Logaritma pada contoh peperiksaan. Logaritma: contoh dan penyelesaian

Ungkapan logaritma, contoh penyelesaian. Dalam artikel ini kita akan melihat masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugasan bertanyakan soalan mencari makna ungkapan. Perlu diingatkan bahawa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan memahami maksudnya adalah sangat penting. Bagi Peperiksaan Negeri Bersepadu, logaritma digunakan semasa menyelesaikan persamaan, dalam masalah yang digunakan, dan juga dalam tugas yang berkaitan dengan kajian fungsi.

Mari kita berikan contoh untuk memahami maksud logaritma:

Identiti logaritma asas:

Sifat logaritma yang mesti sentiasa diingati:

*Logaritma hasil darab adalah sama dengan jumlah logaritma faktor.

* * *

*Logaritma bagi hasil (pecahan) adalah sama dengan perbezaan antara logaritma faktor.

* * *

*Logaritma eksponen adalah sama dengan hasil darab eksponen dan logaritma tapaknya.

* * *

*Peralihan kepada asas baharu

* * *

Lebih banyak hartanah:

* * *

Pengiraan logaritma berkait rapat dengan penggunaan sifat eksponen.

Mari kita senaraikan beberapa daripadanya:

Intipati sifat ini ialah apabila pengangka dipindahkan ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah kepada sebaliknya. Sebagai contoh:

Akibat daripada harta ini:

* * *

Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, asas kekal sama, tetapi eksponen didarabkan.

* * *

Seperti yang telah anda lihat, konsep logaritma itu sendiri adalah mudah. Perkara utama ialah anda memerlukan latihan yang baik, yang memberi anda kemahiran tertentu. Sudah tentu, pengetahuan tentang formula diperlukan. Sekiranya kemahiran menukar logaritma asas belum dibangunkan, maka apabila menyelesaikan tugas mudah anda boleh membuat kesilapan dengan mudah.

Berlatih, selesaikan contoh paling mudah dari kursus matematik dahulu, kemudian beralih kepada yang lebih kompleks. Pada masa hadapan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "hodoh" diselesaikan; ini tidak akan muncul pada Peperiksaan Negeri Bersepadu, tetapi ia menarik, jangan ketinggalan!

Itu sahaja! Semoga berjaya!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada pihak berkuasa kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Dalam tutorial video ini kita akan melihat menyelesaikan persamaan logaritma yang agak serius, di mana anda bukan sahaja perlu mencari punca, tetapi juga memilih yang terletak pada segmen tertentu.

Masalah C1. Selesaikan persamaan. Cari semua punca persamaan ini yang tergolong dalam selang.

Nota tentang persamaan logaritma

Walau bagaimanapun, dari tahun ke tahun pelajar datang kepada saya yang cuba menyelesaikannya, terus terang, persamaan yang sukar, tetapi pada masa yang sama mereka tidak dapat memahami: di mana mereka harus bermula dan bagaimana untuk mendekati logaritma? Masalah ini boleh timbul walaupun dalam kalangan pelajar yang kuat dan bersedia.

Akibatnya, ramai yang mula takut dengan topik ini, malah menganggap diri mereka bodoh. Jadi, ingat: jika anda tidak dapat menyelesaikan persamaan sedemikian, ini sama sekali tidak bermakna anda bodoh. Kerana, sebagai contoh, anda boleh mengendalikan persamaan ini hampir secara lisan:

log 2 x = 4

Dan jika ini tidak begitu, anda tidak akan membaca teks ini sekarang, kerana anda sibuk dengan tugas yang lebih mudah dan biasa. Sudah tentu, seseorang kini akan membantah: "Apakah kaitan persamaan paling mudah ini dengan struktur sihat kita?" Saya menjawab: mana-mana persamaan logaritma, tidak kira betapa rumitnya ia, akhirnya datang kepada struktur paling mudah ini yang boleh diselesaikan secara lisan.

