Penyelesaian ketaksamaan rasional dengan kaedah selang.
Kaedah jarak adalah kaedah universal untuk menyelesaikan hampir semua ketaksamaan yang berlaku dalam kursus aljabar sekolah. Ia berdasarkan sifat fungsi berikut:
1. Fungsi berterusan g (x) boleh menukar tanda hanya pada titik di mana ia sama dengan 0. Secara grafik, ini bermaksud graf fungsi berterusan boleh pergi dari satu setengah satah ke satah yang lain hanya jika melintasi abses paksi (kita ingat bahawa ordinat mana-mana titik yang terletak pada paksi OX (paksi abscissa) adalah sifar, iaitu nilai fungsi pada titik ini adalah 0):
Kita melihat bahawa fungsi y = g (x) yang digambarkan pada grafik memotong paksi OX pada titik x = -8, x = -2, x = 4, x = 8. Titik-titik ini dipanggil sifar fungsi. Dan pada titik yang sama fungsi g (x) berubah tanda.
2. Fungsi ini juga dapat mengubah tanda dalam sifar penyebut - contoh paling mudah adalah fungsi yang terkenal:
Kami melihat bahawa fungsi berubah tanda pada akar penyebut, pada satu titik, tetapi tidak hilang sama sekali. Oleh itu, jika fungsi mengandungi pecahan, ia dapat mengubah tanda pada akar penyebut.
2. Walau bagaimanapun, fungsi tidak selalu berubah tanda pada akar pembilang atau pada akar penyebut. Sebagai contoh, fungsi y = x 2 tidak berubah tanda pada titik x = 0:
Kerana persamaan x 2 = 0 mempunyai dua akar sama x = 0, pada titik x = 0 fungsi, seperti itu, berubah menjadi 0 dua kali.
Fungsi 
menukar tanda pada sifar pembilang, tetapi tidak mengubah tanda pada sifar penyebut: kerana akar adalah akar darab kedua, iaitu, sama banyaknya:
Penting! Pada akar yang sama banyak, fungsi tidak berubah tanda.
Catatan! Sebarang tidak linear ketidaksamaan kursus aljabar sekolah, sebagai peraturan, diselesaikan dengan menggunakan kaedah selang.
Saya memberikan yang terperinci, yang mana anda dapat mengelakkan kesilapan ketika menyelesaikan ketaksamaan tidak linear.
1. Pertama, anda perlu membawa ketidaksamaan pada borang
P (x) V0,
di mana V adalah tanda ketaksamaan:<,>, ≤ atau ≥. Ini memerlukan:
a) pindahkan semua syarat ke sebelah kiri ketaksamaan,
b) cari akar ungkapan yang dihasilkan,
c) faktorkan sisi kiri ketaksamaan
d) tuliskan faktor yang sama dengan daya.
Perhatian! Tindakan terakhir mesti dilakukan agar tidak keliru dengan berlipat ganda punca - jika hasilnya adalah faktor kekuatan genap, maka akar yang sesuai mempunyai bilangan yang sama.
2. Letakkan akar yang dijumpai pada paksi nombor.
3. Sekiranya ketaksamaan itu ketat, maka bulatan yang menunjukkan akar pada paksi berangka dibiarkan "kosong", jika ketaksamaan itu tidak ketat, maka kita isi bulatannya.
4. Pilih akar yang sama banyak - di dalamnya P (x) tanda tidak berubah.
5. Tentukan tanda P (x) pada selang paling kanan. Untuk melakukan ini, kita mengambil nilai sewenang-wenang x 0, yang lebih besar daripada akar yang lebih besar dan menggantikannya menjadi P (x).
Sekiranya P (x 0)> 0 (atau ≥0), masukkan tanda "+" pada selang paling kanan.
Sekiranya P (x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".
Apabila melewati titik yang menunjukkan akar yang sama banyak, tanda TIDAK BERUBAH.
7. Sekali lagi kita melihat tanda ketidaksamaan asal, dan memilih selang tanda yang kita perlukan.
8. Perhatian! Sekiranya ketaksamaan kita TIDAK KETAT, maka syarat kesamaan hingga sifar disahkan secara berasingan.
9. Kami menuliskan jawapannya.
Sekiranya yang asal ketaksamaan mengandungi yang tidak diketahui dalam penyebutnya, kemudian kami juga memindahkan semua istilah ke kiri, dan mengurangkan bahagian kiri dari ketidaksamaan ke borang
(di mana V adalah tanda ketaksamaan:< или >)
Ketidaksamaan yang ketat jenis ini sama dengan ketaksamaan
Tidak ketat ketaksamaan bentuk
sama dengan sistem:
Dalam praktiknya, jika fungsi tersebut memiliki bentuk, maka kita melanjutkan seperti berikut:
- Cari punca pengangka dan penyebutnya.
- Kami meletakkannya pada paksi. Biarkan semua bulatan kosong. Kemudian, jika ketaksamaan itu tidak ketat, maka cat akar akar pengangka, dan biarkan akar penyebut kosong.
- Seterusnya, kami mengikuti algoritma umum:
- Pilih punca sama banyak (jika pengangka dan penyebutnya mengandungi akar yang sama, maka kita mengira berapa kali punca yang sama berlaku). Pada akar yang sama banyak, tanda tidak berubah.
- Kami mengetahui tanda pada selang paling kanan.
- Kami meletakkan papan tanda.
- Dalam kes ketidaksamaan yang tidak ketat, keadaan kesaksamaan, keadaan persamaan hingga sifar, disahkan secara berasingan.
- Pilih jurang yang diperlukan dan akar yang terpisah.
- Kami menuliskan jawapannya.
Untuk lebih memahami algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan kaedah selang, tonton VIDEO TUTORIAL, yang memperincikan contohnya penyelesaian ketaksamaan dengan kaedah selang.
Sistem ketaksamaan yang rasional
Teks pelajaran
sinopsis [Bezdenezhnykh L.V.]
Algebra, Gred 9 EMC: A.G. Mordkovich. Algebra. Gred 9. Pukul 2h. Bahagian 1: Buku teks; Bahagian 2: Pembunuh M .: Mnemosina, 2010 Tahap pendidikan: asas Topik pelajaran: Sistem ketaksamaan yang rasional. (Pelajaran pertama mengenai topik tersebut, diperuntukkan sebanyak 3 jam untuk kajian topik) Pelajaran dalam mempelajari topik baru. Tujuan pelajaran: untuk mengulangi penyelesaian ketaksamaan linear; memperkenalkan konsep sistem ketaksamaan, menerangkan penyelesaian sistem ketaksamaan linear yang paling mudah; untuk membentuk kemampuan menyelesaikan sistem ketaksamaan linear dari sebarang kerumitan. Tugas: Pendidikan: mengkaji topik berdasarkan pengetahuan yang ada, menggabungkan kemahiran praktikal dan kebolehan menyelesaikan sistem ketaksamaan linear sebagai hasil kerja bebas pelajar dan aktiviti kuliah dan perundingan yang paling disiapkan dari mereka. Membangunkan: pengembangan minat kognitif, kebebasan berfikir, ingatan, inisiatif pelajar melalui penggunaan komunikatif - kaedah aktiviti dan elemen pembelajaran masalah. Pendidikan: pembentukan kemahiran komunikasi, budaya komunikasi, kerjasama. Kaedah menjalankan: - kuliah dengan unsur perbualan dan pembelajaran masalah; - karya bebas pelajar dengan bahan teori dan praktikal dari buku teks; -kembangan budaya pendaftaran penyelesaian sistem ketaksamaan linear. Hasil yang diharapkan: pelajar akan mengingati bagaimana menyelesaikan ketaksamaan linear, menandakan persimpangan penyelesaian untuk ketaksamaan pada garis nombor, dan belajar bagaimana menyelesaikan sistem ketaksamaan linear. Peralatan pelajaran: papan tulis, selebaran (lampiran), buku teks, buku kerja. Isi pelajaran: 1. Momen organisasi. Pemeriksaan kerja rumah. 2. Mengemas kini pengetahuan. Pelajar bersama-sama dengan guru mengisi jadual di papan hitam: Jurang Lukisan Ketidaksamaan Berikut adalah jadual siap: Jurang Lukisan Ketidaksamaan 3. imlak matematik. Persiapan untuk persepsi topik baru. 1. Selesaikan ketaksamaan menggunakan contoh jadual: Pilihan 1 Pilihan 2 Pilihan 3 Pilihan 4 2. Selesaikan ketaksamaan, lukis dua angka pada paksi yang sama dan periksa sama ada nombor 5 adalah penyelesaian kepada dua ketaksamaan: Pilihan 1 Pilihan 2 Pilihan 3 Pilihan 4 4. Penjelasan mengenai bahan baru ... Penjelasan mengenai bahan baru (hlm. 40-44): 1. Berikan definisi mengenai sistem ketaksamaan (hlm. 41). Definisi: Beberapa ketaksamaan dengan satu pemboleh ubah x membentuk sistem ketaksamaan jika tugasnya adalah mencari semua nilai pemboleh ubah tersebut yang mana setiap ketaksamaan yang diberikan dengan pemboleh ubah berubah menjadi ketaksamaan numerik yang benar. 2. Memperkenalkan konsep penyelesaian khusus dan umum sistem ketaksamaan. Sebarang nilai x disebut penyelesaian (atau penyelesaian tertentu) dari sistem ketaksamaan. Kumpulan semua penyelesaian khusus untuk sistem ketaksamaan adalah penyelesaian umum untuk sistem ketaksamaan. 3. Pertimbangkan dalam buku teks penyelesaian sistem ketaksamaan mengikut contoh No. 3 (a, b, c). 4. Umumkan penaakulan dengan menyelesaikan sistem: 5. Menjamin bahan baru. Selesaikan tugas dari No. 4.20 (a, b), 4.21 (a, b). 6. Kerja pengesahan Periksa asimilasi bahan baru, secara aktif membantu menyelesaikan tugas mengikut pilihan: Pilihan 1 a, c No. 4.6, 4.8 Pilihan 2 b, d No. 4.6, 4.8 7. Menyimpulkan. Refleksi Apa konsep baru yang anda temui hari ini? Adakah anda telah belajar bagaimana mencari penyelesaian kepada sistem ketaksamaan linear? Apa yang paling anda buat, saat apa yang paling anda capai? 8. Kerja Rumah: No. 4.5, 4.7.; teori dalam buku teks ms 40-44; Bagi pelajar yang mempunyai motivasi yang meningkat № 4.23 (c, d). Permohonan. Pilihan 1. Jurang Gambar Ketidaksamaan 2. Selesaikan ketaksamaan, lukiskan dua gambar pada satu paksi dan periksa sama ada nombor 5 adalah penyelesaian untuk dua ketaksamaan: Gambar Ketidaksamaan Jawapan kepada soalan. Pilihan 2. Jurang Gambar Ketidaksamaan 2. Selesaikan ketaksamaan, lukiskan dua gambar pada satu paksi dan periksa sama ada nombor 5 adalah penyelesaian untuk dua ketaksamaan: Gambar Ketidaksamaan Jawapan kepada soalan. Pilihan 3. Jurang Gambar Ketidaksamaan 2. Selesaikan ketaksamaan, lukiskan dua gambar pada satu paksi dan periksa sama ada nombor 5 adalah penyelesaian untuk dua ketaksamaan: Gambar Ketidaksamaan Jawapan kepada soalan. Pilihan 4. Jurang Gambar Ketidaksamaan 2. Selesaikan ketaksamaan, lukiskan dua gambar pada satu paksi dan periksa sama ada nombor 5 adalah penyelesaian untuk dua ketaksamaan: Gambar Ketidaksamaan Jawapan kepada soalan.
Muat turun: Aljabar 9kl - sinopsis [Bezdenezhnykh LV]. Docxsinopsis pelajaran 2-4 [Zvereva L.P.]
