जर दोलन साइन नियमानुसार वर्णन केले असेल. दोलन

>> हार्मोनिक कंपने

§ 22 हार्मोनिक कंपने

दोलन शरीराचे प्रवेग आणि समन्वय एकमेकांशी कसे संबंधित आहेत हे जाणून घेतल्यास, गणितीय विश्लेषणाच्या आधारे, वेळेवर समन्वयाचे अवलंबित्व शोधणे शक्य आहे.

प्रवेग हे वेळेच्या संदर्भात समन्वयाचे दुसरे व्युत्पन्न आहे.एखाद्या बिंदूचा तात्कालिक वेग, जसे की आपण गणिताच्या अभ्यासक्रमातून जाणतो, वेळेच्या संदर्भात बिंदूच्या निर्देशांकांचे व्युत्पन्न आहे. बिंदूचे प्रवेग हे वेळेच्या संदर्भात त्याच्या गतीचे व्युत्पन्न किंवा वेळेच्या संदर्भात समन्वयाचे दुसरे व्युत्पन्न आहे. म्हणून, समीकरण (3.4) खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकते:

जेथे x " - वेळेच्या संदर्भात समन्वयाचे दुसरे व्युत्पन्न. समीकरण (3.11) नुसार, मुक्त दोलनांदरम्यान, समन्वय x वेळेनुसार बदलतो ज्यामुळे वेळेच्या संदर्भात समन्वयाचा दुसरा व्युत्पन्न थेट समन्वयाच्याच प्रमाणात असतो आणि चिन्हाच्या विरुद्ध असतो.

गणिताच्या अभ्यासक्रमावरून हे ज्ञात आहे की त्यांच्या युक्तिवादाच्या संदर्भात साइन आणि कोसाइनचे दुसरे व्युत्पन्न स्वतःच फंक्शन्सच्या प्रमाणात आहेत, विरुद्ध चिन्हासह घेतले आहेत. इतर कोणत्याही फंक्शन्समध्ये हा गुणधर्म नाही हे गणितीय विश्लेषण सिद्ध करते. हे सर्व आपल्याला कायदेशीरपणे असे ठामपणे सांगण्यास अनुमती देते की मुक्त दोलन करणार्‍या शरीराचा समन्वय सायन किंवा पॅसिनच्या नियमानुसार कालांतराने बदलतो. आकृती 3.6 कोसाइन नियमानुसार एका बिंदूच्या समन्वयातील बदल दर्शविते.

सायन किंवा कोसाइनच्या नियमानुसार वेळेवर अवलंबून भौतिक प्रमाणातील नियतकालिक बदलांना हार्मोनिक दोलन म्हणतात.

दोलनांचे मोठेपणा.हार्मोनिक दोलनांचे मोठेपणा हे शरीराच्या त्याच्या समतोल स्थितीपासून सर्वात मोठे विस्थापनाचे मॉड्यूलस आहे.

वेळेच्या सुरुवातीच्या क्षणी आपण समतोल स्थितीतून शरीराला किती विस्थापित करतो किंवा शरीराला कोणता वेग दिला जातो यावर अवलंबून मोठेपणाची भिन्न मूल्ये असू शकतात. मोठेपणा सुरुवातीच्या परिस्थितीनुसार किंवा शरीराला दिल्या जाणाऱ्या ऊर्जेद्वारे निश्चित केले जाते. परंतु साइन मॉड्यूलस आणि कोसाइन मॉड्यूलसची कमाल मूल्ये एक समान आहेत. म्हणून, समीकरणाचे समाधान (3.11) फक्त साइन किंवा कोसाइन म्हणून व्यक्त केले जाऊ शकत नाही. हे सायन किंवा कोसाइन द्वारे दोलन मोठेपणा x m च्या गुणाकाराचे रूप घेतले पाहिजे.

मुक्त कंपनांचे वर्णन करणाऱ्या समीकरणाचे निराकरण.समीकरण (3.11) चे समाधान खालील फॉर्ममध्ये लिहू.

आणि दुसरा व्युत्पन्न समान असेल:

आम्ही समीकरण प्राप्त केले आहे (3.11). परिणामी, फंक्शन (3.12) हे मूळ समीकरण (3.11) चे समाधान आहे. या समीकरणाचे निराकरण देखील कार्य असेल

(3.14) नुसार शरीराच्या समन्वयाचा आलेख एक कोसाइन वेव्ह आहे (चित्र 3.6 पहा).

हार्मोनिक दोलनांचा कालावधी आणि वारंवारता. दोलन करताना, शरीराच्या हालचाली नियमितपणे पुनरावृत्ती केल्या जातात. T ज्या कालावधीत प्रणाली दोलनांचे एक संपूर्ण चक्र पूर्ण करते त्याला दोलनांचा कालावधी म्हणतात.

कालावधी जाणून घेतल्यास, तुम्ही दोलनांची वारंवारता निश्चित करू शकता, म्हणजे वेळेच्या प्रति युनिट दोलनांची संख्या, उदाहरणार्थ प्रति सेकंद. T वेळेत एक दोलन घडल्यास, प्रति सेकंद दोलनांची संख्या

इंटरनॅशनल सिस्टीम ऑफ युनिट्स (SI) मध्ये, प्रति सेकंद एक दोलन असल्यास दोलनाची वारंवारता एक सारखी असते. जर्मन भौतिकशास्त्रज्ञ जी. हर्ट्झ यांच्या सन्मानार्थ फ्रिक्वेन्सीच्या युनिटला हर्ट्झ (संक्षिप्त: Hz) म्हणतात.

2 s मध्ये दोलनांची संख्या समान आहे:

परिमाण म्हणजे चक्रीय किंवा वर्तुळाकार, दोलनांची वारंवारता. जर समीकरणात (3.14) वेळ t एका कालखंडाच्या समान असेल, तर T = 2. अशा प्रकारे, वेळी t = 0 x = x m असेल, तर त्या वेळी t = T x = x m, म्हणजे एका कालावधीच्या बरोबरीने कालावधी, oscillations पुनरावृत्ती आहेत.

मुक्त कंपनांची वारंवारता ओस्किलेटरी सिस्टम 1 च्या नैसर्गिक वारंवारतेद्वारे निर्धारित केली जाते.

सिस्टमच्या गुणधर्मांवर फ्री ऑसिलेशनची वारंवारता आणि कालावधीचे अवलंबन.स्प्रिंगला जोडलेल्या शरीराच्या कंपनाची नैसर्गिक वारंवारता, समीकरण (3.13) नुसार आहे:

स्प्रिंग कडकपणा k जितका जास्त असेल तितका तो जास्त आणि कमी, शरीराचे वस्तुमान m. हे समजणे सोपे आहे: ताठ स्प्रिंग शरीराला अधिक प्रवेग देते आणि शरीराची गती अधिक वेगाने बदलते. आणि शरीर जितके मोठे असेल तितकेच ते शक्तीच्या प्रभावाखाली गती बदलते. दोलन कालावधी समान आहे:

वेगवेगळ्या ताठरपणाच्या स्प्रिंग्सचा संच आणि वेगवेगळ्या वस्तुमानांच्या शरीरामुळे, हे सूत्र (3.13) आणि (3.18) k आणि m वरील आणि T च्या अवलंबनाचे स्वरूप योग्यरित्या वर्णन करतात हे अनुभवावरून सत्यापित करणे सोपे आहे.

हे उल्लेखनीय आहे की स्प्रिंगवर शरीराच्या दोलनाचा कालावधी आणि विक्षेपणाच्या लहान कोनांवर पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी दोलनांच्या मोठेपणावर अवलंबून नाही.

समीकरण (3.10) मधील प्रवेग t आणि विस्थापन x मधील आनुपातिकता गुणांकाचे मापांक, जे पेंडुलमच्या दोलनांचे वर्णन करते, समीकरण (3.11) प्रमाणे, चक्रीय वारंवारतेचा वर्ग आहे. परिणामी, उभ्यापासून थ्रेडच्या विचलनाच्या लहान कोनांवर गणितीय पेंडुलमच्या दोलनाची नैसर्गिक वारंवारता पेंडुलमची लांबी आणि गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रवेगवर अवलंबून असते:

आय. न्यूटनचे समकालीन, डच शास्त्रज्ञ जी. ह्युजेन्स यांनी हे सूत्र प्रथम प्राप्त केले आणि प्रायोगिकरित्या तपासले. हे केवळ थ्रेड विक्षेपणच्या लहान कोनांसाठी वैध आहे.

1 बर्‍याचदा खालील मध्ये, संक्षिप्ततेसाठी, आम्ही फक्त चक्रीय वारंवारता वारंवारता म्हणून संदर्भित करू. तुम्ही नोटेशनद्वारे चक्रीय वारंवारता सामान्य वारंवारतेपासून वेगळे करू शकता.

पेंडुलमच्या वाढत्या लांबीसह दोलनाचा कालावधी वाढतो. हे पेंडुलमच्या वस्तुमानावर अवलंबून नाही. हे विविध पेंडुलमसह प्रायोगिकरित्या सहजपणे सत्यापित केले जाऊ शकते. गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रवेगवर दोलन कालावधीचे अवलंबित्व देखील शोधले जाऊ शकते. लहान g, पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी जितका जास्त असेल आणि म्हणून, पेंडुलम घड्याळ हळू चालते. अशा प्रकारे, रॉडवरील वजनाच्या स्वरूपात पेंडुलम असलेले घड्याळ तळघरातून मॉस्को विद्यापीठाच्या वरच्या मजल्यावर (उंची 200 मीटर) उचलल्यास दररोज सुमारे 3 सेकंद मागे पडेल. आणि हे केवळ उंचीसह फ्री फॉलच्या प्रवेग कमी झाल्यामुळे आहे.

g च्या मूल्यावर पेंडुलमच्या दोलन कालावधीचे अवलंबन व्यवहारात वापरले जाते. दोलन कालावधी मोजून, g अगदी अचूकपणे निर्धारित केले जाऊ शकते. भौगोलिक अक्षांशानुसार गुरुत्वाकर्षणाचा प्रवेग बदलतो. परंतु दिलेल्या अक्षांशातही ते सर्वत्र सारखे नसते. शेवटी, पृथ्वीच्या कवचाची घनता सर्वत्र सारखी नसते. ज्या भागात दाट खडक आढळतात, तेथे त्वरण g काहीसे जास्त असते. खनिजे शोधताना हे लक्षात घेतले जाते.

अशा प्रकारे, लोह धातूची घनता सामान्य खडकांच्या तुलनेत जास्त असते. कुर्स्क जवळील गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रवेगाचे मोजमाप, शिक्षणतज्ञ ए.ए. मिखाइलोव्ह यांच्या नेतृत्वाखाली केले गेले, ज्यामुळे लोह खनिजाचे स्थान स्पष्ट करणे शक्य झाले. चुंबकीय मापनांद्वारे ते प्रथम शोधले गेले.

यांत्रिक कंपनांचे गुणधर्म बहुतेक इलेक्ट्रॉनिक स्केलच्या उपकरणांमध्ये वापरले जातात. वजन केले जाणारे शरीर एका प्लॅटफॉर्मवर ठेवले जाते ज्याखाली एक कठोर स्प्रिंग स्थापित केले जाते. परिणामी, यांत्रिक कंपने उद्भवतात, ज्याची वारंवारता संबंधित सेन्सरद्वारे मोजली जाते. या सेन्सरशी संबंधित मायक्रोप्रोसेसर दोलन वारंवारता वजनाच्या शरीराच्या वस्तुमानात रूपांतरित करतो, कारण ही वारंवारता वस्तुमानावर अवलंबून असते.

