Sudut tersurat, teori masalah. Kawan-kawan! Dalam artikel ini, kami akan memberi tumpuan kepada tugas, untuk penyelesaian yang perlu mengetahui sifat-sifat sudut yang tertulis. Ini adalah kumpulan keseluruhan tugas, mereka termasuk dalam peperiksaan. Kebanyakan daripada mereka boleh diselesaikan dengan sangat mudah, dalam satu langkah.

Terdapat tugas yang lebih sukar, tetapi mereka tidak akan memberikan banyak kesukaran untuk anda, anda perlu mengetahui sifat-sifat sudut yang tertulis. Secara beransur-ansur, kami akan menganalisis semua prototaip tugas, saya menjemput anda ke blog!

Sekarang untuk teori yang diperlukan. Mari kita ingat apakah sudut pusat dan tertulis, kord, lengkok, di mana sudut ini terletak:

Sudut pusat dalam bulatan dipanggil sudut rata denganbahagian atas di tengahnya.

Bahagian bulatan yang terletak di dalam sudut ratadipanggil lengkok bulatan.

Ukuran darjah lengkok bulatan ialah ukuran darjahsudut tengah yang sepadan.

Sudut dipanggil tersurat dalam bulatan jika bucu sudut itu terletakpada bulatan, dan sisi sudut bersilang dengan bulatan ini.

Segmen yang menghubungkan dua titik bulatan dipanggilkord... Kord terbesar melepasi pusat bulatan dan dipanggildiameter.

Untuk menyelesaikan masalah dengan sudut tertulis dalam bulatan,anda perlu mengetahui ciri-ciri berikut:

1. Sudut tersurat adalah sama dengan separuh daripada sudut tengah yang terletak pada lengkok yang sama.

2. Semua sudut tersurat berdasarkan lengkok yang sama adalah sama.

3. Semua sudut tertulis terletak pada kord yang sama, bucunya terletak pada satu sisi kord ini, adalah sama.

4. Mana-mana pasangan sudut berdasarkan kord yang sama, bucunya terletak pada sisi bertentangan kord, ditambah sehingga 180 °.

Corollary: sudut bertentangan bagi segi empat yang ditulis dalam bulatan menambah sehingga 180 darjah.

5. Semua sudut yang ditulis berdasarkan diameter adalah lurus.

Secara umum, harta ini adalah akibat daripada harta (1), ini adalah kes khasnya. Lihat - sudut pusat adalah sama dengan 180 darjah (dan sudut yang diperluas ini tidak lain hanyalah diameter), yang bermaksud, mengikut sifat pertama, sudut yang tertera C adalah sama dengan separuh daripadanya, iaitu 90 darjah.

Pengetahuan tentang harta ini membantu dalam menyelesaikan banyak masalah dan sering mengelakkan pengiraan yang tidak perlu. Setelah menguasainya dengan baik, anda akan dapat menyelesaikan lebih separuh daripada tugasan jenis ini secara lisan. Terdapat dua akibat yang boleh dilakukan:

Corollary 1: jika segitiga ditulis dalam bulatan dan salah satu sisinya bertepatan dengan diameter bulatan ini, maka segi tiga itu adalah segi empat tepat (bucu sudut tepat terletak pada bulatan).

Akibat 2: pusat bulatan yang dihadkan pada segi tiga bersudut tegak bertepatan dengan tengah hipotenusnya.

Banyak prototaip masalah stereometrik juga diselesaikan dengan menggunakan sifat ini dan data daripada akibatnya. Ingat fakta itu sendiri: jika diameter bulatan ialah sisi segi tiga yang tertulis, maka segi tiga ini adalah segi empat tepat (sudut bertentangan dengan diameter ialah 90 darjah). Anda boleh membuat semua kesimpulan dan akibat lain sendiri, anda tidak perlu mempelajarinya.

Sebagai peraturan, separuh daripada masalah untuk sudut tertulis diberikan dengan lakaran, tetapi tanpa sebutan. Untuk memahami proses penaakulan semasa menyelesaikan masalah (di bawah dalam artikel), sebutan bucu (sudut) diperkenalkan. Anda tidak perlu melakukan ini semasa peperiksaan.Pertimbangkan tugas:

Apakah sudut tersurat akut yang terletak pada kord yang sama dengan jejari bulatan itu? Berikan jawapan anda dalam darjah.

