Adakah ruang tidak sengaja? Satu set peristiwa rawak dapat diramalkan, walaupun peristiwa individu tidak berlaku.

Kelebihan penjana dadu dalam talian berbanding dadu biasa jelas - ia tidak akan hilang! Sebuah kubus maya akan mengatasi fungsinya jauh lebih baik daripada yang sebenarnya - manipulasi hasil dikecualikan sepenuhnya dan seseorang hanya dapat berharap untuk kesempatan Yang Mulia. Dadu dalam talian adalah, antara lain, hiburan hebat di masa lapang anda. Penjanaan hasil mengambil masa tiga saat, memanaskan kegembiraan dan minat para pemain. Untuk mensimulasikan gulungan dadu, anda hanya perlu menekan butang "1" di papan kekunci, yang membolehkan anda tidak terganggu, misalnya, dari permainan papan yang menarik.

Kiub:

Tolong bantu perkhidmatan dengan satu klik: Beritahu rakan anda mengenai penjana!

Apabila kita mendengar ungkapan seperti "Dadu", maka segera muncul persatuan kasino, di mana mereka tidak dapat melakukannya tanpa mereka. Sebagai permulaan, ingat sedikit apa item ini.

Dadu adalah kiub, di setiap wajah di mana angka dari 1 hingga 6 dilambangkan dengan titik. Apabila kita membuangnya, kita selalu berharap nombor yang telah kita rancangkan dan yang diinginkan akan jatuh. Tetapi ada kalanya sebuah kubus, jatuh di tepi, tidak menunjukkan angka. Ini bermaksud bahawa orang yang melemparkannya boleh memilih sesiapa sahaja.

Ia juga berlaku bahawa kubus boleh berguling di bawah tempat tidur atau almari pakaian, dan apabila dikeluarkan dari situ, jumlahnya akan berubah. Dalam kes ini, tulang dilemparkan lagi sehingga semua orang dapat melihat bilangannya dengan jelas.

Gulung dadu dalam talian dalam 1 klik

Dalam permainan dengan dadu biasa, sangat mudah untuk menipu. Untuk mendapatkan nombor yang diingini, anda perlu meletakkan sisi kubus ini di atas dan memutarnya sehingga tetap sama (hanya bahagian sisi yang berputar). Ini bukan jaminan yang lengkap, tetapi peratusan kemenangannya adalah tujuh puluh lima peratus.

Sekiranya anda menggunakan dua dadu, maka kemungkinannya dikurangkan menjadi tiga puluh, tetapi ini bukan peratusan kecil. Kerana penipuan, banyak kempen pemain tidak suka menggunakan dadu.

Perkhidmatan hebat kami berfungsi dengan tepat untuk mengelakkan keadaan seperti itu. Mustahil untuk menipu dengan kami, kerana dadu dalam talian tidak boleh dipalsukan. Nombor dari 1 hingga 6 akan muncul di halaman dengan cara yang sangat rawak dan tidak terkawal.

Penjana dadu yang sesuai

Kelebihan yang sangat besar ialah penjana dadu dalam talian tidak akan hilang (terutamanya kerana dapat ditanda buku), dan dadu kecil biasa mudah tersesat di suatu tempat. Juga, nilai tambah yang besar adalah kenyataan bahawa manipulasi hasil tidak termasuk sepenuhnya. Penjana mempunyai fungsi yang membolehkan anda memilih dari satu hingga tiga dadu untuk digulung pada masa yang sama.

Penjana dadu dalam talian adalah hiburan yang sangat menarik, salah satu cara untuk mengembangkan intuisi. Gunakan perkhidmatan kami dan dapatkan hasil segera dan boleh dipercayai.

Bentuk yang paling umum adalah dalam bentuk kubus, di setiap sisi yang digambarkan nombor dari satu hingga enam. Pemain, melemparkannya ke permukaan rata, melihat hasilnya di tepi atas. Tulang adalah penutup mulut sebenar untuk peluang, nasib baik atau nasib buruk.

Rawak.
Kiub (tulang) sudah lama wujud, tetapi mereka memperoleh penampilan tradisional dengan enam sisi sekitar tahun 2600 SM. e. Orang Yunani kuno gemar bermain dengan dadu, dan dalam legenda mereka, pahlawan Palamed, yang dituduh tidak adil oleh pengkhianatan oleh Odysseus, disebut sebagai penemu mereka. Menurut legenda, dia mencipta permainan ini untuk menghiburkan tentera yang mengepung Troy, ditangkap oleh kuda kayu besar. Bangsa Rom pada zaman Julius Caesar juga menghiburkan diri dengan berbagai permainan dadu. Dalam bahasa Latin, kubus itu disebut datum, yang berarti "diberikan."

Larangan.
Pada Abad Pertengahan, sekitar abad ke-12, permainan dadu menjadi sangat popular di Eropah: kiub yang boleh anda bawa ke mana sahaja popular di kalangan pejuang dan petani. Dikatakan bahawa terdapat lebih dari enam ratus permainan yang berbeza! Penghasilan dadu menjadi profesion yang terpisah. Raja Louis IX (1214-1270), kembali dari perang salib, tidak menyetujui perjudian dan memerintahkan agar produksi dadu dilarang di seluruh kerajaan. Lebih daripada permainan itu sendiri, pihak berkuasa tidak berpuas hati dengan rusuhan yang berkaitan dengannya - kemudian mereka bermain terutamanya di kedai dan pesta sering berakhir dengan pergaduhan dan penikaman. Tetapi tiada larangan yang menghalangi dadu bertahan dan bertahan hingga hari ini.

Tulang dengan "cas"!
Hasil die roll selalu rawak, tetapi beberapa penipu cuba mengubahnya. Dengan menggerudi lubang di dalam kubus dan mencurahkan timbal atau merkuri ke dalamnya, anda boleh mencapai hasil yang sama setiap kali anda membuang. Kiub seperti itu disebut "dikenakan". Dibuat dari bahan yang berbeza, baik itu emas, batu, kristal, tulang, dadu dapat memiliki bentuk yang berbeza. Dadu kecil dalam bentuk piramid (tetrahedron) telah dijumpai di makam firaun Mesir yang membina piramid besar! Pada pelbagai masa, tulang dibuat dengan 8, 10, 12, 20 dan bahkan 100 sisi. Biasanya nombor diterapkan pada mereka, tetapi huruf atau gambar juga dapat muncul di tempatnya, memberi ruang untuk berimaginasi.

Cara menggulung dadu.
Dadu tidak hanya datang dalam berbagai bentuk, tetapi mereka juga mempunyai cara bermain yang berbeza. Beberapa permainan memerlukan gulungan dibuat dengan cara tertentu, biasanya untuk mengelakkan gulungan yang dihitung atau untuk mengelakkan mati berhenti dalam posisi miring. Kadang-kadang kaca khas dilekatkan pada mereka untuk mengelakkan ditipu atau jatuh dari meja. Dalam permainan krep dalam bahasa Inggeris, ketiga-tiga dadu mesti memukul meja permainan atau dinding untuk mengelakkan penipu memalsukan lemparan dengan hanya menggerakkan dadu, tetapi tidak mengubahnya.

Rawak dan kebarangkalian.
Mati selalu memberikan hasil rawak yang tidak dapat diramalkan. Dengan sekali mati, pemain mempunyai banyak peluang untuk menggulung 1 hingga 6 - semuanya ditentukan secara kebetulan. Dengan dua dadu, sebaliknya, tahap keacakan menurun, kerana pemain mempunyai lebih banyak maklumat mengenai hasilnya: misalnya, dengan dua dadu, angka 7 dapat diperoleh dengan beberapa cara - dengan melemparkan 1 dan 6, 5 dan 2 , atau 4 dan 3 ... Tetapi peluang untuk mendapatkan nombor 2 hanya satu: bergolek dua kali 1. Oleh itu, kebarangkalian mendapat 7 lebih tinggi daripada mendapat 2! Ini dipanggil teori kebarangkalian. Banyak permainan dikaitkan dengan prinsip ini, terutamanya permainan tunai.

Mengenai penggunaan dadu.
Dadu boleh menjadi permainan bebas tanpa unsur lain. Satu-satunya perkara yang hampir tidak ada adalah permainan untuk satu dadu. Peraturan memerlukan sekurang-kurangnya dua (misalnya, krep). Untuk bermain dadu poker, anda memerlukan lima dadu, sebatang pen dan kertas. Tujuannya adalah untuk mengisi kombinasi yang serupa dengan kombinasi permainan kad dengan nama yang sama dengan menuliskan poin untuk mereka dalam jadual khas. Di samping itu, kubus adalah bahagian yang sangat popular untuk permainan papan, membolehkan anda memindahkan kerepek atau memutuskan hasil pertempuran permainan.

Die dilemparkan.
Pada tahun 49 SM. e. Julius Caesar yang muda menakluki Gaul dan kembali ke Pompeii. Tetapi kekuatannya menimbulkan kebimbangan di kalangan senator, yang memutuskan untuk membubarkan tenteranya sebelum kembali. Maharaja masa depan, setelah tiba di perbatasan republik, memutuskan untuk melanggar perintah itu dengan menyeberang dengan tentera. Sebelum menyeberangi Rubicon (sungai yang menjadi sempadan), dia berkata kepada para legionernya "Alea jacta est" ("lot dilemparkan"). Diktum ini telah menjadi frasa tangkapan, yang artinya adalah, seperti dalam permainan, setelah beberapa keputusan dibuat, tidak mungkin mundur.

Ditulis oleh pereka Tyler Sigman, di Gamasutra. Saya dengan senang hati menyebutnya sebagai "rambut di lubang hidung orc", tetapi ia cukup baik untuk meletakkan asas-asas kebarangkalian dalam permainan.

Topik minggu ini

Sehingga hari ini, hampir semua perkara yang telah kita bicarakan bersifat deterministik, dan minggu lalu kita melihat secara dekat mekanik transitif dan menyusunnya dengan terperinci yang dapat saya jelaskan. Tetapi hingga sekarang, kami belum memperhatikan aspek besar dari banyak permainan, yaitu aspek non-deterministik, dengan kata lain, keacakan. Memahami sifat rawak sangat penting bagi pereka permainan kerana kita membuat sistem yang mempengaruhi pengalaman pemain dalam permainan tertentu, jadi kita perlu mengetahui bagaimana sistem ini berfungsi. Sekiranya terdapat kekacauan dalam sistem, anda perlu memahami alam semula jadikeacakan ini dan bagaimana mengubahnya untuk mendapatkan hasil yang kita perlukan.

Dadu

Mari mulakan dengan sesuatu yang mudah: melancarkan dadu. Apabila kebanyakan orang memikirkan dadu, mereka memikirkan mati enam sisi yang dikenali sebagai d6. Tetapi kebanyakan pemain telah melihat banyak dadu lain: tetrahedral (d4), octahedral (d8), dua belas (d12), dua puluh (d20) ... dan jika anda hadirgeek, anda mungkin mempunyai tulang 30 sisi atau 100 sisi di suatu tempat. Sekiranya anda tidak biasa dengan istilah ini, "d" adalah singkatan dari die, dan jumlahnya, berapa banyak wajahnya. Sekiranya depan"D" adalah singkatan dari angka, maka itu bermaksud kuantiti dadu apabila dibuang. Contohnya, dalam Monopoli, anda melancarkan 2d6.

