भौमितिक शरीराच्या खंडांसाठी सूत्रे. आकृत्यांची मात्रा

भूमितीतील समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, आपल्याला सूत्रे माहित असणे आवश्यक आहे - जसे की त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ किंवा समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्र - तसेच सोप्या युक्त्या, ज्याबद्दल आपण बोलू.

प्रथम, आकृत्यांच्या क्षेत्रांची सूत्रे जाणून घेऊ. आम्ही त्यांना विशेषतः सोयीस्कर टेबलमध्ये गोळा केले आहे. मुद्रित करा, शिका आणि अर्ज करा!

अर्थात, सर्व भूमिती सूत्रे आपल्या टेबलमध्ये नाहीत. उदाहरणार्थ, गणितातील प्रोफाइल परीक्षेच्या दुसऱ्या भागात भूमिती आणि स्टिरिओमेट्रीमधील समस्या सोडवण्यासाठी, त्रिकोणाच्या क्षेत्रासाठी इतर सूत्रे देखील वापरली जातात. आम्ही तुम्हाला त्यांच्याबद्दल नक्कीच सांगू.

परंतु जर तुम्हाला ट्रॅपेझॉइड किंवा त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ नसून काही जटिल आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याची आवश्यकता असेल तर? सार्वत्रिक मार्ग आहेत! आम्ही त्यांना FIPI टास्क बँकेतील उदाहरणे वापरून दाखवू.

1. नॉन-स्टँडर्ड आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? उदाहरणार्थ, एक अनियंत्रित चतुर्भुज? एक साधे तंत्र - ही आकृती आपल्या सर्वांना माहीत असलेल्यांमध्ये मोडू आणि त्याचे क्षेत्रफळ शोधू - या आकृत्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणून.

या चतुर्भुजाला क्षैतिज रेषेने समान आधार असलेल्या दोन त्रिकोणांमध्ये विभाजित करा. या त्रिकोणांची उंची आणि . मग चौकोनाचे क्षेत्रफळ दोन त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतके असते: .

उत्तर:.

2. काही प्रकरणांमध्ये, आकृतीचे क्षेत्रफळ कोणत्याही क्षेत्राचा फरक म्हणून दर्शविले जाऊ शकते.

या त्रिकोणातील पाया आणि उंची किती समान आहेत हे मोजणे इतके सोपे नाही! परंतु आपण असे म्हणू शकतो की त्याचे क्षेत्रफळ एक बाजू असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ आणि तीन काटकोन त्रिकोण यांच्यातील फरकाइतके आहे. त्यांना चित्रात पहा? आम्हाला मिळते: .

उत्तर:.

3. कधीकधी एखाद्या कार्यामध्ये संपूर्ण आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधणे आवश्यक नसते, परंतु त्याच्या भागाचा. सहसा आपण सेक्टरच्या क्षेत्रफळाबद्दल बोलत असतो - वर्तुळाचा भाग. त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या सेक्टरचे क्षेत्रफळ शोधा, ज्याच्या कमानीची लांबी समान असते.

या चित्रात आपल्याला वर्तुळाचा काही भाग दिसतो. संपूर्ण वर्तुळाचे क्षेत्रफळ समान आहे, पासून. वर्तुळाचा कोणता भाग चित्रित केला आहे हे शोधणे बाकी आहे. संपूर्ण वर्तुळाची लांबी (पासून) असल्याने आणि या क्षेत्राच्या कमानीची लांबी समान असल्याने, कमानीची लांबी संपूर्ण वर्तुळाच्या लांबीपेक्षा कित्येक पट कमी आहे. हा कंस ज्या कोनावर बसतो तो कोन पूर्ण वर्तुळापेक्षा (म्हणजे अंश) देखील कमी असतो. याचा अर्थ सेक्टरचे क्षेत्रफळ संपूर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या कितीतरी पटीने कमी असेल.

आणि प्राचीन इजिप्शियन लोकांनी आमच्या पद्धतींप्रमाणेच विविध आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना करण्यासाठी पद्धती वापरल्या.

माझ्या पुस्तकांमध्ये "सुरुवात"प्रसिद्ध प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ युक्लिड यांनी बर्‍याच भौमितिक आकारांच्या क्षेत्रांची गणना करण्यासाठी बर्‍याच मोठ्या प्रमाणात मार्गांचे वर्णन केले आहे. भौमितिक माहिती असलेली रशियामधील पहिली हस्तलिखिते $16 व्या शतकात लिहिली गेली. ते विविध आकारांच्या आकृत्यांचे क्षेत्र शोधण्याच्या नियमांचे वर्णन करतात.

