबात भांडण करावे लागणार नाही, कारण आम्ही विचार करू फक्त अवकाशीय वेक्टर, आणि दोन निर्देशांक असलेले प्लेन वेक्टर सोडले जातील. का? अशाप्रकारे या क्रियांचा जन्म झाला - सदिशांचे वेक्टर आणि मिश्रित उत्पादन परिभाषित केले जातात आणि त्रिमितीय जागेत कार्य करतात. हे आधीच सोपे आहे!

हे ऑपरेशन, डॉट उत्पादनाप्रमाणेच, समाविष्ट आहे दोन वेक्टर... ही अविनाशी अक्षरे असू दे.

कृती स्वतःच दर्शविलेखालील प्रकारे: . इतर पर्याय आहेत, परंतु मला अशा प्रकारे व्हेक्टरचे वेक्टर उत्पादन दर्शविण्याची सवय आहे, क्रॉससह चौरस कंसात.

आणि लगेच प्रश्न: जर मध्ये वेक्टरचे डॉट उत्पादनदोन सदिश गुंतलेले आहेत, आणि इथेही, दोन सदिशांचा गुणाकार केला जातो काय फरक आहे? स्पष्ट फरक आहे, सर्व प्रथम, निकालात:

व्हेक्टरच्या बिंदू उत्पादनाचा परिणाम NUMBER आहे:

सदिशांच्या सदिश उत्पादनाचा परिणाम वेक्टरमध्ये होतो:, म्हणजे, आपण सदिश गुणाकार करतो आणि पुन्हा सदिश मिळवतो. बंद क्लब. वास्तविक, म्हणून ऑपरेशनचे नाव. वेगवेगळ्या शैक्षणिक साहित्यात, पदनाम देखील बदलू शकतात, मी पत्र वापरेन.

क्रॉस उत्पादनाची व्याख्या

प्रथम चित्रासह व्याख्या असेल, नंतर टिप्पण्या.

व्याख्या: वेक्टर उत्पादनाद्वारे नॉन-कॉलिनियरवेक्टर, या क्रमाने घेतले, वेक्टर म्हणतात, लांबीजे संख्यात्मकदृष्ट्या समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाइतकाया वेक्टरवर बांधलेले; वेक्टर ऑर्थोगोनल ते वेक्टर, आणि निर्देशित केले आहे जेणेकरून आधाराला योग्य अभिमुखता असेल:

आम्ही हाडे द्वारे व्याख्या विश्लेषण, अनेक मनोरंजक गोष्टी आहेत!

म्हणून, खालील आवश्यक मुद्दे हायलाइट केले जाऊ शकतात:

1) मूळ वेक्टर, व्याख्येनुसार, लाल बाणांनी दर्शविलेले समरेखित नाही... समरेख वेक्टर्सच्या बाबतीत थोड्या वेळाने विचार करणे योग्य होईल.

2) सदिश घेतले जातात काटेकोरपणे परिभाषित क्रमाने: – "अ" ला "bh" ने गुणाकार केला जातो, आणि "bh" ते "a" नाही. सदिश गुणाकाराचा परिणामवेक्टर आहे, जो निळ्या रंगात चिन्हांकित आहे. जर व्हेक्टर उलट क्रमाने गुणाकार केले तर, आपल्याला लांबीच्या समान आणि विरुद्ध दिशेने (किरमिजी रंगाचा) वेक्टर मिळेल. म्हणजेच समानता खरी आहे .

3) आता सदिश उत्पादनाच्या भूमितीय अर्थाशी परिचित होऊ या. हा एक अतिशय महत्त्वाचा मुद्दा आहे! निळ्या वेक्टरची LENGTH (आणि म्हणून, किरमिजी वेक्टर) ही व्हेक्टरवर बांधलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाच्या संख्यात्मकदृष्ट्या समान असते. आकृतीमध्ये, हा समांतरभुज चौकोन काळ्या रंगात छायांकित आहे.

नोंद : रेखाचित्र योजनाबद्ध आहे, आणि अर्थातच, क्रॉस उत्पादनाची नाममात्र लांबी समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीची नाही.

