त्रिकोणाच्या सर्व बाजू जाणून घ्या, मध्यक शोधा. कार्य

मोड आणि मध्यक- एक विशेष प्रकारची सरासरी जी भिन्नता मालिकेच्या संरचनेचा अभ्यास करण्यासाठी वापरली जाते. त्यांना कधीकधी स्ट्रक्चरल सरासरी म्हटले जाते, पूर्वी चर्चा केलेल्या उर्जा सरासरीच्या उलट.

फॅशन- हे वैशिष्ट्यपूर्ण (व्हेरिएंट) चे मूल्य आहे जे बहुतेकदा दिलेल्या लोकसंख्येमध्ये आढळते, उदा. सर्वाधिक वारंवारता आहे.

फॅशनमध्ये उत्कृष्ट व्यावहारिक अनुप्रयोग आहे आणि काही प्रकरणांमध्ये केवळ फॅशनच सामाजिक घटना दर्शवू शकते.

मध्यक- हा एक प्रकार आहे जो ऑर्डर केलेल्या भिन्नता मालिकेच्या मध्यभागी आहे.

मध्यक वेगवेगळ्या वैशिष्ट्यांच्या मूल्याची परिमाणवाचक मर्यादा दर्शविते, जी लोकसंख्येच्या अर्ध्या युनिट्सपर्यंत पोहोचली आहे. जर भिन्नता मालिकेत खुले अंतराल असतील तर सरासरीसह किंवा त्याऐवजी मध्यक वापरणे उचित आहे, कारण मध्याची गणना करण्यासाठी, खुल्या मध्यांतरांच्या सीमांची सशर्त स्थापना आवश्यक नाही आणि म्हणूनच त्यांच्याबद्दलच्या माहितीचा अभाव मध्यकाच्या गणनेच्या अचूकतेवर परिणाम करत नाही.

जेव्हा वजन म्हणून वापरले जाणारे निर्देशक अज्ञात असतात तेव्हा मध्यक देखील वापरला जातो. उत्पादन गुणवत्ता नियंत्रणाच्या सांख्यिकीय पद्धतींमध्ये अंकगणित मध्याऐवजी मध्यक वापरला जातो. मध्यकातील पर्यायांच्या निरपेक्ष विचलनांची बेरीज इतर कोणत्याही संख्येपेक्षा कमी आहे.

भिन्न भिन्नता मालिकेतील मोड आणि मध्यकाची गणना करूया :

मोड आणि मध्यक निश्चित करा.

फॅशन मो = 4 वर्षे, कारण हे मूल्य सर्वोच्च वारंवारता f = 5 शी संबंधित आहे.

त्या. सर्वात जास्त कामगारांना 4 वर्षांचा अनुभव आहे.

मध्यकाची गणना करण्यासाठी, आपण प्रथम फ्रिक्वेन्सीची अर्धी बेरीज शोधतो. जर फ्रिक्वेन्सीची बेरीज विषम संख्या असेल, तर आपण प्रथम या बेरीजमध्ये एक जोडू आणि नंतर अर्ध्यामध्ये विभाजित करू:

मध्यक हा आठवा पर्याय असेल.

संख्येनुसार आठवा कोणता पर्याय असेल हे शोधण्यासाठी, जोपर्यंत आपल्याला सर्व फ्रिक्वेन्सीच्या बेरजेच्या समान किंवा अर्ध्यापेक्षा जास्त फ्रिक्वेन्सीची बेरीज मिळत नाही तोपर्यंत आपण फ्रिक्वेन्सी जमा करू. संबंधित पर्याय मध्यक असेल.

मेह = 4 वर्षे.

त्या. निम्म्या कामगारांना चार वर्षांपेक्षा कमी अनुभव आहे, अर्धा अधिक.

जर एका पर्यायाविरूद्ध जमा फ्रिक्वेन्सीची बेरीज फ्रिक्वेन्सीच्या अर्ध्या बेरजेइतकी असेल, तर मध्यक या पर्यायाचा अंकगणितीय मध्य आणि पुढील एक म्हणून परिभाषित केला जातो.

मध्यांतर भिन्नता मालिकेतील मोड आणि मध्यकांची गणना

मध्यांतर भिन्नता मालिकेतील मोड सूत्रानुसार मोजला जातो

कुठे एक्स M0- मोडल मध्यांतराची प्रारंभिक सीमा,

hमी 0 - मोडल अंतरालचे मूल्य,

fमी 0 , fमी 0-1 , fमी 0+1 - क्रमशः मोडल इंटरव्हलच्या आधीच्या आणि मोडल इंटरव्हलची वारंवारता.

मोडलज्या मध्यांतराशी सर्वोच्च वारंवारता जुळते त्याला म्हणतात.

उदाहरण १

मोड आणि मध्यक निश्चित करा.

मोडल मध्यांतर, कारण ते सर्वोच्च वारंवारता f = 35 शी संबंधित आहे. नंतर:

हं 0 =6, fм 0 =35

स्ट्रक्चरल (स्थिती) सरासरी- ही सरासरी मूल्ये आहेत जी रँक केलेल्या भिन्नता मालिकेत विशिष्ट स्थान (स्थान) व्यापतात.

फॅशन(मो) हे गुणविशेषाचे मूल्य आहे जे अभ्यासाधीन लोकसंख्येमध्ये वारंवार आढळते.

च्या साठी भिन्न भिन्नता मालिकाफॅशन हे सर्वाधिक वारंवारता असलेल्या पर्यायांचे मूल्य असेल

उदाहरण. उपलब्ध डेटा वापरून मोड निश्चित करा (टेबल 7.5).

तक्ता 7.5 - शू स्टोअरमध्ये विकल्या जाणार्‍या महिलांच्या शूजचे वितरण एन, फेब्रुवारी 2013

टेबलनुसार. 5 हे स्पष्ट आहे की सर्वोच्च वारंवारता f कमाल= 28, ते गुणधर्माच्या मूल्याशी संबंधित आहे x= आकार 37. त्यामुळे, मो= 37 जोडा आकार, i.e. या बुटाच्या आकारालाच सर्वाधिक मागणी होती; 37 आकाराचे शूज बहुतेकदा खरेदी केले जात होते.

IN प्रथम निर्धारित मॉडेल मध्यांतर, म्हणजे मोड असलेले - सर्वोच्च वारंवारतेसह मध्यांतर (समान मध्यांतरांसह मध्यांतर वितरणाच्या बाबतीत, असमान मध्यांतरांच्या बाबतीत - सर्वोच्च घनतेनुसार).

मोड अंदाजे मोडल मध्यांतराचा मध्य मानला जातो. मध्यांतर मालिकेसाठी विशिष्ट मोड मूल्य सूत्राद्वारे निर्धारित केले जाते:

कुठे x मो- मोडल मध्यांतराची कमी मर्यादा;

मी मो- मोडल अंतरालचे मूल्य;

f मो- मोडल मध्यांतराची वारंवारता;

f मो -1- मॉडेलच्या आधीच्या मध्यांतराची वारंवारता;

f Mo +1- मोडल नंतरच्या मध्यांतराची वारंवारता.

उदाहरण. उपलब्ध डेटा वापरून मोड निश्चित करा (टेबल 7.6).

तक्ता 7.6 - सेवेच्या लांबीनुसार कर्मचाऱ्यांचे वितरण

टेबलनुसार. 6 हे स्पष्ट आहे की सर्वोच्च वारंवारता f कमाल= 35, ते मध्यांतराशी संबंधित आहे: 6-8 वर्षे (मोडल मध्यांतर). सूत्र वापरून मोड निश्चित करूया:

वर्षे

त्यामुळे, मो= ६.८ वर्षे, म्हणजे. बहुतांश कर्मचाऱ्यांना ६.८ वर्षांचा अनुभव आहे.