Jadi, dalam kes ini, frasa "dadu" adalah sebutan konvensional. Terdapat banyak penjana nombor rawak lain yang tidak berbentuk gumpalan plastik, tetapi melakukan fungsi yang sama untuk menghasilkan nombor rawak dari 1 hingga n. Duit syiling biasa juga boleh dianggap sebagai katedral d2. Saya melihat dua reka bentuk dadu tujuh sisi: salah satunya kelihatan seperti dadu, dan yang lain lebih mirip pensil kayu tujuh sisi. Tetrahedral dreidel (juga dikenal sebagai titotum) mirip dengan tetrahedral tulang. Lapangan bermain dengan panah berputar dalam permainan "Chutes & Ladders", di mana hasilnya dapat dari 1 hingga 6, sesuai dengan dadu hex. Penjana nombor rawak dalam komputer dapat membuat nombor apa pun dari 1 hingga 19 jika pereka meminta perintah seperti itu, walaupun tidak ada dadu 19 sisi di komputer (secara umum, saya akan bercakap dengan lebih terperinci mengenai kemungkinan mendapat nombor di komputer di seterusnyaminggu). Walaupun semua item ini kelihatan berbeza, sebenarnya sama: anda mempunyai peluang yang sama untuk mendapatkan salah satu daripada beberapa hasil.

Dadu mempunyai beberapa sifat menarik yang perlu kita ketahui. Pertama, kebarangkalian wajah jatuh sama (saya anggap anda menggulung die yang betul, bukan bentuk geometri yang tidak tetap). Oleh itu, jika anda ingin tahu bermaksud baling (juga dikenali di antara mereka yang menyukai topik kebarangkalian sebagai "matematik yang diharapkan"), jumlahkan nilai semua sisi dan bahagikan jumlah ini dengan kuantitimuka. Purata gulungan untuk mati enam sisi standard adalah 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \u003d 21, bahagi dengan bilangan tepi (6) untuk mendapatkan purata 21/6 \u003d 3.5. Ini adalah kes khas kerana kami menganggap bahawa semua hasilnya sama.

Bagaimana jika anda mempunyai dadu istimewa? Sebagai contoh, saya melihat permainan dengan dadu heksagon dengan pelekat khas di tepinya: 1, 1, 1, 2, 2, 3, jadi ia berperilaku seperti dadu segi tiga yang pelik dengan peluang yang lebih baik untuk mendapatkan nombor 1 daripada 2, dan 2 daripada 3. Berapakah nilai roll purata untuk die ini? Jadi, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 \u003d 10, bahagikan dengan 6, sama dengan 5/3, atau kira-kira 1.66. Oleh itu, jika anda mempunyai die yang istimewa dan pemain akan mengumpulkan tiga dadu dan kemudian menambah hasilnya, anda tahu bahawa jumlah anggaran mereka adalah sekitar 5, dan anda dapat mengimbangkan permainan berdasarkan andaian ini.

Dadu dan kemerdekaan

Seperti yang saya katakan, kami meneruskan anggapan bahawa setiap wajah sama-sama cenderung jatuh. Tidak kira berapa banyak dadu yang anda gulung. Setiap gulungan dadu apa-apa sahajalah, ini bermaksud bahawa lontaran sebelumnya tidak mempengaruhi hasil lontaran berikutnya. Dengan percubaan yang mencukupi, anda mesti notis "Rangkaian" nombor, seperti jatuh dari nilai yang lebih besar atau lebih kecil, atau ciri lain, dan kita akan membincangkannya nanti, tetapi itu tidak bermaksud dadu itu "panas" atau "dingin". Sekiranya anda menggunakan die enam sisi standard dan nombor 6 muncul dua kali berturut-turut, kebarangkalian bahawa roll seterusnya akan menghasilkan 6 juga 1/6. Kebarangkalian tidak ditingkatkan oleh fakta bahawa kubus itu "dipanaskan". Kebarangkalian tidak menurun, kerana angka 6 tercicir dua kali berturut-turut, yang bermaksud bahawa sekarang wajah lain akan rontok. (Sudah tentu, jika anda menggulung dadu dua puluh kali dan setiap kali nombor 6 muncul, kemungkinan kali kedua puluh satu mendapat nombor 6 cukup tinggi ... kerana mungkin itu bermakna anda mempunyai dadu yang salah!) Tetapi jika anda mempunyai dadu yang betul, kebarangkalian jatuh dari setiap wajah adalah sama, tanpa mengira hasil gulungan lain. Anda juga dapat membayangkan bahawa setiap kali kita mengganti die, jadi jika nombor 6 muncul dua kali berturut-turut, keluarkan die "hot" dari permainan dan ganti dengan die enam sisi yang baru. Saya minta maaf sekiranya ada di antara anda yang sudah mengetahui perkara ini, tetapi saya perlu menjelaskannya sebelum meneruskannya.

Cara membuat dadu jatuh lebih kurang rawak

Mari kita bincangkan bagaimana mendapatkan hasil yang berbeza pada dadu yang berbeza. Sekiranya anda menggulung dadu hanya sekali atau beberapa kali, permainan akan terasa lebih rawak jika dadu mempunyai kelebihan. Semakin banyak dadu yang anda gulung, atau semakin banyak dadu yang anda gulung, semakin banyak hasilnya semakin hampir. Sebagai contoh, jika anda menggulung 1d6 + 4 (iaitu dadu hex standard sekali dan menambah 4 pada hasilnya), rata-rata adalah 5 hingga 10. Sekiranya anda menggulung 5d2, rata-rata juga 5 hingga 10. Tetapi ketika membuang dadu enam sisi, kebarangkalian mendapat nombor 5, 8 atau 10 adalah sama. Hasil lontaran 5d2 adalah nombor 7 dan 8, lebih jarang nilai lain. Siri yang sama, walaupun rata-rata yang sama (7.5 dalam kedua-dua kes), tetapi sifat rawaknya berbeza.

Tunggu sekejap. Bukankah saya hanya mengatakan bahawa dadu tidak menjadi panas atau sejuk? Sekarang saya katakan bahawa jika anda menggulung banyak dadu, adakah gulungan itu hampir dengan rata-rata? Kenapa?

Biar saya jelaskan. Sekiranya anda membuang satudadu, kebarangkalian jatuh dari setiap wajah adalah sama. Ini bermaksud bahawa jika anda menggulung banyak dadu, setiap wajah akan jatuh lebih kurang sama dari masa ke masa. Semakin banyak dadu yang anda gulung, semakin banyak hasil kumulatif akan mendekati purata. Ini bukan kerana nombor yang tercabut "membuat" nombor lain, yang belum putus. Tetapi kerana satu siri kecil 6 (atau 20, atau beberapa nombor lain) tidak akan menjadi masalah pada akhirnya jika anda menggulung dadu sepuluh ribu kali lebih banyak dan pada dasarnya rata-rata akan jatuh ... mungkin sekarang anda akan mempunyai beberapa nombor dengan nilai tinggi, tetapi mungkin kemudian beberapa nombor dengan nilai rendah dan lama-kelamaan mereka akan menghampiri nilai purata. Bukan kerana gulungan sebelumnya mempengaruhi dadu (serius, dadu terbuat dari plastik, dia tidak punya otak untuk berpikir: "oh, sudah lama tidak digulung"), tetapi kerana inilah yang biasanya terjadi dengan sebilangan besar gulungan dadu. Sebilangan kecil nombor berulang akan hampir tidak dapat dilihat dalam sebilangan besar hasil.

Oleh itu, membuat pengiraan untuk satu gulungan dadu secara rawak cukup mudah, sekurang-kurangnya sejauh mengira nilai gulungan dadu. Terdapat juga cara untuk mengira "seberapa rawak" sesuatu, cara mengatakan bahawa hasil penggulungan 1d6 + 4 akan menjadi "lebih rawak" daripada 5d2, untuk 5d2 pengedaran hasil akan lebih merata, biasanya untuk ini anda hitung sisihan piawai, dan semakin banyak nilainya, hasilnya akan lebih rawak, tetapi ini memerlukan lebih banyak pengiraan daripada yang saya ingin berikan hari ini (saya akan menerangkan topik ini kemudian). Satu-satunya perkara yang saya minta anda ketahui adalah bahawa sebagai peraturan umum, semakin sedikit dadu yang digulung, semakin besar rawaknya. Dan satu lagi penambahan pada topik ini: semakin banyak kelebihan dadu, semakin banyak rawak, kerana anda mempunyai lebih banyak pilihan.

Cara mengira kebarangkalian dengan mengira

Anda mungkin tertanya-tanya: bagaimana kita dapat mengira kebarangkalian tepat untuk mendapatkan hasil tertentu? Ini sebenarnya sangat penting untuk banyak permainan kerana jika anda menggulung dadu, kemungkinan ada hasil yang optimum pada mulanya. Jawapannya: kita perlu mengira dua nilai. Pertama, hitung jumlah hasil maksimum pada dadu (tidak kira apa hasilnya). Kemudian hitung jumlah hasil yang baik. Dengan membahagi nilai kedua dengan yang pertama, anda mendapat kebarangkalian yang anda mahukan. Untuk mendapatkan peratusan, kalikan hasil anda dengan 100.

Contoh:

Inilah contoh yang sangat mudah. Anda mahu 4 atau lebih tinggi muncul dan gulung dadu hex sekali. Jumlah hasil maksimum adalah 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Daripada jumlah ini, 3 hasil (4, 5, 6) adalah baik. Jadi, untuk mengira kebarangkalian, bahagikan 3 dengan 6 dan dapatkan 0.5 atau 50%.

Inilah contoh yang sedikit lebih rumit. Anda mahu mendapatkan nombor genap pada gulungan 2d6. Jumlah hasil maksimum adalah 36 (6 untuk setiap mati, dan kerana satu mati tidak mempengaruhi yang lain, kami mengalikan 6 hasil dengan 6 untuk mendapatkan 36). Kesukaran dengan soalan jenis ini adalah mudah untuk dikira dua kali. Sebagai contoh, sebenarnya ada dua pilihan untuk hasil 3 pada gulungan 2d6: 1 + 2 dan 2 + 1. Mereka kelihatan sama, tetapi perbezaannya ialah nombor mana yang dipaparkan pada die pertama dan yang kedua. Anda juga dapat membayangkan bahawa dadu itu berlainan warna, jadi, misalnya, dalam kes ini, satu dadu berwarna merah dan yang lain berwarna biru. Kemudian hitung bilangan pilihan untuk nombor genap: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3) ), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6). Ternyata ada 18 pilihan untuk hasil yang menguntungkan dari 36, kerana dalam kes sebelumnya, kebarangkalian akan menjadi 0,5 atau 50%. Mungkin tidak dijangka, tetapi cukup tepat.

Simulasi Monte Carlo

Bagaimana jika anda mempunyai terlalu banyak dadu untuk dikira? Sebagai contoh, anda ingin mengetahui berapa kebarangkalian bahawa jumlah 15 atau lebih akan dilancarkan pada gulungan 8d6. Untuk lapan dadu, terdapat BANYAK hasil individu yang berbeza dan mengira secara manual akan memakan masa yang sangat lama. Walaupun kita menemui beberapa penyelesaian yang baik untuk mengelompokkan rangkaian gulungan dadu yang berlainan, ia masih memerlukan masa yang sangat lama untuk dikira. Dalam kes ini, cara termudah untuk mengira kebarangkalian adalah dengan tidak mengira secara manual, tetapi menggunakan komputer. Terdapat dua cara untuk mengira kebarangkalian pada komputer.