दोलन कालावधीसाठी परिणामी सूत्रे (3.18) आणि (3.20) सूचित करतात की हार्मोनिक दोलनांचा कालावधी सिस्टम पॅरामीटर्सवर अवलंबून असतो (स्प्रिंग कडकपणा, थ्रेडची लांबी इ.)

मायकिशेव जी. या., भौतिकशास्त्र. 11 वी: शैक्षणिक. सामान्य शिक्षणासाठी संस्था: मूलभूत आणि प्रोफाइल. स्तर / G. Ya. Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; द्वारा संपादित व्ही.आय. निकोलायवा, एन.ए. परफेंटिएवा. - 17 वी आवृत्ती, सुधारित. आणि अतिरिक्त - एम.: शिक्षण, 2008. - 399 पी.: आजारी.

इयत्तेनुसार विषयांची संपूर्ण यादी, भौतिकशास्त्र ऑनलाइन शालेय अभ्यासक्रमानुसार कॅलेंडर योजना, इयत्ता 11वी साठी भौतिकशास्त्रावरील व्हिडिओ सामग्री डाउनलोड

कमाल गती आणि प्रवेग मूल्ये

अवलंबन v(t) आणि a(t) च्या समीकरणांचे विश्लेषण केल्यावर, त्रिकोणमितीय घटक 1 किंवा -1 च्या बरोबरीच्या असल्यास गती आणि प्रवेग कमाल मूल्ये घेतात असा अंदाज लावू शकतो. सूत्रानुसार ठरवले जाते

v(t) आणि a(t) अवलंबित्व कसे मिळवायचे

7. मोफत कंपन. दोलन गतीची गती, प्रवेग आणि ऊर्जा. कंपनांची भर

मुक्त कंपने(किंवा नैसर्गिक कंपने) हे दोलन प्रणालीचे दोलन आहेत जे केवळ बाह्य प्रभावांच्या अनुपस्थितीत सुरुवातीला प्रदान केलेल्या उर्जेमुळे (संभाव्य किंवा गतिज) होतात.

संभाव्य किंवा गतिज ऊर्जा प्रदान केली जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, प्रारंभिक विस्थापन किंवा प्रारंभिक वेगाद्वारे यांत्रिक प्रणालींमध्ये.

मुक्तपणे दोलायमान शरीरे नेहमी इतर शरीरांशी संवाद साधतात आणि त्यांच्यासह शरीराची एक प्रणाली तयार करतात ज्याला म्हणतात दोलन प्रणाली.

उदाहरणार्थ, स्प्रिंग, बॉल आणि उभ्या पोस्ट ज्यावर स्प्रिंगचा वरचा भाग जोडलेला आहे (खालील आकृती पहा) दोलन प्रणालीमध्ये समाविष्ट आहेत. येथे चेंडू स्ट्रिंगच्या बाजूने मुक्तपणे सरकतो (घर्षण शक्ती नगण्य आहेत). जर तुम्ही बॉल उजवीकडे हलवला आणि तो स्वतःकडे सोडला, तर तो समतोल स्थितीभोवती मुक्तपणे फिरेल (बिंदू बद्दल) समतोल स्थितीकडे निर्देशित केलेल्या स्प्रिंगच्या लवचिक शक्तीच्या क्रियेमुळे.

यांत्रिक दोलन प्रणालीचे आणखी एक उत्कृष्ट उदाहरण म्हणजे गणितीय पेंडुलम (खालील आकृती पहा). या प्रकरणात, बॉल दोन शक्तींच्या प्रभावाखाली मुक्त दोलन करतो: गुरुत्वाकर्षण आणि धाग्याची लवचिक शक्ती (पृथ्वी देखील दोलन प्रणालीमध्ये समाविष्ट आहे). त्यांचा परिणाम समतोल स्थितीकडे निर्देशित केला जातो.

दोलन प्रणालीच्या शरीरांमध्ये कार्य करणार्या शक्तींना म्हणतात अंतर्गत शक्ती. बाह्य शक्तींनीत्‍याच्‍या बाहेरील शरीरातून प्रणालीवर कार्य करणार्‍या शक्तींना म्हणतात. या दृष्टिकोनातून, प्रणाली त्याच्या समतोल स्थितीतून काढून टाकल्यानंतर अंतर्गत शक्तींच्या प्रभावाखाली असलेल्या प्रणालीमध्ये मुक्त दोलनांची व्याख्या केली जाऊ शकते.

मुक्त दोलन होण्याच्या अटी आहेत:

1) त्यांच्यामध्ये अशा शक्तीचा उदय जो सिस्टमला या स्थितीतून काढून टाकल्यानंतर स्थिर समतोल स्थितीकडे परत आणतो;

2) प्रणालीमध्ये घर्षणाचा अभाव.

मुक्त कंपनांची गतिशीलता.

लवचिक शक्तींच्या प्रभावाखाली शरीराची स्पंदने. लवचिक बलाच्या क्रियेखाली शरीराच्या दोलन गतीचे समीकरण एफ(आकृती पहा) न्यूटनचा दुसरा नियम लक्षात घेऊन मिळू शकतो ( F = ma) आणि हुकचा कायदा ( एफ नियंत्रण= -kx), कुठे मीहे बॉलचे वस्तुमान आहे आणि लवचिक बलाच्या क्रियेने चेंडूने प्राप्त केलेला प्रवेग आहे, k- स्प्रिंग कडकपणा गुणांक, एक्स- समतोल स्थितीतून शरीराचे विस्थापन (दोन्ही समीकरणे क्षैतिज अक्षावर प्रोजेक्शनमध्ये लिहिलेली आहेत ओह). या समीकरणांच्या उजव्या बाजूचे समीकरण करणे आणि प्रवेग लक्षात घेणे एसमन्वयाचे दुसरे व्युत्पन्न आहे एक्स(विस्थापन), आम्हाला मिळते:

.

हे लवचिक बलाच्या क्रियेखाली दोलन करणाऱ्या शरीराच्या गतीचे विभेदक समीकरण आहे: वेळेच्या (शरीर प्रवेग) संदर्भात समन्वयाचे दुसरे व्युत्पन्न त्याच्या समन्वयाशी थेट प्रमाणात असते, विरुद्ध चिन्हासह घेतले जाते.

गणितीय पेंडुलमचे दोलन.गणितीय पेंडुलम (आकृती) च्या दोलनाचे समीकरण प्राप्त करण्यासाठी, गुरुत्वाकर्षण शक्तीचा विस्तार करणे आवश्यक आहे एफ टी= मिग्रॅसामान्य करण्यासाठी Fn(थ्रेडच्या बाजूने निर्देशित) आणि स्पर्शिका F τ(बॉलच्या प्रक्षेपकाला स्पर्शिका - वर्तुळ) घटक. गुरुत्वाकर्षणाचा सामान्य घटक Fnआणि धाग्याचे लवचिक बल Fynpसंपूर्णपणे पेंडुलमच्या मध्यवर्ती प्रवेगवर परिणाम होतो, जो वेगाच्या तीव्रतेवर परिणाम करत नाही, परंतु केवळ त्याची दिशा आणि स्पर्शिक घटक बदलतो F τहे असे बल आहे जे चेंडूला त्याच्या समतोल स्थितीकडे परत आणते आणि त्याला दोलन हालचाली करण्यास प्रवृत्त करते. मागील प्रकरणाप्रमाणे, स्पर्शिक प्रवेगासाठी न्यूटनचा नियम वापरणे ma τ = F τआणि ते दिले F τ= -mg sinα, आम्हाला मिळते:

एक τ= -g sinα,

वजा चिन्ह दिसले कारण समतोल स्थितीपासून विचलनाचे बल आणि कोन α विरुद्ध चिन्हे आहेत. लहान विक्षेपण कोनांसाठी sin α ≈ α. त्याच्या बदल्यात, α = s/l, कुठे s- चाप ओ.ए., आय- धाग्याची लांबी. त्याचा विचार करता आणि τ= s", आम्हाला शेवटी मिळते:

समीकरणाचे स्वरूप समीकरणासारखे आहे . फक्त येथे सिस्टमचे मापदंड म्हणजे थ्रेडची लांबी आणि फ्री फॉलचा प्रवेग, आणि स्प्रिंग कडकपणा आणि बॉलचे वस्तुमान नाही; समन्वयाची भूमिका कमानीच्या लांबीने खेळली जाते (म्हणजेच, पहिल्या केसप्रमाणेच प्रवास केलेले अंतर).

अशा प्रकारे, मुक्त कंपनांचे वर्णन समान प्रकारच्या समीकरणांद्वारे केले जाते (समान कायद्यांच्या अधीन) या कंपनांना कारणीभूत असलेल्या शक्तींचे भौतिक स्वरूप विचारात न घेता.

समीकरणे सोडवणे आणि फॉर्मचे कार्य आहे:

x = x mcos ω 0ट(किंवा x = x mपाप ω 0ट).

म्हणजेच, मुक्त दोलन करणार्‍या शरीराचा समन्वय कोसाइन किंवा साइनच्या नियमानुसार कालांतराने बदलतो आणि म्हणूनच, हे दोलन हार्मोनिक आहेत:

Eq मध्ये. x = x mcos ω 0ट(किंवा x = x mपाप ω 0ट), x m- कंपन मोठेपणा, ω 0 - दोलनांची स्वतःची चक्रीय (परिपत्रक) वारंवारता.

चक्रीय वारंवारता आणि मुक्त हार्मोनिक दोलनांचा कालावधी सिस्टमच्या गुणधर्मांद्वारे निर्धारित केला जातो. अशा प्रकारे, स्प्रिंगला जोडलेल्या शरीराच्या कंपनांसाठी, खालील संबंध वैध आहेत:

.

स्प्रिंग कडकपणा जितका जास्त असेल किंवा लोडचे वस्तुमान जितके लहान असेल तितकी नैसर्गिक वारंवारता जास्त असेल, जी अनुभवाद्वारे पूर्णपणे पुष्टी केली जाते.

गणितीय पेंडुलमसाठी खालील समानता समाधानी आहेत:

.

हे सूत्र सर्वप्रथम डच शास्त्रज्ञ ह्युजेन्स (न्यूटनचे समकालीन) यांनी प्रायोगिकरित्या मिळवले आणि तपासले.

पेंडुलमच्या वाढत्या लांबीसह दोलनाचा कालावधी वाढतो आणि त्याच्या वस्तुमानावर अवलंबून नाही.

विशेष लक्ष दिले पाहिजे की हार्मोनिक दोलन काटेकोरपणे नियतकालिक असतात (कारण ते साइन किंवा कोसाइनचे नियम पाळतात) आणि अगदी गणितीय पेंडुलमसाठी, जे वास्तविक (भौतिक) पेंडुलमचे आदर्शीकरण आहे, केवळ लहान दोलनांवर शक्य आहे. कोन विक्षेपण कोन मोठे असल्यास, भाराचे विस्थापन विक्षेपण कोन (कोनाचे साइन) च्या प्रमाणात नसेल आणि प्रवेग विस्थापनाच्या प्रमाणात नसेल.