Mari kita bina sudut pusat untuk sudut tertulis yang diberikan, nyatakan bucu:

Dengan sifat sudut yang tertulis dalam bulatan:

Sudut AOB ialah 60 0, kerana segitiga AOB adalah sama sisi, dan dalam segitiga sama sisi semua sudut adalah sama dengan 60 0. Sisi segi tiga adalah sama, kerana syarat mengatakan bahawa kord adalah sama dengan jejari.

Oleh itu, sudut tersurat ACB adalah sama dengan 30 0.

Jawapan: 30

Cari kord di mana sudut 30 0 terletak, tertulis dalam bulatan berjejari 3.

Ini pada asasnya adalah masalah yang bertentangan (daripada yang sebelumnya). Mari kita bina sudut tengah.

Ia adalah dua kali lebih besar daripada yang tertulis, iaitu, sudut AOB ialah 60 0. Daripada ini, kita boleh membuat kesimpulan bahawa segitiga AOB ialah sama sisi. Oleh itu, kord adalah sama dengan jejari, iaitu tiga.

Jawapan: 3

Jejari bulatan ialah 1. Cari nilai sudut tersurat tumpul terletak pada kord yang sama dengan punca dua. Berikan jawapan anda dalam darjah.

Mari kita bina sudut tengah:

Mengetahui jejari dan kord, kita boleh mencari sudut pusat ACB. Ini boleh dilakukan dengan teorem kosinus. Mengetahui sudut pusat, kita boleh mencari sudut tersurat ACB dengan mudah.

Teorem kosinus: kuasa dua mana-mana sisi segitiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain, tanpa hasil darab sisi ini dengan kosinus sudut di antara mereka.

Oleh itu, sudut pusat kedua ialah 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Sudut ACB oleh sifat sudut tersurat adalah sama dengan separuhnya, iaitu, 135 darjah.

Jawapan: 135

Cari kord di mana sudut 120 darjah terletak, punca tiga tersurat dalam bulatan jejari.

Mari kita sambungkan titik A dan B dengan pusat bulatan. Mari kita tentukan ia sebagai O:

Kami tahu jejari dan sudut tersurat ACB. Kita boleh mencari sudut pusat AOB (lebih daripada 180 darjah), kemudian cari sudut AOB dalam segi tiga AOB. Dan kemudian, dengan teorem kosinus, hitung AB.

Mengikut sifat sudut tersurat, sudut pusat AOB (yang lebih daripada 180 darjah) akan sama dengan dua kali sudut tersurat, iaitu, 240 darjah. Ini bermakna sudut AOB dalam segi tiga AOB ialah 360 0 - 240 0 = 120 0.

Dengan teorem kosinus:

Jawapan: 3

Cari sudut bertulis yang terletak pada lengkok yang 20% ​​daripada bulatan itu. Berikan jawapan anda dalam darjah.

Dengan sifat sudut tersurat, ia adalah separuh sudut pusat yang terletak pada lengkok yang sama, dalam kes ini kita bercakap tentang lengkok AB.

Lengkok AB dikatakan 20 peratus daripada lilitan. Ini bermakna sudut pusat AOB juga adalah 20 peratus daripada 360 0.* Bulatan ialah sudut 360 darjah. Bermaksud,

Oleh itu, sudut tersurat ACB ialah 36 darjah.

Jawapan: 36

Lengkok bulatan AC tidak mengandungi titik B, ialah 200 darjah. Lengkok bulat BC yang tidak mengandungi titik A, ialah 80 darjah. Cari sudut bertulis ACB. Berikan jawapan anda dalam darjah.

Untuk kejelasan, kami menandakan lengkok yang ukuran sudutnya diberikan. Arka yang sepadan dengan 200 darjah adalah biru, arka yang sepadan dengan 80 darjah adalah merah, seluruh bulatan berwarna kuning.

Oleh itu, ukuran darjah lengkok AB (kuning), dan dengan itu sudut pusat AOB, ialah: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Sudut tersurat ACB ialah separuh sudut pusat AOB, iaitu, ia bersamaan dengan 40 darjah.