मध्यक हे नाव भूमितीवरून घेतले गेले आहे, जेथे ते त्रिकोणाच्या एका शिरोबिंदूला विरुद्ध बाजूच्या मध्यभागी जोडणारा आणि अशा प्रकारे त्रिकोणाची बाजू दोन समान भागांमध्ये विभागणारा खंड दर्शवते.

मध्यक(मी) – हे गुणविशेषाचे मूल्य आहे जे रँक केलेल्या लोकसंख्येच्या मध्यभागी येते. अन्यथा, मध्यक हे एक मूल्य आहे जे ऑर्डर केलेल्या भिन्नता मालिकेच्या संख्येला दोन समान भागांमध्ये विभाजित करते - एका भागामध्ये भिन्न वैशिष्ट्यांची मूल्ये सरासरी पर्यायापेक्षा कमी असतात आणि दुसर्‍यामध्ये मोठी मूल्ये असतात.

च्या साठी क्रमवारीत मालिका(म्हणजे ऑर्डर केलेले - विशिष्ट वैशिष्ट्यांच्या वैयक्तिक मूल्यांच्या चढत्या किंवा उतरत्या क्रमाने तयार केलेले) विषम संख्येसह ( n =विषम) मध्यक हा पंक्तीच्या मध्यभागी असलेला पर्याय आहे. मध्यकाची सामान्य संख्या ( एन मी) खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे:

N मी =(n+1)/ 2.

उदाहरण.५१ पदांच्या मालिकेत, मध्य संख्या (५१+१)/२ = २६ आहे, म्हणजे. मध्यक हा पर्याय आहे जो पंक्तीमध्ये 26 वा आहे.

समसंख्येच्या अटींसह रँक केलेल्या मालिकेसाठी ( n =सम) – माध्यक हा मालिकेच्या मध्यभागी असलेल्या दोन विशेषता मूल्यांचा अंकगणितीय मध्य असेल. दोन मध्यवर्ती पर्यायांचे अनुक्रमांक खालीलप्रमाणे निर्धारित केले आहेत:

N मी 1 =n/ 2; N मी 2 =(n/ 2)+ 1.

उदाहरण.जेव्हा n=50; एन मी1 = 50/2 = 25; एन मी2= (५०/२)+१ = २६, म्हणजे 25 व्या आणि 26 व्या क्रमाने असलेल्या पर्यायांची सरासरी सरासरी आहे.

IN भिन्न भिन्नता मालिकामध्यक हा मध्यकाच्या अनुक्रमांकाशी संबंधित किंवा प्रथमच ओलांडलेल्या संचित वारंवारतेद्वारे आढळतो. अन्यथा, संचित वारंवारता समान असते किंवा प्रथमच मालिकेच्या सर्व फ्रिक्वेन्सीच्या बेरीजच्या निम्म्यापेक्षा जास्त असते.

उदाहरण. उपलब्ध डेटाच्या आधारे मध्यक निश्चित करा (तक्ता 7.7).

तक्ता 7.7 - शू स्टोअरमध्ये विकल्या जाणार्‍या महिलांच्या शूजचे वितरण एन, फेब्रुवारी 2013

टेबलनुसार. 7 आम्ही मध्याची क्रमिक संख्या निर्धारित करतो: N मी =( 67+1)/2=34.

फॅशन. मध्यक. त्यांच्या गणनेसाठी पद्धती (पृष्ठ 1 पैकी 2)

संचित वारंवारता प्रथमच या मूल्यापेक्षा जास्त आहे एस= 41, ते विशेषताच्या मूल्याशी संबंधित आहे x= आकार 37. त्यामुळे, मी= 37 जोडा आकार, i.e. अर्ध्या जोड्या 37 आकारापेक्षा लहान खरेदी केल्या जातात आणि उर्वरित अर्ध्या मोठ्या खरेदी केल्या जातात.

या उदाहरणात, मोड आणि मध्यक समान आहेत, परंतु ते समान असू शकत नाहीत.

IN अंतराल भिन्नता मालिकासंचित फ्रिक्वेन्सी निर्धारित केल्या जातात, जमा झालेल्या फ्रिक्वेन्सीच्या डेटाच्या आधारे ते सापडतात मध्यांतर– एक मध्यांतर ज्यामध्ये संचित वारंवारता अर्धी आहे किंवा प्रथमच फ्रिक्वेन्सीच्या एकूण बेरजेच्या निम्म्यापेक्षा जास्त आहे. मध्यांतर वितरण मालिकेतील मध्यक ठरवण्याचे सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:

.

कुठे xMe- मध्यांतराची कमी मर्यादा;

मी मी- मध्यांतराचे मूल्य;

∑f i- मालिकेच्या फ्रिक्वेन्सीची बेरीज;

एस मी -1- मध्यकाच्या आधीच्या मध्यांतराच्या संचित फ्रिक्वेन्सीची बेरीज;

f मी- मध्यांतराची वारंवारता.

उदाहरण. उपलब्ध डेटाच्या आधारे मध्यक निश्चित करा (तक्ता 7.8).

तक्ता 7.8 - सेवेच्या लांबीनुसार कर्मचाऱ्यांचे वितरण

टेबलनुसार. 8 आम्ही मध्याची क्रमिक संख्या निर्धारित करतो: N मी = 100/2=50. संचित वारंवारता प्रथमच या मूल्यापेक्षा जास्त आहे एस= 82, ते 6-8 वर्षांच्या (मध्यम अंतराल) शी संबंधित आहे. या उदाहरणात, मोडल मध्यांतर आणि मध्यांतर समान आहेत, परंतु ते समान असू शकत नाहीत. सूत्र वापरून मध्यक ठरवूया:

वर्षे

त्यामुळे, मी= ६.२ वर्षे, म्हणजे. अर्ध्या कामगारांना 6.2 वर्षांपेक्षा कमी अनुभव आहे आणि उर्वरित अर्ध्या कामगारांना 6.2 वर्षांपेक्षा जास्त अनुभव आहे.

अर्थशास्त्राच्या विविध क्षेत्रांमध्ये मोड आणि मध्यकांचा मोठ्या प्रमाणावर वापर केला जातो. अशा प्रकारे, मॉडेल श्रम उत्पादकता, मॉडेल खर्च इ.ची गणना. अर्थशास्त्रज्ञांना त्यांच्या वर्तमान प्रचलित पातळीचा न्याय करण्याची परवानगी देते. हे वैशिष्ट्य आपल्या अर्थव्यवस्थेतील साठे ओळखण्यासाठी वापरले पाहिजे. व्यावहारिक समस्या सोडवण्यासाठी फॅशन महत्त्वाची आहे. अशा प्रकारे, कपडे आणि शूजच्या मोठ्या प्रमाणात उत्पादनाची योजना आखताना, उत्पादनाचा आकार ज्याला सर्वात जास्त मागणी आहे (मोडल आकार) स्थापित केला जातो. जर वारंवारता वितरण सममितीच्या जवळ असेल आणि एक नॉन-फ्लॅट शिरोबिंदू असेल तर मोडचा वापर अंकगणितीय मध्याऐवजी अभ्यास केलेल्या वैशिष्ट्याच्या पातळीचे अंदाजे वैशिष्ट्य म्हणून केला जाऊ शकतो.

ज्या प्रकरणांचा अभ्यास केला जात असलेल्या लोकसंख्येच्या एकजिनसीपणावर पुरेसा विश्वास नाही अशा प्रकरणांमध्ये सरासरी मूल्य म्हणून मध्यक वापरले जावे. एका विशिष्ट स्तरावरील प्रकरणांच्या संख्येइतका स्वतःच्या मूल्यांवर मध्यवर्ती प्रभाव पडत नाही. हे देखील लक्षात घेतले पाहिजे की मध्यक नेहमी विशिष्ट असतो (मोठ्या संख्येने निरीक्षणांसह किंवा लोकसंख्येच्या विचित्र सदस्यांच्या बाबतीत), कारण अंतर्गत मेहलोकसंख्येतील काही वास्तविक घटक निहित आहेत, तर अंकगणितीय सरासरी अनेकदा असे मूल्य घेते जे लोकसंख्येतील इतर कोणतेही एकक घेऊ शकत नाही.

