- Ini adalah polihedron, yang dibentuk oleh asas piramid dan bahagian yang selari dengannya. Kita boleh mengatakan bahawa piramid terpotong adalah piramid dengan bahagian atas terpotong. Angka ini mempunyai banyak sifat unik:

• Muka sisi piramid ialah trapezoid;
• Rusuk sisi piramid terpotong biasa adalah sama panjang dan condong ke pangkal pada sudut yang sama;
• Tapaknya ialah poligon yang serupa;
• Dalam piramid terpotong biasa, muka adalah trapezoid sama kaki yang sama, yang luasnya sama. Mereka juga cenderung ke pangkalan pada satu sudut.

Formula untuk luas permukaan sisi piramid terpotong ialah jumlah luas sisinya:

Memandangkan sisi piramid terpotong ialah trapezoid, anda perlu menggunakan formula untuk mengira parameter kawasan trapezoid. Untuk piramid terpotong biasa, formula lain untuk mengira luas boleh digunakan. Oleh kerana semua sisi, muka dan sudutnya pada tapak adalah sama, adalah mungkin untuk menggunakan perimeter tapak dan apotema, dan juga memperoleh luas melalui sudut pada tapak.

Jika, mengikut keadaan dalam piramid terpotong biasa, apotema (ketinggian sisi) dan panjang sisi tapak diberi, maka luas boleh dikira melalui hasil setengah hasil tambah perimeter bagi asas dan apotema:

Mari lihat contoh pengiraan luas permukaan sisi piramid terpotong.
Diberi piramid pentagon biasa. Apothem l\u003d 5 cm, panjang muka di pangkal besar ialah a\u003d 6 cm, dan muka berada di pangkal yang lebih kecil b\u003d 4 cm. Kira luas piramid yang dipotong.

Mula-mula, mari kita cari perimeter tapak. Oleh kerana kita diberi piramid segi lima, kita faham bahawa tapaknya adalah pentagon. Ini bermakna tapak adalah rajah dengan lima sisi yang sama. Cari perimeter tapak yang lebih besar:

Dengan cara yang sama, kita dapati perimeter tapak yang lebih kecil:

Sekarang kita boleh mengira luas piramid terpotong biasa. Kami menggantikan data dalam formula:

Oleh itu, kami mengira luas piramid terpotong biasa melalui perimeter dan apotema.

Satu lagi cara untuk mengira luas permukaan sisi piramid biasa ialah formula melalui sudut di pangkalan dan kawasan pangkalan ini.

Mari lihat contoh pengiraan. Ingat bahawa formula ini hanya terpakai kepada piramid terpotong biasa.

Biarkan piramid segi empat biasa diberikan. Muka tapak bawah ialah a = 6 cm, dan muka b atas = 4 cm Sudut dihedral pada tapak ialah β = 60°. Cari luas permukaan sisi piramid terpotong biasa.

Pertama, mari kita mengira luas pangkalan. Oleh kerana piramid adalah sekata, semua muka tapak adalah sama antara satu sama lain. Memandangkan tapak adalah segi empat, kami faham bahawa ia akan diperlukan untuk mengira kawasan persegi. Ia adalah hasil darab lebar dan panjang, tetapi kuasa dua, nilai ini adalah sama. Cari luas tapak yang lebih besar:


Sekarang kita menggunakan nilai yang ditemui untuk mengira luas permukaan sisi.

Mengetahui beberapa formula mudah, kami dengan mudah mengira luas trapezoid sisi piramid terpotong melalui pelbagai nilai.