Alkebra 9kelas UMK: ALGEBRA-9CLASS, A.G. P. V. MORDKOVICH Semyonov, 2014. Tahap - asas pelajaran Tajuk pelajaran: Sistem ketaksamaan rasional Jumlah jam yang diperuntukkan untuk kajian topik-4 jam Tempat pelajaran dalam sistem pelajaran pada topik Pelajaran No. 2; No. 3; No.4. Tujuan pelajaran: Untuk mengajar pelajar membuat sistem ketaksamaan, dan juga mengajar bagaimana menyelesaikan sistem siap pakai yang dicadangkan oleh pengarang buku teks. Objektif pelajaran: Untuk membentuk kemahiran: menyelesaikan secara bebas sistem ketaksamaan secara analitik, serta dapat memindahkan penyelesaian ke garis koordinat untuk mencatat jawapan dengan betul, bekerja secara bebas dengan bahan yang diberikan. Hasil yang dirancang: Pelajar harus dapat menyelesaikan sistem siap pakai, serta menyusun sistem ketaksamaan untuk keadaan teks tugas dan menyelesaikan model yang disusun. Sokongan teknikal pelajaran: UMK: ALGEBRA-9CLASS, A.G. P. V. MORDKOVICH Semyonov. Buku kerja, projektor untuk pengiraan lisan, cetakan tugasan tambahan untuk pelajar yang kuat. Sokongan metodologi dan didaktik tambahan pelajaran (pautan ke sumber Internet boleh dilakukan): 1. Manual oleh N.N. Khlevnyuk, M.V. Ivanova, V.G. Ivaschenko, N.S. Melkov "Pembentukan kemahiran pengkomputeran dalam pelajaran matematik darjah 5-9" 2.G.G. Levitas "imlak Matematik" gred 7-11.3. T.G. Gulina "Simulator Matematik" 5-11 (4 tahap kesukaran) Guru matematik: Zvereva L.P. Pelajaran nombor 2 Objektif: Mempraktikkan kemahiran menyelesaikan sistem ketaksamaan yang rasional menggunakan tafsiran geometri untuk kejelasan hasil penyelesaiannya. Kursus pelajaran 1. Momen organisasi: Sikap kelas untuk bekerja, mesej topik dan tujuan pelajaran 11 Memeriksa kerja rumah 1. Bahagian teori: * Apakah catatan analitik mengenai ketaksamaan rasional * Apa itu rekod analisis sistem ketaksamaan rasional * Apa maksudnya menyelesaikan sistem ketaksamaan * Apakah hasil menyelesaikan sistem ketaksamaan rasional. 2. Bahagian praktikal: * Menyelesaikan tugas di papan hitam yang menimbulkan kesukaran kepada pelajar. Semasa membuat kerja rumah II1 Latihan. 1. Ulangi kaedah pemfaktoran polinomial. 2. Kaji kaedah selang untuk menyelesaikan ketaksamaan. 3. Selesaikan sistem. Penyelesaiannya dipimpin oleh pelajar yang kuat di papan hitam di bawah pengawasan guru. 1) Selesaikan ketaksamaan 3x - 10> 5x - 5; 3x - 5x> - 5 + 10; - 2x> 5; NS< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х>Penyelesaian sistem ketaksamaan ini x> Jawapan: x> 6. Selesaikan No. 4.10 (c) di papan tulis dan di buku nota. Mari selesaikan ketaksamaan 5x2 - 2x + 1 ≤ 0.5x2–2x + 1 = 0; D = 4 - 20 = –16< 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 >0.2x2 + 5x + 10 = 0; D = –55< 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >x> - 2, kemudian - 2< х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р>7. 8. Pengulangan bahan yang dikaji sebelumnya. Selesaikan No. 2.33. Biarkan kelajuan awal penunggang basikal x km / j, setelah penurunan menjadi (x - 3) km / j. 15x - 45 + 6x = 1.5x (x - 3); 21x - 45 = 1.5x2 - 4.5x; 1.5x2 - 25.5x + 45 = 0 | : 1.5; maka x2 - 17x + 30 = 0; D = 169; x1 = 15; x2 = 2 tidak memenuhi makna masalah. Jawapan: 15 km / j; 12 km / j IV.Kesimpulan dari pelajaran: Pada pelajaran kami belajar menyelesaikan sistem ketaksamaan jenis yang rumit, terutama dengan modul, mencuba kerja bebas. Menandakan. Kerja rumah: lengkapkan pada helaian kertas berasingan ujian rumah nombor 1 dari nombor 7 hingga nombor 10 di halaman. 32–33, No. 4.34 (a; b), No. 4.35 (a; b). Pelajaran 4 Persediaan untuk kerja ujian Objektif: untuk meringkaskan dan sistematiskan bahan yang dikaji, untuk mempersiapkan pelajar untuk ujian mengenai topik "Sistem ketaksamaan rasional" Aliran pelajaran 1. Momen organisasi: Suasana kelas untuk bekerja, komunikasi topik dan tujuan pelajaran. 11. Pengulangan bahan yang dikaji. * Apa maksudnya menyelesaikan sistem ketaksamaan * Apakah hasil menyelesaikan sistem ketaksamaan yang rasional 1. Kumpulkan kepingan kertas dengan ujian rumah yang telah selesai. 2. Peraturan apa yang digunakan untuk menyelesaikan ketaksamaan? Terangkan penyelesaian untuk ketaksamaan: a) 3x - 8<х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 >0; b) - 2x2 + x - 5> 0; c) 3x2 - x + 4 ≤ 0. 4. Merumuskan definisi sistem ketaksamaan dalam dua pemboleh ubah. Apa maksudnya menyelesaikan sistem ketaksamaan? 5. Apakah kaedah selang, yang digunakan secara aktif dalam menyelesaikan ketidaksamaan rasional? Terangkan ini dengan menggunakan contoh penyelesaian ketaksamaan: (2x - 4) (3 - x) ≥ 0; I11. Latihan latihan. 1. Selesaikan ketaksamaan: a) 12 (1 - x) ≥ 5x - (8x + 2); b) - 3x2 + 17x + 6< 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 >0, x> - 2. Ini tidak sesuai dengan tugas a) atau tugas b). Oleh itu, kita dapat menganggap bahawa p ≠ 2, iaitu, ketaksamaan yang diberikan adalah persegi. a) Ketidaksamaan segi empat sama bentuk ax2 + bx + c> 0 tidak mempunyai penyelesaian jika a< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с>0 berpuas hati untuk sebarang nilai x, jika> 0 dan D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р>IV. Ringkasan pelajaran. Adalah perlu untuk melihat semua bahan yang dikaji di rumah dan bersedia untuk menghadapi ujian. Kerja Rumah: No. 1.21 (b; d), No. 2.15 (c; d); No. 4.14 (g), No. 4.28 (g); No. 4.19 (a), No. 4.33 (d).
Kami terus menyelidiki topik "menyelesaikan ketaksamaan dengan satu pemboleh ubah." Kita sudah biasa dengan ketaksamaan linear dan ketaksamaan segi empat sama. Mereka adalah kes khas. ketaksamaan yang rasional, yang sekarang akan kita kaji. Mari mulakan dengan mengetahui apa jenis ketidaksamaan yang disebut rasional. Seterusnya, kita akan menangani pembahagian mereka menjadi ketidaksamaan rasional dan pecahan rasional. Dan selepas itu kita akan mengkaji bagaimana penyelesaian ketaksamaan rasional dengan satu pemboleh ubah dijalankan, tuliskan algoritma yang sesuai dan pertimbangkan penyelesaian contoh tipikal dengan penjelasan terperinci.
Navigasi halaman.
Apakah ketaksamaan yang rasional?
Di sekolah, dalam pelajaran aljabar, sebaik sahaja perbincangan selesai untuk menyelesaikan ketaksamaan, maka segera ada pertemuan dengan ketidaksamaan yang rasional. Namun, pada awalnya mereka tidak dipanggil dengan nama mereka, kerana pada tahap ini jenis ketaksamaan tidak begitu menarik, dan tujuan utamanya adalah untuk mendapatkan kemahiran awal dalam bekerja dengan ketidaksamaan. Istilah "ketaksamaan rasional" diperkenalkan kemudian di kelas 9, apabila kajian terperinci mengenai ketaksamaan jenis ini bermula.
Mari kita ketahui apa itu ketaksamaan yang rasional. Inilah definisi:
Definisi yang dibunyikan tidak mengatakan apa-apa mengenai bilangan pemboleh ubah, yang bermaksud bahawa sebilangan besarnya dibenarkan. Bergantung pada ini, ketidaksamaan rasional dibezakan dengan satu, dua, dll. pemboleh ubah. By the way, buku teks memberikan definisi yang serupa, tetapi untuk ketidaksamaan rasional dengan satu pemboleh ubah. Ini dapat difahami, kerana sekolah memberi tumpuan untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan satu pemboleh ubah (di bawah ini kita juga akan membincangkan hanya untuk menyelesaikan ketaksamaan rasional dengan satu pemboleh ubah). Ketaksamaan dengan dua pemboleh ubah pertimbangkan sedikit, dan sedikit perhatian diberikan kepada ketaksamaan dengan tiga atau lebih pemboleh ubah.
Jadi, ketaksamaan rasional dapat dikenali dengan tulisannya, kerana ini cukup untuk melihat ungkapan di sebelah kiri dan kanannya dan memastikan bahawa itu adalah ungkapan yang rasional. Pertimbangan-pertimbangan ini membolehkan kita memberi contoh ketaksamaan yang rasional. Contohnya, x> 4, x 3 + 2 y≤5 (y - 1) (x 2 +1), adalah ketaksamaan yang rasional. Dan ketaksamaan
tidak rasional, kerana sebelah kirinya mengandungi pemboleh ubah di bawah tanda akar, dan, oleh itu, bukan ungkapan rasional. Ketidaksamaan juga tidak rasional, kerana kedua-dua bahagian itu bukan ungkapan rasional.Untuk kemudahan penerangan lebih lanjut, kami memperkenalkan pembahagian ketaksamaan rasional menjadi bilangan bulat dan pecahan.
Definisi.
Ketidaksamaan yang rasional akan disebut keseluruhan jika kedua-dua bahagian itu adalah ungkapan keseluruhan rasional.
Definisi.
Ketaksamaan Rasional Pecahan Adakah ketaksamaan yang rasional, sekurang-kurangnya satu bahagiannya adalah ungkapan pecahan.
Jadi 0.5 x≤3 (2−5 y),
adalah ketaksamaan integer, dan 1: x + 3> 0 dan 
- secara rasional pecahan.Sekarang kita mempunyai pemahaman yang jelas tentang apa ketaksamaan rasional, dan kita dapat dengan selamat mulai memahami prinsip-prinsip menyelesaikan ketaksamaan rasional integral dan pecahan dengan satu pemboleh ubah.
Menyelesaikan ketaksamaan integer
Mari kita atasi masalah kita sendiri: mari kita selesaikan keseluruhan ketidaksamaan rasional dengan satu pemboleh ubah x dari bentuk r (x)
Kami memindahkan ungkapan dari sebelah kanan ke kiri, yang akan membawa kita ke ketidaksamaan bentuk r (x) (s (x)<0 (≤, >, ≥) dengan sifar di sebelah kanan. Jelas, ungkapan r (x) - s (x), yang terbentuk di sebelah kiri, juga merupakan bilangan bulat, tetapi diketahui bahawa ada kemungkinan. Dengan mengubah ungkapan r (x) (s (x) menjadi h polinomial yang sama (h) (di sini kita perhatikan bahawa ungkapan r (x) −s (x) dan h (x) mempunyai pemboleh ubah yang sama x), kita pergi ke ketaksamaan setara h (x)<0 (≤, >, ≥).
Dalam kes-kes yang paling sederhana, transformasi yang dilakukan akan mencukupi untuk mendapatkan penyelesaian yang diinginkan, kerana mereka akan membawa kita dari ketaksamaan rasional yang asal ke ketidaksamaan yang dapat kita selesaikan, misalnya, ke garis lurus atau persegi. Mari lihat beberapa contoh.
Contohnya.
Cari penyelesaian untuk keseluruhan ketaksamaan rasional x · (x + 3) + 2 · x≤ (x + 1) 2 +1.
Penyelesaian.
Pertama, kita memindahkan ungkapan dari sebelah kanan ke kiri: x (x + 3) + 2 x− (x + 1) 2 −1≤0... Melakukan segalanya di sebelah kiri, kami sampai pada ketaksamaan linear 3 x - 2≤0, yang setara dengan ketaksamaan bilangan bulat yang asal. Penyelesaiannya tidak sukar:
3 x≤2,
x≤2 / 3.Jawapan:
x≤2 / 3.
Contohnya.
Selesaikan ketaksamaan (x 2 +1) 2 −3 x 2> (x 2 −x) (x 2 + x).
Penyelesaian.
Kami memulakan seperti biasa dengan menggerakkan ungkapan dari sebelah kanan, dan kemudian melakukan transformasi di sebelah kiri menggunakan:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 - (x 2 −x) (x 2 + x)> 0,
x 4 + 2 x 2 + 1−3 x 2 −x 4 + x 2> 0,
1>0 .Oleh itu, dengan melakukan transformasi setara, kita sampai pada ketaksamaan 1> 0, yang berlaku untuk sebarang nilai pemboleh ubah x. Ini bermaksud bahawa penyelesaian bagi ketaksamaan bilangan bulat yang asal adalah nombor nyata.
Jawapan:
x ada.
Contohnya.
Selesaikan ketaksamaan x + 6 + 2 x 3 −2 x (x 2 + x - 5)> 0.
Penyelesaian.
Terdapat sifar di sebelah kanan, jadi anda tidak perlu memindahkan apa-apa daripadanya. Tukar keseluruhan ungkapan di sebelah kiri menjadi polinomial:
x + 6 + 2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 + 10 x> 0,
−2 x 2 + 11 x + 6> 0.Kami mendapat ketaksamaan segi empat sama, yang setara dengan ketaksamaan asal. Kami menyelesaikannya dengan kaedah yang diketahui oleh kami. Mari selesaikan ketaksamaan kuasa dua secara grafik.