मुक्तपणे दोलन करणाऱ्या शरीराचा वेग आणि प्रवेग देखील हार्मोनिक दोलनांमधून जाईल. फंक्शनचे व्युत्पन्न वेळ घेणे ( x = x mcos ω 0ट(किंवा x = x mपाप ω 0ट)), आम्हाला गतीसाठी अभिव्यक्ती मिळते:

v = -v mपाप ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2),

कुठे v मी= ω 0 x m- वेग मोठेपणा.

प्रवेग साठी समान अभिव्यक्ती एआम्ही फरक करून मिळवतो ( v = -v mपाप ω 0t = -v mx mcos (ω 0t + π/2)):

a = -a mcos ω 0ट,

कुठे आहे= ω 2 0x m- प्रवेगचे मोठेपणा. अशाप्रकारे, हार्मोनिक दोलनांच्या गतीचे मोठेपणा वारंवारतेच्या प्रमाणात असते आणि प्रवेगचे मोठेपणा दोलन वारंवारतेच्या वर्गाच्या प्रमाणात असते.

हार्मोनिक स्पंदने
ज्या दोलनांमध्ये कोसाइन किंवा साइन (हार्मोनिक लॉ) च्या नियमानुसार भौतिक प्रमाणात बदल घडतात, त्यांना म्हणतात. हार्मोनिक कंपने.उदाहरणार्थ, यांत्रिक हार्मोनिक कंपनांच्या बाबतीत:. या सूत्रांमध्ये, ω ही दोलनाची वारंवारता आहे, x m हे दोलनाचे मोठेपणा आहे, φ 0 आणि φ 0 ' हे दोलनाचे प्रारंभिक टप्पे आहेत. वरील सूत्रे प्रारंभिक टप्प्याच्या व्याख्येमध्ये भिन्न आहेत आणि φ 0 ’ = φ 0 +π/2 वर पूर्णपणे एकरूप होतात.
नियतकालिक दोलनाचा हा सर्वात सोपा प्रकार आहे. फंक्शनचे विशिष्ट स्वरूप (साइन किंवा कोसाइन) सिस्टमला त्याच्या समतोल स्थितीतून काढून टाकण्याच्या पद्धतीवर अवलंबून असते. जर काढून टाकणे पुशने होत असेल (गतिज ऊर्जा दिली जाते), तर t=0 वर विस्थापन x=0, म्हणून, φ 0 '=0 सेट करून, sin फंक्शन वापरणे अधिक सोयीचे आहे; t = 0 वर समतोल स्थितीपासून (संभाव्य ऊर्जा नोंदवली जाते) विचलित झाल्यावर, विस्थापन x = x m, म्हणून, cos फंक्शन आणि φ 0 = 0 वापरणे अधिक सोयीचे आहे.
cos किंवा sin या चिन्हाखालील अभिव्यक्तीला म्हणतात. दोलन टप्पा:. दोलनाचा टप्पा रेडियनमध्ये मोजला जातो आणि दिलेल्या वेळी विस्थापनाचे मूल्य (ओसीलेटिंग प्रमाण) निर्धारित करते.
दोलनाचे मोठेपणा केवळ प्रारंभिक विचलनावर (दोलन प्रणालीला दिलेली प्रारंभिक ऊर्जा) अवलंबून असते.
हार्मोनिक दोलन दरम्यान वेग आणि प्रवेग.
वेगाच्या व्याख्येनुसार, वेग म्हणजे वेळेच्या संदर्भात एखाद्या स्थितीचे व्युत्पन्न
अशा प्रकारे, आपण पाहतो की हार्मोनिक दोलन गती दरम्यानचा वेग देखील हार्मोनिक नियमानुसार बदलतो, परंतु गती दोलन फेज विस्थापन दोलनांपेक्षा π/2 ने पुढे असतात.
मूल्य - दोलन गतीची कमाल गती (वेगातील चढउतारांचे मोठेपणा).
म्हणून, हार्मोनिक दोलन दरम्यान गतीसाठी आमच्याकडे आहे: , आणि शून्य प्रारंभिक टप्प्याच्या बाबतीत (आलेख पहा).
प्रवेगाच्या व्याख्येनुसार, प्रवेग हे वेळेच्या संदर्भात गतीचे व्युत्पन्न आहे: वेळेच्या संदर्भात समन्वयाचे दुसरे व्युत्पन्न आहे. मग:. हार्मोनिक दोलन गती दरम्यान प्रवेग देखील हार्मोनिक नियमानुसार बदलतो, परंतु प्रवेग दोलन गती दोलनांपेक्षा π/2 ने आणि विस्थापन दोलन π ने पुढे असतात (ओसिलेशन्स होतात असे म्हणतात अँटीफेसमध्ये).
मूल्य - कमाल प्रवेग (प्रवेग चढउतारांचे मोठेपणा). म्हणून, प्रवेगासाठी आमच्याकडे आहे: , आणि शून्य प्रारंभिक टप्प्याच्या बाबतीत: (चार्ट पहा).
दोलन गती, आलेख आणि संबंधित गणितीय अभिव्यक्तींच्या प्रक्रियेच्या विश्लेषणावरून हे स्पष्ट होते की जेव्हा दोलन शरीर समतोल स्थिती (विस्थापन शून्य असते) पार करते, तेव्हा प्रवेग शून्य असतो आणि शरीराचा वेग जास्तीत जास्त असतो. शरीर जडत्वाद्वारे समतोल स्थिती पार करते), आणि जेव्हा विस्थापनाचे मोठेपणा मूल्य गाठले जाते, तेव्हा गती शून्य असते आणि प्रवेग परिपूर्ण मूल्यामध्ये जास्तीत जास्त असतो (शरीर त्याच्या हालचालीची दिशा बदलते).
चला हार्मोनिक कंपनांच्या दरम्यान विस्थापन आणि प्रवेग यासाठीच्या अभिव्यक्तींची तुलना करूया: आणि .
तुम्ही लिहू शकता: - म्हणजे विस्थापनाचा दुसरा व्युत्पन्न थेट विस्थापनाशी (विरुद्ध चिन्हासह) आहे. या समीकरणाला म्हणतात हार्मोनिक कंपनाचे समीकरण. हे अवलंबित्व कोणत्याही कर्णमधुर दोलनासाठी, त्याचे स्वरूप काहीही असो. आम्ही विशिष्ट दोलन प्रणालीचे पॅरामीटर्स कधीही वापरलेले नसल्यामुळे, केवळ चक्रीय वारंवारता त्यांच्यावर अवलंबून असू शकते.
फॉर्ममध्ये कंपनांसाठी समीकरणे लिहिणे अनेकदा सोयीचे असते: , जेथे T हा दोलन कालावधी आहे. नंतर, जर कालावधीच्या अपूर्णांकांमध्ये वेळ व्यक्त केला असेल, तर गणना सरलीकृत केली जाईल. उदाहरणार्थ, जर आपल्याला कालावधीच्या 1/8 नंतर विस्थापन शोधायचे असेल तर आपल्याला मिळते: . वेग आणि प्रवेग साठी समान.

अशी अनेकदा प्रकरणे असतात जेव्हा एखादी प्रणाली एकाच वेळी दोन किंवा अनेक दोलनांमध्ये भाग घेते एकमेकांपासून स्वतंत्र. या प्रकरणांमध्ये, एक जटिल दोलन गती तयार होते, जी एकमेकांवर दोलन (जोडणे) करून तयार केली जाते. अर्थात, दोलन जोडण्याची प्रकरणे खूप वैविध्यपूर्ण असू शकतात. ते केवळ जोडलेल्या दोलनांच्या संख्येवरच अवलंबून नसतात, तर दोलनांच्या मापदंडांवर, त्यांची वारंवारता, टप्पे, मोठेपणा आणि दिशानिर्देशांवर देखील अवलंबून असतात. दोलन जोडण्याच्या सर्व संभाव्य विविध प्रकरणांचे पुनरावलोकन करणे शक्य नाही, म्हणून आम्ही केवळ वैयक्तिक उदाहरणांचा विचार करण्यापुरते मर्यादित राहू.
1. एका दिशेच्या दोलनांची बेरीज. चला समान वारंवारतेचे दोन दोलन जोडू, परंतु भिन्न टप्पे आणि मोठेपणा.

(4.40)
जेव्हा दोलन एकमेकांवर अधिरोपित केले जातात


समीकरणांनुसार नवीन पॅरामीटर्स A आणि j ओळखू या:

(4.42)
समीकरणांची प्रणाली (4.42) सोडवणे सोपे आहे.

(4.43)

(4.44)
अशा प्रकारे, x साठी आपण शेवटी समीकरण प्राप्त करतो

(4.45)
तर, समान वारंवारतेच्या दिशाहीन दोलनांच्या जोडणीच्या परिणामी, आम्हाला हार्मोनिक (साइनसॉइडल) दोलन प्राप्त होते, ज्याचे मोठेपणा आणि टप्पा सूत्र (4.43) आणि (4.44) द्वारे निर्धारित केले जातात.
दोन जोडलेल्या दोलनांच्या टप्प्यांमधील संबंध भिन्न आहेत अशा विशेष प्रकरणांचा विचार करूया:


(4.46)
आता आपण समान मोठेपणाचे, एकसारखे टप्पे, परंतु भिन्न फ्रिक्वेन्सीचे दिशाहीन दोलन जोडू.


(4.47)
जेव्हा फ्रिक्वेन्सी एकमेकांच्या अगदी जवळ असतात, म्हणजे w1~w2=w
मग आपण अंदाजे असे गृहीत धरू की (w1+w2)/2= w, आणि (w2-w1)/2 हे लहान मूल्य आहे. परिणामी दोलनाचे समीकरण असे दिसेल:

(4.48)
त्याचा आलेख अंजीर मध्ये दर्शविला आहे. 4.5 या दोलनाला बीटिंग म्हणतात. हे डब्ल्यू फ्रिक्वेन्सीसह उद्भवते, परंतु त्याचे मोठेपणा मोठ्या कालावधीसह ओस्किलेट होते.

2. दोन परस्पर लंब दोलनांची बेरीज. आपण असे गृहीत धरू की एक दोलन x-अक्षाच्या बाजूने होते, दुसरे y-अक्षाच्या बाजूने होते. परिणामी गती स्पष्टपणे xy विमानात स्थित आहे.
1. आपण असे गृहीत धरू की दोलन वारंवारता आणि टप्पे समान आहेत, परंतु मोठेपणा भिन्न आहेत.