Piramid. Piramid terpotong

Piramid dipanggil polyhedron, salah satu mukanya ialah poligon ( asas ), dan semua muka lain ialah segi tiga dengan bucu sepunya ( muka sebelah ) (Gamb. 15). Piramid dipanggil betul , jika tapaknya ialah poligon sekata dan bahagian atas piramid diunjurkan ke tengah tapak (Rajah 16). Piramid segi tiga di mana semua tepi adalah sama dipanggil tetrahedron .

rusuk sebelah piramid dipanggil sisi muka sisi yang bukan milik tapak Ketinggian piramid ialah jarak dari atasnya ke satah tapak. Semua tepi sisi piramid sekata adalah sama antara satu sama lain, semua muka sisi adalah segi tiga sama kaki sama. Ketinggian muka sisi piramid sekata yang dilukis daripada bucu dipanggil apotema . bahagian pepenjuru Bahagian piramid dipanggil satah yang melalui dua tepi sisi yang tidak mempunyai muka yang sama.

Luas permukaan sisi piramid dipanggil jumlah luas semua muka sisi. Luas permukaan penuh ialah hasil tambah luas bagi semua muka sisi dan tapak.

Teorem

1. Jika dalam piramid semua tepi sisi adalah sama condong ke satah tapak, maka bahagian atas piramid itu diunjurkan ke tengah bulatan berbatas berhampiran tapak.

2. Jika dalam piramid semua tepi sisi mempunyai panjang yang sama, maka bahagian atas piramid itu diunjurkan ke tengah bulatan berbatas berhampiran tapak.

3. Jika dalam piramid semua muka sama condong ke satah tapak, maka bahagian atas piramid diunjurkan ke tengah bulatan yang tertulis di tapak.

Untuk mengira isipadu piramid arbitrari, formulanya betul:

di mana V- isipadu;

S utama- kawasan asas;

H ialah ketinggian piramid.

Untuk piramid biasa, formula berikut adalah benar:

di mana hlm- perimeter pangkalan;

h a- apotema;

H- ketinggian;

S penuh

sebelah S

S utama- kawasan asas;

V ialah isipadu piramid sekata.

piramid terpotong dipanggil bahagian piramid yang tertutup di antara tapak dan satah pemotongan selari dengan tapak piramid (Rajah 17). Piramid terpotong yang betul dipanggil bahagian piramid biasa, tertutup di antara tapak dan satah pemotongan selari dengan tapak piramid.

Asas piramid terpotong - poligon serupa. Muka sisi - trapezoid. Ketinggian piramid terpotong dipanggil jarak antara tapaknya. pepenjuru Piramid terpenggal ialah segmen yang menghubungkan bucunya yang tidak terletak pada muka yang sama. bahagian pepenjuru Bahagian piramid terpenggal dipanggil satah yang melalui dua tepi sisi yang bukan kepunyaan muka yang sama.

Untuk piramid terpotong, formula adalah sah:

(4)

di mana S 1 , S 2 - kawasan pangkalan atas dan bawah;

S penuh ialah jumlah luas permukaan;

sebelah S ialah kawasan permukaan sisi;

H- ketinggian;

V ialah isipadu piramid terpotong.

Untuk piramid terpotong biasa, formula berikut adalah benar:

di mana hlm 1 , hlm 2 - perimeter asas;

h a- apotema piramid biasa dipotong.

Contoh 1 Dalam piramid segi tiga biasa, sudut dihedral pada tapak ialah 60º. Cari tangen bagi sudut kecondongan tepi sisi kepada satah tapak.

Keputusan. Mari buat lukisan (Gamb. 18).

Piramid adalah sekata, yang bermaksud bahawa tapak adalah segi tiga sama sisi dan semua muka sisi adalah segi tiga sama kaki. Sudut dihedral pada tapak ialah sudut kecondongan muka sisi piramid kepada satah tapak. Sudut linear akan menjadi sudut a antara dua serenjang: i.e. Bahagian atas piramid diunjurkan di tengah segi tiga (tengah bulatan berbatas dan bulatan bertulis dalam segi tiga ABC). Sudut kecondongan rusuk sisi (contohnya SB) ialah sudut antara tepi itu sendiri dan unjurannya pada satah tapak. Untuk rusuk SB sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk mencari tangen anda perlu mengetahui kaki JADI dan OB. Biarkan panjang segmen BD ialah 3 a. titik O segmen garisan BD dibahagikan kepada bahagian: dan Daripada kita dapati JADI: Daripada kami dapati:

Jawapan:

Contoh 2 Cari isipadu piramid segi empat tepat terpotong sekata jika pepenjuru tapaknya ialah cm dan cm dan tingginya ialah 4 cm.