Cari punca trinomial persegi −2 x 2 + 11 x + 6:
Kami membuat lukisan skematik, di mana kami menandai angka nol yang dijumpai, dan mengambil kira bahawa cabang parabola diarahkan ke bawah, kerana pekali utama adalah negatif:
Oleh kerana kita menyelesaikan ketidaksamaan dengan tanda>, kita tertarik pada selang di mana parabola terletak di atas paksi absis. Ini berlaku pada selang waktu (−0.5, 6), yang merupakan penyelesaian yang diinginkan.
Jawapan:
(−0,5, 6) .
Dalam kes yang lebih rumit, di sebelah kiri ketidaksamaan yang dihasilkan h (x)<0 (≤, >, ≥) akan menjadi polinomial darjah 3 atau lebih tinggi. Untuk menyelesaikan ketaksamaan tersebut, kaedah selang sesuai, pada langkah pertama yang mana perlu untuk mencari semua punca h polinomial (x), yang sering dilakukan.
Contohnya.
Cari penyelesaian untuk keseluruhan ketaksamaan rasional (x 2 +2) (x + 4)<14−9·x .
Penyelesaian.
Pindahkan semuanya ke sebelah kiri, selepas itu di sana dan:
(x 2 +2) (x + 4) −14 + 9 x<0 ,
x 3 + 4 x 2 + 2 x + 8−14 + 9 x<0 ,
x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6<0 .Manipulasi yang dilakukan membawa kita kepada ketidaksamaan yang setara dengan yang asal. Di sebelah kirinya terdapat polinomial darjah ketiga. Anda boleh menyelesaikannya menggunakan kaedah selang. Untuk melakukan ini, pertama sekali, anda perlu mencari akar polinomial, yang terletak pada x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Mari kita ketahui sama ada ia mempunyai akar yang rasional, yang hanya boleh menjadi antara pembahagi istilah bebas, iaitu antara nombor ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Menggantikan nombor ini secara bergantian dan bukannya pemboleh ubah x ke dalam persamaan x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0, kita dapati bahawa punca persamaan adalah nombor 1, 2 dan 3. Ini membolehkan kita mewakili polinomial x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 sebagai produk (x - 1) (x - 2) (x - 3), dan ketaksamaan x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
Dan masih perlu dilakukan langkah-langkah standard kaedah selang: tandakan pada garis nombor titik dengan koordinat 1, 2 dan 3, yang membahagikan garis ini menjadi empat selang, tentukan dan letakkan tanda, lukis penetasan pada selang dengan tolak tanda (kerana kita menyelesaikan ketaksamaan dengan tanda<) и записать ответ.
Dari mana kita mempunyai (−∞, 1) ∪ (2, 3).
Jawapan:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Perlu diingatkan bahawa kadang-kadang tidak praktikal dari ketaksamaan r (x) - s (x)<0 (≤, >, ≥) pergi ke ketaksamaan h (x)<0 (≤, >, ≥), di mana h (x) adalah polinomial darjah lebih tinggi daripada dua. Ini berlaku untuk kes-kes apabila lebih sukar untuk memfaktorkan polinomial h (x) menjadi faktor daripada mewakili ungkapan r (x) - s (x) sebagai produk binomial linear dan trinomial persegi, misalnya, dengan memfaktorkan faktor sepunya. Mari kita jelaskan ini dengan contoh.
Contohnya.
Selesaikan ketaksamaan (x 2 −2 x - 1) (x 2 −19) ≥2 x (x 2 −2 x - 1).
Penyelesaian.
Ini adalah ketidaksamaan keseluruhan. Sekiranya kita memindahkan ungkapan dari sebelah kanan ke sisi kiri, kemudian buka tanda kurung dan berikan istilah yang serupa, kita mendapat ketaksamaan x 4 −4 x 3 −16 x 2 + 40 x + 19≥0... Sangat sukar untuk menyelesaikannya, kerana melibatkan mencari akar polinomial darjah keempat. Sangat mudah untuk memeriksa bahawa ia tidak mempunyai akar yang rasional (mereka mungkin nombor 1, −1, 19, atau −19), dan bermasalah untuk mencari akarnya yang lain. Oleh itu, jalan ini buntu.
Mari cari kemungkinan penyelesaian lain. Sangat mudah untuk melihat bahawa setelah memindahkan ungkapan dari sebelah kanan ketaksamaan bilangan bulat asal ke sebelah kiri, kita dapat mengetahui faktor sepunya x 2 −2 x - 1:
(x 2 −2 x - 1) (x 2 −19) −2 x (x 2 −2 x - 1) ≥0,
(x 2 −2 x - 1) (x 2 −2 x - 19) ≥0.Transformasi yang dilakukan adalah setara, jadi penyelesaian ketaksamaan yang dihasilkan akan menjadi penyelesaian untuk ketaksamaan asal.
Dan sekarang kita dapat mencari sifar ungkapan di sebelah kiri ketidaksamaan yang dihasilkan, untuk ini kita memerlukan x 2 −2 x - 1 = 0 dan x 2 −2 x - 19 = 0. Akar mereka adalah nombor
... Ini membolehkan kita mencapai ketaksamaan yang setara, dan kita dapat menyelesaikannya dengan kaedah selang: 
Kami menuliskan jawapan mengikut gambar.
Jawapan:
Sebagai kesimpulan dari subseksyen ini, saya hanya ingin menambahkan bahawa mustahil untuk mencari semua punca polinomial h (x), dan sebagai akibatnya untuk mengembangkannya menjadi produk binomial linear dan trinomial persegi. Dalam kes ini, tidak ada cara untuk menyelesaikan ketaksamaan h (x)<0 (≤, >, ≥), yang bermaksud bahawa tidak ada cara untuk mencari penyelesaian untuk keseluruhan persamaan rasional yang asal.
Penyelesaian ketidaksamaan rasional
Sekarang mari kita atasi masalah berikut: biarkan diperlukan untuk menyelesaikan ketaksamaan rasional pecahan dengan satu pemboleh ubah x dari bentuk r (x)
Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan rasional pecahan dengan satu pemboleh ubah r (x)
- Pertama, anda perlu mencari julat nilai yang boleh diterima (ADV) pemboleh ubah x untuk ketaksamaan asal.
- Seterusnya, anda perlu memindahkan ungkapan dari sebelah kanan ketaksamaan ke kiri, dan mengubah ungkapan r (x) (s (x) yang terbentuk di sana menjadi bentuk pecahan p (x) / q (x), di mana p (x) dan q (x) adalah ungkapan integer yang merupakan produk dari binomial linear, trinomial persegi yang tidak dapat dikomposisi dan darjahnya dengan eksponen semula jadi.
- Seterusnya, kita perlu menyelesaikan ketaksamaan yang dihasilkan dengan kaedah selang.
- Akhirnya, dari penyelesaian yang diperoleh pada langkah sebelumnya, adalah perlu untuk mengecualikan titik yang tidak termasuk dalam GDV pemboleh ubah x untuk ketaksamaan asal, yang dijumpai pada langkah pertama.
Ini akan memberikan penyelesaian yang diinginkan untuk ketaksamaan rasional pecahan.
Langkah kedua algoritma memerlukan penjelasan. Menggerakkan ungkapan dari sebelah kanan ketaksamaan ke sebelah kiri memberikan ketaksamaan r (x) (s (x)<0 (≤, >, ≥), yang setara dengan yang asal. Semuanya jelas di sini. Tetapi persoalan diajukan oleh transformasinya yang lebih jauh ke bentuk p (x) / q (x)<0 (≤, >, ≥).
Soalan pertama: "Adakah selalu mungkin untuk melaksanakannya?" Secara teori, ya. Kami tahu bahawa segala-galanya mungkin. Pembilang dan penyebut pecahan rasional mengandungi polinomial. Dan dari teorema utama algebra dan teorema Bezout menunjukkan bahawa mana-mana polinomial darjah n dengan satu pemboleh ubah dapat diwakili sebagai produk binomial linear. Ini menjelaskan kemungkinan melakukan transformasi ini.
Dalam praktiknya, agak sukar untuk menentukan polinomial, dan jika darjahnya lebih tinggi daripada yang keempat, maka tidak selalu mungkin. Sekiranya faktorisasi tidak mungkin, maka tidak akan ada cara untuk mencari jalan keluar untuk ketaksamaan yang asal, tetapi di sekolah kes seperti itu biasanya tidak berlaku.
Soalan kedua: “Adakah ketaksamaan p (x) / q (x)<0 (≤, >, ≥) bersamaan dengan ketaksamaan r (x) - s (x)<0 (≤, >, ≥), dan oleh itu yang asli "? Ia boleh sama dan tidak sama. Ia setara jika ODV untuk ungkapan p (x) / q (x) bertepatan dengan ODV untuk ungkapan r (x) - s (x). Dalam kes ini, langkah terakhir algoritma akan berlebihan. Tetapi ODV untuk ungkapan p (x) / q (x) boleh berubah menjadi lebih luas daripada ODV untuk ungkapan r (x) - s (x). Pengembangan ODZ boleh berlaku apabila pecahan dikurangkan, seperti, misalnya, ketika berlalu dari
Ke. Juga, pengembangan ODZ dapat difasilitasi dengan pengurangan istilah yang serupa, seperti, misalnya, dalam peralihan dari 
Ke. Untuk kes ini, langkah terakhir algoritma dimaksudkan, yang tidak termasuk keputusan luar yang timbul dari pengembangan ODZ. Mari perhatikan perkara ini semasa kita melihat contoh di bawah.Konsep ketaksamaan matematik berasal dari zaman kuno. Ini berlaku ketika manusia primitif perlu membandingkan kuantiti dan ukuran mereka ketika membilang dan bertindak dengan pelbagai objek. Sejak zaman kuno, ketaksamaan telah digunakan dalam hujah mereka oleh Archimedes, Euclid dan saintis terkenal lain: ahli matematik, ahli astronomi, perancang dan ahli falsafah.
Tetapi mereka, sebagai peraturan, menggunakan istilah verbal dalam karya mereka. Buat pertama kalinya, tanda-tanda moden untuk menunjukkan konsep "lebih" dan "kurang" dalam bentuk yang setiap pelajar sekolah mengenali mereka hari ini, diciptakan dan diterapkan dalam praktik di England. Ahli matematik Thomas Garriot memberikan layanan sedemikian kepada keturunan. Dan ia berlaku kira-kira empat abad yang lalu.
Banyak jenis ketaksamaan diketahui. Antaranya sederhana, mengandungi satu, dua atau lebih pemboleh ubah, segi empat, pecahan, nisbah kompleks, dan bahkan diwakili oleh sistem ungkapan. Dan untuk memahami cara menyelesaikan ketaksamaan, lebih baik menggunakan pelbagai contoh.
Jangan terlepas kereta api
Sebagai permulaan, mari kita bayangkan seorang penduduk kampung bergegas ke stesen kereta api 20 km dari kampungnya. Agar tidak ketinggalan kereta api pukul 11, dia mesti meninggalkan rumah tepat pada waktunya. Pukul berapa ia harus dilakukan sekiranya kelajuan pergerakannya 5 km / j? Penyelesaian untuk masalah praktikal ini dikurangkan kepada pemenuhan syarat ekspresi: 5 (11 - X) ≥ 20, di mana X adalah waktu keberangkatan.
Ini dapat difahami, kerana jarak yang perlu dilalui oleh penduduk kampung ke stesen sama dengan kelajuan pergerakan dikalikan dengan jumlah jam dalam perjalanan. Seseorang boleh datang lebih awal, tetapi dia tidak boleh terlambat. Mengetahui bagaimana menyelesaikan ketaksamaan, dan menerapkan kemahiran anda dalam praktik, akhirnya kami mendapat X ≤ 7, yang merupakan jawapannya. Ini bermaksud bahawa penduduk kampung harus pergi ke stesen keretapi pada pukul tujuh pagi atau sedikit lebih awal.
Selang nombor pada garis koordinat
Sekarang mari kita ketahui bagaimana memetakan hubungan yang dijelaskan kepada ketaksamaan yang diperoleh di atas tidak ketat. Ini bermaksud pemboleh ubah boleh mengambil nilai kurang dari 7, atau boleh sama dengan angka ini. Berikut adalah beberapa contoh lain. Untuk melakukan ini, pertimbangkan empat gambar di bawah dengan teliti.
Pada yang pertama anda dapat melihat gambaran grafik selang [-7; 7]. Ini terdiri daripada sebilangan besar nombor yang terletak di garis koordinat dan terletak antara -7 dan 7, termasuk sempadan. Dalam kes ini, titik pada grafik digambarkan sebagai bulatan yang penuh, dan selang dicatat menggunakan
Angka kedua adalah gambaran grafik mengenai ketaksamaan teruk. Dalam kes ini, angka sempadan -7 dan 7, ditunjukkan oleh titik yang ditebuk (tidak diisi), tidak termasuk dalam set yang ditentukan. Dan selang itu sendiri direkodkan dalam kurungan seperti berikut: (-7; 7).