मुख्य मालमत्ता मेहअसे आहे की मध्यकापासून विशेषता मूल्यांच्या परिपूर्ण विचलनांची बेरीज इतर कोणत्याही मूल्यापेक्षा कमी आहे: . ही मालमत्ता मेहवापरले जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, सार्वजनिक इमारतींचे बांधकाम साइट निश्चित करताना, कारण मेहसर्वात कमी अंतर देणारा बिंदू निर्धारित करते, उदाहरणार्थ, पालकांच्या निवासस्थानापासून बालवाडी, सिनेमापासून परिसरातील रहिवासी, ट्राम, ट्रॉलीबस स्टॉप इत्यादी डिझाइन करताना.

स्ट्रक्चरल इंडिकेटर्सच्या सिस्टीममध्ये, वितरण फॉर्मच्या वैशिष्ट्यांचे निर्देशक हे पर्याय आहेत जे क्रमवारीतील भिन्नता मालिकेत विशिष्ट स्थान व्यापतात (प्रत्येक चौथा, पाचवा, दहावा, पंचवीसवा इ.). त्याचप्रमाणे, भिन्नता मालिकेतील मध्यक शोधून, तुम्ही श्रेणीबद्ध मालिकेच्या कोणत्याही एककासाठी वैशिष्ट्याचे मूल्य शोधू शकता.

चतुर्थांश- रँक केलेल्या लोकसंख्येला चार समान भागांमध्ये विभागणारी वैशिष्ट्यपूर्ण मूल्ये. कमी चतुर्थांश आहेत ( प्रश्न १), सरासरी ( प्रश्न २) आणि शीर्ष ( प्रश्न ३). खालचा चतुर्थक 1/4 लोकसंख्येला विशेषताच्या सर्वात कमी मूल्यांसह विभक्त करतो, वरचा चतुर्थक गुणांच्या सर्वोच्च मूल्यांसह लोकसंख्येच्या 1/4 विभक्त करतो. याचा अर्थ लोकसंख्येतील 25% युनिट्स आकाराने लहान असतील प्रश्न १; 25% युनिट्स दरम्यान करार केला जाईल प्रश्न १आणि प्रश्न २; 25% - दरम्यान प्रश्न २आणि प्रश्न ३; उर्वरित 25% पेक्षा जास्त प्रश्न ३. मध्य चतुर्थांश ( प्रश्न २) मध्यक आहे .

मध्यांतर मालिका वापरून चतुर्थकांची गणना करण्यासाठी, खालील सूत्रे वापरा:

;

.

कुठे x Q1- खालच्या चतुर्थक असलेल्या मध्यांतराची खालची मर्यादा (मध्यांतर संचित वारंवारतेद्वारे निर्धारित केले जाते, प्रथम 25% पेक्षा जास्त);

x Q3- वरच्या चतुर्थक असलेल्या मध्यांतराची खालची मर्यादा (मध्यांतर संचित वारंवारतेद्वारे निर्धारित केले जाते, प्रथम 75% पेक्षा जास्त);

S Q 1-1- खालच्या चतुर्थांश असलेल्या मध्यांतराच्या आधीच्या मध्यांतराची संचित वारंवारता;

S Q 3-1- वरच्या चतुर्थक असलेल्या मध्यांतराच्या आधीच्या मध्यांतराची संचित वारंवारता;

f Q1- खालच्या चतुर्थक असलेल्या मध्यांतराची वारंवारता;

f Q3- वरच्या चतुर्थक असलेल्या मध्यांतराची वारंवारता.

डेसिल्स- ही व्हेरिएंट व्हॅल्यू आहेत जी रँक केलेल्या मालिकेला दहा समान भागांमध्ये विभाजित करतात: 1st decile ( d 1) लोकसंख्येला 1/10 ते 9/10, 2रा डेसील ( d 2) - 2/10 ते 8/10 च्या प्रमाणात, इ. मध्यक आणि चतुर्थांश सारख्याच योजनेचा वापर करून डेसिल्सची गणना केली जाते:

;

.

भिन्नता मालिकेच्या विश्लेषणामध्ये वर चर्चा केलेल्या वैशिष्ट्यांच्या वितरणाचा वापर केल्याने आम्हाला लोकसंख्येचे सखोल आणि तपशीलवार अभ्यास करण्यास अनुमती मिळते.

अजून पहा:

स्ट्रक्चरल सरासरी

पॉवर अॅव्हरेजसोबत, स्ट्रक्चरल अॅव्हरेजही व्यापक बनले आहेत.

सांख्यिकीय समुच्चयांची रचना बदलते. शिवाय, लोकसंख्येचे एककांचे वितरण जितके अधिक सममितीय असेल, अभ्यास केलेल्या वैशिष्ट्यानुसार तिची रचना अधिक गुणात्मक एकसमान असेल, वैशिष्ट्याचे सरासरी मूल्य जितके चांगले आणि अधिक विश्वासार्ह असेल तितके अभ्यास केलेल्या घटनेचे वैशिष्ट्य दर्शवते. परंतु वितरण मालिकेच्या तीक्ष्ण तिरकसपणाच्या (असममिती) प्रकरणांसाठी, अंकगणितीय माध्य आता इतका वैशिष्ट्यपूर्ण नाही. उदाहरणार्थ, बचत बँकांमधील ठेवींच्या सरासरी आकारात विशेष स्वारस्य नसते, कारण मोठ्या प्रमाणात ठेवी या पातळीच्या खाली असतात आणि सरासरी मोठ्या ठेवींचा प्रभाव पडतो, ज्या काही कमी असतात आणि ज्या सामान्य नसतात. ठेवी

फॅशन (आकडेवारी)

अशा परिस्थितीत, सांख्यिकी दुसरी प्रणाली वापरते - सहायक संरचनात्मक सरासरीची प्रणाली. यामध्ये मोड, मध्यक, तसेच चतुर्थांश, क्विंटल, डेसेल, पर्सेंटेल्स यांचा समावेश होतो.

फॅशन (Mo)– वैशिष्ट्याचे सर्वाधिक वारंवार आढळणारे मूल्य, आणि वेगळ्या भिन्नता मालिकेमध्ये – हे सर्वात जास्त वारंवारता असलेले प्रकार आहे.

सांख्यिकीय सराव मध्ये, फॅशनचा वापर लोकसंख्येचे उत्पन्न, ग्राहकांची मागणी, किंमत नोंदणी आणि एंटरप्राइझच्या कामगिरीच्या काही तांत्रिक आणि आर्थिक निर्देशकांच्या विश्लेषणासाठी केला जातो.

काही प्रकरणांमध्ये, ही पद्धत रूची आहे, अंकगणित सरासरी नाही. काहीवेळा ते अंकगणित मध्याऐवजी वापरले जाते, उदाहरणार्थ, वितरण मालिकेची रचना वैशिष्ट्यीकृत करण्यासाठी.

मोड निश्चित करण्याची प्रक्रिया वितरण मालिकेच्या प्रकारावर अवलंबून असते. वेगळ्या मालिकेच्या स्वरूपात भिन्न वैशिष्ट्य सादर केले असल्यास, मोड निश्चित करण्यासाठी कोणत्याही गणनाची आवश्यकता नाही. अशा शृंखलामध्ये, मोड हे त्या विशेषताचे मूल्य असेल ज्याची वारंवारता सर्वाधिक असते.