आज, आधुनिक पद्धतींच्या मदतीने, कोणत्याही आकृतीचे क्षेत्रफळ अचूकपणे शोधणे शक्य आहे.

सर्वात सोप्या आकारांपैकी एक - एक आयत - आणि त्याचे क्षेत्र शोधण्याचे सूत्र विचारात घ्या.

आयत क्षेत्र सूत्र

एक आकृती (चित्र 1) विचारात घ्या, ज्यामध्ये $1$ सेमी बाजू असलेल्या $8$ चौरस असतात. $1$ सेमी बाजू असलेल्या एका चौरसाचे क्षेत्रफळ चौरस सेंटीमीटर म्हणतात आणि $1\cm^2 असे लिहिले जाते. $.

या आकृतीचे क्षेत्रफळ (चित्र 1) $8\cm^2$ इतके असेल.

आकृतीचे क्षेत्रफळ $1\ cm$ (उदाहरणार्थ, $p$) बाजूंनी अनेक चौरसांमध्ये विभागले जाऊ शकते ते $p\ cm^2$ च्या बरोबरीचे असेल.

दुसऱ्या शब्दांत, आकृतीचे क्षेत्रफळ $1\ cm$ बाजू असलेल्या चौरसांच्या संख्येइतके $cm^2$ इतके असेल.

आयताचा विचार करा (चित्र 2) ज्यामध्ये $3$ पट्ट्या आहेत, ज्यापैकी प्रत्येक $5$ चौरसांमध्ये $1\cm$ बाजूंनी विभागलेला आहे. संपूर्ण आयतामध्ये $5\cdot 3=15$ असे चौरस असतात आणि त्याचे क्षेत्रफळ $15\cm^2$ आहे.

चित्र १.

आकृती 2.

आकृत्यांचे क्षेत्रफळ सहसा $S$ या अक्षराने दर्शविले जाते.

आयताचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, त्याची लांबी त्याच्या रुंदीने गुणाकार करा.

जर आपण त्याची लांबी $a$ अक्षराने आणि रुंदी $b$ या अक्षराने दर्शवली, तर आयताच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र असे दिसेल:

व्याख्या १

आकडे म्हणतात समानजर, जेव्हा एकमेकांवर आरोप केले जातात, तेव्हा आकडे एकसारखे असतात. समान आकृत्यांमध्ये समान क्षेत्रे आणि समान परिमिती असतात.

आकृतीचे क्षेत्रफळ त्याच्या भागांच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणून आढळू शकते.

उदाहरण १

उदाहरणार्थ, $3$ आकृतीत $ABCD$ हा आयत $KLMN$ या रेषेने दोन भागात विभागलेला आहे. एका भागाचे क्षेत्रफळ $12\ cm^2$ आहे आणि दुसरा $9\ cm^2$ आहे. नंतर $ABCD$ आयताचे क्षेत्रफळ $12\cm^2+9\cm^2=21\cm^2$ इतके असेल. सूत्र वापरून आयताचे क्षेत्रफळ शोधा:

तुम्ही बघू शकता, दोन्ही पद्धतींद्वारे सापडलेले क्षेत्र समान आहेत.

आकृती 3

आकृती 4

$AC$ हा खंड आयताला दोन समान त्रिकोणांमध्ये विभागतो: $ABC$ आणि $ADC$. त्यामुळे प्रत्येक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ संपूर्ण आयताच्या अर्ध्या क्षेत्रफळाइतके असते.

व्याख्या २

समान बाजू असलेल्या आयताला म्हणतात चौरस.

जर आपण वर्गाची बाजू $a$ या अक्षराने दर्शवितो, तर वर्गाचे क्षेत्रफळ सूत्राद्वारे आढळेल:

म्हणून $a$ या संख्येचे नाव वर्ग.

उदाहरण २

उदाहरणार्थ, चौरसाची बाजू $5$ सेमी असल्यास, त्याचे क्षेत्रफळ आहे:

खंड

प्राचीन सभ्यतेच्या काळात व्यापार आणि बांधकामाच्या विकासासह, खंड शोधण्याची गरज होती. गणितात, भूमितीचा एक विभाग आहे जो अवकाशीय आकृत्यांच्या अभ्यासाशी संबंधित आहे, ज्याला स्टिरिओमेट्री म्हणतात. गणिताच्या या वेगळ्या दिशेचा उल्लेख 4थ्या शतक BC मध्ये आधीच सापडला होता.