Kaedah pertama dapat digunakan untuk mendapatkan jawaban yang tepat, tetapi melibatkan sedikit pengaturcaraan atau skrip. Pada asasnya, komputer akan melihat setiap peluang, menganggarkan dan mengira jumlah bilangan lelaran dan jumlah lelaran yang sesuai dengan hasil yang diinginkan, dan kemudian memberikan jawapan. Kod anda mungkin kelihatan seperti ini:

int wincount \u003d 0, jumlah keseluruhan \u003d 0;

untuk (int i \u003d 1; i<=6; i++) {

untuk (int j \u003d 1; j<=6; j++) {

untuk (int k \u003d 1; k<=6; k++) {

… // masukkan lebih banyak gelung di sini

jika (i + j + k +…\u003e \u003d 15) (

kebarangkalian apungan \u003d jumlah / jumlah keseluruhan;

Sekiranya anda tidak biasa dengan pengaturcaraan dan anda hanya memerlukan jawapan yang tidak tepat, tetapi tepat, anda boleh mensimulasikan keadaan ini di Excel, di mana anda melemparkan 8d6 beberapa ribu kali dan mendapatkan jawapan. Untuk menghantar 1d6 di Excel, gunakan formula berikut:

Lantai (RAND () * 6) +1

Terdapat nama untuk situasi di mana anda tidak tahu jawapannya dan cubalah berkali-kali - simulasi Monte Carlodan ini adalah penyelesaian yang baik untuk digunakan semasa anda berusaha untuk mengira kebarangkalian dan terlalu sukar. Perkara yang hebat adalah bahawa dalam kes ini, kita tidak perlu memahami bagaimana pengiraan matematik berfungsi, dan kita tahu bahawa jawapannya akan "cukup bagus", kerana seperti yang kita sudah tahu, semakin banyak bilangan lontaran, semakin banyak hasil mendekati nilai purata.

Cara menggabungkan ujian bebas

Sekiranya anda bertanya mengenai pelbagai cabaran yang berulang tetapi bebas, hasil dari satu gulungan tidak akan mempengaruhi hasil gulungan yang lain. Terdapat satu penjelasan yang lebih mudah untuk keadaan ini.

Bagaimana membezakan antara sesuatu yang bergantung dan bebas? Pada asasnya, jika anda dapat membezakan setiap gulungan dadu (atau rangkaian gulungan) sebagai acara yang berasingan, maka ia adalah bebas. Sebagai contoh, jika kita mahu sejumlah 15 digulung pada 8d6, kes ini tidak boleh dibahagikan kepada beberapa gulungan dadu bebas. Oleh kerana untuk hasilnya anda menghitung jumlah nilai semua dadu, hasil yang jatuh pada satu dadu mempengaruhi hasil yang harus jatuh pada dadu yang lain, kerana hanya dengan menambahkan semua nilai, Anda akan mendapat hasil yang diinginkan .

Berikut adalah contoh lontaran bebas: anda bermain dengan dadu dan anda melempar dadu hex beberapa kali. Untuk kekal dalam permainan, gulungan pertama anda mestilah 2 atau lebih tinggi. Untuk gulungan kedua, 3 atau lebih tinggi. Yang ketiga memerlukan 4 atau lebih tinggi, yang keempat memerlukan 5 atau lebih tinggi, dan yang kelima memerlukan 6. Sekiranya kelima-lima gulungan berjaya, anda menang. Dalam kes ini, semua gulungan bebas. Ya, jika satu lontaran tidak berjaya, ia akan mempengaruhi hasil keseluruhan permainan, tetapi satu lontaran tidak mempengaruhi lontaran yang lain. Sebagai contoh, jika gulungan dadu kedua anda sangat berjaya, ini tidak akan mempengaruhi kemungkinan bahawa gulungan seterusnya akan berjaya. Oleh itu, kita boleh mempertimbangkan kebarangkalian setiap gulungan dadu secara berasingan.

Sekiranya anda mempunyai kebarangkalian yang terpisah dan bebas dan ingin mengetahui apakah kebarangkalian itu semuanya peristiwa akan datang, anda menentukan kebarangkalian setiap individu dan menggandakannya. Cara lain: jika anda menggunakan gabungan "dan" untuk menerangkan beberapa keadaan (contohnya, berapakah kebarangkalian kejadian rawak berlaku dan beberapa peristiwa rawak bebas yang lain?), hitung kebarangkalian individu dan darabkannya.

Tidak kira apa pendapat anda tidak pernahjangan tambah kebarangkalian bebas. Ini adalah kesalahan biasa. Untuk memahami mengapa ini salah, bayangkan situasi di mana anda membalikkan duit syiling 50/50, anda ingin tahu apakah kebarangkalian dua kali berturut-turut itu "kepala". Kebarangkalian memukul setiap sisi adalah 50%, jadi jika anda menambahkan dua kebarangkalian ini, anda berpeluang 100% memukul kepala, tetapi kami tahu ini tidak benar, kerana ia dapat kepala dua kali berturut-turut. Jika sebaliknya, anda menggandakan dua kebarangkalian ini, anda mendapat 50% * 50% \u003d 25%, yang merupakan jawapan yang tepat untuk mengira kebarangkalian memukul kepala dua kali berturut-turut.

Contohnya

Mari kembali ke permainan dengan dadu enam sisi, di mana anda perlu mendapatkan nombor lebih tinggi daripada 2 terlebih dahulu, kemudian lebih tinggi daripada 3, dll. hingga 6. Berapakah kemungkinan dalam siri 5 lemparan tertentu semua hasilnya akan menguntungkan?

Seperti yang dinyatakan di atas, ini adalah ujian bebas dan jadi kami mengira kebarangkalian untuk setiap gulungan individu dan kemudian mengalikannya. Kebarangkalian bahawa keputusan pertama akan disukai adalah 5/6. Yang kedua ialah 4/6. Yang ketiga ialah 3/6. Keempat - 2/6, kelima - 1/6. Kami menggandakan semua hasil ini dan kita mendapat kira-kira 1.5% ... Oleh itu, kemenangan dalam permainan ini agak jarang berlaku, jadi jika anda menambahkan elemen ini ke permainan anda, anda akan memerlukan jackpot yang cukup besar.

Penafian

Inilah petua lain yang berguna: kadang-kadang sukar untuk mengira kebarangkalian peristiwa itu berlaku, tetapi lebih mudah untuk menentukan apakah kemungkinan peristiwa tersebut tidak akan datang.

Sebagai contoh, andaikan kita mempunyai permainan lain dan anda melancarkan 6d6, dan jika sekurang-kurangnya sekali 6 dilancarkan, anda menang. Apakah kebarangkalian untuk menang?

Dalam kes ini, terdapat banyak pilihan untuk dikira. Ada kemungkinan bahawa nombor satu 6 akan diturunkan, iaitu pada salah satu dadu nombor 6 akan digulung, dan pada nombor lain dari 1 hingga 5, dan ada 6 pilihan yang mana dadu akan menjadi nombor 6. Kemudian anda mungkin mendapat nombor 6 pada dua dadu, atau pada tiga, atau lebih banyak lagi, dan setiap kali kita perlu melakukan pengiraan yang berasingan, jadi mudah untuk keliru mengenai perkara ini.

Tetapi ada cara lain untuk menyelesaikan masalah ini, mari kita lihat dari sisi lain. Anda kalahsekiranya tiada nombor 6 tidak akan jatuh dari dadu. Dalam kes ini, kita mempunyai enam ujian bebas, kebarangkalian masing-masing adalah 5/6 (sebarang nombor selain 6 dapat dijatuhkan pada dadu). Gandakan mereka dan anda mendapat sekitar 33%. Jadi kebarangkalian kalah adalah 1 dalam 3.

Oleh itu, kebarangkalian menang adalah 67% (atau 2 hingga 3).

Ini jelas dari contoh ini bahawa jika anda mempertimbangkan kemungkinan peristiwa itu tidak berlaku, anda perlu mengurangkan hasilnya dari 100%. Sekiranya kebarangkalian menang adalah 67%, maka kebarangkalian kalah — 100% tolak 67%, atau 33%. Dan begitu juga sebaliknya. Sekiranya sukar untuk mengira satu kebarangkalian, tetapi mudah untuk mengira yang berlawanan, hitung yang sebaliknya, dan tolak dari 100%.

Menggabungkan syarat untuk satu ujian bebas

Saya katakan di atas bahawa anda tidak boleh menjumlahkan kebarangkalian dalam percubaan bebas. Adakah terdapat kes di mana bolehjumlahkan kebarangkalian? - Ya, dalam satu keadaan khas.

Sekiranya anda ingin mengira kebarangkalian untuk beberapa hasil baik yang tidak berkaitan dalam percubaan yang sama, tambahkan kebarangkalian setiap hasil yang baik. Contohnya, kebarangkalian mendapat nombor 4, 5 atau 6 pada 1d6 adalah jumlah kebarangkalian mendapat nombor 4, kebarangkalian mendapat nombor 5 dan kebarangkalian mendapat nombor 6. Anda juga dapat membayangkan keadaan ini seperti berikut: jika anda menggunakan kata hubung “atau” dalam persoalan kebarangkalian (misalnya , apakah kebarangkalian itu atau hasil lain dari satu peristiwa rawak?), hitung kebarangkalian individu dan jumlahkan.

Harap maklum bahawa semasa anda menambah semua kemungkinan hasil permainan, jumlah semua kebarangkalian mestilah sama dengan 100%. Sekiranya jumlahnya tidak 100%, pengiraan anda dibuat dengan tidak betul. Ini adalah kaedah yang baik untuk memeriksa semula pengiraan anda. Sebagai contoh, jika anda menganalisis kebarangkalian mendapatkan semua poker, jika anda menambah semua hasil yang anda peroleh, anda harus memperoleh tepat 100% (atau sekurang-kurangnya nilai hampir 100%, jika anda menggunakan kalkulator, anda mungkin mempunyai ralat pembundaran kecil. tetapi jika anda menambah nombor yang tepat dengan tangan, ia mesti berjaya.) Sekiranya jumlahnya tidak bertambah, kemungkinan besar anda tidak mengambil kira beberapa kombinasi, atau mengira kebarangkalian beberapa kombinasi tidak betul, dan kemudian anda perlu memeriksa semula pengiraan anda.

Kebarangkalian yang tidak sama

Sejauh ini kami menganggap bahawa setiap wajah dadu jatuh pada frekuensi yang sama, kerana ini adalah bagaimana dadu berfungsi. Tetapi kadang-kadang anda berhadapan dengan situasi di mana hasil yang berbeza mungkin dan mereka pelbagai kemungkinan jatuh. Sebagai contoh, dalam salah satu tambahan permainan kad "Perang Nuklear" terdapat medan permainan dengan anak panah, di mana hasil dari pelancaran roket bergantung: pada dasarnya, ia menangani kerosakan biasa, lebih kuat atau lebih lemah, tetapi kadang-kadang kerosakan meningkat dua atau tiga kali, atau roket meletup di landasan pelancaran dan menyakitkan anda, atau kejadian lain berlaku. Tidak seperti lapangan bermain dengan panah di "Chutes & Ladders" atau "A Game of Life", hasil dari lapangan bermain di "Nuclear War" tidak merata. Beberapa bahagian padang permainan lebih besar dan anak panah berhenti ke arahnya lebih kerap, sementara bahagian lain sangat kecil dan anak panah jarang menghampirinya.