आम्हाला भौमितिक सूत्रांपैकी एक आठवतो: समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ समीप बाजूंच्या गुणाकाराइतके त्यांच्यामधील कोनाच्या साइनने असते... म्हणून, वरील आधारावर, सदिश उत्पादनाची LENGTH मोजण्याचे सूत्र वैध आहे:

मी यावर जोर देतो की सूत्रामध्ये आपण वेक्टरच्या लांबीबद्दल बोलत आहोत, वेक्टरबद्दल नाही. व्यावहारिक मुद्दा काय आहे? आणि याचा अर्थ असा आहे की विश्लेषणात्मक भूमितीच्या समस्यांमध्ये, समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्र बहुतेक वेळा सदिश उत्पादनाच्या संकल्पनेद्वारे आढळते:

चला दुसरा महत्वाचा फॉर्म्युला घेऊ. समांतरभुज चौकोनाचा कर्ण (लाल ठिपके असलेली रेषा) त्याला दोन समान त्रिकोणांमध्ये विभागतो. म्हणून, वेक्टर (लाल शेडिंग) वर बांधलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ सूत्राद्वारे शोधले जाऊ शकते:

4) एक तितकेच महत्त्वाचे तथ्य हे आहे की वेक्टर व्हेक्टरसाठी ऑर्थोगोनल आहे, म्हणजे, ... अर्थात, विरुद्ध दिशेने निर्देशित केलेला वेक्टर (किरमिजी रंगाचा बाण) देखील मूळ वेक्टरसाठी ऑर्थोगोनल आहे.

5) सदिश निर्देशित केले जाते जेणेकरून आधारत्यात आहे बरोबरअभिमुखता बद्दल धड्यात नवीन आधारावर संक्रमणमी याबद्दल पुरेसे तपशीलवार बोललो विमान अभिमुखता, आणि आता आपण जागेचे अभिमुखता काय आहे ते शोधू. मी तुमच्या बोटांवर स्पष्टीकरण देईन उजवा हात... मानसिकरित्या एकत्र करा तर्जनीवेक्टर सह आणि मधले बोटवेक्टर सह. अनामिका आणि पिंकीते आपल्या हाताच्या तळहातावर दाबा. परिणामी अंगठा- क्रॉस उत्पादन वर दिसेल. हा उजवा-देणारं आधार आहे (आकृतीमध्ये तो आहे). आता वेक्टर बदला ( निर्देशांक आणि मधली बोटं) ठिकाणी, परिणामी, अंगठा उलगडेल आणि क्रॉस उत्पादन आधीच खाली दिसेल. हा देखील एक उजवा-देणारं आधार आहे. कदाचित तुम्हाला प्रश्न पडला असेल: डाव्या अभिमुखतेचा आधार काय आहे? त्याच बोटांना "नियुक्त करा". डावा हातव्हेक्टर, आणि स्पेसचा डावा आधार आणि डावीकडे अभिमुखता मिळवा (या प्रकरणात, अंगठा खालच्या वेक्टरच्या दिशेने स्थित असेल)... अलंकारिकदृष्ट्या, हे तळ वेगवेगळ्या दिशांनी जागेला "वळवतात" किंवा ओरिएंट करतात. आणि ही संकल्पना काहीतरी दूरगामी किंवा अमूर्त म्हणून मानली जाऊ नये - उदाहरणार्थ, सर्वात सामान्य आरशाद्वारे जागेचे अभिमुखता बदलले जाते आणि जर तुम्ही "दिसणाऱ्या काचेतून परावर्तित वस्तू बाहेर काढली", तर सर्वसाधारण बाबतीत ते "मूळ" सह एकत्र करणे शक्य होणार नाही. तसे, आरशात तीन बोटे आणा आणि प्रतिबिंबाचे विश्लेषण करा ;-)

... हे किती चांगले आहे की आता तुम्हाला माहिती आहे उजवीकडे आणि डाव्या दिशेनेआधार, कारण अभिमुखतेतील बदलाबद्दल काही व्याख्यात्यांची विधाने भयानक आहेत =)

समरेखीय वेक्टरचे क्रॉस उत्पादन

व्याख्येचे तपशीलवार विश्लेषण केले गेले आहे, जेव्हा वेक्टर समरेखित असतात तेव्हा काय होते हे शोधणे बाकी आहे. जर व्हेक्टर समरेषीय असतील, तर ते एका सरळ रेषेवर स्थित असू शकतात आणि आपला समांतरभुज चौकोन देखील एका सरळ रेषेत "दुमडतो". असे क्षेत्र, गणितज्ञ म्हणतात, क्षीण होणेसमांतरभुज चौकोन शून्य आहे. हेच सूत्रानुसार येते - शून्य किंवा 180 अंशांची साइन शून्य बरोबर आहे, याचा अर्थ क्षेत्र शून्य आहे.