प्राचीन गणितज्ञांनी साध्या आकृत्यांच्या आकारमानाची गणना करण्यासाठी एक पद्धत विकसित केली - एक घन आणि समांतर पाईप. त्या काळातील सर्व इमारती या स्वरूपाच्या होत्या. परंतु भविष्यात, अधिक जटिल आकारांच्या आकृत्यांच्या आकारमानाची गणना करण्याचे मार्ग सापडले.

घनफळाचा आकार

जर तुम्ही ओल्या वाळूने साचा भरला आणि नंतर तो उलटला तर तुम्हाला त्रिमितीय आकृती मिळेल, जी व्हॉल्यूमद्वारे वैशिष्ट्यीकृत आहे. जर तुम्ही समान साचा वापरून अशा अनेक आकृत्या बनवल्या तर तुम्हाला समान आकारमान असलेल्या आकृत्या मिळतील. जर तुम्ही साचा पाण्याने भरला तर पाण्याचे प्रमाण आणि वाळूच्या आकृतीचे प्रमाण देखील समान असेल.

आकृती 5

एकात पाणी भरून आणि दुसऱ्या भांड्यात टाकून तुम्ही दोन भांड्यांच्या आकारमानाची तुलना करू शकता. जर दुसरे भांडे पूर्णपणे भरले असेल तर भांडे समान प्रमाणात असतात. त्याच वेळी पहिल्या पात्रात पाणी शिल्लक राहिल्यास, पहिल्या पात्राची मात्रा दुसऱ्याच्या खंडापेक्षा जास्त असते. पहिल्या भांड्यातून पाणी ओतताना दुसरे पात्र पूर्णपणे भरणे शक्य नसेल, तर पहिल्या पात्राची मात्रा दुसऱ्या भांड्यापेक्षा कमी असते.

खालील युनिट्स वापरून व्हॉल्यूम मोजला जातो:

$mm^3$ -- घन मिलिमीटर,

$cm^3$ -- घन सेंटीमीटर,

$dm^3$ -- घन डेसिमीटर,

$m^3$ -- घनमीटर,

$km^3$ -- घन किलोमीटर.

सामान्य पुनरावलोकन. स्टिरिओमेट्रीची सूत्रे!

नमस्कार प्रिय मित्रांनो! या लेखात, मी स्टिरिओमेट्रीमधील समस्यांचे सामान्य विहंगावलोकन करण्याचे ठरविले, जे असेल गणितात वापराई. असे म्हटले पाहिजे की या गटातील कार्ये खूप वैविध्यपूर्ण आहेत, परंतु कठीण नाहीत. भौमितिक परिमाण शोधण्यासाठी ही कार्ये आहेत: लांबी, कोन, क्षेत्रे, खंड.

विचारात घेतले: एक घन, एक आयताकृती समांतर, एक प्रिझम, एक पिरॅमिड, एक कंपाऊंड पॉलिहेड्रॉन, एक सिलेंडर, एक शंकू, एक बॉल. हे दुःखद आहे की काही पदवीधर परीक्षेतच अशी कार्ये घेत नाहीत, जरी त्यापैकी 50% पेक्षा जास्त प्राथमिकरित्या, जवळजवळ तोंडी सोडवले जातात.

बाकीचे थोडे प्रयत्न, ज्ञान आणि विशेष तंत्रे आवश्यक आहेत. भविष्यातील लेखांमध्ये, आम्ही या कार्यांचा विचार करू, ते चुकवू नका, ब्लॉग अद्यतनाची सदस्यता घ्या.

निराकरण करण्यासाठी, आपल्याला माहित असणे आवश्यक आहे पृष्ठभाग क्षेत्रफळ आणि खंड सूत्रेसमांतर, पिरॅमिड, प्रिझम, सिलेंडर, शंकू आणि गोल. कोणतीही जटिल कार्ये नाहीत, ते सर्व 2-3 चरणांमध्ये सोडवले जातात, कोणते सूत्र लागू करणे आवश्यक आहे हे "पाहणे" आवश्यक आहे.

सर्व आवश्यक सूत्रे खाली सादर केली आहेत:

बॉल किंवा गोल. गोलाकार किंवा गोलाकार पृष्ठभाग (कधीकधी फक्त एक गोल) हे अंतराळातील बिंदूंचे स्थान असते जे एका बिंदूपासून समान अंतरावर असतात - चेंडूचे केंद्र.

