Video pelajaran 2: Cabaran piramid. Isipadu Piramid

Video pelajaran 3: Cabaran piramid. Piramid yang betul

Syarahan: Piramid, tapaknya, tepi sisi, ketinggian, permukaan sisi; piramid segi tiga; piramid kanan

Piramid- Ini ialah badan tiga dimensi yang mempunyai poligon di tapak, dan semua mukanya terdiri daripada segi tiga.

Kes khas piramid ialah kon, di pangkalnya terdapat bulatan.

Pertimbangkan elemen utama piramid:

Apothem ialah segmen yang menghubungkan bahagian atas piramid dengan bahagian tengah tepi bawah muka sisi. Dalam erti kata lain, ini adalah ketinggian muka piramid.

Dalam rajah anda boleh melihat segi tiga ADS, ABS, BCS, CDS. Jika anda melihat dengan teliti pada nama-nama, anda dapat melihat bahawa setiap segi tiga mempunyai satu huruf biasa dalam namanya - S. Maksudnya, ini bermakna semua muka sisi (segi tiga) bertumpu pada satu titik, yang dipanggil bahagian atas piramid.

OS segmen, yang menghubungkan puncak dengan titik persilangan pepenjuru tapak (dalam kes segi tiga, pada titik persilangan ketinggian), dipanggil ketinggian piramid.

Bahagian pepenjuru ialah satah yang melalui bahagian atas piramid, serta salah satu pepenjuru tapak.

Oleh kerana permukaan sisi piramid terdiri daripada segi tiga, untuk mencari jumlah luas permukaan sisi, adalah perlu untuk mencari kawasan setiap muka dan menambahnya. Bilangan dan bentuk muka bergantung pada bentuk dan saiz sisi poligon yang terletak di dasar.

Satu-satunya satah dalam piramid yang tidak mempunyai bucu dipanggil asas piramid.

Dalam rajah itu, kita melihat bahawa pangkalannya ialah segi empat selari, walau bagaimanapun, boleh terdapat sebarang poligon sewenang-wenangnya.

sifat:

Pertimbangkan kes pertama piramid, di mana ia mempunyai tepi yang sama panjang:

• Satu bulatan boleh diterangkan di sekeliling pangkal piramid tersebut. Jika anda menayang bahagian atas piramid sedemikian, maka unjurannya akan terletak di tengah bulatan.
• Sudut di dasar piramid adalah sama untuk setiap muka.
• Pada masa yang sama, syarat yang mencukupi untuk fakta bahawa bulatan boleh diterangkan di sekeliling pangkal piramid, dan juga bahawa semua tepi mempunyai panjang yang berbeza, boleh dianggap sebagai sudut yang sama antara tapak dan setiap tepi muka. .

Jika anda menjumpai piramid dengan sudut antara muka sisi dan tapak adalah sama, maka sifat berikut adalah benar:

• Anda akan dapat menerangkan bulatan di sekeliling pangkal piramid, bahagian atasnya diunjurkan tepat ke tengah.
• Jika anda melukis pada setiap sisi muka ketinggian ke pangkal, maka ia akan sama panjang.
• Untuk mencari luas permukaan sisi piramid sedemikian, cukup untuk mencari perimeter tapak dan darab dengan separuh panjang ketinggian.
• Sbp \u003d 0.5P oc H.
• Jenis-jenis piramid.
• Bergantung pada poligon yang terletak di dasar piramid, ia boleh berbentuk segi tiga, segi empat, dsb. Jika poligon sekata (dengan sisi yang sama) terletak di dasar piramid, maka piramid tersebut akan dipanggil sekata.

Piramid segi tiga biasa

Tutorial video ini akan membantu pengguna mendapatkan idea tentang tema Piramid. Piramid yang betul. Dalam pelajaran ini, kita akan berkenalan dengan konsep piramid, berikan definisi. Pertimbangkan apa itu piramid biasa dan apakah sifatnya. Kemudian kita buktikan teorem pada permukaan sisi piramid biasa.

Dalam pelajaran ini, kita akan berkenalan dengan konsep piramid, berikan definisi.

Pertimbangkan poligon A 1 A 2...A n, yang terletak pada satah α, dan satu titik P, yang tidak terletak pada satah α (Rajah 1). Mari kita sambungkan titik P dengan puncak A 1, A 2, A 3, … A n. Dapatkan n segi tiga: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R dan lain-lain.