अशा प्रकारे, जर, तर आणि ... लक्षात घ्या की क्रॉस उत्पादन स्वतः शून्य वेक्टरच्या बरोबरीचे आहे, परंतु व्यवहारात याकडे दुर्लक्ष केले जाते आणि असे लिहिले जाते की ते देखील शून्य आहे.

एक विशेष केस म्हणजे वेक्टरचे स्वतःहून वेक्टर उत्पादन आहे:

क्रॉस उत्पादन वापरून, तुम्ही त्रिमितीय व्हेक्टरची समरेखता तपासू शकता आणि आम्ही इतरांबरोबरच या समस्येचे देखील विश्लेषण करू.

व्यावहारिक उदाहरणे सोडवण्यासाठी, आपल्याला आवश्यक असू शकते त्रिकोणमितीय सारणीत्यातून साइन मूल्ये शोधण्यासाठी.

बरं, आग लावूया:

उदाहरण १

a) जर सदिशांच्या सदिश गुणाकाराची लांबी शोधा

b) जर सदिशांवर बांधलेल्या समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ शोधा

उपाय: नाही, ही टायपो नाही, मी मुद्दाम अटीच्या क्लॉजमधील प्रारंभिक डेटा समान केला आहे. कारण उपायांची रचना वेगळी असेल!

अ) अटीनुसार, ते शोधणे आवश्यक आहे लांबीवेक्टर (वेक्टर उत्पादन). संबंधित सूत्रानुसार:

उत्तर द्या:

प्रश्न लांबीबद्दल विचारला असल्याने, उत्तरात आम्ही परिमाण - एकके दर्शवितो.

ब) अटीनुसार, ते शोधणे आवश्यक आहे चौरसवेक्टरवर बांधलेला समांतरभुज चौकोन. या समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ संख्यात्मकदृष्ट्या वेक्टर उत्पादनाच्या लांबीइतके आहे:

उत्तर द्या:

कृपया लक्षात घ्या की वेक्टर उत्पादनाविषयीचे उत्तर अजिबात प्रश्नाबाहेर नाही, आम्हाला याबद्दल विचारले गेले होते आकृती क्षेत्र, अनुक्रमे, परिमाण चौरस एकके आहे.

आम्ही नेहमी स्थितीनुसार काय शोधणे आवश्यक आहे ते पाहतो आणि त्यावर आधारित, आम्ही तयार करतो स्पष्टउत्तर हे शाब्दिकतेसारखे वाटू शकते, परंतु शिक्षकांमध्ये पुरेसे साहित्यिक आहेत आणि चांगल्या संधी असलेले कार्य पुनरावृत्तीसाठी परत येईल. जरी हे विशेषतः तणावग्रस्त नसले तरी - जर उत्तर चुकीचे असेल, तर एखाद्या व्यक्तीला असे समजते की त्या व्यक्तीला साध्या गोष्टी समजत नाहीत आणि / किंवा कार्याचे सार समजत नाही. हा क्षण नेहमी नियंत्रणात ठेवला पाहिजे, उच्च गणितात आणि इतर विषयांमधील कोणतीही समस्या सोडवता येईल.

मोठे अक्षर "en" कुठे गेले? तत्वतः, ते याव्यतिरिक्त सोल्यूशनमध्ये अडकले जाऊ शकते, परंतु रेकॉर्डिंग लहान करण्यासाठी, मी तसे केले नाही. मला आशा आहे की प्रत्येकाला ते समजले असेल आणि ते त्याच गोष्टीचे पदनाम आहे.

स्वतः करा समाधानाचे लोकप्रिय उदाहरण:

उदाहरण २

जर सदिशांवर बांधलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा

क्रॉस उत्पादनाद्वारे त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्याचे सूत्र व्याख्याच्या टिप्पण्यांमध्ये दिले आहे. धड्याच्या शेवटी उपाय आणि उत्तर.