जर एखाद्या वैशिष्ट्याचे मूल्य समान अंतरासह मध्यांतर भिन्नता मालिकेच्या स्वरूपात सादर केले असेल, तर सूत्र वापरून गणना करून मोड निर्धारित केला जातो:

कुठे एक्स मो- मोडल मध्यांतराची कमी मर्यादा,

i मो- मोडल अंतरालचे मूल्य,

f मो , f मो-०२२२२२२२५५ , f Mo+1- अनुक्रमे, मोडल, प्रीमॉडल (मागील) आणि पोस्टमॉडल (पुढील मोडल) अंतरालांची वारंवारता.

मध्यक (मी)- हे वैशिष्ट्याचे मूल्य आहे जे रँक केलेल्या भिन्नता मालिकेच्या मध्यभागी आहे, जेथे वैशिष्ट्याची वैयक्तिक मूल्ये (रूपे) चढत्या किंवा उतरत्या क्रमाने (रँकनुसार) व्यवस्था केली जातात.

ज्या प्रकरणांचा अभ्यास केला जात असलेल्या लोकसंख्येच्या एकजिनसीपणावर पुरेसा विश्वास नाही अशा प्रकरणांमध्ये सरासरी मूल्य म्हणून मध्यक वापरले जावे. मार्केटिंग क्रियाकलापांमध्ये मध्यक वापरला जातो. उदाहरणार्थ, लिफ्टचे स्थान, प्राथमिक वाइन बनवणारे कारखाने, कॅनिंग कारखाने, कच्च्या मालाच्या पुरवठादारांकडून अंतराची बेरीज सर्वात लहान असावी.

मध्यक, मोडप्रमाणे, वेगवेगळ्या प्रकारे परिभाषित केले जाते. हे वितरण मालिकेच्या संरचनेवर अवलंबून असते.
भिन्न भिन्नता मालिकेतील मध्यक निश्चित करण्यासाठी:

1) सूत्र वापरून त्याचा अनुक्रमांक शोधा

N मी =
2) संचित फ्रिक्वेन्सीची मालिका तयार करा

3) संचित वारंवारता शोधा, जी मध्यकाच्या अनुक्रमांकाच्या बरोबरीची आहे किंवा त्यापेक्षा जास्त आहे

4) दिलेल्या संचित वारंवारतेशी संबंधित पर्याय म्हणजे मध्यक.

जर वेगळ्या मालिकेच्या पदांची संख्या विषम असेल, तर माध्य मालिकेच्या मध्यभागी असेल आणि मालिकेच्या पदांच्या संख्येनुसार या मालिकेला अर्ध्या दोन समान भागांमध्ये विभागते. या प्रकरणात मध्यकाची क्रमिक संख्या सूत्रानुसार मोजली जाते:

N मी =(f + 1)2,

कुठे  f – मालिकेतील सदस्यांची संख्या.

मध्यांतर मालिकेत, मध्यांतर प्रथम निर्धारित केले जाते. हे करण्यासाठी, वेगळ्या मालिकेप्रमाणेच, मध्यकाचा अनुक्रमांक मोजला जातो. संचित वारंवारता, जी मध्यवर्ती संख्येच्या बरोबरीची आहे किंवा ती ओलांडणारी पहिली, मध्यांतर भिन्नता मालिकेतील मध्यांतराशी संबंधित आहे. ही संचित वारंवारता S Me दर्शवू. सूत्र वापरून मध्यक थेट मोजले जाते:

,
मध्यांतराची खालची मर्यादा कुठे आहे

— मध्यांतराचे मूल्य

— मध्यकाच्या आधीच्या मध्यांतराची संचित वारंवारता

- मध्यांतराची वारंवारता

मोड आणि मध्यकाची ग्राफिकल व्याख्या
मध्यांतर मालिकेतील मोड आणि मध्यक ग्राफिक पद्धतीने निर्धारित केले जाऊ शकते.

मोड वितरण हिस्टोग्रामद्वारे निर्धारित केला जातो. हे करण्यासाठी, सर्वात उंच आयत निवडा, जो या प्रकरणात मॉडेल आहे. मग आम्ही मॉडेल आयताच्या उजव्या शिरोबिंदूला मागील आयताच्या वरच्या उजव्या कोपर्यात जोडतो. आणि मोडल आयताचा डावा शिरोबिंदू - त्यानंतरच्या आयताच्या वरच्या डाव्या कोपऱ्यासह. पुढे, त्यांच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूपासून, ऍब्सिसा अक्षावर एक लंब खाली केला जातो. या रेषांच्या छेदनबिंदूचा abscissa वितरण मोड असेल (चित्र 1). मध्यक क्यूम्युलेट (चित्र 2) वरून मोजले जाते. ते निर्धारित करण्यासाठी, जमा झालेल्या फ्रिक्वेन्सी (फ्रिक्वेन्सी) च्या स्केलच्या 50% शी संबंधित बिंदूपासून, अॅब्सिसा अक्षाच्या समांतर एक सरळ रेषा काढली जाते जोपर्यंत ती कम्युलेटला छेदत नाही. नंतर, कम्युलेटसह दर्शविलेल्या रेषेच्या छेदनबिंदूपासून, एक लंब अॅब्सिसा अक्षापर्यंत खाली आणला जातो. छेदनबिंदूचा abscissa मध्यक आहे.

आकडेवारीतील फरकाचे निर्देशक.

सांख्यिकीय विश्लेषणाच्या प्रक्रियेत, अशी परिस्थिती उद्भवू शकते जेव्हा सरासरी मूल्यांची मूल्ये जुळतात आणि ज्या लोकसंख्येच्या आधारावर त्यांची गणना केली जाते त्या युनिट्सचा समावेश होतो ज्यांचे गुणधर्म मूल्य एकमेकांपासून अगदी स्पष्टपणे भिन्न असतात. या प्रकरणात, भिन्नता निर्देशांकांची गणना केली जाते.

कॅटलॉग:डाउनलोड -> Sotrudniki
डाउनलोड -> एन. एल. इव्हानोव्हा एम. एफ. लुकानिना
डाउनलोड्स -> प्रीस्कूल तज्ञ आणि पालकांसाठी व्याख्यान "प्रीस्कूल मुलांमध्ये आक्रमक वर्तन प्रतिबंध"
डाउनलोड -> व्यक्तिमत्त्वाचे मानसशास्त्रीय व्यावसायिक रूपांतर
डाउनलोड्स -> केमेरोवो क्षेत्राचे शिक्षण आणि विज्ञान विभाग
डाउनलोड्स -> फेडरल सर्व्हिस ऑफ द रशियन फेडरेशन फॉर ड्रग कंट्रोल, केमेरोवो प्रदेशासाठी प्रशासन
सोत्रुडनिकी -> चुवाश रिपब्लिकचे धनुष्य एसपीओ "चेटक" चुवाशियाचे शिक्षण मंत्रालय
डाउनलोड -> प्रीस्कूल मुलांच्या विकासासाठी मानसिक आणि शैक्षणिक समर्थनाची वैशिष्ट्ये
डाउनलोड्स -> मिशिना एम. एम. कौटुंबिक संबंधांच्या सहभागावर अवलंबून विचारांचा विकास
Sotrudniki -> व्यवसायाने बौद्धिक अपंग विद्यार्थ्यांमध्ये व्यावसायिकदृष्ट्या महत्त्वपूर्ण गुणांची निर्मिती

चाचणी

विषयावर: "मोड. माध्य. त्यांच्या गणनेसाठी पद्धती"

परिचय

सरासरी मूल्ये आणि भिन्नतेचे संबंधित निर्देशक आकडेवारीमध्ये खूप महत्त्वाची भूमिका बजावतात, जे त्याच्या अभ्यासाच्या विषयामुळे आहे. त्यामुळे हा विषय अभ्यासक्रमातील मध्यवर्ती विषयांपैकी एक आहे.