Definisi. Polihedron RA 1 A 2 ... A n, terdiri daripada n-gon A 1 A 2...A n dan n segi tiga RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , dipanggil n- piramid arang batu. nasi. satu.

nasi. satu

Pertimbangkan piramid segi empat PABCD(Gamb. 2).

R- bahagian atas piramid.

ABCD- asas piramid.

RA- rusuk sebelah.

AB- tepi asas.

Dari satu titik R jatuhkan serenjang RN di atas satah darat ABCD. Serenjang yang dilukis ialah ketinggian piramid.

nasi. 2

Jumlah permukaan piramid terdiri daripada permukaan sisi, iaitu, luas semua muka sisi, dan luas tapak:

S penuh \u003d S bahagian + S utama

Piramid dipanggil betul jika:

• tapaknya ialah poligon sekata;
• ruas yang menghubungkan bahagian atas piramid dengan pusat tapak ialah ketinggiannya.

Penerangan tentang contoh piramid segi empat sekata

Pertimbangkan piramid segi empat biasa PABCD(Gamb. 3).

R- bahagian atas piramid. asas piramid ABCD- segiempat sekata, iaitu segi empat sama. titik O, titik persilangan pepenjuru, ialah pusat segi empat sama. Bermaksud, RO ialah ketinggian piramid.

nasi. 3

Penjelasan: di sebelah kanan n-gon, pusat bulatan bergaris dan pusat bulatan bertepatan. Pusat ini dipanggil pusat poligon. Kadang-kadang mereka mengatakan bahawa bahagian atas diunjurkan ke tengah.

Ketinggian muka sisi piramid biasa, yang dilukis dari atasnya, dipanggil apotema dan dilambangkan h a.

1. semua tepi sisi piramid biasa adalah sama;

2. muka sisi ialah segi tiga sama kaki.

Mari kita buktikan sifat-sifat ini menggunakan contoh piramid segi empat biasa.

Diberi: RABCD- piramid segi empat biasa,

ABCD- persegi,

RO ialah ketinggian piramid.

Buktikan:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Lihat Rajah. 4.

nasi. 4

Bukti.

RO ialah ketinggian piramid. Iaitu, lurus RO berserenjang dengan satah ABC, dan seterusnya langsung AO, VO, SO dan LAKUKAN berbaring di dalamnya. Jadi segi tiga ROA, ROV, ROS, ROD- segi empat tepat.

Pertimbangkan segi empat sama ABCD. Ia mengikuti daripada sifat segi empat sama yang AO = BO = CO = LAKUKAN.

Kemudian segi tiga tepat ROA, ROV, ROS, ROD kaki RO- am dan kaki AO, VO, SO dan LAKUKAN sama, jadi segi tiga ini adalah sama dalam dua kaki. Daripada kesamaan segi tiga mengikuti kesamaan segmen, RA = PB = PC = PD. Point 1 terbukti.

Segmen AB dan matahari adalah sama kerana ia adalah sisi segi empat sama, RA = RV = PC. Jadi segi tiga AVR dan VCR - sama kaki dan sama pada tiga sisi.

Begitu juga, kita mendapat bahawa segi tiga ABP, BCP, CDP, DAP adalah sama kaki dan sama, yang diperlukan untuk membuktikan dalam item 2.

Luas permukaan sisi piramid biasa adalah sama dengan separuh hasil darab perimeter tapak dan apotema:

Sebagai bukti, kami memilih piramid segi tiga biasa.

Diberi: RAVS ialah piramid segi tiga sekata.

AB = BC = AC.

RO- ketinggian.

Buktikan: . Lihat Rajah. 5.

nasi. 5

Bukti.

RAVS ialah piramid segi tiga sekata. i.e AB= AC = BC. Biarkan O- pusat segitiga ABC, kemudian RO ialah ketinggian piramid. Tapak piramid ialah segi tiga sama sisi. ABC. perasan, bahawa .

segi tiga RAV, RVS, RSA- segi tiga sama kaki sama (mengikut harta). Piramid segi tiga mempunyai tiga muka sisi: RAV, RVS, RSA. Jadi, luas permukaan sisi piramid ialah:

S sebelah = 3S RAB

Teorem telah terbukti.