Jawapan: 40

Apakah sudut tersurat berdasarkan diameter bulatan itu? Berikan jawapan anda dalam darjah.

Sudut ABC ialah sudut tersurat. Ia terletak pada lengkok AC, disimpulkan di antara sisinya (Rajah 330).

Teorem. Sudut tersurat diukur dengan separuh daripada lengkok di mana ia terletak.

Ia harus difahami seperti berikut: sudut yang tertulis mengandungi seberapa banyak darjah sudut, minit dan saat seperti darjah arka, minit dan saat terkandung dalam separuh daripada lengkok di mana ia terletak.

Dalam membuktikan teorem ini, tiga kes mesti dipertimbangkan.

Kes pertama. Bahagian tengah bulatan terletak pada sisi sudut bertulis (rajah 331).

Biarkan ∠ABC ialah sudut tersurat dan pusat bulatan O terletak pada sisi BC. Ia diperlukan untuk membuktikan bahawa ia diukur dengan separuh daripada lengkok AC.

Sambungkan titik A ke tengah bulatan. Kami mendapat isosceles \ (\ Delta \) AOB, di mana AO = OB, sebagai jejari bulatan yang sama. Oleh itu, ∠A = ∠B.

∠AOC adalah di luar segi tiga AOB, oleh itu ∠AOC = ∠A + ∠B, dan kerana sudut A dan B adalah sama, ∠B ialah 1/2 ∠AOC.

Tetapi AOC diukur oleh lengkok AC, oleh itu ∠B diukur dengan separuh daripada lengkok AC.

Contohnya, jika \ (\ breve (AC) \) mengandungi 60 ° 18 ', maka ∠В mengandungi 30 ° 9'.

Kes kedua. Pusat bulatan terletak di antara sisi sudut tertulis (Gamb. 332).

Biarkan ∠ABD ialah sudut tersurat. Pusat bulatan O terletak di antara sisinya. Ia diperlukan untuk membuktikan bahawa ∠ABD diukur dengan separuh daripada lengkok AD.

Untuk membuktikan ini, kami melukis diameter BC. Sudut ABD berpecah kepada dua sudut: ∠1 dan ∠2.

∠1 diukur dengan separuh daripada lengkok AC, dan ∠2 diukur dengan separuh daripada lengkok CD, oleh itu, keseluruhan ∠ABD diukur 1/2 \ (\ breve (AC) \) + 1/2 \ (\ breve (CD) \), iaitu separuh daripada arka AD.

Contohnya, jika \ (\ breve (AD) \) mengandungi 124 °, maka ∠В mengandungi 62 °.

Kes ketiga. Pusat bulatan terletak di luar sudut bertulis (rajah 333).

Biarkan ∠MAD ialah sudut tersurat. Pusat bulatan O berada di luar sudut. Ia diperlukan untuk membuktikan bahawa ∠MAD diukur dengan separuh daripada lengkok MD.

Untuk membuktikannya, kita lukis diameter AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Tetapi ∠MAB diukur pada 1/2 \ (\ breve (MB) \) dan ∠DAB diukur pada 1/2 \ (\ breve (DB) \).

Oleh itu, ∠MAD diukur dengan 1/2 (\ (\ breve (MB) - \ breve (DB)) \), iaitu 1/2 \ (\ breve (MD) \).

Contohnya, jika \ (\ breve (MD) \) mengandungi 48 ° 38 ", maka ∠MAD mengandungi 24 ° 19 '8".

Akibat
1. Semua sudut tersurat berdasarkan lengkok yang sama adalah sama antara satu sama lain, kerana ia diukur dengan separuh daripada lengkok yang sama (Gamb. 334, a).

2. Sudut tertulis berdasarkan diameter adalah betul, kerana ia terletak pada separuh bulatan. Separuh daripada bulatan mengandungi 180 darjah arka, yang bermaksud bahawa sudut berdasarkan diameter mengandungi 90 darjah sudut (Rajah 334, b).

Ini adalah sudut yang dibentuk oleh dua kord berasal dari satu titik bulatan. Sudut tersurat dikatakan bergantung kepada pada lengkok antara sisinya.