Sudah tentu, seseorang mesti beralih dari persamaan logaritma kompleks kepada yang lebih mudah bukan melalui pemilihan atau tarian dengan rebana, tetapi mengikut peraturan yang jelas dan panjang, yang dipanggil - peraturan untuk menukar ungkapan logaritma. Mengetahui mereka, anda boleh dengan mudah menangani walaupun persamaan yang paling canggih dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik.

Dan peraturan inilah yang akan kita bincangkan dalam pelajaran hari ini. Pergi!

Menyelesaikan persamaan logaritma dalam masalah C1

Jadi, kita selesaikan persamaan:

Pertama sekali, apabila ia datang kepada persamaan logaritma, kita ingat taktik asas - boleh dikatakan, peraturan asas untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Ia terdiri daripada yang berikut:

Teorem bentuk kanonik. Mana-mana persamaan logaritma, tidak kira apa yang disertakan, tidak kira apa logaritma, tidak kira apa asas, dan tidak kira apa yang terkandung di dalamnya, semestinya perlu dikurangkan kepada persamaan bentuk:

log a f (x) = log a g (x)

Jika kita melihat persamaan kita, kita segera melihat dua masalah:

1. Di sebelah kiri kita ada hasil tambah dua nombor, salah satunya bukan logaritma sama sekali.
2. Di sebelah kanan terdapat logaritma, tetapi pada dasarnya terdapat akar. Dan logaritma di sebelah kiri hanyalah 2, i.e. Asas logaritma di kiri dan kanan adalah berbeza.

Jadi, kami telah menyusun senarai masalah ini yang memisahkan persamaan kami daripada itu persamaan kanonik, yang mana mana-mana persamaan logaritma mesti dikurangkan semasa proses penyelesaian. Oleh itu, menyelesaikan persamaan kami pada peringkat ini adalah untuk menghapuskan dua masalah yang diterangkan di atas.

Mana-mana persamaan logaritma boleh diselesaikan dengan cepat dan mudah jika anda mengurangkannya kepada bentuk kanoniknya.

Jumlah logaritma dan logaritma hasil darab

Mari kita teruskan mengikut urutan. Mula-mula, mari kita lihat struktur di sebelah kiri. Apakah yang boleh kita katakan tentang hasil tambah dua logaritma? Mari kita ingat formula yang indah:

log a f (x) + log a g (x) = log a f (x) g (x)

Tetapi perlu dipertimbangkan bahawa dalam kes kami istilah pertama bukanlah logaritma sama sekali. Ini bermakna kita perlu mewakili unit sebagai logaritma kepada asas 2 (tepatnya 2, kerana logaritma kepada asas 2 berada di sebelah kiri). Bagaimana hendak melakukannya? Marilah kita ingat semula formula yang indah:

a = log b b a

Di sini anda perlu faham: apabila kami menyebut "Mana-mana asas b", kami maksudkan bahawa b masih tidak boleh menjadi nombor arbitrari. Jika kita memasukkan nombor ke dalam logaritma, pasti sekatan, iaitu: asas logaritma mestilah lebih besar daripada 0 dan tidak boleh sama dengan 1. Jika tidak, logaritma itu tidak masuk akal. Mari kita tulis ini:

0 < b ≠ 1

Mari lihat apa yang berlaku dalam kes kami:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Sekarang mari kita tulis semula keseluruhan persamaan kita dengan mengambil kira fakta ini. Dan kami segera menggunakan peraturan lain: jumlah logaritma adalah sama dengan logaritma hasil darab hujah. Hasilnya kami mendapat:

Kami mempunyai persamaan baru. Seperti yang kita lihat, ia sudah lebih dekat dengan persamaan kanonik yang kita perjuangkan. Tetapi ada satu masalah, kami menulisnya sebagai titik kedua: logaritma kami, yang berada di kiri dan kanan, sebab yang berbeza. Mari kita teruskan ke langkah seterusnya.