Maksudnya, setelah mengetahui cara menyelesaikan ketaksamaan jenis ini, dan setelah mendapat jawapan serupa, kita dapat menyimpulkan bahawa ia terdiri dari angka yang terletak di antara batas yang dipertimbangkan, kecuali -7 dan 7. Dua kes berikutnya mesti dianggarkan dalam cara yang serupa. Angka ketiga menunjukkan gambar jurang (-∞; -7] U
Sekarang mari kita rumit tugasnya dan pertimbangkan bukan hanya polinomial, tetapi yang disebut pecahan rasional bentuk:
di mana $ P \ kiri (x \ kanan) $ dan $ Q \ kiri (x \ kanan) $ semuanya polinomial yang sama bentuk $ ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (0)) $, atau produk polinomial tersebut.
Ini akan menjadi ketaksamaan yang rasional. Titik utamanya ialah kehadiran pemboleh ubah $ x $ di penyebut. Contohnya, ini adalah ketaksamaan yang rasional:
\ [\ mula (sejajar) & \ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0; \\ & \ frac (\ kiri (7x + 1 \ kanan) \ kiri (11x + 2 \ kanan)) (13x-4) \ ge 0; \\ & \ frac (3 ((x) ^ (2)) + 10x + 3) (((\ kiri (3-x \ kanan)) ^ (2)) \ kiri (4 - ((x) ^ ( 2)) \ kanan)) \ ge 0. \\ \ end (sejajar) \]
Dan ini tidak rasional, tetapi ketidaksamaan yang paling biasa, yang diselesaikan dengan kaedah selang:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 9) (5) \ ge 0 \]
Ke depan, saya akan katakan dengan segera: sekurang-kurangnya ada dua cara untuk menyelesaikan ketaksamaan yang rasional, tetapi semuanya entah bagaimana mengurangkan kaedah selang yang sudah kita ketahui. Oleh itu, sebelum meneliti kaedah ini, mari kita ingat fakta lama, jika tidak, tidak akan ada makna dari bahan baru.
Apa yang anda perlu tahu
Tidak banyak fakta penting. Kami hanya memerlukan empat.
Rumus pendaraban yang disingkat
Ya, ya: mereka akan menghantui kita sepanjang kurikulum matematik sekolah. Dan di universiti juga. Terdapat sebilangan besar formula ini, tetapi kami hanya memerlukan yang berikut:
\ [\ begin (align) & ((a) ^ (2)) \ pm 2ab + ((b) ^ (2)) = ((\ kiri (a \ pm b \ kanan)) ^ (2)); \\ & ((a) ^ (2)) - ((b) ^ (2)) = \ kiri (a-b \ kanan) \ kiri (a + b \ kanan); \\ & ((a) ^ (3)) + ((b) ^ (3)) = \ kiri (a + b \ kanan) \ kiri (((a) ^ (2)) - ab + ((b ) ^ (2)) \ kanan); \\ & ((a) ^ (3)) - ((b) ^ (3)) = \ kiri (ab \ kanan) \ kiri (((a) ^ (2)) + ab + ((b) ^ (2)) \ kanan). \\ \ end (sejajar) \]
Perhatikan dua formula terakhir - ini adalah jumlah dan perbezaan kubus (bukan jumlah atau kubus perbezaan!). Mereka mudah diingat jika anda perhatikan bahawa tanda dalam kurungan pertama adalah sama dengan tanda dalam ungkapan asal, dan pada yang kedua adalah kebalikan dari tanda dalam ungkapan asal.
Persamaan Linear
Ini adalah persamaan termudah dari bentuk $ ax + b = 0 $, di mana $ a $ dan $ b $ adalah nombor biasa, dengan $ a \ ne 0 $. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan sederhana:
\ [\ mula (sejajar) & ax + b = 0; \\ & ax = -b; \\ & x = - \ frac (b) (a). \\ \ end (sejajar) \]
Perhatikan bahawa kita berhak untuk membahagi dengan pekali $ a $, kerana $ a \ ne 0 $. Keperluan ini agak logik, kerana untuk $ a = 0 $ kami mendapat ini:
Pertama, tidak ada pemboleh ubah $ x $ dalam persamaan ini. Ini, secara umum, tidak boleh mengelirukan kita (ini berlaku, katakanlah, dalam geometri, dan cukup kerap), tetapi kita tidak lagi menghadapi persamaan linear.
Kedua, penyelesaian untuk persamaan ini hanya bergantung pada pekali $ b $. Sekiranya $ b $ juga sifar, maka persamaan kami mempunyai bentuk $ 0 = 0 $. Persamaan ini selalu berlaku; oleh itu, $ x $ adalah nombor apa pun (biasanya ditulis seperti ini: $ x \ in \ mathbb (R) $). Sekiranya pekali $ b $ tidak sama dengan sifar, maka persamaan $ b = 0 $ tidak akan pernah puas, iaitu. tiada jawapan (tulis $ x \ in \ varnothing $ dan baca "set penyelesaiannya kosong").
Untuk mengelakkan semua komplikasi ini, kita hanya menganggap $ a \ ne 0 $, yang sama sekali tidak membatasi pemikiran kita selanjutnya.
Persamaan kuadratik
Izinkan saya mengingatkan anda bahawa ini disebut persamaan kuadratik:
Di sini di sebelah kiri terdapat polinomial darjah kedua, dan sekali lagi $ a \ ne 0 $ (jika tidak, bukannya persamaan kuadratik, kita mendapat satu linear). Persamaan berikut diselesaikan melalui diskriminasi:
- Sekiranya $ D \ gt 0 $, kami mendapat dua punca yang berbeza;
- Sekiranya $ D = 0 $, maka akan ada satu punca, tetapi dari darab kedua (jenis darab apa itu dan bagaimana untuk memperhitungkannya - lebih banyak lagi kemudian). Atau kita boleh mengatakan bahawa persamaan mempunyai dua punca yang sama;
- Untuk $ D \ lt 0 $, sama sekali tidak ada akar, dan tanda polinomial $ a ((x) ^ (2)) + bx + c $ untuk sebarang $ x $ bertepatan dengan tanda pekali $ satu $. Ngomong-ngomong, ini adalah fakta yang sangat berguna, yang entah mengapa mereka lupa untuk dibincangkan dalam pelajaran aljabar.
Akarnya sendiri dianggap mengikut formula yang terkenal:
\ [((x) _ (1,2)) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \]
Oleh itu, dengan cara, dan sekatan terhadap diskriminasi. Bagaimanapun, punca kuasa dua nombor negatif tidak wujud. Mengenai akarnya, banyak pelajar mempunyai kekacauan yang teruk di kepala mereka, jadi saya secara khusus menulis keseluruhan pelajaran: apa akar dalam aljabar dan bagaimana mengira - saya sangat mengesyorkan membacanya. :)
Tindakan dengan pecahan rasional
Semua yang ditulis di atas, anda sudah tahu jika anda mempelajari kaedah selang. Tetapi apa yang akan kita analisis sekarang tidak mempunyai analog pada masa lalu - ini adalah fakta yang sama sekali baru.
Definisi. Pecahan rasional adalah ungkapan seperti
\ [\ frac (P \ kiri (x \ kanan)) (Q \ kiri (x \ kanan)) \]
di mana $ P \ kiri (x \ kanan) $ dan $ Q \ kiri (x \ kanan) $ adalah polinomial.
Jelas, mudah untuk memperoleh ketaksamaan dari pecahan seperti itu - cukup hanya dengan memberikan tanda "lebih" atau "kurang" di sebelah kanan. Sebentar lagi kita akan dapati bahawa menyelesaikan masalah seperti itu adalah keseronokan, semuanya sangat mudah di sana.
Masalah bermula apabila terdapat beberapa pecahan dalam satu ungkapan. Kesalahan itu harus dikurangkan menjadi penyebut yang sama - dan pada masa inilah sejumlah besar kesalahan menyerang dilakukan.
Oleh itu, untuk berjaya menyelesaikan persamaan rasional, dua kemahiran mesti dikuasai dengan tegas:
- Memfaktorkan $ P \ kiri (x \ kanan) polinomial $;
- Sebenarnya, pengurangan pecahan menjadi penyebut yang sama.
Bagaimana faktor polinomial? Sangat ringkas. Anggaplah kita mempunyai bentuk polinomial
Kami menyamakannya dengan sifar. Kami memperoleh persamaan darjah $ n $ -th:
\ [((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x) ^ (n-1)) + ... + (( a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = 0 \]
Katakan kita menyelesaikan persamaan ini dan mendapat akar $ ((x) _ (1)), \ ..., \ ((x) _ (n)) $ (jangan risau: dalam kebanyakan kes akan ada tidak lebih daripada dua akar ini) ... Dalam kes ini, polinomial asal kami boleh ditulis semula seperti berikut:
\ [\ mula (sejajar) & P \ kiri (x \ kanan) = ((a) _ (n)) ((x) ^ (n)) + ((a) _ (n-1)) ((x ) ^ (n-1)) + ... + ((a) _ (1)) x + ((a) _ (0)) = \\ & = ((a) _ (n)) \ kiri ( x - ((x) _ (1)) \ kanan) \ cdot \ kiri (x - ((x) _ (2)) \ kanan) \ cdot ... \ cdot \ kiri (x - ((x) _ (n)) \ kanan) \ akhir (sejajar) \]
Itu sahaja! Sila ambil perhatian: pekali utama $ ((a) _ (n)) $ tidak hilang di mana sahaja - ia akan menjadi faktor yang berasingan di hadapan kurungan, dan, jika perlu, ia boleh dimasukkan ke dalam salah satu tanda kurung ini (praktik menunjukkan bahawa dengan $ ((a) _ (n)) \ ne \ pm 1 $ terdapat hampir selalu pecahan di antara akar).
Tugas. Permudahkan ungkapan:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) + x-20) (x-4) - \ frac (2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3) (2x-3) - \ frac (4-8x-5 ((x) ^ (2))) (x + 2) \]
Penyelesaian. Pertama, mari kita lihat penyebutnya: semuanya adalah binomial linier, dan tidak ada yang perlu difikirkan. Oleh itu, mari kita ketahui pembilangnya:
\ [\ start (align) & ((x) ^ (2)) + x-20 = \ kiri (x + 5 \ kanan) \ kiri (x-4 \ kanan); \\ & 2 ((x) ^ (2)) - 5x + 3 = 2 \ kiri (x- \ frac (3) (2) \ kanan) \ kiri (x-1 \ kanan) = \ kiri (2x- 3 \ kanan) \ kiri (x-1 \ kanan); \\ & 4-8x-5 ((x) ^ (2)) = - 5 \ kiri (x + 2 \ kanan) \ kiri (x- \ frac (2) (5) \ kanan) = \ kiri (x +2 \ kanan) \ kiri (2-5x \ kanan). \\\ hujung (sejajar) \]
Perhatikan: dalam polinomial kedua, pekali utama "2", sesuai sepenuhnya dengan skema kami, pertama kali muncul di hadapan pendakap, dan kemudian dimasukkan ke dalam kurungan pertama, kerana pecahan keluar dari sana.
Perkara yang sama berlaku di polinomial ketiga, hanya di sana susunan istilah juga keliru. Walau bagaimanapun, pekali "−5" berakhir pada kurungan kedua (ingat: anda boleh memasukkan faktor dalam satu dan hanya satu kurungan!), Yang menyelamatkan kita dari ketidakselesaan yang berkaitan dengan punca pecahan.
Bagi polinomial pertama, semuanya mudah: akarnya dicari dengan cara standard melalui diskriminasi, atau oleh teorema Vieta.
Mari kembali ke ungkapan semula dan tulis semula dengan pengangka yang difaktorkan:
\ [\ begin (matriks] \ frac (\ kiri (x + 5 \ kanan) \ kiri (x-4 \ kanan)) (x-4) - \ frac (\ kiri (2x-3 \ kanan) \ kiri ( x-1 \ kanan)) (2x-3) - \ frac (\ kiri (x + 2 \ kanan) \ kiri (2-5x \ kanan)) (x + 2) = \\ = \ kiri (x + 5 \ kanan) - \ kiri (x-1 \ kanan) - \ kiri (2-5x \ kanan) = \\ = x + 5-x + 1-2 + 5x = \\ = 5x + 4. \\ \ end (matriks) \]
Jawapan: $ 5x + $ 4.
Seperti yang anda lihat, tidak ada yang rumit. Sebilangan kecil matematik di gred 7-8 - itu sahaja. Inti dari semua transformasi adalah untuk mendapatkan sesuatu yang mudah dari ungkapan yang kompleks dan menakutkan yang senang digunakan.
Walau bagaimanapun, perkara ini tidak akan selalu berlaku. Oleh itu, sekarang kita akan mempertimbangkan masalah yang lebih serius.
Tetapi pertama, mari kita fikirkan bagaimana membawa dua pecahan ke penyebut yang sama. Algoritma ini sangat mudah:
- Faktor kedua penyebutnya;
- Pertimbangkan penyebut pertama dan tambahkan padanya faktor-faktor yang terdapat pada penyebut kedua, tetapi tidak pada yang pertama. Produk yang dihasilkan akan menjadi penyebut umum;
- Ketahui faktor apa yang hilang untuk setiap pecahan asal sehingga penyebut menjadi sama dengan yang umum.