Jadi, pada pandangan pertama, tulang kelihatan seperti ini: 1, 1, 1, 2, 2, 3; kita sudah membincangkannya, ia adalah seperti 1d3 yang berwajaran, oleh itu, kita perlu membahagikan semua bahagian ini menjadi bahagian yang sama, mencari unit pengukuran terkecil, yang merupakan gandaan segalanya dan kemudian mewakili keadaan dalam bentuk d522 (atau yang lain), di mana banyak wajah dadu akan mewakili keadaan yang sama, tetapi dengan lebih banyak hasil. Dan ini adalah salah satu cara untuk menyelesaikan masalah, dan secara teknikalnya dapat dilaksanakan, tetapi ada cara yang lebih mudah.

Mari kembali ke dadu hex standard kami. Kami mengatakan bahawa untuk mengira nilai roll rata-rata untuk die normal, anda perlu menjumlahkan nilai pada semua tepi dan membahagikannya dengan bilangan tepi, tetapi bagaimana betul-betulpenyelesaian sedang dijalankan? Anda boleh meletakkannya secara berbeza. Untuk mati segi enam, kebarangkalian setiap muka jatuh tepat 1/6. Sekarang kita membiak keluaransetiap wajah di kebarangkalian hasil ini (dalam kes ini, 1/6 untuk setiap wajah), maka kita meringkaskan nilai yang diperoleh. Oleh itu, menjumlahkan (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) ), kami mendapat hasil yang sama (3.5) seperti dalam pengiraan di atas. Sebenarnya, kita menghitungnya setiap kali: kita mengalikan setiap hasil dengan kebarangkalian hasil itu.

Bolehkah kita melakukan pengiraan yang sama untuk penembak di padang permainan dalam Perang Nuklear? Sudah tentu kita boleh. Dan jika kita menambah semua hasil yang dijumpai, kita akan mendapat rata-rata. Yang harus kita lakukan adalah mengira kebarangkalian setiap hasil untuk anak panah di papan dan kalikan dengan hasilnya.

Contoh yang lain

Kaedah mengira rata-rata ini, dengan mengalikan setiap hasil dengan kebarangkalian masing-masing, juga sesuai jika hasilnya sama besar tetapi mempunyai kelebihan yang berbeza, misalnya jika anda berjaya dan menang lebih banyak daripada yang lain. Sebagai contoh, ambil permainan kasino: anda bertaruh dan menggulung 2d6. Sekiranya tiga nombor dengan nilai terendah (2, 3, 4) atau empat nombor dengan nilai tertinggi (9, 10, 11, 12) muncul, anda memenangi jumlah yang sama dengan taruhan anda. Nombor dengan nilai terendah dan tertinggi adalah istimewa: jika angka 2 atau 12 muncul, anda menang dua kali lebihdaripada kadar anda. Sekiranya nombor lain jatuh (5, 6, 7, 8), anda akan kehilangan taruhan anda. Ini permainan yang cukup mudah. Tetapi apakah kebarangkalian untuk menang?

Mari mulakan dengan mengira berapa kali anda boleh menang:

• Jumlah hasil maksimum pada gulungan 2d6 ialah 36. Berapa banyak hasil yang baik?
• Terdapat 1 pilihan untuk dua dan 1 pilihan untuk dua belas.
• Terdapat 2 pilihan untuk apa yang keluar tiga dan sebelas.
• Terdapat 3 pilihan untuk empat dan 3 pilihan untuk sepuluh.
• Terdapat 4 pilihan untuk sembilan.
• Menyimpulkan semua pilihan, kami mendapat jumlah hasil yang baik 16 daripada 36.

Jadi, dalam keadaan biasa, anda akan menang 16 kali daripada 36 kemungkinan ... kebarangkalian untuk menang sedikit kurang dari 50%.

Tetapi dalam dua kes daripada 16 ini, anda akan menang dua kali lebih banyak, iaitu ia seperti menang dua kali! Sekiranya anda bermain permainan ini sebanyak 36 kali, bertaruh $ 1 setiap kali, dan setiap hasil yang mungkin timbul sekali, anda akan menang $ 18 (sebenarnya, anda akan menang 16 kali, tetapi dua kali akan dikira sebagai dua kemenangan). Sekiranya anda bermain 36 kali dan memenangi $ 18, bukankah itu bermaksud peluang yang sama?

Ambil masa anda. Sekiranya anda mengira berapa kali anda boleh kalah, maka anda mendapat 20, bukan 18. Sekiranya anda bermain 36 kali, bertaruh $ 1 setiap kali, anda akan memenangi sejumlah $ 18 pada semua hasil yang menguntungkan ... tetapi anda akan kalah jumlah keseluruhan $ 20 dengan semua 20 hasil buruk! Akibatnya, anda akan ketinggalan: anda rata-rata kehilangan $ 2 bersih untuk setiap 36 permainan (anda juga boleh mengatakan bahawa anda kehilangan rata-rata $ 1/18 sehari). Sekarang anda dapat melihat betapa mudahnya dalam kes ini untuk membuat kesilapan dan mengira kebarangkalian dengan tidak betul!

Permutasi

Sehingga kini, kami menganggap bahawa urutan nombor ketika membuang dadu tidak menjadi masalah. Gulungan 2 + 4 sama dengan gulungan 4 + 2. Dalam kebanyakan kes, kami secara manual mengira jumlah hasil yang baik, tetapi kadangkala kaedah ini tidak praktikal dan lebih baik menggunakan formula matematik.

Contoh situasi ini adalah dari permainan dengan dadu "Farkle". Untuk setiap pusingan baru, anda melancarkan 6d6. Sekiranya anda bernasib baik dan semua hasil yang mungkin adalah 1-2-3-4-5-6 ("lurus"), anda akan mendapat bonus besar. Apakah kemungkinan ini berlaku? Dalam kes ini, terdapat banyak pilihan untuk kombinasi ini!

Penyelesaiannya kelihatan seperti ini: satu daripada dadu (dan hanya satu) mesti mempunyai nombor 1! Berapa banyak varian nombor 1 pada satu dadu? Enam, kerana ada 6 dadu dan ada di antaranya yang dapat nombor 1. Oleh itu, ambil satu dadu dan ketepikan. Sekarang, satu daripada dadu yang tinggal harus mempunyai angka 2. Terdapat lima pilihan untuk ini. Ambil dadu lain dan ketepikan. Oleh itu, pada empat dadu yang tersisa, angka 3 dapat jatuh, pada tiga dari dadu yang tersisa, angka 4 dapat jatuh, pada dua - angka 5, dan sebagai hasilnya anda mempunyai satu dadu di mana angka 6 harus jatuh (dalam kes terakhir mati adalah satu dan tidak ada pilihan). Untuk mengira jumlah hasil yang baik untuk kombinasi "lurus", kami menggandakan semua pilihan yang berbeza dan bebas: 6x5x4x3x2x1 \u003d 720 - nampaknya ada banyak pilihan untuk apa kombinasi ini akan muncul.

Untuk mengira kebarangkalian mendapatkan lurus, kita perlu membahagikan 720 dengan jumlah semua kemungkinan hasil untuk gulungan 6d6. Berapakah jumlah semua hasil yang mungkin? Setiap die mempunyai 6 muka, jadi kita mengalikan 6x6x6x6x6x6 \u003d 46656 (jumlahnya jauh lebih besar!). Kami membahagikan 720/46656 dan kami mendapat kebarangkalian sekitar 1.5%. Sekiranya anda merancang permainan ini, adalah berguna untuk anda ketahui sehingga anda dapat membuat sistem pemarkahan yang sesuai. Sekarang kita memahami mengapa dalam permainan "Farkle" anda akan menerima bonus besar jika anda mendapat kombinasi "lurus", kerana keadaan ini agak jarang berlaku!

Hasilnya juga menarik untuk alasan lain. Contohnya menunjukkan betapa jarangnya, dalam jangka masa yang pendek, hasil yang sesuai dengan kebarangkalian berlaku. Sudah tentu, jika kita membuang beberapa ribu dadu, wajah dadu yang berlainan akan sering jatuh. Tetapi ketika kita hanya menggulung enam dadu, hampir tidak pernahtidak berlaku bahawa setiap wajah jatuh! Melanjutkan dari ini, menjadi jelas bahawa adalah bodoh untuk mengharapkan bahawa wajah lain sekarang akan rontok, yang belum putus "kerana kita sudah lama tidak mendapat nombor 6, yang bermaksud ia akan jatuh sekarang".

Dengar, penjana nombor rawak anda rosak ...

Ini membawa kita pada kesalahpahaman umum mengenai kebarangkalian: anggapan bahawa semua hasil datang dengan frekuensi yang sama. untuk jangka masa yang singkatyang sebenarnya tidak berlaku. Sekiranya kita menggulung dadu beberapa kali, kekerapan setiap wajah tidak akan sama.

Sekiranya anda pernah mengerjakan permainan dalam talian dengan beberapa jenis penjana nombor rawak, kemungkinan besar anda menghadapi situasi di mana pemain menulis kepada sokongan teknikal untuk mengatakan bahawa penjana nombor rawak anda rosak dan tidak menunjukkan nombor rawak. dan dia sampai pada kesimpulan ini, kerana dia baru saja membunuh 4 monster berturut-turut dan menerima 4 ganjaran yang sama, dan ganjaran ini hanya akan jatuh dalam 10% kes, jadi ini hampir tidak pernah tidak sepatutnya ambil tempat, yang bermaksud jelasbahawa penjana nombor rawak anda rosak.

Anda melakukan pengiraan matematik. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 sama dengan 1 dalam 10,000, yang bermaksud ini adalah kes yang agak jarang berlaku. Dan itulah yang cuba diberitahu oleh pemain. Adakah terdapat masalah dalam kes ini?

Semuanya bergantung pada keadaan. Berapa banyak pemain yang ada di pelayan anda sekarang? Katakan anda mempunyai permainan yang cukup popular dan 100,000 orang memainkannya setiap hari. Berapa banyak pemain yang akan membunuh empat monster berturut-turut? Segala-galanya boleh dilakukan, beberapa kali sehari, tetapi anggap separuh daripadanya hanya bertukar barang yang berlainan di lelong atau menulis semula di pelayan RP, atau melakukan aksi permainan lain, jadi sebenarnya hanya separuh dari mereka yang memburu monster. Apakah kebarangkalian itu kepada seseorang Adakah ganjaran yang sama akan dijatuhkan? Dalam keadaan ini, anda dapat menjangkakan bahawa ganjaran yang sama dapat turun beberapa kali sehari, sekurang-kurangnya!

Ngomong-ngomong, nampaknya sekurang-kurangnya setiap beberapa minggu seseorang memenangi loteri, walaupun seseorang itu tidak pernahbukan anda atau rakan anda. Sekiranya cukup orang bermain setiap minggu, kemungkinan ada sekurang-kurangnya satubernasib baik ... tetapi jika awakdengan bermain loteri, anda cenderung untuk tidak mendapat pekerjaan di Infinity Ward.

Peta dan ketagihan

Kami telah membincangkan acara bebas seperti melancarkan dadu, dan sekarang kami mengetahui banyak alat yang kuat untuk menganalisis rawak dalam banyak permainan. Mengira kebarangkalian agak sukar ketika mengambil kad dari geladak, kerana setiap kad yang kita ambil mempengaruhi kad yang tersisa di geladak. Sekiranya anda mempunyai dek dan kad 52 kad standard, misalnya, 10 hati dan ingin mengetahui kebarangkalian kad berikutnya akan sesuai dengan kesesuaian, kebarangkalian telah berubah kerana anda telah mengeluarkan satu kad yang sesuai dengan hati dari dek. Setiap kad yang anda keluarkan mengubah kebarangkalian kad seterusnya di geladak. Oleh kerana dalam kes ini peristiwa sebelumnya mempengaruhi yang seterusnya, kita memanggil kebarangkalian ini bergantung.