सराव मध्ये, कार्य खरोखर खूप सामान्य आहे, त्रिकोण सामान्यतः आपल्याला छळ करू शकतात.

इतर समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, आम्हाला आवश्यक आहे:

वेक्टर उत्पादन गुणधर्म

आम्ही क्रॉस उत्पादनाच्या काही गुणधर्मांचा आधीच विचार केला आहे, तथापि, मी त्यांना या सूचीमध्ये समाविष्ट करेन.

अनियंत्रित वेक्टर आणि अनियंत्रित संख्येसाठी, खालील गुणधर्म वैध आहेत:

1) माहितीच्या इतर स्त्रोतांमध्ये, हा आयटम सहसा गुणधर्मांमध्ये हायलाइट केला जात नाही, परंतु व्यावहारिक दृष्टीने ते खूप महत्वाचे आहे. तर असू दे.

2) - मालमत्तेची देखील वर चर्चा केली आहे, कधीकधी त्याला म्हणतात विरोधी कम्युटेटिव्हिटी... दुसऱ्या शब्दांत, वेक्टरचा क्रम महत्त्वाचा आहे.

3) - संयोजन किंवा सहयोगीवेक्टर उत्पादनाचे नियम. वेक्टर उत्पादनाच्या बाहेर स्थिरांक अखंडपणे काढले जातात. खरंच, त्यांनी तिथे काय करावे?

4) - वितरण किंवा वितरणात्मकवेक्टर उत्पादनाचे नियम. ब्रॅकेटच्या विस्तारातही कोणतीही समस्या नाही.

प्रात्यक्षिक म्हणून, एक लहान उदाहरण विचारात घ्या:

उदाहरण ३

तर शोधा

उपाय:अटीनुसार, क्रॉस उत्पादनाची लांबी शोधणे पुन्हा आवश्यक आहे. चला आमची लघुप्रतिमा लिहू:

(1) सहयोगी कायद्यानुसार, आम्ही स्थिरांक सदिश उत्पादनाच्या विभाजनाच्या बाहेर हलवतो.

(२) आम्ही स्थिरांक मॉड्यूलमधून बाहेर काढतो, तर मॉड्यूल वजा चिन्ह "खातो". लांबी नकारात्मक असू शकत नाही.

(३) पुढील गोष्टी स्पष्ट आहेत.

उत्तर द्या:

आगीवर लाकूड ठेवण्याची वेळ आली आहे:

उदाहरण ४

जर सदिशांवर बांधलेल्या त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाची गणना करा

उपाय: त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ सूत्राद्वारे आढळते ... पकड अशी आहे की "त्से" आणि "दे" हे सदिश स्वतःच सदिशांची बेरीज म्हणून दर्शविले जातात. येथे अल्गोरिदम मानक आहे आणि धड्याच्या 3 आणि 4 उदाहरणांची आठवण करून देणारा आहे. वेक्टरचे डॉट उत्पादन... स्पष्टतेसाठी, समाधानाचे तीन टप्प्यांत विभाजन करूया:

1) पहिल्या टप्प्यावर, आम्ही सदिश उत्पादनास वेक्टर उत्पादनाच्या संदर्भात व्यक्त करतो, खरेतर, वेक्टरला वेक्टरच्या संदर्भात व्यक्त करा... लांबीबद्दल अद्याप एक शब्द नाही!

(1) वेक्टर अभिव्यक्ती बदला.

(२) वितरण नियमांचा वापर करून, आपण बहुपदांच्या गुणाकाराच्या नियमानुसार कंसाचा विस्तार करतो.

(३) सहयोगी कायदे वापरून, आम्ही सर्व स्थिरांक सदिश उत्पादनांच्या बाहेर हलवतो. थोड्या अनुभवाने, क्रिया 2 आणि 3 एकाच वेळी करता येतात.

(4) पहिल्या आणि शेवटच्या संज्ञा एका सुखद गुणधर्मामुळे शून्य (शून्य सदिश) समान आहेत. दुसऱ्या टर्ममध्ये, आम्ही व्हेक्टर उत्पादनाची अँटीकम्युटेटिव्हिटी गुणधर्म वापरतो:

(५) आम्ही समान अटी सादर करतो.