Jejari bulatan yang tertulis di dasar piramid segi empat sekata ialah 3 m, ketinggian piramid itu ialah 4 m. Cari luas permukaan sisi piramid itu.

Diberi: piramid segi empat sekata ABCD,

ABCD- persegi,

r= 3 m,

RO- ketinggian piramid,

RO= 4 m.

Untuk mencari: sebelah S. Lihat Rajah. 6.

nasi. 6

Keputusan.

Mengikut teorem terbukti, .

Cari sisi tapak terlebih dahulu AB. Kita tahu bahawa jejari bulatan yang tertulis di dasar piramid segi empat sekata ialah 3 m.

Kemudian, m.

Cari perimeter segi empat sama itu ABCD dengan sisi 6 m:

Pertimbangkan segitiga BCD. Biarkan M- bahagian tengah DC. Sebagai O- tengah BD, kemudian (m).

segi tiga DPC- sama kaki. M- tengah DC. i.e, RM- median, dan oleh itu ketinggian dalam segi tiga DPC. Kemudian RM- apotema piramid.

RO ialah ketinggian piramid. Kemudian, lurus RO berserenjang dengan satah ABC, dan oleh itu langsung OM berbaring di dalamnya. Jom cari apotema RM daripada segi tiga tepat ROM.

Sekarang kita boleh mencari permukaan sisi piramid:

Jawab: 60 m2.

Jejari bulatan yang dihadkan berhampiran tapak piramid segi tiga sekata ialah m. Luas permukaan sisi ialah 18 m 2. Cari panjang apotema itu.

Diberi: ABCP- piramid segi tiga biasa,

AB = BC = SA,

R= m,

Bahagian S = 18 m 2.

Untuk mencari: . Lihat Rajah. 7.

nasi. 7

Keputusan.

Dalam segi tiga tepat ABC diberi jejari bulatan yang dihadkan. Jom cari sebelah AB segi tiga ini menggunakan teorem sinus.

Mengetahui sisi segitiga sekata (m), kita dapati perimeternya.

Menurut teorem pada luas permukaan sisi piramid biasa, di mana h a- apotema piramid. Kemudian:

Jawab: 4 m.

Jadi, kami meneliti apa itu piramid, apakah itu piramid biasa, kami membuktikan teorem pada permukaan sisi piramid biasa. Dalam pelajaran seterusnya, kita akan berkenalan dengan piramid terpotong.

Bibliografi

1. Geometri. Gred 10-11: buku teks untuk pelajar institusi pendidikan (peringkat asas dan profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ed. ke-5, Rev. dan tambahan - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: sakit.
2. Geometri. Gred 10-11: Buku teks untuk institusi pendidikan am / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. Geometri. Gred 10: Buku teks untuk institusi pendidikan am dengan kajian mendalam dan profil matematik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - ed. ke-6, stereotaip. - M.: Bustard, 008. - 233 p.: sakit.

1. Portal Internet "Yaklass" ()
2. Portal Internet "Festival Idea Pedagogi "Pertama September" ()
3. Portal Internet "Slideshare.net" ()

Kerja rumah

1. Bolehkah poligon sekata menjadi tapak bagi piramid tak sekata?
2. Buktikan bahawa tepi tidak bersilang bagi piramid biasa adalah berserenjang.
3. Cari nilai sudut dihedral pada sisi tapak piramid segi empat sekata, jika apotema piramid itu sama dengan sisi tapaknya.
4. RAVS ialah piramid segi tiga sekata. Bina sudut linear bagi sudut dihedral di dasar piramid.

Definisi. Muka sebelah- ini adalah segi tiga di mana satu sudut terletak di bahagian atas piramid, dan sisi bertentangannya bertepatan dengan sisi tapak (poligon).

Definisi. Tulang rusuk sebelah ialah sisi biasa muka sisi. Piramid mempunyai banyak tepi seperti terdapat sudut dalam poligon.

Definisi. ketinggian piramid ialah serenjang dijatuhkan dari atas ke pangkal piramid.

Definisi. Apothem- ini adalah serenjang muka sisi piramid, diturunkan dari bahagian atas piramid ke sisi tapak.