Keputusan. Untuk mencari isipadu piramid terpotong, kami menggunakan formula (4). Untuk mencari luas tapak, anda perlu mencari sisi petak tapak, mengetahui pepenjurunya. Sisi tapak ialah 2 cm dan 8 cm, masing-masing. Ini bermakna kawasan tapak dan Menggantikan semua data ke dalam formula, kami mengira isipadu piramid terpotong:

Jawapan: 112 cm3.

Contoh 3 Cari luas muka sisi piramid terpotong segi tiga sekata, sisi tapaknya ialah 10 cm dan 4 cm, dan tinggi piramid itu ialah 2 cm.

Keputusan. Mari buat lukisan (Gamb. 19).

Muka sisi piramid ini ialah trapezium sama kaki. Untuk mengira luas trapezoid, anda perlu mengetahui tapak dan ketinggian. Tapak diberi mengikut syarat, hanya ketinggiannya yang tidak diketahui. Cari dari mana TAPI 1 E serenjang dari satu titik TAPI 1 pada satah pangkalan bawah, A 1 D- berserenjang dari TAPI 1 pada AC. TAPI 1 E\u003d 2 cm, kerana ini adalah ketinggian piramid. Untuk mencari DE kami akan membuat lukisan tambahan, di mana kami akan menggambarkan paparan atas (Rajah 20). titik O- unjuran pusat pangkalan atas dan bawah. sejak (lihat Rajah 20) dan Sebaliknya okey ialah jejari bulatan bersurat dan OM ialah jejari bulatan bertulis:

MK=DE.

Mengikut teorem Pythagoras daripada

Kawasan muka sisi:

Jawapan:

Contoh 4 Di dasar piramid terletak trapezoid sama kaki, yang mana tapaknya a dan b (a> b). Setiap muka sisi membentuk sudut yang sama dengan satah tapak piramid j. Cari jumlah luas permukaan piramid itu.

Keputusan. Mari buat lukisan (Gamb. 21). Jumlah luas permukaan piramid SABCD adalah sama dengan jumlah luas dan luas trapezoid ABCD.

Kami menggunakan pernyataan bahawa jika semua muka piramid adalah sama condong ke satah tapak, maka bucu diunjurkan ke tengah bulatan yang tertulis di tapak. titik O- unjuran puncak S di dasar piramid. segi tiga SOD ialah unjuran ortogon bagi segi tiga CSD ke satah asas. Menurut teorem pada luas unjuran ortogon bagi angka rata, kita dapat:

Begitu juga maksudnya Oleh itu, masalah dikurangkan kepada mencari luas trapezoid ABCD. Lukiskan trapezoid ABCD secara berasingan (Rajah 22). titik O ialah pusat bulatan yang tertulis dalam trapezium.

Oleh kerana bulatan boleh ditulis dalam trapezium, maka atau Daripada, oleh teorem Pythagoras, kita mempunyai

Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan piramid terpotong, berkenalan dengan piramid terpotong yang betul, dan mengkaji sifatnya.

Mari kita ingat konsep piramid n-gonal menggunakan contoh piramid segi tiga. Segitiga ABC diberi. Di luar satah segi tiga itu, satu titik P diambil, disambungkan ke bucu segitiga itu. Permukaan polihedral yang terhasil dipanggil piramid (Rajah 1).

nasi. 1. Piramid segi tiga

Mari kita potong piramid dengan satah selari dengan satah asas piramid. Angka yang diperoleh di antara satah ini dipanggil piramid terpotong (Rajah 2).

nasi. 2. Piramid terpotong

Elemen utama:

Pangkalan atas ;

ABC asas bawah;

Muka sisi;

Jika PH ialah ketinggian piramid asal, maka ialah ketinggian piramid terpotong.