आकडेवारीमध्ये सरासरी हा एक अतिशय सामान्य सारांश उपाय आहे. हे या वस्तुस्थितीद्वारे स्पष्ट केले आहे की केवळ सरासरीच्या मदतीने लोकसंख्या परिमाणात्मक भिन्न वैशिष्ट्यांद्वारे दर्शविली जाऊ शकते. आकडेवारीमध्ये, सरासरी मूल्य हे काही परिमाणात्मक भिन्न वैशिष्ट्यांवर आधारित समान घटनांच्या संचाचे सामान्यीकरण वैशिष्ट्य आहे. सरासरी लोकसंख्येच्या प्रति युनिट या वैशिष्ट्याची पातळी दर्शवते.

सामाजिक घटनांचा अभ्यास करताना आणि स्थान आणि वेळेच्या विशिष्ट परिस्थितीत त्यांची वैशिष्ट्यपूर्ण, वैशिष्ट्यपूर्ण वैशिष्ट्ये ओळखण्याचा प्रयत्न करताना, सांख्यिकीशास्त्रज्ञ मोठ्या प्रमाणावर सरासरी मूल्ये वापरतात. सरासरी वापरून, तुम्ही वेगवेगळ्या वैशिष्ट्यांनुसार वेगवेगळ्या लोकसंख्येची एकमेकांशी तुलना करू शकता.

आकडेवारीमध्ये वापरलेली सरासरी शक्ती सरासरीच्या वर्गाशी संबंधित आहे. पॉवर सरासरीपैकी, अंकगणितीय सरासरी बहुतेकदा वापरली जाते, कमी वेळा हार्मोनिक मीन; हार्मोनिक मीन फक्त डायनॅमिक्सच्या सरासरी दरांची गणना करताना वापरला जातो आणि सरासरी स्क्वेअर फक्त भिन्नता निर्देशांकांची गणना करताना वापरला जातो.

अंकगणितीय मध्य म्हणजे रूपांच्या बेरजेला त्यांच्या संख्येने विभाजित करण्याचा भागांक. हे अशा प्रकरणांमध्ये वापरले जाते जेव्हा संपूर्ण लोकसंख्येसाठी भिन्न वैशिष्ट्यांचे प्रमाण त्याच्या वैयक्तिक युनिट्सच्या वैशिष्ट्यपूर्ण मूल्यांची बेरीज म्हणून तयार होते. अंकगणित सरासरी हा सर्वात सामान्य प्रकारचा सरासरी आहे, कारण तो सामाजिक घटनेच्या स्वरूपाशी संबंधित आहे, जेथे एकूणात भिन्न वैशिष्ट्यांचे प्रमाण बहुतेक वेळा लोकसंख्येच्या वैयक्तिक एककांच्या वैशिष्ट्यपूर्ण मूल्यांच्या बेरीज म्हणून अचूकपणे तयार केले जाते. .

त्याच्या परिभाषित गुणधर्मानुसार, जेव्हा गुणधर्माचा एकूण खंड व्हेरिएंटच्या व्यस्त मूल्यांची बेरीज म्हणून तयार होतो तेव्हा हार्मोनिक मीन वापरला जावा. जेव्हा सामग्रीवर अवलंबून, वजनाचा गुणाकार केला जात नाही, परंतु पर्यायांमध्ये विभागला जातो किंवा समान गोष्ट काय आहे, त्यांच्या परस्पर मूल्याने गुणाकार केली जाते तेव्हा ते वापरले जाते. या प्रकरणांमध्ये हार्मोनिक मीन म्हणजे वैशिष्ट्याच्या परस्पर मूल्यांच्या अंकगणितीय मध्याचा परस्परसंवाद.

जेव्हा लोकसंख्येची एकके - वैशिष्ट्यांचे वाहक - वजन म्हणून वापरली जात नाहीत अशा प्रकरणांमध्ये हार्मोनिक मीनचा अवलंब केला पाहिजे, परंतु वैशिष्ट्यांच्या मूल्यानुसार या युनिट्सची उत्पादने वापरली जातात.

1. आकडेवारीमध्ये मोड आणि मध्यकांची व्याख्या

अंकगणित आणि हार्मोनिक माध्यम म्हणजे एक किंवा दुसर्या भिन्न वैशिष्ट्यांनुसार लोकसंख्येची वैशिष्ट्ये सामान्य करणे. भिन्न वैशिष्ट्यांच्या वितरणाची सहायक वर्णनात्मक वैशिष्ट्ये मोड आणि मध्य आहेत.

सांख्यिकीमध्ये, मोड हे वैशिष्ट्यपूर्ण (व्हेरिएंट) चे मूल्य आहे जे बहुतेकदा दिलेल्या लोकसंख्येमध्ये आढळते. भिन्नतेच्या मालिकेत, हा सर्वात जास्त वारंवारता असलेला पर्याय असेल.

आकडेवारीमध्ये, मध्यक हा पर्याय आहे जो भिन्नता मालिकेच्या मध्यभागी आहे. मध्यक मालिका अर्ध्यामध्ये विभाजित करते; त्याच्या दोन्ही बाजूंना (वर आणि खाली) लोकसंख्येच्या एककांची संख्या समान आहे.

मोड आणि मध्यक, पॉवर साधनांच्या उलट, विशिष्ट वैशिष्ट्ये आहेत; त्यांचा अर्थ भिन्नता मालिकेतील कोणत्याही विशिष्ट पर्यायासाठी नियुक्त केला जातो.

मोडचा वापर अशा प्रकरणांमध्ये केला जातो जेथे वैशिष्ट्याचे सर्वात वारंवार होणारे मूल्य वैशिष्ट्यीकृत करणे आवश्यक असते.

5.5 मोड आणि मध्यक. स्वतंत्र आणि मध्यांतर भिन्नता मालिकेतील त्यांची गणना

जर आवश्यक असेल तर, उदाहरणार्थ, एखाद्या एंटरप्राइझमध्ये सर्वात सामान्य वेतन दर शोधणे, ज्या बाजारामध्ये सर्वात जास्त वस्तू विकल्या गेल्या त्या बाजारातील किंमत, ग्राहकांमध्ये सर्वात जास्त मागणी असलेल्या बुटाचा आकार इ. या केसेस ते फॅशनचा अवलंब करतात.

मध्यक मनोरंजक आहे कारण ते भिन्न वैशिष्ट्यांच्या मूल्याची परिमाणात्मक मर्यादा दर्शविते, जी लोकसंख्येच्या अर्ध्या सदस्यांनी गाठली आहे. बँक कर्मचार्‍यांचा सरासरी पगार 650,000 रूबल असू द्या. दर महिन्याला. जर आपण असे म्हणू की अर्ध्या कामगारांना 700,000 रूबल पगार मिळाला तर या वैशिष्ट्याची पूर्तता केली जाऊ शकते. आणि उच्च, म्हणजे माध्यिका देऊ. लोकसंख्या एकसंध आणि मोठ्या संख्येने असलेल्या प्रकरणांमध्ये मोड आणि मध्यक ही विशिष्ट वैशिष्ट्ये आहेत.

भिन्न भिन्नता मालिकेमध्ये मोड आणि मध्यक शोधणे

भिन्नता मालिकेतील मोड आणि मध्यक शोधणे, जेथे वैशिष्ट्याची मूल्ये विशिष्ट संख्येद्वारे दिली जातात, फार कठीण नाही. मुलांच्या संख्येनुसार कुटुंबांच्या वितरणासह तक्ता 1 पाहू.

तक्ता 1. मुलांच्या संख्येनुसार कुटुंबांचे वितरण

अर्थात, या उदाहरणात, फॅशन दोन मुलांसह एक कुटुंब असेल, कारण हा पर्याय मूल्य सर्वात मोठ्या कुटुंबांशी संबंधित आहे. असे वितरण असू शकते जेथे सर्व पर्याय समान रीतीने आढळतात, अशा परिस्थितीत कोणताही मोड नसतो किंवा, दुसऱ्या शब्दांत, आम्ही असे म्हणू शकतो की सर्व पर्याय समान रीतीने मॉडेल आहेत. इतर प्रकरणांमध्ये, एक नाही, परंतु दोन पर्याय सर्वोच्च वारंवारतेचे असू शकतात. मग दोन मोड असतील, वितरण बिमोडल असेल. बिमोडल वितरण अभ्यास केलेल्या वैशिष्ट्यानुसार लोकसंख्येची गुणात्मक विषमता दर्शवू शकते.