बॉल व्हॉल्यूमपिरॅमिडच्या आकारमानाच्या बरोबरीने, ज्याच्या पायाचे क्षेत्रफळ बॉलच्या पृष्ठभागाइतके आहे आणि उंची ही बॉलची त्रिज्या आहे

गोलाचे आकारमान त्याच्या भोवती असलेल्या सिलेंडरच्या आकारमानापेक्षा दीड पट कमी असते.

एक गोल शंकू त्याच्या एका पायाभोवती काटकोन त्रिकोण फिरवून मिळवता येतो, म्हणून गोल शंकूला क्रांतीचा शंकू देखील म्हणतात. गोलाकार शंकूचे पृष्ठभाग क्षेत्र देखील पहा

गोल शंकूचा आकारबेस क्षेत्र S आणि उंची H च्या उत्पादनाच्या एक तृतीयांश समान आहे:

(एच - घन काठाची उंची)

पॅरललपाइपड हे प्रिझम आहे ज्याचा आधार समांतरभुज चौकोन आहे. समांतर पाईपला सहा मुखे आहेत आणि ते सर्व समांतरभुज चौकोन आहेत. समांतर नलिका ज्याचे चार पार्श्व चेहरे आयताकृती असतात त्याला उजवे समांतर नलिका म्हणतात. ज्या उजव्या चौकटीत सर्व सहा तोंडे आयताकृती असतात त्याला आयताकृती पेटी म्हणतात.

घनफळाचा आकारपाया आणि उंचीच्या क्षेत्रफळाच्या उत्पादनाप्रमाणे आहे:

(S हे पिरॅमिडच्या पायाचे क्षेत्रफळ आहे, h ही पिरॅमिडची उंची आहे)

पिरॅमिड हा एक चेहरा असलेला पॉलिहेड्रॉन आहे - पिरॅमिडचा पाया - एक अनियंत्रित बहुभुज, आणि बाकीचे - बाजूचे चेहरे - एक सामान्य शिरोबिंदू असलेले त्रिकोण, ज्याला पिरॅमिडचा शीर्ष म्हणतात.

पिरॅमिडच्या पायथ्याशी समांतर असलेला एक विभाग पिरॅमिडला दोन भागांमध्ये विभाजित करतो. पिरॅमिडचा पायथ्याशी असलेला भाग आणि हा विभाग कापलेला पिरॅमिड आहे.

कापलेल्या पिरॅमिडचा आकारउंचीच्या उत्पादनाच्या एक तृतीयांश समान आहे h (OS)वरच्या पायाच्या क्षेत्रांच्या बेरजेनुसार S1 (abcde), कापलेल्या पिरॅमिडचा खालचा पाया S2 (ABCD)आणि त्यांच्यातील सरासरी प्रमाण.

n - नियमित बहुभुजाच्या बाजूंची संख्या - नियमित पिरॅमिडचे तळ
a - नियमित बहुभुजाची बाजू - नियमित पिरॅमिडचे तळ
h - नियमित पिरॅमिडची उंची

एक नियमित त्रिकोणी पिरॅमिड म्हणजे एक चेहरा असलेला पॉलीहेड्रॉन - पिरॅमिडचा पाया - एक नियमित त्रिकोण आणि बाकीचे - बाजूचे चेहरे - समान शिरोबिंदू असलेले त्रिकोण. उंची वरून पायाच्या मध्यभागी उतरते.

नियमित त्रिकोणी पिरॅमिडचा आकारसमभुज त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळाच्या गुणाकाराच्या एक तृतीयांश समान आहे, जो पाया आहे S (ABC)उंचीपर्यंत h (OS)

a - नियमित त्रिकोणाची बाजू - नियमित त्रिकोणी पिरॅमिडचे तळ
h - नियमित त्रिकोणी पिरॅमिडची उंची

टेट्राहेड्रॉनच्या व्हॉल्यूमसाठी सूत्राची व्युत्पत्ती

टेट्राहेड्रॉनची मात्रा पिरॅमिडच्या व्हॉल्यूमसाठी शास्त्रीय सूत्र वापरून मोजली जाते. टेट्राहेड्रॉनची उंची आणि त्यात नियमित (समभुज) त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ बदलणे आवश्यक आहे.