परिणामी, वेक्टर व्हेक्टरच्या संदर्भात व्यक्त केले गेले, जे साध्य करणे आवश्यक होते:

२) दुस-या टप्प्यावर, आपल्याला आवश्यक असलेल्या वेक्टर उत्पादनाची लांबी सापडते. ही क्रिया उदाहरण ३ सारखी आहे:

३) आवश्यक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा:

टप्पे 2-3 निर्णय एका ओळीत पूर्ण केले जाऊ शकतात.

उत्तर द्या:

चाचणी पेपर्समध्ये विचारात घेतलेली समस्या अगदी सामान्य आहे, स्वतंत्र निराकरणासाठी येथे एक उदाहरण आहे:

उदाहरण ५

तर शोधा

ट्यूटोरियलच्या शेवटी एक लहान उपाय आणि उत्तर. आधीच्या उदाहरणांचा अभ्यास करताना तुम्ही किती सावध होता ते पाहू या ;-)

कोऑर्डिनेट्समधील वेक्टरचे वेक्टर उत्पादन

सूत्र खरोखर सोपे आहे: निर्धारकाच्या वरच्या ओळीत आपण समन्वय सदिश लिहितो, दुसऱ्या आणि तिसऱ्या ओळीत आपण वेक्टरचे निर्देशांक "ठेवले" आणि आम्ही ठेवतो. कठोर क्रमाने- प्रथम वेक्टर "ve" चे निर्देशांक, नंतर वेक्टर "डबल-वे" चे निर्देशांक. जर वेक्टर वेगळ्या क्रमाने गुणाकार करणे आवश्यक असेल, तर रेषा बदलल्या पाहिजेत:

उदाहरण 10

खालील स्पेस वेक्टर समरेषीय आहेत का ते तपासा:
अ)
ब)

उपाय: चेक या धड्यातील विधानांपैकी एका विधानावर आधारित आहे: जर सदिश समरेषीय असतील, तर त्यांचे क्रॉस उत्पादन शून्य (शून्य सदिश) च्या बरोबरीचे आहे: .

अ) क्रॉस उत्पादन शोधा:

अशा प्रकारे, वेक्टर समरेखीय नसतात.

b) क्रॉस उत्पादन शोधा:

उत्तर द्या: अ) समरेखीय नाही, ब)

येथे, कदाचित, वेक्टरच्या वेक्टर उत्पादनाविषयी सर्व मूलभूत माहिती आहे.

हा विभाग फार मोठा नसेल, कारण अशी अनेक कार्ये नाहीत जिथे वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन वापरले जाते. खरं तर, सर्व काही व्याख्या, भूमितीय अर्थ आणि दोन कार्यरत सूत्रांवर अवलंबून असेल.

सदिशांचे मिश्रित गुण हे तीन सदिशांचे गुणाकार आहे:

म्हणून ते एका छोट्या ट्रेनसह रांगेत उभे आहेत आणि वाट पाहत आहेत, ते शोधण्याची प्रतीक्षा करू शकत नाहीत.

प्रथम, पुन्हा व्याख्या आणि चित्र:

व्याख्या: मिश्र कार्य नॉन-कॉप्लनरवेक्टर, या क्रमाने घेतलेअसे म्हणतात समांतर पाईपचे आकारमान, दिलेल्या सदिशांवर तयार केलेले, आधार बरोबर असल्यास “+” चिन्ह आणि आधार सोडल्यास “-” चिन्ह दिले जाते.

चला रेखाचित्र पूर्ण करूया. आमच्यासाठी अदृश्य रेषा एका ठिपक्या रेषेने काढल्या आहेत:

चला व्याख्या मध्ये जाऊया:

2) सदिश घेतले जातात एका विशिष्ट क्रमाने, म्हणजे, उत्पादनातील वेक्टरचे क्रमपरिवर्तन, जसे आपण अंदाज लावू शकता, परिणामांशिवाय पास होत नाही.

3) भूमितीय अर्थावर टिप्पणी करण्यापूर्वी, मी एक स्पष्ट वस्तुस्थिती लक्षात घेईन: वेक्टरचे मिश्रित उत्पादन NUMBER आहे:. शैक्षणिक साहित्यात, डिझाइन काहीसे वेगळे असू शकते, मी एक मिश्रित कार्य दर्शविण्यासाठी वापरले जाते आणि "पीई" अक्षराद्वारे गणना केल्याचा परिणाम.