Definisi. Bahagian pepenjuru- ini ialah bahagian piramid dengan satah yang melalui bahagian atas piramid dan pepenjuru tapak.

Definisi. Piramid yang betul- Ini ialah piramid di mana tapaknya ialah poligon sekata, dan ketinggiannya turun ke tengah tapak.

Isipadu dan luas permukaan piramid

Formula. isipadu piramid melalui luas tapak dan ketinggian:

sifat piramid

Jika semua tepi sisi adalah sama, maka bulatan boleh dihadkan di sekeliling pangkal piramid, dan pusat tapak bertepatan dengan pusat bulatan. Juga, serenjang yang dijatuhkan dari atas melepasi pusat tapak (bulatan).

Jika semua rusuk sisi adalah sama, maka ia condong ke satah asas pada sudut yang sama.

Rusuk sisi adalah sama apabila ia membentuk sudut yang sama dengan satah tapak, atau jika bulatan boleh diterangkan di sekeliling tapak piramid.

Jika muka sisi condong ke satah tapak pada satu sudut, maka bulatan boleh ditulis di dasar piramid, dan bahagian atas piramid diunjurkan ke tengahnya.

Jika muka sisi condong ke satah tapak pada satu sudut, maka apotema muka sisi adalah sama.

Sifat piramid biasa

1. Bahagian atas piramid adalah sama jarak dari semua penjuru tapak.

2. Semua tepi sisi adalah sama.

3. Semua rusuk sisi condong pada sudut yang sama ke tapak.

4. Apothems semua muka sisi adalah sama.

5. Luas semua muka sisi adalah sama.

6. Semua muka mempunyai sudut dihedral (rata) yang sama.

7. Sfera boleh diterangkan mengelilingi piramid. Pusat sfera yang diterangkan akan menjadi titik persilangan serenjang yang melalui bahagian tengah tepi.

8. Sfera boleh ditulis dalam piramid. Pusat sfera yang tertulis akan menjadi titik persilangan pembahagi dua yang terpancar dari sudut antara tepi dan tapak.

9. Jika pusat sfera yang digariskan bertepatan dengan pusat sfera yang dihadkan, maka jumlah sudut rata di puncak adalah sama dengan π atau sebaliknya, satu sudut adalah sama dengan π / n, di mana n ialah nombor sudut di dasar piramid.

Sambungan piramid dengan sfera

Sfera boleh diterangkan mengelilingi piramid apabila di dasar piramid terletak polihedron di mana bulatan boleh diterangkan (keadaan yang perlu dan mencukupi). Pusat sfera akan menjadi titik persilangan satah yang melalui secara berserenjang melalui titik tengah tepi sisi piramid.

Sfera sentiasa boleh digambarkan di sekeliling mana-mana piramid segi tiga atau biasa.

Sfera boleh ditulis dalam piramid jika satah pembahagi dua sudut dihedral dalaman piramid itu bersilang pada satu titik (keadaan yang perlu dan mencukupi). Titik ini akan menjadi pusat sfera.

Sambungan piramid dengan kon

Sebuah kon dipanggil tertulis dalam piramid jika bucunya bertepatan dan pangkal kon itu tertulis di dasar piramid.

Sebuah kon boleh ditulis dalam piramid jika apotema piramid adalah sama.

Sebuah kon dipanggil dihadkan mengelilingi piramid jika bucunya bertepatan dan pangkal kon itu dihadkan di sekeliling pangkal piramid.

Sebuah kon boleh diterangkan mengelilingi piramid jika semua tepi sisi piramid adalah sama antara satu sama lain.

Sambungan piramid dengan silinder

Piramid dikatakan ditulis dalam silinder jika bahagian atas piramid terletak pada satu tapak silinder, dan tapak piramid ditulis pada tapak silinder yang lain.

Sebuah silinder boleh dihadkan mengelilingi piramid jika bulatan boleh dikelilingi di sekeliling dasar piramid.

Tetrahedron mempunyai empat muka dan empat bucu dan enam tepi, di mana mana-mana dua tepi tidak mempunyai bucu sepunya tetapi tidak bersentuhan.

Setiap bucu terdiri daripada tiga muka dan tepi yang terbentuk sudut trihedral.