भिन्न भिन्नता मालिकेतील मध्यक शोधण्यासाठी, तुम्हाला फ्रिक्वेन्सीची बेरीज अर्ध्यामध्ये विभाजित करणे आणि परिणामामध्ये ½ जोडणे आवश्यक आहे. तर, मुलांच्या संख्येनुसार 185 कुटुंबांच्या वितरणामध्ये, मध्यक असेल: 185/2 + ½ = 93, म्हणजे. 93 वा पर्याय, जो ऑर्डर केलेल्या पंक्तीला अर्ध्यामध्ये विभाजित करतो. ९३व्या पर्यायाचा अर्थ काय? हे शोधण्यासाठी, आपल्याला सर्वात लहान पर्यायांपासून प्रारंभ करून फ्रिक्वेन्सी जमा करणे आवश्यक आहे. 1ल्या आणि 2ऱ्या पर्यायांच्या फ्रिक्वेन्सीची बेरीज 40 आहे. हे स्पष्ट आहे की येथे कोणतेही 93 पर्याय नाहीत. जर आपण 3ऱ्या पर्यायाची वारंवारता 40 वर जोडली, तर आपल्याला 40 + 75 = 115 ची बेरीज मिळेल. म्हणून, 93 वा पर्याय भिन्न वैशिष्ट्यांच्या तिसऱ्या मूल्याशी संबंधित आहे आणि मध्यक दोन मुले असलेले कुटुंब असेल.

या उदाहरणातील मोड आणि मध्यक जुळले. जर आपल्याकडे फ्रिक्वेन्सीची सम बेरीज असेल (उदाहरणार्थ, 184), तर, वरील सूत्र वापरून, आपल्याला मध्य पर्यायाची संख्या मिळेल, 184/2 + ½ = 92.5. कोणतेही अपूर्णांक पर्याय नसल्यामुळे, परिणाम सूचित करतो की मध्यक 92 आणि 93 पर्यायांमधील मध्यभागी आहे.

3. मध्यांतर भिन्नता मालिकेतील मोड आणि मध्यकांची गणना

मोड आणि मध्यकाचे वर्णनात्मक स्वरूप या वस्तुस्थितीमुळे आहे की ते वैयक्तिक विचलनांची भरपाई करत नाहीत. ते नेहमी एका विशिष्ट पर्यायाशी संबंधित असतात. म्हणून, विशेषताची सर्व मूल्ये ज्ञात आहेत की नाही हे शोधण्यासाठी मोड आणि मध्यकाला गणनाची आवश्यकता नाही. तथापि, मध्यांतर भिन्नता शृंखलामध्ये, विशिष्ट अंतरालमध्ये मोड आणि मध्यकाचे अंदाजे मूल्य शोधण्यासाठी गणना वापरली जाते.

मध्यांतरात समाविष्ट असलेल्या वैशिष्ट्याच्या मोडल मूल्याच्या विशिष्ट मूल्याची गणना करण्यासाठी, सूत्र वापरा:

M o = X Mo + i Mo *(f Mo – f Mo-1)/(f Mo – f Mo-1) + (f Mo – f Mo+1)),

जेथे XMo ही मोडल अंतरालची किमान सीमा आहे;

i Mo - मोडल अंतरालचे मूल्य;

f Mo - मोडल मध्यांतराची वारंवारता;

f Mo-1 - मॉडेलच्या आधीच्या मध्यांतराची वारंवारता;

f Mo+1 – मोडल नंतरच्या मध्यांतराची वारंवारता.

तक्ता 2 मध्ये दिलेल्या उदाहरणाचा वापर करून मोडची गणना दाखवू.

तक्ता 2. उत्पादन मानकांची पूर्तता करून एंटरप्राइझ कामगारांचे वितरण

मोड शोधण्यासाठी, आम्ही प्रथम या मालिकेतील मोडल अंतराल निर्धारित करतो. उदाहरण दर्शविते की सर्वोच्च वारंवारता मध्यांतराशी संबंधित आहे जेथे रूपे 100 ते 105 च्या श्रेणीत आहेत. हे मोडल अंतराल आहे. मॉडेल मध्यांतर मूल्य 5 आहे.

वरील सूत्रामध्ये तक्ता 2 मधील संख्यात्मक मूल्ये बदलून, आम्हाला मिळते:

M o = 100 + 5 * (104 -12)/((104 – 12) + (104 – 98)) = 108.8

या सूत्राचा अर्थ खालीलप्रमाणे आहे: मोडल मध्यांतराच्या त्या भागाचे मूल्य जे त्याच्या किमान सीमारेषेमध्ये जोडले जाणे आवश्यक आहे ते आधीच्या आणि त्यानंतरच्या मध्यांतरांच्या फ्रिक्वेन्सीच्या विशालतेवर अवलंबून असते. या प्रकरणात, आम्ही 8.8 ते 100 जोडतो, म्हणजे. मध्यांतराच्या अर्ध्याहून अधिक कारण आधीच्या मध्यांतराची वारंवारता नंतरच्या मध्यांतराच्या वारंवारतेपेक्षा कमी आहे.

आता मीडियन काढू. इंटरव्हल व्हेरिएशन मालिकेतील मध्यक शोधण्यासाठी, आम्ही प्रथम मध्यांतर ज्यामध्ये स्थित आहे ते निर्धारित करतो (मध्यमांतर). असा मध्यांतर असा असेल ज्याची संचयी वारंवारता फ्रिक्वेन्सीच्या बेरजेइतकी किंवा अर्ध्यापेक्षा जास्त असेल. गुणवत्तेच्या सर्वात कमी मूल्यासह मध्यांतरापासून सुरू होणार्‍या फ्रिक्वेन्सी हळूहळू एकत्रित करून संचयी फ्रिक्वेन्सी तयार केल्या जातात. फ्रिक्वेन्सीच्या बेरीजपैकी निम्मी म्हणजे 250 (500:2). म्हणून, टेबल 3 नुसार, मध्यांतर 350,000 रूबलच्या वेतन मूल्यासह मध्यांतर असेल. 400,000 घासणे पर्यंत.

तक्ता 3. अंतराल भिन्नता मालिकेतील मध्यकाची गणना

या मध्यांतरापूर्वी, संचित फ्रिक्वेन्सीची बेरीज 160 होती. म्हणून, मध्य मूल्य प्राप्त करण्यासाठी, आणखी 90 युनिट्स (250 – 160) जोडणे आवश्यक आहे.

मध्यवर्ती मूल्य निर्धारित करताना, असे गृहीत धरले जाते की मध्यांतरातील एककांचे मूल्य समान रीतीने वितरीत केले जाते. म्हणून, जर या मध्यांतरामध्ये स्थित 115 युनिट्स 50 च्या समान अंतराने समान रीतीने वितरीत केली गेली, तर खालील मूल्य 90 युनिट्सशी संबंधित असेल:

आकडेवारी मध्ये फॅशन

मध्यक (सांख्यिकी)

मध्यक (सांख्यिकी), गणितीय आकडेवारीमध्ये, नमुना दर्शविणारी संख्या (उदाहरणार्थ, संख्यांचा संच). जर सर्व नमुना घटक भिन्न असतील, तर मध्यक ही नमुना संख्या आहे जसे की नमुना घटकांपैकी निम्मे घटक त्याच्यापेक्षा मोठे आहेत आणि उर्वरित अर्धे त्यापेक्षा कमी आहेत.