Peraturan untuk menolak kuasa daripada logaritma

Jadi logaritma di sebelah kiri mempunyai asas hanya 2, dan logaritma di sebelah kanan mempunyai punca di pangkalan. Tetapi ini tidak menjadi masalah jika kita ingat bahawa asas hujah logaritma boleh dinaikkan kepada kuasa. Mari tuliskan salah satu peraturan ini:

log a b n = n log a b

Diterjemah ke dalam bahasa manusia: anda boleh mengeluarkan kuasa daripada asas logaritma dan meletakkannya di hadapan sebagai pengganda. Nombor n "berhijrah" daripada logaritma ke luar dan menjadi pekali di hadapan.

Kita boleh dengan mudah memperoleh kuasa daripada asas logaritma. Ia akan kelihatan seperti ini:

Dalam erti kata lain, jika anda mengeluarkan darjah daripada hujah logaritma, darjah ini juga ditulis sebagai faktor sebelum logaritma, tetapi bukan sebagai nombor, tetapi sebagai nombor salingan 1/k.

Namun, bukan itu sahaja! Kita boleh menggabungkan kedua-dua formula ini dan menghasilkan formula berikut:

Apabila kuasa muncul dalam kedua-dua asas dan hujah logaritma, kita boleh menjimatkan masa dan memudahkan pengiraan dengan segera mengeluarkan kuasa daripada kedua-dua asas dan hujah. Dalam kes ini, apa yang ada dalam hujah (dalam kes kami, ini adalah pekali n) akan muncul dalam pengangka. Dan apakah darjah pada asas, a k, akan pergi ke penyebut.

Dan formula inilah yang akan kita gunakan sekarang untuk mengurangkan logaritma kita kepada asas yang sama.

Pertama sekali, jom pilih base yang lebih kurang cantik. Jelas sekali, adalah lebih menyenangkan untuk bekerja dengan dua di pangkal daripada dengan akar. Jadi mari kita cuba kurangkan logaritma kedua kepada asas 2. Mari kita tulis logaritma ini secara berasingan:

Apa yang boleh kita lakukan di sini? Mari kita ingat formula kuasa dengan eksponen rasional. Dalam erti kata lain, kita boleh menulis akar sebagai kuasa dengan eksponen yang rasional. Dan kemudian kita mengambil kuasa 1/2 daripada kedua-dua hujah dan asas logaritma. Kami mengurangkan dua dalam pekali dalam pengangka dan penyebut menghadap logaritma:

Akhir sekali, mari kita tulis semula persamaan asal dengan mengambil kira pekali baharu:

log 2 2(9x 2 + 5) = log 2 (8x 4 + 14)

Kami telah memperoleh persamaan logaritma kanonik. Kedua-dua di sebelah kiri dan di sebelah kanan kita mempunyai logaritma kepada asas yang sama 2. Selain daripada logaritma ini, tidak ada pekali, tiada istilah sama ada di sebelah kiri atau di sebelah kanan.

Akibatnya, kita boleh menyingkirkan tanda logaritma. Sudah tentu, dengan mengambil kira domain definisi. Tetapi sebelum kita berbuat demikian, mari kita kembali dan membuat sedikit penjelasan tentang pecahan.

Membahagi Pecahan dengan Pecahan: Pertimbangan Tambahan

Tidak semua pelajar memahami dari mana datangnya faktor di hadapan logaritma yang betul dan ke mana ia pergi. Mari kita tulis semula:

Mari kita fikirkan apa itu pecahan. Mari kita tulis:

Sekarang mari kita ingat peraturan untuk membahagi pecahan: untuk membahagi dengan 1/2 anda perlu mendarab dengan pecahan terbalik:

Sudah tentu, untuk kemudahan pengiraan selanjutnya, kita boleh menulis dua sebagai 2/1 - dan inilah yang kita perhatikan sebagai pekali kedua dalam proses penyelesaian.

Saya harap sekarang semua orang faham dari mana datangnya pekali kedua, jadi mari kita teruskan untuk menyelesaikan persamaan logaritma kanonik kita.