Sifat-sifat piramid terpotong mengikut kaedah pembinaannya, iaitu dari keselarian satah tapak:

Semua muka sisi piramid terpotong ialah trapezoid. Pertimbangkan, sebagai contoh, wajah. Ia mempunyai sifat satah selari (memandangkan satah selari, ia memotong muka sisi piramid ABP asal di sepanjang garis selari), pada masa yang sama ia tidak selari. Jelas sekali, segi empat ialah trapezoid, seperti semua muka sisi piramid terpotong.

Nisbah tapak adalah sama untuk semua trapezoid:

Kami mempunyai beberapa pasang segi tiga yang serupa dengan pekali persamaan yang sama. Sebagai contoh, segi tiga dan RAB adalah serupa disebabkan oleh keselarian satah dan , pekali persamaan:

Pada masa yang sama, segi tiga dan RCS adalah serupa dengan pekali persamaan:

Jelas sekali, pekali kesamaan bagi ketiga-tiga pasangan segi tiga yang serupa adalah sama, jadi nisbah tapak adalah sama untuk semua trapezoid.

Piramid terpotong biasa ialah piramid terpotong yang diperolehi dengan memotong piramid biasa dengan satah selari dengan tapak (Rajah 3).

nasi. 3. Piramid terpotong yang betul

Definisi.

Piramid sekata dipanggil piramid, di pangkalnya terletak n-gon sekata, dan bucunya diunjurkan ke tengah n-gon ini (pusat bulatan bersurat dan berbatas).

Dalam kes ini, segi empat sama terletak di dasar piramid, dan bucu diunjurkan ke titik persilangan pepenjurunya. Piramid terpotong segi empat sekata sekata yang terhasil mempunyai ABCD - tapak bawah, - tapak atas. Ketinggian piramid asal - RO, piramid terpotong - (Gamb. 4).

nasi. 4. Piramid terpotong segi empat biasa biasa

Definisi.

Ketinggian piramid terpotong ialah serenjang yang dilukis dari mana-mana titik satu tapak ke satah tapak kedua.

Apotema piramid asal ialah RM (M ialah tengah AB), apotema piramid terpotong ialah (Rajah 4).

Definisi.

Apotema piramid terpotong ialah ketinggian mana-mana muka sisi.

Adalah jelas bahawa semua tepi sisi piramid terpotong adalah sama antara satu sama lain, iaitu, muka sisi adalah sama trapezoid sama kaki.

Luas permukaan sisi piramid terpotong biasa adalah sama dengan hasil darab separuh daripada jumlah perimeter tapak dan apotema.

Bukti (untuk piramid terpotong segi empat biasa - Rajah 4):

Jadi, kita perlu membuktikan:

Luas permukaan sisi di sini akan terdiri daripada jumlah luas muka sisi - trapezoid. Oleh kerana trapezoid adalah sama, kita mempunyai:

Luas trapezoid isosceles ialah hasil darab separuh jumlah tapak dan tinggi, apotema ialah ketinggian trapezoid. Kami ada:

Q.E.D.

Untuk piramid n-gonal:

Di mana n ialah bilangan muka sisi piramid, a dan b ialah tapak trapezoid, ialah apotema.

Sisi pangkal piramid segi empat tepat terpotong biasa adalah sama dengan 3 cm dan 9 cm, tinggi - 4 cm. Cari luas permukaan sisi.

nasi. 5. Ilustrasi untuk masalah 1

Keputusan. Mari kita gambarkan keadaan:

Diberi: , ,

Lukis garis lurus MN melalui titik O selari dengan kedua-dua belah tapak bawah, begitu juga lukis garis lurus melalui titik (Rajah 6). Oleh kerana segi empat sama dan binaan adalah selari pada tapak piramid terpotong, kita mendapat trapezoid yang sama dengan muka sisi. Selain itu, sisi sisinya akan melalui bahagian tengah tepi atas dan bawah muka sisi dan akan menjadi lambang piramid terpotong.