Sudut bertulis sama dengan separuh daripada lengkok di mana ia terletak.

Dalam kata lain, sudut tersurat termasuk seberapa banyak darjah sudut, minit dan saat darjah arka, minit dan saat disertakan pada separuh daripada lengkok di mana ia terletak. Untuk mengesahkan, mari kita analisis tiga kes:

Kes pertama:

Pusat O terletak di sebelah sudut tersurat ABC. Memplot jejari AO, kita mendapat ΔABO, di mana OA = OB (sebagai jejari) dan, dengan itu, ∠ABO = ∠BAO. Sehubungan dengan ini segi tiga, sudut AOC - luaran. Ini bermakna ia adalah sama dengan jumlah sudut ABO dan BAO, atau sama dengan sudut berganda ABO. Jadi ∠ABO bersamaan dengan separuh sudut tengah AOC. Tetapi sudut ini diukur oleh lengkok AC. Iaitu, sudut tersurat ABC diukur dengan separuh daripada lengkok AC.

Kes kedua:

Pusat O terletak di antara sisi sudut tersurat ABC Setelah melukis diameter BD, kami membahagikan sudut ABC kepada dua sudut, yang mana, mengikut yang ditetapkan dalam kes pertama, satu diukur separuh arka AD, dan separuh lagi CD arka. Dan sewajarnya sudut ABC diukur (AD + DC) / 2, i.e. 1/2 AC.

Kes ketiga:

Pusat O terletak di luar sudut tersurat ABC. Setelah melukis diameter BD, kita akan mempunyai: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Tetapi sudut ABD dan CBD diukur, berdasarkan bahagian yang dibenarkan sebelum ini arka AD dan CD. Dan kerana ∠ABC diukur dengan (AD-CD) / 2, iaitu separuh daripada lengkok AC.

Akibat 1. Mana-mana yang berdasarkan lengkok yang sama adalah sama, iaitu, mereka adalah sama antara satu sama lain. Oleh kerana mereka masing-masing diukur dengan separuh daripada yang sama arka .

Akibat 2. Sudut bertulis berdasarkan diameter - sudut tepat... Oleh kerana setiap sudut tersebut diukur dalam separuh separuh bulatan dan, dengan itu, mengandungi 90 °.

Dalam artikel ini saya akan memberitahu anda bagaimana untuk menyelesaikan masalah di mana ia digunakan.

Pertama, seperti biasa, mari kita ingat definisi dan teorem yang perlu anda ketahui untuk berjaya menyelesaikan masalah.

1.Sudut bertulis ialah sudut, bucunya terletak pada bulatan, dan sisinya bersilang dengan bulatan:

2.Sudut tengah ialah sudut, bucunya bertepatan dengan pusat bulatan:

Nilai darjah lengkok bulatan diukur dengan nilai sudut pusat yang terletak di atasnya.

Dalam kes ini, nilai darjah lengkok AC adalah sama dengan nilai sudut AOC.

3. Jika sudut bertulis dan pusat terletak pada satu lengkok, maka nilai sudut tersurat adalah dua kali lebih kecil daripada sudut tengah:

4. Semua sudut tertulis yang terletak pada satu lengkok adalah sama antara satu sama lain:

5. Sudut tertulis berdasarkan diameter ialah 90 °:

Mari kita selesaikan beberapa masalah.

1 . Tugasan B7 (# 27887)

Mari cari nilai sudut pusat, yang terletak pada lengkok yang sama:

Jelas sekali, nilai sudut AOC adalah sama dengan 90 °, oleh itu, sudut ABC adalah sama dengan 45 °

Jawapan: 45 °

2. Tugasan B7 (# 27888)

Cari sudut ABC. Berikan jawapan anda dalam darjah.

Jelas sekali, sudut AOC ialah 270 °, maka sudut ABC ialah 135 °.

Jawapan: 135 °

3. Tugas B7 (No. 27890)

Cari nilai darjah lengkok AC bagi bulatan di mana sudut ABC terletak. Berikan jawapan anda dalam darjah.

Mari kita cari nilai sudut pusat, yang terletak pada lengkok AC:

Magnitud sudut AOC ialah 45 °, oleh itu, ukuran darjah lengkok AC ialah 45 °.