सामान्यतः, नमुन्यातील घटकांना चढत्या किंवा उतरत्या क्रमाने क्रम देऊन आणि मध्यम घटक घेऊन मध्यक शोधले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, नमुना (11, 9, 3, 5, 5) क्रमाने (3, 5, 5, 9, 11) मध्ये बदलतो आणि त्याची मध्यक संख्या 5 आहे. जर नमुन्यात घटकांची सम संख्या असेल तर, मध्यक अनन्यपणे निर्धारित केले जाऊ शकत नाही: संख्यात्मक डेटासाठी, दोन समीप मूल्यांची अर्धी बेरीज बहुतेकदा वापरली जाते (म्हणजेच, संचाचा मध्यक (1, 3, 5, 7) 4 च्या बरोबरीने घेतला जातो).

दुस-या शब्दात, सांख्यिकीतील मध्यक हे असे मूल्य आहे जे एका मालिकेला अशा प्रकारे अर्ध्या भागामध्ये विभाजित करते की तिच्या दोन्ही बाजूंना (खाली किंवा वर) दिलेल्या लोकसंख्येमध्ये समान संख्या आहेत. या गुणधर्मामुळे, या निर्देशकाला इतर अनेक नावे आहेत: 50 व्या पर्सेंटाइल किंवा 0.5 क्वांटाइल.

जेव्हा रँक केलेल्या मालिकेचे (सर्वात लहान आणि सर्वात मोठे) अत्यंत पर्याय बाकीच्या तुलनेत खूप मोठे किंवा खूप लहान असतात तेव्हा अंकगणितीय मध्याऐवजी मध्यक वापरला जातो.

MEDIAN फंक्शन मध्यवर्ती प्रवृत्ती मोजते, जे सांख्यिकीय वितरणामध्ये संख्यांच्या संचाचे केंद्र असते. मध्यवर्ती प्रवृत्ती निर्धारित करण्याचे तीन सर्वात सामान्य मार्ग आहेत:

• सरासरी मूल्य- अंकगणितीय सरासरी, ज्याची गणना संख्यांचा संच जोडून केली जाते आणि नंतर परिणामी बेरीज त्यांच्या संख्येने विभाजित केली जाते.
  उदाहरणार्थ, 2, 3, 3, 5, 7 आणि 10 या संख्यांची सरासरी 5 आहे, जे त्यांच्या 30 च्या बेरजेला 6 च्या बेरजेने विभाजित केल्याचे परिणाम आहे.
• मध्यक- एक संख्या जी संख्यांच्या संचाच्या मध्यभागी असते: अर्ध्या संख्यांची मूल्ये मध्यापेक्षा मोठी असतात आणि अर्ध्या संख्यांची मूल्ये कमी असतात.
  उदाहरणार्थ, संख्या 2, 3, 3, 5, 7 आणि 10 साठी मध्यक 4 आहे.
• फॅशन- दिलेल्या संख्यांच्या संचामध्ये बहुतेक वेळा आढळणारी संख्या.

  उदाहरणार्थ, संख्या 2, 3, 3, 5, 7 आणि 10 साठी मोड 3 आहे.

मध्यक (सांख्यिकी), गणितीय आकडेवारीमध्ये, नमुना दर्शविणारी संख्या (उदाहरणार्थ, संख्यांचा संच). जर सर्व नमुना घटक भिन्न असतील, तर मध्यक ही नमुना संख्या आहे जसे की नमुना घटकांपैकी निम्मे घटक त्याच्यापेक्षा मोठे आहेत आणि उर्वरित अर्धे त्यापेक्षा कमी आहेत. सामान्यतः, नमुन्यातील घटकांना चढत्या किंवा उतरत्या क्रमाने क्रम देऊन आणि मध्यम घटक घेऊन मध्यक शोधले जाऊ शकते. उदाहरणार्थ, नमुना (11, 9, 3, 5, 5) क्रमाने (3, 5, 5, 9, 11) मध्ये बदलतो आणि त्याची मध्यक संख्या 5 आहे. जर नमुन्यात घटकांची सम संख्या असेल तर, मध्यक अनन्यपणे निर्धारित केले जाऊ शकत नाही: संख्यात्मक डेटासाठी, दोन समीप मूल्यांची अर्धी बेरीज बहुतेकदा वापरली जाते (म्हणजेच, संचाचा मध्यक (1, 3, 5, 7) 4 च्या बरोबरीने घेतला जातो).

दुस-या शब्दात, सांख्यिकीतील मध्यक हे असे मूल्य आहे जे एका मालिकेला अशा प्रकारे अर्ध्या भागामध्ये विभाजित करते की तिच्या दोन्ही बाजूंना (खाली किंवा वर) दिलेल्या लोकसंख्येमध्ये समान संख्या आहेत. या गुणधर्मामुळे, या निर्देशकाला इतर अनेक नावे आहेत: 50 व्या पर्सेंटाइल किंवा 0.5 क्वांटाइल.

जेव्हा रँक केलेल्या मालिकेचे (सर्वात लहान आणि सर्वात मोठे) अत्यंत पर्याय बाकीच्या तुलनेत खूप मोठे किंवा खूप लहान असतात तेव्हा अंकगणितीय मध्याऐवजी मध्यक वापरला जातो.

MEDIAN फंक्शन मध्यवर्ती प्रवृत्ती मोजते, जे सांख्यिकीय वितरणामध्ये संख्यांच्या संचाचे केंद्र असते. मध्यवर्ती प्रवृत्ती निर्धारित करण्याचे तीन सर्वात सामान्य मार्ग आहेत:

• सरासरी मूल्य- अंकगणितीय सरासरी, ज्याची गणना संख्यांचा संच जोडून केली जाते आणि नंतर परिणामी बेरीज त्यांच्या संख्येने विभाजित केली जाते.
  उदाहरणार्थ, 2, 3, 3, 5, 7 आणि 10 या संख्यांची सरासरी 5 आहे, जे त्यांच्या 30 च्या बेरजेला 6 च्या बेरजेने विभाजित केल्याचे परिणाम आहे.
• मध्यक- एक संख्या जी संख्यांच्या संचाच्या मध्यभागी असते: अर्ध्या संख्यांची मूल्ये मध्यापेक्षा मोठी असतात आणि अर्ध्या संख्यांची मूल्ये कमी असतात.
  उदाहरणार्थ, संख्या 2, 3, 3, 5, 7 आणि 10 साठी मध्यक 4 आहे.
• फॅशन- दिलेल्या संख्यांच्या संचामध्ये बहुतेक वेळा आढळणारी संख्या.
  उदाहरणार्थ, संख्या 2, 3, 3, 5, 7 आणि 10 साठी मोड 3 आहे.

मोड आणि मध्यक- एक विशेष प्रकारची सरासरी जी भिन्नता मालिकेच्या संरचनेचा अभ्यास करण्यासाठी वापरली जाते. त्यांना कधीकधी स्ट्रक्चरल सरासरी म्हटले जाते, पूर्वी चर्चा केलेल्या उर्जा सरासरीच्या उलट.

फॅशन- हे वैशिष्ट्यपूर्ण (व्हेरिएंट) चे मूल्य आहे जे बहुतेकदा दिलेल्या लोकसंख्येमध्ये आढळते, उदा. सर्वाधिक वारंवारता आहे.

फॅशनमध्ये उत्कृष्ट व्यावहारिक अनुप्रयोग आहे आणि काही प्रकरणांमध्ये केवळ फॅशनच सामाजिक घटना दर्शवू शकते.

मध्यक- हा एक प्रकार आहे जो ऑर्डर केलेल्या भिन्नता मालिकेच्या मध्यभागी आहे.