Menyingkirkan tanda logaritma

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa sekarang kita boleh menyingkirkan logaritma dan meninggalkan ungkapan berikut:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

Mari buka kurungan di sebelah kiri. Kita mendapatkan:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

Mari kita alihkan semuanya dari sebelah kiri ke kanan:

8x 4 + 14 − 18x 2 − 10 = 0

Jom bawa yang serupa dan dapatkan:

8x 4 − 18x 2 + 4 = 0

Kita boleh membahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengan 2 untuk memudahkan pekali, dan kita dapat:

4x 4 − 9x 2 + 2 = 0

Di hadapan kita adalah seperti biasa persamaan biquadratik, dan akarnya mudah dikira melalui diskriminasi. Jadi, mari kita tuliskan diskriminasi:

D = 81 − 4 4 2 = 81 − 32 = 49

Hebat, diskriminasi itu "cantik", akarnya ialah 7. Itu sahaja, mari kita mengira X sendiri. Tetapi dalam kes ini, puncanya bukan x, tetapi x 2, kerana kita mempunyai persamaan biquadratik. Jadi, pilihan kami:

Sila ambil perhatian: kami mengekstrak akarnya, jadi akan ada dua jawapan, kerana... segi empat sama - malah berfungsi. Dan jika kita menulis hanya akar dua, maka kita akan kehilangan akar kedua.

Sekarang kita tulis punca kedua bagi persamaan biquadratik kita:

Sekali lagi, kita ambil punca kuasa dua aritmetik kedua-dua belah persamaan kita dan dapatkan dua punca. Walau bagaimanapun, ingat:

Tidak cukup dengan hanya menyamakan hujah-hujah logaritma dalam bentuk kanonik. Ingat domain definisi!

Secara keseluruhan kami mendapat empat akar. Kesemua mereka sememangnya penyelesaian kepada persamaan asal kami. Lihatlah: dalam persamaan logaritma asal kami, logaritma di dalamnya sama ada 9x 2 + 5 (fungsi ini sentiasa positif) atau 8x 4 + 14 - yang juga sentiasa positif. Oleh itu, domain takrifan logaritma berpuas hati dalam apa jua keadaan, tidak kira apa punca yang kita dapat, yang bermaksud bahawa keempat-empat punca adalah penyelesaian kepada persamaan kita.

Hebat, sekarang mari kita beralih kepada bahagian kedua masalah.

Pemilihan punca persamaan logaritma pada segmen

Daripada empat akar kami, kami memilih mereka yang terletak pada segmen [−1; 8/9]. Kami kembali ke akar kami, dan sekarang kami akan melaksanakan pemilihan mereka. Sebagai permulaan, saya cadangkan melukis paksi koordinat dan menandakan hujung segmen di atasnya:

Kedua-dua titik akan dilorekkan. Itu. Mengikut keadaan masalah, kami berminat dengan segmen berlorek. Sekarang mari kita lihat akarnya.

Akar yang tidak rasional

Mari kita mulakan dengan akar yang tidak rasional. Perhatikan bahawa 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Ia berikutan daripada ini bahawa akar dua tidak jatuh ke dalam segmen minat kepada kami. Begitu juga, kita akan memperoleh dengan punca negatif: ia adalah kurang daripada -1, iaitu, ia terletak di sebelah kiri segmen kepentingan kepada kita.

Akar rasional

Terdapat dua punca yang tinggal: x = 1/2 dan x = −1/2. Mari kita perhatikan bahawa hujung kiri segmen (−1) adalah negatif, dan hujung kanan (8/9) adalah positif. Oleh itu, di suatu tempat di antara hujung ini terletak nombor 0. Punca x = −1/2 akan berada di antara −1 dan 0, i.e. akan berakhir di jawapan akhir. Kami melakukan perkara yang sama dengan punca x = 1/2. Akar ini juga terletak pada segmen yang sedang dipertimbangkan.

Anda boleh memastikan bahawa 8/9 lebih besar daripada 1/2. Mari kita tolak nombor ini antara satu sama lain:

Kami mendapat pecahan 7/18 > 0, yang menurut definisi bermakna 8/9 > 1/2.

Mari tandakan punca yang sesuai pada paksi koordinat:

Jawapan akhir ialah dua punca: 1/2 dan −1/2.