Mungkin algoritma ini kelihatan seperti teks yang mengandungi "banyak huruf". Oleh itu, kami akan menganalisis semuanya dengan contoh tertentu.
Tugas. Permudahkan ungkapan:
\ [\ kiri (\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3) ) -8) - \ frac (1) (x-2) \ kanan) \ cdot \ kiri (\ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) \ kanan) \]
Penyelesaian. Lebih baik menyelesaikan masalah besar seperti itu di bahagian. Mari tulis apa yang terdapat dalam kurungan pertama:
\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (((x) ^ (3)) - 8 ) - \ frac (1) (x-2) \]
Tidak seperti masalah sebelumnya, di sini semuanya tidak begitu mudah dengan penyebutnya. Mari faktor masing-masing.
Trinomial kuadratik $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 $ tidak dapat difaktorkan, kerana persamaan $ ((x) ^ (2)) + 2x + 4 = 0 $ tidak mempunyai punca (diskriminasi adalah negatif ). Kami membiarkannya tidak berubah.
Penyebut kedua - polinomial kubik $ ((x) ^ (3)) - 8 $ - setelah pemeriksaan dekat adalah perbezaan kubus dan dapat diuraikan dengan mudah mengikut formula pendaraban yang disingkat:
\ [((x) ^ (3)) - 8 = ((x) ^ (3)) - ((2) ^ (3)) = \ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kanan) \]
Tidak ada yang lain yang dapat difaktorkan, kerana pada braket pertama terdapat binomial linier, dan di kedua terdapat pembinaan yang sudah biasa kita ketahui, yang tidak mempunyai akar sebenarnya.
Akhirnya, penyebut ketiga adalah binomial linear yang tidak dapat diuraikan. Oleh itu, persamaan kami akan berbentuk:
\ [\ frac (x) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kanan)) - \ frac (1) (x-2) \]
Sangat jelas bahawa penyebut yang sama akan betul-betul $ \ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kanan) $, dan untuk mengurangkan semua pecahan padanya, anda perlu mengalikan pecahan pertama ke $ \ kiri (x-2 \ kanan) $, dan yang terakhir hingga $ \ kiri (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kanan) $. Maka tinggal membawa yang serupa:
\ [\ begin (matriks] \ frac (x \ cdot \ kiri (x-2 \ kanan)) (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kanan)) + \ frac (((x) ^ (2)) + 8) (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kanan)) - \ frac (1 \ cdot \ kiri (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kanan)) (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (((x) ^ (2)) + 2x +4 \ kanan)) = \\ = \ frac (x \ cdot \ kiri (x-2 \ kanan) + \ kiri (((x) ^ (2)) + 8 \ kanan) - \ kiri (((x ) ^ (2)) + 2x + 4 \ kanan)) (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kanan)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 2x + ((x) ^ (2)) + 8 - ((x) ^ (2)) - 2x-4) (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kanan)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kanan)). \\ \ end (matriks) \]
Perhatikan baris kedua: apabila penyebutnya sudah biasa, iaitu bukannya tiga pecahan terpisah, kami menulis satu pecahan besar, anda tidak seharusnya segera menghilangkan tanda kurung. Lebih baik menulis baris tambahan dan perhatikan bahawa, katakanlah, ada tolak di hadapan pecahan ketiga - dan ia tidak akan pergi ke mana-mana, tetapi akan "menggantung" di pengangka di hadapan tanda kurung. Ini akan menjimatkan banyak kesilapan.
Baiklah, pada baris terakhir, adalah berguna untuk menentukan pengangka. Lebih-lebih lagi, ini adalah segi empat tepat, dan formula pendaraban yang disingkat sekali lagi membantu kita. Kami mempunyai:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) - 4x + 4) (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kanan)) = \ frac (((\ kiri (x-2 \ kanan)) ^ (2))) (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (((x) ^ (2)) + 2x + 4 \ kanan) ) = \ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \]
Sekarang mari kita menangani pendakap kedua dengan cara yang sama. Di sini saya hanya akan menulis rantaian persamaan:
\ [\ begin (matriks] \ frac (((x) ^ (2))) (((x) ^ (2)) - 4) - \ frac (2) (2-x) = \ frac ((( x) ^ (2))) (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (x + 2 \ kanan)) - \ frac (2) (2-x) = \\ = \ frac (((x) ^ (2))) (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (x + 2 \ kanan)) + \ frac (2) (x-2) = \\ = \ frac (((x) ^ ( 2))) (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (x + 2 \ kanan)) + \ frac (2 \ cdot \ kiri (x + 2 \ kanan)) (\ kiri (x-2 \ kanan ) \ cdot \ kiri (x + 2 \ kanan)) = \\ = \ frac (((x) ^ (2)) + 2 \ cdot \ kiri (x + 2 \ kanan)) (\ kiri (x-2) \ kanan) \ kiri (x + 2 \ kanan)) = \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (x + 2 \ kanan) ). \\ \ end (matriks) \]
Kami kembali ke masalah asal dan melihat produknya:
\ [\ frac (x-2) (((x) ^ (2)) + 2x + 4) \ cdot \ frac (((x) ^ (2)) + 2x + 4) (\ kiri (x-2) \ kanan) \ kiri (x + 2 \ kanan)) = \ frac (1) (x + 2) \]
Jawapan: \ [\ frac (1) (x + 2) \].
Makna tugas ini sama dengan tugas sebelumnya: untuk menunjukkan seberapa banyak ungkapan rasional dapat dipermudahkan jika anda mendekati transformasi mereka dengan bijak.
Dan setelah anda mengetahui semua ini, mari kita beralih ke topik utama pelajaran hari ini - menyelesaikan ketaksamaan pecahan-rasional. Lebih-lebih lagi, setelah persiapan seperti itu, ketidaksamaan itu sendiri akan pecah seperti kacang. :)
Cara utama untuk menyelesaikan ketidaksamaan rasional
Sekurang-kurangnya ada dua pendekatan untuk menyelesaikan ketaksamaan yang rasional. Sekarang kita akan mempertimbangkan salah satu daripadanya - yang boleh diterima umum dalam kursus matematik sekolah.
Tetapi pertama, mari kita perhatikan perincian penting. Semua ketaksamaan dibahagikan kepada dua jenis:
- Ketat: $ f \ kiri (x \ kanan) \ gt 0 $ atau $ f \ kiri (x \ kanan) \ lt 0 $;
- Lax: $ f \ kiri (x \ kanan) \ ge 0 $ atau $ f \ kiri (x \ kanan) \ le 0 $.
Ketidaksamaan jenis kedua dapat dikurangkan dengan mudah menjadi yang pertama, dan juga persamaannya:
"Penambahan" kecil ini $ f \ kiri (x \ kanan) = 0 $ membawa kepada perkara yang tidak menyenangkan seperti titik penuh - kita harus mengenali mereka kembali dengan kaedah jarak. Jika tidak, tidak ada perbezaan antara ketaksamaan yang ketat dan tidak ketat, jadi mari kita menganalisis algoritma universal:
- Kumpulkan semua unsur bukan sifar di satu sisi tanda ketidaksamaan. Contohnya, di sebelah kiri;
- Bawa semua pecahan ke penyebut yang sama (jika terdapat beberapa pecahan seperti itu), bawa yang serupa. Kemudian, jika boleh, masukkan ke dalam pembilang dan penyebut. Dengan satu cara atau yang lain, kita mendapat ketaksamaan bentuk $ \ frac (P \ kiri (x \ kanan)) (Q \ kiri (x \ kanan)) \ vee 0 $, di mana tanda semak adalah tanda ketidaksamaan.
- Tetapkan pengangka ke sifar: $ P \ kiri (x \ kanan) = 0 $. Kami menyelesaikan persamaan ini dan memperoleh akarnya $ ((x) _ (1)) $, $ ((x) _ (2)) $, $ ((x) _ (3)) $, ... Maka kami memerlukan bahawa penyebutnya tidak sama dengan sifar: $ Q \ kiri (x \ kanan) \ ne 0 $. Sudah tentu, kita mesti menyelesaikan persamaan $ Q \ kiri (x \ kanan) = 0 $, dan kita mendapat akar $ x_ (1) ^ (*) $, $ x_ (2) ^ (*) $, $ x_ (3) ^ (*) $, ... (dalam masalah sebenar hampir tidak akan ada lebih daripada tiga punca tersebut).
- Kami menandakan semua akar ini (dengan dan tanpa tanda bintang) pada satu garis nombor, dan akar tanpa bintang dicat di atas, dan dengan bintang mereka dicabut.
- Kami meletakkan tanda tambah dan tolak, pilih selang yang kami perlukan. Sekiranya ketaksamaan itu kelihatan seperti $ f \ kiri (x \ kanan) \ gt 0 $, maka jawapannya adalah selang yang ditandai dengan "tambah". Sekiranya $ f \ kiri (x \ kanan) \ lt 0 $, maka perhatikan selang dengan "tolak".
Latihan menunjukkan bahawa kesukaran yang paling besar disebabkan oleh titik 2 dan 4 - transformasi yang kompeten dan susunan nombor yang betul mengikut urutan menaik. Baiklah, dan pada langkah terakhir, berhati-hatilah: kita selalu meletakkan papan tanda, bergantung pada ketaksamaan terbaru yang ditulis sebelum pergi ke persamaan... Ini adalah peraturan universal yang diwarisi dari kaedah jarak.
Jadi, skimnya ada. Mari berlatih.
Tugas. Selesaikan ketaksamaan:
\ [\ frac (x-3) (x + 7) \ lt 0 \]
Penyelesaian. Kami mempunyai kesamaan bentuk $ f \ kiri (x \ kanan) \ $ 0 $. Jelas, poin 1 dan 2 dari skema kami telah selesai: semua elemen ketaksamaan dikumpulkan di sebelah kiri, tidak ada yang perlu dibawa ke penyebut bersama. Oleh itu, kita terus menuju ke titik ketiga.
Tetapkan pengangka ke sifar:
\ [\ mula (sejajar) & x-3 = 0; \\ & x = 3. \ end (sejajar) \]
Dan penyebutnya:
\ [\ mula (sejajar) & x + 7 = 0; \\ & ((x) ^ (*)) = - 7. \\ \ end (sejajar) \]
Banyak orang terjebak di tempat ini, kerana secara teori anda perlu menulis $ x + 7 \ ne 0 $, seperti yang dikehendaki oleh ODZ (anda tidak boleh membahagi dengan sifar, itu sahaja). Tetapi bagaimanapun, pada masa akan datang kami akan mengumpulkan titik-titik yang berasal dari penyebutnya, jadi anda tidak perlu menyulitkan pengiraan anda sekali lagi - tulis tanda yang sama di mana sahaja dan jangan risau. Tidak ada yang akan menurunkan mata untuk ini. :)
Titik keempat. Kami menandakan akar yang dihasilkan pada garis nombor:
Semua mata dicucuk kerana ketaksamaannya ketat
Catatan: semua titik ditusuk, kerana ketaksamaan asal adalah ketat... Dan di sini tidak menjadi masalah sama ada titik ini berasal dari pengangka atau penyebutnya.
Baiklah, kita melihat tanda-tandanya. Ambil sebarang nombor $ ((x) _ (0)) \ gt 3 $. Contohnya, $ ((x) _ (0)) = 100 $ (tetapi anda juga boleh mengambil $ ((x) _ (0)) = 3,1 $ atau $ ((x) _ (0) ) = 1 \ 000 \ 000 $). Kita mendapatkan:
Jadi, di sebelah kanan semua akar, kita mempunyai kawasan positif. Dan ketika melewati setiap akar, tanda berubah (ini tidak akan selalu berlaku, tetapi lebih banyak lagi kemudian). Oleh itu, kami beralih ke titik kelima: kami mengatur tanda dan memilih yang anda perlukan:
Kami kembali ke ketidaksamaan terakhir, sebelum penyelesaian persamaan. Sebenarnya, ini bertepatan dengan yang asli, kerana kami tidak melakukan transformasi dalam tugas ini.
Oleh kerana ia diperlukan untuk menyelesaikan ketaksamaan bentuk $ f \ kiri (x \ kanan) \ lt 0 $, saya membayangi selang $ x \ in \ kiri (-7; 3 \ kanan) $ - satu-satunya ditandakan dengan tanda tolak. Inilah jawapannya.
Jawapan: $ x \ in \ kiri (-7; 3 \ kanan) $
Itu sahaja! Adakah sukar? Tidak, tidak sukar. Benar, dan tugasnya mudah. Sekarang mari kita merumitkan misi sedikit dan mempertimbangkan ketaksamaan yang lebih "mewah". Semasa menyelesaikannya, saya tidak akan memberikan pengiraan terperinci lagi - saya hanya akan menggariskan perkara-perkara penting. Secara umum, kami akan mengaturnya dengan cara yang sama seperti yang dilakukan pada kerja bebas atau peperiksaan. :)
Tugas. Selesaikan ketaksamaan:
\ [\ frac (\ kiri (7x + 1 \ kanan) \ kiri (11x + 2 \ kanan)) (13x-4) \ ge 0 \]
Penyelesaian. Ini adalah ketidaksamaan bentuk $ f \ kiri (x \ kanan) \ ge 0 $. Semua unsur bukan sifar dikumpulkan di sebelah kiri, tidak ada penyebut yang berbeza. Mari beralih ke persamaan.