Jawapan: 45 °.

4 . Tugasan B7 (# 27885)

Cari sudut ACB jika sudut tersurat ADB dan DAE terletak pada lengkok bulat yang nilai darjahnya adalah sama dengan dan, masing-masing. Berikan jawapan anda dalam darjah.

Sudut ADB terletak pada lengkok AB, oleh itu, nilai sudut pusat AOB ialah 118 °, oleh itu, sudut BDA ialah 59 °, dan sudut ADC bersebelahan ialah 180 ° -59 ° = 121 °

Begitu juga, DOE ialah 38 ° dan DAE tertera yang sepadan ialah 19 °.

Pertimbangkan segi tiga ADC:

Sudut segi tiga menambah sehingga 180 °.

Sudut ACB ialah 180 ° - (121 ° + 19 °) = 40 °

Jawapan: 40 °

5 . Tugas B7 (No. 27872)

Sisi segiempat ABCD AB, BC, CD dan AD mengecutkan lengkok bulatan yang dihadkan, nilai darjah yang sama dengan,, dan, masing-masing. Cari sudut B bagi segi empat ini. Berikan jawapan anda dalam darjah.

Sudut B terletak pada lengkok ADC, yang nilainya sama dengan jumlah nilai lengkok AD dan CD, iaitu, 71 ° + 145 ° = 216 °

Sudut tertera B adalah sama dengan separuh saiz lengkok ADC, iaitu 108 °

Jawapan: 108 °

6. Tugasan B7 (# 27873)

Titik A, B, C, D, terletak pada bulatan, bahagikan bulatan ini kepada empat lengkok AB, BC, CD dan AD, yang nilai darjahnya masing-masing berkaitan sebagai 4: 2: 3: 6. Cari sudut A bagi segi empat ABCD. Berikan jawapan anda dalam darjah.

(lihat lukisan tugasan sebelumnya)

Oleh kerana kami telah memberikan nisbah magnitud lengkok, kami memperkenalkan elemen unit x. Kemudian nilai setiap lengkok akan dinyatakan seperti berikut:

AB = 4x, BC = 2x, CD = 3x, AD = 6x. Semua lengkok membentuk bulatan, iaitu jumlahnya ialah 360 °.

4x + 2x + 3x + 6x = 360 °, maka x = 24 °.

Sudut A terletak pada lengkok BC dan CD, yang bersama-sama mempunyai nilai 5x = 120 °.

Oleh itu, sudut A adalah sama dengan 60 °

Jawapan: 60 °

7. Tugasan B7 (# 27874)

segi empat ABCD tertulis dalam bulatan. Suntikan ABC sama, sudut CAD

Tahap purata

Lilitan dan sudut tersurat. Panduan Visual (2019)

Terma asas.

Adakah anda masih ingat semua nama yang dikaitkan dengan kalangan? Untuk berjaga-jaga, kami akan mengingatkan anda - lihat gambar - segarkan pengetahuan anda.

pertama - pusat bulatan ialah satu titik, jarak darinya ke semua titik bulatan adalah sama.

Kedua - jejari - segmen garis yang menghubungkan pusat dan titik pada bulatan.

Terdapat banyak jejari (sebanyak titik pada bulatan), tetapi panjang untuk semua jejari adalah sama.

Kadang-kadang untuk ringkas jejari dipanggil tepat panjang segmen"Pusat ialah titik pada bulatan", bukan garis itu sendiri.

Tetapi apa yang berlaku jika anda menyambung dua titik pada bulatan? Juga segmen?

Jadi, segmen ini dipanggil "chord".

Sama seperti dalam kes jejari, diameter sering dipanggil panjang segmen yang menghubungkan dua titik pada bulatan dan melalui pusat. By the way, bagaimanakah diameter dan jejari berkaitan? Lihat dengan teliti. Sudah tentu, jejari ialah separuh diameter.

Selain kord, ada juga sekan.

Ingat perkara yang paling mudah?

Sudut pusat ialah sudut antara dua jejari.

Dan sekarang - sudut tertulis

Sudut tersurat - sudut antara dua kord yang bersilang pada satu titik pada bulatan.