Perbandingan nombor tidak rasional: algoritma universal

Kesimpulannya, saya ingin kembali sekali lagi kepada nombor tidak rasional. Menggunakan contoh mereka, kita sekarang akan melihat bagaimana untuk membandingkan kuantiti rasional dan tidak rasional dalam matematik. Sebagai permulaan, terdapat tanda seperti itu di antara mereka V - tanda "lebih" atau "kurang", tetapi kita belum tahu ke arah mana ia diarahkan. Mari kita tulis:

Mengapa kita memerlukan sebarang algoritma perbandingan sama sekali? Hakikatnya ialah dalam masalah ini kami sangat bernasib baik: dalam proses menyelesaikan pembahagian nombor 1 timbul, yang kami pasti boleh katakan:

Walau bagaimanapun, anda tidak akan sentiasa melihat nombor sedemikian serta-merta. Jadi mari cuba bandingkan nombor kita secara langsung.

Bagaimana ia dilakukan? Kami melakukan perkara yang sama seperti dengan ketidaksamaan biasa:

1. Pertama, jika kita mempunyai pekali negatif di suatu tempat, kita akan mendarabkan kedua-dua belah ketaksamaan dengan -1. Sudah tentu menukar tanda. Tanda semak V ini akan berubah kepada ini - Λ.
2. Tetapi dalam kes kami, kedua-dua pihak sudah positif, jadi tidak perlu mengubah apa-apa. Apa yang benar-benar diperlukan ialah segi empat sama kedua-dua belah untuk menghilangkan radikal.

Jika, apabila membandingkan nombor tidak rasional, tidak mungkin untuk memilih elemen pemisah dengan segera, saya cadangkan untuk melakukan perbandingan seperti itu "head-on" - menggambarkannya sebagai ketidaksamaan biasa.

Apabila menyelesaikannya, ia diformalkan seperti ini:

Sekarang semuanya mudah untuk dibandingkan. Intinya ialah 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Itu sahaja, kami telah menerima bukti yang ketat bahawa semua nombor ditanda pada garis nombor x dengan betul dan tepat dalam urutan yang sepatutnya. Tiada siapa yang akan mencari kesalahan dengan penyelesaian ini, jadi ingat: jika anda tidak segera melihat nombor pembahagi (dalam kes kami adalah 1), maka jangan ragu untuk menulis pembinaan di atas, darab, kuasa duakannya - dan pada akhirnya anda akan mendapatkan ketidaksamaan yang indah. Daripada ketaksamaan ini, akan menjadi jelas bilangan mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil.

Berbalik kepada masalah kami, saya ingin sekali lagi menarik perhatian anda kepada perkara yang kami lakukan pada mulanya apabila menyelesaikan persamaan kami. Iaitu: kami melihat dengan teliti persamaan logaritma asal kami dan cuba mengurangkannya kepada berkanun persamaan logaritma. Di mana terdapat hanya logaritma di kiri dan kanan - tanpa sebarang istilah tambahan, pekali di hadapan, dll. Kita tidak memerlukan dua logaritma berdasarkan a atau b, tetapi logaritma sama dengan logaritma lain.

Di samping itu, asas logaritma juga mestilah sama. Lebih-lebih lagi, jika persamaan itu disusun dengan betul, maka dengan bantuan transformasi logaritma asas (jumlah logaritma, transformasi nombor menjadi logaritma, dll.) kita akan mengurangkan persamaan ini kepada persamaan kanonik.

Oleh itu, mulai sekarang, apabila anda melihat persamaan logaritma yang tidak dapat diselesaikan dengan segera, anda tidak seharusnya tersesat atau cuba memikirkan jawapannya. Apa yang perlu anda lakukan ialah ikuti langkah berikut:

1. Tukar semua elemen bebas kepada logaritma;
2. Kemudian tambah logaritma ini;
3. Dalam pembinaan yang terhasil, kurangkan semua logaritma kepada asas yang sama.