Harap maklum bahawa apabila saya mengatakan "kad", maksud saya ada mekanik permainan, di mana terdapat sekumpulan objek dan anda mengeluarkan salah satu objek tanpa menggantinya, "dek kad" dalam kes ini serupa dengan beg token, dari mana anda mengeluarkan satu token dan tidak menggantikannya itu, atau guci dari mana anda mengeluarkan bola berwarna (sebenarnya, saya tidak pernah melihat permainan di mana terdapat guci untuk mengeluarkan bola berwarna, tetapi nampaknya guru teori kebarangkalian lebih suka contoh ini kerana beberapa sebab).

Sifat kebergantungan

Saya ingin menjelaskan bahawa mengenai kad, saya menganggap bahawa anda menarik kad, melihatnya, dan mengeluarkannya dari geladak. Setiap tindakan ini adalah harta yang penting.

Sekiranya saya mempunyai setumpuk, katakanlah, enam kad dengan nombor dari 1 hingga 6, dan saya mengacaknya dan mengeluarkan satu kad dan kemudian mengacak-acak keenam-enam kad itu lagi, ia seperti melemparkan mati enam sisi; satu hasil tidak mempengaruhi perkara berikut. Hanya jika saya menarik kad dan tidak menggantinya, hasil mengambil kad dengan nombor 1 akan meningkatkan kemungkinan pada masa berikutnya saya menarik kad dengan nombor 6 (kebarangkalian akan meningkat sehingga akhirnya saya mengeluarkan kad ini atau sehingga saya merombak kad).

Hakikat bahawa kita melihatpada kad juga penting. Sekiranya saya mengeluarkan kad dari geladak dan tidak melihatnya, saya tidak mempunyai maklumat tambahan, dan sebenarnya kebarangkalian tidak berubah. Ini mungkin terdengar bertentangan. Bagaimanakah kad kredit yang mudah menukar kebarangkalian secara ajaib? Tetapi ini mungkin kerana anda hanya dapat mengira kebarangkalian untuk objek yang tidak diketahui berdasarkan fakta bahawa anda kamu tahu... Contohnya, jika anda mengacak-acak sebilangan kad standard, menunjukkan 51 kad dan tidak ada yang menjadi ratu kelab, anda akan tahu dengan 100% kepastian bahawa kad yang tinggal adalah ratu kelab. Sekiranya anda mengacak dek kad standard dan menarik 51 kad, walaupunpada mereka, kebarangkalian kad yang tersisa adalah ratu kelab akan tetap 1/52. Dengan membuka setiap kad, anda mendapat lebih banyak maklumat.

Mengira kebarangkalian untuk peristiwa bersandar mengikuti prinsip yang sama dengan peristiwa bebas, kecuali ia sedikit lebih rumit, kerana kebarangkalian berubah apabila anda membuka kad. Oleh itu, anda perlu menggandakan banyak nilai yang berlainan dan bukannya mengalikan nilai yang sama. Ini sebenarnya bermaksud bahawa kita perlu menggabungkan semua pengiraan yang kita buat menjadi satu kombinasi.

Contohnya

Anda merombak dek 52 kad standard dan melukis dua kad. Apa kemungkinan anda mengambil pasangan? Terdapat beberapa cara untuk mengira kebarangkalian ini, tetapi mungkin yang paling mudah adalah seperti berikut: Apakah kebarangkalian bahawa apabila anda mengeluarkan satu kad, anda tidak akan dapat mengambil sepasang? Kebarangkalian ini adalah sifar, jadi tidak kira kad pertama yang anda lukis, asalkan sesuai dengan kad kedua. Tidak kira kad mana yang kita ambil terlebih dahulu, kita masih berpeluang mengeluarkan pasangan, jadi kebarangkalian kita dapat mengambil pasangan setelah mengeluarkan kad pertama adalah 100%.

Apakah kebarangkalian kad kedua akan sepadan dengan kad pertama? Terdapat 51 kad yang tersisa di geladak dan 3 daripadanya bertepatan dengan kad pertama (sebenarnya ada 4 dari 52, tetapi anda sudah mengeluarkan salah satu kad yang sesuai ketika mengeluarkan kad pertama!), Jadi kebarangkalian ialah 1/17. (Jadi pada waktu berikutnya lelaki di seberang meja anda bermain Texas Hold'em berkata, "Bagus, satu lagi pasangan? Saya bernasib baik hari ini," anda akan tahu bahawa ada peluang yang cukup tinggi untuk dia menggertak. )

Bagaimana jika kita menambah dua pelawak dan sekarang kita mempunyai 54 kad di geladak, dan kita ingin tahu apakah kebarangkalian mengambil pasangan? Kad pertama mungkin joker, dan kemudian geladak hanya akan berisi bersendiriankad, bukan tiga, yang akan sepadan. Bagaimana mencari kebarangkalian dalam kes ini? Kami akan membahagikan kebarangkalian dan menggandakan setiap kemungkinan.

Kad pertama kami boleh menjadi pelawak atau kad lain. Kebarangkalian melukis pelawak adalah 2/54, kebarangkalian melukis kad lain adalah 52/54.

Sekiranya kad pertama adalah pelawak (2/54), maka kemungkinan kad kedua bertepatan dengan kad pertama adalah 1/53. Gandakan nilai (kita boleh menggandakannya kerana ini adalah peristiwa yang berasingan dan kita mahukan kedua-duanyaperistiwa berlaku) dan kita mendapat 1/1431 - kurang dari sepersepuluh peratus.

Sekiranya anda menarik kad lain terlebih dahulu (52/54), kebarangkalian kebetulan dengan kad kedua adalah 3/53. Gandakan nilai dan dapatkan 78/1431 (sedikit lebih daripada 5.5%).

Apa yang kita lakukan dengan kedua keputusan ini? Mereka tidak bertindih dan kami ingin mengetahui kebarangkaliannya masing-masingdaripadanya, jadi kami menambah nilai! Kami mendapat keputusan akhir 79/1431 (masih sekitar 5.5%).

Sekiranya kita ingin memastikan ketepatan jawapannya, kita dapat mengira kebarangkalian semua hasil lain yang mungkin: mengeluarkan pelawak dan tidak sepadan dengan kad kedua, atau mengeluarkan kad lain dan tidak sepadan dengan kad kedua, dan menjumlahkan semuanya dengan kebarangkalian menang mendapat 100%. Saya tidak akan memberikan pengiraan matematik di sini, tetapi anda boleh mencuba mengira untuk menyemak semula.

Paradoks Monty Hall

Ini membawa kita kepada paradoks yang cukup terkenal yang sering membingungkan banyak pihak - paradoks Monty Hall. Paradoks ini dinamai "Let’s Make a Deal" tuan rumah Monty Hall. Sekiranya anda belum pernah menonton rancangan ini, ini adalah kebalikan dari rancangan TV The Price Is Right. Dalam "Harga Betul," tuan rumah (dulu Bob Barker, sekarang ... Drew Carey? Pokoknya ...) adalah rakan anda. Ia mahujadi anda boleh memenangi wang atau hadiah hebat. Dia cuba memberi anda setiap peluang untuk menang, dengan syarat anda dapat meneka berapa harga barang yang dibeli oleh penaja.

Monty Hall berkelakuan berbeza. Dia seperti kembar jahat Bob Barker. Tujuannya adalah untuk membuat anda kelihatan seperti orang bodoh di televisyen nasional. Sekiranya anda berada di acara itu, dia adalah lawan anda, anda bermain menentangnya, dan kemungkinan menang memihak kepadanya. Saya mungkin terlalu keras, tetapi apabila peluang dipilih sebagai lawan nampaknya berkadar langsung dengan sama ada anda mengenakan pakaian tidak masuk akal, saya sampai pada kesimpulan semacam itu.

Tetapi salah satu meme yang paling terkenal ialah: ada tiga pintu di hadapan anda, dan mereka dipanggil Pintu 1, Pintu 2 dan Pintu 3. Anda boleh memilih satu pintu ... secara percuma! Di belakang salah satu pintu itu terdapat hadiah hebat, seperti kereta penumpang baru. Tidak ada hadiah di sebalik pintu lain, kedua pintu ini tidak bernilai. Tujuan mereka adalah untuk mengaibkan anda dan oleh itu tidak ada apa-apa di belakang mereka, ada sesuatu di belakang mereka yang kelihatan bodoh, misalnya, di belakang mereka ada kambing atau tiub ubat gigi yang besar, atau sesuatu ... sesuatu, apa betul-betul tidak sebuah kereta penumpang baru.

Anda memilih salah satu pintu dan Monty hendak membukanya supaya anda tahu sama ada anda menang atau tidak ... tapi tunggu, sebelum kita tahu, mari kita lihat salah satu mereka pintu anda tidak terpilih... Oleh kerana Monty tahu pintu mana hadiah itu terletak di belakang, dan hanya ada satu hadiah dan dua pintu yang belum anda pilih, tidak kira apa, dia selalu dapat membuka pintu yang tidak ada hadiah. "Adakah anda memilih Pintu nombor 3? Kemudian mari kita buka Pintu 1 untuk menunjukkan bahawa tidak ada hadiah di belakangnya. " Dan sekarang, kerana murah hati, dia menawarkan anda peluang untuk memperdagangkan Pintu nombor 3 yang terpilih untuk yang berada di belakang Pintu nombor 2. Pada masa ini timbul persoalan mengenai kebarangkalian: adakah kemungkinan memilih pintu lain meningkatkan peluang anda memenangi atau mengurangkannya, atau adakah ia tetap sama? Apa pendapat kamu?

Jawapan yang betul: keupayaan untuk memilih pintu lain meningkatkebarangkalian menang dari 1/3 hingga 2/3. Ini tidak logik. Sekiranya anda belum pernah menemui paradoks ini, kemungkinan besar anda berfikir: tunggu, dengan membuka satu pintu, kita secara ajaib mengubah kebarangkalian? Tetapi seperti yang telah kita lihat dalam contoh dengan kad di atas, ini adalah betul-betulapa yang berlaku apabila kita menerima lebih banyak maklumat. Sudah jelas bahawa kebarangkalian untuk menang pada kali pertama anda memilih adalah 1/3, dan saya rasa semua orang akan bersetuju dengan itu. Apabila satu pintu terbuka, itu tidak mengubah kebarangkalian untuk menang untuk pilihan pertama, masih kebarangkalian 1/3, tetapi ini bermaksud bahawa kemungkinan yang lainpintu yang betul sekarang 2/3.

Mari kita lihat contoh ini dari perspektif yang berbeza. Anda memilih pintu. Kebarangkalian menang adalah 1/3. Saya cadangkan anda berubah duapintu lain, yang sebenarnya dicadangkan oleh Monty Hall. Sudah tentu, dia membuka salah satu pintu untuk menunjukkan bahawa tidak ada hadiah di belakangnya, melainkan dia selaluboleh melakukannya, jadi ia tidak mengubah apa-apa. Sudah tentu, anda mahu memilih pintu yang berbeza!