Pengangka:
\ [\ begin (align) & \ left (7x + 1 \ right) \ left (11x + 2 \ right) = 0 \\ & 7x + 1 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7); \\ & 11x + 2 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (2)) = - \ frac (2) (11). \\ \ end (sejajar) \]
Penyebut:
\ [\ mula (sejajar) & 13x-4 = 0; \\ & 13x = 4; \\ & ((x) ^ (*)) = \ frac (4) (13). \\ \ end (sejajar) \]
Saya tidak tahu jenis cabul apa yang membuat masalah ini, tetapi akarnya tidak berfungsi dengan baik: sukar untuk meletakkannya di garis nombor. Dan jika dengan akar $ ((x) ^ (*)) = (4) / (13) \; $ semuanya lebih kurang jelas (ini adalah satu-satunya nombor positif - ia akan berada di sebelah kanan), maka $ ((x) _ (1)) = - (1) / (7) \; $ dan $ ((x) _ (2)) = - (2) / (11) \; $ memerlukan penyelidikan tambahan: yang mana satu lebih besar?
Anda boleh mengetahui, misalnya, seperti ini:
\ [((x) _ (1)) = - \ frac (1) (7) = - \ frac (2) (14) \ gt - \ frac (2) (11) = ((x) _ (2 ))]
Saya harap tidak perlu menjelaskan mengapa pecahan angka $ - (2) / (14) \; \ gt - (2) / (11) \; $? Sekiranya perlu, saya cadangkan untuk mengingat cara melakukan tindakan dengan pecahan.
Dan kami menandakan ketiga-tiga akar pada garis nombor:
Titik dari pembilang diisi, dari penyebut - keluar Kami meletakkan papan tanda. Contohnya, anda boleh mengambil $ ((x) _ (0)) = 1 $ dan mengetahui tanda pada ketika ini:
\ [\ mula (sejajar) & f \ kiri (x \ kanan) = \ frac (\ kiri (7x + 1 \ kanan) \ kiri (11x + 2 \ kanan)) (13x-4); \\ & f \ kiri (1 \ kanan) = \ frac (\ kiri (7 \ cdot 1 + 1 \ kanan) \ kiri (11 \ cdot 1 + 2 \ kanan)) (13 \ cdot 1-4) = \ frac (8 \ cdot 13) (9) \ gt 0. \\\ hujung (sejajar) \]
Ketidaksamaan terakhir sebelum persamaannya ialah $ f \ kiri (x \ kanan) \ ge 0 $, jadi kami berminat dengan tanda tambah.
Kami mendapat dua set: satu adalah segmen biasa, dan yang lain adalah sinar terbuka pada garis nombor.
Jawapan: $ x \ in \ kiri [- \ frac (2) (11); - \ frac (1) (7) \ kanan] \ bigcup \ kiri (\ frac (4) (13); + \ infty \ kanan ) $
Nota penting mengenai nombor yang kita ganti untuk mengetahui tanda pada selang paling kanan. Sama sekali tidak perlu menggantikan nombor yang dekat dengan akar paling kanan. Anda boleh mengambil berbilion atau bahkan "tambah-tak terhingga" - dalam kes ini, tanda polinomial dalam tanda kurung, pengangka atau penyebut ditentukan secara eksklusif oleh tanda pekali utama.
Mari kita lihat lagi fungsi $ f \ kiri (x \ kanan) $ dari ketaksamaan terakhir:
Terdapat tiga polinomial dalam rakamannya:
\ [\ begin (align) & ((P) _ (1)) \ kiri (x \ kanan) = 7x + 1; \\ & ((P) _ (2)) \ kiri (x \ kanan) = 11x + 2; \\ & Q \ kiri (x \ kanan) = 13x-4. \ end (sejajar) \]
Kesemuanya adalah binomial linear, dan semua pekali utama (nombor 7, 11 dan 13) adalah positif. Oleh itu, apabila menggantikan bilangan yang sangat besar, polinomial itu sendiri juga akan positif. :)
Peraturan ini mungkin kelihatan terlalu rumit, tetapi hanya pada awalnya, ketika kita menganalisis masalah yang sangat mudah. Dalam ketaksamaan yang serius, penggantian tambah-tak terhingga akan membolehkan kita mengetahui tanda-tanda jauh lebih pantas daripada standard $ ((x) _ (0)) = 100 $.
Kami akan menghadapi cabaran sebentar lagi. Tetapi pertama, mari kita lihat kaedah alternatif untuk menyelesaikan ketaksamaan pecahan-rasional.
Cara alternatif
Teknik ini dicadangkan kepada saya oleh salah seorang pelajar saya. Saya sendiri tidak pernah menggunakannya, tetapi latihan menunjukkan bahawa banyak pelajar lebih senang menyelesaikan ketidaksamaan dengan cara ini.
Jadi, data awalnya sama. Adalah perlu untuk menyelesaikan ketidaksamaan pecahan-rasional:
\ [\ frac (P \ kiri (x \ kanan)) (Q \ kiri (x \ kanan)) \ gt 0 \]
Mari kita fikirkan: bagaimana $ Q \ kiri (x \ kanan) polinomial $ "lebih teruk" daripada $ P \ kiri (x \ kanan) polinomial $? Mengapa kita harus mempertimbangkan kumpulan akar yang terpisah (dengan dan tanpa tanda bintang), memikirkan titik tusukan, dan lain-lain? Sederhana: pecahan mempunyai domain definisi, konsonan di mana pecahan itu masuk akal hanya apabila penyebutnya bukan nol.
Jika tidak, tidak ada perbezaan yang dapat dikesan antara pembilang dan penyebutnya: kami juga menyamakannya dengan sifar, mencari akar, kemudian menandakannya pada garis nombor. Oleh itu, mengapa tidak menggantikan bar pecahan (sebenarnya, tanda pembahagian) dengan pendaraban biasa, dan tulis semua keperluan DHS dalam bentuk ketaksamaan yang berasingan? Contohnya, seperti ini:
\ [\ frac (P \ kiri (x \ kanan)) (Q \ kiri (x \ kanan)) \ gt 0 \ Kanan kanan \ kiri \ (\ mula (sejajar) & P \ kiri (x \ kanan) \ cdot Q \ kiri (x \ kanan) \ gt 0, \\ & Q \ kiri (x \ kanan) \ ne 0. \\ \ akhir (sejajar) \ kanan. \]
Harap diperhatikan: pendekatan ini akan mengurangkan masalah kepada kaedah selang waktu, tetapi pada masa yang sama ia tidak akan menyulitkan penyelesaiannya sama sekali. Bagaimanapun, kita masih akan menyamakan $ Q \ kiri (x \ kanan) polinomial dengan sifar.
Mari lihat bagaimana ini berfungsi pada masalah dunia nyata.
Tugas. Selesaikan ketaksamaan:
\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \]
Penyelesaian. Oleh itu mari kita beralih ke kaedah jarak:
\ [\ frac (x + 8) (x-11) \ gt 0 \ Rightarrow \ left \ (\ begin (align) & \ left (x + 8 \ kanan) \ kiri (x-11 \ kanan) \ gt 0 , \\ & x-11 \ ne 0. \\ \ end (sejajar) \ kanan. \]
Ketidaksamaan pertama mudah diselesaikan. Kami hanya menyamakan setiap kurungan dengan sifar:
\ [\ begin (align) & x + 8 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (1)) = - 8; \\ & x-11 = 0 \ Anak panah kanan ((x) _ (2)) = 11. \\ \ end (sejajar) \]
Ketidaksamaan kedua juga mudah:
Kami menandakan titik $ ((x) _ (1)) $ dan $ ((x) _ (2)) $ pada garis nombor. Kesemuanya dicungkil, kerana ketidaksamaannya ketat:
Titik kanan dicucuk dua kali. Ini baik-baik saja.Perhatikan intinya $ x = 11 $. Ternyata ia "dicucuk dua kali": di satu pihak, kami mencungkilnya kerana keparahan ketidaksamaan, di sisi lain, kerana syarat tambahan DHS.
Bagaimanapun, ia hanya akan menjadi titik tusukan. Oleh itu, kami meletakkan tanda untuk ketaksamaan $ \ left (x + 8 \ kanan) \ kiri (x-11 \ kanan) \ gt 0 $ - yang terakhir yang kami lihat sebelum kami mula menyelesaikan persamaan:
Kami berminat dengan kawasan positif, kerana kami menyelesaikan ketidaksamaan bentuk $ f \ kiri (x \ kanan) \ gt 0 $ - dan bayangkan mereka. Hanya tinggal menulis jawapannya.
Jawapan. $ x \ in \ kiri (- \ infty; -8 \ kanan) \ bigcup \ kiri (11; + \ infty \ kanan) $
Dengan menggunakan penyelesaian ini sebagai contoh, saya ingin memberi amaran kepada anda agar tidak berlaku kesalahan biasa di kalangan pelajar baru. Yaitu: jangan sekali-kali mengembangkan tanda kurung dalam ketaksamaan! Sebaliknya, cubalah memperhitungkan segalanya - ini akan memudahkan penyelesaiannya dan menyelamatkan anda dari banyak masalah.
Sekarang mari kita mencuba sesuatu yang lebih rumit.
Tugas. Selesaikan ketaksamaan:
\ [\ frac (\ kiri (2x-13 \ kanan) \ kiri (12x-9 \ kanan)) (15x + 33) \ le 0 \]
Penyelesaian. Ini adalah ketidaksamaan bentuk $ f \ kiri (x \ kanan) \ le 0 $, jadi anda perlu memerhatikan titik-titik yang terisi di sini.
Beralih ke kaedah jarak:
\ [\ kiri \ (\ mula (sejajar) & \ kiri (2x-13 \ kanan) \ kiri (12x-9 \ kanan) \ kiri (15x + 33 \ kanan) \ le 0, \\ & 15x + 33 \ ne 0. \\ \ end (sejajar) \ kanan. \]
Mari beralih ke persamaan:
\ [\ mula (sejajar) & \ kiri (2x-13 \ kanan) \ kiri (12x-9 \ kanan) \ kiri (15x + 33 \ kanan) = 0 \\ & 2x-13 = 0 \ Rightarrow ((x ) _ (1)) = 6.5; \\ & 12x-9 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (2)) = 0.75; \\ & 15x + 33 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (3)) = - 2.2. \\ \ end (sejajar) \]
Kami mengambil kira syarat tambahan:
Kami menandakan semua akar yang diperoleh pada garis nombor:
Sekiranya satu titik ditusuk dan dilorek pada masa yang sama, ia dianggap sebagai titik tusukan.Sekali lagi, dua titik "bertindih" antara satu sama lain - ini adalah perkara biasa, akan selalu berlaku. Penting untuk difahami bahawa titik yang ditandai dengan tusukan dan yang diisi sebenarnya telah ditusuk. Mereka. "Gouging" adalah tindakan yang lebih kuat daripada "melukis".
Ini benar-benar logik, kerana dengan mencungkil, kita menandakan titik yang mempengaruhi tanda fungsi, tetapi mereka sendiri tidak mengambil bahagian dalam jawapannya. Dan jika pada suatu ketika jumlahnya tidak sesuai dengan kita (contohnya, itu tidak termasuk dalam ODZ), kita menghapusnya dari pertimbangan sehingga akhir masalah.
Secara umum, berhenti berfalsafah. Kami meletakkan tanda dan cat pada selang waktu yang ditandai dengan tanda tolak:
Jawapan. $ x \ in \ kiri (- \ infty; -2.2 \ kanan) \ bigcup \ kiri [0.75; 6.5 \ kanan] $.
Dan sekali lagi saya ingin menarik perhatian anda kepada persamaan ini:
\ [\ kiri (2x-13 \ kanan) \ kiri (12x-9 \ kanan) \ kiri (15x + 33 \ kanan) = 0 \]
Sekali lagi: jangan buka kurungan dalam persamaan seperti ini! Anda hanya akan menyukarkan tugas anda. Ingat: produk adalah sifar apabila sekurang-kurangnya salah satu faktornya adalah sifar. Akibatnya, persamaan ini hanya "terpisah" menjadi beberapa yang lebih kecil, yang kita selesaikan dalam masalah sebelumnya.
Dengan mengambil kira banyaknya akar
Dari tugas-tugas sebelumnya, sangat mudah untuk melihat bahawa ketidaksamaan yang paling sukar adalah yang paling sukar, kerana di dalamnya anda harus mengikuti titik-titik yang diisi.
Tetapi ada kejahatan yang lebih besar lagi di dunia - ini adalah pelbagai punca ketidaksamaan. Di sini anda harus mengikuti bukan beberapa titik yang terisi di sana - di sini tanda ketidaksamaan mungkin tidak tiba-tiba berubah ketika melalui titik-titik yang sama.