Hasilnya, anda akan mendapat persamaan mudah yang boleh diselesaikan menggunakan alat algebra asas daripada bahan gred 8-9. Secara umum, pergi ke laman web saya, berlatih menyelesaikan logaritma, menyelesaikan persamaan logaritma seperti saya, menyelesaikannya lebih baik daripada saya. Dan itu sahaja untuk saya. Pavel Berdov telah bersama anda. Jumpa lagi!

Apakah logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Apakah logaritma? Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma? Soalan-soalan ini mengelirukan ramai graduan. Secara tradisinya, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat difahami dan menakutkan. Terutamanya persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sudah tentu! Tidak percaya saya? baiklah. Kini, hanya dalam 10 - 20 minit anda:

1. Anda akan faham apa itu logaritma.

2. Belajar untuk menyelesaikan seluruh kelas persamaan eksponen. Walaupun anda tidak pernah mendengar apa-apa tentang mereka.

3. Belajar mengira logaritma mudah.

Selain itu, untuk ini anda hanya perlu mengetahui jadual pendaraban dan cara menaikkan nombor kepada kuasa...

Saya rasa awak ada keraguan... Baik, okey, tandakan masanya! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan ini di kepala anda:

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)

Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Seperti yang anda ketahui, apabila mendarab ungkapan dengan kuasa, eksponennya sentiasa ditambah (a b *a c = a b+c). Undang-undang matematik ini diterbitkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematik Virasen mencipta jadual eksponen integer. Merekalah yang berkhidmat untuk penemuan logaritma selanjutnya. Contoh penggunaan fungsi ini boleh didapati hampir di mana-mana di mana anda perlu memudahkan pendaraban yang rumit dengan penambahan mudah. Jika anda menghabiskan 10 minit membaca artikel ini, kami akan menerangkan kepada anda apa itu logaritma dan cara bekerja dengannya. Dalam bahasa yang mudah dan mudah diakses.

Definisi dalam matematik

Logaritma ialah ungkapan dalam bentuk berikut: log a b=c, iaitu, logaritma sebarang nombor bukan negatif (iaitu, sebarang positif) “b” kepada asasnya “a” dianggap sebagai kuasa “c ” yang mana asas “a” mesti dinaikkan untuk akhirnya mendapat nilai "b". Mari analisa logaritma menggunakan contoh, katakan terdapat log ungkapan 2 8. Bagaimana untuk mencari jawapannya? Ia sangat mudah, anda perlu mencari kuasa supaya dari 2 kepada kuasa yang diperlukan anda mendapat 8. Selepas melakukan beberapa pengiraan dalam kepala anda, kami mendapat nombor 3! Dan itu benar, kerana 2 kepada kuasa 3 memberikan jawapan sebagai 8.

Jenis-jenis logaritma

Bagi kebanyakan pelajar dan pelajar, topik ini kelihatan rumit dan tidak dapat difahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, perkara utama ialah memahami makna umum mereka dan mengingati sifat dan beberapa peraturan mereka. Terdapat tiga jenis ungkapan logaritma yang berasingan:

1. Logaritma asli ln a, dengan asasnya ialah nombor Euler (e = 2.7).
2. Perpuluhan a, dengan asasnya ialah 10.
3. Logaritma sebarang nombor b hingga asas a>1.

Setiap daripada mereka diselesaikan dengan cara yang standard, termasuk penyederhanaan, pengurangan dan pengurangan seterusnya kepada satu logaritma menggunakan teorem logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang betul, anda harus ingat sifatnya dan urutan tindakan apabila menyelesaikannya.

Peraturan dan beberapa sekatan

Dalam matematik, terdapat beberapa peraturan-kekangan yang diterima sebagai aksiom, iaitu, ia tidak tertakluk kepada perbincangan dan merupakan kebenaran. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk membahagikan nombor dengan sifar, dan juga mustahil untuk mengekstrak punca genap nombor negatif. Logaritma juga mempunyai peraturan mereka sendiri, berikutan anda boleh belajar bekerja dengan mudah walaupun dengan ungkapan logaritma yang panjang dan luas:

• Asas "a" mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan itu akan kehilangan maknanya, kerana "1" dan "0" pada mana-mana darjah sentiasa sama dengan nilainya;
• jika a > 0, kemudian a b >0, ternyata “c” juga mestilah lebih besar daripada sifar.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma?