Sekiranya anda tidak begitu jelas mengenai soalan ini, dan anda memerlukan penjelasan yang lebih meyakinkan, klik pada pautan ini untuk menavigasi ke aplikasi Flash kecil yang hebat yang membolehkan anda meneroka paradoks ini dengan lebih terperinci. Anda boleh bermain bermula dengan kira-kira 10 pintu dan kemudian secara beransur-ansur beralih ke permainan dengan tiga pintu; terdapat juga simulator di mana anda boleh memilih sebilangan pintu dari 3 hingga 50 dan bermain atau menjalankan beberapa ribu simulasi dan melihat berapa kali anda menang jika anda bermain.

Ucapan daripada guru matematik yang lebih tinggi dan pakar dalam keseimbangan permainan Maxim Soldatov, yang tentu saja tidak dimiliki oleh Schreiber, tetapi tanpanya agak sukar untuk memahami transformasi ajaib ini:

Pilih pintu, salah satu daripada tiga, kebarangkalian "menang" adalah 1/3. Sekarang anda mempunyai 2 strategi: ubah setelah membuka pintu yang salah atau tidak. Sekiranya anda tidak mengubah pilihan anda, maka kebarangkalian akan tetap 1/3, kerana pilihannya hanya pada tahap pertama, dan anda harus segera meneka, jika anda berubah, maka anda boleh menang jika anda memilih pintu yang salah terlebih dahulu (kemudian mereka membuka yang salah, akan tetap setia, anda mengubah keputusan anda dan mengambilnya)
Kebarangkalian memilih pintu yang salah pada awalnya adalah 2/3, jadi ternyata dengan mengubah keputusan anda membuat kebarangkalian untuk menang 2 kali lebih tinggi

Dan sekali lagi mengenai paradoks Monty Hall

Bagi pertunjukan itu sendiri, Monty Hall tahu ini kerana walaupun pesaingnya tidak mahir dalam matematik, adakah dia memahaminya dengan baik. Inilah yang dia lakukan untuk mengubah permainan sedikit. Sekiranya anda memilih pintu di belakang hadiah itu, kebarangkalian adalah 1/3, itu selalumenawarkan anda peluang untuk memilih pintu lain. Lagipun, anda memilih kereta penumpang dan kemudian anda menukarnya menjadi kambing dan anda akan kelihatan sangat bodoh, itulah yang sebenarnya dia perlukan, kerana dia jenis lelaki jahat. Tetapi jika anda memilih pintu di belakangnya tidak akan ada hadiah, hanya pada separuh Dalam kes seperti itu, dia akan menawarkan anda untuk memilih pintu lain, dan dalam kes lain, dia hanya akan menunjukkan kepada anda kambing baru anda, dan anda akan meninggalkan panggung. Mari kita analisis permainan baru ini di mana Monty Hall dapat pilihmenawarkan anda peluang untuk memilih pintu lain atau tidak.

Andaikan dia mengikuti algoritma ini: jika anda memilih pintu dengan hadiah, dia selalu memberi anda peluang untuk memilih pintu lain, jika tidak, kemungkinan dia akan menawarkan anda untuk memilih pintu lain atau memberikan kambing adalah 50/50. Berapa kebarangkalian anda menang?

Dalam salah satu daripada tiga pilihan tersebut, anda segera memilih pintu di belakang hadiah itu, dan tuan rumah menjemput anda untuk memilih pintu lain.

Dari dua pilihan yang tinggal dari tiga (pada awalnya anda memilih pintu tanpa hadiah), dalam separuh kes, tuan rumah akan menawarkan anda untuk memilih pintu lain, dan pada separuh kes lain, bukan. Separuh daripada 2/3 adalah 1/3, iaitu dalam satu kes daripada tiga anda akan mendapat kambing, dalam satu kes dari tiga anda memilih pintu yang salah dan tuan rumah akan menawarkan anda untuk memilih yang lain dan dalam satu kes dari tiga anda akan memilih pintu kanan, dan dia akan meminta anda memilih pintu lain.

Sekiranya pemimpin itu memilih untuk memilih pintu lain, kita sudah tahu bahawa satu daripada tiga kes, ketika dia memberi kita kambing dan kita pergi, tidak akan berlaku. Ini adalah maklumat yang berguna kerana ini bermaksud bahawa peluang kita untuk menang telah berubah. Dalam dua kes dari tiga, ketika kita memiliki kesempatan untuk memilih, dalam satu hal itu berarti kita menebak dengan tepat, dan yang lain yang kita salah menebak, jadi jika kita ditawarkan kesempatan untuk memilih sama sekali, itu berarti bahawa kebarangkalian kemenangan kita adalah 50/50, dan tidak ada matematik faedah, tetap dengan pilihan anda atau pilih pintu lain.

Seperti poker, kini permainan psikologi, bukan permainan matematik. Monty menawarkan anda pilihan kerana dia berpendapat bahawa anda adalah orang sederhana yang tidak tahu bahawa memilih pintu yang lain adalah keputusan "betul", dan anda akan tetap berpegang pada pilihan anda, kerana secara psikologi situasi ketika anda memilih kereta, tetapi kemudian hilang, lebih sukar? Atau adakah dia fikir anda pintar dan memilih pintu lain dan dia menawarkan peluang ini kepada anda kerana dia tahu bahawa anda betul-betul meneka dan bahawa anda akan terpikat dan terperangkap? Atau mungkin dia tidak biasa dengan dirinya sendiri dan mendorong anda untuk melakukan sesuatu demi kepentingan peribadi anda, kerana sudah lama dia tidak memberikan kereta, dan pengeluarnya memberitahunya bahawa penonton semakin bosan dan akan lebih baik jika dia memberi hadiah besar tidak lama lagi untuk memastikan penilaian tidak jatuh?

Oleh itu, Monty berjaya menawarkan pilihan (kadang-kadang) dan kebarangkalian keseluruhan kemenangan kekal 1/3. Ingat bahawa kemungkinan anda akan hilang dengan segera adalah 1/3. Kebarangkalian anda mendapatkannya dengan segera adalah 1/3, dan dalam 50% kes ini, anda menang (1/3 x 1/2 \u003d 1/6). Kebarangkalian anda akan meneka salah pada mulanya, tetapi kemudian anda berpeluang memilih pintu lain, adalah 1/3, dan dalam 50% kes ini anda akan menang (juga 1/6). Tambahkan dua peluang menang bebas, dan anda mendapat kebarangkalian sama dengan 1/3, jadi tidak menjadi masalah jika anda tetap dengan pilihan anda atau memilih pintu lain, kebarangkalian keseluruhan kemenangan anda sepanjang permainan adalah 1/3 ... kebarangkalian tidak mendapat lebih dari sekadar situasi di mana anda akan meneka pintu dan penyampai akan menunjukkan kepada anda apa yang ada di belakang pintu ini, tanpa kemungkinan untuk memilih pintu lain! Oleh itu, tujuan menawarkan peluang untuk memilih pintu lain bukanlah untuk mengubah kemungkinan, tetapi untuk menjadikan proses membuat keputusan lebih menyenangkan untuk menonton televisyen.

Ngomong-ngomong, ini adalah salah satu sebab mengapa poker menjadi sangat menarik: dalam kebanyakan format antara pusingan, ketika pertaruhan dibuat (misalnya, flop, turn dan river di Texas Hold'em), kad secara beransur-ansur diturunkan, dan jika pada awal permainan anda mempunyai kebarangkalian untuk menang, maka setelah setiap pusingan pertaruhan, apabila lebih banyak kad terbuka, kebarangkalian ini akan berubah.

Paradoks Lelaki dan Gadis

Ini membawa kita ke paradoks lain yang terkenal, yang, sebagai peraturan, membingungkan semua orang - paradoks anak lelaki dan perempuan. Satu-satunya perkara yang saya tulis hari ini yang tidak berkaitan langsung dengan permainan (walaupun saya menganggap bahawa ini hanya bermaksud bahawa saya harus mendorong anda untuk membuat mekanik permainan yang sesuai). Ini lebih kepada teka-teki, tetapi menarik, dan untuk menyelesaikannya, anda perlu memahami kebarangkalian bersyarat, yang telah kita bicarakan di atas.

Cabaran: Saya mempunyai rakan dengan dua anak, sekurang-kurangnya satu anak itu perempuan. Apakah kemungkinan anak kedua jugaperempuan? Mari kita anggap bahawa dalam keluarga mana-mana peluang untuk memiliki seorang gadis atau lelaki adalah 50/50 dan ini berlaku untuk setiap anak (sebenarnya, beberapa lelaki mempunyai lebih banyak sperma dengan kromosom X atau kromosom Y, jadi kebarangkalian akan berubah sedikit jika anda ketahui bahawa satu anak adalah seorang gadis, kebarangkalian untuk melahirkan seorang gadis sedikit lebih tinggi, di samping itu, ada syarat lain, misalnya, hermaphroditism, tetapi untuk menyelesaikan masalah ini, kami tidak akan mengambil kira ini dan menganggap bahawa kelahiran kanak-kanak adalah peristiwa bebas dan kebarangkalian mempunyai anak lelaki atau perempuan adalah sama).

Oleh kerana kita bercakap tentang peluang 1/2, secara intuitif kita mengharapkan jawapannya kemungkinan besar 1/2 atau 1/4, atau beberapa pusingan dua yang lain. Tetapi jawapannya adalah: 1/3 ... Tunggu kenapa?

Kesukaran dalam kes ini adalah bahawa maklumat yang kita miliki dapat mengurangkan jumlah kemungkinan. Katakan ibu bapa adalah peminat Sesame Street dan, tidak kira sama ada anak lelaki atau perempuan dilahirkan, mereka menamakan anak mereka A dan B. Dalam keadaan normal, ada empat kemungkinan yang sama: A dan B adalah dua anak lelaki, A dan B adalah dua gadis, A adalah budak lelaki, dan B adalah seorang gadis, A adalah seorang gadis dan B adalah seorang lelaki. Oleh kerana kita tahu bahawa sekurang-kurangnya satu kanak-kanak itu adalah seorang gadis, kita dapat menghilangkan kemungkinan bahawa A dan B adalah dua anak lelaki, jadi kita ditinggalkan dengan tiga (masih sama kemungkinan) kemungkinan. Sekiranya semua kemungkinan sama kemungkinan dan ada tiga daripadanya, kita tahu bahawa kemungkinan masing-masing adalah 1/3. Hanya dalam satu daripada tiga pilihan ini, kedua-dua kanak-kanak itu adalah dua anak perempuan, jadi jawapannya adalah 1/3.

Dan sekali lagi mengenai paradoks seorang budak lelaki dan perempuan

Penyelesaian masalah menjadi lebih tidak logik. Bayangkan jika saya memberitahu bahawa rakan saya mempunyai dua anak dan satu anak - gadis yang dilahirkan pada hari selasa... Anggaplah bahawa dalam keadaan normal kebarangkalian untuk mengandung pada salah satu daripada tujuh hari dalam seminggu adalah sama. Apakah kemungkinan anak kedua juga perempuan? Anda mungkin berfikir bahawa jawapannya masih 1/3; apa maksud hari Selasa? Tetapi dalam kes ini, intuisi gagal kita. Jawapan: 13/27 yang bukan hanya intuitif, ia sangat pelik. Apa masalahnya dalam kes ini?