Kami tidak mempertimbangkan perkara seperti ini dalam pelajaran ini (walaupun masalah serupa sering dijumpai dalam kaedah selang). Oleh itu, kami memperkenalkan definisi baru:
Definisi. Akar persamaan $ ((\ kiri (x-a \ kanan)) ^ (n)) = 0 $ sama dengan $ x = a $ dan dipanggil punca darab $ n $ th.
Sebenarnya, kita tidak begitu berminat dengan nilai darab yang tepat. Yang penting ialah sama ada bilangan $ n $ ini genap atau ganjil. Kerana:
- Sekiranya $ x = a $ adalah punca genap sama rata, maka tanda fungsi tidak berubah ketika melaluinya;
- Dan sebaliknya, jika $ x = a $ adalah punca keanehan ganjil, maka tanda fungsi akan berubah.
Semua masalah sebelumnya yang dibincangkan dalam pelajaran ini adalah kes khas dari punca keanehan ganjil: di mana sahaja darabnya sama dengan satu.
Dan lebih jauh lagi. Sebelum kita mula menyelesaikan masalah, saya ingin menarik perhatian anda kepada satu kehalusan yang kelihatan jelas bagi pelajar yang berpengalaman, tetapi mendorong banyak pemula menjadi pusing. Yaitu:
Akar darab $ n $ timbul hanya apabila keseluruhan ungkapan dinaikkan ke kekuatan ini: $ ((\ kiri (xa \ kanan)) ^ (n)) $, dan bukan $ \ kiri (((x) ^ (n )) - a \ kanan) $.
Sekali lagi: pendakap $ ((\ kiri (xa \ kanan)) ^ (n)) $ memberi kita akar $ x = a $ darab $ n $, tetapi tanda kurung $ \ kiri (((x) ^ ( n)) -a \ kanan) $ atau, seperti yang sering berlaku, $ (a - ((x) ^ (n))) $ memberi kita akar (atau dua punca, jika $ n $ genap) darab pertama , tidak kira sama dengan $ n $.
Bandingkan:
\ [((\ kiri (x-3 \ kanan)) ^ (5)) = 0 \ Anak panah kanan x = 3 \ kiri (5k \ kanan) \]
Semuanya jelas di sini: seluruh kurungan dinaikkan ke kekuatan kelima, jadi pada output kami mendapat akar kekuatan kelima. Dan sekarang:
\ [\ kiri (((x) ^ (2)) - 4 \ kanan) = 0 \ Rightarrow ((x) ^ (2)) = 4 \ Rightarrow x = \ pm 2 \]
Kami mendapat dua punca, tetapi kedua-duanya mempunyai darab pertama. Atau inilah yang lain:
\ [\ kiri (((x) ^ (10)) - 1024 \ kanan) = 0 \ Rightarrow ((x) ^ (10)) = 1024 \ Rightarrow x = \ pm 2 \]
Dan jangan keliru dengan darjah kesepuluh. Perkara utama ialah 10 adalah nombor genap, jadi pada output kita mempunyai dua punca, dan kedua-duanya sekali lagi mempunyai darab pertama.
Secara amnya, berhati-hati: pendaraban berlaku hanya ketika ijazah merujuk kepada keseluruhan kurungan, bukan hanya pemboleh ubah.
Tugas. Selesaikan ketaksamaan:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) ((\ kiri (6-x \ kanan)) ^ (3)) \ kiri (x + 4 \ kanan)) (((\ kiri (x + 7) \ kanan]) ^ (5))) \ ge 0 \]
Penyelesaian. Mari cuba menyelesaikannya dengan cara alternatif - melalui peralihan dari yang tertentu ke tempat kerja:
\ [\ kiri \ (\ mulai (sejajar) & ((x) ^ (2)) ((\ kiri (6-x \ kanan)) ^ (3)) \ kiri (x + 4 \ kanan) \ cdot ( (\ kiri (x + 7 \ kanan)) ^ (5)) \ ge 0, \\ & ((\ kiri (x + 7 \ kanan)) ^ (5)) \ ne 0. \\ \ akhir (sejajar ) \ kanan. \]
Kami menangani ketaksamaan pertama menggunakan kaedah selang:
\ [\ start (align) & ((x) ^ (2)) ((\ kiri (6-x \ kanan)) ^ (3)) \ kiri (x + 4 \ kanan) \ cdot ((\ kiri ( x + 7 \ kanan)) ^ (5)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) = 0 \ Rightarrow x = 0 \ kiri (2k \ kanan); \\ & ((\ kiri (6-x \ kanan)) ^ (3)) = 0 \ Kanan kanan x = 6 \ kiri (3k \ kanan); \\ & x + 4 = 0 \ Kanan kanan x = -4; \\ & ((\ kiri (x + 7 \ kanan)) ^ (5)) = 0 \ Anak panah kanan x = -7 \ kiri (5k \ kanan). \\ \ end (sejajar) \]
Selain itu, kami menyelesaikan ketaksamaan kedua. Sebenarnya, kami telah menyelesaikannya, tetapi agar pengulas tidak menemui kesalahan dengan penyelesaiannya, lebih baik menyelesaikannya lagi:
\ [((\ kiri (x + 7 \ kanan)) ^ (5)) \ ne 0 \ Tombol kanan x \ ne -7 \]
Harap maklum: tidak ada banyak perbezaan dalam ketaksamaan terakhir. Betul: apa bezanya berapa kali untuk mencoret titik $ x = -7 $ pada garis nombor? Sekurang-kurangnya sekali, sekurang-kurangnya lima - hasilnya akan sama: titik tusukan.
Mari tandakan semua yang kami dapat di garis nombor:
Seperti yang saya katakan, titik $ x = -7 $ akhirnya akan menusuk. Kepelbagaian disusun berdasarkan penyelesaian ketaksamaan dengan kaedah selang.
Masih ada tanda-tanda:
Oleh kerana titik $ x = 0 $ adalah punca darab yang sama, tanda tidak berubah ketika melaluinya. Titik selebihnya mempunyai kelipatan ganjil, dan semuanya mudah dilakukan.
Jawapan. $ x \ in \ kiri (- \ infty; -7 \ kanan) \ bigcup \ kiri [-4; 6 \ kanan] $
Perhatikan lagi $ x = 0 $. Oleh kerana bilangan yang sama, kesan menarik timbul: di sebelah kiri, semuanya dilukis, di sebelah kanan juga, dan titik itu sendiri dilukis sepenuhnya.
Akibatnya, ia tidak perlu diasingkan semasa merakam respons. Mereka. tidak perlu menulis sesuatu seperti $ x \ in \ kiri [-4; 0 \ kanan] \ bigcup \ kiri [0; 6 \ kanan] $ (walaupun secara formal jawapan ini juga akan betul). Sebaliknya, kami segera menulis $ x \ in \ left [-4; 6 \ right] $.
Kesan seperti itu hanya mungkin berlaku untuk akar yang sama banyak. Dan dalam tugas seterusnya kita akan menghadapi "manifestasi" yang berlawanan dari kesan ini. Sedia?
Tugas. Selesaikan ketaksamaan:
\ [\ frac (((\ kiri (x-3 \ kanan)) ^ (4)) \ kiri (x-4 \ kanan)) (((\ kiri (x-1 \ kanan)) ^ (2)) \ kiri (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ kanan)) \ ge 0 \]
Penyelesaian. Kali ini kita akan mengikut skema standard. Tetapkan pengangka ke sifar:
\ [\ mula (sejajar) & ((\ kiri (x-3 \ kanan)) ^ (4)) \ kiri (x-4 \ kanan) = 0; \\ & ((\ kiri (x-3 \ kanan)) ^ (4)) = 0 \ Kanan kanan ((x) _ (1)) = 3 \ kiri (4k \ kanan); \\ & x-4 = 0 \ Rightarrow ((x) _ (2)) = 4. \\ \ end (sejajar) \]
Dan penyebutnya:
\ [\ mula (sejajar) & ((\ kiri (x-1 \ kanan)) ^ (2)) \ kiri (7x-10 - ((x) ^ (2)) \ kanan) = 0; \\ & ((\ kiri (x-1 \ kanan)) ^ (2)) = 0 \ Kanan kanan x_ (1) ^ (*) = 1 \ kiri (2k \ kanan); \\ & 7x-10 - ((x) ^ (2)) = 0 \ Garis kanan x_ (2) ^ (*) = 5; \ x_ (3) ^ (*) = 2. \\ \ end (sejajar) \]
Oleh kerana kita menyelesaikan ketidaksamaan bentuk yang lemah $ f \ kiri (x \ kanan) \ ge 0 $, akar dari penyebut (yang ada dengan tanda bintang) akan ditusuk, dan dari pembilang mereka akan diisi.
Kami meletakkan tanda dan kawasan menetas yang bertanda "tambah":
Titik $ x = 3 $ diasingkan. Ini adalah sebahagian jawapannya Sebelum menulis jawapan terakhir, perhatikan gambarnya dengan teliti:
- Titik $ x = 1 $ mempunyai bilangan yang sama rata, tetapi ia sendiri tertusuk. Oleh itu, ia mesti diasingkan dalam jawapan: anda perlu menulis $ x \ di \ kiri (- \ infty; 1 \ kanan) \ bigcup \ kiri (1; 2 \ kanan) $, dan bukan $ x \ in \ kiri (- \ infty; 2 \ kanan) $.
- Titik $ x = 3 $ juga mempunyai darab yang sama dan diisi pada masa yang sama. Susunan tanda menunjukkan bahawa titik itu sendiri sesuai dengan kita, tetapi selangkah ke kiri dan kanan - dan kita berada di kawasan yang pastinya tidak sesuai dengan kita. Titik tersebut disebut terpencil dan ditulis sebagai $ x \ di \ kiri \ (3 \ kanan \) $.
Kami menggabungkan semua kepingan yang dihasilkan menjadi satu set yang sama dan menuliskan jawapannya.
Jawapan: $ x \ in \ kiri (- \ infty; 1 \ kanan) \ bigcup \ kiri (1; 2 \ kanan) \ bigcup \ kiri \ (3 \ kanan \) \ bigcup \ kiri [4; 5 \ kanan] $
Definisi. Menyelesaikan ketaksamaan bermaksud cari banyak penyelesaiannya, atau membuktikan bahawa set ini kosong.
Nampaknya: apa yang tidak dapat difahami di sini? Ya, hakikatnya ialah set dapat ditentukan dengan cara yang berbeza. Mari tulis jawapan untuk masalah terakhir sekali lagi:
Kami membaca secara literal apa yang ditulis. Pemboleh ubah "x" tergolong dalam set tertentu, yang diperoleh dengan menggabungkan (tanda "U") empat set berasingan:
- Selang $ \ kiri (- \ infty; 1 \ kanan) $, yang secara harfiah bermaksud "semua nombor kurang dari satu, tetapi bukan nombor itu sendiri";
- $ \ Kiri (1; 2 \ kanan) $ spasi, iaitu "Semua nombor dalam lingkungan 1 hingga 2, tetapi bukan nombor 1 dan 2 itu sendiri";
- Set $ \ left \ (3 \ right \) $, yang terdiri daripada satu nombor - tiga;
- Selang $ \ kiri [4; 5 \ kanan) $, mengandungi semua nombor antara 4 dan 5, serta empat nombor itu sendiri, tetapi bukan lima.
Perkara ketiga menarik di sini. Tidak seperti selang, yang menentukan set nombor yang tidak terbatas dan hanya menunjukkan batas-batas set ini, set $ \ kiri \ (3 \ kanan \) $ menentukan tepat satu nombor dengan penghitungan.
Untuk memahami bahawa kami hanya menyenaraikan nombor tertentu yang termasuk dalam set (dan tidak menetapkan sempadan atau yang lain), pendakap keriting digunakan. Contohnya, notasi $ \ left \ (1; 2 \ right \) $ bermaksud tepat "satu set yang terdiri daripada dua nombor: 1 dan 2", tetapi bukan segmen dari 1 hingga 2. Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh mengelirukan konsep-konsep ini .
Peraturan untuk menambah darab
Baiklah, sebagai penutup pelajaran hari ini, sedikit timah dari Pavel Berdov. :)
Pelajar yang prihatin mungkin telah mengemukakan soalan: apa yang akan berlaku jika akar yang sama terdapat di pengangka dan penyebutnya? Oleh itu, peraturan berikut berfungsi:
Banyaknya akar yang sama ditambah. Adakah selalu. Walaupun akar ini berlaku pada pengangka dan penyebut.
Kadang-kadang lebih baik membuat keputusan daripada bercakap. Oleh itu, kami menyelesaikan masalah berikut:
Tugas. Selesaikan ketaksamaan:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 6x + 8) (\ kiri (((x) ^ (2)) - 16 \ kanan) \ kiri (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ kanan)) \ ge 0 \]
\ [\ begin (align) & ((x) ^ (2)) + 6x + 8 = 0 \\ & ((x) _ (1)) = - 2; \ ((x) _ (2)) = -4. \\ \ end (sejajar) \]
Belum ada yang istimewa. Tetapkan penyebutnya kepada sifar:
\ [\ mula (sejajar) & \ kiri (((x) ^ (2)) - 16 \ kanan) \ kiri (((x) ^ (2)) + 9x + 14 \ kanan) = 0 \\ & ( (x) ^ (2)) - 16 = 0 \ Garis kanan x_ (1) ^ (*) = 4; \ x_ (2) ^ (*) = - 4; \\ & ((x) ^ (2)) + 9x + 14 = 0 \ Garis kanan x_ (3) ^ (*) = - 7; \ x_ (4) ^ (*) = - 2. \\ \ end (sejajar) \]
Terdapat dua punca yang sama: $ ((x) _ (1)) = - 2 $ dan $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $. Kedua-duanya dilipat pertama. Oleh itu, kami menggantinya dengan satu akar $ x_ (4) ^ (*) = - 2 $, tetapi sudah dengan darab 1 + 1 = 2.