nasi. 6. Pembinaan tambahan

Pertimbangkan trapezoid yang terhasil (Rajah 6). Dalam trapezoid ini, tapak atas, tapak bawah dan ketinggian diketahui. Ia dikehendaki mencari sisi sisi, iaitu apotema bagi piramid terpotong yang diberikan. Lukis berserenjang dengan MN. Mari kita lepaskan NQ serenjang dari titik. Kami mendapat bahawa pangkalan yang lebih besar dibahagikan kepada segmen tiga sentimeter (). Pertimbangkan segi tiga tepat, kaki di dalamnya diketahui, ini adalah segitiga Mesir, dengan teorem Pythagoras kita menentukan panjang hipotenus: 5 cm.

Sekarang terdapat semua elemen untuk menentukan luas permukaan sisi piramid:

Piramid itu dilintasi oleh satah selari dengan tapak. Dengan menggunakan contoh piramid segi tiga, buktikan bahawa tepi sisi dan ketinggian piramid dibahagi oleh satah ini kepada bahagian berkadar.

Bukti. Mari kita gambarkan:

nasi. 7. Ilustrasi untuk masalah 2

Piramid RABC diberikan. RO ialah ketinggian piramid. Piramid dibedah oleh satah, piramid terpotong diperoleh, lebih-lebih lagi. Titik - titik persilangan ketinggian RO dengan satah asas piramid terpotong. Ia adalah perlu untuk membuktikan:

Kunci kepada penyelesaian adalah sifat satah selari. Dua satah selari memotong mana-mana satah ketiga supaya garis persilangan adalah selari. Dari sini: . Keselarian garisan yang sepadan menunjukkan kehadiran empat pasang segi tiga yang serupa:

Daripada kesamaan segi tiga mengikuti kekadaran sisi yang sepadan. Satu ciri penting ialah pekali persamaan untuk segi tiga ini adalah sama:

Q.E.D.

Piramid segi tiga biasa RABC dengan ketinggian dan sisi tapak dibedah oleh satah yang melalui pertengahan ketinggian PH selari dengan tapak ABC. Cari luas permukaan sisi piramid terpotong yang terhasil.

Keputusan. Mari kita gambarkan:

nasi. 8. Ilustrasi untuk masalah 3

DIA ialah segi tiga sekata, H ialah pusat segitiga ini (pusat bulatan bertulis dan berbatas). RM ialah apotema bagi piramid yang diberi. - apotema piramid terpotong. Mengikut sifat satah selari (dua satah selari memotong mana-mana satah ketiga supaya garis persilangan selari), kita mempunyai beberapa pasang segi tiga yang serupa dengan pekali persamaan yang sama. Khususnya, kami berminat dalam hubungan:

Jom cari NM. Ini ialah jejari bulatan yang tertulis di pangkalan, kita tahu formula yang sepadan:

Sekarang, dari segi tiga bersudut tegak РНМ, dengan teorem Pythagoras, kita dapati РМ - apotema piramid asal:

Daripada nisbah awal:

Sekarang kita tahu semua elemen untuk mencari luas permukaan sisi piramid terpotong:

Jadi, kami berkenalan dengan konsep piramid terpotong dan piramid terpotong biasa, memberikan takrif asas, mempertimbangkan sifat, dan membuktikan teorem pada luas permukaan sisi. Pelajaran seterusnya akan memberi tumpuan kepada penyelesaian masalah.

Bibliografi

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometri. Gred 10-11: buku teks untuk pelajar institusi pendidikan (peringkat asas dan profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - ed. ke-5, Rev. dan tambahan - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: sakit.
2. Sharygin I. F. Geometri. Gred 10-11: Buku teks untuk institusi pendidikan am / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometri. Gred 10: Buku teks untuk institusi pendidikan am dengan kajian mendalam dan profil matematik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - ed. ke-6, stereotaip. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: sakit.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Kerja rumah