Sebenarnya, hari Selasa mengubah kebarangkalian kerana kita tidak tahu yang mana satukanak-kanak itu dilahirkan pada hari Selasa atau mungkin dua orang kanak-kanak dilahirkan pada hari Selasa. Dalam kes ini, kami menggunakan logik yang sama seperti di atas, kami mengira semua kemungkinan kombinasi apabila sekurang-kurangnya satu anak adalah seorang gadis yang dilahirkan pada hari Selasa. Seperti contoh sebelumnya, anggap anak-anak tersebut diberi nama A dan B, kombinasinya adalah seperti berikut:

• A - seorang gadis yang dilahirkan pada hari Selasa, B - seorang budak lelaki (dalam situasi ini ada 7 kemungkinan, satu untuk setiap hari dalam seminggu ketika seorang anak lelaki dapat dilahirkan).
• B - seorang gadis yang dilahirkan pada hari Selasa, A - seorang budak lelaki (juga 7 kemungkinan).
• A - seorang gadis yang dilahirkan pada hari Selasa, B - seorang gadis yang dilahirkan pada yang lain hari dalam seminggu (6 kemungkinan).
• B - seorang gadis yang dilahirkan pada hari Selasa, A - seorang gadis yang dilahirkan bukan pada hari Selasa (juga 6 kebarangkalian).
• A dan B - dua gadis yang dilahirkan pada hari Selasa (1 kemungkinan, anda perlu memberi perhatian kepada perkara ini agar tidak dikira dua kali).

Kami meringkaskan dan mendapatkan 27 kombinasi sama antara kelahiran anak dan hari dengan sekurang-kurangnya satu kemungkinan mempunyai anak perempuan pada hari Selasa. Dari jumlah tersebut, 13 adalah peluang ketika dua anak perempuan dilahirkan. Ini juga kelihatan tidak logik, dan nampaknya tugas ini dibuat hanya untuk menyebabkan sakit kepala. Sekiranya anda masih bingung dengan contoh ini, ahli teori permainan Jesper Yule mempunyai penjelasan yang baik mengenai perkara ini di laman webnya.

Sekiranya anda sedang mengusahakan permainan ...

Sekiranya terdapat rawak dalam permainan yang anda rancang, ini adalah peluang terbaik untuk menganalisisnya. Pilih beberapa elemen yang ingin anda analisis. Mula-mula, tanyakan pada diri anda apa yang anda jangkakan untuk suatu elemen tertentu, apa yang anda fikir seharusnya dalam konteks permainan. Sebagai contoh, jika anda membuat RPG dan bertanya-tanya apakah kemungkinan pemain dapat mengalahkan monster dalam pertempuran seharusnya, tanyakan pada diri anda berapa peratusan kemenangan yang sesuai bagi anda. Biasanya semasa bermain RPG konsol, pemain menjadi sangat kecewa apabila mereka kalah, jadi lebih baik mereka tidak sering kalah ... mungkin 10% masa atau kurang? Sekiranya anda seorang pereka RPG, anda mungkin lebih tahu daripada saya, tetapi anda harus mempunyai idea asas tentang kebarangkalian itu.

Kemudian tanyakan pada diri anda apakah ini sesuatu ketagih(seperti kad) atau bebas(seperti dadu). Kaji semua kemungkinan hasil dan kemungkinannya. Pastikan bahawa jumlah semua kebarangkalian adalah 100%. Akhirnya, tentu saja, bandingkan hasil yang anda dapat dengan jangkaan anda. Sama ada anda melempar dadu atau melukis kad dengan cara yang anda inginkan, atau anda melihat bahawa anda perlu menyesuaikan nilainya. Dan, tentu saja, jika anda cariapa yang perlu disesuaikan, anda boleh menggunakan pengiraan yang sama untuk menentukan berapa banyak keperluan untuk menyesuaikan sesuatu!

Kerja rumah

"Kerja rumah" anda minggu ini akan membantu anda meningkatkan kemahiran kerja anda. Berikut adalah dua permainan dadu dan permainan kad yang akan anda analisis menggunakan kebarangkalian, serta mekanik permainan aneh yang pernah saya kembangkan yang boleh anda gunakan untuk menguji kaedah Monte Carlo.

Nombor permainan 1 - Tulang naga

Ini adalah permainan dadu yang pernah kita ciptakan dengan rakan sekerja (terima kasih kepada Jeb Havens dan Jesse King!), Dan yang sengaja mengeluarkan otak orang dengan kemungkinannya. Ini adalah permainan kasino sederhana yang disebut "Dragon Bones" dan ini adalah pertandingan dadu perjudian antara pemain dan rumah. Anda diberi mati 1d6 biasa. Objektif permainan adalah membuang angka yang lebih tinggi daripada rumah. Tom diberi 1d6 yang tidak standard - sama dengan milik anda, tetapi bukannya satu di satu sisi - gambar Naga (dengan demikian, kasino mempunyai kubus Dragon-2-3-4-5-6). Sekiranya rumah menjatuhkan Naga, ia akan menang secara automatik, dan anda akan kalah. Sekiranya anda berdua mendapat nombor yang sama, itu adalah keputusan dan anda akan meletakkan dadu sekali lagi. Orang dengan jumlah tertinggi menang.

Sudah tentu, semuanya tidak begitu memihak kepada pemain, kerana kasino mempunyai kelebihan dalam bentuk Dragon's Edge. Tetapi adakah begitu? Anda mesti memikirkannya. Tetapi sebelum itu, periksa intuisi anda. Katakan kemenangan adalah 2 hingga 1. Oleh itu, jika anda menang, anda teruskan taruhan anda dan dua kali ganda. Sebagai contoh, jika anda bertaruh $ 1 dan menang, anda menyimpan dolar itu dan mendapat 2 lagi dengan jumlah $ 3. Sekiranya anda kalah, anda hanya kehilangan pertaruhan. Adakah anda bermain? Oleh itu, adakah anda secara intuitif merasakan kebarangkaliannya lebih besar dari 2 hingga 1, atau adakah anda masih menganggapnya kurang? Dengan kata lain, rata-rata dalam 3 permainan, adakah anda menjangka akan menang lebih dari sekali, atau kurang, atau sekali?

Setelah intuisi anda diselesaikan, gunakan matematik. Hanya ada 36 kemungkinan posisi untuk kedua dadu, jadi anda boleh mengira semuanya tanpa masalah. Sekiranya anda tidak pasti mengenai ayat 2-ke-1 ini, fikirkanlah ini: Andaikan anda bermain permainan sebanyak 36 kali (pertaruhan $ 1 setiap kali). Untuk setiap kemenangan anda mendapat $ 2, untuk setiap kerugian anda kehilangan $ 1, dan keputusan seri tidak akan berubah. Hitung semua kemungkinan kemenangan dan kerugian anda dan tentukan sama ada anda akan kehilangan sejumlah dolar atau keuntungan. Kemudian tanyakan pada diri anda seberapa betul intuisi anda. Dan kemudian - sedar apa penjahat saya.

Dan, ya, jika anda sudah memikirkan persoalan itu - saya sengaja membingungkan anda dengan memutarbelitkan mekanik sebenar permainan dadu, tetapi saya pasti anda dapat mengatasi halangan ini dengan hanya berfikir. Cuba selesaikan masalah ini sendiri. Saya akan menghantar semua jawapan di sini minggu depan.

Permainan # 2 - Toss Luck

Ini adalah permainan dadu yang disebut Luck Roll (juga Birdcage, kerana kadang-kadang dadu tidak dilemparkan, tetapi diletakkan di dalam sangkar kawat besar, yang mengingatkan pada sangkar Bingo). Ini adalah permainan mudah yang menghasilkan sesuatu seperti ini: letakkan, katakanlah, $ 1 pada nombor antara 1 dan 6. Kemudian anda gulungkan 3d6. Untuk setiap kematian yang mencecah nombor anda, anda akan menerima $ 1 (dan menyimpan taruhan asal anda). Sekiranya nombor anda tidak tertera di dadu, kasino mendapat dolar anda dan anda tidak mendapat apa-apa. Oleh itu, jika anda bertaruh pada 1 dan anda mendapat 1 di pinggir tiga kali, anda akan mendapat $ 3.

Secara intuitif, permainan ini nampaknya mempunyai peluang yang sama. Setiap mati adalah 1 atau 6 peluang kemenangan individu, jadi jumlah ketiga-tiga peluang anda untuk menang adalah 3 hingga 6. Namun, tentu saja, ingat bahawa anda menyusun tiga dadu yang berasingan, dan anda hanya dibenarkan menambahkan jika kita bercakap mengenai kombinasi kemenangan berasingan mati yang sama. Anda perlu menggandakan sesuatu.

Sebaik sahaja anda mengetahui semua hasil yang mungkin (mungkin lebih mudah untuk melakukannya di Excel daripada dengan tangan, kerana terdapat 216 daripadanya), permainan ini masih kelihatan ganjil dan sekilas. Tetapi sebenarnya, kasino masih mempunyai lebih banyak peluang untuk menang - berapa banyak lagi? Khususnya, berapa banyak wang yang anda jangkakan rata-rata untuk setiap pusingan permainan? Yang harus anda lakukan ialah menambahkan kemenangan dan kerugian semua 216 keputusan dan kemudian membaginya dengan 216, yang semestinya cukup mudah ... Tetapi seperti yang anda lihat, ada beberapa perangkap yang boleh anda lalui, itulah sebabnya saya Saya memberitahu anda: jika anda menganggap peluang menang sama dalam permainan ini, anda salah.

Permainan # 3 - 5 Card Stud Poker

Sekiranya anda melakukan pemanasan dalam permainan sebelumnya, mari kita periksa apa yang kita ketahui mengenai kebarangkalian bersyarat dengan permainan kad ini. Khususnya, mari kita bayangkan poker dengan dek 52 kad. Mari kita bayangkan 5 Card Stud, di mana setiap pemain hanya menerima 5 kad. Anda tidak boleh membuang kad, anda tidak dapat melukis kad baru, tidak ada dek biasa - anda hanya mendapat 5 kad.

Royal Flush adalah 10-J-Q-K-A di satu tangan, ada empat total, jadi ada empat cara yang mungkin untuk mendapatkan Royal Flush. Hitung kebarangkalian bahawa anda akan mendapat satu kombinasi tersebut.

Saya mesti memberi amaran kepada anda tentang satu perkara: ingat bahawa anda boleh menarik lima kad ini mengikut urutan apa pun. Maksudnya, pada mulanya anda dapat menarik ace, atau sepuluh, itu tidak menjadi masalah. Oleh itu, semasa mengira ini, ingatlah bahawa sebenarnya terdapat lebih daripada empat cara untuk mendapatkan Royal Flush dengan anggapan kad-kad tersebut telah dibeli dengan baik!

Permainan # 4 - Loteri IMF

Masalah keempat tidak dapat diselesaikan dengan mudah dengan kaedah yang kita bicarakan hari ini, tetapi anda dapat mensimulasikan keadaan dengan mudah menggunakan pengaturcaraan atau Excel. Sebagai contoh masalah ini, anda dapat menyelesaikan kaedah Monte Carlo.