(4.49)
परिणामी हालचालीचा मार्ग शोधण्यासाठी, आपल्याला समीकरणांमधून वेळ काढून टाकणे आवश्यक आहे (4.49). हे करण्यासाठी, एका समीकरणाचे पद दुसर्‍या समीकरणाने विभागणे पुरेसे आहे, ज्याचा परिणाम म्हणून आपल्याला मिळते

(4.50)
समीकरण (4.50) दर्शविते की या प्रकरणात, दोलन जोडल्याने एका सरळ रेषेत दोलन होते, ज्याचा उतार amplitudes च्या गुणोत्तराने निर्धारित केला जातो.
2. जोडलेल्या दोलनांचे टप्पे एकमेकांपासून /2 ने भिन्न असू द्या आणि समीकरणांचे स्वरूप असेल:

(4.51)
परिणामी हालचालीचा मार्ग शोधण्यासाठी, वेळ वगळता, तुम्हाला समीकरणे (4.51) वर्ग करणे आवश्यक आहे, प्रथम त्यांना अनुक्रमे A1 आणि A2 मध्ये विभाजित करा आणि नंतर त्यांना जोडा. प्रक्षेपण समीकरण फॉर्म घेईल:

(4.52)
हे लंबवृत्ताचे समीकरण आहे. हे सिद्ध केले जाऊ शकते की कोणत्याही प्रारंभिक टप्प्यासाठी आणि समान वारंवारतेच्या दोन जोडलेल्या परस्पर लंब दोलनांच्या कोणत्याही मोठेपणासाठी, परिणामी दोलन लंबवर्तुळासह होईल. त्याची अभिमुखता जोडलेल्या दोलनांच्या टप्प्यांवर आणि मोठेपणावर अवलंबून असेल.
जोडलेल्या दोलनांमध्ये भिन्न वारंवारता असल्यास, परिणामी हालचालींचे मार्ग खूप वैविध्यपूर्ण असतात. जर x आणि y मधील दोलन फ्रिक्वेन्सी एकमेकांच्या पटीत असतील तरच, बंद मार्गक्रमण प्राप्त होते. अशा हालचाली नियतकालिक म्हणून वर्गीकृत केल्या जाऊ शकतात. या प्रकरणात, हालचालींच्या प्रक्षेपणांना लिसाजस आकृत्या म्हणतात. चला लिसाजस आकृत्यांपैकी एकाचा विचार करूया, जी 1:2 च्या वारंवारता गुणोत्तरांसह दोलन जोडून, ​​हालचालीच्या सुरूवातीस समान मोठेपणा आणि चरणांसह प्राप्त केली जाते.

(4.53)
दोलन x-अक्षापेक्षा y-अक्षावर दोनपट अधिक वेळा होतात. अशा दोलनांची भर घातल्याने आकृती आठ (चित्र 4.7) च्या रूपात हालचाल प्रक्षेपण होईल.

8. ओलसर दोलन आणि त्यांचे मापदंड: घट आणि दोलन गुणांक, विश्रांतीची वेळ

)ओलसर दोलनांचा कालावधी:

ट = (58)

येथे δ << ω o कंपने हार्मोनिकपेक्षा भिन्न नाहीत: टी = 2π/ ω ओ.

2) ओलसर दोलनांचे मोठेपणासूत्र (119) द्वारे व्यक्त केले जाते.

3) क्षीणता कमी होणे,दोन लागोपाठ कंपन मोठेपणाच्या गुणोत्तराच्या बरोबरीचे ए(ट) आणि ए(t+T), कालावधीत मोठेपणा कमी होण्याचा दर दर्शवितो:

= ई डी टी (59)

4) लॉगरिदमिक डॅम्पिंग घट- कालावधीनुसार भिन्न असलेल्या वेळेच्या क्षणांशी संबंधित दोन सलग दोलनांच्या आयामांच्या गुणोत्तराचा नैसर्गिक लॉगरिथम

q = ln = ln e d Т = dT(60)

लॉगरिदमिक डॅम्पिंग डिक्रीमेंट हे दिलेल्या दोलन प्रणालीसाठी एक स्थिर मूल्य आहे.

5) विश्रांतीची वेळकालावधी कॉल करण्याची प्रथा आहे ( ट) ज्या दरम्यान ओलसर दोलनांचे मोठेपणा e वेळा कमी होते:

e d τ = e, δτ = 1,

t = 1/d, (61)

अभिव्यक्ती (60) आणि (61) च्या तुलनेवरून आम्हाला मिळते:

q= = , (62)

कुठे एन ई -विश्रांती दरम्यान केलेल्या दोलनांची संख्या.

जर दरम्यान टप्रणाली वचनबद्ध आहे Ν संकोच, नंतर ट = Ν . Τ आणि ओलसर दोलनांचे समीकरण असे दर्शविले जाऊ शकते:

S = A 0 e -d N T cos(w t+j)= A 0 e -q N cos(w t+j).

6)दोलन प्रणालीचा गुणवत्ता घटक(प्र) सामान्यत: दोलन कालावधी दरम्यान प्रणालीतील उर्जेची हानी दर्शविणारे प्रमाण म्हणतात:

प्र = 2p , (63)

कुठे प- प्रणालीची एकूण ऊर्जा, ΔW- काही कालावधीत ऊर्जा नष्ट होते. जितकी कमी ऊर्जा उधळली जाते, तितकी प्रणालीची गुणवत्ता घटक जास्त. गणना ते दर्शविते

Q = = pN e = = . (64)

तथापि, गुणवत्तेचा घटक लॉगरिदमिक ऍटेन्युएशन डिक्रीमेंटच्या व्यस्त प्रमाणात आहे. सूत्र (64) वरून असे दिसून येते की गुणवत्ता घटक दोलनांच्या संख्येच्या प्रमाणात आहे एन ईविश्रांती दरम्यान प्रणालीद्वारे केले जाते.

7) संभाव्य ऊर्जा t वेळी प्रणाली, संभाव्य उर्जेच्या दृष्टीने व्यक्त केली जाऊ शकते प 0 सर्वात जास्त विचलन:

प = = kA o 2 e -2 qN = W 0 e -2 qN . (65)

हे सहसा पारंपारिकपणे मानले जाते की जर त्यांची उर्जा 100 पट कमी झाली असेल (विपुलता 10 पट कमी झाली असेल तर दोलन व्यावहारिकरित्या थांबले आहेत). येथून आपण प्रणालीद्वारे केलेल्या दोलनांच्या संख्येची गणना करण्यासाठी एक अभिव्यक्ती प्राप्त करू शकतो:

= e 2qN= 100, ln100 = 2 qN;

एन = = . (66)

9. जबरदस्तीने कंपने. अनुनाद. Aperiodic oscillations. स्व-दोलन.

प्रणालीला बिनधास्त दोलन करण्यासाठी, बाहेरून घर्षणामुळे दोलन उर्जेच्या नुकसानाची भरपाई करणे आवश्यक आहे. प्रणालीची दोलन ऊर्जा कमी होणार नाही याची खात्री करण्यासाठी, सामान्यत: एक शक्ती सादर केली जाते जी वेळोवेळी प्रणालीवर कार्य करते (आम्ही अशा शक्तीला कॉल करू. जबरदस्ती, आणि दोलन सक्ती आहेत).

व्याख्या: सक्तीहे असे दोलन आहेत जे बाह्य वेळोवेळी बदलणाऱ्या शक्तीच्या प्रभावाखाली दोलन प्रणालीमध्ये उद्भवतात.

ही शक्ती सहसा दुहेरी भूमिका बजावते:

प्रथम, ते सिस्टमला खडखडाट करते आणि त्यास विशिष्ट प्रमाणात ऊर्जा प्रदान करते;

दुसरे म्हणजे, प्रतिकार आणि घर्षण शक्तींवर मात करण्यासाठी ते वेळोवेळी ऊर्जा नुकसान (ऊर्जा वापर) भरून काढते.

कायद्यानुसार प्रेरक शक्ती वेळोवेळी बदलू द्या:

.

अशा शक्तीच्या प्रभावाखाली दोलायमान प्रणालीसाठी गतीचे समीकरण बनवू. आम्ही असे गृहीत धरतो की प्रणाली अर्ध-लवचिक शक्ती आणि माध्यमाच्या प्रतिकार शक्तीने देखील प्रभावित होते (जे लहान दोलनांच्या गृहीतकेनुसार खरे आहे). मग प्रणालीच्या गतीचे समीकरण असे दिसेल:

किंवा .

प्रतिस्थापन , , – प्रणालीच्या दोलनांची नैसर्गिक वारंवारता बनवल्यानंतर, आम्हाला एक असमान रेखीय विभेदक समीकरण 2 प्राप्त होते. व्याऑर्डर:

विभेदक समीकरणांच्या सिद्धांतावरून हे ज्ञात आहे की एकसमान समीकरणाचे सामान्य समाधान हे एकसंध समीकरणाच्या सामान्य सोल्यूशनच्या बेरजेइतके असते आणि एकसमान समीकरणाच्या विशिष्ट समाधानाच्या बेरजेइतके असते.

एकसंध समीकरणाचे सामान्य समाधान ज्ञात आहे:

,

कुठे ; a 0 आणि a- अनियंत्रित const.

.

वेक्टर आकृती वापरून, तुम्ही हे गृहितक सत्य असल्याचे सत्यापित करू शकता आणि "ची मूल्ये देखील निर्धारित करू शकता. a"आणि" j”.

दोलनांचे मोठेपणा खालील अभिव्यक्तीद्वारे निर्धारित केले जाते:

.

याचा अर्थ " j”, जे सक्तीच्या दोलनाच्या फेज लॅगचे परिमाण आहे हे निर्धारित करणार्‍या प्रेरक शक्तीवरून, वेक्टर आकृतीवरून देखील निर्धारित केले जाते आणि त्याचे प्रमाण:

.

शेवटी, एकसंध समीकरणाचे एक विशिष्ट समाधान फॉर्म घेईल:

(8.18)

हे कार्य, यासह एकत्रित

(8.19)

सक्तीच्या दोलनांतर्गत प्रणालीच्या वर्तनाचे वर्णन करणार्‍या असमान विभेदक समीकरणाचे सामान्य समाधान देते. टर्म (8.19) प्रक्रियेच्या सुरुवातीच्या टप्प्यात, दोलनांच्या तथाकथित स्थापनेदरम्यान (चित्र 8.10) महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावते. कालांतराने, घातांक घटकामुळे, दुसर्‍या टर्मची भूमिका (8.19) अधिकाधिक कमी होत जाते आणि पुरेशा वेळेनंतर त्याकडे दुर्लक्ष केले जाऊ शकते, सोल्युशनमध्ये फक्त टर्म (8.18) राखून ठेवता येते.

अशा प्रकारे, फंक्शन (8.18) स्थिर-स्थिती सक्तीच्या दोलनांचे वर्णन करते. ते प्रेरक शक्तीच्या वारंवारतेच्या बरोबरीच्या वारंवारतेसह हार्मोनिक दोलनांचे प्रतिनिधित्व करतात. सक्तीच्या दोलनांचे मोठेपणा प्रेरक शक्तीच्या मोठेपणाच्या प्रमाणात असते. दिलेल्या oscillatory प्रणालीसाठी (w 0 आणि b द्वारे परिभाषित), मोठेपणा प्रेरक शक्तीच्या वारंवारतेवर अवलंबून असते. सक्तीचे दोलन टप्प्यात प्रेरक शक्तीच्या मागे असतात आणि लॅग “j” चे परिमाण देखील प्रेरक शक्तीच्या वारंवारतेवर अवलंबून असते.

प्रेरक शक्तीच्या वारंवारतेवर सक्तीच्या दोलनांच्या मोठेपणाचे अवलंबित्व या वस्तुस्थितीकडे जाते की दिलेल्या प्रणालीसाठी निर्धारित केलेल्या विशिष्ट वारंवारतेवर, दोलनांचे मोठेपणा कमाल मूल्यापर्यंत पोहोचते. दोलन प्रणाली या वारंवारतेवर प्रेरक शक्तीच्या क्रियेस विशेषतः प्रतिसाद देणारी असल्याचे दिसून येते. या इंद्रियगोचर म्हणतात अनुनाद, आणि संबंधित वारंवारता आहे अनुनाद वारंवारता.