Dikatakan bahawa sudut yang tertulis terletak pada lengkok (atau kord).

Tengok gambar:

Pengukuran lengkok dan sudut.

Ukur lilit. Lengkok dan sudut diukur dalam darjah dan radian. Pertama, tentang ijazah. Untuk sudut, tiada masalah - anda perlu belajar cara mengukur lengkok dalam darjah.

Ukuran darjah (saiz arka) ialah nilai (dalam darjah) sudut pusat yang sepadan

Apakah maksud perkataan "sesuai" di sini? Kami melihat dengan teliti:

Adakah anda melihat dua lengkok dan dua sudut tengah? Nah, lengkok yang lebih besar sepadan dengan sudut yang lebih besar (dan tidak mengapa ia lebih besar), dan lengkok yang lebih kecil sepadan dengan sudut yang lebih kecil.

Jadi, kami bersetuju: lengkok mengandungi bilangan darjah yang sama dengan sudut pusat yang sepadan.

Dan sekarang tentang yang dahsyat - tentang radian!

Apakah jenis binatang "radian" ini?

Bayangkan ini: radian ialah satu cara untuk mengukur sudut ... dalam jejari!

Sudut radian ialah sudut pusat yang panjang lengkoknya sama dengan jejari bulatan.

Kemudian timbul persoalan - berapa banyak radian yang terdapat dalam sudut terbentang?

Dalam erti kata lain: berapa banyak jejari "muat" dalam separuh bulatan? Atau dengan cara lain: berapa kali panjang setengah bulatan lebih besar daripada jejari?

Soalan ini ditanya oleh saintis di Greece Purba.

Oleh itu, selepas pencarian yang panjang, mereka mendapati bahawa nisbah lilitan kepada jejari tidak mahu dinyatakan dalam nombor "manusia" seperti, dsb.

Dan saya tidak dapat menyatakan sikap ini melalui akarnya. Iaitu, ternyata seseorang tidak boleh mengatakan bahawa separuh daripada bulatan adalah kali atau kali lebih besar daripada jejari! Bolehkah anda bayangkan betapa hebatnya orang menemuinya buat kali pertama?! Untuk nisbah panjang setengah bulatan kepada jejari, nombor "normal" tidak mencukupi. Saya terpaksa memasukkan surat.

Jadi, ialah nombor yang menyatakan nisbah panjang separuh bulatan kepada jejari.

Sekarang kita boleh menjawab soalan: berapa banyak radian dalam sudut terbentang? Ia mengandungi radian. Tepat kerana separuh daripada bulatan adalah kali lebih besar daripada jejari.

Orang purba (dan tidak begitu) selama berabad-abad (!) cuba mengira nombor misteri ini dengan lebih tepat, untuk menyatakannya dengan lebih baik (sekurang-kurangnya lebih kurang) melalui nombor "biasa". Dan sekarang kami sangat malas - dua tanda selepas sibuk sudah cukup untuk kami, kami sudah terbiasa dengan fakta bahawa

Fikirkanlah, ini bermakna, sebagai contoh, bahawa y bulatan dengan jejari satu adalah lebih kurang sama dengan panjang, tetapi adalah mustahil untuk menulis panjang ini dengan nombor "manusia" - anda memerlukan surat. Dan kemudian lilitan ini akan sama. Dan sudah tentu, lilitan jejari adalah.

Mari kita kembali kepada radian.

Kami telah mengetahui bahawa sudut terbentang mengandungi radian.

Apa yang kita ada:

Itu bermakna saya gembira. Maksudnya, saya gembira. Dengan cara yang sama, plat dengan sudut yang paling popular diperolehi.

Nisbah antara nilai sudut tersurat dan pusat.

Fakta menakjubkan berlaku:

Sudut tersurat adalah separuh daripada sudut pusat yang sepadan.

Lihat bagaimana kenyataan ini kelihatan dalam gambar. Sudut pusat "sepadan" ialah sudut di mana hujungnya bertepatan dengan hujung sudut tertera, dan bucu berada di tengah. Dan pada masa yang sama, sudut pusat "sepadan" mesti "melihat" pada kord () yang sama dengan sudut tertera.