Saya sebutkan sebelumnya permainan "Chron X", yang saya kerjakan, dan ada satu kad yang sangat menarik - loteri IMF. Inilah cara ia berfungsi: anda menggunakannya dalam permainan. Setelah pusingan berakhir, kad-kad itu diedarkan semula, dan ada kemungkinan 10% kad tersebut akan keluar dari permainan, dan bahawa pemain rawak akan menerima 5 unit dari setiap jenis sumber yang tokennya ada pada kad ini. Kad ini dimainkan tanpa satu token, tetapi setiap kali ia tetap dimainkan pada awal pusingan berikutnya, ia akan menerima satu token. Oleh itu, ada kemungkinan 10% bahawa anda akan membawanya bermain, pusingan akan berakhir, kad akan berhenti bermain, dan tidak ada yang dapat apa-apa. Sekiranya ini tidak berlaku (dengan kebarangkalian 90%), ada kemungkinan 10% (sebenarnya 9%, kerana ini adalah 10% daripada 90%) bahawa pada pusingan berikutnya dia akan meninggalkan permainan, dan seseorang akan menerima 5 unit sumber. Sekiranya kad meninggalkan permainan selepas satu pusingan (10% daripada 81% yang ada, jadi kemungkinannya 8.1%), seseorang akan menerima 10 unit, setelah satu pusingan lain - 15, satu lagi - 20, dan seterusnya. S: berapakah nilai jangkaan umum dari jumlah sumber yang akan anda terima dari kad ini ketika akhirnya meninggalkan permainan?

Biasanya kita akan berusaha menyelesaikan masalah ini dengan mencari kemungkinan setiap hasil dan mengalikan dengan jumlah semua hasil. Jadi ada kemungkinan 10% anda akan mendapat 0 (0.1 * 0 \u003d 0). 9% bahawa anda akan menerima 5 unit sumber (9% * 5 \u003d 0,45 sumber). 8.1% daripada jumlah yang anda peroleh 10 (8.1% * 10 \u003d 0.81 jumlah sumber, nilai yang diharapkan). Dan lain-lain. Dan kemudian kita akan menambahkan semuanya.

Masalahnya sudah jelas bagi anda: kadangkala ada kemungkinan kad itu tidak akan meninggalkan permainan sehingga dia dapat terus berada dalam permainan selamanya dan selamanya, untuk jumlah pusingan yang tidak terhingga, sehingga kemungkinan mengira setiap peluang tidak wujud. Kaedah yang kita pelajari hari ini tidak memberi kita kemampuan untuk mengira rekursi tak terhingga, jadi kita harus membuatnya secara buatan.

Sekiranya anda cukup mahir dengan pengaturcaraan, tulis program yang mensimulasikan kad ini. Anda harus mempunyai gelung waktu yang membawa pemboleh ubah kembali ke kedudukan sifar asalnya, menunjukkan nombor rawak, dan dengan kemungkinan 10% pemboleh ubah akan keluar dari gelung. Jika tidak, ia menambah 5 pada pemboleh ubah dan gelung berulang. Apabila akhirnya berjaya keluar, tingkatkan jumlah percubaan yang dijalankan sebanyak 1 dan jumlah sumber (berapa banyak bergantung pada tempat pemboleh ubah ditinggalkan). Kemudian tetapkan semula pemboleh ubah dan mulakan semula. Jalankan program beberapa ribu kali. Pada akhirnya, bahagikan jumlah sumber dengan jumlah keseluruhan - ini adalah nilai Monte Carlo yang anda harapkan. Jalankan program beberapa kali untuk memastikan nombor yang anda dapatkan kira-kira sama; jika spread masih besar, tingkatkan bilangan pengulangan di gelung luar sehingga anda mula mendapat perlawanan. Anda pasti dapat memastikan bahawa nombor apa pun yang anda capai hampir tepat.

Sekiranya anda tidak mahir dengan pengaturcaraan (atau walaupun anda), berikut adalah sedikit latihan untuk anda memanaskan kemahiran Excel anda. Sekiranya anda seorang pereka permainan, kemahiran Excel tidak akan berlebihan.

Fungsi IF dan RAND akan berguna buat masa ini. RAND tidak memerlukan nilai, ia hanya mengeluarkan nombor perpuluhan rawak antara 0 dan 1. Biasanya kita menggabungkannya dengan FLOOR dan kebaikan dan keburukan untuk mensimulasikan gulungan die, yang saya sebutkan sebelumnya. Namun, dalam kes ini, kita hanya meninggalkan 10% peluang bahawa kad itu akan keluar dari permainan, jadi kita hanya dapat memeriksa apakah nilai RAND kurang dari 0.1, dan tidak perlu bersusah payah lagi.

JIKA mempunyai tiga makna. Secara berurutan, syarat yang benar atau tidak, maka nilai yang dikembalikan jika keadaan itu benar, dan nilai yang dikembalikan jika keadaan itu tidak benar. Jadi fungsi berikut akan mengembalikan 5% masa, dan 0 yang lain 90% masa:
\u003d JIKA (RAND ()<0.1,5,0)

Terdapat banyak cara untuk menetapkan perintah ini, tetapi saya akan menggunakan formula seperti ini untuk sel yang mewakili pusingan pertama, katakan itu sel A1:

JIKA (RAND ()<0.1,0,-1)

Di sini saya menggunakan pemboleh ubah negatif untuk bermaksud "kad ini belum meninggalkan permainan dan belum memberikan sumber apa pun". Oleh itu, sekiranya pusingan pertama berakhir dan kad tidak dapat digunakan, A1 adalah 0; jika tidak ia adalah -1.

Untuk sel seterusnya yang mewakili pusingan kedua:

JIKA (A1\u003e -1, A1, JIKA (RAND ()<0.1,5,-1))

Oleh itu, jika pusingan pertama berakhir dan kad meninggalkan permainan dengan segera, A1 adalah 0 (bilangan sumber) dan sel ini hanya akan menyalin nilai tersebut. Dalam keadaan sebaliknya, A1 adalah -1 (kad belum meninggalkan permainan), dan sel ini terus bergerak secara rawak: 10% masa ia akan mengembalikan 5 unit sumber, selebihnya waktu nilainya akan tetap menjadi -1. Sekiranya kami menerapkan formula ini pada sel tambahan, kami mendapat pusingan tambahan, dan mana sahaja sel yang jatuh kepada anda pada akhirnya, anda akan mendapat keputusan akhir (atau -1 jika kad tersebut tidak meninggalkan permainan setelah semua pusingan yang anda mainkan) .

Ambil baris sel ini, yang merupakan satu-satunya pusingan dengan kad ini, dan salin dan tampal beberapa ratus (atau ribuan) baris. Kami mungkin tidak dapat melakukannya tidak berkesudahanujian untuk Excel (terdapat sebilangan kecil sel dalam jadual), tetapi sekurang-kurangnya kita dapat merangkumi kebanyakan kes. Kemudian pilih satu sel di mana anda akan meletakkan purata hasil semua pusingan (Excel dengan baik memberikan fungsi RATA-RATA () untuk ini).

Pada Windows, anda sekurang-kurangnya boleh menekan F9 untuk mengira semula semua nombor rawak. Seperti sebelumnya, lakukan ini beberapa kali dan lihat apakah nilai yang anda dapat sama. Sekiranya spread terlalu luas, gandakan jumlah larian dan cuba lagi.

Tugas yang tidak dapat diselesaikan

Sekiranya anda mempunyai ijazah dalam Kebarangkalian dan masalah di atas nampaknya terlalu mudah bagi anda, berikut adalah dua masalah yang telah saya hairan selama bertahun-tahun, tapi sayangnya, saya tidak mahir dalam matematik untuk menyelesaikannya. Sekiranya anda tiba-tiba mengetahui penyelesaiannya, sila hantarkan di sini di komen, saya akan membacanya dengan senang hati.

Masalah tidak dapat diselesaikan nombor 1: LoteriIMF

Masalah pertama yang tidak dapat diselesaikan adalah tugasan kerja rumah sebelumnya. Saya boleh menggunakan kaedah Monte Carlo dengan mudah (menggunakan C ++ atau Excel), dan saya akan yakin dengan jawapan kepada soalan "berapa banyak sumber yang akan diperoleh pemain", tetapi saya tidak tahu dengan tepat bagaimana memberikan bukti yang tepat jawab secara matematik (ini adalah siri yang tidak berkesudahan). Sekiranya anda tahu jawapannya, hantarkan di sini ... setelah memeriksanya dengan kaedah Monte Carlo, tentu saja.

Masalah yang tidak dapat diselesaikan # 2: Urutan bentuk

Masalah ini (dan sekali lagi melampaui tugas yang diselesaikan dalam blog ini) dilontarkan kepada saya oleh pemain permainan biasa lebih dari 10 tahun yang lalu. Dia melihat satu ciri menarik ketika bermain blackjack di Vegas: ketika dia mengeluarkan kad dari kasutnya selama 8 dek, dia melihat sepuluh kepingan berturut-turut (sehelai, atau sekeping kad - 10, Joker, Raja atau Ratu, jadi ada 16 daripadanya di dek 52 kad standard, jadi ada 128 daripadanya dengan kasut 416 kad). Apakah kebarangkalian pada kasut ini sekurang-kurangnya satu urutan sepuluh atau lebihangka? Anggaplah mereka diubah secara jujur, dalam urutan rawak. (Atau, jika anda menyukainya lebih baik, apakah kebarangkalian itu tidak dijumpai di mana sahaja urutan sepuluh atau lebih bentuk?)

Kita boleh mempermudahkan tugas. Berikut adalah urutan 416 bahagian. Setiap keping adalah 0 atau 1. Terdapat 128 yang satu dan 288 sifar tersebar secara rawak sepanjang urutan. Berapa banyak kaedah untuk menyebarkan 128 secara rawak dengan 288 sifar, dan berapa kali kaedah ini mempunyai sekurang-kurangnya satu kumpulan sepuluh atau lebih?

Setiap kali saya mula menyelesaikan masalah ini, nampaknya mudah dan jelas bagi saya, tetapi sebaik sahaja saya memperincikannya, ia tiba-tiba hancur dan nampaknya mustahil. Oleh itu, jangan terburu-buru mengaburkan jawapannya: duduk, fikirkan dengan teliti, kaji keadaan masalah, cuba ganti nombor sebenar, kerana semua orang yang saya bercakap mengenai masalah ini (termasuk beberapa pelajar siswazah yang bekerja di bidang ini) memberikan reaksi yang hampir sama "Sangat jelas ... oh, tidak, tunggu, sama sekali tidak jelas." Ini adalah kes yang sebenarnya saya tidak mempunyai kaedah untuk mengira semua pilihan. Saya tentu saja dapat mengatasi masalah ini melalui algoritma komputer, tetapi lebih ingin tahu mengetahui kaedah matematik untuk menyelesaikan masalah ini.

Terjemahan - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Dadu telah digunakan oleh manusia selama ribuan tahun.

Pada abad ke-21, teknologi baru membolehkan anda menggulung dadu pada bila-bila masa yang sesuai, dan jika anda mempunyai akses Internet, di tempat yang mudah. Dadu selalu bersama anda di rumah atau di jalan raya.

Penjana dadu membolehkan anda melancarkan talian dari 1 hingga 4 dadu.

Cukup gulung die dalam talian

Apabila menggunakan dadu sebenar, ketangkasan manual atau dadu yang dibuat dengan berat badan berlebihan di satu sisi dapat digunakan. Sebagai contoh, anda boleh memutar sebuah kubus di sepanjang salah satu paksi, dan kemudian pembahagian kebarangkalian akan berubah. Satu ciri kiub maya kami adalah penggunaan penjana nombor pseudo-random perisian. Ini membolehkan anda memberikan pilihan yang sangat rawak untuk hasil ini atau hasilnya.

Dan jika anda menambahkan halaman ini ke penanda halaman anda, maka dadu dalam talian anda tidak akan hilang di mana sahaja dan akan sentiasa ada pada waktu yang tepat!

Beberapa orang telah menyesuaikan diri dengan menggunakan dadu dalam talian untuk mencari untung atau membuat ramalan dan horoskop.

Selamat mencuba, selamat hari dan semoga berjaya!