टेट्राहेड्रॉनची मात्रा- अंशातील अपूर्णांकाच्या बरोबरीचे आहे ज्याच्या भाजकातील दोनचे वर्गमूळ बारा आहे, टेट्राहेड्रॉनच्या काठाच्या लांबीच्या घनाने गुणाकार केला आहे

(h ही समभुज चौकोनाच्या बाजूची लांबी आहे)

घेर pवर्तुळाच्या व्यासाच्या सुमारे तीन पूर्ण आणि एक सातव्या लांबीचा आहे. वर्तुळाचा परिघ आणि त्याचा व्यास यांचे अचूक गुणोत्तर हे ग्रीक अक्षराने दर्शविले जाते. π

परिणामी, वर्तुळाची परिमिती किंवा वर्तुळाचा घेर सूत्राद्वारे मोजला जातो.

(r ही कमानीची त्रिज्या आहे, n हा अंशातील कंसाचा मध्य कोन आहे.)

सर्व आवश्यक अंतर मीटरमध्ये मोजा.अनेक त्रिमितीय आकृत्यांच्या आकारमानाची योग्य सूत्रे वापरून गणना करणे सोपे आहे. तथापि, सूत्रांमध्ये बदललेली सर्व मूल्ये मीटरमध्ये मोजली जाणे आवश्यक आहे. अशा प्रकारे, मूल्यांना सूत्रामध्ये बदलण्यापूर्वी, ते सर्व मीटरमध्ये मोजले गेले आहेत किंवा तुम्ही इतर मोजमापांची एकके मीटरमध्ये रूपांतरित केली आहेत याची खात्री करा.

• 1 मिमी = 0.001 मी
• 1 सेमी = 0.01 मी
• 1 किमी = 1000 मी

"A मिळवा" या व्हिडिओ कोर्समध्ये गणितातील परीक्षेत 60-65 गुणांनी यशस्वी उत्तीर्ण होण्यासाठी आवश्यक असलेले सर्व विषय समाविष्ट आहेत. प्रोफाईलची पूर्णपणे सर्व कार्ये 1-13 गणितात वापरतात. गणितातील बेसिक यूएसई उत्तीर्ण करण्यासाठी देखील योग्य. जर तुम्हाला 90-100 गुणांसह परीक्षा उत्तीर्ण करायची असेल, तर तुम्हाला भाग 1 30 मिनिटांत आणि चुका न करता सोडवावा लागेल!

ग्रेड 10-11 साठी परीक्षेची तयारी अभ्यासक्रम, तसेच शिक्षकांसाठी. परीक्षेचा भाग 1 गणित (पहिल्या 12 समस्या) आणि समस्या 13 (त्रिकोणमिति) सोडवण्यासाठी तुम्हाला आवश्यक असलेली प्रत्येक गोष्ट. आणि हे युनिफाइड स्टेट परीक्षेत 70 पेक्षा जास्त गुण आहेत आणि शंभर-पॉइंट विद्यार्थी किंवा मानवतावादी त्यांच्याशिवाय करू शकत नाहीत.

सर्व आवश्यक सिद्धांत. परीक्षेचे द्रुत उपाय, सापळे आणि रहस्ये. बँक ऑफ FIPI टास्क मधील भाग 1 च्या सर्व संबंधित कार्यांचे विश्लेषण केले गेले आहे. अभ्यासक्रम USE-2018 च्या आवश्यकतांचे पूर्णपणे पालन करतो.

कोर्समध्ये 5 मोठे विषय आहेत, प्रत्येकी 2.5 तास. प्रत्येक विषय सुरवातीपासून, सरळ आणि स्पष्टपणे दिलेला आहे.

शेकडो परीक्षा कार्ये. मजकूर समस्या आणि संभाव्यता सिद्धांत. समस्या सोडवण्याचे अल्गोरिदम सोपे आणि लक्षात ठेवण्यास सोपे. भूमिती. सिद्धांत, संदर्भ साहित्य, सर्व प्रकारच्या USE कार्यांचे विश्लेषण. स्टिरिओमेट्री. निराकरण करण्यासाठी धूर्त युक्त्या, उपयुक्त फसवणूक पत्रके, अवकाशीय कल्पनाशक्तीचा विकास. त्रिकोणमिती सुरवातीपासून - कार्य 13. क्रॅमिंगऐवजी समजून घेणे. जटिल संकल्पनांचे दृश्य स्पष्टीकरण. बीजगणित. मूळ, शक्ती आणि लॉगरिदम, कार्य आणि व्युत्पन्न. परीक्षेच्या दुसऱ्या भागाच्या गुंतागुंतीच्या समस्या सोडवण्यासाठी आधार.