Sebagai contoh, tugasan diberikan untuk mencari jawapan kepada persamaan 10 x = 100. Ini sangat mudah, anda perlu memilih kuasa dengan menaikkan nombor sepuluh yang kita dapat 100. Ini, sudah tentu, adalah 10 2 = 100.

Sekarang mari kita wakili ungkapan ini dalam bentuk logaritma. Kami mendapat log 10 100 = 2. Apabila menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktikalnya menumpu untuk mencari kuasa yang diperlukan untuk memasukkan asas logaritma untuk mendapatkan nombor yang diberikan.

Untuk menentukan nilai ijazah yang tidak diketahui dengan tepat, anda perlu belajar cara bekerja dengan jadual darjah. Ia kelihatan seperti ini:

Seperti yang anda lihat, sesetengah eksponen boleh meneka secara intuitif jika anda mempunyai minda teknikal dan pengetahuan tentang jadual pendaraban. Walau bagaimanapun, untuk nilai yang lebih besar anda memerlukan jadual kuasa. Ia boleh digunakan walaupun oleh mereka yang tidak tahu apa-apa tentang topik matematik yang kompleks. Lajur kiri mengandungi nombor (asas a), baris atas nombor ialah nilai kuasa c yang nombor a dinaikkan. Di persimpangan, sel mengandungi nilai nombor yang merupakan jawapan (a c =b). Mari kita ambil, sebagai contoh, sel pertama dengan nombor 10 dan kuasa duakannya, kita mendapat nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Segala-galanya sangat mudah dan mudah sehinggakan humanis yang paling benar akan faham!

Persamaan dan ketaksamaan

Ternyata dalam keadaan tertentu eksponen adalah logaritma. Oleh itu, sebarang ungkapan berangka matematik boleh ditulis sebagai kesamaan logaritma. Sebagai contoh, 3 4 =81 boleh ditulis sebagai asas 3 logaritma 81 bersamaan dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kuasa negatif peraturannya adalah sama: 2 -5 = 1/32 kita tulis sebagai logaritma, kita dapat log 2 (1/32) = -5. Salah satu bahagian matematik yang paling menarik ialah topik "logaritma". Kami akan melihat contoh dan penyelesaian persamaan di bawah, sejurus selepas mengkaji sifatnya. Sekarang mari kita lihat rupa ketaksamaan dan cara membezakannya daripada persamaan.

Ungkapan berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - ia adalah ketaksamaan logaritma, kerana nilai “x” yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ungkapan dua kuantiti dibandingkan: logaritma nombor yang dikehendaki kepada asas dua adalah lebih besar daripada nombor tiga.

Perbezaan paling penting antara persamaan logaritma dan ketaksamaan ialah persamaan dengan logaritma (contohnya, logaritma 2 x = √9) membayangkan satu atau lebih nilai berangka tertentu dalam jawapan, manakala apabila menyelesaikan ketaksamaan, kedua-dua julat yang boleh diterima nilai dan mata ditentukan untuk memecahkan fungsi ini. Akibatnya, jawapannya bukanlah satu set nombor individu yang mudah, seperti dalam jawapan kepada persamaan, tetapi siri berterusan atau set nombor.

Teorem asas tentang logaritma

Apabila menyelesaikan tugas primitif mencari nilai logaritma, sifatnya mungkin tidak diketahui. Walau bagaimanapun, apabila ia datang kepada persamaan logaritma atau ketaksamaan, pertama sekali, adalah perlu untuk memahami dengan jelas dan menggunakan dalam amalan semua sifat asas logaritma. Kita akan melihat contoh persamaan kemudian; mari kita lihat setiap sifat dengan lebih terperinci.