मध्यक वेगवेगळ्या वैशिष्ट्यांच्या मूल्याची परिमाणवाचक मर्यादा दर्शविते, जी लोकसंख्येच्या अर्ध्या युनिट्सपर्यंत पोहोचली आहे. जर भिन्नता मालिकेत खुले अंतराल असतील तर सरासरीसह किंवा त्याऐवजी मध्यक वापरणे उचित आहे, कारण मध्याची गणना करण्यासाठी, खुल्या मध्यांतरांच्या सीमांची सशर्त स्थापना आवश्यक नाही आणि म्हणूनच त्यांच्याबद्दलच्या माहितीचा अभाव मध्यकाच्या गणनेच्या अचूकतेवर परिणाम करत नाही.

जेव्हा वजन म्हणून वापरले जाणारे निर्देशक अज्ञात असतात तेव्हा मध्यक देखील वापरला जातो. उत्पादन गुणवत्ता नियंत्रणाच्या सांख्यिकीय पद्धतींमध्ये अंकगणित मध्याऐवजी मध्यक वापरला जातो. मध्यकातील पर्यायांच्या निरपेक्ष विचलनांची बेरीज इतर कोणत्याही संख्येपेक्षा कमी आहे.

भिन्न भिन्नता मालिकेतील मोड आणि मध्यकाची गणना करूया :

मोड आणि मध्यक निश्चित करा.

फॅशन मो = 4 वर्षे, कारण हे मूल्य सर्वोच्च वारंवारता f = 5 शी संबंधित आहे.

त्या. सर्वात जास्त कामगारांना 4 वर्षांचा अनुभव आहे.

मध्यकाची गणना करण्यासाठी, आपण प्रथम फ्रिक्वेन्सीची अर्धी बेरीज शोधतो. जर फ्रिक्वेन्सीची बेरीज विषम संख्या असेल, तर आपण प्रथम या बेरीजमध्ये एक जोडू आणि नंतर अर्ध्यामध्ये विभाजित करू:

मध्यक हा आठवा पर्याय असेल.

संख्येनुसार आठवा कोणता पर्याय असेल हे शोधण्यासाठी, जोपर्यंत आपल्याला सर्व फ्रिक्वेन्सीच्या बेरजेच्या समान किंवा अर्ध्यापेक्षा जास्त फ्रिक्वेन्सीची बेरीज मिळत नाही तोपर्यंत आपण फ्रिक्वेन्सी जमा करू. संबंधित पर्याय मध्यक असेल.

मेह = 4 वर्षे.

त्या. निम्म्या कामगारांना चार वर्षांपेक्षा कमी अनुभव आहे, अर्धा अधिक.

जर एका पर्यायाविरूद्ध जमा फ्रिक्वेन्सीची बेरीज फ्रिक्वेन्सीच्या अर्ध्या बेरजेइतकी असेल, तर मध्यक या पर्यायाचा अंकगणितीय मध्य आणि पुढील एक म्हणून परिभाषित केला जातो.

मध्यांतर भिन्नता मालिकेतील मोड आणि मध्यकांची गणना

मध्यांतर भिन्नता मालिकेतील मोड सूत्रानुसार मोजला जातो

कुठे एक्स M0- मोडल मध्यांतराची प्रारंभिक सीमा,

hमी 0 - मोडल अंतरालचे मूल्य,

fमी 0 , fमी 0-1 , fमी 0+1 - क्रमशः मोडल इंटरव्हलच्या आधीच्या आणि मोडल इंटरव्हलची वारंवारता.

मोडलज्या मध्यांतराशी सर्वोच्च वारंवारता जुळते त्याला म्हणतात.

उदाहरण १

मोड आणि मध्यक निश्चित करा.

मोडल मध्यांतर, कारण ते सर्वोच्च वारंवारता f = 35 शी संबंधित आहे. नंतर:

हं 0 =6, fм 0 =35

hमी 0 =2, fм 0-1 =20

fм 0+1 =11

निष्कर्ष: सर्वात जास्त कामगारांना अंदाजे 6.7 वर्षांचा अनुभव आहे.

मध्यांतर मालिकेसाठी, खालील सूत्र वापरून Me ची गणना केली जाते:

कुठे हं e- मध्यांतराची खालची सीमा,

हम्म e- मध्यांतराचा आकार,

- फ्रिक्वेन्सीची अर्धी बेरीज,

fм e- मध्यांतराची वारंवारता,

एस.एम e-1- मध्यकाच्या आधीच्या मध्यांतराच्या संचित फ्रिक्वेन्सीची बेरीज.

मध्यांतर हे एक मध्यांतर आहे जे फ्रिक्वेन्सीच्या बेरीजच्या अर्ध्या किंवा त्याहून अधिक संचयी वारंवारतेशी संबंधित असते.

आपल्या उदाहरणासाठी मध्यक ठरवू.

82>50 पासून, नंतर मध्यांतर आहे.

हं e =6, fм e =35,

हम्म e =2, एस.एम e-1 =47,

निष्कर्ष: अर्ध्या कामगारांना 6.16 वर्षांपेक्षा कमी अनुभव आहे आणि अर्ध्या कामगारांना 6.16 वर्षांपेक्षा जास्त अनुभव आहे.

कार्य. त्रिकोणाच्या बाजूंचा वापर करून त्याच्या मध्यकाची लांबी शोधा

उपाय.

समस्येचे निराकरण करण्याचे दोन मार्ग आहेत. पहिला, जो हायस्कूलच्या शिक्षकांना आवडत नाही, परंतु सर्वात सार्वत्रिक आहे.

पद्धत १.

आपण स्टीवर्टचे प्रमेय लागू करू या, त्यानुसार मध्यकाचा वर्ग ज्या बाजूने मध्य काढला आहे त्या बाजूचा वर्ग वजा केला जातो त्या बाजूंच्या दुप्पट वर्गाच्या बेरजेच्या एक चतुर्थांश इतका असतो.

M c 2 = (2a 2 + 2b 2 - c 2) / 4

अनुक्रमे

M c 2 = (2 * 8 2 + 2 * 9 2 - 13 2) / 4
m c 2 = 30.25
m c = 5.5 सेमी

पद्धत 2.

दुसरी उपाय पद्धत, जी शाळेतील शिक्षकांना आवडते, ती म्हणजे समांतरभुज चौकोनाच्या त्रिकोणाचे अतिरिक्त बांधकाम आणि समांतरभुज चौकोनाच्या कर्णांवर प्रमेयाद्वारे समाधान.

त्रिकोण आणि मध्यकाच्या बाजू समांतरभुज चौकोनात बांधून त्यांचा विस्तार करू. या प्रकरणात, त्रिकोण ABC चा मध्यक BO परिणामी समांतरभुज चौकोनाच्या अर्ध्या कर्णाच्या समान असेल आणि AB, BC त्रिकोणाच्या दोन बाजू त्याच्या पार्श्व बाजू असतील. त्रिकोण AC ची तिसरी बाजू, ज्यावर मध्यक काढला होता, तो परिणामी समांतरभुज चौकोनाचा दुसरा कर्ण आहे.

प्रमेयानुसार, समांतरभुज चौकोनाच्या कर्णांच्या वर्गांची बेरीज त्याच्या बाजूंच्या वर्गांच्या बेरीजच्या दुप्पट असते.

2(a 2 +b 2)=d 1 2 +d 2 2

आपण समांतरभुज चौकोनाचा कर्ण दर्शवू, जो मूळ त्रिकोणाच्या मध्यकाच्या निरंतरतेने तयार होतो, x म्हणून, आपल्याला मिळते:

2(8 2 + 9 2) = 13 2 + x 2
290 = 169 + x 2
x 2 = 290 - 169
x 2 = 121
x = 11

आवश्यक मध्यक समांतरभुज चौकोनाच्या अर्ध्या कर्णाच्या समान असल्याने, त्रिकोणाच्या मध्यकाचे मूल्य 11/2 = 5.5 सेमी असेल.

उत्तर द्या: 5.5 सेमी