Kenapa jadi begitu? Mari kita lihat kes mudah dahulu. Biarkan salah satu kord melalui pusat. Ia berlaku begitu kadang-kadang, bukan?

Apa yang berlaku disini? Mari kita pertimbangkan. Ia adalah isosceles - selepas semua, dan adalah jejari. Oleh itu, (ditunjuk mereka).

Sekarang mari kita lihat. Ini adalah sudut luar untuk! Kami ingat bahawa sudut luar adalah sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak bersebelahan dengannya, dan kami menulis:

Itu dia! Kesan yang tidak dijangka. Tetapi terdapat juga sudut pusat untuk bertulis.

Ini bermakna bagi kes ini, telah dibuktikan bahawa sudut pusat adalah dua kali ganda daripada sudut tersurat. Tetapi ini adalah kes yang sangat istimewa: adakah benar bahawa kord tidak selalu melalui pusat? Tetapi tiada apa-apa, kini kes khusus ini akan banyak membantu kita. Lihat: kes kedua: biarkan bahagian tengah berada di dalam.

Mari kita lakukan ini: lukis diameter. Dan kemudian ... kita melihat dua gambar yang telah dianalisis dalam kes pertama. Oleh itu, kita sudah mempunyai itu

Oleh itu, (dalam lukisan, a)

Nah, kes terakhir kekal: pusat berada di luar sudut.

Kami melakukan perkara yang sama: lukis diameter melalui titik. Segala-galanya adalah sama, tetapi bukannya jumlah - perbezaan.

Itu sahaja!

Sekarang mari kita bentuk dua akibat utama dan sangat penting daripada pernyataan bahawa sudut yang ditulis adalah separuh dari pusat.

Akibat 1

Semua sudut yang ditulis berdasarkan satu lengkok adalah sama antara satu sama lain.

Mari kita gambarkan:

Terdapat banyak sudut tertulis yang terletak pada lengkok yang sama (kami mempunyai lengkok ini), ia mungkin kelihatan berbeza sama sekali, tetapi semuanya mempunyai sudut pusat yang sama (), yang bermaksud bahawa semua sudut yang tertulis ini adalah sama antara mereka.

Akibat 2

Sudut berdasarkan diameter adalah lurus.

Lihat: sudut mana satu pusat?

Sudah tentu, . Tetapi ia adalah sama! Nah, itulah sebabnya (serta banyak sudut tertulis berdasarkan) dan adalah sama.

Sudut antara dua kord dan sekan

Tetapi bagaimana jika sudut yang kita minati BUKAN tertulis dan BUKAN pusat, tetapi, sebagai contoh, seperti ini:

atau macam tu?

Adakah mungkin untuk menyatakannya melalui beberapa sudut pusat? Ternyata anda boleh. Lihat: kami berminat.

a) (sebagai sudut luar untuk). Tetapi - tertulis, terletak pada arka -. - tertulis, terletak pada arka -.

Untuk kecantikan mereka berkata:

Sudut antara kord adalah sama dengan separuh jumlah nilai sudut lengkok yang disertakan dalam sudut ini.

Ini ditulis untuk ringkas, tetapi sudah tentu, apabila menggunakan formula ini, anda perlu mengingati sudut pusat

b) Dan sekarang - "di luar"! Bagaimana untuk menjadi? Ya, hampir sama! Hanya sekarang (sekali lagi gunakan sifat sudut luar untuk). Iaitu, sekarang.

Dan itu bermakna. Mari kita bawa keindahan dan ringkasan dalam rekod dan formulasi:

Sudut antara sekan adalah sama dengan separuh perbezaan nilai sudut lengkok yang disertakan dalam sudut ini.

Nah, kini anda dilengkapi dengan semua pengetahuan asas tentang sudut yang berkaitan dengan bulatan. Maju, kepada serangan tugas!

BULAT DAN SUDUT YANG LUAR BIASA. TAHAP PURATA

Seorang kanak-kanak berumur lima tahun tahu apa itu bulatan, bukan? Ahli matematik, seperti biasa, mempunyai definisi yang tidak jelas tentang ini, tetapi kami tidak akan memberikannya (lihat), sebaliknya mengingati nama titik, garis dan sudut yang berkaitan dengan bulatan.