Segmen yang menghubungkan puncak tetrahedron dengan pusat muka bertentangan dipanggil median tetrahedron(GM).

Bimedian dipanggil segmen yang menghubungkan titik tengah tepi bertentangan yang tidak bersentuhan (KL).

Semua bimedian dan median tetrahedron bersilang pada satu titik (S). Dalam kes ini, bimedian dibahagikan kepada separuh, dan median dalam nisbah 3: 1 bermula dari atas.

Definisi. Piramid Sudut Akut ialah piramid di mana apotemanya lebih daripada separuh panjang sisi tapak.

Definisi. piramid tumpul ialah piramid di mana apotemanya kurang daripada separuh panjang sisi tapak.

Definisi. tetrahedron biasa Tetrahedron yang empat mukanya ialah segi tiga sama sisi. Ia adalah salah satu daripada lima poligon sekata. Dalam tetrahedron biasa, semua sudut dihedral (antara muka) dan sudut trihedral (pada bucu) adalah sama.

Definisi. Tetrahedron segi empat tepat tetrahedron dipanggil yang mempunyai sudut tegak antara tiga tepi di bucu (tepinya berserenjang). Tiga muka terbentuk sudut tiga segi empat tepat dan muka ialah segi tiga tepat, dan tapaknya ialah segi tiga sewenang-wenangnya. Apotema mana-mana muka adalah sama dengan separuh bahagian pangkal di mana apotema jatuh.

Definisi. Tetrahedron isohedral Tetrahedron dipanggil di mana muka sisi adalah sama antara satu sama lain, dan tapaknya ialah segi tiga biasa. Muka-muka tetrahedron tersebut ialah segi tiga sama kaki.

Definisi. Tetrahedron ortosentrik tetrahedron dipanggil di mana semua ketinggian (persenjang) yang diturunkan dari atas ke muka bertentangan bersilang pada satu titik.

Definisi. piramid bintang Polihedron yang tapaknya ialah bintang dipanggil.

Piramid. Piramid terpotong

Piramid dipanggil polyhedron, salah satu mukanya ialah poligon ( asas ), dan semua muka lain ialah segi tiga dengan bucu sepunya ( muka sebelah ) (Gamb. 15). Piramid dipanggil betul , jika tapaknya ialah poligon sekata dan bahagian atas piramid diunjurkan ke tengah tapak (Rajah 16). Piramid segi tiga di mana semua tepi adalah sama dipanggil tetrahedron .

rusuk sebelah piramid dipanggil sisi muka sisi yang bukan milik tapak Ketinggian piramid ialah jarak dari atasnya ke satah tapak. Semua tepi sisi piramid sekata adalah sama antara satu sama lain, semua muka sisi adalah segi tiga sama kaki sama. Ketinggian muka sisi piramid sekata yang dilukis daripada bucu dipanggil apotema . bahagian pepenjuru Bahagian piramid dipanggil satah yang melalui dua tepi sisi yang tidak mempunyai muka yang sama.

Luas permukaan sisi piramid dipanggil jumlah luas semua muka sisi. Luas permukaan penuh ialah hasil tambah luas bagi semua muka sisi dan tapak.

Teorem

1. Jika dalam piramid semua tepi sisi adalah sama condong ke satah tapak, maka bahagian atas piramid itu diunjurkan ke tengah bulatan berbatas berhampiran tapak.

2. Jika dalam piramid semua tepi sisi mempunyai panjang yang sama, maka bahagian atas piramid itu diunjurkan ke tengah bulatan berbatas berhampiran tapak.

3. Jika dalam piramid semua muka sama condong ke satah tapak, maka bahagian atas piramid diunjurkan ke tengah bulatan yang tertulis di tapak.

Untuk mengira isipadu piramid arbitrari, formulanya betul:

di mana V- isipadu;

S utama- kawasan asas;

H ialah ketinggian piramid.

Untuk piramid biasa, formula berikut adalah benar:

di mana hlm- perimeter pangkalan;

h a- apotema;

H- ketinggian;

S penuh

sebelah S

S utama- kawasan asas;

V ialah isipadu piramid sekata.

piramid terpotong dipanggil bahagian piramid yang tertutup di antara tapak dan satah pemotongan selari dengan tapak piramid (Rajah 17). Piramid terpotong yang betul dipanggil bahagian piramid biasa, tertutup di antara tapak dan satah pemotongan selari dengan tapak piramid.