व्याख्येनुसार मिश्र उत्पादन हे समांतर पाईपचे आकारमान आहेवेक्टरवर बांधलेले (आकृती लाल वेक्टर आणि काळ्या रेषांनी काढलेली आहे). म्हणजेच, ही संख्या या समांतर पाईपच्या आकारमानाच्या बरोबरीची आहे.

नोंद : रेखाचित्र योजनाबद्ध आहे.

४) बेस आणि स्पेस ओरिएंटेशन या संकल्पनेचा नव्याने त्रास करू नका. अंतिम भागाचा अर्थ असा आहे की व्हॉल्यूममध्ये वजा चिन्ह जोडले जाऊ शकते. सोप्या शब्दात, मिश्रित कार्य नकारात्मक असू शकते:.

व्हेक्टरवर बांधलेल्या समांतर पाईपच्या व्हॉल्यूमची गणना करण्यासाठीचे सूत्र थेट व्याख्येचे अनुसरण करते.

या लेखात, आपण दोन सदिशांच्या क्रॉस उत्पादनाच्या संकल्पनेवर विचार करू. आम्ही आवश्यक व्याख्या देऊ, वेक्टर उत्पादनाचे निर्देशांक शोधण्यासाठी एक सूत्र लिहू, त्याचे गुणधर्म सूचीबद्ध करू आणि त्याचे समर्थन करू. त्यानंतर, आम्ही दोन सदिशांच्या सदिश गुणाकाराच्या भौमितीय अर्थावर विचार करू आणि विविध वैशिष्ट्यपूर्ण उदाहरणांच्या उपायांचा विचार करू.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

क्रॉस उत्पादनाची व्याख्या.

सदिश उत्पादनाची व्याख्या करण्यापूर्वी, त्रिमितीय जागेतील वेक्टर्सच्या क्रमबद्ध ट्रिपलेटचे अभिमुखता शोधू या.

एका बिंदूपासून वेक्टर बाजूला ठेवा. वेक्टरच्या दिशेनुसार, तिहेरी उजवीकडे किंवा डावीकडे असू शकते. वेक्टरपासून सर्वात लहान परिभ्रमण कसे होते ते वेक्टरच्या शेवटी पाहू. जर सर्वात लहान परिभ्रमण घड्याळाच्या उलट दिशेने होत असेल, तर व्हेक्टरचे तिप्पट म्हणतात बरोबर, अन्यथा - बाकी.

आता आपण दोन नॉन-कॉलिनियर वेक्टर घेतो आणि. व्हेक्टर बाजूला ठेवू आणि बिंदू A पासून. चला आणि आणि दोन्हीला लंबवत काही वेक्टर बनवू. साहजिकच, सदिश बांधताना, आपण दोन गोष्टी करू शकतो, त्याला एक दिशा देऊन किंवा विरुद्ध (चित्र पहा).

वेक्टरच्या दिशेवर अवलंबून, व्हेक्टरचा क्रमबद्ध तिहेरी उजवा किंवा डावीकडे असू शकतो.

तर आपण सदिश उत्पादनाच्या व्याख्येच्या जवळ आलो आहोत. हे त्रिमितीय जागेच्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये दिलेले दोन सदिशांसाठी दिले जाते.

व्याख्या.

दोन सदिशांचे सदिश उत्पादनआणि, त्रिमितीय जागेच्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये दिलेला, त्याला वेक्टर असे म्हणतात

सदिशांचे वेक्टर उत्पादन आणि म्हणून दर्शविले जाते.

वेक्टर उत्पादन समन्वय.

आता व्हेक्टर उत्पादनाची दुसरी व्याख्या देऊ, जी तुम्हाला दिलेल्या वेक्टरच्या निर्देशांकांद्वारे त्याचे समन्वय शोधू देते आणि.

व्याख्या.

त्रिमितीय जागेच्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये दोन वेक्टरचे क्रॉस उत्पादन आणि एक वेक्टर आहे, जेथे समन्वय वेक्टर आहेत.

ही व्याख्या आपल्याला समन्वय स्वरूपात क्रॉस उत्पादन देते.