Selain itu, terdapat juga akar yang serupa: $ ((x) _ (2)) = - 4 $ dan $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $. Mereka juga darab pertama, jadi hanya $ x_ (2) ^ (*) = - 4 $ darab 1 + 1 = 2 yang tinggal.
Harap perhatikan: dalam kedua kes ini, kami telah meninggalkan akar "tusukan" dengan tepat, dan yang "dicat di atas" dibuang dari pertimbangan. Kerana walaupun pada awal pelajaran kami setuju: jika satu titik ditusuk dan dicat, maka kami masih menganggapnya tertusuk.
Akibatnya, kami mempunyai empat akar, dan semuanya keluar:
\ [\ begin (align) & x_ (1) ^ (*) = 4; \\ & x_ (2) ^ (*) = - 4 \ kiri (2k \ kanan); \\ & x_ (3) ^ (*) = - 7; \\ & x_ (4) ^ (*) = - 2 \ kiri (2k \ kanan). \\ \ end (sejajar) \]
Kami menandakannya pada garis nombor, dengan mengambil kira banyaknya:
Kami meletakkan papan tanda dan cat di kawasan yang menarik bagi kami:
Semuanya. Tiada titik terpencil dan penyelewengan lain. Anda boleh menuliskan jawapannya.
Jawapan. $ x \ in \ kiri (- \ infty; -7 \ kanan) \ bigcup \ kiri (4; + \ infty \ kanan) $.
Peraturan pendaraban
Kadang-kadang keadaan yang lebih tidak menyenangkan berlaku: persamaan dengan pelbagai akar itu sendiri dinaikkan menjadi kekuatan tertentu. Dalam kes ini, banyaknya semua akar asal berubah.
Ini jarang berlaku, oleh itu kebanyakan pelajar tidak mempunyai pengalaman dalam menyelesaikan masalah tersebut. Dan peraturan di sini adalah seperti berikut:
Apabila persamaan dinaikkan ke kekuatan $ n $, darab semua akarnya juga meningkat sebanyak $ n $ kali.
Dengan kata lain, eksponensialasi membawa kepada darab yang berlipat ganda dengan kekuatan yang sama. Mari pertimbangkan peraturan ini dengan contoh:
Tugas. Selesaikan ketaksamaan:
\ [\ frac (x ((\ kiri (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ kanan)) ^ (2)) ((\ kiri (x-4 \ kanan)) ^ (5)) ) (((\ kiri (2-x \ kanan)) ^ (3)) ((\ kiri (x-1 \ kanan)) ^ (2))) \ le 0 \]
Penyelesaian. Tetapkan pengangka ke sifar:
Produk adalah sifar apabila sekurang-kurangnya salah satu faktornya adalah sifar. Dengan faktor pertama, semuanya jelas: $ x = 0 $. Tetapi masalahnya bermula:
\ [\ start (align) & ((\ kiri (((x) ^ (2)) - 6x + 9 \ kanan)) ^ (2)) = 0; \\ & ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 \ kiri (2k \ kanan); \\ & D = ((6) ^ (3)) - 4 \ cdot 9 = 0 \\ & ((x) _ (2)) = 3 \ kiri (2k \ kanan) \ kiri (2k \ kanan) \ \ & ((x) _ (2)) = 3 \ kiri (4k \ kanan) \\ \ akhir (sejajar) \]
Seperti yang anda lihat, persamaan $ ((x) ^ (2)) - 6x + 9 = 0 $ mempunyai satu punca darab kedua: $ x = 3 $. Kemudian keseluruhan persamaan kuasa dua. Oleh itu, banyaknya punca akan menjadi $ 2 \ cdot 2 = 4 $, yang akhirnya kami tuliskan.
\ [((\ kiri (x-4 \ kanan)) ^ (5)) = 0 \ Anak panah kanan x = 4 \ kiri (5k \ kanan) \]
Tidak ada masalah dengan penyebutnya:
\ [\ start (align) & ((\ kiri (2-x \ kanan)) ^ (3)) ((\ kiri (x-1 \ kanan)) ^ (2)) = 0; \\ & ((\ kiri (2-x \ kanan)) ^ (3)) = 0 \ Kanan kanan x_ (1) ^ (*) = 2 \ kiri (3k \ kanan); \\ & ((\ kiri (x-1 \ kanan)) ^ (2)) = 0 \ Garis kanan x_ (2) ^ (*) = 1 \ kiri (2k \ kanan). \\ \ end (sejajar) \]
Secara keseluruhan, kami mendapat lima mata: dua ditumbuk dan tiga diisi. Tidak ada akar bertepatan dalam pengangka dan penyebut, jadi kami hanya menandakannya pada garis nombor:
Kami menyusun tanda-tanda dengan mengambil kira banyak dan melukis selang masa yang menarik bagi kami:
Sekali lagi, satu titik terpencil dan satu titik Kerana akar yang sama banyak, kami sekali lagi mendapat beberapa elemen "tidak standard". Ini adalah $ x \ di \ kiri [0; 1 \ kanan) \ bigcup \ kiri (1; 2 \ kanan) $, bukan $ x \ di \ kiri [0; 2 \ kanan) $, serta titik terpencil $ x \ di \ kiri \ (3 \ kanan \) $.
Jawapan. $ x \ di \ kiri [0; 1 \ kanan) \ bigcup \ kiri (1; 2 \ kanan) \ bigcup \ kiri \ (3 \ kanan \) \ bigcup \ kiri [4; + \ infty \ kanan) $
Seperti yang anda lihat, semuanya tidak begitu sukar. Perkara utama adalah perhatian. Bahagian terakhir pelajaran ini memberi tumpuan kepada transformasi - yang kita bincangkan pada awalnya.
Pra-konfigurasi
Ketidaksamaan yang kita bincangkan dalam bahagian ini tidak rumit. Walau bagaimanapun, tidak seperti tugas sebelumnya, di sini anda perlu menerapkan kemahiran dari teori pecahan rasional - pemfaktoran dan pengurangan kepada penyebut yang sama.
Kami membincangkan masalah ini secara terperinci pada awal pelajaran hari ini. Sekiranya anda tidak pasti bahawa anda memahami perkara itu, saya sangat mengesyorkan agar anda kembali dan mengulanginya. Kerana tidak ada gunanya kaedah cramming untuk menyelesaikan ketaksamaan jika anda "melayang" dalam transformasi pecahan.
Dalam kerja rumah, omong-omong, akan ada banyak tugas serupa. Mereka diletakkan dalam subseksyen yang berasingan. Di sana anda akan dapati contoh-contoh yang sangat tidak remeh. Tetapi ini akan berlaku dalam kerja rumah, dan sekarang mari kita menganalisis beberapa ketidaksamaan seperti itu.
Tugas. Selesaikan ketaksamaan:
\ [\ frac (x) (x-1) \ le \ frac (x-2) (x) \]
Penyelesaian. Gerakkan semuanya ke kiri:
\ [\ frac (x) (x-1) - \ frac (x-2) (x) \ le 0 \]
Kami membawa ke penyebut yang sama, kami membuka tanda kurung, kami memberikan istilah yang serupa dalam pengangka:
\ [\ start (align) & \ frac (x \ cdot x) (\ kiri (x-1 \ kanan) \ cdot x) - \ frac (\ kiri (x-2 \ kanan) \ kiri (x-1 \ kanan)) (x \ cdot \ kiri (x-1 \ kanan)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - \ kiri (((x) ^ (2)) - 2x-x + 2 \ kanan)) (x \ kiri (x-1 \ kanan)) \ le 0; \\ & \ frac (((x) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 3x-2) (x \ kiri (x-1 \ kanan)) \ le 0; \\ & \ frac (3x-2) (x \ kiri (x-1 \ kanan)) \ le 0. \\\ hujung (sejajar) \]
Sekarang kita mempunyai kesamaan pecahan-rasional klasik, penyelesaiannya tidak lagi sukar. Saya mencadangkan untuk menyelesaikannya dengan kaedah alternatif - melalui kaedah selang:
\ [\ mula (sejajar) & \ kiri (3x-2 \ kanan) \ cdot x \ cdot \ kiri (x-1 \ kanan) = 0; \\ & ((x) _ (1)) = \ frac (2) (3); \ ((x) _ (2)) = 0; \ ((x) _ (3)) = 1. \\ \ end (sejajar) \]
Jangan lupa kekangan yang datang dari penyebut:
Kami menandakan semua nombor dan sekatan pada garis nombor:
Semua akar mempunyai darab pertama. Tiada masalah. Kami hanya meletakkan papan tanda dan cat di kawasan yang kami perlukan:
Itu semua. Anda boleh menuliskan jawapannya.
Jawapan. $ x \ in \ kiri (- \ infty; 0 \ kanan) \ bigcup \ kiri [(2) / (3) \ ;; 1 \ kanan) $.
Sudah tentu, ini hanyalah contoh. Oleh itu, sekarang kita akan mempertimbangkan masalahnya dengan lebih serius. Dan omong-omong, tahap tugas ini cukup konsisten dengan kerja bebas dan kawalan pada topik ini di kelas 8.
Tugas. Selesaikan ketaksamaan:
\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) \ ge \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \]
Penyelesaian. Gerakkan semuanya ke kiri:
\ [\ frac (1) (((x) ^ (2)) + 8x-9) - \ frac (1) (3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2) \ ge 0 \]
Sebelum mengurangkan kedua-dua pecahan menjadi penyebut yang sama, kami memfaktorkan penyebut ini. Bagaimana jika tanda kurung yang sama keluar? Dengan penyebut pertama, mudah:
\ [((x) ^ (2)) + 8x-9 = \ kiri (x-1 \ kanan) \ kiri (x + 9 \ kanan) \]
Yang kedua sedikit lebih sukar. Jangan ragu untuk meletakkan pengganda tetap dalam kurungan di mana pecahan muncul. Ingat: polinomial asal mempunyai pekali integer, jadi ada kemungkinan besar faktorisasi juga akan mempunyai pekali integer (sebenarnya, ini akan selalu berlaku, kecuali apabila diskriminan tidak rasional).
\ [\ mula (sejajar) & 3 ((x) ^ (2)) - 5x + 2 = 3 \ kiri (x-1 \ kanan) \ kiri (x- \ frac (2) (3) \ kanan) = \\ & = \ kiri (x-1 \ kanan) \ kiri (3x-2 \ kanan) \ akhir (sejajar) \]
Seperti yang anda lihat, terdapat tanda kurung biasa: $ \ kiri (x-1 \ kanan) $. Kami kembali ke ketidaksamaan dan membawa kedua-dua pecahan itu ke penyebut yang sama:
\ [\ mula (sejajar) & \ frac (1) (\ kiri (x-1 \ kanan) \ kiri (x + 9 \ kanan)) - \ frac (1) (\ kiri (x-1 \ kanan) \ kiri (3x-2 \ kanan)) \ ge 0; \\ & \ frac (1 \ cdot \ kiri (3x-2 \ kanan) -1 \ cdot \ kiri (x + 9 \ kanan)) (\ kiri (x-1 \ kanan) \ kiri (x + 9 \ kanan ) \ kiri (3x-2 \ kanan)) \ ge 0; \\ & \ frac (3x-2-x-9) (\ kiri (x-1 \ kanan) \ kiri (x + 9 \ kanan) \ kiri (3x-2 \ kanan)) \ ge 0; \\ & \ frac (2x-11) (\ kiri (x-1 \ kanan) \ kiri (x + 9 \ kanan) \ kiri (3x-2 \ kanan)) \ ge 0; \\ \ end (sejajar) \]
Tetapkan penyebutnya kepada sifar:
\ [\ mula (sejajar) & \ kiri (x-1 \ kanan) \ kiri (x + 9 \ kanan) \ kiri (3x-2 \ kanan) = 0; \\ & x_ (1) ^ (*) = 1; \ x_ (2) ^ (*) = - 9; \ x_ (3) ^ (*) = \ frac (2) (3) \\ \ akhir ( sejajar) \]
Tiada kepelbagaian atau akar kebetulan. Kami menandakan empat nombor pada garis lurus:
Kami meletakkan tanda:
Kami menuliskan jawapannya.
Jawapan: $ x \ di \ kiri (- \ infty; -9 \ kanan) \ bigcup \ kiri ((2) / (3) \ ;; 1 \ kanan) \ bigcup \ kiri [5,5; + \ infty \ betul) $.