Asas piramid terpotong - poligon serupa. Muka sisi - trapezoid. Ketinggian piramid terpotong dipanggil jarak antara tapaknya. pepenjuru Piramid terpenggal ialah segmen yang menghubungkan bucunya yang tidak terletak pada muka yang sama. bahagian pepenjuru Bahagian piramid terpenggal dipanggil satah yang melalui dua tepi sisi yang bukan kepunyaan muka yang sama.

Untuk piramid terpotong, formula adalah sah:

(4)

di mana S 1 , S 2 - kawasan pangkalan atas dan bawah;

S penuh ialah jumlah luas permukaan;

sebelah S ialah kawasan permukaan sisi;

H- ketinggian;

V ialah isipadu piramid terpotong.

Untuk piramid terpotong biasa, formula berikut adalah benar:

di mana hlm 1 , hlm 2 - perimeter asas;

h a- apotema piramid biasa dipotong.

Contoh 1 Dalam piramid segi tiga biasa, sudut dihedral pada tapak ialah 60º. Cari tangen bagi sudut kecondongan tepi sisi kepada satah tapak.

Keputusan. Mari buat lukisan (Gamb. 18).

Piramid adalah sekata, yang bermaksud bahawa tapak adalah segi tiga sama sisi dan semua muka sisi adalah segi tiga sama kaki. Sudut dihedral pada tapak ialah sudut kecondongan muka sisi piramid kepada satah tapak. Sudut linear akan menjadi sudut a antara dua serenjang: i.e. Bahagian atas piramid diunjurkan di tengah segi tiga (tengah bulatan berbatas dan bulatan bertulis dalam segi tiga ABC). Sudut kecondongan rusuk sisi (contohnya SB) ialah sudut antara tepi itu sendiri dan unjurannya pada satah tapak. Untuk rusuk SB sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk mencari tangen anda perlu mengetahui kaki JADI dan OB. Biarkan panjang segmen BD ialah 3 a. titik O segmen garisan BD dibahagikan kepada bahagian: dan Daripada kita dapati JADI: Daripada kami dapati:

Jawapan:

Contoh 2 Cari isipadu piramid segi empat tepat terpotong sekata jika pepenjuru tapaknya ialah cm dan cm dan tingginya ialah 4 cm.

Keputusan. Untuk mencari isipadu piramid terpotong, kami menggunakan formula (4). Untuk mencari luas tapak, anda perlu mencari sisi petak tapak, mengetahui pepenjurunya. Sisi tapak ialah 2 cm dan 8 cm, masing-masing. Ini bermakna kawasan tapak dan Menggantikan semua data ke dalam formula, kami mengira isipadu piramid terpotong:

Jawapan: 112 cm3.

Contoh 3 Cari luas muka sisi piramid terpotong segi tiga sekata, sisi tapaknya ialah 10 cm dan 4 cm, dan tinggi piramid itu ialah 2 cm.

Keputusan. Mari buat lukisan (Gamb. 19).

Muka sisi piramid ini ialah trapezoid sama kaki. Untuk mengira luas trapezoid, anda perlu mengetahui tapak dan ketinggian. Tapak diberi mengikut syarat, hanya ketinggiannya yang tidak diketahui. Cari dari mana TAPI 1 E serenjang dari satu titik TAPI 1 pada satah pangkalan bawah, A 1 D- berserenjang dari TAPI 1 pada AC. TAPI 1 E\u003d 2 cm, kerana ini adalah ketinggian piramid. Untuk mencari DE kami akan membuat lukisan tambahan, di mana kami akan menggambarkan paparan atas (Rajah 20). titik O- unjuran pusat pangkalan atas dan bawah. sejak (lihat Rajah 20) dan Sebaliknya okey ialah jejari bulatan bersurat dan OM ialah jejari bulatan bertulis:

MK=DE.

Mengikut teorem Pythagoras daripada

Kawasan muka sisi:

Jawapan:

Contoh 4 Di dasar piramid terletak trapezoid sama kaki, yang mana tapaknya a dan b (a> b). Setiap muka sisi membentuk sudut yang sama dengan satah tapak piramid j. Cari jumlah luas permukaan piramid itu.