Terma penting

pertama:

Kedua:

Terdapat satu lagi ungkapan yang diterima: "kord mengecutkan arka." Di sini, dalam rajah, sebagai contoh, kord menguncup lengkok. Dan jika kord tiba-tiba melepasi pusat, maka ia mempunyai nama khas: "diameter".

By the way, bagaimanakah diameter dan jejari berkaitan? Lihat dengan teliti. Sudah tentu,

Dan kini nama untuk sudut.

Sememangnya, bukan? Sisi sudut keluar dari tengah, yang bermaksud sudut itu adalah tengah.

Di sinilah kesusahan kadangkala timbul. Beri perhatian - BUKAN SEBARANG sudut di dalam bulatan - tertulis, tetapi hanya satu yang bucunya "duduk" pada bulatan itu.

Jom lihat perbezaan dalam gambar:

Mereka juga berkata dengan cara lain:

Terdapat satu perkara yang rumit di sini. Apakah sudut tengah "padanan" atau "tersuai"? Hanya sudut dengan bucu di tengah bulatan dan hujung di hujung lengkok? Tidak pasti dengan cara itu. Tengok lukisan.

Salah satu daripadanya, bagaimanapun, tidak kelihatan seperti sudut - ia lebih besar. Tetapi tidak boleh ada lebih banyak sudut dalam segitiga, tetapi dalam bulatan - ia boleh! Jadi: lengkok AB yang lebih kecil sepadan dengan sudut yang lebih kecil (oren), dan yang lebih besar - yang lebih besar. Cuma bagaimana, bukan?

Nisbah antara nilai sudut tersurat dan pusat

Ingat kenyataan yang sangat penting:

Dalam buku teks, mereka suka menulis fakta ini seperti ini:

Bukankah perkataan itu lebih mudah dengan sudut tengah?

Namun begitu, mari kita cari korespondensi antara kedua-dua rumusan, dan pada masa yang sama belajar bagaimana untuk mencari sudut pusat "bersesuaian" dan lengkok di mana sudut tertulis "bersandar" dalam angka.

Lihat: inilah bulatan dan sudut yang tertera:

Di manakah sudut pusat "sepadan"nya?

Kita lihat lagi:

Apakah peraturannya?

Tetapi! Dalam kes ini, adalah penting bahawa sudut bertulis dan pusat "melihat" dari satu sisi ke arka. Sebagai contoh:

Peliknya, biru! Kerana lengkok itu panjang, lebih panjang daripada separuh bulatan! Jadi jangan sesekali mengelirukan!

Apakah akibat yang boleh disimpulkan daripada "separuh hati" sudut yang tertera?

Dan di sini, sebagai contoh:

Sudut berasaskan diameter

Adakah anda sudah perasan bahawa ahli matematik sangat gemar bercakap tentang perkara yang sama dalam perkataan yang berbeza? Mengapa mereka? Anda lihat, bahasa matematik, walaupun formal, adalah hidup, dan oleh itu, seperti dalam bahasa biasa, setiap kali anda ingin mengatakannya kerana ia lebih mudah. Nah, kita telah melihat apa itu "sudut terletak pada lengkok". Dan bayangkan, gambar yang sama dipanggil "sudut terletak pada kord." atas apa? Ya, sudah tentu, pada yang menarik arka ini!

Bilakah lebih mudah untuk bergantung pada kord daripada pada arka?

Nah, terutamanya apabila kord ini adalah diameter.

Untuk situasi sedemikian, terdapat kenyataan yang sangat mudah, cantik dan berguna!

Lihat: berikut ialah lilitan, diameter dan sudut yang terletak di atasnya.

BULAT DAN SUDUT YANG LUAR BIASA. SECARA RINGKAS TENTANG UTAMA

1. Konsep asas.

3. Ukuran lengkok dan sudut.

Sudut radian ialah sudut pusat yang panjang lengkoknya sama dengan jejari bulatan.

Ini ialah nombor yang menyatakan nisbah panjang separuh bulatan kepada jejari.

Lilitan jejari ialah.

4. Nisbah antara nilai sudut tersurat dan pusat.