1. Identiti utama kelihatan seperti ini: a logaB =B. Ia terpakai hanya apabila a lebih besar daripada 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar daripada sifar.
2. Logaritma produk boleh diwakili dalam formula berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam kes ini, syarat wajib ialah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda boleh memberikan bukti untuk formula logaritma ini, dengan contoh dan penyelesaian. Biarkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, kemudian a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kami memperoleh bahawa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat bagi darjah ), dan kemudian mengikut takrifan: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, iaitu apa yang perlu dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi kelihatan seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorem dalam bentuk formula mengambil bentuk berikut: log a q b n = n/q log a b.

Formula ini dipanggil "sifat darjah logaritma." Ia menyerupai sifat darjah biasa, dan ia tidak menghairankan, kerana semua matematik adalah berdasarkan postulat semula jadi. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log a b = t, ternyata a t =b. Jika kita menaikkan kedua-dua bahagian kepada kuasa m: a tn = b n ;

tetapi oleh kerana a tn = (a q) nt/q = b n, oleh itu log a q b n = (n*t)/t, kemudian log a q b n = n/q log a b. Teorem telah terbukti.

Contoh masalah dan ketidaksamaan

Jenis masalah yang paling biasa pada logaritma ialah contoh persamaan dan ketaksamaan. Ia terdapat dalam hampir semua buku masalah, dan juga merupakan bahagian yang diperlukan dalam peperiksaan matematik. Untuk memasuki universiti atau lulus peperiksaan masuk dalam matematik, anda perlu tahu cara menyelesaikan tugas tersebut dengan betul.

Malangnya, tiada pelan atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, tetapi peraturan tertentu boleh digunakan untuk setiap ketaksamaan matematik atau persamaan logaritma. Pertama sekali, anda harus mengetahui sama ada ungkapan itu boleh dipermudahkan atau dikurangkan kepada bentuk umum. Anda boleh memudahkan ungkapan logaritma panjang jika anda menggunakan sifatnya dengan betul. Jom kenali mereka dengan cepat.

Apabila menyelesaikan persamaan logaritma, kita mesti menentukan jenis logaritma yang kita ada: ungkapan contoh mungkin mengandungi logaritma asli atau satu perpuluhan.

Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Penyelesaian mereka bermuara kepada fakta bahawa mereka perlu menentukan kuasa yang mana asas 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk menyelesaikan logaritma asli, anda perlu menggunakan identiti logaritma atau sifatnya. Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah logaritma pelbagai jenis.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Penyelesaian

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorem asas tentang logaritma.

1. Sifat logaritma produk boleh digunakan dalam tugasan di mana ia perlu untuk menguraikan nilai besar nombor b kepada faktor yang lebih mudah. Sebagai contoh, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawapannya ialah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - seperti yang anda lihat, menggunakan sifat keempat kuasa logaritma, kami berjaya menyelesaikan ungkapan yang kelihatan rumit dan tidak dapat diselesaikan. Anda hanya perlu memfaktorkan asas dan kemudian mengambil nilai eksponen daripada tanda logaritma.

Tugasan daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu

Logaritma sering dijumpai dalam peperiksaan kemasukan, terutamanya banyak masalah logaritma dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu (peperiksaan negeri untuk semua lepasan sekolah). Biasanya, tugasan ini hadir bukan sahaja dalam bahagian A (bahagian ujian yang paling mudah dalam peperiksaan), tetapi juga dalam bahagian C (tugas yang paling kompleks dan banyak). Peperiksaan memerlukan pengetahuan yang tepat dan sempurna tentang topik "Logaritma semulajadi".

Contoh dan penyelesaian kepada masalah diambil daripada versi rasmi Peperiksaan Negeri Bersepadu. Mari lihat bagaimana tugasan sedemikian diselesaikan.

Diberi log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis semula ungkapan itu, permudahkan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, dengan takrifan logaritma kita mendapat bahawa 2x-1 = 2 4, oleh itu 2x = 17; x = 8.5.

• Adalah lebih baik untuk mengurangkan semua logaritma kepada asas yang sama supaya penyelesaiannya tidak menyusahkan dan mengelirukan.
• Semua ungkapan di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh itu, apabila eksponen ungkapan yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai tapaknya diambil sebagai pengganda, ungkapan yang tinggal di bawah logaritma mestilah positif.