Keputusan. Mari buat lukisan (Gamb. 21). Jumlah luas permukaan piramid SABCD adalah sama dengan jumlah luas dan luas trapezoid ABCD.

Mari kita gunakan pernyataan bahawa jika semua muka piramid adalah sama condong ke satah tapak, maka bucu diunjurkan ke tengah bulatan yang tertulis di tapak. titik O- unjuran puncak S di dasar piramid. segi tiga SOD ialah unjuran ortogon bagi segi tiga CSD ke satah asas. Menurut teorem pada luas unjuran ortogon bagi angka rata, kita dapat:

Begitu juga maksudnya Oleh itu, masalah dikurangkan kepada mencari luas trapezoid ABCD. Lukiskan trapezoid ABCD secara berasingan (Rajah 22). titik O ialah pusat bulatan yang tertulis dalam trapezium.

Oleh kerana bulatan boleh ditulis dalam trapezoid, maka atau Dengan teorem Pythagoras kita ada

• apotema- ketinggian muka sisi piramid biasa, yang dilukis dari atasnya (selain itu, apotema ialah panjang serenjang, yang diturunkan dari tengah poligon biasa ke 1 sisinya);
• muka sebelah (ASB, BSC, CSD, DSA) - segi tiga yang menumpu di bahagian atas;
• rusuk sebelah ( AS , BS , CS , D.S. ) - sisi biasa muka sisi;
• bahagian atas piramid (v. S) - titik yang menghubungkan tepi sisi dan yang tidak terletak pada satah pangkalan;
• ketinggian ( JADI ) - segmen serenjang, yang ditarik melalui bahagian atas piramid ke satah asasnya (hujung segmen sedemikian akan menjadi bahagian atas piramid dan pangkal serenjang);
• bahagian pepenjuru piramid- bahagian piramid, yang melalui bahagian atas dan pepenjuru asas;
• asas (ABCD) ialah poligon yang mana bahagian atas piramid itu bukan miliknya.

sifat piramid.

1. Apabila semua tepi sisi adalah saiz yang sama, maka:

• berhampiran pangkal piramid adalah mudah untuk menggambarkan bulatan, manakala bahagian atas piramid akan diunjurkan ke tengah bulatan ini;
• rusuk sisi membentuk sudut yang sama dengan satah asas;
• di samping itu, sebaliknya juga benar, i.e. apabila tepi sisi membentuk sudut yang sama dengan satah tapak, atau apabila bulatan boleh diterangkan berhampiran dasar piramid dan bahagian atas piramid akan diunjurkan ke tengah bulatan ini, maka semua tepi sisi piramid mempunyai saiz yang sama.

2. Apabila muka sisi mempunyai sudut kecondongan kepada satah tapak dengan nilai yang sama, maka:

• berhampiran pangkal piramid, mudah untuk menggambarkan bulatan, manakala bahagian atas piramid akan diunjurkan ke tengah bulatan ini;
• ketinggian muka sisi adalah sama panjang;
• luas permukaan sisi adalah sama dengan ½ hasil darab perimeter tapak dan ketinggian muka sisi.

3. Sfera boleh diterangkan berhampiran piramid jika tapak piramid ialah poligon di sekelilingnya yang boleh diterangkan bulatan (keadaan yang perlu dan mencukupi). Pusat sfera akan menjadi titik persilangan satah yang melalui titik tengah tepi piramid yang berserenjang dengannya. Daripada teorem ini kita membuat kesimpulan bahawa sfera boleh diterangkan di sekeliling mana-mana segi tiga dan di sekeliling mana-mana piramid biasa.

4. Sfera boleh ditulis dalam piramid jika satah pembahagi dua sudut dihedral dalaman piramid itu bersilang pada titik pertama (keadaan yang perlu dan mencukupi). Titik ini akan menjadi pusat sfera.

Piramid paling ringkas.

Mengikut bilangan sudut asas piramid, mereka dibahagikan kepada segi tiga, segi empat, dan sebagainya.

Piramid akan segi tiga, segi empat, dan seterusnya, apabila tapak piramid ialah segi tiga, segi empat, dan seterusnya. Piramid segi tiga ialah tetrahedron - tetrahedron. Kuadrangular - pentahedron dan sebagainya.