तिसऱ्या क्रमाच्या चौरस मॅट्रिक्सच्या निर्धारकाच्या रूपात वेक्टर उत्पादनाचे प्रतिनिधित्व करणे सोयीचे आहे, ज्याची पहिली पंक्ती एकक वेक्टर आहे, दुसऱ्या पंक्तीमध्ये वेक्टरचे निर्देशांक आहेत आणि तिसऱ्या ओळीत निर्देशांक आहेत. दिलेल्या आयताकृती समन्वय प्रणालीतील वेक्टर:

जर आपण हा निर्धारक पहिल्या ओळीच्या घटकांद्वारे विस्तृत केला, तर आपल्याला निर्देशांकातील वेक्टर उत्पादनाच्या व्याख्येवरून समानता मिळेल (आवश्यक असल्यास, लेख पहा):

हे नोंद घ्यावे की क्रॉस उत्पादनाचा समन्वय फॉर्म या लेखाच्या पहिल्या परिच्छेदामध्ये दिलेल्या व्याख्येशी पूर्णपणे सुसंगत आहे. शिवाय, क्रॉस उत्पादनाच्या या दोन व्याख्या समतुल्य आहेत. या वस्तुस्थितीचा पुरावा आपण लेखाच्या शेवटी दर्शविलेल्या पुस्तकात पाहू शकता.

वेक्टर उत्पादन गुणधर्म.

कोऑर्डिनेट्समधील क्रॉस उत्पादन मॅट्रिक्स निर्धारकाच्या रूपात दर्शविले जाऊ शकत असल्याने, खालील आधारावर सहजपणे न्याय्य आहेत वेक्टर उत्पादन गुणधर्म:

उदाहरण म्‍हणून, सदिश उत्‍पादनाचा अँटी-कम्युटेटिव्हिटी गुणधर्म सिद्ध करू.

व्याख्येनुसार आणि ... आपल्याला माहित आहे की दोन पंक्ती स्वॅप केल्यास मॅट्रिक्सच्या निर्धारकाचे मूल्य उलट होते, म्हणून, , जे वेक्टर उत्पादनाच्या अँटी-कम्युटेटिव्हिटीची मालमत्ता सिद्ध करते.

वेक्टर उत्पादन - उदाहरणे आणि उपाय.

मुळात तीन प्रकारची कामे असतात.

पहिल्या प्रकारातील समस्यांमध्ये, दोन सदिशांची लांबी आणि त्यांच्यामधील कोन दिलेला असतो आणि सदिश उत्पादनाची लांबी शोधणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, सूत्र वापरले जाते .

उदाहरण.

सदिशांच्या सदिश गुणाकाराची लांबी शोधा आणि, माहीत असल्यास .

उपाय.

आम्हाला व्याख्येवरून माहित आहे की व्हेक्टरच्या सदिश गुणाकाराची लांबी आणि सदिशांच्या लांबीच्या गुणाकार आणि त्यांच्यामधील कोनाच्या साइनच्या समान आहे, म्हणून, .

उत्तर:

.

दुस-या प्रकारातील समस्या सदिशांच्या निर्देशांकांशी संबंधित आहेत, ज्यामध्ये क्रॉस उत्पादन, त्याची लांबी किंवा इतर काहीतरी वेक्टरच्या निर्देशांकांद्वारे शोधले जाते. आणि .

येथे बरेच भिन्न पर्याय शक्य आहेत. उदाहरणार्थ, वेक्टर्सचे निर्देशांक आणि निर्दिष्ट केले जाऊ शकत नाहीत, परंतु फॉर्मच्या समन्वय वेक्टरमध्ये त्यांचा विस्तार आणि, किंवा व्हेक्टर आणि त्यांच्या प्रारंभ आणि समाप्ती बिंदूंच्या निर्देशांकांद्वारे निर्दिष्ट केले जाऊ शकतात.

चला ठराविक उदाहरणांचा विचार करूया.

उदाहरण.

आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये दोन वेक्टर दिले आहेत ... त्यांचे क्रॉस उत्पादन शोधा.

उपाय.

दुसऱ्या व्याख्येनुसार, निर्देशांकातील दोन सदिशांचे क्रॉस उत्पादन असे लिहिले आहे:

जर क्रॉस उत्पादन निर्धारकाच्या संदर्भात लिहिले असेल तर आम्ही समान परिणामावर पोहोचू

उत्तर:

.

उदाहरण.