व्याख्या: ज्या घटनेमध्ये सक्तीच्या दोलनांच्या मोठेपणामध्ये तीव्र वाढ दिसून येते त्याला म्हणतात अनुनाद.

रेझोनंट वारंवारता सक्तीच्या दोलनांच्या मोठेपणासाठी कमाल स्थितीवरून निर्धारित केली जाते:

. (8.20)

मग, हे मूल्य मोठेपणाच्या अभिव्यक्तीमध्ये बदलल्यास, आपल्याला मिळते:

. (8.21)

मध्यम प्रतिकाराच्या अनुपस्थितीत, अनुनाद येथे दोलनांचे मोठेपणा अनंताकडे वळते; समान परिस्थितीत (b=0) अनुनाद वारंवारता दोलनांच्या नैसर्गिक वारंवारतेशी एकरूप होते.

प्रेरक शक्तीच्या वारंवारतेवर (किंवा, दोलन वारंवारतेवर समान काय आहे) जबरदस्ती दोलनांच्या मोठेपणाचे अवलंबित्व ग्राफिक पद्धतीने दर्शविले जाऊ शकते (चित्र 8.11). वैयक्तिक वक्र "b" च्या भिन्न मूल्यांशी संबंधित आहेत. जितका लहान “b”, तितका वरचा आणि उजवीकडे या वक्राची कमाल असते (w res साठी अभिव्यक्ती पहा.). खूप जास्त ओलसरपणासह, अनुनाद साजरा केला जात नाही - वाढत्या वारंवारतेसह, सक्तीच्या दोलनांचे मोठेपणा मोनोटोनिकपणे कमी होते (अंजीर 8.11 मध्ये कमी वक्र).

b च्या विविध मूल्यांशी संबंधित प्रस्तुत आलेखांच्या संचाला म्हणतात अनुनाद वक्र.

नोट्सअनुनाद वक्र संबंधित:

w®0 प्रमाणे, सर्व वक्र समान शून्य मूल्यावर येतात. हे मूल्य स्थिर शक्तीच्या प्रभावाखाली प्रणालीला प्राप्त होणाऱ्या समतोल स्थितीतून विस्थापन दर्शवते एफ 0 .

w®¥ सर्व वक्र लक्षणे नसून शून्याकडे झुकतात, कारण उच्च फ्रिक्वेन्सीजवर, शक्ती तिची दिशा इतक्या लवकर बदलते की सिस्टीमला त्याच्या समतोल स्थितीपासून लक्षणीयरीत्या हलण्यास वेळ मिळत नाही.

लहान b, रेझोनान्स जवळील मोठेपणा वारंवारतेसह बदलेल, "तीक्ष्ण" जास्तीत जास्त.

रेझोनान्सची घटना अनेकदा उपयुक्त ठरते, विशेषत: ध्वनीशास्त्र आणि रेडिओ अभियांत्रिकीमध्ये.

स्व-दोलन- सतत ऊर्जेद्वारे समर्थित नॉनलाइनर फीडबॅकसह विघटनशील डायनॅमिक सिस्टीममध्ये अखंडित दोलन, म्हणजे नियतकालिकबाह्य प्रभाव.

सेल्फ-ऑसिलेशन्स वेगळे आहेत सक्ती दोलनकारण नंतरचे कारणीभूत आहेत नियतकालिकबाह्य प्रभाव आणि या प्रभावाच्या वारंवारतेसह उद्भवतात, तर स्वयं-दोलनांची घटना आणि त्यांची वारंवारता स्वयं-ओसीलेटिंग सिस्टमच्या अंतर्गत गुणधर्मांद्वारे निर्धारित केली जाते.

मुदत स्व-दोलन 1928 मध्ये ए.ए. अँड्रॉनोव्ह यांनी रशियन शब्दावलीत सादर केले.

उदाहरणे[

स्वयं-दोलनांच्या उदाहरणांमध्ये हे समाविष्ट आहे:

· वळणाच्या वजनाच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या सतत क्रियेमुळे घड्याळाच्या पेंडुलमचे अस्पष्ट दोलन;

एकसमान हलणाऱ्या धनुष्याच्या प्रभावाखाली व्हायोलिन स्ट्रिंगची स्पंदने

· मल्टीव्हायब्रेटर सर्किट्स आणि इतर इलेक्ट्रॉनिक जनरेटरमध्ये सतत पुरवठा व्होल्टेजमध्ये पर्यायी प्रवाहाची घटना;

· अवयवाच्या पाईपमधील हवेच्या स्तंभाचे दोलन, त्यात हवेचा एकसमान पुरवठा. (स्थायी लाट देखील पहा)

· पितळाच्या घड्याळाच्या गियरची घूर्णी कंपने स्टीलच्या अक्षासह चुंबकाने निलंबित करून वळवलेली (गामाझकोव्हचा प्रयोग) (एकध्रुवीय जनरेटरप्रमाणेच चाकाची गतीज ऊर्जा, विद्युत क्षेत्राच्या संभाव्य ऊर्जेत रूपांतरित होते, संभाव्य ऊर्जा विद्युत क्षेत्राचे, एकध्रुवीय मोटरप्रमाणेच, चाकाच्या गतीज उर्जेमध्ये रूपांतरित होते.)

मक्लाकोव्हचा हातोडा

इलेक्ट्रिकल सर्किटमधील विद्युत् प्रवाहाच्या वारंवारतेपेक्षा कितीतरी पट कमी वारंवारतेसह पर्यायी विद्युत् ऊर्जा वापरून प्रहार करणारा हातोडा.

ऑसीलेटिंग सर्किटची कॉइल एल टेबलच्या वर ठेवली आहे (किंवा इतर ऑब्जेक्ट ज्याला मारणे आवश्यक आहे). खालून लोखंडी नळी आत जाते, ज्याच्या खालच्या टोकाला हातोड्याचा धक्कादायक भाग असतो. फौकॉल्ट प्रवाह कमी करण्यासाठी ट्यूबमध्ये एक अनुलंब स्लॉट आहे. दोलन सर्किटचे पॅरामीटर्स असे आहेत की त्याच्या दोलनांची नैसर्गिक वारंवारता सर्किटमधील विद्युत् प्रवाहाच्या वारंवारतेशी जुळते (उदाहरणार्थ, शहराचा पर्यायी प्रवाह, 50 हर्ट्झ).

विद्युतप्रवाह चालू केल्यानंतर आणि दोलन स्थापित केल्यानंतर, सर्किट आणि बाह्य सर्किटच्या प्रवाहांचा एक अनुनाद दिसून येतो आणि लोखंडी नळी कॉइलमध्ये काढली जाते. कॉइलचे इंडक्टन्स वाढते, दोलन सर्किट अनुनादातून बाहेर जाते आणि कॉइलमधील वर्तमान दोलनांचे मोठेपणा कमी होते. म्हणून, गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रभावाखाली - गुंडाळीच्या बाहेर - ट्यूब त्याच्या मूळ स्थितीकडे परत येते. मग सर्किटमधील वर्तमान दोलन वाढू लागतात आणि अनुनाद पुन्हा होतो: ट्यूब पुन्हा कॉइलमध्ये काढली जाते.

ट्यूब बनवते स्व-दोलन, म्हणजे, नियतकालिक हालचाली वर आणि खाली, आणि त्याच वेळी जोरात टेबलवर ठोठावतात, हातोड्याप्रमाणे. या यांत्रिक स्व-दोलनांचा कालावधी त्यांना आधार देणाऱ्या पर्यायी प्रवाहाच्या कालावधीपेक्षा दहापट जास्त असतो.

मॉस्को इन्स्टिट्यूट ऑफ फिजिक्स अँड टेक्नॉलॉजीचे व्याख्यान सहाय्यक एम.आय. मक्लाकोव्ह यांच्या नावावरून हॅमरचे नाव देण्यात आले आहे, ज्यांनी स्व-दोलन प्रदर्शित करण्यासाठी असा प्रयोग प्रस्तावित केला आणि केला.

स्वयं-दोलन यंत्रणा

आकृती क्रं 1.स्वयं-दोलन यंत्रणा

स्वयं-दोलनांचे स्वरूप भिन्न असू शकते: यांत्रिक, थर्मल, इलेक्ट्रोमॅग्नेटिक, रासायनिक. वेगवेगळ्या प्रणालींमध्ये स्वयं-दोलनांची घटना आणि देखभाल करण्याची यंत्रणा भौतिकशास्त्र किंवा रसायनशास्त्राच्या वेगवेगळ्या नियमांवर आधारित असू शकते. वेगवेगळ्या प्रणालींच्या स्वयं-दोलनांच्या अचूक परिमाणवाचक वर्णनासाठी, भिन्न गणितीय उपकरणे आवश्यक असू शकतात. तरीसुद्धा, सर्व स्व-ओसीलेटिंग सिस्टम्ससाठी सामान्य असलेल्या आकृतीची कल्पना करणे शक्य आहे जे या यंत्रणेचे गुणात्मक वर्णन करते (चित्र 1).

आकृतीवर: एस- स्थिर (नियतकालिक) प्रभावाचा स्त्रोत; आर- एक नॉनलाइनर कंट्रोलर जो स्थिर प्रभावाला व्हेरिएबलमध्ये रूपांतरित करतो (उदाहरणार्थ, वेळेत मधूनमधून) जो “स्विंग” करतो ऑसिलेटर व्ही- प्रणालीचे दोलन घटक(ले) आणि अभिप्रायाद्वारे ऑसिलेटर दोलन बीरेग्युलेटरच्या ऑपरेशनवर नियंत्रण ठेवा आर, विचारणे टप्पाआणि वारंवारतात्याच्या कृती. स्वयं-दोलन प्रणालीमध्ये अपव्यय (ऊर्जा अपव्यय) ची भरपाई सतत प्रभावाच्या स्त्रोतापासून उर्जेच्या प्रवाहाद्वारे केली जाते, ज्यामुळे स्वयं-दोलन नष्ट होत नाही.

तांदूळ. 2पेंडुलम घड्याळाच्या रॅचेट यंत्रणेचा आकृती

जर प्रणालीचे दोलन घटक स्वतःचे सक्षम असेल ओलसर दोलन(तथाकथित हार्मोनिक dissipative ऑसिलेटर), स्व-दोलन (समान अपव्यय आणि या कालावधीत सिस्टममध्ये ऊर्जा इनपुटसह) जवळच्या वारंवारतेवर स्थापित केले जातात प्रतिध्वनीया ऑसिलेटरसाठी, त्यांचा आकार हार्मोनिकच्या जवळ बनतो आणि विशिष्ट मूल्यांच्या श्रेणीमध्ये मोठेपणा, स्थिर बाह्य प्रभावाची विशालता जास्त असते.

या प्रकारच्या प्रणालीचे उदाहरण म्हणजे पेंडुलम घड्याळाची रॅचेट यंत्रणा, ज्याचा आकृती अंजीर मध्ये दर्शविला आहे. 2. रॅचेट व्हील एक्सलवर ए(जे या प्रणालीमध्ये नॉनलाइनर रेग्युलेटरचे कार्य करते) तेथे सतत शक्तीचा क्षण असतो एम, मेनस्प्रिंगमधून किंवा वजनातून गियर ट्रेनद्वारे प्रसारित केले जाते. जेव्हा चाक फिरते एत्याचे दात लोलकाला अल्पकालीन शक्तीचे आवेग देतात पी(ऑसिलेटर), ज्यामुळे त्याचे दोलन कमी होत नाही. यंत्रणेचे किनेमॅटिक्स सिस्टममध्ये अभिप्रायाची भूमिका बजावते, चक्राच्या रोटेशनला लोलकाच्या दोलनांसह अशा प्रकारे समक्रमित करते की दोलनाच्या पूर्ण कालावधीत चाक एका दाताशी संबंधित कोनातून फिरते.

स्व-ओसीलेटिंग सिस्टम ज्यामध्ये हार्मोनिक ऑसिलेटर नसतात त्यांना म्हणतात विश्रांती. त्यातील कंपने हार्मोनिकपेक्षा खूप वेगळी असू शकतात आणि आयताकृती, त्रिकोणी किंवा ट्रॅपेझॉइडल आकार असू शकतात. विपुलता आणि विश्रांतीचा कालावधी स्वयं-दोलन स्थिर प्रभावाच्या परिमाण आणि प्रणालीच्या जडत्व आणि विघटनाच्या वैशिष्ट्यांद्वारे निर्धारित केला जातो.

तांदूळ. 3इलेक्ट्रिक घंटा

विश्रांती स्वयं-ओसीलेशनचे सर्वात सोपे उदाहरण म्हणजे इलेक्ट्रिक बेलचे ऑपरेशन, अंजीर मध्ये दर्शविलेले आहे. 3. येथे स्थिर (नॉन-नियतकालिक) एक्सपोजरचा स्त्रोत म्हणजे इलेक्ट्रिक बॅटरी यू; नॉनलाइनर रेग्युलेटरची भूमिका हेलिकॉप्टरद्वारे केली जाते ट, इलेक्ट्रिकल सर्किट बंद करणे आणि उघडणे, परिणामी त्यात मधूनमधून प्रवाह दिसून येतो; दोलन घटक हे एक चुंबकीय क्षेत्र आहे जे विद्युत चुंबकाच्या गाभ्यामध्ये वेळोवेळी प्रेरित केले जाते इ, आणि अँकर ए, पर्यायी चुंबकीय क्षेत्राच्या प्रभावाखाली फिरत आहे. आर्मेचरचे दोलन ब्रेकर सक्रिय करतात, जे फीडबॅक तयार करतात.

या प्रणालीची जडत्व दोन भिन्न भौतिक प्रमाणांद्वारे निर्धारित केली जाते: आर्मेचरच्या जडत्वाचा क्षण एआणि इलेक्ट्रोमॅग्नेट विंडिंगचे इंडक्टन्स इ. यापैकी कोणत्याही पॅरामीटर्समध्ये वाढ झाल्यामुळे सेल्फ-ऑसिलेशनच्या कालावधीत वाढ होते.

जर प्रणालीमध्ये असे अनेक घटक असतील जे एकमेकांपासून स्वतंत्रपणे दोलन करतात आणि एकाच वेळी नॉनलाइनर रेग्युलेटर किंवा रेग्युलेटरवर प्रभाव टाकतात (ज्यापैकी अनेक असू शकतात), सेल्फ-ऑसिलेशन्स अधिक जटिल स्वरूप घेऊ शकतात, उदाहरणार्थ, aperiodic, किंवा डायनॅमिक अनागोंदी.

निसर्ग आणि तंत्रज्ञानात

स्वयं-दोलन अनेक नैसर्गिक घटनांना अधोरेखित करतात:

· एकसमान हवेच्या प्रवाहाच्या प्रभावाखाली वनस्पतींच्या पानांची कंपने;

· नद्यांच्या फाटा आणि रॅपिड्सवर अशांत प्रवाहांची निर्मिती;

· नियमित गीझरची क्रिया इ.

मोठ्या संख्येने विविध तांत्रिक उपकरणे आणि उपकरणांचे ऑपरेटिंग तत्त्व स्वयं-दोलनांवर आधारित आहे, यासह:

· यांत्रिक आणि इलेक्ट्रिकल अशा सर्व प्रकारच्या घड्याळांचे कार्य;

· सर्व वारा आणि तंतुवाद्यांचा आवाज;

©2015-2019 साइट
सर्व अधिकार त्यांच्या लेखकांचे आहेत. ही साइट लेखकत्वाचा दावा करत नाही, परंतु विनामूल्य वापर प्रदान करते.
पृष्ठ निर्मिती तारीख: 2017-04-04

दोलन गती- शरीराची नियतकालिक किंवा जवळजवळ नियतकालिक हालचाल, समन्वय, वेग आणि प्रवेग ज्याचे समान अंतराने अंदाजे समान मूल्ये घेतात.

यांत्रिक कंपने तेव्हा होतात जेव्हा शरीर समतोल स्थितीतून काढून टाकले जाते, तेव्हा एक शक्ती दिसते जी शरीराला परत करण्यास प्रवृत्त करते.

विस्थापन x हे समतोल स्थितीपासून शरीराचे विचलन आहे.

अॅम्प्लिट्यूड ए हे शरीराच्या कमाल विस्थापनाचे मॉड्यूल आहे.

दोलन कालावधी T - एका दोलनाची वेळ:

दोलन वारंवारता

वेळेच्या प्रति युनिट शरीराद्वारे केलेल्या दोलनांची संख्या: दोलनांदरम्यान, गती आणि प्रवेग वेळोवेळी बदलतात. समतोल स्थितीत, वेग जास्तीत जास्त असतो आणि प्रवेग शून्य असतो. जास्तीत जास्त विस्थापनाच्या बिंदूंवर, प्रवेग जास्तीत जास्त पोहोचतो आणि वेग शून्य होतो.

हार्मोनिक कंपन शेड्यूल

हार्मोनिकसाइन किंवा कोसाइनच्या नियमानुसार होणार्‍या कंपनांना म्हणतात:

जेथे x(t) हे t वेळी प्रणालीचे विस्थापन आहे, A हे मोठेपणा आहे, ω ही दोलनांची चक्रीय वारंवारता आहे.

आपण उभ्या अक्षासह समतोल स्थितीपासून शरीराचे विचलन आणि क्षैतिज अक्षाच्या बाजूने वेळ काढल्यास, आपल्याला ऑसिलेशन x = x(t) चा आलेख मिळेल - शरीराच्या वेळेवर विस्थापनाचे अवलंबन. मुक्त हार्मोनिक दोलनांसाठी, ही एक साइन वेव्ह किंवा कोसाइन वेव्ह आहे. आकृती विस्थापन x च्या अवलंबनाचे आलेख दाखवते, वेग V x चे अंदाज आणि प्रवेग a x वेळेवर.

आलेखांवरून पाहिले जाऊ शकते, कमाल विस्थापन x वर, दोलन शरीराचा वेग V शून्य आहे, प्रवेग a, आणि म्हणून शरीरावर कार्य करणारी शक्ती, कमाल आहे आणि विस्थापनाच्या विरुद्ध निर्देशित आहे. समतोल स्थितीत, विस्थापन आणि प्रवेग शून्य होतात आणि वेग जास्तीत जास्त असतो. प्रवेग प्रक्षेपणात नेहमी विस्थापनाच्या उलट चिन्ह असते.

कंपन गतीची ऊर्जा

दोलायमान शरीराची एकूण यांत्रिक ऊर्जा ही त्याच्या गतिज आणि संभाव्य उर्जेच्या बेरजेइतकी असते आणि घर्षणाच्या अनुपस्थितीत ती स्थिर राहते:

ज्या क्षणी विस्थापन कमाल x = A पर्यंत पोहोचते, तेव्हा गती आणि त्यासोबत गतीज ऊर्जा शून्यावर जाते.

या प्रकरणात, एकूण ऊर्जा संभाव्य उर्जेच्या बरोबरीची आहे:

दोलन शरीराची एकूण यांत्रिक ऊर्जा त्याच्या दोलनांच्या मोठेपणाच्या वर्गाच्या प्रमाणात असते.

जेव्हा प्रणाली समतोल स्थिती पार करते, तेव्हा विस्थापन आणि संभाव्य ऊर्जा शून्य असते: x = 0, E p = 0. म्हणून, एकूण ऊर्जा गतिज उर्जेच्या बरोबरीची असते:

दोलन शरीराची एकूण यांत्रिक ऊर्जा समतोल स्थितीत त्याच्या गतीच्या वर्गाच्या प्रमाणात असते. त्यामुळे:

गणिती पेंडुलम

1. गणिताचा पेंडुलमवजनहीन अभेद्य थ्रेडवर निलंबित केलेला एक भौतिक बिंदू आहे.

समतोल स्थितीत, गुरुत्वाकर्षणाच्या शक्तीची भरपाई धाग्याच्या ताणाने केली जाते. जर पेंडुलम विचलित झाला आणि सोडला गेला, तर बल एकमेकांना भरपाई देणे थांबवतील आणि परिणामी शक्ती समतोल स्थितीकडे निर्देशित होईल. न्यूटनचा दुसरा नियम:

लहान दोलनांसाठी, जेव्हा विस्थापन x l पेक्षा खूपच कमी असेल, तेव्हा भौतिक बिंदू जवळजवळ क्षैतिज x अक्षाच्या बाजूने फिरेल. मग त्रिकोण MAB वरून आपल्याला मिळते:

कारण sin a = x/l, नंतर x अक्षावरील परिणामी बल R चे प्रक्षेपण समान आहे

वजा चिन्ह दर्शविते की बल R नेहमी विस्थापन x च्या विरुद्ध निर्देशित केले जाते.

2. तर, गणितीय पेंडुलमच्या दोलनांदरम्यान, तसेच स्प्रिंग पेंडुलमच्या दोलनांदरम्यान, पुनर्संचयित बल विस्थापनाच्या प्रमाणात असते आणि विरुद्ध दिशेने निर्देशित केले जाते.

चला गणितीय आणि स्प्रिंग पेंडुलमच्या पुनर्संचयित शक्तीसाठी अभिव्यक्तींची तुलना करूया:

हे पाहिले जाऊ शकते की mg/l हे k चे analogue आहे. स्प्रिंग पेंडुलमच्या कालावधीसाठी सूत्रामध्ये k ला mg/l ने बदलणे

आम्ही गणितीय पेंडुलमच्या कालावधीसाठी सूत्र प्राप्त करतो:

गणितीय पेंडुलमच्या लहान दोलनांचा कालावधी मोठेपणावर अवलंबून नाही.

वेळ मोजण्यासाठी आणि पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरील दिलेल्या स्थानावर गुरुत्वाकर्षणाचा प्रवेग निर्धारित करण्यासाठी गणितीय लोलक वापरला जातो.

विक्षेपणाच्या लहान कोनात गणितीय पेंडुलमचे मुक्त दोलन हार्मोनिक असतात. ते गुरुत्वाकर्षणाच्या परिणामी बल आणि थ्रेडच्या तणाव शक्तीमुळे तसेच लोडच्या जडत्वामुळे उद्भवतात. या शक्तींचा परिणाम म्हणजे पुनर्संचयित शक्ती.