वेक्टरच्या सदिश गुणाकाराची लांबी शोधा आणि आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणालीचे एकक वेक्टर कोठे आहेत.

उपाय.

प्रथम, आम्हाला वेक्टर उत्पादनाचे निर्देशांक सापडतात दिलेल्या आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये.

सदिश आणि निर्देशांक असल्याने आणि त्यानुसार (आवश्यक असल्यास, आयताकृती समन्वय प्रणालीमध्ये वेक्टरचे लेख समन्वय पहा), तर क्रॉस उत्पादनाच्या दुसऱ्या व्याख्येनुसार आपल्याकडे

म्हणजेच क्रॉस प्रॉडक्ट दिलेल्या समन्वय प्रणालीमध्ये निर्देशांक आहेत.

आम्हाला सदिश उत्पादनाची लांबी त्याच्या निर्देशांकांच्या वर्गांच्या बेरजेचे वर्गमूळ म्हणून आढळते (आम्हाला सदिशाची लांबी शोधण्याच्या विभागात सदिशाच्या लांबीसाठी हे सूत्र मिळाले आहे):

उत्तर:

.

उदाहरण.

तीन बिंदूंचे समन्वय आयताकृती कार्टेशियन समन्वय प्रणालीमध्ये दिले आहेत. लंब आणि एकाच वेळी काही वेक्टर शोधा.

उपाय.

सदिश आणि निर्देशांक असतात आणि अनुक्रमे (बिंदूंच्या समन्वयातून सदिशाचे समन्वय शोधण्यावरील लेख पहा). जर आपल्याला सदिशांचे सदिश उत्पादन आढळले आणि, तर व्याख्येनुसार तो k आणि k दोन्हीसाठी लंब असलेला सदिश आहे, म्हणजेच ते आपल्या समस्येचे निराकरण आहे. शोधा

उत्तर:

- लंब सदिशांपैकी एक.

तिसऱ्या प्रकारच्या कार्यांमध्ये, वेक्टरच्या वेक्टर उत्पादनाचे गुणधर्म वापरण्याचे कौशल्य तपासले जाते. गुणधर्म लागू केल्यानंतर, संबंधित सूत्रे लागू केली जातात.

उदाहरण.

वेक्टर आणि लंब आहेत आणि त्यांची लांबी अनुक्रमे 3 आणि 4 आहे. क्रॉस उत्पादनाची लांबी शोधा .

उपाय.

वेक्टर उत्पादनाच्या वितरणाच्या गुणधर्मानुसार, आपण लिहू शकतो

संयोजन गुणधर्मामुळे, आम्ही शेवटच्या अभिव्यक्तीमधील वेक्टर उत्पादनांच्या चिन्हाच्या बाहेर संख्यात्मक गुणांक काढतो:

सदिश उत्पादने आणि शून्य समान आहेत, पासून आणि , नंतर .

क्रॉस प्रोडक्ट अँटीकम्युटेटिव्ह असल्याने.

तर, वेक्टर उत्पादनाच्या गुणधर्मांचा वापर करून, आम्ही समानतेकडे आलो .

स्थितीनुसार सदिश आणि लंब असतात, म्हणजेच त्यांच्यामधील कोन समान असतो. म्हणजेच, आवश्यक लांबी शोधण्यासाठी आमच्याकडे सर्व डेटा आहे

उत्तर:

.

वेक्टर उत्पादनाचा भौमितीय अर्थ.

व्याख्येनुसार, सदिशांच्या वेक्टर गुणाकाराची लांबी आहे ... आणि हायस्कूल भूमितीच्या अभ्यासक्रमावरून, आपल्याला माहित आहे की त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ हे त्रिकोणाच्या दोन बाजूंच्या लांबीच्या त्यांच्या दरम्यानच्या कोनाच्या साइनद्वारे अर्धा गुणाकार आहे. परिणामी, सदिश उत्पादनाची लांबी सदिश आणि बाजू असलेल्या त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या दुप्पट असते, जर ते एका बिंदूपासून बाजूला ठेवले तर. दुस-या शब्दात, सदिशांच्या सदिश गुणाकाराची लांबी आणि बाजू असलेल्या समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाएवढी आहे आणि त्यांच्यामधील कोन समान आहे. हा सदिश उत्पादनाचा भौमितिक अर्थ आहे.