उदाहरण.एका ग्रहावरील गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारा प्रवेग निश्चित करा जेथे 6.25 मीटर लांबीचा लोलक 3.14 सेकंदांचा मुक्त दोलन कालावधी आहे.

गणितीय पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी धाग्याच्या लांबीवर आणि गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रवेगवर अवलंबून असतो:

समानतेच्या दोन्ही बाजूंना वर्ग करून, आम्हाला मिळते:

उत्तर:गुरुत्वाकर्षणाचा प्रवेग 25 m/s 2 आहे.

"विषय 4." या विषयावरील समस्या आणि चाचण्या. यांत्रिकी. दोलन आणि लाटा."

• ट्रान्सव्हर्स आणि रेखांशाचा लाटा. तरंगलांबी

  धडे: 3 असाइनमेंट: 9 चाचण्या: 1

• ध्वनी लहरी. आवाजाचा वेग - यांत्रिक स्पंदने आणि लाटा. ध्वनी 9वी इयत्ता

आम्ही अनेक शारीरिकदृष्ट्या पूर्णपणे भिन्न प्रणालींचे परीक्षण केले आणि गतीची समीकरणे समान स्वरूपात कमी केली आहेत याची खात्री केली.

भौतिक प्रणालींमधील फरक केवळ परिमाणाच्या भिन्न व्याख्यांमध्ये दिसून येतो आणि व्हेरिएबलच्या वेगवेगळ्या भौतिक संवेदनांमध्ये x: हे समन्वय, कोन, शुल्क, विद्युत् प्रवाह इ. असू शकते. लक्षात घ्या की या प्रकरणात, समीकरणाच्या (1.18) रचनेवरून खालीलप्रमाणे, परिमाणामध्ये नेहमी व्यस्त वेळेचे परिमाण असते.

समीकरण (1.18) तथाकथित वर्णन करते हार्मोनिक कंपने.

हार्मोनिक कंपन समीकरण (1.18) हे द्वितीय श्रेणीचे रेखीय विभेदक समीकरण आहे (कारण त्यात व्हेरिएबलचे दुसरे व्युत्पन्न आहे. x). समीकरणाची रेखीयता म्हणजे

काही कार्य असल्यास x(t)या समीकरणाचे समाधान आहे, नंतर फंक्शन Cx(t)त्याचाही उपाय असेल ( सी- अनियंत्रित स्थिरांक);

कार्ये असल्यास x 1 (t)आणि x 2(t)या समीकरणाचे उपाय आहेत, नंतर त्यांची बेरीज x 1 (t) + x 2 (t)त्याच समीकरणावर एक उपाय देखील असेल.

एक गणितीय प्रमेय देखील सिद्ध झाला आहे, त्यानुसार दुसऱ्या क्रमाच्या समीकरणाला दोन स्वतंत्र उपाय आहेत. इतर सर्व उपाय, रेखीयतेच्या गुणधर्मांनुसार, त्यांचे रेखीय संयोजन म्हणून मिळू शकतात. स्वतंत्र कार्ये करतात आणि समीकरण पूर्ण करतात हे थेट भिन्नतेद्वारे सत्यापित करणे सोपे आहे (1.18). याचा अर्थ असा की या समीकरणाच्या सामान्य समाधानाचे स्वरूप आहे:

कुठे C 1,C 2- अनियंत्रित स्थिरांक. हे समाधान दुसर्या स्वरूपात सादर केले जाऊ शकते. चला मूल्य प्रविष्ट करूया

आणि संबंधांद्वारे कोन निश्चित करा:

नंतर सामान्य समाधान (1.19) असे लिहिले आहे

त्रिकोणमिती सूत्रांनुसार, कंसातील अभिव्यक्ती समान आहे

आम्ही शेवटी येतो हार्मोनिक कंपन समीकरणाचे सामान्य समाधानजसे:

नॉन-नकारात्मक मूल्य एम्हणतात कंपन मोठेपणा, - दोलनाचा प्रारंभिक टप्पा. संपूर्ण कोसाइन युक्तिवाद - संयोजन - म्हणतात दोलन टप्पा.

अभिव्यक्ती (1.19) आणि (1.23) पूर्णपणे समतुल्य आहेत, म्हणून आम्ही साधेपणाच्या विचारांवर आधारित, त्यापैकी कोणतेही वापरू शकतो. दोन्ही सोल्यूशन्स ही काळाची नियतकालिक कार्ये आहेत. खरंच, साइन आणि कोसाइन हे कालखंडासह नियतकालिक असतात . म्हणून, हार्मोनिक दोलन करत असलेल्या प्रणालीच्या विविध अवस्था ठराविक कालावधीनंतर पुनरावृत्ती केल्या जातात ट*, ज्या दरम्यान दोलन टप्प्याला एक वाढ प्राप्त होते जी ची गुणाकार असते :

ते त्याचे पालन करते

यापैकी कमीत कमी वेळा

म्हणतात दोलन कालावधी (अंजीर 1.8), आणि - त्याचे वर्तुळाकार (चक्रीय) वारंवारता.

तांदूळ. १.८.

ते देखील वापरतात वारंवारता चढउतार

त्यानुसार, वर्तुळाकार वारंवारता प्रति दोलनांच्या संख्येइतकी असते सेकंद

त्यामुळे, वेळीच व्यवस्था असल्यास टव्हेरिएबलच्या मूल्याद्वारे वैशिष्ट्यीकृत x(t),नंतर व्हेरिएबलचे काही कालावधीनंतर समान मूल्य असेल (चित्र 1.9), म्हणजे

तोच अर्थ कालांतराने स्वाभाविकपणे पुनरावृत्ती होईल 2T, ZTइ.

तांदूळ. १.९. दोलन कालावधी

सामान्य समाधानामध्ये दोन अनियंत्रित स्थिरांक समाविष्ट असतात ( C 1, C 2किंवा ए, a), ज्याची मूल्ये दोन द्वारे निर्धारित करणे आवश्यक आहे प्रारंभिक परिस्थिती. सहसा (जरी अपरिहार्यपणे) त्यांची भूमिका व्हेरिएबलच्या प्रारंभिक मूल्यांद्वारे खेळली जाते x(0)आणि त्याचे व्युत्पन्न.

एक उदाहरण देऊ. हार्मोनिक दोलनांच्या समीकरणाचे समाधान (1.19) स्प्रिंग पेंडुलमच्या गतीचे वर्णन करू द्या. अनियंत्रित स्थिरांकांची मूल्ये आपण ज्या पद्धतीने पेंडुलमला समतोल बाहेर आणले त्यावर अवलंबून असतात. उदाहरणार्थ, आम्ही स्प्रिंगला अंतरावर ओढले आणि सुरुवातीच्या वेगाशिवाय चेंडू सोडला. या प्रकरणात

बदली t = 0(1.19) मध्ये, आपल्याला स्थिरांकाचे मूल्य सापडते C 2

अशा प्रकारे उपाय असे दिसते:

वेळेच्या संदर्भात फरक करून आम्ही लोडचा वेग शोधतो

येथे प्रतिस्थापन ट = 0, स्थिरांक शोधा क १:

शेवटी

(1.23) शी तुलना केल्यास, आम्हाला ते आढळते हे दोलनांचे मोठेपणा आहे आणि त्याचा प्रारंभिक टप्पा शून्य आहे: .

आता आपण पेंडुलमला आणखी एका मार्गाने असंतुलित करू या. चला लोड दाबू या जेणेकरून ते प्रारंभिक गती प्राप्त करेल, परंतु प्रभाव दरम्यान व्यावहारिकपणे हलणार नाही. त्यानंतर आमच्याकडे इतर प्रारंभिक अटी आहेत:

आमचे समाधान असे दिसते

लोडची गती कायद्यानुसार बदलेल:

चला येथे बदलूया:

नियमितपणे पुनरावृत्ती होणारी कोणतीही हालचाल ओसीलेटरी म्हणतात. म्हणून, दोलन दरम्यान वेळेवर शरीराच्या समन्वय आणि गतीचे अवलंबित्व वेळेच्या नियतकालिक कार्यांद्वारे वर्णन केले जाते. शालेय भौतिकशास्त्र अभ्यासक्रमात, कंपनांचा विचार केला जातो ज्यामध्ये शरीराची अवलंबित्व आणि वेग त्रिकोणमितीय कार्ये असतात. , किंवा त्याचे संयोजन, जेथे एक विशिष्ट संख्या आहे. अशा दोलनांना हार्मोनिक (फंक्शन्स) म्हणतात आणि अनेकदा हार्मोनिक फंक्शन्स म्हणतात). भौतिकशास्त्रातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या कार्यक्रमात समाविष्ट केलेल्या दोलनांवरील समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, आपल्याला दोलन गतीच्या मुख्य वैशिष्ट्यांची व्याख्या माहित असणे आवश्यक आहे: मोठेपणा, कालावधी, वारंवारता, वर्तुळाकार (किंवा चक्रीय) वारंवारता आणि दोलनांचा टप्पा. चला या व्याख्या देऊ आणि सूचीबद्ध परिमाणांना वेळेवर शरीराच्या समन्वयाच्या अवलंबनाच्या पॅरामीटर्सशी जोडू या, जे हार्मोनिक दोलनांच्या बाबतीत नेहमी स्वरूपात दर्शविले जाऊ शकतात.

कुठे, आणि काही संख्या आहेत.

दोलनांचे मोठेपणा म्हणजे दोलन शरीराचे त्याच्या समतोल स्थितीपासून जास्तीत जास्त विचलन. (11.1) मधील कोसाइनची कमाल आणि किमान मूल्ये ±1 च्या समान असल्याने, दोलन शरीराच्या दोलनांचे मोठेपणा (11.1) सारखे आहे. दोलन कालावधी हा किमान वेळ असतो ज्यानंतर शरीराच्या हालचालीची पुनरावृत्ती होते. अवलंबित्वासाठी (11.1), कालावधी खालील विचारांवरून सेट केला जाऊ शकतो. कोसाइन हे कालावधीसह नियतकालिक कार्य आहे. म्हणून, चळवळ अशा मूल्याद्वारे पूर्णपणे पुनरावृत्ती होते की . येथून आपल्याला मिळते

दोलनांची वर्तुळाकार (किंवा चक्रीय) वारंवारता म्हणजे प्रति युनिट वेळेत केलेल्या दोलनांची संख्या. सूत्र (11.3) वरून आपण असा निष्कर्ष काढतो की वर्तुळाकार वारंवारता हे सूत्र (11.1) मधील प्रमाण आहे.

दोलन टप्पा हा त्रिकोणमितीय कार्याचा युक्तिवाद आहे जो वेळेवर समन्वयाच्या अवलंबनाचे वर्णन करतो. सूत्र (11.1) वरून आपण पाहतो की शरीराच्या दोलनांचा टप्पा, ज्याची हालचाल अवलंबन (11.1) द्वारे वर्णन केली जाते, समान आहे . दोलन टप्प्याचे मूल्य = 0 याला प्रारंभिक टप्पा म्हणतात. अवलंबित्वासाठी (11.1), दोलनांचा प्रारंभिक टप्पा समान आहे. अर्थात, दोलनांचा प्रारंभिक टप्पा वेळ संदर्भ बिंदू (क्षण = 0) च्या निवडीवर अवलंबून असतो, जो नेहमी सशर्त असतो. वेळेची उत्पत्ती बदलून, दोलनांचा प्रारंभिक टप्पा नेहमी शून्याच्या बरोबरीने "बनवला" जाऊ शकतो, आणि सूत्र (11.1) मधील साइन कोसाइनमध्ये किंवा उलट केले जाऊ शकते.

युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या कार्यक्रमात स्प्रिंग आणि गणितीय पेंडुलमच्या दोलनांच्या वारंवारतेसाठी सूत्रांचे ज्ञान देखील समाविष्ट आहे. स्प्रिंग पेंडुलमला सामान्यतः असे शरीर म्हणतात जे स्प्रिंगच्या क्रियेखाली गुळगुळीत आडव्या पृष्ठभागावर डोलते, ज्याचे दुसरे टोक निश्चित असते (डावी आकृती). गणितीय पेंडुलम हे एक विशाल शरीर आहे, ज्याचे परिमाण दुर्लक्षित केले जाऊ शकतात, लांब, वजनहीन आणि अगम्य धाग्यावर (उजवी आकृती) दोलायमान असतात. या प्रणालीचे नाव, "गणितीय पेंडुलम" हे एक अमूर्त प्रतिनिधित्व करते या वस्तुस्थितीमुळे आहे गणितीयवास्तविक मॉडेल ( शारीरिक) लोलक. स्प्रिंग आणि गणितीय पेंडुलमच्या दोलनांच्या कालावधीसाठी (किंवा वारंवारता) सूत्रे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे. स्प्रिंग पेंडुलमसाठी

धाग्याची लांबी कुठे आहे, गुरुत्वाकर्षणाचा प्रवेग आहे. समस्या सोडवण्याचे उदाहरण वापरून या व्याख्या आणि कायद्यांच्या वापराचा विचार करूया.

मध्ये लोडच्या दोलनांची चक्रीय वारंवारता शोधण्यासाठी कार्य 11.1.1चला प्रथम दोलन कालावधी शोधू, आणि नंतर सूत्र (11.2) वापरू. 10 m 28 s हा 628 s असल्याने, आणि या काळात भार 100 वेळा oscillates असल्याने, भाराच्या दोलनाचा कालावधी 6.28 s आहे. म्हणून, दोलनांची चक्रीय वारंवारता 1 s -1 आहे (उत्तर 2 ). IN समस्या 11.1.2लोडने 600 s मध्ये 60 दोलन केले, त्यामुळे दोलन वारंवारता 0.1 s -1 आहे (उत्तर 1 ).

अंतर समजून घेण्यासाठी लोड 2.5 कालावधीत प्रवास करेल ( समस्या 11.1.3), चला त्याच्या हालचालीचे अनुसरण करूया. काही कालावधीनंतर, संपूर्ण दोलन पूर्ण करून, लोड कमाल विक्षेपणाच्या बिंदूवर परत येईल. म्हणून, या काळात, भार चार मोठेपणाच्या समान अंतराचा प्रवास करेल: समतोल स्थितीकडे - एक मोठेपणा, समतोल स्थितीपासून दुसर्या दिशेने जास्तीत जास्त विचलनाच्या बिंदूपर्यंत - दुसरा, परत समतोल स्थितीकडे - तिसरा, समतोल स्थितीपासून प्रारंभ बिंदूपर्यंत - चौथा. दुसर्‍या कालावधीत, भार पुन्हा चार मोठेपणांमधून जाईल आणि उर्वरित अर्ध्या कालावधीत - दोन मोठेपणा. म्हणून, प्रवास केलेले अंतर दहा मोठेपणा (उत्तर 4 ).

शरीराच्या हालचालीचे प्रमाण म्हणजे सुरुवातीच्या बिंदूपासून शेवटच्या बिंदूपर्यंतचे अंतर. मध्ये 2.5 पेक्षा जास्त कालावधी कार्य 11.1.4शरीराला दोन पूर्ण आणि अर्धा पूर्ण दोलन पूर्ण करण्यासाठी वेळ असेल, म्हणजे. कमाल विचलनावर असेल, परंतु समतोल स्थितीच्या दुसऱ्या बाजूला असेल. म्हणून, विस्थापनाचे परिमाण दोन मोठेपणा (उत्तर 3 ).

व्याख्येनुसार, दोलनाचा टप्पा हा त्रिकोणमितीय कार्याचा युक्तिवाद आहे जो वेळेवर दोलन शरीराच्या निर्देशांकांच्या अवलंबनाचे वर्णन करतो. त्यामुळे योग्य उत्तर आहे समस्या 11.1.5 - 3 .

कालावधी हा संपूर्ण दोलनाचा काळ असतो. याचा अर्थ असा आहे की शरीर ज्या बिंदूपासून पुढे जाऊ लागले त्याच बिंदूवर परत येण्याचा अर्थ असा नाही की कालावधी निघून गेला आहे: शरीराने त्याच बिंदूवर त्याच वेगाने परत जाणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ, एखाद्या शरीराला, समतोल स्थितीतून दोलन सुरू केल्यावर, एका दिशेने जास्तीत जास्त प्रमाणात विचलित होण्यासाठी, परत जाण्यासाठी, दुसर्‍या दिशेने जास्तीत जास्त विचलित होण्यासाठी आणि पुन्हा परत येण्यासाठी वेळ असेल. म्हणून, या कालावधीत शरीराला दोनदा समतोल स्थितीतून जास्तीत जास्त प्रमाणात विचलित होण्यास आणि परत येण्यास वेळ मिळेल. परिणामी, समतोल स्थितीपासून कमाल विचलनाच्या बिंदूपर्यंतचा रस्ता ( समस्या 11.1.6) शरीर कालावधीचा एक चतुर्थांश खर्च करते (उत्तर 3 ).

हार्मोनिक ऑसिलेशन्स ते आहेत ज्यामध्ये वेळेच्या त्रिकोणमितीय (साइन किंवा कोसाइन) फंक्शनद्वारे वेळेवर ओसीलेटिंग बॉडीच्या निर्देशांकांचे अवलंबित्व वर्णन केले जाते. IN कार्य 11.1.7ही फंक्शन्स आहेत आणि त्यात समाविष्ट असलेले पॅरामीटर्स 2 आणि 2 म्हणून नियुक्त केले आहेत हे तथ्य असूनही. कार्य हे वेळेच्या वर्गाचे त्रिकोणमितीय कार्य आहे. म्हणून, केवळ परिमाणांची कंपने आणि हार्मोनिक आहेत (उत्तर 4 ).

हार्मोनिक कंपनांच्या वेळी शरीराचा वेग नियमानुसार बदलतो , गती दोलनांचे मोठेपणा कोठे आहे (वेळ संदर्भ बिंदू निवडला आहे जेणेकरून दोलनांचा प्रारंभिक टप्पा शून्याच्या समान असेल). येथून आपल्याला वेळेवर शरीराच्या गतीज उर्जेचे अवलंबित्व आढळते
(समस्या 11.1.8). पुढे सुप्रसिद्ध त्रिकोणमितीय सूत्र वापरून, आपण प्राप्त करतो

या सूत्रावरून असे दिसून येते की हार्मोनिक दोलनांदरम्यान शरीराची गतीज ऊर्जा हार्मोनिक नियमानुसार बदलते, परंतु दुप्पट वारंवारतेसह (उत्तर 2 ).

भाराची गतीज ऊर्जा आणि स्प्रिंगची संभाव्य ऊर्जा यांच्यातील संबंधाच्या मागे ( समस्या 11.1.9) खालील विचारांतून अनुसरण करणे सोपे आहे. जेव्हा शरीर समतोल स्थितीतून जास्तीत जास्त प्रमाणात विचलित होते, तेव्हा शरीराची गती शून्य असते आणि म्हणूनच, स्प्रिंगची संभाव्य ऊर्जा लोडच्या गतिज उर्जेपेक्षा जास्त असते. याउलट, जेव्हा शरीर समतोल स्थितीतून जाते, तेव्हा स्प्रिंगची संभाव्य ऊर्जा शून्य असते आणि म्हणून गतिज ऊर्जा संभाव्य ऊर्जेपेक्षा जास्त असते. म्हणून, समतोल स्थिती आणि जास्तीत जास्त विक्षेपण दरम्यान, गती आणि संभाव्य उर्जेची एकदा तुलना केली जाते. आणि एका कालावधीत शरीर समतोल स्थितीपासून जास्तीत जास्त विक्षेपण किंवा मागे चार वेळा जात असल्याने, या कालावधीत लोडची गतिज ऊर्जा आणि स्प्रिंगची संभाव्य उर्जा एकमेकांशी चार वेळा तुलना केली जाते (उत्तर 2 ).

वेगातील चढउतारांचे मोठेपणा ( कार्य 11.1.10) ऊर्जेच्या संवर्धनाचा नियम वापरून शोधणे सर्वात सोपे आहे. जास्तीत जास्त विक्षेपणाच्या बिंदूवर, दोलन प्रणालीची ऊर्जा स्प्रिंगच्या संभाव्य उर्जेइतकी असते. , स्प्रिंग कडकपणा गुणांक कुठे आहे, कंपन मोठेपणा आहे. समतोल स्थितीतून जात असताना, शरीराची ऊर्जा गतिज उर्जेइतकी असते , शरीराचे वस्तुमान कोठे आहे, समतोल स्थितीतून जात असताना शरीराची गती असते, जी दोलन प्रक्रियेदरम्यान शरीराची कमाल गती असते आणि म्हणून, गती दोलनांचे मोठेपणा दर्शवते. या ऊर्जेचे बरोबरी करताना आपल्याला आढळते

(उत्तर 4 ).

सूत्र (11.5) वरून आपण निष्कर्ष काढतो ( समस्या 11.2.2), की त्याचा कालावधी गणितीय पेंडुलमच्या वस्तुमानावर अवलंबून नाही आणि लांबी 4 पट वाढल्यास, दोलनांचा कालावधी 2 पटीने वाढतो (उत्तर 1 ).

घड्याळ ही एक दोलन प्रक्रिया आहे जी वेळेचे अंतर मोजण्यासाठी वापरली जाते ( समस्या 11.2.3). "घड्याळ घाईत आहे" या शब्दांचा अर्थ असा होतो की या प्रक्रियेचा कालावधी तो असायला हवा त्यापेक्षा कमी आहे. म्हणून, या घड्याळांची प्रगती स्पष्ट करण्यासाठी, प्रक्रियेचा कालावधी वाढवणे आवश्यक आहे. सूत्रानुसार (11.5), गणितीय पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी वाढवण्यासाठी, त्याची लांबी वाढवणे आवश्यक आहे (उत्तर 3 ).

मध्ये दोलनांचे मोठेपणा शोधण्यासाठी समस्या 11.2.4, एकाच त्रिकोणमितीय फंक्शनच्या रूपात वेळेवर शरीराच्या समन्वयांचे अवलंबन दर्शवणे आवश्यक आहे. कंडिशनमध्ये दिलेल्या फंक्शनसाठी, हे अतिरिक्त कोन सादर करून केले जाऊ शकते. या फंक्शनचा गुणाकार आणि भागाकार आणि त्रिकोणमितीय फंक्शन्स जोडण्यासाठी सूत्र वापरून, आपल्याला मिळेल

असा कोन कुठे आहे . या सूत्रावरून असे दिसून येते की शरीराच्या दोलनांचे मोठेपणा आहे (उत्तर 4 ).